2019-2020学年江苏省东海县高二下学期期中考试数学试题 Word版

所以，只需
f f
(1)≤0, (2)≤0
即可，即
3 2a 1≤0, 12 4a 1≤0,
解得
a≥1, a≥141
.
综上，当 a≥141 时， f (x) 在区间1, 2 上是单调减函数． ······················
19．解：记 f (x) (2x 1)9 a0 a1x a2x2 a9x9 ，
······················
4分
所以 a1 a2 a3 a9 f (1) a·0·············2······．············
··················
6分
（2）因为 f (x) 29 (2x 1)8 a1 2a2x 3a3x2 9a9x···8····，···········
··········
1分
第二步 排 2 名女生．由于 2 名女生不相邻，可以在每 2 名男生之间及两端共 5 个位置中选出 2 个
排 2 名女生，有 A52 种····排·········法········．··········· 根据分步计数原理，不同的排法种数是
······················
的组合数，即为··········C······6·2····；···········
·······························
6分
第二步 排 4 名男生．将 4 名男生在剩下的 4 个位置上进行排列的方法数有 A44 种．
································ 根据分步计数原理，不同的排法种数是
三、填空题：共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．

2019-2020学年高二第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（x +1）n 的展开式共有11项，则n 等于（ ） A ．9B ．10C ．11D ．82．已知函数f （x ）＝sin x ，其导函数为f '（x ），则f '（π3）＝（ ）A ．−12B ．32C ．12D ．−323．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ） A ．13B ．49C ．12D ．594．在（x +2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（ ） A ．5B ．15C ．10D ．205．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=18πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8 B ．10与2C ．8与10D ．2与106．设n ∈N*，则Cn01n 80+Cn11n ﹣181+C n21n ﹣282+C n31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．27．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ）A．40243B．80243C．110243D．202438．设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+……+a n x n，若a0+a1+a2+a3+……+a n＝64，则展开式中系数最大的项是（）A．15x2B．21x3C．20x3D．30x39．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（）A．18 B．36 C．54 D．7210．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=4912．已知函数f（x）＝xlnx，若0＜x1＜x2，则下列结论正确的是（）A．x2f（x1）＜x1f（x2）B．x1+f（x1）＜x2+f（x2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．函数在f （x ）＝﹣x +1x在[1，2]上的最大值是 ．14．随机变量ξ服从正态分布N （1，σ2），已知P （ξ＜0）＝0.3，则P （ξ＜2）＝ ．15．设（1+ax ）2020＝a 0+a 1x +a 2x 2+……+a 2019x 2019+a 2020x 2020，若a 1+2a 2+3a 3+…+2019a 2019+2020a 2020＝2020a ，则实数a ＝ ．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 种．（以数字作答）四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影． （1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？ （2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X 表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．19．在（x+2）10的展开式中，求：（1）含x8项的系数；（2）如果第3r项和第r+2项的二项式系数相等，求r的值，20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．（1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的概率分布．（2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y元，求Y的概率分布及期望．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.82822．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．参考答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（x+1）n的展开式共有11项，则n等于（）A．9 B．10 C．11 D．8【分析】直接利用二项式定理的性质写出结果即可．解：因为（x+1）n的展开式共有11项，则n+1＝11⇒n＝10；故选：B．【点评】本题考查二项式定理的简单性质的应用，基本知识的考查．2．已知函数f（x）＝sin x，其导函数为f'（x），则f'（π3）＝（）A．−12B．32C．12D．−32【分析】可以求出导函数f′（x）＝cos x，从而可得出f′(π3)的值．解：∵f（x）＝sin x，∴f′（x）＝cos x，∴f′(π3)=cosπ3=12．故选：C．【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．