考点梳理 数的开方章节涉及的12个必考点全梳理(精编Word)

数的开方知识点及复习(1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。

(2）开平方：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方.(3）平方根的表示：a 的平方根记作：a 2±±或a 。

a 叫做被开方 （4）求一个数的平方根的方法：利用平方和开平方互为逆运算(5）平方根的性质①一个正数有两个平方根,它们互为相反数②0有一个平方根,它是0本身③负数没有平方根。

（6）算术平方根的定义:非负数a 的正的平方根。

（7）算术平方根表示:一个非负数a 的平方根用符号表示为：“a ”，读作：“根号a ”，其中a 叫做被开方数（8）算术平方根的性质:①正数a 的算术平方根是一个正数；②0的算术平方根是0；③负数没有算术平方根。

注:①算术平方根是非负数，具有非负数的性质;a （a≥0）是一个非负数, 即a ≥0； ②若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数;③平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1; ④非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：(a ）2=a （a ≥0）;⑤某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 2a =｜a|= ()()⎩⎨⎧<-≥00a a a a⑥平方根有三种表示形式：±a ，a ,－a ，它们的意义分别是：非负数a 的平方根,非负数a 的算术平方根，非负数a 的负平方根。

要特别注意: a ≠±a ⑦平方根与算术平方根的区别与联系：区别:①定义不同 ②个数不同: ③ 表示方法不同：联系：①具有包含关系： ②存在条件相同： ③ 0的平方根和算术平方根都是0。

知识点二、立方根：(1）立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根（也叫三次方根）。

如果x3=a ，则x 叫做a 的立方根。

记作：3a x = ,读作“三次根号a ” . （2）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方(3）求一个数的立方根的方法：利用立方和开立方互为逆运算（4）立方根的性质①一个正数有一个正的立方根，即若a>0,则03>a ②一个负数有一个负的立方根，即若a 〈0,则03<a ③0的立方根是0，即若a=0，则03=a .注：①若两数的立方根相等，则这两数相等；反之，若两数相等，则这两数的立方根相等；②立方根等于本身的数有0、1、—1. 典型例题：例1、x 为何值时，下列代数式有意义. (1）x 23+ （2）x x -+-22 （3）32+x （4）131-x (5）11-+x x （6）2)1(--x例2、已知2a-1的算术平方根是3，3a+b —1的平方根是4±，求a+2b 的平方根. 例3、若x 、y 都是实数，且233+-+-=x x y ，求x+3y 的平方根。

数的开方知识点及复习知识点一：平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。

（2）开平方：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方.（3）平方根的表示：a 的平方根记作:a 2±±或a 。

a 叫做被开方 （4）求一个数的平方根的方法：利用平方和开平方互为逆运算（5）平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数②0有一个平方根，它是0本身③负数没有平方根。

（6）算术平方根的定义：非负数a 的正的平方根。

（7）算术平方根表示：一个非负数a 的平方根用符号表示为：“a ”，读作：“根号a ”，其中a 叫做被开方数 （8）算术平方根的性质:①正数a 的算术平方根是一个正数；②0的算术平方根是0；③负数没有算术平方根。

注1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；(a≥0)是一个非负数, 即≥0;2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数； 3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1; 4).非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；5）.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 =|a|=6).平方根有三种表示形式：±a ，a ，－a ，它们的意义分别是：非负数a 的平方根，非负数a 的算术平 方 根，非负数a 的负平方根。

要特别注意： a ≠±a7).平方根与算术平方根的区别与联系：区别：①定义不同 ②个数不同： ③ 表示方法不同：联系:①具有包含关系： ②存在条件相同： ③ 0的平方根和算术平方根都是0。

知识点二、立方根：（1）立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根（也叫三次方根）。

如果x3=a ，则x 叫做a 的立方根。

记作：3a x = ,读作“三次根号a ” 。

（2）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方（3）求一个数的立方根的方法：利用立方和开立方互为逆运算 （4）立方根的性质①一个正数有一个正的立方根，即若a>0，则03>a ②一个负数有一个负的立方根，即若a<0，则03<a ③0的立方根是0，即若a=0，则03=a 。

数学开方知识点总结一、整数的平方根1、定义对于一个非负整数a，如果存在一个非负整数b，使得b * b = a，那么b就是a的平方根。

通常用符号√a来表示a的平方根。

2、性质（1）非负整数的平方根是一个非负整数。

即如果a是一个非负整数，那么它的平方根一定是一个非负整数。

（2）如果a是一个非负整数，那么a的平方根存在且唯一。

即对于任意一个非负整数a，存在唯一的一个非负整数b，使得b * b = a。

（3）如果a和b是两个非负整数，且a = b * b，那么a的平方根就是b。

3、计算方法（1）试除法试除法是一种通过逐步增大的方式逐个尝试所有可能的非负整数来找到a的平方根的方法。

这种方法比较原始，但是对于小的非负整数还是比较有效的。

（2）牛顿迭代法牛顿迭代法是一种通过不断逼近的方式来计算a的平方根的方法。

该方法利用函数的导数和函数值来不断逼近函数的零点，从而找到a的平方根。

这种方法通常比试除法更加高效，尤其对于大的非负整数。

4、应用整数的平方根在实际生活中有很多应用，比如在工程领域中，用来计算各种物理量的大小，比如速度、加速度、功率等。

在数学领域中，整数的平方根也有很多应用，比如在代数、几何等方面的应用。

二、实数的平方根1、定义对于一个非负实数a，如果存在一个非负实数b，使得b * b = a，那么b就是a的平方根。

同样地，通常用符号√a来表示a的平方根。

2、性质（1）非负实数的平方根是一个非负实数。

即如果a是一个非负实数，那么它的平方根一定是一个非负实数。

（2）如果a是一个非负实数，那么a的平方根存在且唯一。

即对于任意一个非负实数a，存在唯一的一个非负实数b，使得b * b = a。

（3）如果a和b是两个非负实数，且a = b * b，那么a的平方根就是b。

3、计算方法（1）试除法试除法也适用于计算非负实数的平方根，但是由于实数的数量级比较大，那么这种方法通常比较低效。

（2）牛顿迭代法和整数的平方根一样，牛顿迭代法也适用于计算非负实数的平方根。

《数的开方》全章复习与巩固一知识讲解（基础）【学习目标】1.了解平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；了解开方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；2.理解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化；3.能用适当的有理数估计一个无理数的大致范围.【知识网络】【要点梳理】要点一：平方根和立方根项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示±4a需性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论(V^)2 = a{a > 0)[~a(a < 0)(Va)3=a= 丽要点二：实数冇理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分:［拓［正有理数 止数2 ［正无理数 实数Jo要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数.其中有限小数和 无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数.（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如厉，迈等；②有特殊意义的数,如兀;③有特定结构的数，如0. 1010010001…（3） 凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4） -------------------------- 实数和数轴上点是 对应的. 2. 实数与数轴上的点的对应关系数轴上的任何一个点都对应一个实数,反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之 对应，即实数与数轴上的点一一对应.3. 实数的三个非负性及性质在实数范南内，正数和零统称为非负数。

