初中数学七年级下册第9章整式乘法与因式分解9.3多项式乘多项式作业设计

9.3多项式乘多项式教学目标：1、理解和掌握单项式与多项式的乘法法则，并会用其推导多项式乘多项式的乘法法则.2、会进行多项式乘多项式的运算（其中多项式仅指一次式）3、经历探索多项式乘多项式运算法则的过程，发展有条理的思考及语言能表达能力。

4、通过反馈练习，培养学生计算能力和综合运用知识的能力。

教学重点：多项式乘法法则的把握和领悟教学难点：法则的探索及运用教学过程：一、前提测评1、单项式乘多项式的法则是什么？2、计算 （1）)3()2(2bc c a -•- （2）)3(6b a a --二、探索新知现有若干块长方形纸片，你们能用它们拼大长方形吗？交流你们的拼法，并计算你所拼图形的面积。

由此得到 bd bc ad ac d c b a +++=++)(）（ 那么有没有同学能利用我们前面学习过的单项式乘多项式的知识来推导这一结论呢？ 一般的，对于任意的a 、b 、c 、d ，把（c+d ）看成一个整体，利用单项式乘多项式法则bd bc ad ac d c b d c a +++=+++=)()(（上面的运算也可以表示为bd bc ad ac d c b a +++=++)(）（ 仿照上述式子，你能计算)(e d c b a +++）（吗？ 下面我们来总结一下如何进行多项式乘多项式的运算：多项式与多项式想乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

三、例题解读例1、计算)32)((3)3)(52(1+++--b a b a y x y x ）（）（ 2)2(4)2)(1(2b a n n n +++）（）（注意：多项式与多项式相乘的结果中，要合并同类项。

练一练：)37)(37(2)22)(2(1x x x x +--+）（）（例2、计算 )3)(2(3)3)(2(2)3)(2(1---+++x x x x x x ）（）（）（上述式子中，在等号左边的两个多项式有什么特点？观察字母部分和数字部分 等号右边的多项式中，它的一次项系数、常数项跟左边的数字有什么联系。

9.3 多项式乘多项式一．选择题（共5小题）1．若（x+2）（x﹣1）＝x2+mx+n，则m+n＝（）A．1B．﹣2C．﹣1D．22．若2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a、b为整数，则a+b之值为何？（）A．﹣4B．﹣2C．0D．43．设M＝（x﹣3）（x﹣7），N＝（x﹣2）（x﹣8），则M与N的关系为（）A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不能确定4．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干X，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（2a+b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的X数分别为（）A．2，3，7B．3，7，2C．2，5，3D．2，5，75．已知（x﹣m）（x+n）＝x2﹣3x﹣4，则m﹣n的值为（）A．1B．﹣3C．﹣2D．3二．填空题（共3小题）6．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干X，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片X．7．有若干X如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的长方形，则需要A类卡片X，B类卡片X，C类卡片X．8．有足够多的长方形和正方形的卡片，如图．如果选取1号、2号、3号卡片分别为1X、2X、3X，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．（1）请画出如图这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．这个长方形的代数意义是．（2）小明想用类似的方法拼成了一个边长为a+3b和2a+b的矩形框来解释某一个乘法公式，那么小明需用2号卡片X，3号卡片X．三．解答题（共10小题）9．若（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，（1）求p、q的值；（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值．10．已知代数式（mx2+2mx﹣1）（x m+3nx+2）化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出m，n的值，并求出一次项系数．11．观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1…①根据以上规律，则（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝．②你能否由此归纳出一般性规律：（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x+1）＝．③根据②求出：1+2+22+…+234+235的结果．12．你能化简（x﹣1）（x99+x98+…+…+x+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手．然后归纳出一些方法．（1）分别化简下列各式：（x﹣1）（x+1）＝；（x﹣1）（x2+x+1）＝；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝；…（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）＝．（2）请你利用上面的结论计算：299+298+…+2+1．13．计算：（1）（3x+2）（2x﹣1）；（2）（2x﹣8y）（x﹣3y）；（3）（2m﹣n）（3m﹣4n）；（4）（2x2﹣1）（2x﹣3）；（5）（2a﹣3）2；（6）（3x﹣2）（3x+2）﹣6（x2+x﹣1）．14．已知多项式x2+ax+1与2x+b的乘积中含x2的项的系数为3，含x项的系数为2，求a+b 的值．15．甲乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．请你计算出a、b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果．16．先阅读后作答：根据几何图形的面积关系可以说明整式的乘法．例如：（2a+b）（a十b）＝2a2+3ab+b2，就可以用图①的面积关系来说明．（1）根据图②写出一个等式：（2）（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，请你画出一个相应的几何图形加以说明．17．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b ＝2时的绿化面积．18．如图①，在边长为3a+2b的大正方形纸片中，剪掉边长2a+b的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片．（1）求出拼成的长方形纸片的长和宽；（2）把这个拼成的长方形纸片的面积加上10a+6b后，就和另一个长方形的面积相等．已知另一长方形的长为5a+3b，求它的宽．参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．若（x+2）（x﹣1）＝x2+mx+n，则m+n＝（）A．1B．﹣2C．﹣1D．2【分析】依据多项式乘以多项式的法则进行计算，然后对照各项的系数即可求出m，n的值，再相加即可求解．【解答】解：∵原式＝x2+x﹣2＝x2+mx+n，∴m＝1，n＝﹣2．∴m+n＝1﹣2＝﹣1．故选：C．【点评】本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．2．若2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a、b为整数，则a+b之值为何？（）A．﹣4B．﹣2C．0D．4【分析】先把等式右边整理，在根据对应相等得出a，b的值，代入即可．【解答】解：∵2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，∴2x3﹣ax2﹣5x+5＝2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+b+3，∴﹣a＝a﹣2b，ab+1＝5，b+3＝5，解得b＝2，a＝2，∴a+b＝2+2＝4．故选：D．【点评】本题考查了多项式乘以多项式，让第一个多项式的每一项乘以第二个多项式的每一项，再把所得的积相加．3．设M＝（x﹣3）（x﹣7），N＝（x﹣2）（x﹣8），则M与N的关系为（）A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不能确定【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，比较即可得到答案．【解答】解：M＝（x﹣3）（x﹣7）＝x2﹣10x+21，N＝（x﹣2）（x﹣8）＝x2﹣10x+16，M﹣N＝（x2﹣10x+21）﹣（x2﹣10x+16）＝5，则M＞N．故选：B．【点评】本题考查的是多项式乘多项式，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．4．如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干X，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（2a+b）的大长方形，则需要A类、B类和C类卡片的X数分别为（）A．2，3，7B．3，7，2C．2，5，3D．2，5，7【分析】根据长方形的面积＝长×宽，求出长为a+3b，宽为2a+b的大长方形的面积是多少，判断出需要A类、B类、C类卡片各多少X即可．【解答】解：长为a+3b，宽为2a+b的长方形的面积为：（a+3b）（2a+b）＝2a2+7ab+3b2，∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，∴需要A类卡片2X，B类卡片3X，C类卡片7X．故选：A．【点评】此题主要考查了多项式乘多项式的运算方法，熟练掌握运算法则是解题的关键．5．已知（x﹣m）（x+n）＝x2﹣3x﹣4，则m﹣n的值为（）A．1B．﹣3C．﹣2D．3【分析】把原式的左边利用多项式乘多项式展开，合并后与右边对照即可得到m﹣n的值．【解答】解：（x﹣m）（x+n）＝x2+nx﹣mx﹣mn＝x2+（n﹣m）x﹣mn，∵（x﹣m）（x+n）＝x2﹣3x﹣4，∴n﹣m＝﹣3，则m﹣n＝3，故选：D．【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解本题的关键．二．填空题（共3小题）6．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干X，如果要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，则需要C类卡片 3 X．【分析】拼成的大长方形的面积是（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，即需要一个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形和3个C类卡片的面积是3ab．【解答】解：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．则需要C类卡片3X．故答案为：3．【点评】本题考查了多项式乘多项式的运算，需要熟练掌握运算法则并灵活运用，利用各个面积之和等于总的面积也比较关键．7．有若干X如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的长方形，则需要A类卡片 2 X，B类卡片 1 X，C类卡片 3 X．【分析】首先分别计算大矩形和三类卡片的面积，再进一步根据大矩形的面积应等于三类卡片的面积和进行分析所需三类卡片的数量．【解答】解：长为2a+b，宽为a+b的矩形面积为（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，A图形面积为a2，B图形面积为b2，C图形面积为ab，则可知需要A类卡片2X，B类卡片1X，C类卡片3X．故答案为：2；1；3．【点评】此题考查的内容是整式的运算与几何的综合题，方法较新颖．注意对此类问题的深入理解．8．有足够多的长方形和正方形的卡片，如图．如果选取1号、2号、3号卡片分别为1X、2X、3X，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．（1）请画出如图这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．这个长方形的代数意义是a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）．（2）小明想用类似的方法拼成了一个边长为a+3b和2a+b的矩形框来解释某一个乘法公式，那么小明需用2号卡片 3 X，3号卡片7 X．【分析】（1）画出相关草图，表示出拼合前后的面积即可；（2）得到所给矩形的面积，看有几个b2，几个ab即可．【解答】解：（1）如图所示：故答案为：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）；（2）（a+3b）（2a+b）＝2a2+ab+6ab+3b2＝2a2+7ab+3b2，需用2号卡片3X，3号卡片7X．故答案为：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）；3；7．【点评】考查多项式与多项式相乘问题；根据面积的不同表示方法得到相应的等式是解决本题的关键．三．解答题（共10小题）9．若（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）的积中不含x项与x3项，（1）求p、q的值；（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014的值．【分析】（1）形开式子，找出x项与x3令其系数等于0求解．（2）把p，q的值入求解．【解答】解：（1）（x2+px﹣）（x2﹣3x+q）＝x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p﹣）x2+（qp+1）x+q，∵积中不含x项与x3项，∴P﹣3＝0，qp+1＝0∴p＝3，q＝﹣，（2）（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014＝[﹣2×32×（﹣）]2++×（﹣）2＝36﹣+＝35．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是正确求出p，q的值10．已知代数式（mx2+2mx﹣1）（x m+3nx+2）化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，请分别求出m，n的值，并求出一次项系数．【分析】先把代数式按照多项式乘以多项式展开，因为化简后是一个四次多项式，所以x 的最高指数m+2＝4；不含二次项，即二次项的系数为0，即可解答．【解答】解：（mx2+2mx﹣1）（x m+3nx+2）＝mx m+2+3mnx3+2mx2+2mx m+1+6mnx2+4mx﹣x m﹣3nx﹣2，因为该多项式是四次多项式，所以m+2＝4，解得：m＝2，原式＝2x4+（6n+4）x3+（3+12n）x2+（8﹣3n）x﹣2∵多项式不含二次项∴3+12n＝0，解得：n＝，所以一次项系数8﹣3n＝8.75．【点评】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是明确化简后是一个四次多项式，所以x的最高指数m+2＝4；不含二次项，即二次项的系数为0，即可解答．11．观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1…①根据以上规律，则（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x7﹣1 ．②你能否由此归纳出一般性规律：（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x+1）＝x n+1﹣1 ．③根据②求出：1+2+22+…+234+235的结果．【分析】①观察已知各式，得到一般性规律，化简原式即可；②原式利用得出的规律化简即可得到结果；③原式变形后，利用得出的规律化简即可得到结果．【解答】解：①根据题意得：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x7﹣1；②根据题意得：（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x+1）＝x n+1﹣1；③原式＝（2﹣1）（1+2+22+…+234+235）＝236﹣1．故答案为：①x7﹣1；②x n+1﹣1；③236﹣1【点评】此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．12．你能化简（x﹣1）（x99+x98+…+…+x+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简单的情形入手．然后归纳出一些方法．（1）分别化简下列各式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1 ；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1 ；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1 ；…（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）＝x100﹣1 ．（2）请你利用上面的结论计算：299+298+…+2+1．【分析】（1）归纳总结得到规律，写出结果即可；（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．【解答】解：（1）（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）＝x100﹣1；（2）299+298+…+2+1＝（2﹣1）×（299+298+…+2+1）＝2100﹣1．故答案为：（1）x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；x100﹣113．计算：（1）（3x+2）（2x﹣1）；（2）（2x﹣8y）（x﹣3y）；（3）（2m﹣n）（3m﹣4n）；（4）（2x2﹣1）（2x﹣3）；（5）（2a﹣3）2；（6）（3x﹣2）（3x+2）﹣6（x2+x﹣1）．【分析】根据多项式乘多项式的法则，用第一个多项式的每一项成第二个多项式的每一项，把所得的积相加，可得（1）﹣﹣（4）的答案，根据乘法公式，可得（5）、（6）的答案．【解答】解（1）原式＝3x•2x﹣3x+2×2x﹣2＝6x2+x﹣2；（2）原式＝2x•x﹣2x•3y﹣8y•x+8y•3y＝2x2﹣14xy+24y2；（3）原式＝2m•3m﹣2m•4n﹣3m•n+n•4n＝6m2﹣11mn+4n2；（4）原式＝2x2•2x+2x2×（﹣3）﹣2x+3＝4x3﹣6x2﹣2x+3；（5）原式＝（2a）2﹣2•2a•3+32＝4a2﹣12a+9；（6）原式＝（3x）2﹣4﹣6x2﹣6x+6＝3x2﹣6x+2．【点评】本题考查了多项式乘多项式，根据法则计算是解题关键．14．已知多项式x2+ax+1与2x+b的乘积中含x2的项的系数为3，含x项的系数为2，求a+b 的值．【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据题意求出a与b的值，即可求出a+b的值．【解答】解：根据题意得：（x2+ax+1）（2x+b）＝2x3+（b+2a）x2+（ab+2）x+b，∵乘积中含x2的项的系数为3，含x项的系数为2，∴b+2a＝3，ab+2＝2，解得：a＝，b＝0；a＝0，b＝3，则a+b＝或3．15．甲乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10．请你计算出a、b的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果．【分析】先按乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b的值，再把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果．【解答】解：∵甲得到的算式：（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2+11x﹣10对应的系数相等，2b﹣3a＝11，ab＝10，乙得到的算式：（2x+a）（x+b）＝2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣9x+10对应的系数相等，2b+a＝﹣9，ab＝10，∴，解得：．∴正确的式子：（2x﹣5）（3x﹣2）＝6x2﹣19x+10．【点评】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心．16．先阅读后作答：根据几何图形的面积关系可以说明整式的乘法．例如：（2a+b）（a十b）＝2a2+3ab+b2，就可以用图①的面积关系来说明．（1）根据图②写出一个等式：（2）（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，请你画出一个相应的几何图形加以说明．【分析】（1）利用长方形的面积公式即可证明．（2）画一个长为x+p，宽为x+q的长方形即可．【解答】解：①（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2；②画出的图形如下：（答案不唯一，只要画图正确即得分）【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．17．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a＝3，b ＝2时的绿化面积．【分析】根据多项式乘多项式的法则求出阴影部分的面积，代入计算即可．【解答】解：阴影部分的面积＝（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2＝5a2+3ab，当a＝3，b＝2时，原式＝5×32+3×3×2＝63（平方米）．【点评】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．18．如图①，在边长为3a+2b的大正方形纸片中，剪掉边长2a+b的小正方形，得到图②，把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片．（1）求出拼成的长方形纸片的长和宽；（2）把这个拼成的长方形纸片的面积加上10a+6b后，就和另一个长方形的面积相等．已知另一长方形的长为5a+3b，求它的宽．【分析】（1）根据图①表示出拼成长方形的长与宽；（2）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．【解答】解：（1）长方形的长为：3a+2b+2a+b＝5a+3b．长方形的宽为：（3a+2b）﹣（2a+b）＝3a+2b﹣2a﹣b＝a+b．（2）另一个长方形的宽：[（5a+3b）（a+b）+10a+6b]÷（5a+3b）＝a+b+2．【点评】此题考查了整式的混合运算，弄清题意是解本题的关键．。