3．从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（）A．13B．49C．12D．59【分析】基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．由此能求出这个两位数是偶数的概率．解：从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，基本事件总数n＝3×3＝9，这个两位数是偶数包含的基本事件个数m＝1×3+1×2＝5．∴这个两位数是偶数的概率为p=mn=59．故选：D．【点评】本题主要考查概率的求法，考查古典概型计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．4．在（x+2）5的展开式中，二项式系数的最大值为（）A．5 B．15 C．10 D．20【分析】展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大，故第3，4项的二项式系数最大，问题得以解决．解：展开式中共有6项，根据展开式中间两项的二项式系数最大故第3，4项的二项式系数最大，故C52＝C53＝10，故选：C．【点评】本题主要考查二项式系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具，属于基础题． 5．已知正态密度曲线的函数关系式是f （x ）=2πσe (x−μ)22σ2，设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f （x ）的图象，且f （x ）=8πe (x−10)28（x ∈R ），则这个正态总体的平均数μ与标准差σ分别是（ ） A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10【分析】把已知函数解析式转化为正态密度曲线的函数关系式求解．解：∵f （x ）=18πe (x−10)28=22π(x−10)22×22，∴平均数μ＝10，标准差σ＝2． 故选：B ．【点评】本题考查正态密度曲线的函数，是基础题． 6．设n ∈N*，则Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n 除以9的余数为（ ）A ．0B ．8C ．7D ．2【分析】直接利用二项式定理把条件转化即可求解结论． 解：因为Cn 01n 80+C n 11n ﹣181+C n 21n ﹣282+C n 31n ﹣383+……+C nn−1118n ﹣1+Cnn 108n ＝（1+8）n ＝9n ； 故除以9的余数为0； 故选：A ．【点评】本题考查余数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意组合数性质及二项式定理的合理运用．7．在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是23，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ） A ．40243B ．80243C ．110243D ．20243【分析】由条件利用n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，计算求得结果． 解：根据每次比赛中，甲胜运动员乙的概率是23，故在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是C 53•(23)3•(1−23)2=80243， 故选：B ．【点评】本题主要考查n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率计算公式，属于基础题． 8．设（1+x ）n ＝a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+……+a n x n ，若a 0+a 1+a 2+a 3+……+a n ＝64，则展开式中系数最大的项是（ ） A ．15x 2B ．21x 3C ．20x 3D ．30x 3【分析】由题意可得 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6，由此求得展开式中系数最大的项．解：因为 a 0+a 1+a 2+…+a n ＝（1+1）n ＝64，得 n ＝6， 故展开式中系数最大的项是第四项；即∁63x 3＝20x 3；故选：C ．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，属于中档题． 9．某旅游公司为了推出新的旅游产品项目，派出五名工作人员前往重庆的三个网红景点一“洪崖洞夜景、轻轨穿楼、长江索道”进行团队游的可行性调研．若每名工作人员只去一个景点，每个景点至少有一名工作人员前往，其中工作员甲、乙需要到同一景点调研，则不同的人员分配方案种数为（ ） A ．18B ．36C ．54D ．72【分析】根据分步计数原理，把2元素组合一个复合元素，再进行组合和分配，问题得以解决．解：由于工作员甲、乙需要到同一景点调研，把A，B看作一个复合元素，则本题等价于4个元素分配到3个位置，每一个位置至少一个，故有C42A33＝36种，故选：B．【点评】本题考查了排列组合混合问题，先选后排是最基本的思想．10．设函数f(x)=ax+xx−1(x＞1)，若a是从1，2，3三数中任取一个，b是从2，3，4，5四数中任取一个，那么f（x）＞b恒成立的概率为（）A．16B．14C．34D．56【分析】先把f（x）的解析式变形，用分离常数法，然后用均值不等式求出最小值，本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件是12个，满足条件的事件是10个，列举出结果．解：x＞1，a＞0，f（x）＝ax+x−1+1x−1=ax+1x−1+1＝a（x﹣1）+1x−1+1+a≥2√a+1+a＝（√a+1）2，当且仅当x=√1a+1＞1时，取“＝”，∴f（x）min＝（√a+1）2，于是f（x）＞b恒成立就转化为（√a+1）2＞b成立．设事件A：“f（x）＞b恒成立”，则基本事件总数为12个，即（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）共10个由古典概型得P（A）=1012=56，故选：D．【点评】在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数；当解析式中含有分式，且分子分母是齐次的，注意运用分离常数法来进行式子的变形，在使用均值不等式应注意一定，二正，三相等．二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分）11．若随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）A．