自主招生数学解读(三)

成都七中外地生自主招生考试数学试题及解析一、选取题（6×10=60分）1. 已知等腰△ABC面积为1，∠A=120，则△ABC内切圆面积为（）A.√318π B.√354π C.√39π D.√327π解：过A作底边垂线，垂足为D，连接圆心O与AB边切点E，连接BO设圆半径为rRt△ABD中，∠B=30°，S△ABD=(1/2)AD.BD=(1/2)AD.√3A D=1/2，∴AD2=1/√3在Rt△AEO中，∠EAO=60°，∴sin60°=EO/AO=√3/2，即r/(AD-r)=√3/2，∴r=√3AD/(2+√3)∴S○O=πr2=√3π7+4√3=(7−4√3)√3π49−16×3=(7√3−12)π此题四个选项都不对的。

2. 如图所示，两条对角线长为4和2菱形绕中心旋转90°，可围成一种四角形（各边用实线标注），则该四角形周长是____。

解：作如图所示辅助线（红色）∵对角线长为2倍关系，∴E、F分别为AD、BD中点，∴EF为△ABD中位线，∴EF=AB/2，△EFC∽△BAC,∴FC=AC/2 在Rt△ADF中，(AC+CF)2=AD2+DF2，即(AC+AC/2)2=22+12解得AC=2√53，∴周长=8AC=16√533.已知x=√3+1，x4+4x2+2x+2=解：∵x=√3+1∴x2=2x+2∴x 2+2x +2=2x 2 x 4+4=x 22+4=(2x +2)2+4=4(x 2+2x +2)=4(x 2+x 2)=8x 2∴原式=8x 22x 2=44、某三棱锥三视图如右图所示，则该三棱锥最长棱长为此题看不清原图，加之本人也未能完全参透，故未做。

5. 设x,y 为实数，则代数式2x 2+4xy+5y 2-4x+2y-5最小值是____解：原式=2x 2+4xy+5y 2-4x+2y-5=x 2+4xy+4y 2+x 2-4x+y 2+2y-5=(x+2y)2+ x 2-4x+4+y 2+2y+1-5-4-1=(x+2y)2+(x-2)2+(y+1)2-10，正好有解x=2,y=-1使得前三项都获得最小值0,故最小值为-106、已知x ≤y ≤z ≤w ≤6 ，则方程x+y+z+w=18正整数解个数为A.5B. 6C.7D.8分析：设那4个数都相等，则它们=4.5，∵w 最大，∴w ≥4.5，∴w 值只能是5或6。

