北师版数学下册3.5 确定圆的条件(练习题课件)

北师大版数学九年级下册第3章第5节确定圆的条件同步检测一、选择题1.下列命题中，正确的是（）A．平面上三个点确定一个圆B．等弧所对的圆周角相等C．平分弦的直径垂直于这条弦D．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线答案：B解析：解答：A．三个点不共线的点确定一个平面，故A不正确；B．由圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理可知：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，故选项B正确；C．平分弦的直径垂直于弦，被平分的弦不能是直径，故此选项错误；D．与某圆一条半径垂直的直线是该圆的切线，错误，正确的应该是：一条直线垂直于圆的半径的外端，这条直线一定就是圆的切线．故此选项错误；故选：B．分析：根据在一条直线上的三点就不能确定一个圆可以判断A，再利用圆心角定理得出B 正确；由当弦为直径时不垂直也平分，以及利用切线的判定对D进行判定．2.下列说法错误的是（）A．直径是弦B．最长的弦是直径C．垂直弦的直径平分弦D．经过三点可以确定一个圆答案：D解析：解答：A．直径是弦，根据弦的定义是连接圆上两点的线段，∴故此选项正确，但不符合题意，B．最长的弦是直径，根据直径是圆中最长的弦，∴故此选项正确，但不符合题意，C．垂直弦的直径平分弦，利用垂径定理即可得出，故此选项正确，但不符合题意，D．经过三点可以确定一个圆，利用经过不在同一直线上的三点可以作一个圆，故此选项错误，符合题意，故选：D．分析：根据弦的定义，以及经过不在同一直线上的三点可以作一个圆可判断和垂径定理分别得出即可．3.下列命题中的假命题是（）A．三点确定一个圆B．三角形的内心到三角形各边的距离都相等C．同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等D．同圆中，相等的弧所对的弦相等答案：A解析：解答：A.应为不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项错误；B.三角形的内心到三角形各边的距离都相等，是三角形的内心的性质，故本选项正确；C.同圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，正确；D.同圆中，相等的弧所对的弦相等，正确．故选A．分析：根据确定圆的条件，三角形内心性质，以及圆心角、弧、弦的关系，对各选项分析判断后利用排除法求解．4.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，4）、（5，4）、（1，-2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）A．（2，3）B．（3，2）C．（1，3）D．（3，1）答案：D解析：解答：如图：根据垂径定理的推论，则作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是（3，1）．故选D．分析：根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线必过圆心”，作两条弦的垂直平分线，交点即为圆心．5.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块答案：B解析：解答：第②块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，就交于了圆心，进而可得到半径的长．故选：B．分析：要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．6.到三角形各顶点的距离相等的点是三角形（）A．三边的垂直平分线的交点B．三条高的交点C．三条角平分线的交点D．三条中线的交点答案：A解析：解答：因为到三角形各顶点的距离相等的点，需要根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，只有分别作出三角形的两边的垂直平分线，交点才到三个顶点的距离相等．故选：A分析：根据三角形外心的作法，确定到三定点距离相等的点．7.小红的衣服被铁钉划了一个呈直角三角形的洞，其中三角形的两边长分别为1cm和2cm，若用同色圆形布将此洞全部覆盖，那么这块圆布的直径最小应等于（）A．2cm B．3cm C．2cm或3cm D．2cm或cm答案：A解析：解答：由题意，若圆布的直径最小，那么2cm必为直角三角形的斜边长；由于直角三角形的外接圆等于斜边的长，所以圆布的最小直径为2cm，故选A．分析：由于已知的三角形两边没有明确是直角边还是斜边，因此有两种情况：①1cm、2cm同为直角边，②1cm为直角边，2cm为斜边；由于直角三角形的外接圆直径等于斜边的长，若外接圆直径最小，那么直角三角形的斜边最小，显然①是不符合题意，因此直角三角形的斜边为2cm，即圆布的最小直径是2cm．8.下列说法中错误的是（）A．三角形的外心不一定在三角形的外部B．圆的两条非直径的弦不可能互相平分C．两个三角形可能有公共的外心D．任何梯形都没有外接圆答案：D解析：解答：A.根据三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点，则三角形的外心的位置有三种情况．正确；B.根据垂径定理的推论可以运用反证法证明可知，该选项错误；C.因为一个圆有无数个内接三角形，所以两个三角形可能有公共的外心．正确；D.等腰梯形一定有外接圆．错误．故选D ．分析：本题根据三角形的外接圆与外心的位置及其性质特点，逐项进行分析即可求解．9.如图，已知△ABC 的外接圆⊙O 的半径为1，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则sin ∠BAC 的值等于线段（ ）A ．BC 的长B ．DE 的长C ．AD 的长 D ．AE 的长答案：B 解析：解答：如图：过B 作⊙O 的直径BF ，交⊙O 于F ，连接FC ，则∠BCF =90°，Rt △BCF 中，sinF =2BC BC BF = ∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，即DE =，∴sinA =sinF =2BC =DE ． 故选B ．分析：本题需将∠BAC 构建到直角三角形中求解，过B 作⊙O 的直径，交⊙O 于点F ，由圆周角定理，知∠F =∠A ；在Rt △BCF 中，易求得sinF =2BC BC BF =，而DE 是△ABC 的中位线，即DE =2BC ，由此得解． 10.