P（X＝1）＝E（X）B．E（3X+2）＝4C．D（3X+2）＝4 D．D(X)=49【分析】推丑陋同P（X＝1）=23从而E（X）=0×13+1×23=23，D（X）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，由此能过河卒子同结果．解：随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=13，∴P（X＝1）=23，E （X ）=0×13+1×23=23，D （X ）＝（0−23）2×13+（1−23）2×23=29，在A 中，P （X ＝1）＝E （X ），故A 正确；在B 中，E （3X +2）＝3E （X ）+2＝3×23+2=4，故B 正确；在C 中，D （3X +2）＝9D （X ）＝9×29=2，故C 错误； 在D 中，D （X ）=29，故D 错误． 故选：AB ．【点评】本题考查命题真假的判断，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12．已知函数f （x ）＝xlnx ，若0＜x 1＜x 2，则下列结论正确的是（ ） A ．x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）B ．x 1+f （x 1）＜x 2+f （x 2）C ．f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0D ．当lnx ＞﹣1时，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞2x 2f （x 1）【分析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可． 解：A ．正确；因为令g （x ）=f(x)x=lnx ，在（0，+∞）上是增函数，∴当 0＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2），∴f(x 1)x 1＜f(x 2)x 2即x 2f （x 1）＜x 1f （x 2）．B ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）+x ＝xlnx +x ∴g ′（x ）＝lnx +2，∴x ∈（e ﹣2，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）单调递增，x ∈（0，e ﹣2）时，g ′（x ）＜0，g （x ）单调递减．∴x 1+f （x 1）与x 2+f （x 2）无法比较大小．C ．错误；因为令g （x ）＝f （x ）﹣x ＝xlnx ﹣x ，g ′（x ）＝lnx ，∴x ∈（0，1）时，g ′（x ）＜0，g （x ）在（0，1）单调递减，x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）单调递增，∴当0＜x 1＜x 2＜1时，g （x 1）＞g （x 2）， ∴f （x 1）﹣x 1＞f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＞x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0．当1＜x 1＜x 2 时，g （x 1）＜g （x 2） ∴f （x 1）﹣x 1＜f （x 2）﹣x 2， ∴f （x 1）﹣f （x 2）＜x 1﹣x 2， ∴f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0．D．正确；因为lnx＞﹣1时，f（x）单调递增，又∵A正确，∴x1•f（x1）+x2•f（x2）﹣2x2f（x1）＞x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]＝（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0．故选：AD．【点评】本题主要考查命题的真假判断，在求解中用到了利用导数判断函数的单调性，并用到了函数单调性的定义．需要学习掌握的是构造函数的办法，综合性较强，有一定的难度．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在[1，2]上的最大值是0 ．13．函数在f（x）＝﹣x+1x【分析】先求导数，得单调性，进而得出最大值．＜0，解：因为f′（x）＝﹣1−1x2所以f（x）在[1，2]上单调递减，f（x）max＝f（1）＝﹣1+1＝0，故答案为：0．【点评】本题考查利用导数求单调性进而得出最大值．14．随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝0.7 ．【分析】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x＝1对称，根据曲线的对称性得到小于0的和大于2的概率是相等的，从而做出大于2的数据的概率，根据概率的性质得到结果．解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x＝1对称，∴P（ξ＜0）＝P（ξ＞2）＝0.3，∴P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7，故答案为：0.7【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题，这种题目可以出现在选择或填空中，是一个送分题目．15．设（1+ax）2020＝a0+a1x+a2x2+……+a2019x2019+a2020x2020，若a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，则实数a＝0 ．【分析】结合所求式子与已知的式子特点，可以对原函数求导数，然后利用赋值法求解即可．解：对已知的式子两边同时求导数可得：2020a（1+ax）2019=a1+2a2x+3a3x2+⋯+2020a2020x2019，令x＝1则：2020a（1+ax）2019＝a1+2a2+3a3+…+2020a2020，又因为：a1+2a2+3a3+…+2019a2019+2020a2020＝2020a，所以（1+a）2019＝1，所以a＝0．故答案为：0．【点评】本题考查二项式定理的系数的性质、赋值法的应用．同时考查了学生的运算能力，属于基础题．16．在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由于Grace年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处，那么不同的搜寻方案有 40 种．