我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1） 任何一个实数d 的绝对值是非负数，即丨。

数的开方知识点与复习数的开方是数学中的一个重要概念，它在解决许多数学问题和实际应用中都有着广泛的用途。

下面我们就来系统地复习一下数的开方的相关知识点。

首先，我们要明白什么是数的开方。

开方运算和乘方运算是互逆的。

如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根。

例如，因为3 的平方是 9，所以 3 是 9 的平方根；同理，－3 也是 9 的平方根。

一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。

正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“＼（＼sqrt{a}＼）”。

所以，＼（＼sqrt{9}＝3\）。

接下来，我们再说说立方根。

如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根。

正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是 0。

在进行数的开方运算时，有几个重要的性质需要记住。

性质一：＼（＼sqrt{a^2}＝｜a|＼）。

当a≥0 时，＼（＼sqrt{a^2}＝a\）；当 a<0 时，＼（＼sqrt{a^2}＝a\）。

性质二：＼（（＼sqrt{a}）＾2 ＝ a\）（a≥0）。

性质三：＼（＼sqrt{ab}＝＼sqrt{a}＼cdot\sqrt{b}＼）（a≥0，b≥0）；＼（＼frac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼frac{a}｛b}｝＼）（a≥0，b>0）。

在实际计算中，我们常常会遇到一些需要估算平方根或立方根的情况。

例如，要估算\（＼sqrt{7}＼）的值，因为\（＼sqrt{4}＜＼sqrt{7}＜＼sqrt{9}＼），所以 2 ＜＼（＼sqrt{7}＼）＜ 3 。

然后我们可以进一步尝试更精确的估算。

为了更方便地进行开方运算，我们还需要掌握一些常见数的平方根和立方根。

比如，＼（＼sqrt{2}＼approx 1414\），＼（＼sqrt{3}＼approx 1732\），＼（＼sqrt{5}＼approx 2236\）；＼（＼sqrt3{2}＼approx 1260\），＼（＼sqrt3{3}＼approx 1442\）。

《数的开方》全章复习与巩固—知识讲解（提高）责编：杜少波【学习目标】1.了解平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；了解开方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根；2.理解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化；3.能用适当的有理数估计一个无理数的大致范围.【知识网络】【要点梳理】要点一：平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示a±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22aaaaaaaaa333333)(aaaaaa-=-==要点二：实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2等；②有特殊意义的数， 如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点的对应关系数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应，即实数与数轴上的点一一对应. 3.实数的三个非负性及性质在实数范围内，正数和零统称为非负数。

我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；（30≥ (0a ≥).非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【典型例题】类型一、平方根和立方根1、下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（ ） A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5个 【答案】B ；【解析】①负数有立方根；②0的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1. 【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键. 举一反三：【变式】下列说法其中错误的是（ ）A ．5是25的算术平方根B ．()24-的平方根是－4 C ．()34-的立方根是－4D ．0的平方根与立方根都是0【答案】B ；2、已知M 是满足不等式63<<-a 的所有整数a 的和，N 是满足不等式2237-≤x 的最大整数．求M ＋N 的平方根． 【答案与解析】 解：∵36a -<<的所有整数有－1，0，1，2所有整数的和M ＝－1＋1＋0＋2＝2 ∵2237-≤x ≈2，N 是满足不等式2237-≤x 的最大整数． ∴N ＝2∴M ＋N ＝4，M ＋N 的平方根是±2.【总结升华】先由已知条件确定M 、N 的值，再根据平方根的定义求出M ＋N 的平方根． 类型二、实数的概念与运算3、（2014秋•章丘市校级期末）设x 是的整数部分，y 是的小数部分，化简|x﹣y ﹣3|．【思路点拨】求出的范围，得出x=5，y=﹣5，代入求出即可．【答案与解析】 解：∵＜＜，∴5＜＜6， ∴x=5，y=﹣5， ∴|x ﹣y ﹣3|=|5﹣（﹣5）﹣3|=|7﹣| =7﹣．【总结升华】本题考查了估算无理数的大小和绝对值，解此题的关键是求出x 、y 的大小． 举一反三：【变式】 已知5＋11的小数部分为a ，5－11的小数部分为b ，则a ＋b 的值是 ；a －b 的值是_______.【答案】1;2117a b a b +=-=-；提示：由题意可知113a =-，411b =-.4、已知无理数10在3.1622与3.1623之间，π在3.1415与3.1416之间．求10−π的值．（结果精确到百分位）【思路点拨】先求出10−π的值的区间，再求出近似数． 【答案与解析】解：∵无理数10在3.1622与3.1623之间，π在3.1415与3.1416之间．∴3.1622－3.1416＜10−π＜3.1623－3.1415， 0.0206＜10−π＜0.0208， ∴10−π≈0.02．【总结升华】中间过程应多保留一位小数. 举一反三：【变式】（2015春•北京校级期中）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值．小明的方法：∵＜＜，设=3+k （0＜k ＜1）， ∴（）2=（3+k ）2， ∴13=9+6k+k 2，∴13≈9+6k ，解得k ≈， ∴≈3+≈3.67．（上述方法中使用了完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，下面可参考使用）问题： （1）请你依照小明的方法，估算 ≈ （结果保留两位小数）； （2）请结合上述具体实例，m 的公式：已知非负整数a 、b 、m ，若a m ＜a+1，且m=a 2+b m ≈ （用含a 、b 的代数式表示）．【答案】（1）6.08；（2）．解：（1）∵＜＜，设=6+k （0＜k ＜1），∴（）2=（6+k ）2， ∴37=36+12k+k 2， ∴37≈36+12k ，解得k ≈， ∴≈6+≈6.08．故答案为：6.08；（2）若a ＜m ＜a+1，且m=a 2+b ，则m ≈a+．故答案为：．类型三、实数综合应用5、（2016春•南昌期末）已知实数x 、y 满足，求2x ﹣的立方根．【答案与解析】解：由非负数的性质可知：2x ﹣16=0，x ﹣2y +4=0， 解得：x=8，y=6．∴2x ﹣y=2×8﹣×6=8． ∴2x ﹣的立方根是2．【总结升华】本题主要考查的是非负数的性质、立方根的定义，求得x 、y 的值是解题的关键．举一反三：【变式】设a 、b 、c 都是实数，且满足08)2(22=+++++-c c b a a ， 求23a b c --的值.【答案】解：∵08)2(22=+++++-c c b a a∴220080a a b c c -=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，解得248a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴2341280a b c --=-+=.6、如图，数轴上A、B两点，表示的数分别为－1和3，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．【思路点拨】首先结合数轴和利用已知条件可以求出线段AB的长度，然后利用对称的性质即可求出点C所表示的实数．【答案与解析】解：∵数轴上A、B两点，表示的数分别为－13∴点B到点A的距离为13则点C到点A的距离也为13，设点C的坐标为x，则点A到点C的距离为－1－x=13∴x=－23【总结升华】此题主要考查了实数与数轴之间的定义关系，其中利用了：当点C为点B关于点A的对称点，则点C到点A的距离等于点B到点A的距离．两点之间的距离为两数差的绝对值．。