如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，且AC =5，DC =3，AB =42 ，则⊙O 的直径AE =（ ）A ．52B ．5C ．42D ．32答案：A 解析：解答： 如图：连接BE ，则∠BEA =∠ACB ，且三角形ABE 是直角三角形．在Rt △ACD 中，AC =5，DC =3，则AD =2222534AC DC -=-= sin ∠BEA =sin ∠ACB =45AD AC = 故⊙O 的直径52sin AB AE BEA ==Ð 故选A ．分析：连接BE ．易知∠BEA =∠ACB ，解直角三角形ABE 即可求出AE ．11.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OA 、OC ，⊙O 的半径R =2，sinB =4，则弦AC 的长为（ ）A ．3B ．C ．D ．答案：A解析：解答：延长AO 交圆于点D ，连接CD ，由圆周角定理，得：∠ACD=90°，∠D=∠B∴sinD=sinB=，Rt△ADC中，sinD=，AD=2R=4，∴AC=AD•sinD=3．故选A．分析：若想利用∠B的正弦值，需构建与它相等的圆周角，延长AO交⊙O于D，在Rt△ADC 中，由圆周角定理，易得∠D=∠B，即可根据∠D的正弦值和直径AD的长，求出AC的长．12.三角形的外心是三角形中（）A．三边垂直平分线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交D．三条高的交点答案：A解析：解答：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．故选：A．分析：根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，解答即可．13、有下列四个命题，其中正确的有（）①圆的对称轴是直径；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．A．4个B．3个C．2个D．1个答案：C解析：解答：①圆的对称轴是直径所在的直线；故此选项错误；②当三点共线的时候，不能作圆，故此选项错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故此选项正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故此选项正确．故选：C．分析：根据圆中的有关概念、定理进行分析判断．14、若一个三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．钝角三角形答案：B解析：解答：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部；由此可知若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是直角三角形．故选：B．分析：根据直径所对的圆周角是直角得该三角形是直角三角形．15.如图，△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的三边分别记为a，b，c，O是△ABC的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF=（）A．a：b：c B．111::a b cC．cosA：cosB：cosC D．sinA：sinB：sinC答案：C解析：解答：设三角形的外接圆的半径是R．连接OB，OC．∵O是△ABC的外心，且OD⊥BC．∴∠BOD=∠COD=∠A在直角△OBD中，OD=OB•cos∠BOD=R•cosA．同理，OE=R•cosB，OF=R•cosC．∴OD：OE：OF=cosA：cosB：cosC．故选C．分析：设三角形的外接圆的半径是R，根据垂径定理，在直角△OBD中，利用三角函数即可用外接圆的半径表示出OD的长，同理可以表示出OE，OF的长，即可求解．二、填空题16.当点A（1，2），B（3，-3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件.答案：5m+2n≠9．解析：解答：设直线AB的解析式为y=kx+b，∵A（1，2），B（3，-3），∴解得：k=-2.5 ，b=4.5 ，∴直线AB的解析式为y=-2.5 x+4.5 ，∵点A（1，2），B（3，-3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，∴点C不在直线AB上，∴5m+2n≠9，故答案为：5m+2n≠9．分析：能确定一个圆就是不在同一直线上，首先确定直线AB的解析式，然后点C不满足求得的直线即可．17.平面直角坐标系内的三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）确定一个圆（填“能”或“不能”）．答案：能解析：解答：∵B（0，-3）、C（2，-3），∴BC∥x轴，而点A（1，0）在x轴上，∴点A、B、C不共线，∴三个点A（1，0）、B（0，-3）、C（2，-3）能确定一个圆．故答案为：能．分析：根据三个点的坐标特征得到它们不共线，于是根据确定圆的条件可判断它们能确定一个圆．18.如图△ABC中外接圆的圆心坐标是.答案：（6，2）．解析：解答：如图：分别做三角形的三边的垂直平分线，可知相交于点（6，2），即△ABC中外接圆的圆心坐标是（6，2）．故答案为：（6，2）．分析：本题可借助网格在网格中根据三角形三边的位置作出它们的垂直平分线，垂直平分线相交于一点，该点就是圆心，根据网格中的单位长度即可求解．19.已知△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，则∠A的度数是. 答案：30°或150°．解析：解答：如图：连接BO，CO，∵△ABC的边BC=4cm，⊙O是其外接圆，且半径也为4cm，∴△OBC是等边三角形，∴∠BOC=60°，∴∠A=30°．若点A在劣弧BC上时，∠A=150°．∴∠A=30°或150°．故答案为：30°或150°．分析：利用等边三角形的判定与性质得出∠BOC=60°，再利用圆周角定理得出答案．20.我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠ACB=∠ACD=90°，点D在边BC的延长线上，如果BC=DC=3，那么△ABC和△ACD的外心距是.答案：3解析：解答：∵∠ACB=∠ACD=90°，∴Rt△ABC和Rt△ACD分别是AB，AD的中点，∴两三角形的外心距为△ABD的中位线，即为12BD=3．故答案为：3．