（以数字作答）【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、Grace 不参与该项任务，需一位小孩在大本营陪同，则其余4人被均分成两组，一组去远处，一组去近处；②、Grace 参与该项任务，则从其余5人中选2人去近处，剩余3人搜寻远处，分别求出每种情况的方案数目；由分类计数原理计算可得答案． 解：根据题意，分2种情况讨论： ①、Grace 不参与该项任务，在其余5人中，任选1人在大本营陪同，有C 51＝5种情况， 剩余4人，平均分成2组，有C 42C 22A 22=3种分组方法，在将2组对应2个地点，有A 22＝2种情况，此时一共有5×3×2＝30种方案； ②、Grace 参与该项任务，在其余5人中，任选2人与Grace 一起搜寻近处投掷点的食物，有C 52＝10种情况， 而剩余3人搜寻远处投掷点的食物，有1种情况， 则此时一共有10×1＝10种方案；则一共有30+10＝40种符合题意的分配方案； 故答案为：40．【点评】本题考查排列、组合的运用，要先认真分析题意，注意2种方案参与的人数不同．四、解答题（本大题共6小题，共计70分） 17．有4名学生和2位老师站成一排合影．（1）若2位老师相邻，则排法种数为多少？（2）若2位老师不相邻，则排法种数为多少？【分析】（1）2位老师站在一起，可以采取绑定法计数，先绑定2位老师，再将2者看作一人与4名学生进行全排列；（2）2位老师互不相邻，可先排4名学生，然后把2位老师插空，最后用乘法原理计数．解：（1）先把2位老师“捆绑”看做1元素，与其余4个元素进行排列，再对2位老师进行排列，共有A22A55＝240种，（2）先让4名学生站好，有A44种排法，这时有5个“空隙”可供2位老师选取，共有A44A52＝480种．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是熟练掌握计数原理及排列组合的公式，掌握一些特殊的计数技巧，如本题中绑定法，插空法．要注意每种方法与相应问题的对应．18．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立，设随机变量X表示这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X0123P13a b136（1）求a，b的值；（2）求X的数学期望．【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出a，利用对立事件概率计算公式能求出b．（2）由离散型随机变量的分布列能求出数学期望E（X）．解：（1）∵甲、乙做对该题的概率都为13，丙做对该题的概率为14，且三位学生能否做对相互独立， ∴a =13×(1−13)×(1−14)+(1−13)×13×(1−14)+(1−13)×(1−13)×14=49， b ＝1﹣P （X ＝0）﹣P （X ＝1）﹣P （X ＝3）＝1−13−49−136=736．（2）E （X ）=0×13+1×49+2×736+3×136=1112． 【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．在（x +2）10的展开式中，求： （1）含x 8项的系数；（2）如果第3r 项和第r +2项的二项式系数相等，求r 的值， 【分析】先求出展开式的通项．（1）令通项中x 的指数为8，求出k 的值即可； （2）写出该两项的二项式系数，令其相等，求出r 的值． 解：（1）二项式展开式的通项如下：T r+1=C 10r 2r x 10−r ，由已知令10﹣r ＝8， 所以r ＝2．所以含x 8项的系数为C 10222=180．（2）第3r 项与第r +2项的二项式系数相等， 则C 103r−1=C 10r+1，即3r ﹣1＝r +1或3r ﹣1+r +1＝10． 解得r ＝1或r =52（舍）．故r 的值为1．【点评】本题考查二项式展开式系数的性质，利用通项法研究特定项的问题，同时考查学生的化简运算能力．属于基础题．20．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品． （1）顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的概率分布． （2）顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的概率分布及期望．【分析】（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列．（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖，由此利用互斥事件概率加法公式能求出顾客乙中奖的概率．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖），Y 的可能取值为0，10，20，50，60，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量Y 的概率分布列和数学期望．解：（1）抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况， 1表示中奖，0表示不中奖，则X 的取值只有0，1两种，P （X ＝0）=C 61C 101=35，P （X ＝1）=C 41C 101=25，∴X 的分布列为：X1P3525（2）①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券有1张中奖和2张都中奖， ∴顾客乙中奖的概率为：P =C 41C 61+C 42C 102=23．②顾客乙所抽取的2张奖券中有0张中奖，1张中奖（1张1等奖或1张2等奖）或2张都中奖（2张二等奖或2张1等奖或1张2等奖1张2等奖）， ∴Y 的可能取值为0，10，20，50，60，P （Y ＝0）=C 62C 102=13， P （Y ＝10）=C 41C 61C 102=25，P （Y ＝20）=C 32C 102=115， P （Y ＝50）=C 11C 61C 102=215， P （Y ＝60）=C 11C 31C 102=115，∴随机变量Y 的概率分布列为：Y 010205060P1325115215115EY =0×13+10×25+20×115+50×215+60×115=16（元）．【点评】本题考查概率的求法，考查离离散型随机变量的数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考﹣﹣如何做一个文明的乘客．全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范．A 社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图．