第章数的开方知识点总结数的开方是数学中的一个重要概念，它表示一个数的平方根。

在解决各种数学问题以及实际生活中的应用中，数的开方常常用到。

本文将对数的开方的基本概念、性质、计算方法以及其应用进行总结。

一、数的开方的基本概念数的开方是指求一个数的平方根。

对于非负实数a，如果有一个非负实数x，使得x的平方等于a，那么x就是a的平方根，记作√a。

二、数的开方的性质1.非负数的开方是唯一的。

即对于任意非负实数a，只有一个非负实数x，使得x的平方等于a。

2.平方根是非负实数。

即对于任意非负实数a，它的平方根也一定是非负实数。

三、数的开方的计算方法1.分解因数法：将被开方数分解成若干个互质的因数的乘积，然后对每个因数分别开方。

2.二分逼近法：从区间的两个端点开始，取区间中点作为试探值，然后逐步逼近所要求的平方根。

3.等差平方根法：根据等差数列的性质，可通过等差数列的特点，或相邻两项之间的差值关系，直接计算出平方根的近似值。

四、数的开方的应用1.几何学中的应用：如计算正方形的对角线长度、长方形的对角线长度等。

2.物理学中的应用：如计算速度、加速度等。

3.统计学中的应用：如计算标准差等。

4.工程学中的应用：如计算电路的电阻、计算建筑物的面积等。

五、注意事项1.负数的开方是复数，不是实数。

正数的开方是唯一的，但负数的开方有两个解，一正一负。

2.有时候需要对数的开方进行近似计算，可以使用牛顿迭代法等方法。

六、数的开方的扩展1.平方根的概念可以扩展到其他次方根的概念，如立方根、四次方根等。

2.对于复数，也可以进行开方运算，得到复数的开方。

总之，数的开方是数学中一个重要的概念，它有着广泛的应用。

通过对数的开方的基本概念、性质、计算方法以及应用的总结，我们可以更好地理解数的开方，并能够灵活运用数的开方解决各种数学问题以及实际生活中的应用。

第11章 数的开方知识点总结1.关于平方根:（1）一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数;（2）0只有一个平方根,是它本身;（3）负数没有平方根.2.非负数a 的平方根表示为)0(≥±a a ,算术平方根表示为a .3.若A 有意义,则0≥A .即要求被开方数为非负数.其中的A 既可以是单个的字母,也可以是代数式.4.算术平方根等于它本身的数是0,1.5.a 具有双重非负性:（1）0≥a ;（2）0≥a .6.若几个非负数的和等于0,则每个非负数分别等于0.写出公式为: 若02=++C B A ,则⎪⎩⎪⎨⎧===000C B A7.若B A -与A B -都有意义,则.B A = 8.()a a =±2,分开来记为:（1）()a a =2;（2）()a a =-2. 9.⎩⎨⎧≤-≥==)0()0(2a a a a a a . 10.b a b a +≠+11.b a b a ⋅=. 12.)0(≥a a 与a 的平方根是不一样的.如16的平方根是4±,而16的平方根是2±.13.介绍一个新概念——完全平方数如果一个数是另一个整数的完全平方,那么这个数就叫做完全平方数.如0、1、4、9、16、25等都是完全平方数.完全平方数可用于估算某些无理数的值（如开方开不尽）.14.任何实数都有立方根,且每个数的立方根只有一个.正数的立方根是正数,负数的立方根是负数.15.关于立方根的重要结论:（1）()a a =33;（2）a a =33;（3）若33B A -=（或033=+B A ）,则0=+B A .16.立方根等于它本身的数是0,±1.17.有理数和无理数统称为实数,实数的分类:实数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧等数）如开方开不尽，无理数（无限不循环小或无限循环小数）分数（可化为有限小数负整数正整数整数有理数π0 18.实数与数轴上的点是一一对应的:任何一个实数都可以用数轴上的一个点表示,数轴上的任何一个点,都表示一个实数.这种关系就是一一对应.。