分析：利用直角三角形的性质得出两三角形的外心距为△ABD的中位线，即可得出答案．三、证明题21.如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．答案：见解析解析：解答：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．∵BD，CE是△ABC的高，∴△BCD和△BCE都是直角三角形．∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，∴DF=EF=BF=CF．∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，12BC为半径的圆上．分析：求证E，B，C，D四点在同一个圆上，△BCD是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明F到BC的中点的距离等于BC的一半就可以．22.如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．（1）求证：BD=CD；（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．答案：略解析：解答：（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴»»BD CD=∴BD=CD．（2）B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由（1）知：BD＝CD，∴∠BAD=∠CBD，又∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，∵∠DBE=∠CBD+∠CBE，∠DEB=∠BAD+∠ABE，∠CBE=∠ABE，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．由（1）知：BD=CD∴DB=DE=DC．∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．分析：（1）利用等弧对等弦即可证明．（2）利用等弧所对的圆周角相等，∠BAD=∠CBD再等量代换得出∠DBE=∠DEB，从而证明DB=DE=DC，所以B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．23.如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE⊥AB交BC于点D，交⊙O于点E，F在DA的延长线上，且AF=AD．若AF=3，tan∠ABD=34，求⊙O的直径．答案：20 3解析：解答：如图，连接BE．∵AF=AD，AB⊥EF，∴BF=BD．是直径∵AB=AC，∴∠FBA=∠ABC=∠C=∠E．∵tan∠ABD=3 4，∴tanE=tan∠FBA=3 4．在Rt△ABF中，∠BAF=90°．∵tan∠FBA=AFAB=34，AF=3，∴AB=4．∵∠BAE=90°，∴BE是⊙O的直径．∵tanE=tan∠FBA=34，AB=4，∴设AB=3x，AE=4x，∴BE=5x，∵3x=4，∴BE=5x=203，即⊙O的直径是203．分析：如图，连接BE．利用等腰三角形“三线合一”的性质得到BF=BD；然后根据圆周角定理推知∠FBA=∠ABC=∠C=∠E，BE是⊙O的直径．利用锐角三角函数的定义可以来求BE的长度．24.已知在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，求△ABC外接圆的半径．答案：25 3解析：解答：过A作AD⊥BC于D，连接BO，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，则AD必过圆心O，Rt△ABD中，AB=10，BD=8∴AD=6，设⊙O的半径为x，Rt△OBD中，OB=x，OD=6-x根据勾股定理，得：，即：，解得：x=253，则△ABC外接圆的半径为：253．分析：已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，若过A作底边BC的垂线，则AD必过圆心O，在Rt△OBD中，用半径表示出OD的长，即可用勾股定理求得半径的长．25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，过A，C，D三点的圆与斜边AB 交于点E，连接DE．（1）求证：AC=AE；（2）若AC=6，CB=8，求△ACD外接圆的直径．答案：(1)略；(2)35解析：解答：（1）证明：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AD为圆的直径，∴∠AED =90°，∵AD 是△BAC 的∠CAB 的角平分线，∴∠CAD =∠EAD ，Rt △ACD 与Rt △ADE 中，∠CAD =∠BAD ， ∠ACB =∠AED ，AD =AD ，∴Rt △ACD ≌Rt △ADE （AAS ），∴AC =AE ．（2）∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6，CB =8，∴10AB = ∵由（1）知，AC =AE ，CD =DE ，∠ACD =∠AED =90°，∴设CD =x ，则BD =8-x ，BE =AB -AE =10-6=4，在Rt △BDE 中，222BE DE BD +=，即2224(8)x x +=-解得x =3．在Rt △ACD 中222AC CD AD +=即22263AD +=解得AD =分析：（1）由Rt △ABC 中，∠ACB =90°，可得AD 是直径，可得△ADE 为直角三角形，在两个直角三角形中，利用AAS 可得两三角形全等，得到答案；（2）先根据勾股定理求出AB 的长，由（1）知，AC =AE ，CD =DE ，设CD =x ，则BD =8-x ，在Rt △BDE 中，根据勾股定理求出x 的值，同理，在Rt ∠ACD 中求出AD 的长，进而可得出结论．。

