2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系2.6.1 直线与圆的位置关系A级必备知识基础练1.(2022江苏盐城伍佑中学高二月考)点A为圆(x-1)2+y2=1上的动点，PA是圆的切线，|PA|=1，则点P的轨迹方程是()A.(x-1)2+y2=4B.(x-1)2+y2=2C.x2+y2=2xD.x2+y2=-2x2.圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充要条件是()A.k≤-2或k≥2B.k≤-2C.k≥2D.k≤-2或k>23.(2022山东高二学情联考)过点P(1，-2)的直线与圆C:(x+2)2+(y-1)2=5相切，则切线长为()A. B.2C.2D.4.(多选题)(2022重庆育才中学高二月考)已知圆M的一般方程为x2+y2-8x+6y=0，则下列说法正确的是()A.圆M的圆心为(4，3)B.圆M的半径为5C.圆M被x轴截得的弦长为6D.圆M被y轴截得的弦长为65.圆x2+y2-2x-8y+13=0截直线ax+y-1=0所得的弦长为2，则a=()A.-B.-C. D.26.已知圆C与直线x-y=0及x-y=4都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为.7.若点P(2，-1)为圆C:(x-1)2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为.8.已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0，直线l过点A(1，0).(1)求圆C的圆心坐标及半径;(2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程;(3)当直线l的斜率存在且与圆C相切于点B时，求|AB|.B级关键能力提升练9.(2020全国Ⅰ，文6)已知圆x2+y2-6x=0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.410.已知直线l:x-y+m=0与圆x2+y2=4交于A，B两点，O为坐标原点，且=0，则实数m为()A.2B.2C.±2D.±211.(多选题)(2022云南罗平县高二检测)过点(2，2)，斜率为k的直线与圆x2+y2-4x=0的位置关系可能是()A.相离B.相切C.相交但不过圆心D.相交且经过圆心12.(多选题)(2022辽宁葫芦岛协作校高二联考)已知直线l:3x+4y=0，圆C:x2-4x+y2=m-5，则()A.m的取值范围为(0，+∞)B.当直线l与圆C相切时，m=C.当1<m<2时，l与圆C相离D.当直线l与圆C相交时，m的取值范围是13.已知k∈R，若直线l:y=kx+1被圆x2-2x+y2-3=0所截，则截得的弦长最短为，此时直线l的方程为.14.如图，已知以点A(-1，2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2，0)的动直线l与圆A交于M，N两点.(1)求圆A的方程;(2)当|MN|=2时，求直线l的方程.C级学科素养创新练15.(2022黑龙江大庆中学高二月考)若圆x2+y2-2x-6y+1=0上恰有三点到直线y=kx的距离为2，则k的值为()A.2B.1C.D.16.若直线l:y=ax-3与圆C:x2+y2=4相交，求a的取值范围.参考答案2.6直线与圆、圆与圆的位置关系2.6.1直线与圆的位置关系1.B∵PA是圆的切线，|PA|=1且圆的半径为r=1，∴点P到圆心的距离恒为.又圆心(1，0)，设P(x，y)，由两点间的距离公式得(x-1)2+y2=2，即点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2.故选B.2.A若直线与圆有公共点，则圆心(0，0)到直线kx-y-3=0的距离d=≤1，即≥3，∴k2+1≥9，即k2≥8，解得k≤-2或k≥2.∴圆x2+y2=1与直线y=kx-3有公共点的充要条件是k≤-2或k≥2.故选A.3.D由圆C:(x+2)2+(y-1)2=5，可得圆心C(-2，1)，半径r=，过点P(1，-2)的直线与圆C:(x+2)2+(y-1)2=5相切，两条切线长相等，只取其中一条切线，设切点为M，则CM⊥PM，由题得|PC|==3，|CM|=r=，所以切线|PM|=.故选D.4.BD将x2+y2-8x+6y=0化为圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25，所以圆M的圆心坐标为(4，-3)，半径为5，故A错误，B正确;圆心(4，-3)到x轴的距离为3，所以圆M被x轴截得的弦长为2=8，故C错误;对选项D，圆心(4，-3)到y轴的距离为4，所以圆M被y轴截得的弦长为2=6，故D正确.故选BD.5.A将x2+y2-2x-8y+13=0化为(x-1)2+(y-4)2=4，则该圆圆心为(1，4)，半径为2.又弦长为2，则圆心到直线距离为=1.根据点到直线距离公式可知d==1，化简可得(a+3)2=a2+1.解得a=-，故选A.6.(x-1)2+(y+1)2=2设圆心为点C(a，-a)，由点到直线的距离公式得，解得a=1，所以圆心为(1，-1)，且半径为，故圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.7.x-y-3=0圆心坐标为点C(1，0)，由题可得，k PC==-1.又|CP|⊥|AB|，因此k AB=1.因为直线AB过点P，可知直线AB的方程为y+1=x-2，即x-y-3=0.8.