（Ⅰ）求得分在[70，80）上的频率；（Ⅱ）求A社区居民问卷调査的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）由于部分居民认为此项学习不具有必要性，A社区委员会对社区居民的学习态度作调查，所得结果统计如下：（表中数据单位：人）认为此项学习十分必要认为此项学习不必要50岁以上400600 50岁及50岁以下800200根据上述数据，计算是否有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.1000.0500.0100.001 k0 2.706 3.841 6.63510.828【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图计算所求的频率值；（Ⅱ）利用各组的中间值与对应的频率乘积的和，计算平均分；（Ⅲ）根据2×2列联表计算观测值，对照临界值得出结论．解：（Ⅰ）由频率分布直方图，计算得分在[70，80）上的频率为1﹣0.1﹣0.15﹣0.2﹣0.15﹣0.1＝0.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知各组的中间值与对应的频率如下表，中间值455565758595频率0.10.150.20.30.150.1计算问卷调査的平均得分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1＝70.5；（Ⅲ）根据2×2列联表，认为此项学习十分必要认为此项学习不必要合计50岁以上400600100050岁及50岁以下8002001000总计12008002000计算K2=2000×(400×200−600×800)21000×1000×1200×800≈333.333＞10.828，所以有99.9%的把握认为居民的学习态度与年龄相关．【点评】本题考查了频率分布直方图和样本数字特征的应用问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．22．已知函数f（x）＝（ax2+x+a）e﹣x（a∈一、选择题）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a≥0，求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若对任意的a≤0，f（x）≤bln（x+1）在x∈[0，+∞）上恒成立，求实数b的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x），可得f′（0）＝1，f（0）＝0，即可得出切线方程．（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．对a分类讨论：a＝0，a＞0，即可得出．（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x．可得g（a）≤bln（x+1）对∀a ∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g（0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立，对b分类讨论，利用单调性即可得出．解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝x•e﹣x，∴f′（x）＝e﹣x﹣x•e﹣x＝e﹣x（1﹣x）……（1分）∴f′（0）＝1，f（0）＝0，∴函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x．……（Ⅱ）由题意，f'（x）＝（2ax+1）e﹣x﹣（ax2+x+a）e﹣x＝﹣e﹣x[ax2+（1﹣2a）x+a ﹣1]＝﹣e﹣x（x﹣1）（ax+1﹣a）．……（ⅰ）当a＝0时，f'（x）＝﹣e﹣x（x﹣1），令f'（x）＞0，得x＜1；f'（x）＜0，得x＞1，所以f（x）在（﹣∞，1）单调递增，（1，+∞）单调递减；……（ⅱ）当a＞0时，1−1a＜1，令f'（x）＞0，得1−1a ＜x＜1；f'（x）＜0，得x＜1−1a或x＞1，……所以f（x）在(1−1a ，1)单调递增，在(−∞，1−1a)，（1，+∞）单调递减，………（Ⅲ）令g（a）＝e﹣x（x2+1）a+xe﹣x，a∈（﹣∞，0]，当x∈[0，+∞）时，e﹣x（x2+1）≥0，g（a）单调递增，则g(a)max=g(0)=xe−x，………………则g（a）≤bln（x+1）对∀a∈（﹣∞，0]恒成立等价于bln（x+1）≥g（a）max＝g （0），即xe﹣x≤bln（x+1），对x∈[0，+∞）恒成立．………（ⅰ）当b≤0时，∀x∈（0，+∞），bln（x+1）＜0，xe﹣x＞0，此时xe﹣x＞bln（x+1），不合题意，舍去．…………（ⅱ）当b＞0时，令h（x）＝bln（x+1）﹣xe﹣x，x∈[0，+∞），则h′(x)=bx+1−(e−x−xe−x)=bex+x2−1(x+1)e x，……其中（x+1）e x＞0，∀x∈[0，+∞），令p（x）＝be x+x2﹣1，x∈[0，+∞），则p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，……①当b≥1时，p（x）≥p（0）＝b﹣1≥0，所以对∀x∈[0，+∞），h'（x）≥0，则h（x）在[0，+∞）上单调递增，故对任意x∈[0，+∞），h（x）≥h（0）＝0，即不等式bln（x+1）≥xe﹣x在[0，+∞）上恒成立，满足题意．…………②当0＜b＜1时，由p（0）＝b﹣1＜0，p（1）＝be＞0及p（x）在区间[0，+∞）上单调递增，所以存在唯一的x0∈（0，1）使得p（x0）＝0，且x∈（0，x0）时，p（x）＜0．即h'（x）＜0，所以h（x）在区间（0，x0）上单调递减，则x∈（0，x0）时，h（x）＜h（0）＝0，即bln（x+1）＜xe﹣x，不符合题意．……综上所述，b≥1．…………【点评】本题考查了利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查学生的运算推理能力，属于难题．。