考点梳理：数的开方章节涉及的12个必考点全梳理（精编Word）考点1 平方根与立方根的定义解决此类问题关键是掌握一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个正数的平方 根有2个；任意一个数的立方根只有1个．例题1 下列说法中，正确的是（ ）A ．﹣5是（﹣5）2的算术平方根B ．16的平方根是±4C ．2是﹣4的算术平方根D ．27的立方根是±3【分析】利用平方根、立方根的性质判断即可． 【解析】A 、5是（﹣5）2的算术平方根，不符合题意； B 、16的平方根是±4，符合题意； C 、2是4的算术平方根，不符合题意； D 、27的立方根是3，不符合题意． 故选：B ．【小结】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟掌握各自的性质是解本题的关键．变式1 下列结论中，其中正确的是（ ）A ．√81的平方根是±9B ．√100=±10C ．立方根等于本身的数只有0.1D ．√−63=−√63【分析】根据平方根，立方根的定义逐项计算可判断求解．【解析】A ．∵√81=9，9的平方根为±3，∴√81的平方根为±3，故原说法错误； B .√100=10，故原说法错误；C ．立方根等于本身的数只有0，﹣1，1，故原说法错误；D .√−63=−√63，故原说法正确． 故选：D ．【小结】本题主要考查平方根，立方根，根据平方根及立方根的定义逐项计算可判断求解．变式2 下列说法：①±3都是27的立方根；②116的算术平方根是±14；③−√−83=2；④√16的平方根是±4；⑤﹣9是81的算术平方根，其中正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的定义找到错误选项即可． 【解析】①3是27的立方根，原来的说法错误；②116的算术平方根是14，原来的说法错误； ③−√−83=2是正确的；④√16=4，4的平方根是±2，原来的说法错误； ⑤9是81的算术平方根，原来的说法错误． 故其中正确的有1个． 故选：A ．【小结】考查立方根，平方根，算术平方根的知识；用到的知识点为：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根；一个正数的平方根有2个；任意一个数的立方根只有1个．变式3 下列说法正确的是（ ）A ．若√a 2=−a ，则a ＜0B ．若√a 2=a ，则a ＞0C ．√a 4b 8=a 2b 4D ．3的平方根是√3【分析】根据平方根和算术平方根的定义分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【解析】A 、若√a 2=−a ，则a ≤0，故本选项错误； B 、若√a 2=a ，则a ≥0，故本选项错误； C 、√a 4b 8=a 2b 4，故本选项正确； D 、3的平方根是±√3，故本选项错误； 故选：C ．【小结】此题考查了平方根和算术平方根，熟练掌握平方根和算术平方根定义是解本题的关键．考点2 算术平方根的小数点移动规律解决此类问题关键是掌握一个被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位；例题2由√3≈1.732，得√300≈17.32，则√0.03≈，√30000≈．从以上结果可以发现，被开方数的小数点向左或向右移动位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位．【分析】根据算术平方根的定义进行解答即可．【解析】∵√300≈17.32，∴√0.03≈0.1732，√30000≈173.2，从以上结果可以发现，被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动1位；故答案为：0.1732，173.2，两．【小结】此题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是本题的关键．变式4如表所示，被开方数a的小数点位置移动和它的算术平方根√a的小数点位置移动规律符合一定的规律，若√a=180，且−√3.24=−1.8，则被开方数a的值为．a…0.0000010.011100100001000000…√a…0.0010.11101001000…【分析】根据题意和表格中数据的变化规律，可以求得a的值．【解析】∵√a=180，且−√3.24=−1.8，∴√3.24=1.8，∴√32400=180，∴a＝32400，故答案为：32400．【小结】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确算术平方根的定义，求出相应的a的值．变式5若√25.36=5.036，√253.6=15.906，则√253600=（）A．50.36B．503.6C．159.06D．1.5906【分析】根据已知等式，利用算术平方根定义判断即可得到结果．【解析】∵√=5.036，∴√=√×√10000=5.036×100＝503.6，故选：B．【小结】本题考查了算术平方根．解题的关键是掌握算术平方根的定义以及算术平方根的被开方数小数点移动的规律．变式6设√5=m，√7=n，则√0.056可以表示为（）A．mn25B．mn20C．mn15D．mn10【分析】首先把小数化为分数，为便于开方根据分数基本性质，分子分母同时扩大10倍，再根据二次根式的性质与化简，即可求得结论．【解析】√0.056=√561000=√56010000=√560100=√16×5×7100=4×√5×√7100=mn25；故选：A．【小结】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是二次根式化简时把小数化为分数，注意尝试怎样拆分数据可简便运算．考点3 算术平方根的非负性解决此类问题关键是掌握算术平方根，绝对值，偶次乘方均具有非负性.例题3若实数x，y满足|x﹣3|+√y−1=0，则（x+y）3的平方根为（）A．4B．8C．±4D．±8【分析】利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案．【解析】∵|x﹣3|+√y−1=0，∴x﹣3＝0，y﹣1＝0，∴x＝3，y＝1，则（x+y）3＝（3+1）3＝64，64的平方根是：±8．故选：D．【小结】此题主要考查了算术平方根以及绝对值的性质，正确把握相关定义是解题的关键．变式7已知实数x和y满足√x2−4+（y3+8）2＝0，则x+y的值为（）A．0B．﹣4C．0或﹣4D．±4【分析】根据非负数的性质即可求出答案．【解析】由题意可知：x2﹣4＝0，y3+8＝0，∴x＝±2，y＝﹣2，∴x+y＝0或﹣4，故选：C．【小结】本题考查非负数的性质，解题的关键是熟练运用非负数的性质，本题属于基础题型．变式8已知（2a+b）2与√3b+12互为相反数，则b a＝．【分析】根据相反数的概念列出算式，根据非负数的性质求出a、b的值，计算即可．【解析】由题意得，（2a+b）2+√3b+12=0，则2a+b＝0，3b+12＝0，解得，a＝2，b＝﹣4，则b a＝（﹣4）2＝16，故答案为：16．【小结】本题考查了非负数的性质和相反数，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．变式9已知：实数a、b满足关系式（a﹣2）2+|b+√3|+√2009−c=0，求：b a+c+8的值．【分析】根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性求解a，b，c的值，再代入计算即可求解．【解析】由题意得a−2=0，b+√3=0，2009−c=0，解得a＝2，b=−√3，c＝2009，∴b a+c+8=(−√3)2+2009+8＝2020．【小结】本题主要考查算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，代数式求值，求解a，b，c的值是解题的关键．考点4 利用平方根与立方根性质解方程解决此类问题关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．例题4 计算下列各式的x 的值：（1）12x 2=8；（2）13（x +1）3＝﹣9．【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用立方根的定义化简即可求出解． 【解析】（1）方程变形得：x 2＝16，开方得：x ＝±4；（2）方程变形得：（x +1）3＝﹣27，开立方得：x +1＝﹣3，解得：x ＝﹣4． 【小结】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．变式10 求下列各式中x 的值（1）25x 2＝4； （2）（x +1）3＝﹣27．【分析】（1）根据等式的性质，可得平方的形式，根据开方运算，可得答案； （2）根据开立方运算，可得一元一次方程，根据解方程，可得答案． 【解析】（1）方程两边都除以25，得 x 2=425，开方得，x =±25；（2）开立方得，x +1＝﹣3，移项得，x ＝﹣4．【小结】本题主要考查立方根和平方根的知识点，解答本题的关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．变式11 求下列各式中的x ：（1）4（x +2）2﹣16＝0； （2）（2x ﹣1）3+2627=1． 【分析】（1）先求出（x +2）的值，然后解方程即可； （2）求出（2x ﹣1）的值，解方程即可得出x 的值． 【解析】（1）由题意得，4（x +2）2＝16， ∴（x +2）2＝4，∴x +2＝±2， 解得x ＝0或﹣4；（2）由题意得，（2x ﹣1）3=127， ∴2x ﹣1=13，∴x =23．【小结】此题考查了平方根的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握一个正数的平方根有两个，不要漏解．变式12 解方程：（1）（x ﹣4）2＝6； （2）13(x +3)3−9＝0．【分析】（1）根据平方根的定义解答即可；（2）把方程整理为（x +3）3＝27，再根据立方根的定义解答即可． 【解析】（1）（x ﹣4）2＝6， x −4=±√6，∴x ＝4+√6或x ＝4−√6；（2）13(x +3)3−9＝0，13(x +3)3=9， （x +3）3＝27， x +3=√273， x +3＝3， ∴x ＝0．【小结】本题主要考查了平方根与立方根，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．考点5 平方根与立方根性质的运用解决此类问题关键是注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．例题5已知4a+1的平方根是±3，b﹣1的算术平方根为2．（1）求a与b的值；（2）求2a+b﹣1的立方根．【分析】（1）首先根据4a+1的平方根是±3，可得：4a+1＝9，据此求出a的值是多少；然后根据b﹣1的算术平方根为2，可得：b﹣1＝4，据此求出b的值是多少即可．（2）把（1）中求出a与b的值代入2a+b﹣1，求出算术的值是多少，进而求出它的立方根是多少即可．【解析】（1）∵4a+1的平方根是±3，∴4a+1＝9，解得a＝2；∵b﹣1的算术平方根为2，∴b﹣1＝4，解得b＝5．（2）∵a＝2，b＝5，∴2a+b﹣1＝2×2+5﹣1＝8，3=2．∴2a+b﹣1的立方根是：√8【小结】此题主要考查了立方根、平方根、算术平方根的含义和求法，要熟练掌握．变式13已知4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4．