2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 3.5确定圆的条件同步练习题A组(基础题)1．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A．点P B．点Q C．点R D．点M2．在同一平面上有A，B，C三点，若经过A，B，C这三点画圆，则可画( )A．0个 B．1个C．0个或1个D．无数个3．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F，则下列三角形中，外心不是点O的是( )A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是( )A．第①块 B．第②块C．第③块D．第④块5．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A的度数．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A ＝65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是( )A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值6．若一个直角三角形的两条直角边长分别为7 cm 和24 cm ，则这个三角形的外接圆的直径长为_____cm.7．已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是_____．8．已知直线l ：y ＝x －4，点A(1，0)，点B(0，2)，设点P 为直线l 上一动点，则当点P 的坐标为_____时，过P ，A ，B 不能作出一个圆．9．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A ，B ，C ，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若在△ABC 中，AB ＝8米，AC ＝6米，∠BAC ＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．B 组(中档题)10．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝5 cm.能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是_____11．(2020·成都树德中学二诊)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，CO 的延长线交AB 于点D.若BC ＝6，sin ∠BAC ＝35，则AC ＝_____，CD ＝_____12．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE ︵(可以是劣弧、优弧或半圆)上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE ︵为△ABC 的中内弧，例如，图中DE ︵是△ABC 其中的某一条中内弧．若在平面直角坐标系中，已知点F(0，4)，O(0，0)，H(4，0)，在△FOH 中，M ，N 分别是FO ，FH 的中点，则△FOH 的中内弧MN ︵所在圆的圆心P 的纵坐标m 的取值范围是_____13．如图，已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R.(1)求证：ACsinB＝2R；(2)若在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝3，求BC的长及sinC的值．14．已知：如图1，在△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.(1)求证：△ABD≌△CBE；(2)如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．C组(综合题)15．如图，在正方形ABCD中，AB＝42，E，F分别为BC，AD上的点，过点E，F的直线将正方形ABCD的面积分为相等的两部分，过点A作AG⊥EF于点G，连接DG，则线段DG 的最小值为_____．参考答案2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 3.5确定圆的条件同步练习题A组(基础题)1．如图，在5×5的正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是(B)A．点P B．点Q C．点R D．点M2．在同一平面上有A，B，C三点，若经过A，B，C这三点画圆，则可画(C)A．0个 B．1个C．0个或1个D．无数个3．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE相交于点F，则下列三角形中，外心不是点O的是(B)A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE4．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是(B)A．第①块 B．第②块C．第③块D．第④块5．有一题目：“已知：点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A的度数．”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC，如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A ＝65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是(A)A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°B．淇淇说的不对，∠A就得65°C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°D．两人都不对，∠A应有3个不同值6．若一个直角三角形的两条直角边长分别为7 cm和24 cm，则这个三角形的外接圆的直径长为25cm.7．已知圆的半径是6，则圆内接正三角形的边长是8．已知直线l：y＝x－4，点A(1，0)，点B(0，2)，设点P为直线l上一动点，则当点P的坐标为(2，－2)时，过P，A，B不能作出一个圆．9．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．(1)请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；(2)若在△ABC中，AB＝8米，AC＝6米，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．解：(1)用尺规作出AB，AC的垂直平分线，交于O点，以O为圆心，OA长为半径作出⊙O，⊙O即为花坛的位置，如图．(2)∵∠BAC＝90°，AB＝8米，AC＝6米，∴BC＝10米．∴△ABC外接圆的半径为5米．∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米．B组(中档题)10．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝5 cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片311．(2020·成都树德中学二诊)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，CO 的延长线交AB于点D.若BC ＝6，sin ∠BAC ＝35，则AC CD ＝9013．12．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE ︵(可以是劣弧、优弧或半圆)上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE ︵为△ABC 的中内弧，例如，图中DE ︵是△ABC 其中的某一条中内弧．若在平面直角坐标系中，已知点F(0，4)，O(0，0)，H(4，0)，在△FOH 中，M ，N 分别是FO ，FH 的中点，则△FOH 的中内弧MN ︵所在圆的圆心P 的纵坐标m 的取值范围是m ≤1或m ≥2．13．如图，已知锐角△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R. (1)求证：ACsinB＝2R ；(2)若在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，AC ＝3，求BC 的长及sinC 的值．解：(1)证明：连接AO 并延长交⊙O 于点D ，连接CD ， ∵AD 为直径， ∴∠ACD ＝90°.在Rt △ACD 中，sin ∠ADC ＝AC AD ＝AC2R ，∵∠B ＝∠ADC ，∴sinB ＝AC2R .∴ACsinB＝2R. (2)由(1)知AC sinB ＝2R ，同理可得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC＝2R. ∴2R ＝3sin60°＝2.∴BC ＝2R ·sin ∠BAC ＝2sin45°＝ 2. 作CE ⊥AB ，垂足为E ， ∴BE ＝BC ·cosB ＝2cos60°＝22， AE ＝AC ·cos ∠BAC ＝3cos45°＝62. ∴AB ＝AE ＋BE ＝62＋22. ∴sin ∠ACB ＝AB 2R ＝6＋24.14．已知：如图1，在△ABC 中，BA ＝BC ，D 是平面内不与A ，B ，C 重合的任意一点，∠ABC ＝∠DBE ，BD ＝BE.(1)求证：△ABD ≌△CBE ；(2)如图2，当点D 是△ABC 的外接圆圆心时，请判断四边形BECD 的形状，并证明你的结论．解：(1)证明：∵∠ABC ＝∠DBE ， ∴∠ABD ＝∠CBE.又∵BA ＝BC ，BD ＝BE ， ∴△ABD ≌△CBE(SAS)． (2)四边形BECD 是菱形．证明：∵△ABD ≌△CBE ，∴AD ＝CE. ∵点D 是△ABC 的外接圆圆心， ∴AD ＝BD ＝CD.又∵BD ＝BE ，∴BD ＝BE ＝EC ＝CD. ∴四边形BECD 是菱形．C 组(综合题)15．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝42，E ，F 分别为BC ，AD 上的点，过点E ，F 的直线将正方形ABCD 的面积分为相等的两部分，过点A 作AG ⊥EF 于点G ，连接DG ，则线段DG的最小值为。

第三章圆第5节确定圆的条件课堂练习学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、单选题1．直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（）A．三角形内B．三角形外C．斜边的中点D．不能确定2．如图所示，△ABC内接于△O，△C＝45°．AB＝4，则△O的半径为()A．22B．4C．23D．53．在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为()A．0B．1C．2D．0或1 4．有下列四个命题:△经过三个点一定可以作圆;△等弧所对的圆周角相等;△三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等;△在同圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦.其中正确的有()A．0B．1C．2D．35．有一边长为23的正三角形，则它的外接圆的面积为（）A．23πB．43πC．4πD．12π6．A，B，C为平面上的三点，AB＝2，BC＝3，AC＝5，则()A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆周上B．可以画一个圆，使A，B在圆周上，C在圆内C．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆外D．可以画一个圆，使A，C在圆周上，B在圆内7．用一根铁丝围成一个正方形，正方形的边长是4.71厘米，如果用这根铁丝围成一个圆，这个圆的直径是（）厘米？(π取3.14)A．6B．3C．60D．208．下列命题：①三角形的内心是三角形内切圆的圆心；②三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；③平分弦的直径垂直于这条弦；④平面上任意三点确定一个圆.⑤圆内接四边形的对角互补.其中，真命题有()．A．两个B．三个C．四个D．五个评卷人得分二、填空题9．已知三角形的边长分别为6，8，10，则它的外接圆的半径是___________．10．如图，O的半径为1，P是O外一点，2OP ，Q是O上的动点，线段PQ 的中点为M，连接OP、OM.则线段OM的最小值是__________．11．下面是“作出弧AB所在的圆”的尺规作图过程．已知：弧AB．求作：弧AB所在的圆．作法：如图，（1）在弧AB上任取三个点D，C，E；（2）连接DC，EC；（3）分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．（4）以O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的弧AB所在的圆．请回答：该尺规作图的依据是_____．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC外接圆的圆心坐标是________，半径是________．13．