测量金属电导率方法的研究

测量金属电导率方法的研究邵巍徐少春自动化与电子工程学院青岛科技大学环境学院山东省青岛市，266000摘要：通常我们测量金属电导率是通过直接测定金属电阻阻值、金属导线的长度及直径，将结果代入电导率公式，但金属长度、直径的选取不同将导致金属电阻阻值、金属导线的长度及直径测量误差大小不同。

测定金属电导率的一个重要问题，是如何选择最佳的测量方案。

本文从降低电导率函数误差中的函数标准差入手，使函数的标准差为最小，本文严密的推导并证明了金属丝长度、直径的最佳选取值，使得金属电导率公式函数的标准差最小。

关键词：测量金属电导率，最佳测量方案，标准差中图分类号：文献标识码：A Study on the Method of Measuring the Conductivity Metal Xu Shaochun Shao WeiAbstract :Metallic conductivity is usually measured by directing determination of metal resistance, metal wire length and diameter,putting the result back into the conductivity formula, but the different select of the metal length ,diameter and resistance will result in the different measurement error of the metal resistance ,metal wire length and diameter. One important problem of the metal conductivity determination is how to select the best measurement project.Our best started with reducing the function standard deviation of the conductivity function error,making standard deviation of the function to the minimum.It had derivated and proofed the best select of wire length and diameter vigorously,making the standard deviation of the metal conductivity formula to the minimum. Keywords :Measuring the conductivity of metal, the best measurement solution, the standard deviation0 引言测量金属电导率是通过直接测量金属丝的直径和长度及电阻，从而可以计算出金属电导率的大小。

此最佳方案可以用来测量金属的电导率，如何选择最佳方案及将影响测量各个因素降到最低，使得误差最小，对选用该方案测量金属电导率具有重要的意义。

然而金属电导率标准差的误差传递公式比较复杂，通常我们将金属丝长度、直径、电阻的误差传导系数分开讨论，使其各个误差的传递系数等于零或最小，但未考虑各个误差传递系数的联系，从而不仅得不到精确的结论，并且有的时候我们会得出错误的结论。

本文主要是通过使金属电导率误差的标准差最小，从而使得误差达到最小。

1. 金属电导率的测量方法及其标准差已知金属丝长度为l，直径为d，电阻为R，其电阻率用γ表示，金属电导率公式：24ld Rγπ=(1) 分别用游标卡尺和螺旋测微器测量金属丝长度和直径可以得到l d、，用电阻测量仪测量得电阻R。

在测量过程中，因为金属丝长度l，直径d，电阻R三者测量值的随机误差是相互独立的，则有222222l d Rl d Rγγγγσσσσ∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）式中,,,l d Rγσσσσ各为金属丝长度l，直径d，电阻R及待测量---金属电导率γ的标准差，,,l d Rγγγ∂∂∂∂∂∂分别为金属丝长度，直径，电阻的误差传递系数。

从（1）式有24l d R γπ∂=∂ （3）38ld d Rγπ∂=-∂ （4） 224lR d R γπ∂=-∂ （5） 将式子（3）、（4）、（5）代入（2）式可得到2222222322484l d R l l d R d R d R γσσσσπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（6） 2. 最佳测量方案的选择测量金属电导率的最佳方案的选择，使（6）的函数标准差γσ的值最小，即函数的随机误差最小。

金属电导率通常为常数，金属丝长度及直径相对电阻来说易测得，这里我们将（6）式三变量通过公式(1)转变为两个变量方便讨论，即将R 用24ld πγ代替，可得 2222222224l d R d l d l γγγπγσσσσ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （7） 令l d k σσ= （8）则2222224422222416d R k d l d d l lγγγπγσσσ+=+ （9） 即22222422222416d R R k d l d d l lγσπγσγσσ+=+ （10） 设22,d D l L == （11） 将（11）代入（10）可得222222416d R R k D L D DL Lγσπγσγσσ+=+ （12） 由式子（12）得22222222416d d R R R k D L D Lγσσπγσγσσσ=++ （13）由（13）分析， R γσ为常数，所以令222222224(,)16d d R R k D F L D L D Lσσπγσσ=++ （14） 由（14）分析，22d R σσ为常数 ，对于L ，L 越大2y σ越小，我们固定变量L ，要求y σ 的最小值即求22222416d R D D Lσπγσ+的最小值， 令222224()16d R D f D D Lσπγσ=+ （15） 要求函数的最小值，对函数求一次导数， 令'()0f D = 解得2322232d RL D σπγσ=（16）并且有''()0f D >所以2322232d RL D σπγσ=是极小值点，也是最小值点。