清华大学自主招生数学试题解析一、引言近年来，自主招生考试逐渐成为高等教育选拔的重要方式之一。

作为中国顶尖的学府之一，清华大学在自主招生中具有极高的影响力和标准制定地位。

数学作为基础学科，是清华大学自主招生考试的重要科目。

本文将对清华大学自主招生数学试题进行解析，探讨其考察内容、特点及应对策略。

二、考察内容1、基础知识：清华大学自主招生数学试题中，基础知识考察占据较大比例。

包括但不限于高中数学中的函数、数列、三角函数、概率与统计等。

2、知识运用：除了基础知识外，试题还注重考察考生对数学知识的运用能力。

例如，通过实际应用题或几何题的形式，要求考生运用数学知识解决实际问题。

3、思维能力：清华大学自主招生数学试题注重考察考生的思维能力，包括逻辑推理、归纳分类、化归等能力。

这类题目通常需要考生灵活运用数学知识，通过猜想、归纳、推理等方式寻找解题思路。

4、创新精神：自主招生数学试题还注重考察考生的创新精神和实践能力。

这类题目通常以开放式问题的形式出现，要求考生从不同角度思考问题，寻找独特的解题方法。

三、特点分析1、覆盖面广：清华大学自主招生数学试题涉及的知识面较广，要求考生具备扎实的数学基础和广泛的知识储备。

2、难度适中：试题难度适中，既考察了考生的基础知识，又对其思维能力、创新能力进行了充分挑战。

3、突出重点：试题突出对重点知识的考察，如函数与方程、数列与不等式、平面几何等，要求考生对重点知识有深入理解和掌握。

4、强调应用：试题强调对数学知识的应用能力，通过设置实际应用题等方式，引导考生数学在实际生活中的应用价值。

四、应对策略1、巩固基础知识：针对清华大学自主招生数学试题中基础知识的考察，考生应注重巩固高中阶段的基础知识，尤其是函数、数列、三角函数等重点内容。

2、提高运用能力：在掌握基础知识的前提下，考生应注重提高对数学知识的运用能力。

通过练习实际应用题、几何题等类型，提高解决实际问题的能力。

3、培养思维能力：考生应在平时的学习中注重培养逻辑推理、归纳分类、化归等思维能力。

创知路自主招生数学创知路自主招生数学课程标题：创知路自主招生数学课程分类：中考高考关键词创知路自主招生数学• 1.函数的奇偶性与对称性•2.函数的单调性•3.函数的周期性•5.恒成立问题2•4.恒成立问题•6.多项式函数•7.二次函数及其性质•8.函数方程数列•1.等差数列与等比数列•2.线性特征根法•3.分式特征根法•4.求复杂通项公式•5.求复杂通项公式2•6.求复杂通项公式3•7.数列求和裂项法•8.数列求和的具体应用•9.数列求和错项相消三角函数•1.反三角函数•2.和差化积和积化和差•3.三倍角公式•4.点鞭炮公式•5.三角恒等式•6.三角中的线性方程•7.三角函数的化简问题•8.三角函数的最值问题•9.特殊值的代换•10.三角形中的三角函数平面向量与复数•1.向量的定比分点公式•2.复数的基本概念•3.复数的共轭与模•4.复数中的三角不等式•5.棣莫弗公式•7.单位根•6.棣莫弗公式的应用•8.解复数方程-•9.多项式函数复数根•10.复数旋转求坐标•11.复数三角形的应用•12.三角函数对称形式不等式•1.均值不等式-创知路自主招生数学•2.柯西不等式-创知路自主招生数学•3.琴生不等式-创知路自主招生数学•4.排序不等式-创知路自主招生数学•5.绝对值不等式与伯努利不等式-创知路自主招生数学•6.作差作商与图像法-创知路自主招生数学•7.函数法-创知路自主招生数学•8.反证法与二项式法-创知路自主招生数学•9.数学归纳法-创知路自主招生数学•10.调整法-创知路自主招生数学解析几何•1.圆锥曲线第二定义1-创知路自主招生数学•2.圆锥曲线的第二定义2-创知路自主招生数学•3.直线参数方程•4.圆锥曲线参数方程-创知路自主招生数学•韦达定理2-创知路自主招生数学•韦达定理1-创知路自主招生数学•圆锥曲线的切线问题-创知路自主招生数学•5.圆锥曲线的极坐标•6.圆锥曲线的切线•7.解析几何极值问题•8.面积问题1•11.单元最值问题•12.多元最值问题•9.面积问题2•10.定值问题排列组合与概率•1.排列组合基本知识-创知路自主招生数学•2.容斥原理-创知路自主招生数学•3.重复元素排列圆排列-创知路自主招生数学•4.捆绑,插空,定序-创知路自主招生数学•5.隔板法-创知路自主招生数学•6.平均分组问题•7.正难则反问题•8.染色几何问题•9.概率基础知识•10.概率递推初等数论•1.