9.4 乘法公式一．选择题（共14小题）1．如图1，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下的部分剪开后拼成一个平行四边形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，b的恒等式为（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2+ab＝a（a+b）2．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．255054 B．255064 C．250554 D．2550243．可以运用平方差公式运算的有（）个．①（﹣1+2x）（﹣1﹣2x）；②（﹣1﹣2x）（1+2x）；③（ab﹣2b）（﹣ab﹣2b）．A．1 B．2 C．3 D．04．若x n﹣81＝（x2+9）（x+3）（x﹣3），则n等于（）A．2 B．4 C．6 D．85．已知a＝2005x+2004，b＝2005x+2005，c＝2005x+2006，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac 的值为（）A．0 B．1 C．2 D．36．将边长分别为a和b的两个正方形如图所示放置，则图中阴影部分的面积是（）A．b2B．a2C．a2﹣b2D．ab7．当a（a﹣1）﹣（a2﹣b）＝﹣2时，则﹣ab的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．88．如果9x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（）A．15 B．±5 C．30 D．±309．若a2﹣b2＝，a﹣b＝，则a+b的值为（）A．﹣B．C．D．210．有三种长度分别为三个连续整数的木棒，小明利用中等长度的木棒摆成了一个正方形，小刚用其余两种长度的木棒摆出了一个长方形，正方形和长方形每边只有一根木棒，则他们两人谁摆的面积大？（）A．小刚B．小明C．同样大D．无法比较11．已知x+＝5，那么x2+＝（）A．10 B．23 C．25 D．2712．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b213．若要使4x2﹣mx+成为一个完全平方式，则m的值应为（）A．B．﹣C．±D．﹣14．若9x2+2（k﹣3）x+16是完全平方式，则k的值为（）A．15 B．15或﹣15 C．39或﹣33 D．15或﹣9二．填空题（共6小题）15．一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加24cm，这个正方形的边长是cm．16．从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为a米的正方形土地租给马老汉栽种．过了一年，他对马老汉说：“我把你这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马老汉吃亏了．请运用本学期相关知识分析一下马老汉租用的土地面积亏了平方米．17．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是（用a、b的代数式表示）．18．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为．19．一个长方形的面积是2a2﹣2b2，如果它的一条边长是a﹣b，则它的周长是．20．为了交通方便，在一块长为am，宽为bm的长方形稻田内修两条道路，横向道路为矩形，纵向道路为平行四边形，道路的宽均为1m（如图），则余下可耕种土地的面积是m2．三．解答题（共5小题）21．如果a2﹣2（k﹣1）ab+9b2是一个完全平方式，那么k＝．22．通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式，①如图1，根据图中阴影部分的面积可表示为，还可表示为，可以得到的恒等式是②类似地，用两种不同的方法计算同一各几何体的体积，也可以得到一个恒等式，如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式是．23．计算：4a2b•（﹣ab2）3÷（2ab）24．先化简，再求值：（9x3y﹣12xy3+3xy2）÷（﹣3xy）﹣（2y+x）（2y﹣x），其中x＝1，y ＝﹣2．25．如图，有一块边长为（3a+2）米的正方形铁片，王师傅要制作一个工件，欲在正方形铁片中央剪去一个小正方形铁片，按照图纸要求剪去小正方形后工件的宽度为2b米．问剪去小正方形后工件的面积是多少？参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．如图1，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下的部分剪开后拼成一个平行四边形（如图2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a，b的恒等式为（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2+ab＝a（a+b）【分析】分别计算这两个图形阴影部分面积，根据面积相等即可得到．【解答】解：第一个图形的阴影部分的面积＝a2﹣b2，第二个图形面积＝（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：C．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．2．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．255054 B．255064 C．250554 D．255024【分析】由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n≤2017，解得n≤252，可得在不超过2017的正整数中，“和谐数”共有252个，依此列式计算即可求解．【解答】解：由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n≤2017，解得n≤252，则在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为32﹣12+52﹣32+…+5052﹣5032＝5052﹣12＝255024．故选：D．【点评】此题考查了平方差公式，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键．3．可以运用平方差公式运算的有（）个．①（﹣1+2x）（﹣1﹣2x）；②（﹣1﹣2x）（1+2x）；③（ab﹣2b）（﹣ab﹣2b）．A．1 B．2 C．3 D．0【分析】根据平方差公式的结构：（1）两个二项式相乘，（2）有一项相同，另一项互为相反数，对各项分析后利用排除法求解．【解答】解：①中﹣1同号，2x异号，符合平方差公式；②中两项均异号，不符合平方差公式；③中﹣2b同号，ab异号，符合平方差公式．所以有①③两个可以运用平方差公式运算．故选：B．【点评】此题考查了平方差公式的结构．解题的关键是准确认识公式，正确应用公式．4．若x n﹣81＝（x2+9）（x+3）（x﹣3），则n等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】（x2+9）（x+3）（x﹣3）根据平方差公式可以求出结果，然后根据已知等式即可求出n的值．【解答】解：∵（x2+9）（x+3）（x﹣3），＝（x2+9）（x2﹣9），＝x4﹣81，∴x n﹣81＝x4﹣81，∴n＝4．故选：B．【点评】本题考查了平方差公式，首先利用平方差公式化简等式的右边，然后根据多项式的项的指数相等来确定n的值．5．已知a＝2005x+2004，b＝2005x+2005，c＝2005x+2006，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac 的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】观察知可先把多项式转化为完全平方形式，再代入值求解．【解答】解：由题意可知a﹣b＝﹣1，b﹣c＝﹣1，a﹣c＝﹣2，所求式＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ca），＝[（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ac+c2）]，＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]，＝[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]，＝3．故选：D．【点评】本题考查了完全平方公式，属于基础题，关键在于灵活思维，对多项式扩大2倍是利用完全平方公式的关键．6．将边长分别为a和b的两个正方形如图所示放置，则图中阴影部分的面积是（）A．b2B．a2C．a2﹣b2D．ab【分析】由阴影部分面积等于两个正方形面积的和减去三个三角形面积．【解答】解：∵S阴影＝a2+b2﹣b2﹣（a+b）a﹣（a﹣b）a∴S阴影＝b2故选：A．【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，关键是利用面积法解决问题7．当a（a﹣1）﹣（a2﹣b）＝﹣2时，则﹣ab的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．8【分析】先把条件化简得到a﹣b的值，再把代数式通分后利用完全平方式整理，然后整体代入计算．【解答】解：a（a﹣1）﹣（a2﹣b）＝﹣2，去括号并整理，得a﹣b＝2，﹣ab＝＝，∴﹣ab＝＝2．故选：B．【点评】本题考查了完全平方公式，通分后构成完全平方公式是解本题的关键，整体代入思想的利用也比较关键．8．如果9x2+kx+25是一个完全平方式，那么k的值是（）A．15 B．±5 C．30 D．±30【分析】本题考查的是完全平方公式的理解应用，式中首尾两项分别是3x和5的平方，所以中间项应为加上或减去3x和5的乘积的2倍，所以kx＝±2×3x×5＝±30x，故k＝±30．【解答】解：∵（3x±5）2＝9x2±30x+25，∴在9x2+kx+25中，k＝±30．故选：D．【点评】对于完全平方公式的应用，要掌握其结构特征，两数的平方和，加上或减去乘积的2倍，因此要注意积的2倍的符号，有正负两种，本题易错点在于只写一种情况，出现漏解情形．9．若a2﹣b2＝，a﹣b＝，则a+b的值为（）A．﹣B．C．D．2【分析】已知第一个等式利用平方差公式化简，将第二个等式代入计算即可求出a+b的值．【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝，a﹣b＝，∴a+b＝，故选：B．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．10．有三种长度分别为三个连续整数的木棒，小明利用中等长度的木棒摆成了一个正方形，小刚用其余两种长度的木棒摆出了一个长方形，正方形和长方形每边只有一根木棒，则他们两人谁摆的面积大？（）A．小刚B．小明C．同样大D．无法比较【分析】可设三个木棒的长度分别为x﹣1、x、x+1，分别表示出两个图形的面积，再用作差法进行比较大小即可．【解答】解：设三个木棒的长度分别为x﹣1、x和x+1，则小明所摆正方形的面积为x2，小刚所摆长方形的面积为（x+1）（x﹣1），∵x2﹣（x+1）（x﹣1）＝x2﹣（x2﹣1）＝x2﹣x2+1＝1＞0，∴x2＞（x+1）（x﹣1），∴小明所摆的正方形的面积大于小刚所摆长方形的面积，故选：B．【点评】本题主要考查平方差公式的应用，掌握平方差公式是解题的关键，注意作差法比较大小的应用．11．已知x+＝5，那么x2+＝（）A．10 B．23 C．25 D．27【分析】根据完全平方公式，即可解答．【解答】解：x+＝5，，，．故选：B．【点评】本题考查了完全平分公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式．12．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b2【分析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b，则面积是（a﹣b）2．故选：C．【点评】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．13．若要使4x2﹣mx+成为一个完全平方式，则m的值应为（）A．B．﹣C．±D．﹣【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．【解答】解：∵4x2﹣mx+为一个完全平方式，∴m＝±，故选：A．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．14．若9x2+2（k﹣3）x+16是完全平方式，则k的值为（）A．15 B．15或﹣15 C．39或﹣33 D．15或﹣9【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．【解答】解：∵9x2+2（k﹣3）x+16是完全平方式，∴k﹣3＝±12，解得：k＝15或k＝﹣9，故选：D．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．二．填空题（共6小题）15．一个正方形的边长增加2cm，它的面积就增加24cm，这个正方形的边长是 5 cm．【分析】本题是平方差公式的应用，设这个正方形的边长为a，根据正方形面积公式有（a+2）2﹣a2＝24，先用平方差公式化简，再求解．【解答】解：设这个正方形的边长为a，依题意有（a+2）2﹣a2＝24，（a+2）2﹣a2＝（a+2+a）（a+2﹣a）＝4a+4＝24，解得a＝5．【点评】本题考查了平方差公式，掌握正方形面积公式并熟记公式结构是解题的关键．16．从前，有一个狡猾的地主，把一块边长为a米的正方形土地租给马老汉栽种．过了一年，他对马老汉说：“我把你这块地的一边减少5米，另一边增加5米，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马老汉一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马老汉吃亏了．请运用本学期相关知识分析一下马老汉租用的土地面积亏了25 平方米．【分析】由题意可知道原来正方形土地的面积是a2平方米，而现在这块地的一边减少5米，另一边增加5米后的面积是（a﹣5）（a+5）平方米，然后用a2减去（a﹣5）（a+5）算出答案即可．【解答】解：∵原来正方形土地的面积是a2平方米，现在这块地的一边减少5米，另一边增加5米后的面积是（a﹣5）（a+5）平方米，∴a2﹣（a﹣5）（a+5）＝a2﹣（a2﹣25）＝25平方米，∴马老汉租用的土地面积亏了25平方米，故答案为：25．【点评】本题考查了平方差公式在生活实际中的运用，解题的关键就是读懂题意列出算式，然后熟练的运用平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2进行计算．17．一个大正方形和四个全等的小正方形按图①、②两种方式摆放，则图②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积是ab（用a、b的代数式表示）．【分析】利用大正方形的面积减去4个小正方形的面积即可求解．【解答】解：设大正方形的边长为x1，小正方形的边长为x2，由图①和②列出方程组得，解得，②的大正方形中未被小正方形覆盖部分的面积＝（）2﹣4×（）2＝ab．故答案为：ab．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，正确求出大小正方形的边长列代数式，以及整式的化简，正确对整式进行化简是关键．18．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为13 ．【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图形得出关系式求解即可．【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，由图甲得a2﹣b2﹣2（a﹣b）b＝1即a2+b2﹣2ab＝1，由图乙得（a+b）2﹣a2﹣b2＝12，2ab＝12，所以a2+b2＝13，故答案为：13．【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是根据图形得出数量关系．19．一个长方形的面积是2a2﹣2b2，如果它的一条边长是a﹣b，则它的周长是6a+2b．【分析】首先根据面积公式求得长方形的另一边长，然后根据长方形的周长公式求解．【解答】解：长方形的另一边长为：（2a2﹣2b2）÷（a﹣b）＝＝2（a+b）＝2a+2b，∴长方形的周长为（2a+2b+a﹣b）×2＝（3a+b）×2＝6a+2b，故答案为：6a+2b．【点评】本题考查了整式的除法，解决本题的关键是根据面积公式求得长方形的另一边长．20．为了交通方便，在一块长为am，宽为bm的长方形稻田内修两条道路，横向道路为矩形，纵向道路为平行四边形，道路的宽均为1m（如图），则余下可耕种土地的面积是（ab ﹣a﹣b+1）m2．【分析】由题意可求出长方形稻田的面积，然后求出矩形道路的面积和平行四边形道路的面积．另外两条道路重合部分的面积也是平行四边形，面积也需要求出，则余下土地面积等于：长方形稻田的面积﹣矩形道路的面积﹣平行四边形道路的面积+重合部分的面积，代入计算即可．【解答】解：由题可知，耕地面积＝（ab﹣a﹣b+1）m2．【点评】本题考查了整式的混合运算，解题时不要忘记要加上两条道路复合的部分，因为它被减了两次．三．解答题（共5小题）21．如果a2﹣2（k﹣1）ab+9b2是一个完全平方式，那么k＝4或﹣2 ．【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k 的值．【解答】解：∵a2﹣2（k﹣1）ab+9b2＝a2﹣2（k﹣1）ab+（3b）2，∴﹣2（k﹣1）ab＝±2×a×3b，∴k﹣1＝3或k﹣1＝﹣3，解得k＝4或k＝﹣2．即k＝4或﹣2．故答案为：4或﹣2．【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．22．通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式，①如图1，根据图中阴影部分的面积可表示为（a+b）2﹣（a﹣b）2，还可表示为4ab，可以得到的恒等式是（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab②类似地，用两种不同的方法计算同一各几何体的体积，也可以得到一个恒等式，如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．用不同方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个恒等式，这个恒等式是（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．【分析】①根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种是用大正方形面积﹣空白部分正方形面积；另一种是将阴影部分的四个长方形面积相加，可得等式（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；②根据体积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种是将大正方体棱长表示出来求体积；另一种是将各个小的长方体体积加起来，可得等式（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．【解答】解：①∵阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣中间小正方形的面积即：（a+b）2﹣（a﹣b）2，又∵阴影部分的面积由4个长为a，宽为b的小正方形构成即：4ab，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2；4ab；（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；②∵八个小正方体和长方体的体积之和是：a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，∴（a+b）3＝a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3，∴（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3；故答案为：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．23．计算：4a2b•（﹣ab2）3÷（2ab）【分析】先计算乘方，再计算乘法，最后计算除法即可得．【解答】解：原式＝4a2b•（﹣a3b6）÷（2ab）＝﹣4a5b7÷（2ab）＝﹣2a4b6．【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算顺序和运算法则．24．先化简，再求值：（9x3y﹣12xy3+3xy2）÷（﹣3xy）﹣（2y+x）（2y﹣x），其中x＝1，y ＝﹣2．【分析】根据整式的除法和平方差公式可以化简本题，然后将x＝1，y＝﹣2代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：（9x3y﹣12xy3+3xy2）÷（﹣3xy）﹣（2y+x）（2y﹣x）＝﹣3x2+4y2﹣y﹣4y2+x2＝﹣2x2﹣y，当x＝1，y＝﹣2时，原式＝﹣2×12﹣（﹣2）＝﹣2+2＝0．【点评】本题主要考查分式的化简求值，式子化到最简是解题的关键．25．如图，有一块边长为（3a+2）米的正方形铁片，王师傅要制作一个工件，欲在正方形铁片中央剪去一个小正方形铁片，按照图纸要求剪去小正方形后工件的宽度为2b米．问剪去小正方形后工件的面积是多少？【分析】利用原来的正方形的面积减去减掉的正方形的面积即可．【解答】解：由题意得减掉的小正方形的边长为3a+2﹣4b，所以剪去小正方形后工件的面积为（3a+2）2﹣（3a+2﹣4b）2＝24ab+16b﹣16b2（米2）．答：剪去小正方形后工件的面积是24ab+16b﹣16b2米2．【点评】该题目考查了正方形的面积和整式的混合运算，关键是根据题意列出关系式．附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