以矩形ABCD的顶点A为圆心作A，要使B、C、D三点中至少有一点在A 内，且至少有一点在A外，如果12BC=，5CD=，则A的半径r的取值范围为________．14．已知正ABC的边长为6，那么能够完全覆盖这个正ABC的最小圆的半径是_____．15．如图，ABC与DEF均为等边三角形，△O是ABC的内切圆，同时也是DEF的外接圆．若AB=1cm，则DE=_____cm．16．如图，在△O中，弦BC=1，点A是圆上一点，且△BAC=30°，则△O的半径是．评卷人得分三、解答题17．尺规作图：已知△ABC，如图．（1）求作：△ABC的外接圆△O；（2）若AC＝4，△B＝30°，则△ABC的外接圆△O的半径为．18．（1）如图，已知AB、CD是大圆△O的弦，AB＝CD，M是AB的中点．连接OM，以O为圆心，OM为半径作小圆△O．判断CD与小圆△O的位置关系，并说明理由；（2）已知△O，线段MN，P是△O外一点．求作射线PQ，使PQ被△O截得的弦长等于MN．（不写作法，但保留作图痕迹）19．如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD△BC，垂足为点F，△ABC的平分线交AD 于点E，连接BD，CD．(1)求证：BD＝CD；(2)请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．20．如图，在Rt△ABC中，△ACB＝90°，AC＝6，CB＝8，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求证：AC＝AE；（2）求△ACD外接圆的直径．参考答案：1．C【解析】【分析】垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，由此可得出此交点在斜边中点．【详解】△直角三角形的外接圆圆心在斜边中点，△直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的斜边中点．故选：C．【点睛】本题主要考查了三角形外接圆的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.2．A【解析】【详解】试题解析：连接OA，OB．45,C∠=︒90AOB∴∠=︒，△在Rt AOB△中，2 2.OA OB==故选A.点睛:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半.3．D【解析】【详解】分析：分两种情况讨论：△A、B、C三个点共线，不能做圆；△A、B、C三个点不在同一条直线上，有且只有一个圆．解答：解：当A、B、C三个点共线，过A、B、C三个点不能作圆；当A、B、C不在同一条直线上，过A、B、C三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆；故选D．4．C【解析】【分析】根据圆的认识、圆周角定理、三角形外心的性质对各小题进行逐一分析即可．【详解】解：△经过在同一条直线上的三个点不能作圆，只有三个点不在同一条直线上时才可以作圆，故本小题错误；△等弧所对的圆周角相等，符合圆周角定理，故本小题正确；△三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以到三角形各顶点的距离都相等，故本小题正确；△在同圆中，平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，故本小题错误．故选：C．【点睛】本题考查的是命题与定理，熟知圆的性质、圆周角定理、三角形外心的性质及其垂径定理的推论是解答此题的关键．5．C【解析】【详解】解：△正三角形的边长为3，可得其外接圆的半径为223cos3023︒÷⨯=，故其面积为4π故选C．【点睛】本题考查等边三角形的性质与运用，其三边相等，三个内角相等，均为60度．6．D【解析】【分析】由已知可得AB+BC=AC，故可知可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆内．【详解】△A，B，C是平面内的三点，AB=2，BC=3，AC=5，△AB+BC=AC，△可以画一个圆，使A，C在圆上，B在圆内．故选D．【点睛】本题主要考查确定圆的条件，正确确定A、B、C三点的位置关系是解决本题的关键．7．A【解析】【分析】根据正方形的周长与圆的周长公式即可列出方程进行求解.【详解】设圆的直径为d，依题意得4×4.71=3.14×d解得d=6，故选A.【点睛】此题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键根据题意找到等量关系进行求解.8．B【解析】【分析】根据三角形的内心△进行判断；根据三角形的外心对△进行判断；根据垂径定理对△进行判断；根据确定圆的条件△进行判断；根据圆内接四边形的性质对△进行判断；【详解】①三角形的内心是三角形内切圆的圆心；正确.②三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；正确.③平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦；故错误.④平面上不在同一条直线上的三点确定一个圆.故错误.⑤圆内接四边形的对角互补.正确.正确的有3个.故选B.【点睛】考查三角形的内心，外心，垂径定理等，比较基础.难度不大.9．5【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，那么外接圆的半径等于斜边的一半，计算即可解答．根据直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点，由勾股定理求得斜边，即可得出答案．【详解】△三角形的三条边长分别为6，8，10，62+82=102，△此三角形是以10为斜边的直角三角形，△这个三角形外接圆的半径为10÷2=5．故答案为5．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆；三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．10．0.5【解析】【分析】设OP与△O交于点N，连结MN，OQ，如图可判断MN为△POQ的中位线，则MN=1 2OQ=12，则点M在以N为圆心，12为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为12．【详解】解：设OP与△O交于点N，连结MN，OQ，如图，△OP=2，ON=1，△N是OP的中点，△M为PQ的中点，△MN为△POQ的中位线，△MN=12OQ=12×1=12，△点M在以N为圆心，12为半径的圆上，当点M在ON上时，OM最小，最小值为12，△线段OM的最小值为0.5．