第1章习题
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习题 1-1
1.验证下列函数是右侧相应微分方程的解或通解:
（１）
,2
2
2
1
x
x e
c
e
c
y-
+
=
.0
4= -''y y
证明：
,2
2
2
1
x
x e
c
e
c
y-
+
=
则
y'
=
,
2
22
2
2
1
x
x e
c
e
c-
-
,
4
42
2
2
1
x
x e
c
e
c
y-
+
=''
∴
.0
4=
-''y
y
（２）
,
sin
x
x
y=x
y
y x cos
=
+'
．
证明：∵
,
sin
x
x
y=
则2
sin
cos
x
x
x
x
y
-
='
∴
x
x
x
x
x
x
x
y
y x cos
sin
sin
cos
=
+
-
=
+'
（３）),
(c
dx
x
e
x
y
x
+
=⎰x xe
y
y x=
-'．
证明：∵),
(c
dx
x
e
x
y
x
+
=⎰则,x e x
c
dx
x
e
y
x
x
+
+
='⎰
∴=
-'y
y x x
x
e
x
c
dx
x
e x
x
+
+
⎰x
x
xe
c
dx
x
e
x=
+
-⎰)
(
（４） 2
1
12221,,
40,,
2,,4
()()
x y x x x c c c c x c c ⎧
⎪--∞<<⎪⎪
=≤≤⎨⎪⎪<<+∞⎪
⎩-
-'
y =
证明
： （1）当
1
x c -∞<<时，
y=2
14
()
x c -
-,
'
y
=12
x c --
其他情况类似.
２．求下列初值问题的解：
（１）,x y =''' ,)0(0a y = ,)0(1a y =' 2)0(a y =''．
解：∵,x y =''' ∴,2
112
c x y +=
'' ∵2)0(a y =''，∴21a c =， ∴3
221,6
y x a x c '=
++ ∵,)0(1a y =' ∴12a c =， ∴422111
242
y x a x a x c =+++，∵,)0(0a y = 满足初值问题的解为：4221011
242
y x a x a x a =+++． （２）),(x f dx
dy
= ,0)0(=y （这里)(x f 是一个已知的连续函数）
解：∵
),(x f dx
dy
= 即
,)(dx x f dy =
∴
c dt t f dy x
x
+=⎰⎰0
)(,
∴,)()0()(0
c dt t f y x y x
+=
-⎰ ∵0)0(=y , ∴
0=c
∴ 满足初值问题的解为：dt t f x y x
⎰=
)()(.
（３）
,aR dt
dR
-= ,1)0(=R 解：① 若,0≠R 则 ∵
adt R
dR
-=， 两边积分得：c at R +-=ln ∵1)0(=R ∴1=c
∴满足初值问题的解为：at
e
R -=
（４）
21y dx
dy
+=， 00)(y x y =， 解：∵
21y dx dy +=， ∴dx y
dy =+21，两边积分得：
c x arctgy +=.
∵00)(y x y =， ∴00x y arctg c -=.
∴满足初值问题的解为：)(00x y arctg x tg y -+=. ３．假设
（１） 函数12(,,,,)n y x c c c φ= 是微分方程()(,,,,)0
n F x y y y '= 的通解，其中
12,,n c c c 是独立的任意常数，
（２） 存在一组常数12(,,,)n n c c c R ∈ 和空间中的点
(1)0000
(,,,,)n M x y y y -'
（３） 满足
001001(1)(1)0011
(,,,)
(,,,)(,,,)n n n n n n y x c c y x c c x
y x c c x φφφ
---=⎧⎪∂⎪'=⎪∂⎨⎪
⎪∂=⎪∂⎩
试证明：存在点0M 的某一邻域 U ，使得对任意一点
(1)0000
0(,,,,)n M x y y y -' , 可确定一组数0(),
1,2,,i i c c M i n == ，使得
10200(,(),(),,())n y x c M c M c M φ=
是初值问题
(1)
(1)000000(1)
(),(),,()(,,,,)0n n n y x y y x y y
x y F x y y y
---'⎧===⎪⎨'=⎪⎩ 的解． 证明：因为12(,,,,)n y x c c c φ= 是微分方程()(,,,,)0n F x y y y '= 的通解，
所以初值问题
(1)
(1)000000(1)
(),(),,()(,,,,)0n n n y x y y x y y
x y F x y y y
---'⎧===⎪⎨'=⎪⎩ 的解应具有形式12(,,,,)n y x c c c φ***= ，其中12(,,,)n c c c *** 应
满足：
001001
(1)(1)0
011(,,,)
(,,,)
(,,,)n n
n n n n y x c c y x c c x y x c c x φφφ
****--**-⎧=⎪
∂⎪'=⎪∂⎨
⎪
⎪∂=⎪∂⎩
，（*） 如何确定12(,,,)n c c c *
*
*
呢？
由条件（２）及隐函数定理知，存在点 0M 的某一邻域U ，使得
对任意一点(1)0000
(,,,,)n M x y y y
-' 可确定一组数
0(),1,2,,i i c c M i n **== ，使得
（*）成立．得证．
4. 求出：
（１） 曲线族2x cx y +=所满足的微分方程；
解：2x cx y +=， x c y 2+='， 22x cx y x +='， 则有：y x y x =-'2.
（２） 曲线族x x xe c e c y 21+=所满足的微分方程；
解：由x
x xe c e c y 21+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧++=''++='x
x x x
x x xe
c e c e c y xe c e c e c y 1211212, 联立消去21,c c 得：02=+'-''y y y .
(3) 平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程；
解：平面上以原点为中心的圆的方程为)0(2
2
2
≠=+r r y x 将视y 为x 的函数，对x 求导得：022='+y y x
平面上以原点为中心的一切圆所满足的微分方程为
0='+y y x ．
(4) 平面上一切圆所满足的微分方程．
解：平面上圆的方程为：),0()()(222≠=-+-r r b y a x 将y 视为x 的函数，对x 求导得：
()
22()2()0
22()202()40
'x a y b y y b y y b y y y '-+-=⎧⎪⎪
''+-+=⎨⎪'''''-+=⎪⎩联立消去b a ,得，0)(3])(1[22='''-''''+y y y y ．
习 题 1-2
１．
作出如下方程的线素场：
（１）xy
xy y =
'
（２）2)1(-='y y
（３）2
2
y x y +='
2. 利用线素场研究下列微分方程的积分曲线族： （１）xy y +='1。