9.5 多项式的因式分解一．选择题（共17小题）1．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）2．已知多项式4x2﹣（y﹣z）2的一个因式为2x﹣y+z，则另一个因式是（）A．2x﹣y﹣z B．2x﹣y+z C．2x+y+z D．2x+y﹣z3．下列变形中，属因式分解的是（）A．2x﹣2y＝2（x﹣y）B．（x+y）2＝x2+2xy+y2C．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2D．x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+14．下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．6a2b＝3a2•2b B．mx+nxy﹣xy＝mx+xy（n﹣1）C．am﹣a＝a（m﹣1）D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣15．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．12a2b＝3a•4ab B．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9C．4x2+8x﹣1＝4x（x+2）﹣1D．ax﹣ay＝a（x﹣y）6．下列多项式中，没有公因式的是（）A．a（x+y）和（x+y）B．32（a+b）和（﹣x+b）C．3b（x﹣y）和 2（x﹣y）D．（3a﹣3b）和6（b﹣a）7．下列各式中能用完全平方公式分解因式的有（）①a2+2a+4；②a2+2a﹣1；③a2+2a+1；④﹣a2+2a+1；⑤﹣a2﹣2a﹣1；⑥a2﹣2a﹣1．A．2个B．3个C．4个D．5个8．下列各式中，可用平方差公式分解因式的是（）A．a2+b2B．﹣a2﹣b2C．﹣a2+b2D．a2+（﹣b）29．下列变形是分解因式的是（）A．6x2y2＝3xy•2xy B．m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）C．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9 10．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（）A．（x+1）2＝x2+2x+1B．x2﹣10x+25＝（x﹣5）2C．（x+7）（x﹣7）＝x2﹣49D．x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+111．﹣6xyz+3xy2﹣9x2y的公因式是（）A．﹣3x B．3xz C．3yz D．﹣3xy12．多项式x3y2﹣2x2y3+4xy4z的公因式是（）A．xy2B．4xy C．xy2z D．xyz13．把多项式p2（a﹣1）+p（1﹣a）分解因式的结果是（）A．（a﹣1）（p2+p）B．（a﹣1）（p2﹣p）C．p（a﹣1）（p﹣1）D．p（a﹣1）（p+1）14．下列多项式能用完全平方公式分解的是（）A．x2﹣2x﹣B．（a+b）（a﹣b）﹣4abC．a2+ab+D．y2+2y﹣115．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（）A．x2+1B．﹣x2+1C．x2﹣2D．﹣x2﹣116．下列从左到右的变形：（1）3xy+6y＝3y（x+2）；（2）a2﹣a+1＝（a﹣1）2；（3）y3﹣4y＝y（y2﹣4）；（4）﹣x2﹣9y2＝﹣（x+3y）（x﹣3y）；其中分解因式正确的有（）个．A．0个B．1个C．2个D．3个17．在实数X围内分解因式x5﹣64x正确的是（）A．x（x4﹣64）B．x（x2+8）（x2﹣8）C．x（x2+8）（x+2）（x﹣2）D．x（x+2）3（x﹣2）二．填空题（共12小题）18．若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），则a＝，b＝．19．因式分解：100﹣4a2＝．20．因式分解的主要方法有：．21．若多项式x2﹣x﹣20分解为（x﹣a）（x﹣b），且a＞b，则a＝，b＝．22．若x﹣3y＝5，则x2﹣3xy﹣15y＝．23．x（a+b）+y（a+b）＝．24．因式分解：a2+a+＝；1﹣9y2＝．25．已知x2﹣y2＝69，x+y＝3，则x﹣y＝．26．分解因式：a3﹣ab2＝；3a2﹣3＝．27．因式分解：（x﹣3）（x+4）+3x＝．28．分解因式：x2﹣5xy+6y2＝．29．在实数X围内分解因式：2x2+3xy﹣y2＝．三．解答题（共19小题）30．已a2+b2﹣2a+6b+10＝0，求的值．31．利用因式分解计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）…（1﹣）32．如图，在一块边长为a厘米的正方形纸板上，在正中央剪去一个边长为b厘米的正方形，当a＝6.25，b＝3.75时，请利用因式分解的知识计算阴影部分的面积．33．已知x2+x﹣1＝0，求x3+2x2+3的值．34．如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：16＝52﹣32，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：小明的方法是一个一个找出来的：0＝02﹣02，1＝12﹣02，3＝22﹣12，4＝22﹣02，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12，9＝52﹣42，11＝62﹣52，…小王认为小明的方法太麻烦，他想到：设k是自然数，由于（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1．所以，自然数中所有奇数都是智慧数．问题：（1）根据上述方法，自然数中第12个智慧数是；（2）他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数；（3）他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2（k为自然数）都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由．35．已知a﹣b＝，ab＝，求﹣2a2b2+ab3+a3b的值．36．分解因式（1）﹣3a2b3+6a3b2c+3a2b（2）（a+b）2+（a+b）（a﹣3b）．37．分解因式：（1）5x2﹣20；（2）﹣3x2+2x﹣．38．因式分解：x2（x﹣y）+y2（y﹣x）39．分解下列因式：（1）a4﹣a2（2）1﹣4x2+4xy﹣y2．40．先阅读下列材料，并对后面的题进行解答：（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣4）（x+1）＝x2﹣3x﹣4；（y+4）（y﹣2）＝y2+2y﹣8；（y﹣5）（y﹣3）＝y2﹣8y+15；…．（说明：本材料源于课本练习题）（1）观察积中的一次项系数、常数项与等号左边的两因式的常数项有何关系？（用语言表达或者用公式来呈现它们之间关系和规律均可）（2）巧算填空：①（m+9）（m﹣11）＝；②（a﹣100）（a﹣11）＝．（3）若（x+m）（x+n）＝x2+ax+12（m、n、a都是整数），请根据（1）问得出的关系和规律推算出a的值．41．我们把形如：，，，的正整数叫“轴对称数”，例如：22，131，2332，40604…（1）写出一个最小的五位“轴对称数”．（2）设任意一个n（n≥3）位的“轴对称数”为，其中首位和末位数字为A，去掉首尾数字后的（n﹣2）位数表示为B，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．（3）若一个三位“轴对称数”（个位数字小于或等于4）与整数k（0≤k≤5）的和能同时被5和9整除，求出所有满足条件的三位“轴对称数”．42．4x2﹣16y2．43．把下列各式分解因式：（1）a2﹣14ab+49b2（2）a（x+y）﹣（a﹣b）（x+y）；（3）121x2﹣144y2；（4）3x4﹣12x2．44．将下列各式分解因式（1）15a3+10a2；（2）y2+y+；（3）3ax2﹣3ay2．45．因式分解（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．（2）16x2﹣64．（3）﹣4a2+24a﹣36．（4）（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）．46．请观察以下解题过程：分解因式：x4﹣6x2+1解：x4﹣6x2+1＝x4﹣2x2﹣4x2+1＝（x4﹣2x2+1）﹣4x2＝（x2﹣1）2﹣（2x）2＝（x2﹣1+2x）（x2﹣1﹣2x）以上分解因式的方法称为拆项法，请你用拆项法分解因式：a4﹣7a2+9．47．试用两种不同的方法分解因式分解：x2+6x+5．48．已知a，b，c是三角形三边长，且b2﹣2bc+c2＝ac﹣ab，试判断三角形形状．参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）1．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）【分析】确定公因式是b（x﹣3），然后提取公因式即可．【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），＝b（x﹣3）（b+1）．故选：B．【点评】需要注意提取公因式后，第二项还剩因式1．2．已知多项式4x2﹣（y﹣z）2的一个因式为2x﹣y+z，则另一个因式是（）A．2x﹣y﹣z B．2x﹣y+z C．2x+y+z D．2x+y﹣z【分析】可运用平方差公式对所给代数式进行因式分解得到所求的另一个因式．【解答】解：原式＝（2x+y﹣z）（2x﹣y+z），∴另一个因式是2x+y﹣z．故选：D．【点评】本题考查了公式法分解因式，是平方差的形式，所以考虑利用平方差公式分解因式．3．下列变形中，属因式分解的是（）A．2x﹣2y＝2（x﹣y）B．（x+y）2＝x2+2xy+y2C．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2D．x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1【分析】根据因式分解的定义：就是把整式变形成整式的积的形式，即可作出判断．