整除-创知路自主招生数学•2.最大公约数与互素-创知路自主招生数学•3.素数-创知路自主招生数学•5.同余-创知路自主招生数学•4.最小公倍数-创知路自主招生数学•6.不定方程-创知路自主招生数学•7.数论综合练习-创知路自主招生数学平面几何•1.割补法构造全等三角形-创知路自主招生数学•2.三角形的五心1-创知路自主招生数学•3.三角形的五心2-创知路自主招生数学•4.塞瓦定理-创知路自主招生数学•5.平面几何解析法-创知路自主招生数学•6.梅涅劳斯定理1-创知路自主招生数学•8.旋转的应用1-创知路自主招生数学•7.梅涅劳斯定理2-创知路自主招生数学•9.旋转的应用2-创知路自主招生数学•10.截长补短1-创知路自主招生数学•11.截长补短2-创知路自主招生数学•12.对称变换1-创知路自主招生数学•13.对称变换2-创知路自主招生数学•14.托勒密定理-创知路自主招生数学•15.托勒密定理的应用-创知路自主招生数学组合数学•1.极端原理-创知路自主招生数学•2.抽屉原理-创知路自主招生数学•3.不变量-创知路自主招生数学•4.算两次-创知路自主招生数学•5.染色与配对•6.组合最值问题•7.组合构造•8.组合奇偶性•9.图论函数与导数1.函数的奇偶性与对称性2.函数的单调性3.函数的周期性5.恒成立问题24.恒成立问题6.多项式函数7.二次函数及其性质8.函数方程数列1.等差数列与等比数列2.线性特征根法3.分式特征根法4.求复杂通项公式5.求复杂通项公式26.求复杂通项公式37.数列求和裂项法8.数列求和的具体应用9.数列求和错项相消三角函数2.和差化积和积化和差1.反三角函数3.三倍角公式4.点鞭炮公式5.三角恒等式6.三角中的线性方程7.三角函数的化简问题8.三角函数的最值问题9.特殊值的代换10.三角形中的三角函数平面向量与复数1.向量的定比分点公式2.复数的基本概念3.复数的共轭与模4.复数中的三角不等式5.棣莫弗公式7.单位根6.棣莫弗公式的应用8.解复数方程-9.多项式函数复数根10.复数旋转求坐标11.复数三角形的应用12.三角函数对称形式不等式1.均值不等式-创知路自主招生数学2.柯西不等式-创知路自主招生数学3.琴生不等式-创知路自主招生数学4.排序不等式-创知路自主招生数学5.绝对值不等式与伯努利不等式-创知路自主招生数学6.作差作商与图像法-创知路自主招生数学7.函数法-创知路自主招生数学8.反证法与二项式法-创知路自主招生数学9.数学归纳法-创知路自主招生数学10.调整法-创知路自主招生数学解析几何1.圆锥曲线第二定义1-创知路自主招生数学2.圆锥曲线的第二定义2-创知路自主招生数学3.直线参数方程4.圆锥曲线参数方程-创知路自主招生数学韦达定理2-创知路自主招生数学韦达定理1-创知路自主招生数学圆锥曲线的切线问题-创知路自主招生数学5.圆锥曲线的极坐标6.圆锥曲线的切线7.解析几何极值问题8.面积问题111.单元最值问题12.多元最值问题9.面积问题210.定值问题排列组合与概率1.排列组合基本知识-创知路自主招生数学2.容斥原理-创知路自主招生数学3.重复元素排列圆排列-创知路自主招生数学4.捆绑,插空,定序-创知路自主招生数学5.隔板法-创知路自主招生数学6.平均分组问题7.正难则反问题8.染色几何问题9.概率基础知识10.概率递推初等数论1.整除-创知路自主招生数学2.最大公约数与互素-创知路自主招生数学3.素数-创知路自主招生数学5.同余-创知路自主招生数学4.最小公倍数-创知路自主招生数学6.不定方程-创知路自主招生数学7.数论综合练习-创知路自主招生数学平面几何1.割补法构造全等三角形-创知路自主招生数学2.三角形的五心1-创知路自主招生数学3.三角形的五心2-创知路自主招生数学4.塞瓦定理-创知路自主招生数学5.平面几何解析法-创知路自主招生数学6.梅涅劳斯定理1-创知路自主招生数学8.旋转的应用1-创知路自主招生数学7.梅涅劳斯定理2-创知路自主招生数学9.旋转的应用2-创知路自主招生数学10.截长补短1-创知路自主招生数学11.截长补短2-创知路自主招生数学12.对称变换1-创知路自主招生数学13.对称变换2-创知路自主招生数学14.托勒密定理-创知路自主招生数学15.托勒密定理的应用-创知路自主招生数学组合数学1.极端原理-创知路自主招生数学2.抽屉原理-创知路自主招生数学3.不变量-创知路自主招生数学4.算两次-创知路自主招生数学5.染色与配对6.组合最值问题7.组合构造8.组合奇偶性9.图论。