解将圆C的方程化成标准式方程得(x-3)2+(y-4)2=22.(1)圆C的圆心坐标是(3，4)，半径为2.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是x=1，满足题意;当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程是y=k(x-1)，即kx-y-k=0.由圆心(3，4)到直线l的距离等于圆C的半径，可得=2，解得k=，故直线l的方程是3x-4y-3=0.综上所述，直线l的方程是x=1或3x-4y-3=0.(3)由(2)可得直线l的方程是3x-4y-3=0.圆C的圆心是点C(3，4)，则|AC|==2，所以|AB|==4.9.B圆的方程可化为(x-3)2+y2=9.因为=2<3，所以点(1，2)在圆内.如图所示，设圆心O1(3，0)，A(1，2)，当弦BC与O1A垂直时弦最短，因为|O1A|==2，|O1B|=3，所以|AB|==1，所以|BC|=2|AB|=2.10.C由=0可知∠AOB=90°.由于圆半径为r=2，则圆心(0，0)到直线l的距离d=，解得|m|=2，即m=±2，故选C.11.BC由题得，圆的标准方程为(x-2)2+y2=4，则圆心为(2，0)，半径为2.设过点(2，2)，斜率为k的直线为y=k(x-2)+2，即kx-y-2k+2=0，∴圆心到kx-y-2k+2=0的距离d=≤2，∴当d=2时，直线与圆相切;当d<2时，直线与圆相交但直线不过圆心.故B，C正确，A，D错误.故选BC.12.BC圆C的标准方程为(x-2)2+y2=m-1，则圆C的圆心为C(2，0)，半径r=，由r=>0，得m>1，故A错误;因为C(2，0)到直线l的距离为，所以当直线l与圆C相切时，r=，解得m=，故B正确; 当1<m<2时，0<r<1<，所以直线l与圆C相离，故C正确;当直线l与圆C相交时，，解得m>，故D错误.故选BC.13.2y=x+1圆x2-2x+y2-3=0的标准方程为(x-1)2+y2=22，所以圆心为O(1，0)，半径为r=2.直线l:y=kx+1过定点P(0，1).故|OP|=.当l⊥OP时，截得的弦长最短，则最短弦长为2=2.由题得，k OP=-1，所以k l=1，故直线l的方程为y=x+1.14.解(1)设圆A的半径为r.∵圆A与直线l1:x+2y+7=0相切，∴r==2.故圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.(2)①当直线l的斜率不存在时，可得直线l的方程为x=-2，易得|MN|=2，符合题意;②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x+2)，即kx-y+2k=0.取MN的中点Q，连接AQ，则AQ⊥MN.∵|MN|=2，∴|AQ|==1.∴=1，解得k=.∴直线l的方程为3x-4y+6=0.综上，直线l的方程为x=-2或3x-4y+6=0.15.C将方程x2+y2-2x-6y+1=0化为(x-1)2+(y-3)2=9，则圆心(1，3)，半径为3.∵圆上恰有三点到直线y=kx的距离为2，∴圆心(1，3)到直线y=kx的距离为1，即=1，解得k=.故选C.16.解(方法1)圆C:x2+y2=4的圆心C(0，0)，r2=4.直线l:y=ax-3可化为ax-y-3=0.圆心C(0，0)到直线l:ax-y-3=0的距离d=.由直线l与圆C相交可得r>d，则r2>d2，即4>，解得a>或a<-.因此a 的取值范围是-∞，-∪，+∞.(方法2)将y=ax-3代入x2+y2=4得到x2+(ax-3)2=4，整理可得(1+a2)x2-6ax+5=0.因为直线与圆相交，则Δ=(-6a)2-4×(1+a2)×5=36a2-20-20a2=16a2-20>0，即a2>，解得a>或a<-，故a 的取值范围是-∞，-∪，+∞.11。
2.2.2 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系及判断方法直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系及判断1.思考辨析(1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．( )(2)若直线与圆相交，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程必有解．(3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆联立消元后的一元二次方程无解．[答案](1)×(2)√(3)√2．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是________．相交[由题意知点M(a，b)在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝1a2＋b2<1，故直线与圆相交．]3．直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m (m >0)相切，则m 的值为________． 2 [由直线与圆的距离d ＝|m |2＝m ，解得m ＝2.]4．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．4π [圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2， 所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π.]