大一高数课件 ch2-7函数的连续性

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定理３ 设函数u ( x)在点 x x0连续, 且 ( x0 ) u0 , 而函数 y f (u)在点u u0 连续, 则复合函数 y f [( x)]在点 x x0也连续.
例9 u 1 在(, 0) (0, )内连续, x
y sin u 在(, )内连续, y sin 1 在(, 0) (0, )内连续.
当x是有理数时, 当x是无理数时,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续.
判断下列间断点类型:
y
y f x
x1 o
x2
x3
x
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例8 当a取何值时,
函数
f
(x)
cos a
x, x,
x 0, 在 x 0处连续. Βιβλιοθήκη 0,解 f (0) a,
lim f ( x) lim cos x 1,
x0
x0
lim f ( x) lim(a x) a,
x0
x0
要使 f (0 0) f (0 0) f (0), a 1,
故当且仅当 a 1时, 函数 f ( x)在 x 0处连续.
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三、初等函数的连续性
1. 连续函数的和、差、积、商的连续性
定理1 若函数 f ( x), g( x)在点 x0处连续,
x 1为函数的第二类间断点.
这时也称其为无穷间断点.
o
x
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例7 讨论函数 f ( x) sin 1 在 x 0处的连续性. x
解 在x 0处没有定义,
且 lim sin 1 不存在. x0 x
y sin 1 x
x 0为第二类间断点.
这时也称其为振荡间断点．
注意： 函数的间断点可能不只是个别的几个点.
y
y f (x)
y
y
y f (x)
y
x
x
0
x0 x0 x x
0 x0 x x0
x
3
2.连续的定义
定义 1 设函数 f ( x) 在U ( x0 , ) 内有定义,如果当
自变量的增量x 趋向于零时,对应的函数的增量
y 也趋向于零,即 lim y 0 或 x 0
lim [
x 0
f (x0
左右极限相等，则为可去间断点； 左右极限不相等，则为跳跃间断点．
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3.第二类间断点 如果 f ( x)在点 x0处的左、
右极限至少有一个不存在, 则称点 x0为函数 f ( x)的第二类间断点.
例6
讨论函数
f
(x)
1 x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
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思考题解答
f ( x)在x0 连续，
lim x x0
f (x)
f ( x0 )
且 0 f ( x) f ( x0 ) f ( x) f ( x0 )
lim x x0
f (x)
f ( x0 )
lim
x x0
f
2(
x)
lim
x x0
f
(
x
)
lim
x x0
f ( x)
f 2( x0 )
lim
x x0
f (x)
f ( x0 )
( x0 定义区间 )
例10 求 lim sin e x 1. x1
解 原式 sin e1 1 sin e 1.
例11 求 lim 1 x 2 1 .
x0
x
解 原式 lim ( 1 x2 1)( 1 x2 1)
x0
x( 1 x2 1)
x 0为函数的间断点.
o
x
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2.跳跃间断点 如果 f ( x)在点 x0处左, 右极限都
存在,但f ( x0 0) f ( x0 0), 则称点 x0为函数 f ( x)的跳跃间断点. 例5中的间断点为跳跃间断点．
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.
特点：函数在该点左、右极限都存在.
则 f ( x) g( x),
f ( x) g( x),
f (x) g( x)
( g( x0 ) 0)
在点 x0处也连续.
例如, sin x,cos x在(,)内连续,
故 tan x,cot x,sec x,csc x 在其定义域内连续.
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2. 反函数与复合函数的连续性
定理2 严格单调递增（递减）的连续函数必有
即：函数在某点连续等价于函数在该点的极
限存在且等于该点的函数值.
6
例1
试证函数
f
(x)
x sin
1 x
,
x 0,
在x 0
0, x 0,
处连续.
证 lim x sin 1 0,
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
由定义2知
函数 f ( x)在 x 0处连续.
x)
f ( x0 )]
0,那末就称函数f ( x)
在
点 x 0 连续, x 0 称为 f ( x) 的连续点.
设 x x x, 0
y f ( x) f ( x0 ),
x 0 就是 x x0 , y 0 就是 f ( x) f ( x0 ).
4
定义 2 设函数 f ( x) 在U ( x0 , ) 内有定义,如果
第七节 函数的连续性
一、函数的连续性的概念 二、函数的间断点 三、初等函数的连续性 四、小结 思考题
1
一、函数的连续性
1.函数的增量
设变量 u 从它的初值 u1 变到终值 u2 则 u u2 u1
称为变量 u 的增量.
注意：(1) u 可正可负；
(2) u 是一个整体，不能看作 与 u 的乘积 .
f
(
x)
2 1,
x,
0 x 1, x 1
1 x, x 1,
在x 1处的连续性 .
2 y2 x
1
o1
x
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解 f (1) 1, f (1 0) 2, f (1 0) 2, lim f (x) 2 f (1),
x1
x 0为函数的可去间断点.
注意 可去间断点只要改变或者补充可去间断处 函数的定义, 则可使其变为连续点.
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
★ f ( x) 11, ,
7
例2 证明函数 y sin x在区间(,)内连续.
证 任取 x (,),
y sin( x x) sin x 2 sin x cos( x x )
2
2
cos( x x) 1, 则 y 2 sin x .
2
2
对任意的, 当 0时, 有 sin ,
故 y 2 sin x x , 当x 0时, y 0. 2
15
如例4中, 令 f (1) 2,
y
则
f (x)
2
x,
0 x 1,
2
1 x, x 1,
1
在x 1处连续.
o1
x
例5
讨论函数
f
(x)
x, 1 x,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
y
f (0 0) f (0 0),
y 跳跃型
o
x0
x
y
o
x
振荡型
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4. 初等函数的连续性 （1）初等函数在其定义区间上连续； （2）初等函数的连续性在求极限时的应用： 代入法。
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思考题１
若 f ( x)在 x0 连续，则| f ( x) |、 f 2 ( x)在x0 是否连续？又若| f ( x) |、 f 2 ( x)在x0 连续， f ( x) 在 x0 是否连续？
lim x0
x 1 x2
1
0 2
0.
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四、小结 思考题
1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 2.区间上的连续函数;
3.间断点的分类与判别;
间断点
第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点:无穷型,振荡型.
(见下图)
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第y 一
可去型
类
间
断
点
o x0
x
y
第 二 类 间 断o 点
x0
x
无穷型
即函数 y sin x对任意 x (,)都是连续的.
8
3.单侧连续
若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
则
称f
(
x
)在
点x
处左
0
连续;
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处右连续.
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
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5.基本初等函数的连续性
由第四节可知，f ( x)为基本初等函数 , 其定义域
为D
,当
x0
D 时， lim x x0
f ( x) f ( x0 ).
所以基本初等函数在其定义域内连续 .
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二、函数的间断点(points of discontinuity)
严格单调递增（递减）的连续反函数 ．
例如,