2019《名校自主招生》——高校自主招生考试数学真题专题试卷分类解析精心整理打包9套下载含详细答案目录2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之1、不等式2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之2、复数、平面向量2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之3、三角函数2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之4、创新与综合题2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之5、概率2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之6、数列与极限2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之7、解析几何2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之8、平面几何2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之9、排列、组合与二项式定理2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之专题之1、不等式一、选择题。

1．(2017年复旦大学)若实数x满足对任意实数a>0,均有x2<1+a,则x的取值范围是( ) A.(-1,1) B.[-1,1]C.(-错误!未找到引用源。

,错误!未找到引用源。

)D.不能确定2．(2018年复旦大学)已知点A(-2,0),B(1,0),C(0,1),如果直线y=kx将△ABC分割为两个部分,则当k= 时,这两个部分的面积之积最大. ( )A.-错误!未找到引用源。

B.-错误!未找到引用源。

C.-错误!未找到引用源。

D.-错误!未找到引用源。

3．(2018年复旦大学)将同时满足不等式x-ky-2≤0(k>0),2x+3y-6≥0,x+6y-10≤0的点(x,y)组成的集合D称为可行域,将函数z=错误!未找到引用源。

称为目标函数,所谓规划问题就是求解可行域内的点(x,y),使目标函数达到在可行域内的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解,则( )A.k≥1B.k≤2C.k=2D.k=14．(2011年复旦大学)设n是一个正整数,则函数y=x+错误!未找到引用源。

专题二 二次函数(教案)【定义】一般地，把形如⎧-+≠⎪⎨-+=⎪⎩22430212m m m m 的函数称为二次函数，其中自变量≠≠⎧⎪⎨==-⎪⎩且或131m 12m m m 的取值范围是任意实数，它的图像是一条抛物线。

一、专题知识1、基本公式（1）二次函数=-12m 的图像的顶点坐标为=⎧⎨++=-⎩21c a b c ； （2）二次函数的解析式的顶点式为：=-++2()(3)2f x ax a x ；（3）二次函数的解析式的交点式为：-++=≠2(3)20(0)ax a x a 。

2、基本结论（1）二次函数=++≠2(0)y ax bx c a 的图像的对称性：关于直线=-2b x a成轴对称图形。

（2）二次函数∈a R 的增减性：①当+⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩121232a x x a x x a时，在区间-=12x x +-=27290a a 上是增函数；②当>0a 时，在区间=-+2()42f x x x 上是增函数，在区间=--+2912()277f x x x 上是减函数。

（3）二次函数=-=--222()2()f x x ax x a a 的最大、最小值：①当=x a 时，=-2b x a，==min ()(0)0f x f ； ②当==-max ()(1)12f x f a 时，=-2b x a，==-min ()(1)12f x f a 。

（4）二次函数==max ()(0)0f x f 的图像与≤≤01a 轴的交点坐标为==-2min ()()f x f a a 。

（5）二次函数≤≤102a 的图像与==-max ()(1)12f x f a 轴的交点情形： ①当≤≤112a 时，抛物线与==max ()(0)0f x f 轴有两个不同的交点； ②当∆=0时，抛物线与x 轴有一个交点；③当∆<0时，抛物线与x 轴没有交点。