（1）求a，b的值；（2）求6a+3b的平方根．【分析】（1）运用立方根和算术平方根的定义求解．（2）根据平方根，即可解答．【解析】（1）∵4a+7的立方根是3，2a+2b+2的算术平方根是4，∴4a+7＝27，2a+2b+2＝16，∴a＝5，b＝2；（2）由（1）知a＝5，b＝2，∴6a+3b＝6×5+3×2＝36，∴6a+3b的平方根为±6．【小结】本题考查了平方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、算术平方根的定义．变式14已知2a+1的平方根是±3，3a+2b﹣4的立方根是﹣2，求4a﹣5b+8的立方根．【分析】先根据平方根，立方根的定义列出关于a、b的二元一次方程组，再代入进行计算求出4a﹣5b+8的值，然后根据立方根的定义求解．【解析】∵2a+1的平方根是±3，3a+2b﹣4的立方根是﹣2，∴2a+1＝9，3a+2b﹣4＝﹣8，解得a＝4，b＝﹣8，∴4a﹣5b+8＝4×4﹣5×（﹣8）+8＝64，∴4a﹣5b+8的立方根是4．【小结】本题考查了平方根，立方根的定义，列式求出a、b的值是解题的关键．变式15已知3a+4a+5a+6a+7a+8a＝165，且a+11的算术平方根是m，5a+2的立方根是n．求n m的平方根．【分析】先由3a+4a+5a+6a+7a+8a＝165，即33a＝165得出a＝5，再结合a+11的算术平方根是m，5a+2的立方根是n得出m、n的值，代入求解可得．【解析】∵3a+4a+5a+6a+7a+8a＝165，即33a＝165，∴a＝5，又a+11的算术平方根是m，即16的算术平方根是m，∴m＝4，∵5a+2的立方根是n，即27的立方根是n，∴n＝3，则n m＝34＝81的平方根为±9．【小结】本题主要考查立方根，解题的关键是掌握立方根、平方根及算术平方根的定义．考点6 无理数的概念解决此类问题关键是掌握无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√2，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．例题6 在以下实数227，3.14159265，√93，√36，π3中，无理数的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解析】227是分数，属于有理数；3.14159265是有限小数，属于有理数； √36=6，是整数，属于有理数；无理数有：√93，π3共2个．故选：B ．【小结】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√2，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．变式16 在√16，−π2，﹣5.1⋅8⋅，−√93，47，0.317311731117…，这几个数中，无理数的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解析】√16=4，是整数，属于有理数；−5.1．8．是循环小数，属于无理数；47是分数，属于有理数； 无理数有：−π2，−√93，0.317311731117…共3个．故选：C ．【小结】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．变式17如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y为√3时，输入值x为3或9；②当输入值x为16时，输出值y为√2；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是（）A．①②B．②④C．①④D．①③【分析】根据运算规则即可求解．【解析】①x的值不唯一．x＝3或x＝9或81等，故①说法错误；②输入值x为16时，√16=4，√4=2，即y=√2，故②说法正确；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故③说法错误；④当x＝1时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．其中错误的是①③．故选：D．【小结】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．变式18如图是一个无理数筛选器的工作流程图．（1）当x为16时，y值为；（2）是否存在输入有意义的x值后，却输不出y值？如果存在，写出所有满足要求的x值；如果不存在，请说明理由；（3）当输出的y值是√3时，判断输入的x值是否唯一，如果不唯一，请写出其中的两个．【分析】（1）根据运算规则即可求解；（2）根据0的算术平方根是0，即可判断；（3）根据运算法则，进行逆运算即可求得无数个满足条件的数．【解析】（1）当x＝16时，√16=4，√4=2，故y值为√2．故答案为：√2；（2）当x＝0，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；（3）x的值不唯一．x＝3或x＝9．【小结】本题考查了二次根式有意义的条件，正确理解给出的运算方法是关键．考点7 估算无理数的大小解决此类问题关键是掌握无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，√2，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．例题7下列整数中，与6−√11最接近的是（）A．2B．3C．4D．5【分析】用逼近法即可进行无理数大小的估算．【解析】∵9＜11＜16，∴3＜√11＜4，∵3.52＝12.25＞11，∴3＜√11＜3.5∴2.5＜6−√11＜3．∴与6−√11最接近的是3．故选：B．【小结】本题考查了估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．变式19若a＜√28−√7＜a+1，其中a为整数，则a的值是（）A．1B．2C．3D．4【分析】先把√28−√7化简，再估算√7的范围即可．【解析】√28−√7=2√7−√7=√7，∵22＜7＜32，∴2＜√7＜3，∵a＜√28−√7＜a+1，其中a为整数，∴a＝2．故选：B．【小结】此题主要考查了估算无理数的大小，正确估算√7的范围是解答本题的关键．变式20阅读下面的文字，解答问题，例如：∵√4＜√7＜√9，即2＜√7＜3，∴√7的整数部分为2，小数部分为（√7−2）．请解答：（1）√17的整数部分是，小数部分是．（2）已知：5−√17小数部分是m，6+√17小数部分是n，且（x+1）2＝m+n，请求出满足条件的x的值．【分析】（1）直接利用估算无理数的大小的方法分别得出答案；（2）直接利用（1）中所求即可得出m，n的值，进而得出x的值．【解析】（1）∵√16＜√17＜√25，∴4＜√17＜5，∴√17的整数部分是：4，小数部分是：√17−4；故答案为：4，√17−4；（2）∵5−√17小数部分是m，6+√17小数部分是n，∴m＝5−√17，n＝6+√17−10=√17−4，∴m+n＝1，∴（x+1）2＝1，解得：x＝0或﹣2．【小结】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．变式21阅读下面的文字，解答问题．大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用√2−1来表示√2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请解答：（1）若√13的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b−√13的值．（2）已知：10+√3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．【分析】（1）先估算出√13的范围，求出a、b的值，再代入求出即可；（2）先估算出√3的范围，再求出x、y的值，再代入要求的式子进行计算即可．【解析】（1）∵3＜√13＜4，∴a＝3，b=√13−3，∴a2+b−√13=32+√13−3−√13=6；（2）∵1＜√3＜2，又∵10+√3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，∴x＝11，y=√3−1，∴x﹣y＝11﹣（√3−1）＝12−√3．【小结】本题考查了估算无理数的大小，能估算出√13，√3的范围是解此题的关键．考点8 实数与数轴的对应关系例题8如图，在数轴上，AB＝AC，A，B两点对应的实数分别是√3和﹣1，则点C对应的实数是（）A．2√3B．2√3−2C．√3+1D．2√3+1【分析】求出AB的距离，再求出点C所表示的数．【解析】AB=√3−（﹣1）=√3+1，∵AB＝AC，A所表示的实数为√3，点C在点A的右侧，∴点C所表示的数为：√3+（√3+1）＝2√3+1，故选：D．【小结】考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义是解决问题的前提，变式22如图，3，√11在数轴上的对应点分别为C，B，点C是AB的中点，则点A表示的数是（）A．−√11B．3−√11C．√11−3D．6−√11【分析】设点A表示的数是x，再根据中点坐标公式即可得出x的值．【解析】设点A表示的数是x，∵数轴上表示3、√11的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，∴√11+x2=3，解得x＝6−√11．故选：D．【小结】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上的点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．变式23在数轴上，点A表示实数3，以点A为圆心，2+√5的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C 表示的实数是（）A．5+√5B．1−√5C．√5−1或5+√5D．1−√5或5+√5【分析】在数轴上利用左减右加的规律计算点C表示的实数．【解析】根据题意得：3+2+√5=5+√5，3﹣（2+√5）＝1−√5，则点C表示的实数是5+√5或1−√5，故选：D．【小结】此题考查了实数与数轴，熟练掌握左减右加的规律是解本题的关键．变式24 如图，一只蚂蚁从点A 沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B ，点A 表示−√2，设点B 所表示的数为m ． （1）求m 的值． （2）求|m ﹣1|+m +6的值．【分析】（1）根据正负数的意义计算；（2）根据绝对值的意义和实数的混合运算法则计算．【解析】（1）由题意A 点和B 点的距离为2，A 点的坐标为−√2，因此B 点坐标m ＝2−√2． （2）把m 的值代入得：|m ﹣1|+m +6 ＝|2−√2−1|+2−√2+6， ＝|1−√2|+8−√2， =√2−1+8−√2， ＝7．【小结】本题考查了数轴、绝对值和实数的混合运算，熟练掌握数轴的意义和实数的运算法则是解题的关键．考点9 实数大小比较例题9 比较下列实数的大小（填上＞、＜或＝）．①π 3.14159；②√5034；③√22 √33．【分析】根据实数大小比较的法则进行比较即可．【解析】①π＞3.14159； ②∵4=√643∴√503＜4；③（√22）2=12，（√33）2=13， ∵12＞13， ∴√22＞√33． 故答案为：＞；＜；＞．【小结】此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．