结合式子（16）可知当()f D 取得最小值时，D 与L 的关系。

当L 增大时，D 也增大，γσ才可以取得最小值。

将（11）代入（16）可得 222322232d Rl d σπγσ= （17） 结合式子（17）可知γσ取得最小值，l 与d 的选取值的关系。

因此，要使γσ取得最小值，l d 、增大的同时还必须满足关系式222322232d Rl d σπγσ=将（11）、（16）代入（13）可得422222333322 1.89d d R R R k l l γσσσπγγσσσ-⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭（18）由（18）分析知，当l 越大，标准差越小。

例 若不考虑测量中的其它因素（如瞄准误差），测量金属丝长度的最大允许误差∆（最小分度值）为0.02mm ±所以 0.020.0115470.01233l mm mm mm σ∆===≈（19） 用螺旋测微器测得金属丝的直径的标准差为30.01 5.77103d mm mm σ-=≈⨯ （20）由式子（8）得到2.08k = （21） 用电阻测量仪测得金属丝的电阻的标准差为 0.020.0123R σΩ=≈Ω （22） 铜的电阻率为81.7510m M -⨯=⋅Ω 因此铜的电导率为()171/ 5.7110M mγ-==⨯⋅Ω （23） 将（20）、（22）、（23）代入（16）得 418336.1310D m L -=⨯ （24） 即 4228336.1310d m l -=⨯ （25） 将（20）、（21）、（22）、（23）代入（14）可以得到267214221109.2510 5.02101(,)m D F L D L D L m --⎛⎫⨯⨯⨯⎛⎫=++ ⎪ ⎪Ω⋅Ω⎝⎭⎝⎭（26）应用MATLAB 制图得下图 ，从图中可以看出()F D L D 、、三者的关系组成一个三维曲面；当L 趋向0的时候曲面沿()F D 方向无限延伸；当D 变化时，可以看出当满足关系式（24）时，()F D 取得最小值，图中曲线的两侧（沿D 方向），曲面将逐渐上扬。

所以，当L 增大时，并且D 满足（24）时，()F D 取得最小值,最小值为 22866min322.310 1.0410()m m F D D D --⨯⨯⎛⎫=+ ⎪ΩΩ⎝⎭（27） 21263min1311016.98()m m F L L L -⎛⎫⨯⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎪ΩΩ⎝⎭ ⎪⎝⎭（28）（其中min min ()()F D F L =，418336.1310D m L -=⨯），.,()L D F D 图变化与的关系曲面3. 测量方案的比较通常情况下，我们会分析式子（6）中各项的传递函数，可知欲使γσ为最小，必须使各项传递系数最小，即必须满足： （1） 0l =或最小(即0L =或最小)。

（2） 使d 和R 较大。

综上，通常选取长度小直径大的金属导线即用短而粗的导线。

分析比较两种方案如下： 1. 当金属丝的长度固定并设为1m 时，21L m = 本文通过关系式（25）选取直径42.4810m -⨯ 通过关系式（27）可以求得2min ()16.98F D -=Ω 根据（13）可求得()161 2.8210m γσ-=⨯⋅Ω通过情况下，21L m =将代入（26）可得2762142429.2510()110 5.0210m F D D m D -----⨯⎛⎫=⨯Ω++⨯⋅Ω ⎪Ω⎝⎭（29） 通常情况认为直径越大，函数标准差越小，所以我们这里取直径342.4810 2.4810m m --⨯>⨯ 由式子（11）、（29）可得 42() 1.910F D -=⨯Ω 根据式子（13）可得()1729.4110m γσ-=⨯⋅Ω很明显，21γγσσ>。

2. 当金属丝的直径固定并设为3110m -⨯时，根据式子2D d =可得62110D m -=⨯本文通过关系式（25）选取长度为65.89m 通过关系式（28）可以求得2min () 1.04F L -=Ω 根据（13）可求得()163 6.9910m γσ-=⨯⋅Ω通过情况，将62110D m -=⨯代入（26）可 得262110502()0.925m F L L --⨯+⎛⎫=+Ω ⎪Ω⎝⎭（30） 通常我们认为长度越小，函数标准差越小，所以我们这里取长度为165.89l m m =< 代入式子（30）可得2()502.925F D -=Ω代入式子（13）可得()174 1.5410m γσ-=⨯⋅Ω很明显，43γγσσ>。