期中数学试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={0，1，2，3}，B={-1，0，2}，则A∩B=______2.已知复数z满足z=1+2i，则|z|=______．3.将下列三句话按“三段论”模式排列，正确的序号顺序是______．①铁能导电；②所有的金属都能导电；③铁是金属．4.函数f（x）=的定义域为______．5.设a=0.32，b=20.3，c=log2，将a，b，c用“＞”连接起来为______．6.计算：log327-e ln2+0.125=______．7.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是单调增函数，若f（a+1）+f（2a）＞0，则实数a的取值范围是______．8.若曲线|y|=2-x+2与直线y=b没有公共点，则实数b的取值范围是______．9.在直角坐标系xOy中，AB是圆O的弦，M是AB中点，若AB，OM都存在非零斜率k AB，k OM，则k AB•k OM=-1．类比于圆，在直角坐标系xOy中，AB是椭圆=1（a＞b＞0）的弦，M是AB中点，若AB，OM都存在非零斜率k AB，k OM，则k AB•k OM=______．10.若函数f（x）=x|x-a|（a＞0）在区间[2，4]上单调递减，则实数a的值是______．11.已知函数f（x）=，g（x）=+m，∀x1∈（0，3]，∃x2∈[-1，2]，使得f（x1）＜g（x2），则实数m的取值范围是______．12.若f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x-1）是偶函数，则f（1）+f（2）+f（3）=______．13.观察下列算式：1=13，3+5=23，7+9+11=33，13+15+17+19=43，……111+113+115++m=n3，则m+n=______．14.已知函数f（x）=，若方程f（x）=-x-a有两个不同实根，则实数a的取值范围为______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.设设集合A={x|（x-a）2＜1}，B={x|log0.5（3-x）≥-2}（1）当a=3时，求A∩B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．16.已知函数f（x）=4x-2x+1+c（其中c是常数）．（1）若当x∈[0，1]时，恒有f（x）＜0成立，求实数c的取值范围；（2）若存在x0∈[0，1]，使f（x0）＜0成立，求实数c的取值范围．17.用分析法或综合法证明：（1）求证：2-＞；（2）设a＞0，求证：a2≥a+．18.设函数f（x）=a x-（k+2）a-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求实数k的值；（2）若f（1）=，g（x）=a2x+a-2x-2mf（x），且g（x）在[1，+∞）上的最小值为1，求实数m的值．19.学生人均课外学习时间是指单日内学生不在教室内的平均学习时间．某校高中学生群体G有走读生和住校生两种，调查显示：当群体G中x% （0＜x＜100）的学生为走读生时，走读生的人均课外学习时间（单位分钟）为f（x）=，而住校生的人均课外学习时间恒为40分钟，试根据上述调查结果回答下列问题：（1）当x为何值时，住校生的人均课外学习时间等于走读生的课外人均学习时间？（2）求该校高中学生群体G的人均课外学习时间g（x）的表达式，并求g（x）的最小值．20.已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-2x+2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[m，n]时，f（x）的取值范围为[2m，2n]，试求实数m，n的值．答案和解析1.【答案】{0，2}【解析】解：∵A={0，1，2，3}，B={-1，0，2}；∴A∩B={0，2}．故答案为：{0，2}．进行交集的运算即可．考查列举法表示集合的定义，以及交集的运算．2.【答案】【解析】解：∵复数z满足z=1+2i，∴|z|==．故答案为：．利用复数的模的性质直接求解．本题考查复数的模的求法，考查复数的模的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】②③①【解析】解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：③铁是金属是“小前提”；②所有的金属都能导电是“大前提”；①铁能导电是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②③①，故答案为：②③①．根据三段论”的排列模式：“大前提”→“小前提”⇒“结论”，分析即可得到正确的次序．本题考查的知识点是演绎推理的基本方法：大前提一定是一个一般性的结论，小前提表示从属关系，结论是特殊性结论．4.【答案】（0，4]【解析】解：由2-log2x≥0，得log2x≤2，解得0＜x≤4．∴函数f（x）=的定义域为（0，4]．故答案为：（0，4]．由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案．本题考查函数的定义域及其求法，考查了对数不等式的解法，是基础题．5.【答案】c＞b＞a【解析】解：∵a=0.32=0.09，20=1＜b=20.3＜21=2，c=log2=2，∴将a，b，c用“＞”连接起来为c＞b＞a．故答案为：c＞b＞a．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．6.【答案】5【解析】解：log327-e ln2+0.125=3-2+4=5．故答案为：5．利用指数、对数的性质、运算求则直接求解．本题考查指数式、对数式化简的求值，考查指数、对数的性质、运算求则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】（-）【解析】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞）上是单调增函数；∴f（x）在R上单调递增；又f（a+1）+f（2a）＞0；∴f（a+1）＞-f（2a）；∴f（a+1）＞f（-2a）；∴a+1＞-2a；∴；∴实数a的取值范围是．故答案为：．据题意即可得出f（x）在R上单调递增，且得出f（a+1）＞f（-2a），从而得出a+1＞-2a，解出a的范围即可．考查奇函数的概念，奇函数在对称区间上的单调性特点，以及增函数的定义．8.【答案】[-2，2]【解析】解：|y|=2-x+2，由2-x＞0，可得y＞2或y＜-2，作出曲线|y|=2-x+2，可得-2≤b≤2时，曲线与直线y=b无公共点，故答案为：[-2，2]．由指数函数的值域可得y＞2或y＜-2，作出曲线|y|=2-x+2与直线y=b，即可得到所求范围．本题考查曲线与直线的位置关系，考查数形结合思想，属于基础题．9.【答案】-【解析】解：依题意，对于圆O，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）圆的方程为x2+y2=r2，则，且x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，则①-②得，==-1=k•k，则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，又，所以==-=k AB•k OM．故答案为：-．对于圆O，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）圆的方程为x2+y2=r2，则，且x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，则①-②得，==-1=k AB•k OM，所以在椭圆中，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，又，所以==-．