思路探究：法一：利用代数法；法二：利用几何法；法三：利用直线方程(此题直线过定点(0，1))．[解] 法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x 2＋y 2＝4，∴5x 2＋4x －3＝0.判别式Δ＝42－4×5×(－3)＝76>0. ∴直线与圆相交． 法二：∵x 2＋y 2＝4， ∴圆心为(0，0)，半径r ＝2. 又∵y ＝2x ＋1，∴圆心到直线的距离d ＝|2×0－0＋1|22＋12＝55<2＝r . ∴直线与圆相交．法三：由题意知，直线过定点(0，1)． 而02＋12＝1<4.所以点(0，1)在圆内，从而直线与圆相交．直线与圆位置关系的判定方法1．已知直线方程mx －y －m －1＝0，圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时，圆与直线(1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点．[解] 法一：将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m 2)x 2－2(m 2＋2m ＋2)x ＋m 2＋4m ＋4＝0. ∵Δ＝4m (3m ＋4)，(1)当Δ>0，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当Δ＝0，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当Δ<0，即－43<m <0时， 直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．法二：已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝4， 即圆心为C (2，1)，半径r ＝2.圆心C (2，1)到直线mx －y －m －1＝0的距离d ＝|2m －1－m －1|1＋m 2＝|m －2|1＋m2. (1)当d <2，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；(2)当d ＝2，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；(3)当d >2，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．数a 的值是__________．(2)已知过点(2，5)的直线l 被圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为4，则直线l 的方程为__________．思路探究：(1)将圆的一般方程化为标准方程，利用弦心距、半弦长和半径构成直角三角形求解．(2)设出直线方程、利用弦心距、半弦长和半径构成的直角三角形得关于斜率的方程求解，验证斜率不存在的情况．(1)－4 (2)x －2＝0或4x －3y ＋7＝0 [(1)将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心为(－1，1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，故r 2－d 2＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4. (2)当直线斜率不存在时，x －2＝0满足题意； 当直线斜率存在时，设方程为y －5＝k (x －2)， 即kx －y －2k ＋5＝0.圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0可化为(x －1)2＋(y －2)2＝5，因为直线l 被圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为4，所以25－⎝ ⎛⎭⎪⎫|k －2－2k ＋5|k 2＋12＝4，所以k ＝43，所以直线l 的方程为4x －3y ＋7＝0. 综上所述，直线l 的方程为x －2＝0或4x －3y ＋7＝0.]解决与圆有关的弦长问题时，多采用几何法，即在弦心距、半弦长和半径构成的直角三角形中求解．2．过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短的弦长为________． 22 [最短的弦为过点(3，1)且与圆心(2，2)和点(3，1)连线的垂直的弦， 弦长l ＝24－（3－2）2－（1－2）2＝2 2.]1．求过点P (3，4)的圆C ：x 2＋y 2＝25的切线方程．[提示] ∵点P (3，4)在圆上，∴切点为P ，设切线斜率为k . 则k ·k PC ＝－1，∴k ＝－3－04－0＝－34.切线方程为y －4＝－34(x －3)，即3x ＋4y －25＝0.2．求过点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－5，52的圆x 2＋y 2＝25的切线方程．[提示] ∵(－5)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522>25，∴点Q 在圆外． 若所求直线斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y －52＝k [x －(－5)]，即kx －y ＋5k ＋52＝0.因圆心C (0，0)到切线的距离等于半径5，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪5k ＋52k 2＋1＝5，∴k ＝34.