变式25 5−√2，2+√52，2+√2的大小关系是（ ）A ．2+√2＞2+√52＞5−√2 B ．5−√2＞2+√52＞2+√2C ．2+√52＞5−√2＞2+√2 D ．5−√2＞2+√2＞2+√52【分析】先根据√52＜√2，利用不等式的性质可以判断第2个和第3个数的大小，最后由作差法可得第一个数和第3个数的大小．【解析】∵5＜8， ∴√5＜√8，∴√52＜√2， ∴2+√52＜2+√2，∵（5−√2）﹣（2+√2）＝3﹣2√2＞0， ∴5−√2＞2+√2＞2+√52；故选：D ．【小结】本题考查了实数大小的比较，先观察每个数的特点，常利用作差法，不等式的性质，作商法，数轴法等比较两个数的大小．变式26 已知0＜x ＜1，则√x 、1x、x 2、x 的大小关系是（ ）A ．√x ＜x 2＜x ＜1xB ．x ＜x 2＜1x ＜√xC ．x 2＜x ＜√x ＜1x D ．1x＜√x ＜x 2＜x【分析】根据0＜x ＜1，可得：0＜x 2＜x ＜√x ＜1，1x ＞1，据此判断即可．【解析】∵0＜x ＜1，∴0＜x 2＜x ＜√x ＜1，1x ＞1，∴x 2＜x ＜√x ＜1x ．故选：C ．【小结】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．变式27已知min{√x，x2，x}表示取三个数中最小的那个数，例如：当x＝9，min{√x，x2，x}＝min{√9，92，9}＝3﹒当min{√x，x2，x}=116时，则x的值为（）A．116B．18C．14D．12【分析】本题分别计算√x=116，x2=116，x=116的x值，找到满足条件的x值即可．首先从x的值代入来求，由x≥0，则x＝01，2，3，4，5，则可知最小值是0，最大值是6．【解析】当√x=116时，x=1256，x＜√x，不合题意；当x2=116时，x＝±14，当x=−14时，x＜x2，不合题意；当x=14时，√x=12，x2＜x＜√x，符合题意；当x=116时，x2=1256，x2＜x，不合题意，故选：C．【小结】本题主要考查实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用．考点10 实数的混合运算在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．例题10计算﹣12﹣（﹣2）3×18+√−273×|−13|+|1−√3|【分析】直接利用立方根以及对值的性质分别化简得出答案．【解析】原式＝﹣1+8×18−3×13+√3−1＝﹣1+1﹣1+√3−1=√3−2．【小结】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．变式28计算：3×(√4−√3)×√1−19 273−|√3−2|【分析】直接利用立方根的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．【解析】原式＝3×（2−√3）×23−（2−√3）＝4﹣2√3−2+√3＝2−√3．【小结】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．变式29 计算：（﹣1）2020+（﹣2）3×18−√−273×（−√19）．【分析】首先计算乘方、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可． 【解析】（﹣1）2020+（﹣2）3×18−√−273×（−√19） ＝1+（﹣8）×18−（﹣3）×（−13） ＝1﹣1﹣1 ＝﹣1．【小结】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．正确化简各数是解题关键．变式30 计算：√−83−√1−1625+|2−√5|+√(−4)2 【分析】直接利用立方根以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．【解析】原式＝﹣2−35+√5−2+4=−35+√5．【小结】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．考点11 实数中的定义新运算例题11 对于任意两个不相等的数a ，b ，定义一种新运算“⊕”如下：a ⊕b =√a+ba−b ，如：3⊕2=√3+23−2=√5，那么12⊕4＝ ．【分析】先依据定义列出算式，然后再进行计算即可． 【解析】12⊕4=√12+412−4=√2．故答案为：√2．【小结】本题主要考查的是算术平方根的性质，根据定义运算列出算式是解题的关键．变式31对于能使式子有意义的有理数a，b，定义新运算：a△b=3a+ba−3b．如果|x+1|+√+|xz+2|＝0，则x△（y△z）＝．【分析】先根据绝对值、二次根式的非负性，求出x、y、z的值，再根据新运算的规定计算x△（y△z）的值．【解析】∵|x+1|≥0，√y−3≥0，|xz+2|≥0，又∵|x+1|+√y−3+|xz+2|＝0，∴|x+1|＝0，√y−3=0，|xz+2|＝0．∴x+1＝0，y﹣3＝0，xz+2＝0．∴x＝﹣1，y＝3，z＝2．∵y△z=3y+z 3−3z=−11 3．x△（y△z）＝﹣1△（−11 3）=3×(−1)−113−1−3×(−113)=−203 10=−2 3．故答案为：−2 3．【小结】本题考查了绝对值、二次根式的非负性及实数的混合运算，理解并运用新定义运算的规定是解决本题的关键．变式32对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b={a(若a≥b)b(若a＜b)，a⊗b={b(若a≥b)a(若a＜b)，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，（（﹣2）⊕3）⊗2＝2．那么（√5⊕2）⊗√273等于（）A．3√5B．3C．√5D．6【分析】直接利用已知运算公式进而分析得出答案．【解析】（√5⊕2）⊗√273=√5⊗√273=√5⊗3=√5．故选：C．【小结】此题主要考查了实数运算，正确运用公式是解题关键．变式33对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★b={b(a≤b)√a2−b2(a＞b)，则√7★（√2★√3）＝（）A．1B．2C．﹣1D．﹣2【分析】先依据法则知√2★√3=√3，据此得出原式=√7★√3，再次利用法则计算可得．【解析】∵√2＜√3，∴√2★√3=√3，则原式=√7★√3=√(√7)2−(√3)2=√7−3=√4＝2，故选：B．【小结】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序和运算法则及对新定义的理解．考点12 实数的性质综合例题12如图①是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．（1）求出这个魔方的棱长；（2）图①中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图②，使得点A与﹣1重合，那么点D在数轴上表示的数为．【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可；（2）根据棱长，求出每个小正方体的边长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解；（3）用点A表示的数减去边长即可得解．【解析】（1）设魔方的棱长为x，则x3＝8，解得：x＝2；（2）∵棱长为2，∴每个小立方体的边长都是1，∴正方形ABCD的边长为：√2，∴S正方形ABCD=(√2)2=2；（3）∵正方形ABCD的边长为√2，点A与﹣1重合，∴点D在数轴上表示的数为：﹣1−√2，故答案为：﹣1−√2．【小结】本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长．变式34如图，4×4方格中每个小正方形的边长都为1．（1）直接写出图（1）中正方形ABCD的面积及边长；（2）在图（2）的4×4方格中，画一个面积为8的格点正方形（四个顶点都在方格的顶点上）；并把图（2）中的数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数√8．【分析】（1）根据面积求出正方形的边长，再根据边长的长和面积公式即可求出答案；（2）根据勾股定理和正方形的面积公式即可画出图形，利用圆规，以O为圆心，正方形的边长为半径画弧可得实数√8的位置．【解析】（1）正方形的边长是：√，面积为：√5×√5=5．（2）见图：在数轴上表示实数√8，【小结】本题考查了三角形的面积，实数与数轴，用到的知识点是勾股定理，以及勾股定理的应用，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．变式35如图甲，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，总体积为64cm3．（1）这个魔方的棱长为cm；（2）图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求这个正方形的边长；（3）把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点A与数1重合，则D在数轴上表示的数为．【分析】（1）魔方是个正方体，正方体的体积等于棱长的三次方；（2）这个正方形ABCD的边长是小立方体一个面的对角线的长度；（3）点D表示的数是负数，它的绝对值比正方形ABCD的边长少1．【解析】（1）设魔方的棱长为acm，根据题意得a3＝64∴a＝4故答案为4．（2）设小正方体的棱长为bcm，根据题意得8b3＝64∴b＝2∴所以根据勾股定理得CD2＝22+22∴CD＝√8答：这个正方形的边长是√8cm．（3）由（2）知，AD＝√8∴点D对应的数的绝对值是√8-1，∵点D对应的数是负数∴点D对应的数是1﹣√8故答案为1﹣√8．【小结】本题考查了正方体的体积、实数与数轴之间的关系和勾股定理．正方体的体积＝棱长的立方．实数与数轴上的点是一一对应的关系，要在数轴上表示一个实数，要知道这个实数的正负性和绝对值．变式36如图1，纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸，我们可以把它剪开拼成一个正方形．（1）拼成的正方形的边长为．（2）如图2，以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形，以数轴上表示的﹣1点为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点A，那么点A表示的数是．（3）如图3，网格中每个小正方形的边长为1，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，求新的正方形的面积和边长．【分析】（1）设拼成的正方形的边长为a，根据总面积列方程可解答；（2）结合（1），并根据圆中半径相等，结合数轴上点的特点可解答；（3）根据图形求出阴影部分的面积，即为新正方形的面积，开方即可求出边长．【解析】（1）设拼成的正方形的边长为a，则a2＝5，a=√5，即拼成的正方形的边长为√5，故答案为：√5；（2）由（1）得点A表示的数为√5−1，故答案为：√5−1；（3）根据图形得：S阴影＝2×2×2×12+2×2×12=4+2＝6，即新的正方形的面积为6，新正方形的边长为√6．【小结】此题考查了实数、数轴、几何图形及算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．。