【解答】解：A、2x﹣2y＝2（x﹣y）是因式分解，故选项正确；B、（x+y）2＝x2+2xy+y2结果不是积的形式，不是因式分解，故选项错误；C、（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣4y2是整式的乘法，不是因式分解，故选项错误；D、x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，结果不是积的形式，不是因式分解，故选项错误．故选：A．【点评】本题主要考查了因式分解的意义，因式分解是整式的变形，变形前后都是整式，并且结果是积的形式．4．下列各等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．6a2b＝3a2•2b B．mx+nxy﹣xy＝mx+xy（n﹣1）C．am﹣a＝a（m﹣1）D．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积形式，可得答案．【解答】解：A不是多项式转化成几个整式积形式，故A不是因式分解；B没把多项式转化成几个整式积的形式，故B不是因式分解；Cam﹣a＝a（m﹣1），故C是因式分解；D是整式的乘法，故D不是因式分解；故选：C．【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积形式．5．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）A．12a2b＝3a•4ab B．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9C．4x2+8x﹣1＝4x（x+2）﹣1D．ax﹣ay＝a（x﹣y）【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【解答】解：A不是多项式的转化，故A不是因式分解；B整式的乘法，故B不是因式分解；C没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；D提取公因式a，故D是因式分解，故选：D．【点评】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．6．下列多项式中，没有公因式的是（）A．a（x+y）和（x+y）B．32（a+b）和（﹣x+b）C．3b（x﹣y）和 2（x﹣y）D．（3a﹣3b）和6（b﹣a）【分析】根据公因式是多项式中每项都有的因式，可得答案．【解答】解：∵32（a+b）与（﹣x+b）没有公因式，故选：B．【点评】本题考查了公因式，公因式是多项式中每项都有的因式．7．下列各式中能用完全平方公式分解因式的有（）①a2+2a+4；②a2+2a﹣1；③a2+2a+1；④﹣a2+2a+1；⑤﹣a2﹣2a﹣1；⑥a2﹣2a﹣1．A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据能运用完全平方公式分解因式的多项式的特点：①必须是三项式，②其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，③另一项是这两个数（或式）的积的2倍进行分析即可．【解答】解：①a2+2a+4不是积的2倍，故不能用完全平方公式进行分解；②a2+2a﹣1不是平方和，故不能用完全平方公式进行分解；③a2+2a+1能用完全平方公式进行分解；④﹣a2+2a+1不是平方和，故不能用完全平方公式进行分解；⑤﹣a2﹣2a﹣1首先提取负号，可得a2+2a+1，能用完全平方公式进行分解；⑥a2﹣2a﹣1不是平方和，故不能用完全平方公式进行分解．故选：A．【点评】此题主要考查了能用完全平方公式分解因式的特点，关键是熟练掌握特点．8．下列各式中，可用平方差公式分解因式的是（）A．a2+b2B．﹣a2﹣b2C．﹣a2+b2D．a2+（﹣b）2【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法．【解答】解：A、a2+b2不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解，故本选项错误；B、﹣a2﹣b2的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解，故本选项错误；C、﹣a2+b2符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解，故本选项正确；D、a2+（﹣b）2不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查的是应用平方差公式进行因式分解的能力，掌握平方差公式的结构特征是正确解题的关键．9．下列变形是分解因式的是（）A．6x2y2＝3xy•2xy B．m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）C．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9【分析】根据因式分解是把多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【解答】解：A、左边是单项式，不是分解因式，故本选项错误；B、是分解因式，故本选项正确；C、右边不是积的形式，故本选项错误；D、是多项式乘法，不是分解因式，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了因式分解，因式分解把多项式转化成几个整式积的形式．10．下列从左到右的变形，其中是因式分解的是（）A．（x+1）2＝x2+2x+1B．x2﹣10x+25＝（x﹣5）2C．（x+7）（x﹣7）＝x2﹣49D．x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1【分析】因式分解就是把多项式转化成几个整式的积的形式，根据定义即可作出判断．【解答】解：A、是整式的乘法，故选项错误；B、正确；C、是整式的乘法，故选项错误；D、多项式结果不是整式的积的形式，故选项错误，故选：B．【点评】本题考查了因式分解的意义，属于基础题，解答本题的关键是掌握因式分解的意义．11．﹣6xyz+3xy2﹣9x2y的公因式是（）A．﹣3x B．3xz C．3yz D．﹣3xy【分析】通过观察可知原式的公因式为﹣3xy，直接提取即可．【解答】解：﹣6xyz+3xy2﹣9x2y各项的公因式是﹣3xy．故选：D．【点评】此题考查的是提公因式的方法，要注意此题容易忽略公因式的系数的符号．12．多项式x3y2﹣2x2y3+4xy4z的公因式是（）A．xy2B．4xy C．xy2z D．xyz【分析】分别找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可找出公因式．【解答】解：多项式x3y2﹣2x2y3+4xy4z的公因式是xy2，故选：A．【点评】此题主要考查了找公因式，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的找出公因式即可．13．把多项式p2（a﹣1）+p（1﹣a）分解因式的结果是（）A．（a﹣1）（p2+p）B．（a﹣1）（p2﹣p）C．p（a﹣1）（p﹣1）D．p（a﹣1）（p+1）【分析】先把1﹣a根据相反数的定义转化为﹣（a﹣1），然后提取公因式p（a﹣1），整理即可．【解答】解：p2（a﹣1）+p（1﹣a），＝p2（a﹣1）﹣p（a﹣1），＝p（a﹣1）（p﹣1）．故选：C．【点评】主要考查提公因式法分解因式，把（1﹣a）转化为﹣（a﹣1）的形式是求解的关键．14．下列多项式能用完全平方公式分解的是（）A．x2﹣2x﹣B．（a+b）（a﹣b）﹣4abC．a2+ab+D．y2+2y﹣1【分析】能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两底数积的2倍．【解答】解：A、x2﹣2x﹣不符合完全平方公式分解的式子的特点，故错误；B、（a+b））（a﹣b）不符合﹣4ab完全平方公式分解的式子的特点，故错误；C、a2+ab+符合完全平方公式分解的式子的特点，故正确；D、y2+2y﹣1不符合完全平方公式分解的式子的特点，故错误．故选：C．【点评】本题考查能用完全平方公式分解的式子的特点．两项平方项的符号需相同；有一项是两底数积的2倍，是易错点．15．下列多项式中，可以用平方差公式分解因式的是（）A．x2+1B．﹣x2+1C．x2﹣2D．﹣x2﹣1【分析】根据平方差公式的特点：两个平方项且符号相反，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、两个平方项的符号相同，故本选项错误；B、两个平方项的符号相反，故本选项正确；C、2不可以写成平方项，故错误；D、两个平方项的符号相同，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了公式法分解因式，平方差公式的特点是两个平方项的符号相反，符合这一特点就能运用平方差公式分解因式，与两项的排列顺序无关．16．下列从左到右的变形：（1）3xy+6y＝3y（x+2）；（2）a2﹣a+1＝（a﹣1）2；（3）y3﹣4y＝y（y2﹣4）；（4）﹣x2﹣9y2＝﹣（x+3y）（x﹣3y）；其中分解因式正确的有（）个．A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】（1）利用提公因式法，提取公因式3y即可；（2）此题不符合完全平方公式，不能分解；（3）首先提取公因式y，再利用平方差公式分解即可；（4）注意提取负号后，可得﹣（x2+9y2），不符合平方差公式，不能分解因式．【解答】解：（1）3xy+6y＝3y（x+2），故此项正确；（2）a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，故此项错误；（3）y3﹣4y＝y（y2﹣4）＝y（y+2）（y﹣2），故此项错误；（4）﹣x2﹣9y2＝﹣（x2+9y2），﹣（x+3y）（x﹣3y）＝﹣x2+9y2，故此项错误．∴分解因式正确是（1），只有1个．故选：B．【点评】此题考查了因式分解的知识．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．还要注意分解要彻底．17．在实数X围内分解因式x5﹣64x正确的是（）A．x（x4﹣64）B．x（x2+8）（x2﹣8）C．x（x2+8）（x+2）（x﹣2）D．x（x+2）3（x﹣2）【分析】在实数X围内分解因式一般应分解到因式中有无理数为止．【解答】解：x5﹣64x＝x（x4﹣64），＝x（x2+8）（x2﹣8），＝x（x2+8）（x+2）（x﹣2）．故选：C．