本题考查了类比推理，考查了点差法求斜率的乘积．属于中档题．10.【答案】4【解析】解：由题意，可知：去掉绝对值，可得：f（x）=，整理，可得：f（x）=．则f（x）的图象如下：由图象可知：f（x）在区间[，a]上单调递减．本题先对函数f（x）去掉绝对值，然后画出f（x）的图象，根据图象分析可得a的值．本题主要考查将绝对值函数转化为分段函数，然后画出分段函数的图象，利用数形结合法得出结果，本题属基础题．11.【答案】【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．∀x1∈（0，3]，∃x2∈[-1，2]，使得f（x1）＜g（x2），可得f（x1）max＜g（x2）max，x∈[-1，2]．利用以及函数f（x），g（x）的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：∀x1∈（0，3]，∃x2∈[-1，2]，使得f（x1）＜g（x2），∴f（x1）max＜g（x2）max，函数，x∈（0，3]，f′（x）=，可得x=e时函数f（x）取得极大值即最大值，∴f（x1）max=f（e）=．函数，x∈[-1，2]，g′（x）=x2-x=x（x-1），易知在和上递增，在上递减，所以x=0时，函数g（x）取得极大值，g（0）=m．又g（2）==+m．可得：g（x）max=+m．∵f（x1）max＜g（x）max，∴＜+m，解得m＞-．∴m的取值范围为：．故答案为：．12.【答案】0【解析】解：∵f（x-1）是偶函数；∴f（-x-1）=f（x-1），且f（x）是R上的奇函数；∴f（0）=f（-2）=-f（2）=0，f（-3）=f（1）=-f（3）；∴f（1）+f（2）+f（3）=0．故答案为：0．根据f（x-1）是偶函数即可得出f（-x-1）=f（x-1），并且根据f（x）是R上的奇函数可得f（0）=0，从而得出f（2）=0，f（3）=-f（1），从而得出f（1）+f（2）+f（3）=0．考查奇函数、偶函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0．【解析】解：观察各个等式左侧，第n个奇数之和，分析各行的第一个奇数依次为1，3，7，13，21，…进一步可写成0+1，2+1，6+1，12+1，20+1，…即0×1+1，1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，…故可猜想第n行左边第一个奇数为（n-1）n+1，进而后续奇数依次为：（n-1）n+3，（n-1）n+5，…，（n-1）n+（2n-1）．由于第n行第一个数为111，即：111=（n-1）n+1，解得n=11，可得：m=（11-1）×11+（2×11-1）=131，可得：m+n=131+11=142．故答案为：142．观察已知等式的规律，可猜想第n行左边第一个奇数为（n-1）n+1，后续奇数依次为：（n-1）n+3，（n-1）n+5，…，（n-1）n+（2n-1），由第n行第一个数为111，即：111=（n-1）n+1，解得n=11，可得：m=（11-1）×11+（2×11-1）=131，即可得解．本题主要考查了归纳与推理，猜想第n行左边第一个奇数为（n-1）n+1，进而后续奇数依次为：（n-1）n+3，（n-1）n+5，…，（n-1）n+（2n-1）是解题的关键，属于中档题．14.【答案】（-1，+∞）【解析】解：当x＞0时，y=2x-1，画出x＞0时的图象，当-1≤x＜0时，f（x）=f（x+1）=2x+1-1，当-2≤x＜-1时，f（x）=f（x+1）=2x+2-1，…作出y=f（x）的图象，方程f（x）=-x-a有两个不同实根，即为y=f（x）和直线y=-x-a有两个交点，由直线经过点（0，1）可得a=-1；直线经过原点时，a=0；直线经过（-1，0），可得a=1，…由于图象不过（0，1），（-1，1），（-2，1），…，可得a＞-1时，y=f（x）和直线y=-x-a有两个交点，故答案为：（-1，+∞）．求得当-1≤x＜0时，当-2≤x＜-1时的解析式，作出y=f（x）的图象，结合直线y=-x-a的平移，即可得到所求a的范围．本题考查分段函数的图象和性质，考查函数方程的转化思想，以及数形结合思想，属于中档题．15.【答案】解：集合A={x|（x-a）2＜1}={x|a-1＜x＜a+1}，当a=3时，A=（x|2＜x＜4}，B={x|log0.5（3-x）≥-2}={x|0＜3-x≤4}={x|-1≤x＜3 }所以A∩B={x|2＜x＜3}（2）由（1）知：A={x|a-1＜x＜a+1}A⊆B，所以：a+1≤3，a-1≥-1；同时成立．解得：0≤a≤2，实数a的取值范围{a|0≤a≤2}【解析】（1）根据集合的基本运算即可求a=3时A∩B；（2）根据A⊆B，建立条件关系即可求实数a的取值范围．令g（t）=t2-2t+c=f（x），是开口向上对称轴为t=1的二次函数．（1）当x∈[0，1]时，恒有f（x）＜0成立⇔t∈[1，2]时，恒有g（t）＜0成立⇔g（2）=c＜0⇔c∈（-∞，0）．（2）存在x0∈[0，1]，使f（x0）＜0成立⇔存在t0∈[1，2]，使g（t0）＜0成立⇔g（1）=-1+c＜0⇔c∈（-∞，1）．【解析】f（x）的解析式中暗含其为二次函数与指数函数的复合，所以先用换元法将问题转化为二次函数的恒成立和存在性问题，再利用二次函数的性质解答问题．首先需要发现f（x）中暗含的复合函数．对于复合函数的问题，用换元法来解答是非常方便的．17.【答案】证明：（1）要证2-＞-，即证2+＞+，即为9+4＞9+2，即为2＞，即20＞18，上式显然成立，以上均可逆，则2-＞-；（2）要证a2≥a+，由a＞0，只要证a4+1≥a3+a，即证a4-a3+1-a≥0，即证（a3-1）（a-1）≥0，只要证（a-1）2（a2+a+1）≥0，由a＞0，可得（a-1）2（a2+a+1）≥0，成立，则a＞0，a2≥a+．【解析】（1）运用分析法证明，考虑移项两边平方，即可得证；（2）运用分析法，考虑去分母和因式分解，由条件和不等式的性质，即可得证．本题考查不等式的证明，注意运用分析法证明，考查化简变形能力和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）因为f（x）是定义域为R的奇函数，所以f（0）=1-（k+2）=0⇒k=-1，当k=-1时，f（x）=a x-a-x，对任意的x∈R，f（-x）=a-x-a x=-（a x-a-x）=-f（x），所以f（x）是R上的奇函数．（2）f（1）=a-=⇔2a2-3a-2=0⇒a=2或a=-（舍）．所以g（x）=22x+2-2x-2m（2x-2-x），令t=2x-2-x，则t关于x单调递增，x≥1⇒t≥，又2x-2-x＞2x-1，所以t∈[，+∞）．