干货｜初中数学数的开方知识点梳理本章内容课标的要求● 1.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。

● 2.了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算会求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根。

● 3.了解实数和无理数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数和绝对值。

● 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围。

● 5.了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。

如何落实课标的要求◆ 加强对平方根、算术平方根、立方根、实数和无理数的概念的理解。

在中学数学基础知识中，数学概念是最基本的内容，也是最普遍的形式。

所谓数学概念，是指数学名词和术语，尤其是数学名词。

学习数学最有意义的是对概念、定理、公式等结论的发现和抽象概括过程，我们把这些需要探究的概念、定理和公式纳入“探究”系列之中。

如：通过以下的填空题来加强对平方根、算术平方根、立方根的理解。

◆ 让学生根据平时学习的经验，熟记1-20的数的平方，1-9的数的立方。

◆ 对本章的知识点进行综合训练数学是一门系统科学，数学知识是由概念和原理组成的系统。

每个概念总是与其他概念有关系，每个概念都包含在某个系统中。

有时也可以用类比的方法来进行辨析，类比是根据两个或“两类”对象之间有部分属性相同，从而推出它们在某些方面的某种属性也可能相同的一种逻辑推理的方法。

包括从特殊到一般，从一般到特殊的推理。

其特点是:利用一些客观事物的相似性，以一个系统的研究为手段，获取另一个系统的信息。

请认真完成上述题目查看答案请下翻！。

数的开方知识点及复习例2、已知2a-1的算术平方根是 3，3a+b-1的平方根是 ±4，求a+2b 的平方根。

例3、若X 、y 都是实数，且y =J x -3+j 3-x +2，求x+3y 的平方根。

知识点一：平方根(1)(2)(3) (4) (5) (6)平方根的定义：如果一个数的平方等于 a ，这个数就叫做a 的平方根。

开平方：求一个数 a 的平方根的运算叫做开平方. 平方根的表示：a 的平方根记作：土^/舌或土丿^。

a 叫做被开方 求一个数的平方根的方法：利用平方和开平方互为逆运算 平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数② 算术平方根的定义：非负数 a 的正的平方根。