【点评】本题考查了公式法分解因式，在实数X围内分解因式要遵循分解彻底的原则．二．填空题（共12小题）18．若x2﹣ax﹣1可以分解为（x﹣2）（x+b），则a＝1，b＝．【分析】根据因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【解答】解：∵x2﹣ax﹣1＝（x﹣2）（x+b）＝x2+（b﹣2）x﹣2b，∴﹣2b＝﹣1，b﹣2＝﹣a，b＝，a＝1，故答案为：1，．【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．19．因式分解：100﹣4a2＝4（5﹣a）（5+a）．【分析】首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：100﹣4a2＝4（25﹣a2）＝4（5﹣a）（5+a）．故答案为：4（5﹣a）（5+a）．【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练应用平方差公式是解题关键．20．因式分解的主要方法有：提取公因式法、公式法、分组分解法．【分析】根据因式分解的定义进行求解．【解答】解：根据因式分解的步骤可知：因式分解的方法为：提公因式法、公式法和分组分解法，故答案为：提公因式法、公式法、分组分解法．【点评】此题要注意因式分解的一般步骤：①如果一个多项式各项有公因式，一般应先提取公因式；②如果一个多项式各项没有公因式，一般应思考运用公式、十字相乘法；如果多项式有两项应思考用平方差公式，如果多项式有三项应思考用公式法或用十字相乘法；如果多项式超过三项应思考用完全平方公式法；③分解因式时必须要分解到不能再分解为止．21．若多项式x2﹣x﹣20分解为（x﹣a）（x﹣b），且a＞b，则a＝ 5 ，b＝﹣4 ．【分析】将原多项式因式分解后与（x﹣a）（x﹣b）对照，且根据a＞b即可得到a、b的值．【解答】解：x2﹣x﹣20＝（x﹣5）（x+4）＝（x﹣a）（x﹣b），∵a＞b，∴a＝5，b＝﹣4．故答案为5，﹣4．【点评】本题考查了因式分解的意义，解题的关键是正确的将原多项式因式分解．22．若x﹣3y＝5，则x2﹣3xy﹣15y＝25 ．【分析】先将x2﹣3xy﹣15y变形为x（x﹣3y）﹣15y，把x﹣3y＝5代入得到5x﹣15y＝5（x ﹣3y），再代入即可求解．【解答】解：x2﹣3xy﹣15y＝x（x﹣3y）﹣15y＝5x﹣15y＝5（x﹣3y）＝5×5＝25．故答案为：25．【点评】考查了因式分解﹣提公因式法，解决本题的关键是把所求的式子整理为含x﹣3y 的式子．23．x（a+b）+y（a+b）＝（x+y）（a+b）．【分析】观察原式，发现公因式为a+b；提出后，即可得出答案．【解答】解：原式＝（x+y）（a+b）．故答案是：（x+y）（a+b）．【点评】本题考查了因式分解﹣﹣提公因式法．要明确找公因式的要点：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．24．因式分解：a2+a+＝（a+）2；1﹣9y2＝（1+3y）（1﹣3y）．【分析】根据完全平方公式可分解（1）；根据平方差公式，可分解（2）．【解答】解：（1）原式＝（a+）2；（2）原式＝（1+3y）（1﹣3y），故答案为：（a+）2，（1+3y）（1﹣3y）．【点评】本题考查了运用公式分解因式，凑成公式的形式是解题关键．25．已知x2﹣y2＝69，x+y＝3，则x﹣y＝23 ．【分析】把已知条件利用平方差公式分解因式，然后代入数据计算即可．【解答】解：∵x2﹣y2＝69，x+y＝3，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝3（x﹣y）＝69，解得：x﹣y＝23．【点评】此题考查对平方差公式的灵活应用能力，分解因式是关键．26．分解因式：a3﹣ab2＝a（a+b）（a﹣b）；3a2﹣3＝3（a+1）（a﹣1）．【分析】先提取公因式，然后套用公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），进一步分解因式即可．【解答】解：a3﹣ab2，＝a（a2﹣b2），＝a（a+b）（a﹣b）；3a2﹣3，＝3（a2﹣1），＝3（a+1）（a﹣1）．【点评】本题考查了用公式法进行因式分解的能力，因式分解的一般步骤是：“一提，二套，三检”．即先提取公因式，再套用公式，最后看结果是否符合要求．27．因式分解：（x﹣3）（x+4）+3x＝（x+6）（x﹣2）．【分析】原式变形得到x2+4x﹣12，再利用十字相乘法分解即可．【解答】解：（x﹣3）（x+4）+3x＝x2+x﹣12+3x＝x2+4x﹣12＝（x+6）（x﹣2）．故答案为：（x+6）（x﹣2）．【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．28．分解因式：x2﹣5xy+6y2＝（x﹣2y）（x﹣3y）．【分析】因为（﹣2）×（﹣3）＝6，（﹣2）+（﹣3）＝﹣5，所以利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：x2﹣5xy+6y2＝（x﹣2y）（x﹣3y）．故答案为：（x﹣2y）（x﹣3y）．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．29．在实数X围内分解因式：2x2+3xy﹣y2＝2（x﹣y）（x﹣y）．【分析】首先求出2x2+3xy﹣y2＝0的根，进而分解因式得出即可．【解答】解：令2x2+3xy﹣y2＝0，则x1＝y，x2＝y，则2x2+3xy﹣y2＝2（x﹣y）（x﹣y）．故答案为：2（x﹣y）（x﹣y）．【点评】本题主要考查对一个多项式进行因式分解的能力，当要求在实数X围内进行分解时，分解的结果一般要分到出现无理数为止是解答此题的关键．三．解答题（共19小题）30．已a2+b2﹣2a+6b+10＝0，求的值．【分析】已知等式左边利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：∵a2+b2﹣2a+6b+10＝（a﹣1）2+（b+3）2＝0，∴a﹣1＝0，b+3＝0，即a＝1，b＝﹣3，则原式＝1+＝．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．31．利用因式分解计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）…（1﹣）【分析】把每个括号内利用平方差分解因式，再分别求和差后进行求积即可．【解答】解：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）…（1﹣）＝（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）+…+（1+）（1﹣）＝××××××…××＝．【点评】本题主要考查因式分解的应用，正确进行因式分解是解题的关键．32．如图，在一块边长为a厘米的正方形纸板上，在正中央剪去一个边长为b厘米的正方形，当a＝6.25，b＝3.75时，请利用因式分解的知识计算阴影部分的面积．【分析】根据题意可知阴影部分的面积＝边长为a厘米的正方形的面积﹣边长为b厘米的正方形的面积，根据平方差公式分解因式，再代入求值即可．【解答】解：设阴影部分的面积为s，依题意得：s＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），当a＝6.25，bs﹣3.75）＝10×2.5＝25（平方厘米）；答：阴影部分的面积为25平方厘米．【点评】本题实质上考查了应用平方差公式进行因式分解，及用代入法求代数式的值．33．已知x2+x﹣1＝0，求x3+2x2+3的值．【分析】观察题意可知x2+x＝1，将原式化简可得出答案．【解答】解：依题意得：x2+x＝1，∴x3+2x2+3，＝x3+x2+x2+3，＝x（x2+x）+x2+3，＝x+x2+3，＝4；或者：依题意得：x2+x＝1，所以，x3+2x2+3，＝x3+x2+x2+3，＝x（x2+x）+x2+3，＝x+x2+3，＝1+3，＝4．【点评】此题考查的是代数式的转化，通过观察可知已知与所求的式子的关系，然后将变形的式子代入即可求出答案．34．如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差，那么称这个自然数为智慧数，例如：16＝52﹣32，16就是一个智慧数，小明和小王对自然数中的智慧数进行了如下的探索：小明的方法是一个一个找出来的：0＝02﹣02，1＝12﹣02，3＝22﹣12，4＝22﹣02，5＝32﹣22，7＝42﹣32，8＝32﹣12，9＝52﹣42，11＝62﹣52，…小王认为小明的方法太麻烦，他想到：设k是自然数，由于（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1．所以，自然数中所有奇数都是智慧数．问题：（1）根据上述方法，自然数中第12个智慧数是15 ；（2）他们发现0，4，8是智慧数，由此猜测4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数，请你参考小王的办法证明4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数；（3）他们还发现2，6，10都不是智慧数，由此猜测4k+2（k为自然数）都不是智慧数，请利用所学的知识判断26是否是智慧数，并说明理由．【分析】（1）仿照小明的办法，继续下去，即可得出结论；（2）仿照小王的做法，将（k+2）2﹣k2用平方差公式展开即可得出结论；（3）验证26是否符合4k+2，如果符合，则得出26不是智慧数．【解答】解：（1）继续小明的方法，12＝42﹣22，13＝72﹣62，15＝82﹣72，即第12个智慧数是15．（2）设k是自然数，由于（k+2）2﹣k2＝（k+2+k）（k+2﹣k）＝4k+4＝4（k+1）．所以，4k（k≥3且k为正整数）都是智慧数．（3）4k+2＝2（2k+1）＝2[（k+1）2﹣k2]＝[（k+1）]2﹣（k）2∵（k+1）、k均不是自然数，∴4k+2不是智慧数，令4k+2＝26，解得：k＝6．故26不是智慧数故答案为：（1）15．【点评】本题考查了新定义智慧数以及平方差公式的运用，解题的关键是：（1）仿照小明的办法继续找下去；（2）将将（k+2）2﹣k2用平方差公式展开；（3）令4k+2＝26，求出k 值．本题属于基础题，难度不大，题中文字较多，很多学生不喜欢这样的文字题，解决该类型题时，只要仿照文中给定的办法即可得出结论．35．已知a﹣b＝，ab＝，求﹣2a2b2+ab3+a3b的值．【分析】将所求式子三项提取公因式ab后，括号中三项利用完全平方公式分解因式，将ab 与a﹣b的值代入计算，即可求出值．