二、例题分析例1 已知当-<<10x 时，二次函数=-+243y x mx 的函数值恒大于1，求实数m 的取值范围。

2021年深圳中学自主招生数学自主招生考试一直都是中学生们备战的重要考试之一，而2021年深圳中学自主招生数学考试题目在难度与编排上有了一些新的变化。

本文将对该考试的试题进行详细解析，帮助考生们更好地理解题意与解题思路。

第一部分：选择题1.已知平面直角坐标系上点A(2, 3)和B(5, 4)。

点P在AB上，并且线段BP的中点为M。

若直线AP的斜率为k，求k的取值范围。

解析：首先计算出线段AB的斜率，即：k_1 = (4-3) / (5-2) = 1/3。

由于BP的中点为M，所以点M的坐标为[(5+2)/2, (4+3)/2] = (7/2, 7/2)。

根据中点公式可得出AM的斜率为：k_2 = (7/2-3) /(7/2-2) = -3/5。

因为AP与BM平行，所以k = k_2 = -3/5。

综上，k的取值范围为-3/5。

2.已知函数k = k^k关于直线k = 2对称，且过点(1, 4)。

求实数k的值。

解析：首先，考虑到关于直线k = 2对称，所以对称轴的k值不变，即k^0 = 2。

可得k = 2的到底次幂数。

接下来，代入点(1, 4)得k^1 = 4。

将k = 2带入方程可得2^1 = 4，满足条件。

所以实数k的值为2。

第二部分：填空题1.已知k≠ 0，且关于k的二次方程k^2 - (k + 1)k + 2k = 0有两个不相等的实根。

求实数k的取值范围。

解析：由二次方程的判别式k = k^2 - 4kk可以得到：(k + 1)^2 - 4 · 2k > 0。

化简得：k^2 + 2k - 7 < 0。

求解不等式得到：-4 < k < 1。

所以实数k的取值范围为(-4, 1)。

2.决心购买一些书籍，价格分别为1元、5元、10元、20元和50元。

若该人购买的书籍数量不少于100本，且总价格不超过500元，求可能的购买方案数。

解析：设购买对应的数量为k_1, k_2, k_3, k_4, k_5，则有如下约束条件：k_1 + 5k_2 + 10k_3 + 20k_4 + 50k_5 ≥ 100k_1 + 5k_2 + 10k_3 + 20k_4 + 50k_5 ≤ 500根据约束条件，我们可以进行暴力枚举法，列出所有可能的情况，最后得出满足条件的购买方案数。