22x+2-2x=（2x-2-x）2+2=t2+2，所以g（x）=t2-2mt+2是关于t的开口向上、对称轴为t=m 的二次函数．i．当m＜时，g（x）在t=时取最小值-3m+2=1⇒m=＜；ii．当m≥时，g（x）在t=m时取最小值m2-2m2+2=1⇒m=±1（舍去）．综上m=．这是一道基础的函数最值问题，（1）考察了函数的奇偶性，（2）则需要用换元法，并且考察了二次函数的性质．19.【答案】解：（1）因走读生的人均课外学习时间为f（x）=，由于住校生的人均课外学习时间等于走读生的课外人均学习时间，故40=2x+-90（x∈（30，100），则（x-20（x-45）=0，得x=45，所以当x=45时，两类学生的课外学习时间相等；（2）由题意可得g（x）==，当0＜x≤30时，g（x）单调递减，最小值是37，所以当30＜x＜100时，x2-x+58=（x-）2+，所以当x=时，g（x）min=，因为＜37，所以g（x）min=，答：当x=45时，两类学生的课外学习时间相等，g（x）的最小值为，【解析】（1）因为住校生的人均课外学习时间恒为40分钟，由分段函数f（x）=，可计算40=2x+-90（x∈（30，100），从而得到答案．（2）由题意可得g（x）=，求g（x）的分段表达式的最小值进行比较，可得求g（x）的最小值．本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（1）设x＜0，则-x＞0，因为f（x）是偶函数，∴f（x）=f（-x）=x2+2x+2，∴f（x）=，（2）∵函数f（x）的值域为[1，+∞），显然有2m≥1，即m≥，①当时，f（x）单调递减，此时，∴m2=n2，显然不成立，f（x）min=f（1）=1=2m，f（m）=，f（n）=n2-2n+2，若，即（舍），若f（x）max=f（n），即2n=n2-2n+2，n =或（舍），∴，n =；③当1＜m＜n时，f（x）单调递增，此时，∴（舍）；综上，，．【解析】（1）运用偶函数的定义，可得x＜0的解析式，即可得到所求f（x）的解析式；（2）分①②③1＜m＜n，三种情况讨论f（x）的单调性，然后根据条件列不等式求解．本题考查分段函数的图象和性质，主要是单调区间和奇偶性，考查数形结合思想和方程思想，属中档题．第11页，共11页。

姓名，年级：时间：邗江中学2019-2020学年度第二学期期中考试高二数学试卷（考试时间：120分钟 总分:150分)一、单项选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．函数f (x ）＝x 2﹣sin x 在［0，π］上的平均变化率为( ）A ．1B ．2C ．πD ．π2 2．复数z 满足z =2i 1−i ，则复数z 的虚部为( )A ．﹣1B ．1C ．iD ．﹣i3．已知随机变量X 服从正态分布N （1，4），若P （X ≥2）＝0。

2，则P （0≤X ≤1）为（ ）A ．0。

2B ．0.3C ．0。

4D ．0.6 4．已知C n+17−C n 7=C n 8（n ∈N ＊）,则n 等于（ )A ．14B ．12C ．13D ．155．已知f （x ）＝x •sin2x ,则)2(πf '为（ ） A ．﹣πB ．−π2C ．π2D ．π 6．二项式（√x +2x 2）10展开式中的常数项是（ )A ．180B ．90C ．45D ．3607．从1,2，3，4，5,6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则P （B ｜A ）＝（ ）A．38B．1340C．1345D．348．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）A．48种B．72种C．96种D．144种9．设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x）,且函数f(x）在x＝﹣1处取得极大值,则函数y＝xf′(x）的图象可能是（)A．B．C．D．10．已知（x﹣1)9（1﹣x）＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a8＝（）A．﹣45 B．27 C．﹣27 D．4511．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排,以下说法正确的是（）A．每人都安排一项工作的不同方法数为54B．每人都安排一项工作,每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为A54C41C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为(C53C21+C52C32)A33D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是C31C42A33+C32A3312．已知函数f（x）＝ax﹣lnx，x∈［1，e］的最小值为3，若存在x1，x2,…，x n∈[1，e］，使得f（x1)+f(x2)+…+f（x n﹣1）＝f(x n），则正整数n的最大值为（)A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品的个数的数学期望值为．14．若(1﹣3x）10＝a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则a1+a2+a3+…+a10＝．15．荷花池中,有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时,均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍,如图所示．假设现在青蛙在A 叶上，则跳四次之后停在A叶上的概率是_________16．若存在a＞0,使得函数f（x）＝6a2lnx与g（x）＝x2﹣4ax﹣b的图象在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为．三、解答题（本题共6小题，其中第17题10分,其他每题12分,共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知z是复数,z+2i与z2−i均为实数．（1）求复数z；(2）复数（z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．18．有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数（结果用数字作答)．（1）选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排4人，后排3人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；(4)全体排成一排，女生必须站在一起;（5）全体排成一排，男生互不相邻。