【解答】解：∵a﹣b＝，ab＝，∴﹣2a2b2+ab3+a3b＝ab（﹣2ab+a2+b2）＝ab（a﹣b）2＝×＝．【点评】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．36．分解因式（1）﹣3a2b3+6a3b2c+3a2b（2）（a+b）2+（a+b）（a﹣3b）．【分析】（1）直接提公因式即可；（2）提公因式后，合并同类项，再提取公因式2．【解答】解：（1）原式＝﹣3a2b（b2﹣2abc﹣1）；（2）原式＝（a+b）（a+b+a﹣3b）＝（a+b）（2a﹣2b）＝2（a+b）（a﹣b）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，注意要分解到不能分解为止．37．分解因式：（1）5x2﹣20；（2）﹣3x2+2x﹣．【分析】（1）首先提取公因式5，再利用平方差进行二次分解即可；（2）首先提取公因式﹣3，再利用完全平方进行二次分解即可．【解答】解：（1）原式＝5（x2﹣4）＝5（x+2）（x﹣2）；（2）原式＝﹣3（x2﹣x+）＝﹣3（x﹣）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．38．因式分解：x2（x﹣y）+y2（y﹣x）【分析】根据提取公因式再运用公式，可得答案．【解答】解：原式＝x2（x﹣y）﹣y2（x﹣y）＝（x﹣y）（x2﹣y2）＝（x﹣y）（x+y）（x﹣y）＝（x﹣y）2（x+y）．【点评】本题考查了因式分解，先提取公因式，再运用公式法分解因式．39．分解下列因式：（1）a4﹣a2（2）1﹣4x2+4xy﹣y2．【分析】（1）先提公因式，再根据平方差公式分解第二个因式ik；（2）先分组（把后三项分成一组，括号前是负号），再把后三项分解因式，最后根据平方差公式分解因式即可．【解答】（1）解：a4﹣a2＝a2（a2﹣1）＝a2（a+1）（a﹣1）；（2）解：1﹣4x2+4xy﹣y2＝1﹣（4x2﹣4xy+y2）＝1﹣（2x﹣y）2，＝[1+（2x﹣y）][1﹣（2x﹣y）]＝（1+2x﹣y）（1﹣2x+y）．【点评】本题考查了因式分解（分组分解法、公式法、提公因式法），主要考查学生分解因式的能力，两小题都比较典型，是一道比较好的题目．40．先阅读下列材料，并对后面的题进行解答：（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣4）（x+1）＝x2﹣3x﹣4；（y+4）（y﹣2）＝y2+2y﹣8；（y﹣5）（y﹣3）＝y2﹣8y+15；…．（说明：本材料源于课本练习题）（1）观察积中的一次项系数、常数项与等号左边的两因式的常数项有何关系？（用语言表达或者用公式来呈现它们之间关系和规律均可）（2）巧算填空：①（m+9）（m﹣11）＝m2﹣2m﹣99 ；②（a﹣100）（a﹣11）＝a2﹣111a+1100 ．（3）若（x+m）（x+n）＝x2+ax+12（m、n、a都是整数），请根据（1）问得出的关系和规律推算出a的值．【分析】（1）总结规律：积中的一次项系数是两因式中的常数项的和，积中的常数项是两因式中的常数项的积．（2）利用多项式乘以多项式的法则进行计算即可；（3）根据规律列式12＝mn，根据m、n都是整数，可得m和n有6组值，分别计算其和可得a的值．【解答】（本题满分7分）：解：（1）（2分）积中的一次项系数是两因式中的常数项的和，积中的常数项是两因式中的常数项的积．也可用公式表达：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq．（写对其中之一即可给分）．（2）填空：（2分）①（m+9）（m﹣11）＝m2+9m﹣11m﹣99＝m2﹣2m﹣99，②（a﹣100）（a﹣11）＝a2﹣11a﹣100a+1100＝a2﹣111a+1100，故答案为：①m2﹣2m﹣99；②a2﹣111a+1100；（3）（3分）∵积中的常数项是两因式中的常数项的积，即12＝mn，又m、n、a都是整数．∴12＝1×12＝（﹣1）×（﹣12）＝2×6＝（﹣2）×（﹣6）＝3×4＝（﹣3）×（﹣4），∴m＝1，n＝12；或…或m＝﹣3，n＝﹣4．又∵积中的一次项系数是两因式中的常数项的和．即a＝m+n，∴a1＝13，a2＝﹣13，a3＝8，a4＝﹣8，a5＝7，a6＝﹣7，（只要简单推算，答案正确即可每个给0.5分）【点评】本题考查了因式分解﹣十字相乘法和多项式的乘法法则，也是阅读理解问题，根据题意总结十字相乘的公式是关键．41．我们把形如：，，，的正整数叫“轴对称数”，例如：22，131，2332，40604…（1）写出一个最小的五位“轴对称数”．（2）设任意一个n（n≥3）位的“轴对称数”为，其中首位和末位数字为A，去掉首尾数字后的（n﹣2）位数表示为B，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．（3）若一个三位“轴对称数”（个位数字小于或等于4）与整数k（0≤k≤5）的和能同时被5和9整除，求出所有满足条件的三位“轴对称数”．【分析】（1）写出最小的五位“轴对称数”，即首位数字和个位数字为1，其它为0的数；（2）先表示这个任意的n（n≥3）位“轴对称数”：＝A×10n+B×10+A，再表示“轴对称数”与它个位数字的11倍的差，合并同类项并提公因式，可得结论；（3）设这个三位“轴对称数”为（1≤a≤4，0≤b≤9），根据与k的和能同时被5和9整除，即能被45整除，设100a+10b+a+k＝45c，化为90a+11a+10b+k＝45c，所以11a+10b+k 能同时被45整除，分情况计算可得结论．【解答】（1）解：最小的五位“轴对称数”是10001；（2）证明：由题意得：A×10n+B×10+A﹣11A＝A×10n+10B﹣10A＝10（A×10n﹣1+B﹣A），∴该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除；（3）解：设这个三位“轴对称数”为（1≤a≤4，0≤b≤9），∵与整数k（0≤k≤5）的和能同时被5和9整除，∴设100a+10b+a+k＝45c，101a+10b+k＝45c，90a+11a+10b+k＝45c，∴因为101a+10b+k能同时被5和9整除，所以11a+10b+k能同时被5和9整除，即11a+10b+k的值为0或45或90或135，又1≤a≤4，0≤b≤9，∴当a＝1，b＝3，k＝4时，这个三位“轴对称数”是131．当a＝1，b＝8，k＝4时，这个三位“轴对称数”是131．当a＝2，b＝2，k＝3时，这个三位“轴对称数”是222．当a＝3，b＝1，k＝2时，这个三位“轴对称数”是313．当a＝4，b＝0，k＝1时，这个三位“轴对称数”是404．当a＝4，b＝9，k＝1时，这个三位“轴对称数”是494．所有满足条件的三位“轴对称数”为：131，222，313，404，494．【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是根据题意列出式子，本题属于中等题型．42．4x2﹣16y2．【分析】将原式化为先提公因式后再将x2﹣4y2化为x2﹣（2y）2后利用平方差公式展开即可．【解答】解：原式＝4（x2﹣4y2）＝4[x2﹣（2y）2]＝4（x+2y）（x﹣2y）．【点评】本题考查了平方差公式因式分解，解题的关键是先提取公因式4，然后利用平方差公式因式分解．43．把下列各式分解因式：（1）a2﹣14ab+49b2（2）a（x+y）﹣（a﹣b）（x+y）；（3）121x2﹣144y2；（4）3x4﹣12x2．【分析】（1）直接利用完全平方公式进行因式分解即可；（2）提取公因式（x+y）即可；（3）直接利用平方差公式因式分解即可；（4）先提取公因式3x2，然后再利用平方差公式因式分解即可．【解答】解：（1）a2﹣14ab+49b2＝a2﹣2×7ab+（7b）2＝（a﹣7b）2（2）a（x+y）﹣（a﹣b）（x+y）＝（x+y）（a﹣a+b）＝b（x+y）；（3）121x2﹣144y2；＝（11x）2﹣（12y）2＝（11x+12y）（11x﹣12y）（4）3x4﹣12x2＝3x2（x2﹣4）＝3x2（x+2）（x﹣2）【点评】本题考查了用公式法和提公因式法因式分解的知识，解题时候首先考虑提公因式法，然后考虑采用公式法，分解一定要彻底．44．将下列各式分解因式（1）15a3+10a2；（2）y2+y+；（3）3ax2﹣3ay2．【分析】（1）利用提公因式法因式分解；（2）利用完全平方公式因式分解；（3）先提公因式、再利用平方差公式因式分解．【解答】解：（1）15a3+10a2＝5a2（3a+2）；（2）y2+y+＝（y+）2；（3）3ax2﹣3ay2＝3a（x2﹣y2）＝3a（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查的是多项式的因式分解，掌握提公因式法、公式法因式分解的一般步骤是解题的关键．45．因式分解（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．（2）16x2﹣64．（3）﹣4a2+24a﹣36．（4）（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）．【分析】（1）利用提公因式法因式分解；（2）先提公因式，再利用平方根公式因式分解；（3）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解；（4）先提公因式，再利用平方根公式因式分解．【解答】解：（1）2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）＝2m（a﹣b）+3n（a﹣b）＝（a﹣b）（2m+3n）；（2）16x2﹣64＝16（x2﹣4）＝16（x+2）（x﹣2）；（3）﹣4a2+24a﹣36＝﹣4（a2﹣6a+9）＝﹣4（a﹣3）2；（4）（a﹣b）（3a+b）2+（a+3b）2（b﹣a）＝（a﹣b）[（3a+b）2﹣（a+3b）2]＝8（a﹣b）2（a+b）．【点评】本题考查的是多项式的因式分解，掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式因式分解的一般步骤是解题的关键．46．请观察以下解题过程：分解因式：x4﹣6x2+1解：x4﹣6x2+1＝x4﹣2x2﹣4x2+1＝（x4﹣2x2+1）﹣4x2＝（x2﹣1）2﹣（2x）2＝（x2﹣1+2x）（x2﹣1﹣2x）以上分解因式的方法称为拆项法，请你用拆项法分解因式：a4﹣7a2+9．【分析】首先将原多项式利用拆项的方法分解为a4﹣6x2﹣a2+9，然后进一步组合为（a4﹣6a2+9）﹣a2后直接利用平方差公式分解为（a2﹣3+a）（a2﹣3﹣a）即可．。