故答案为0.5．【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．11．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．【解析】【分析】由中垂线的性质知OD=OC=OE，继而根据“平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”可得．【详解】△分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O，△OD=OC=OE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），△点A、B、C、D、E在以O为圆心，OC长为半径的圆上（平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上），故答案为线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．【点睛】本题主要考查作图﹣尺规作图，解题的关键是熟练掌握中垂线的性质和圆的概念．12．（5，2）25【解析】【分析】找出三角形两边的垂直平分线的交点即可确定三角形的外心，再利用勾股定理即可求出半径．【详解】△△ABC 外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，又△BC 与AB 的垂直平分线交于点(5,2)，△点(5,2)到三角形三个顶点距离相等，△(5,2)点是三角形的外接圆圆心.△△ABC 外接圆的半径为，224225+=.故答案为（5，2）；25.【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆与外心.利用三角形两边的垂直平分线的交点确定△ABC 外接圆的圆心是解题的关键.13．513r <<【解析】【分析】先求出矩形对角线的长，然后由B 、C 、D 与△A 的位置，确定△A 的半径的取值范围．【详解】根据题意画出图形如下所示：△AB=CD=5，AD=BC=12，△AC=BD=22512+=13．△B 、C 、D 中至少有一个点在△A 内，且至少有一个点在△A 外，△点B 在△A 内，点C 在△A 外．△5＜r ＜13．故答案是：5＜r＜13．【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，要确定点与圆的位置关系，主要根据点与圆心的距离与半径的大小关系来进行判断．当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．14．23【解析】【分析】能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径是△ABC外接圆的半径，求出△ABC外接圆的半径即可解决问题．【详解】如图，那么能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径就是△ABC外接圆的半径，设△O是△ABC的外接圆，连接OB，OC，作OE△BC于E，△△ABC是等边三角形，△△A=60°，△BOC=2△A=120°，△OB=OC，OE△BC，△△BOE=60°，BE=EC=3，△sin60°=BEOB，△OB=23考点：（1）三角形的外接圆与外心；（2）等边三角形的性质15．12．【解析】【详解】试题分析：设AB与△O相切于M，连接OB，OM，得到OM△AB，由△O是等边△ABC的内切圆和等边三角形的性质，求出圆的半径，连接OD，过O作ON△DE于N，由△O 是等边△DEF的外接圆．解直角三角形即可得到结论．试题解析：设AB与△O相切于M，连接OB，OM，△OM△AB，△△O是等边△ABC的内切圆△△ABO=30°，OA=OB，△BM=12AB=12，△OM=36，连接OD，过O作ON△DE于N，△△O是等边△DEF的外接圆．△OD=OM=36，△ODN=30°，△DN=14，△DE=2DN=12．考点：1．三角形的内切圆与内心；2．等边三角形的性质；3．三角形的外接圆与外心．16．1【解析】【分析】连接OB，OC，根据△BAC=30°可得△BOC=60°，则△OBC为等边三角形，则OB=BC=1，即可得圆的半径是1．【详解】如图，连接OB，OC，△△BAC=30°，△△BOC=2△BAC=60°．△OB=OC，△△BOC是等边三角形．△OB=BC=1．故答案为：1．17．（1）答案见解析；（2）4．【解析】【分析】（1）确定三角形的外接圆的圆心，根据其是三角形边的垂直平分线的交点进行确定即可；（2）连接OA，OC，先证明△AOC是等边三角形，从而得到圆的半径．【详解】解：（1）作法如下：△作线段AB的垂直平分线，△作线段BC的垂直平分线，△以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆；（2）连接OA，OC，△△B＝30°，△△AOC＝60°，△OA＝OC，△△AOC是等边三角形，△AC＝4，△OA＝OC＝4，即圆的半径是4，故答案为4．【点睛】本题考查了尺规作三角形外接圆、圆中的计算问题，解题的关键是熟知“三角形边的垂直平分线的交点是三角形的外接圆的圆心”．18．（1）相切，证明见解析；（2）答案见解析【解析】【分析】（1）过点O作ON△CD，连接OA，OC，根据垂径定理及其推论可得△AMO=△ONC=90°，AM=CN，从而求证△AOM△△CON，从而判定CD与小圆O的位置关系；（2）在圆O上任取一点A，以A为圆心，MN为半径画弧，交圆O于点B，过点O 做AB的垂线，交AB于点C，然后以点O为圆心，OC为半径画圆，连接PO，取PO的中点D，以点D为圆心，OD为半径画圆，交以OC为半径的圆于点E，连接PE，交以OA为半径的圆于F,H两点，FH即为所求.【详解】解：（1）过点O作ON△CD，连接OA，OC△AB、CD是大圆△O的弦，AB＝CD，M是AB的中点，ON△CD△△AMO=△ONC=90°，AM=12AB,CN12CD，△AM=CN又△OA=OC△△AOM△△CON △ON=OM△CD与小圆O相切（2）如图FH即为所求【点睛】本题考查垂径定理及其推论，全等三角形的判定和性质，以及利用垂径定理作图，掌握相关知识灵活应用是本题的解题关键.19．（1）见解析（2）是【解析】【详解】试题分析：()1利用等弧对等弦即可证明．()2利用等弧所对的圆周角相等，BAD CBD∠=∠再等量代换得出DBE DEB∠=∠，从而证明DB DE DC==，所以B E C，，三点在以D为圆心，以DB为半径的圆.