故所求切线方程为34x －y ＋154＋52＝0，即3x －4y ＋25＝0. 若所求直线斜率不存在，则直线方程为x ＝－5，圆心C (0，0)到x ＝－5的距离为5，符合题意． 综上，过点Q 的切线方程为x ＋5＝0或3x －4y ＋25＝0. 【例3】 已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1. (1)过点A (3，2)，求圆的切线方程； (2)过点B (4，－3)，求圆的切线方程．思路探究：(1)直线和圆相切，则过圆心和切点的直线与切线垂直．(2)直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于半径．[解] (1)∵(3－3)2＋(2－1)2＝1， ∴A 在圆上．由题意知圆心C (3，1)，直线CA 无斜率， ∴切线斜率为0， ∴所求切线方程为y ＝2.(2)∵(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， ∴点B 在圆外．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4)．因为圆心C (3，1)到切线的距离等于半径1， 所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，解得k ＝－158.所以切线方程为y ＋3＝－158(x －4)，即15x ＋8y －36＝0；②若切线斜率不存在，圆心C (3，1)到直线x ＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x ＝4.综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4.过一点的圆的切线方程的求法(1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程．对于填空题可以直接利用以下两个结论：(1)当点(x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝r 2上时，切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2；(2)当点(x 0，y 0)在圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上时，切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(2)若点在圆外时，过这点的切线将有两条，但在设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在．3．已知圆的方程为x 2＋y 2＝13，它与斜率为－23的直线相切，求该切线的方程．[解] 设切线方程为y ＝－23x ＋b ，即2x ＋3y －3b ＝0，依题意得：|2×0＋3×0－3b |22＋32＝13， 解得b ＝±133.∴切线方程为2x ＋3y ＋13＝0或2x ＋3y －13＝0.1．本节课的重点是理解直线和圆的三种位置关系，会用圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系，能解决直线与圆位置关系的综合问题．难点是解决直线与圆的位置关系．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)直线与圆位置关系的判断方法． (2)求圆的切线的方法．(3)求直线与圆相交时弦长的方法．3．本节课的易错点是在解决直线与圆位置关系问题时易漏掉斜率不存在的情况．1．直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝9的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心D [圆心(1，－1)到直线的距离为|3×1－4×1＋12|5＝115<3，∴直线与圆相交．又圆心(1，－1)不在直线上，故选D.]2．由点P (1，3)引圆x 2＋y 2＝9的切线的长是________． 1 [点P 到原点O 的距离为PO ＝10，∵r ＝3， ∴切线长为10－9＝1.]3．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________． 22 [由题意知圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，所以圆心坐标为(0，－1)，半径长为2，则圆心到直线y ＝x ＋1的距离d ＝|1＋1|2＝2，所以|AB |＝222－（2）2＝2 2.]4．已知圆x 2＋y 2＝8，定点P (4，0)，问过P 点的直线的斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆：(1)相切，(2)相交，(3)相离？[解] 设圆心到直线的距离为d ，过P 点的直线斜率为k ，由题意， 知斜率k 存在，则其方程为y ＝k (x －4)， 则d ＝|k ·0－0－4k |1＋k 2＝4|k |1＋k 2. (1)d ＝r ，即4|k |1＋k 2＝8，∴k 2＝1，∴k ＝±1时，直线与圆相切．(2)d <r ，即4|k |1＋k2<8，∴k 2<1，即－1<k <1时， 直线与圆相交． (3)d >r ，即4|k |1＋k2>8，∴k2>1，即k<－1或k>1时，直线与圆相离．。