9.3多项式乘多项式教学目标：理解多项式乘多项式运算的算理，会进行多项式乘多项式的运算（仅指一次式之间以及一次式与二次式之间相乘）；经历探究多项式乘多项式运算法则的过程，感悟数与形的关系，体验转化思想，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性．教学重点：多项式乘多项式的运算法则．教学难点：利用单项式乘多项式的运算法则来推导多项式乘多项式的运算法则．课前专训．计算：(1) (a ＋b 2－c 2)·(－2a 2)； (2)(－2x 2y 3)3·(xy －3xy 2)；(3)12x (－3x 2＋4x ＋3)－13x 2(2x －6x 2)； (4)(－x )3·(－2xy 2)3－4xy 2(7x 5y 4－0.5xy 3)．教学过程：一、情境创设提问：前面已经学习了单项式乘单项式，单项式乘多项式，那多项式乘多项式如：))((d c b a ++应该如何计算？学生思考并口答．可能学生不会解决此问题，也可能学生会阐述自己的一些想法，可能有正确的想法，也可能有错误的想法．此问题情境富有较强的数学味和挑战性，直奔主题．学生回答不正确不予否定，可产生争议，抛出问题，进而引发下面活动的探究．二、新知探究1．活动一．（1）请计算下图的面积，你有哪些不同的方法？并把你的算法与同学交流．（2）将学生汇报的四个式子进行组合，得到下面两个式子：)()(d c b d c a +++=bd bc ad ac +++． )()(b a d b a c +++=bd ad bc ac +++．提问：观察两个等式，对于))((d c b a ++的计算有何新的想法？（1）学生多角度思考，积极发言．学生如果把此图看成是一个长为)(b a +，宽为)(d c +的长方形，则此图面积为))((d c b a ++．也可能把此图看成长、宽分别为)(d c +、a 和)(d c +、b 的2个小长方形组成的图形，则此图面积为：)()(d c b d c a +++．也可能把此图看成长、宽分别为)(b a +、c 和)(b a +、d 的2个小长方形组成，则此图面积为：)()(b a d b a c +++．也可能把此图看成是由4个小长方形组成，．（2）观察两组式子提出自己对))((d c b a ++的想法．2．活动二．（1）引导学生发现运算过程，也可以表示为：))((d cb a ++bd bc ad ac +++=（2）思考：多项式乘多项式应该如何计算？（3）得出法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．学生思考并回答，也许学生说不到位，可以相互补充完善．借助算式图展示bd bc ad ac +++的得出过程，可以直观感知多项式乘多项式的运算方法，便于学生思考并得出法则．在学生相互补充的过程中不断完善法则，加深学生对法则的理解．三、例题讲解例1 计算．(1) (x+2)(x-3)(2) (x-2)(3x-1)(3) (3a+b)(a-2b)在此例题书写完整解题步骤的过程中，巩固学生对法则的理解，教师的板书能即时给学生以示范作用． 例2 计算．（1）)2)(3(n m n m -+； （2）)2)(1(++n n n1．学生尝试解答，投影纠错．对于第二问解答过程不唯一，可能有学生先将n 与（n ＋1）相乘，再与（n ＋2）相乘，也可能有学生先将（n ＋1）与（n ＋2）相乘，再把结果与n 相乘，应投影多种解答的方法．2．小组纠错．参考答案：（1）22253n mn m --；（2）n n n 2323++．（1）提问：在运用法则进行多项式乘多项式的计算中，要注意什么？（2）注意点：①运用法则进行计算时不能“漏项” ．②每一项都要包括前面的符号进行相乘． 学生思考，交流得到注意点．例3 填空．（1）若n mx x x x ++=+-2)7)(4(，则____,==n m ．（2）若2,1-==-ab b a ，则________)1)(1(=-+b a ．参考答案：（1）m ＝3，n ＝－28；（2）－4．四、练习巩固课本P73“练一练”第1、2小题．参考答案：1．（1）322--x x ；（2）2949x -；（3）2212421n mn m --；（4）n n n 25223++．2．2)422(cm b a ab +-- ．五、课堂小结通过今天的学习，你学到了什么？说出来与大家分享．教师加以提炼得到多项式乘多项式运算法则的实质：单项式乘多项式单项式乘单项式1．小组内相互交流收获；2．集体交流； 转化转化3．跟着教师体会多项式乘多项式的实质．在相互交流中总结本节课的收获，可以达到总结归纳本节知识的目的，形成完整的印象，最后由教师提炼得到多项式乘多项式的实质所在．六、作业布置1．（必做）课本P74第1（1）、（3）、（5）、2、3题；2．（选做）思考题：（1）计算：2)(b a+； （2）若)3)(8(22q x x px x +-++的乘积中不含x 2与x 3的项，求p 、q 的值．。