一、 函数、方程与不等式一、函数与方程例1. 已知函数()()20f x ax bx c a =++≠，且()f x x =没有实数根，那么()()f f x x =是否有实数根？并证明你的结论？练习：已知函数2()0f x x px q =++=且(())0f f x =仅有一实根.求证：0,0p q ≥≥.例2. 设()()()4321324f x a x x a x a =++-+-，试证明对任意实数a ,（1）方程()0f x =总有相同实根；（2）存在0x ，恒有()00f x ≠.练习：432()(58)69f x axx a x x a =++-+-.证明：对任意实数a ,存在0x ，（1）总有()00f x =；（2）总有()00f x ≠.例3. 若方程320xax bx c +++=的三个根恰为,,a b c ，且,,a b c 为不全为零的有理数，求实数,,a b c 的值.练习：设,(,),0a b b ∈-∞+∞≠，,,αβγ是三次方程30xax b ++=的三个根，则总以111111,,αββγγα+++为根的三次方程是（ ） A ．232220a x abx b x a ++-= B. 232220b x abx a x b ++-=C.232220a x ab x bx a ++-= D. 232220b x a bx ax b ++-=例4. 设θ是三次多项式()3310f x x x =-+的一个根，且222θθα+-=.若()h x 是一个有理系数的二次多项式，满足条件()h αθ=，则()0h = .例5. 设9k≥，解方程32229270x kx k x k ++++=.例6. 求方程2x x =+++（n 重根）的解.27101x +-=的实根的个数.约)例7. 记函数2()1,1,22!!nn x x f x x n n =+++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅证明：当n 是偶数时，方程()0n f x =没有实根；当n 是奇数时，方程()0n f x =有唯一的实根nθ，且2n n θθ+＞.例8. 已知12,,,a a a∈R ，满足120a a a +++=，且122334201312222a a a a a a a a-=-=-==- .求证：1220130a a a ====.例9. 1为两根的有理系数多项式的次数最小为 . 练习：试求出一个整数系数多项式()110n n n n f x a x a x a--=+++，使得()0f x =二、不等式例10. 实数()()1,2,3,1,2,3i i a i b i ==满足123123a a a b b b ++=++，122331122331a a a a a a bb b b b b ++=++，()()123123min ,,min ,,a a a b b b ≤，求证：{}{}123123max,,max ,,a a a b b b ≤.例11.下列不等式中正确的是（ ）A ．1201617k =<< B ．12011819k =<< C ．1202021k =<< D. 12012223k =<< 练习：求证：313n+++<. 例12. 已知：0,0ab >>，求证：1112a b a ba nb +++<+++.练习：有小于1的正数12,,,n x x x ，且121n x x x +++=.求证：33311221114n nx x x x x x +++>---. 例13. 若正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：111100027a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.练习：已知0,0a b >>，且1a b+=，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.例14. （1）,x y 为实数，且1x y +=，求证：对于任意正整数n ，222112n n n x y -+≥.(2),,a b c 为正实数，求证：3a b cx y z++≥，其中,,x y z 为 ,,a b c 的一种排列. 例15. 设0,0,0a b c ≥≥≥，且3a b c ++≤.证明：22231111112111a b c a b c a b c++≤≤++++++++. 例16. 设12,,,n x x x 都是正数，求证：222211212231n n n n x x x x x x x x x x x -++++≥+++.例17.求()12120111f x x x x =-+-++-的最小值.例18.设函数()1x m f x x +=+，且存在函数1()(,0)2s φt at b t a ==+>≠， 满足2121()t s f t s-+=. （1） 证明：存在函数(s)(0)t φcs d s ==+>，满足2121().s t f s t+-= （2） 设13x =，()1,1,2,n n x f x n +==，证明：1123n n x --≤. 例19. 111()ln ,1,()x n n e f x a a f a x+-===.（1） 求证：10xx e x e -+≥恒成立；（2）试求()f x 的单调区间；（3） 求证：{}n a 为递减数列，且0n a >恒成立.例20. 已知()(1)1xf x x e =--； （1）求证：当0x >时()0f x <；（2）数列{}n x 满足111,1n n x x n x e e x +=-=，求证：数列{}n x 递减且12n nx >二、简单数论与组合杂题一、 整除与同余 例1. 证明：1109|n n a a a a -的充分必要条件是 09|ni i a =∑（其中011,,,,n n a a a a -是十进制数码，110n n a a a a -表示1n +位数码组成8例2. 设m 为非负整数，证明()22157|78m m +++.例3. 是否存在10个正奇数的倒数之和等于1？例4. 证明：任意100个整数中，必有两个整数之差能被99整除. 例5. 求正整数区间[,]()m n m n <中，不能被3整除的数之和. 例6. 求公差是8，由三个质数组成的数列. 例7. 10003在十进制中最后4位是多少？例8.2004818(736)+的个位数是多少？例9. 2005！末尾有连续多少个零？ 例10. 证明：当x 为任何整数时，9753694x x x x -+-可被8640整除.二、不定方程例11. 3个自然数倒数和为1，求所有解. 例12. （1）求三直线160,,02x y y x y +===所围成三角形上的整点个数； （2）求方程组2,1,260y x y x x y <⎧⎪⎪>⎨⎪+=⎪⎩ 的整数解的个数.例13. 证明：方程22317xy -=没有整数解.练习： 证明：当a 为任意整数时，方程223x y a -=有整数解.例14．设,,a b c 为除1以外没有公因数的三个整数，并且111a b c+=. 求证：(),(),()a b a c b c +--都是完全平方数.例15. 在正整数范围内求方程组的解：33323,2().a b c abc a b c ⎧--=⎨=+⎩ 例16． 求出方程!(1)!!n n m +=的全部整数解. 例17. 证明：1的任何正整数次幂均可写成的形式，其中s 为正整数. 例如))2311==三、组合数学例18．用有限多条抛物线以及它们的内部能否覆盖整个平面?（一条抛物线将平面分成两部分区域，其中包含焦点的区域乘坐抛物线的内部.例19. 100个集装箱内有200件货物（每箱两件），运抵某一货场堆放. 但在堆放过程中货物的顺序被完全打乱了，现在希望将货物重新装入集装箱运走，由于货物只有一条传送带，而且作业空间有限，因此采取如下方案：（200件货物已经被排列成某种顺序）每次从传送带上取下一件货物，如果能装进当前的集装箱则装箱；否则将当前的集装箱密封，并使用一个新的集装箱. 已经放过的货物不能再从集装箱取出，密封的集装箱不能再被打开. 在最坏的情况下，一共需要多少个集装箱？证明你的结论.例20．有333人考试，一共做对了1000道题，做对不多于3道为不及格，做对不少于6道为优秀，不是所有人答对的题的数量奇偶性都相同，问不及格的多还是优秀的多？例21．一场跑马比赛最多只能有8匹马参加，假设同一匹马参加每一场比赛的表现都是一样的。

