天津一中2011—2012高中二年级
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天津一中2011—2012高中二年级 第二学期期末考试数学学科试卷(理科)一、选择题(每小题4分,共32分)1.如果复数()()21m i mi ++是实数,则实数m =( ) A .1 B.-1 C.2 D.-22. 若5522105)1(...)1()1()1(-++-+-+=+x a x a x a a x ,则0a =( )A .32B .1C .-1D .-323.由曲线y =x ,直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为( )A.103 B .4 C.163D .64 函数y=2x 3-3x 2-12x+5在[0,3]上的最大值、最小值分别是 ( ) A .5,-15 B .5,-4 C .-4,-15 D .5,-165.从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( ) A.110 B.310 C.35 D.910 6.已知随机变量ξ+η=8,若ξ~B(10,0.6),则E η,D η分别是( )A .6和2.4B .2和2.4C .2和5.6D .6和5.6 7.已知函数f (x )=ln ln a xx+在[1,+∞]上为减函数,则a 的取值范围是( ) A.10a e<< B.0a e <≤ C.a e ≤ D.a e ≥ 8.有8张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,从中取出6张卡片排成3行2列,要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5,则不同的排法共有( )A .1 344种B .1 248种C .1 056种D . 960种 二、填空题(每小题4分,共24分)9.从分别写有0,1,2,3,4的五张卡片中第一次取出一张卡片,记下数字后放回,再从中取出一张卡片.两次取出的卡片上的数字和恰好等于4的概率是 . 10.某射手射击所得环数ξ的分布列如下:已知ξ的期望E ξ=8.9,则y 的值为 .11. 如图2,A,E 是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4,AD ⊥BC,垂足为D,BE 与AD 相交与点F ,则AF 的长为______12.261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为_________13.若曲线()2f x ax Inx =+存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是 .14.某班要从A ,B ,C ,D ,E 五人中选出三人担任班委中三种不同的职务,则上届任职的A ,B ,C 三人都不连任原职务的方法有________种.三、解答题(共44分)15.旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路,每个旅游团任选其中一条.(1)求3个旅游团选择3条不同的线路的概率(2)求恰有2条线路没有被选择的概率.(3)求选择甲线路旅游团数的期望.16.在一个选拔项目中,每个选手都需要进行4轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答者进入下一轮考核,否则被淘汰,已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56、45、34、13,且各轮问题能否正确回答互不影响.⑴求该选手进入第三轮才被淘汰的概率;⑵求该选手至多进入第三轮考核的概率;⑶该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ,求随机变量X 的分布列和期望.17.甲、乙两人进行某项对抗性游戏,采用“七局四胜”制,即先赢四局者为胜,若甲、乙两人水平相当,且已知甲先赢了前两局,求:(1)乙取胜的概率;(2)比赛进行完七局的概率。
(3)记比赛局数为ξ,求ξ的分布列及数学期望ξE .18.已知函数)0.()1ln()(2≤++=a ax x x f (1)若)(x f 在0=x 处取得极值,求a的值;(2)讨论)(x f 的单调性;(3)证明:e N n e n ,()311)...(8111)(911(*2∈<+++为自然对数的底数)参考答案一.选择题: 1.B2. A3.C4. A5. D6. B7. D8.B二.填空题: 9. 15 10. 0.411.12. -5 13. (,0)-∞ 14. 32种 三.解答题:15. 解:(1)3个旅游团选择3条不同线路的概率为:P 1=834334=A(2)恰有两条线路没有被选择的概率为:P 2=16943222324=⋅⋅A C C (3)设选择甲线路旅游团数为ξ,则ξ=0,1,2,3P (ξ=0)=64274333= P (ξ=1)=6427433213=⋅CP (ξ=2)= 64943313=⋅C P (ξ=3)= 6414333=C ∴ξ的分布列为:∴期望E ξ=0×6427+1×6427+2×649+3×641=43… 16. 设事件(1,2,3,4)i A i =表示“该选手能正确回答第i 轮问题”, 由已知12345431(),(),(),()6543P A P A P A P A ====,⑴设事件B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”,则331212()()()()()P B P A A A P A P A P A ==543116546⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭.⑵设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”, 则123112()()P C P A A A A A A =++1231121515431()()()(1)6656542P A P A A P A A A =++=+⨯+⨯⨯-=; ⑶X 的可能取值为1,2,3,4,11(1)()6P X P A ===,21541(2)()(1)656P X P A A ===⨯-=,3125431(3)()(1)6546P X P A A A ===⨯⨯-=,1235431(4)()6542P X P A A A ===⨯⨯=,所以,()123436662E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.17.解(1)乙取胜有两种情况一是乙连胜四局,其概率1612141=⎪⎭⎫⎝⎛=P 二是第三局到第六局中乙胜三局,第七局乙胜,其概率8121211213342=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=C P ,所以乙胜概率为16321=+P P (2)比赛进行完7局有两种情况。
一是甲胜,第3局到第6局中甲胜一局,第7局甲胜其概率8121211213143=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅=C P二是乙胜,同(1)中第二种情况,8124==P P 所以比赛进行完7局的概率为4143=+P P (3)根据题意,ξ的可能取值为4,5,6,7()()()(),417,412121216,4121215,4121431342122===⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛===⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅===⎪⎭⎫ ⎝⎛==ξξξξP C P C P P所以ξ的分布列为5.547464544=⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE18.解:(1)()()的使x f x a x xx f 0,122=++=' 一个极值点,则 ()0,00=∴='a f ,验证知a=0符合条件……………………(2)()2221212xax ax a x x x f +++=++='1)若a=0时,()+∞∴,0)(在x f 单调递增,在()0,∞-单调递减; 2)若()恒成立,对时,得,当R x x f a a ∈≤'-≤⎩⎨⎧≤∆<0100R x f 在)(∴上单调递减………………………………… 3)若()020012>++>'<<-a x ax x f a 得时,由aa x a a 221111---<<-+-∴再令()可得,0<'x f a a x a a x 221111-+-<--->或上单调递增,在)11,11()(22aa a a x f ----+-∴在上单调递减和),11()11,(22+∞----+--∞aa a a 综上所述,若),()(1+∞-∞-≤在时,x f a 上单调递减,若时,01<<-a 上单调递增,在)11,11()(22a a a a x f ----+-上单调递减和),11()11,(22+∞----+--∞aa a a 。
若()()..................0,0)(0单调递减,单调递增,在在时,∞-+∞=x f a (3)由(2)知,当()单调递减,在时,∞+∞--=)(1x f a 当()0)0()(,0=<+∞∈f x f x 时,由.......................,.........)311)...(8111)(911(21311213113113131......3131)311ln(......)8111ln()911()]311)...(8111)(911ln[()1ln(2122222e e xx n n n n n n =<+++∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++<++++++=+++∴<+∴。