0有一个平方根，它是 0本身③负数没有平方根。

算术平方根表示：一个非负数a 的平方根用符号表示为：算术平方根的性质：①正数a 的算术平方根是一个正数；②注1)算术平方根是非负数，具有非负数的性质；五(a > 0)是一个非负数，即2)若两数的平方根相等或互为相反数时， 这两数相等；反之，若两非负数相等时,3)平方根等于本身的数只有0,算术平方根等于本身的数有0、1；(瞩)2=a(a > 0);a(a > 0) -a(a <0)(7) (8) 4).非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即:“ j a ”读作：“根号a ”其中a 叫做被开方数 0的算术平方根是0;③负数没有算术平方根。

為> 0;它们的平方根相等或互为相反数;5 ).某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 肿 =|a|=6).平方根有三种表示形式：± j a , j a ，-j a ,它们的意义分别是：非负数a 的平方根，非负数a 的算术平方根，非负数a 的负平方根。

要特别注意：j a 工± j a7) .平方根与算术平方根的区别与联系：区别：①定义不同 ②个数不同：③ 表示方法不同：联系：①具有包含关系： ②存在条件相同：③0的平方根和算术平方根都是知识点二、立方根： (1)立方根的定义：如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做 a 的立方根(也叫三次方根)。

数的开方知识点汇总安皋二中八年级数学组一、平方根、算术平方根1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a那么这个数就叫做数a的平方根。

即如果x2= a那么x就是a有平方根。

2、平方根的性质：(1）正数有两个平方根,它们互为相反数。

（2）0的平方根是0（3）负数没有平方根（因为任何数的平方都是一个非负数）3、平方根的表示方法一个非负数a的平方根可表示为±a,读作正负根号a其实它的完整写法是±2a我们称2是根指数，a叫做被开方数,叫根号，我们平常省略了根指数2.3、算术平方根（1、）定义：一个正数的正的平方根叫做这个数的算术平方根。

（2)表示方法:一个非负数a的算术平方根可表示为a,读作根号a，（3）算术平方根的性质：①正数有一个正的算术平方根。

②0的算术平方根是0③负数没有平方根，当然也没有算术平方根。

（4）a的双重非负性①首先，a要有意义，首先被开方数必须是一个非负数。

②其次，a表示一个非数的算术平方根，它的值不可能是一个负数,即它的值是一个非负数。

综上：a中a≥0 a≥0(5）初中所学的三类非负数ⅰ：绝对值非负即｜a｜≥0ⅱ：偶次方非负即a偶次≥0ⅲ：算术平方根非负即当a≥0时a≥04、立方根(1、)定义:如果一个数的立方等于a那么这个数就叫做a的立方根。

即如果x3=a那么x就是a的立方根。

（2、)立方根的表示方法：一数a的立方根表示为3a，读作三次根号a其中3叫做根指数，a叫被开方数。

（当根指数是2时可以省略,是3或其数时不能省略）（3、）立方根的性质:任何数都有立方根且只有一个正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数。

5、数的开方中的几个公式：（1）2a||a=（a为任意实数）(2、）（a）2=a （a≥0)（3、）（3a）3= a（a为任意实数)（4、）aa=33(a为任意实数）(5、）—3a=3a-（a为任意实数)6、实数与数轴（1、）无理数的定义：无限不循环小数叫无理数（2、）实数的定义：有理数和无数统称为实数。

第12章《数的开方》知识点一、知识点：1、平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。

正数a有两个平方根，它们互为相反数，记作±a，a称为被开方数．0的平方根只有一个，就是0，记作0＝0．负数没有平方根。

2、算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a，读作“根号a”．3、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根．4、立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。

任何数（正数、负数或零）都有且仅有一个立方根．数a的立方根，记作3a，读作“三次根号a”，a称为被开方数，3称为根指数。

5、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。

6、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

7、实数：有理数与无理数统称为实数。

8、实数与数轴上的点一一对应．二、知识点应用：1、49的平方根是，算术平方根是 .2、5是的平方根，-9的平方根 .3、1是的立方根，-1是的立方根.4、-27的立方根是，0的立方根是 .5、若某数的一个平方根是2，则这个数是，它的另一个平方根是 .6、若某数的立方根是-3，则这个数是 .7、如果一个实数有且只有一个平方根，那么这个数是 .8、如果一个实数有且只有一个立方根，那么这个数是 .9、数轴上表示5-的点与原点的距离是________；10、2-的相反数是，3的倒数是，13-的相反数是；11、81的平方根是______，4的算术平方根是_______，210-的算术平方根是；12、计算：_______10_________,112561363=-=--，2224145-=；13、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是；14、当______m时，m-3有意义；当______m时，33-m有意义；15、若一个正数的平方根是12-a和2+-a，则____=a，这个正数是；16、已知)3(122=++-ba，则=332ab；17、在实数0、3、6-、236.2、π、723、14.3中无理数的个数是（）A、1B、2C、3D、418、36的平方根是（）（A）6 （B）±6（C）6（D）6±19、一个数的平方根是它本身，则这个数的立方根是（）．（A） 1 （B） 0 （C） -1 （D）1，-1或020、数3.14，2，π，0.323232…，71，9，21+中，无理数的个数为（）．（A）2个（B）3个（C）4个（D）5个21、下列等式：①81161=，②()2233-=-，③()222=-，④3388-=-⑤416±=，⑥24-=-；正确的有（）个．（A）4 （B）3 （C）2 （D）1。

初二数学必备知识点：数的开方开方是数学运算的一种，指求一个数的方根的运算，是乘方的逆运算。

下面是店铺收集整理的初二数学《数的开方》的必备知识点以供大家学习。

初二数学必备知识点：数的开方1.平方根的定义：若x2=a,那么x叫a的平方根，(即a的平方根是x);注意：(1)a叫x的平方数，(2)已知x求a叫乘方，已知a求x叫开方，乘方与开方互为逆运算.2.平方根的性质：(1)正数的平方根是一对相反数;(2)0的平方根还是0;(3)负数没有平方根.3.平方根的表示方法：a的平方根表示为和 .注意：可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.4.算术平方根：正数a的正的平方根叫a的算术平方根，表示为 .注意：0的算术平方根还是0.5.三个重要非负数：a2≥0 ,|a|≥0 ，≥0 .注意：非负数之和为0，说明它们都是0.6.重要公式：(a≥0)7.立方根的定义：若x3=a,那么x叫a的立方根，(即a的立方根是x).注意：(1)a叫x的立方数;(2)a的立方根表示为 ;即把a开三次方.8.立方根的性质：(1)正数的立方根是一个正数;(2)0的立方根还是0;(3)负数的立方根是一个负数.9.立方根的特性： .10.无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：?和开方开不尽的数是无理数.11.实数：有理数和无理数统称实数.12.实数的分类：(1) (2) .13.数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.14.无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示;如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意：(1)近似计算时，中间过程要多保留一位;(2)要求记忆初二数学必备知识点：分式1.分式：一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示为的形式，如果B中含有字母，式子叫做分式。

2.有理式：整式与分式统称有理式。

3.对于分式的两个重要判断：(1)若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义;(2)若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零;注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义。