历年《高校自主招生考试》数学真题专题分类解析（共九大专题）目录：专题一：不等式 01～11页专题二：复数、平面向量 12～20页专题三：三角函数 21～27页专题四：创新与综合题 28～33页专题五：概率 34～43页专题六：数列与极限 44～55页专题七：解析几何 56～74页专题八：平面几何 75～83页专题九：排列、组合与二项式定理 84～88页历年《高校自主招生考试》数学真题分类解析专题一：不等式一、选择题。

1．(复旦大学)若实数x满足对任意实数a>0,均有x2<1+a,则x的取值范围是( )A.(-1,1)B.[-1,1]C.(-,)D.不能确定【答案】B【解析】对任意实数a>0,函数f(a)=1+a的值域是(1,+∞),因此只要x2≤1即可.由x2≤1,解得x∈[-1,1].2．(复旦大学)已知点A(-2,0),B(1,0),C(0,1),如果直线y=kx将△ABC分割为两个部分,则当k= 时,这两个部分的面积之积最大. ( )A.-B.-C.-D.-【答案】A【解析】3．(复旦大学)将同时满足不等式x-ky-2≤0(k>0),2x+3y-6≥0,x+6y-10≤0的点(x,y)组成的集合D称为可行域,将函数z=称为目标函数,所谓规划问题就是求解可行域内的点(x,y),使目标函数达到在可行域内的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解,则( ) A.k≥1 B.k≤2 C.k=2 D.k=1【答案】C【解析】可行域如图中阴影部分所示,目标函数z=的几何意义是可行域内的点与点(0,-1)连线的斜率,如果要使其取得最小值的点有无穷多个,则直线x-ky-2=0必过点(0,-1),即k=2.选C. 在解含有参数的平面区域问题时要注意含有参数的直线系的特点,本题的突破点是直线系x-ky-2=0过定点(2,0).4．(复旦大学)设n是一个正整数,则函数y=x+在正实半轴上的最小值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】题中函数为非常规函数,可利用导数求其最值.因为y=x+=x+x-n,所以y'=1-x-n-1=1-,令y'=0得x=1,且函数y在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,故函数y在正实半轴上的最小值为1+=.5．(复旦大学)若对一切实数x,都有|x-5|+|x-7|>a,则实数a的取值范围是( )A.a<12B.a<7C.a<5D.a<2【答案】D【解析】可先求出函数y=|x-5|+|x-7|的最小值,然后根据不等式恒成立的条件求得a的取值范围.由于|x-5|+|x-7|≥|5-7|=2,即函数y=|x-5|+|x-7|的最小值等于2,所以要使|x-5|+|x-7|>a恒成立,应有a<2.6．(2011年清华大学等七校联考)已知向量a=(0,1),b=(-,-),c=(,-),xa+yb+zc=(1,1),则x2+y2+z2的最小值为( )A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】方法二∵xa+yb+zc=(1,1),∴-y+z=1,x-y-z=1,∴-y+z=,y+z=2x-2,∴z=+x-1,y=-+x-1,∴x2+(-+x-1)2+(+x-1)2=3x2-2(+1)x+(+1)2+2(-1)x+(-1)2=3x2-4x++2=3(x2-x+)++2-=3(x-)2+≥,当且仅当x=,z=,y=时等号成立.二、填空题。