试题解析:(1)证明：△AD为直径，AD△BC，△由垂径定理得：.BD CD=△根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD=CD.(2)B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上．理由：由(1)知：.BD CD=△△1=△2，又△△2=△3，△△1=△3，△△DBE =△3+△4，△DEB =△1+△5， △BE 是△ABC 的平分线，△△4=△5，△△DBE =△DEB ，△DB =DE .由(1)知：BD =CD△DB =DE =DC .△B ,E ,C 三点在以D 为圆心,以DB 为半径的圆上. 20．（1）见解析；（2）35【解析】【详解】试题分析：()1先根据：90ACB ∠=︒得出AD 为圆O 的直径，可得出ACB AED ∠=∠．再由AD 是ABC 中BAC ∠的平分线可知CAD EAD ∠=∠，由HL 得出ACD AED △≌△，根据全等三角形的性质可知=.AC AE ()2根据勾股定理求出AB 的长，设,CD DE x == 则8,DB BC CD x =-=-1064EB AB AE =-=-=，在Rt BED △中，根据勾股定理得出x 的值，再由ACD △ 是直角三角形即可得出AD 的长． （1）证明△90ACB ∠=︒，且ACB ∠为圆O 的圆周角， △AD 为圆O 的直径，90AED ∴∠=︒，.ACB AED ∴∠=∠又AD 是ABC 中BAC ∠的平分线, △CAD EAD ∠=∠CD DE ∴=，△.ACD AED ≌△=.AC AE（2）△ABC 为直角三角形，且6,8AC CB ==，△根据勾股定理得：10.AB =由()1得到90,AED ∠=︒ 则有90BED ∠=︒，设,CD DE x == 则8,DB BC CD x =-=-1064EB AB AE =-=-=，在Rt BED △中，根据勾股定理得：222BD BE ED =+， 即222(8)4x x ，-=+解得： 3.x =3CD ∴=，又6AC =，ACD △为直角三角形， △根据勾股定理得：222226345.AD AC CD =+=+= 3 5.AD =。

北师大版九年级数学下第三章5 确定圆的条件（含答案）一、选择题1．下列四个命题中，正确的有()①经过三角形顶点的圆是三角形的外接圆；②任何一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；③任何一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；④三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点．A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列关于三角形的外心的说法中，正确的是()A．到三角形三个顶点的距离相等B．到三角形三条边的距离相等C．是三角形三条角平分线的交点D．是三角形三条中线的交点3．如图1，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四个点中的任意三个点，能画圆的个数是()图1A．1 B．2C．3 D．44．如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，3)，点B的坐标为(2，1)，点C的坐标为(2，－3)，则经画图操作可知，△ABC的外心的坐标应是()图2A．(0，0) B．(1，0)C．(－2，－1) D．(2，0)5．如图3，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，下列三角形中，外心不是点O的是()图3A．△ABE B．△ACF C．△ABD D．△ADE6．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图4所示，利用三块碎片中的一块最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是()图4A．①B．②C．③D．均不可能7．若点O是△ABC的外心，且∠BOC＝70°，则∠BAC的度数为()A．35°B．110°C．35°或145°D．35°或140°二、填空题8．如图5，将△ABC放在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A，B，C均落在格点上，用一个圆面去覆盖△ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________．图59．如图6，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O 的半径为6，则点P到AC的距离的最大值是________．图610．若点O 是等腰三角形ABC 的外心，且∠BOC ＝60°，底边BC ＝2，则△ABC 的面积为________________________________________________．三、解答题11．如图7，已知圆弧上有三点A ，B ，C.(1)用尺规作图法，找出BAC ︵所在圆的圆心O(保留作图痕迹，不写作法)；链接听P34例1归纳总结 (2)若△ABC 为等腰三角形，底边BC ＝16 cm ，腰AB ＝10 cm ，求圆片的半径R.图712.如图8，O 为平面直角坐标系的原点，点A 的坐标为(6，8)，点B 的坐标为(12，0)． (1)求证：AO ＝AB ；(2)用直尺和圆规作出△AOB 的外心P ； (3)求点P 的坐标．图813．如图9①，在△ABC中，BA＝BC，D是平面内不与点A，B，C重合的任意一点，∠ABC＝∠DBE，BD＝BE.(1)求证：△ABD≌△CBE；(2)如图②，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BECD的形状，并证明你的结论．图9附加题我们知道：过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆，那么我们来探究过四边形的四个顶点作圆的条件．(1)分别测量图10①②③中四边形的内角，如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个角之间有什么关系？图10(2)如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个角之间有上面的关系吗？试写出图④⑤中∠B＋∠D与180°之间的关系；(3)由上面的探究，试归纳出判定过四边形的四个顶点能作一个圆的条件．。