《多项式乘多项式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过多项式乘多项式的练习，使学生能够熟练掌握多项式乘法的基本法则，加深对乘法分配律的理解，并能够运用所学知识解决实际问题。

通过作业的完成，提高学生的数学运算能力和逻辑思维能力。

二、作业内容本课时作业内容主要围绕多项式乘法的知识点展开，具体包括：1. 基础练习：设计一系列简单多项式乘法题目，如（x+2）×（x-3）等，让学生熟练掌握乘法分配律和多项式乘法的基本步骤。

2. 拓展应用：设计一些稍复杂的题目，如两个二次多项式的乘法，如（x^2+3x+2）×（x^2-x-1），让学生在掌握基本知识的基础上，进行拓展练习。

3. 实际问题：设置一些与实际生活相关的问题，如通过多项式乘法计算几何图形的面积等，让学生在解决实际问题的过程中加深对知识的理解。

4. 错题解析：针对学生在练习中可能出现的错误，设计相应的解析题目，帮助学生找出错误原因并加以改正。

三、作业要求1. 学生需独立完成作业，不得抄袭他人答案。

2. 学生在完成作业时，应按照所学知识进行计算，确保计算过程和结果准确无误。

3. 对于拓展应用和实际问题部分，学生应尝试多种解题方法，并选择最优解法进行解答。

4. 学生在完成作业后，需进行自我检查和修正，确保答案的准确性。

5. 学生在提交作业时，需附上详细的解题过程和答案，以便教师进行批改和评价。

四、作业评价教师将根据学生完成作业的情况进行评价，评价标准包括：1. 准确性：学生答案的准确性及计算过程的正确性。

2. 解题思路：学生的解题思路是否清晰、有条理。

3. 解题速度：学生在规定时间内完成作业的速度及效率。

4. 创造性：学生在拓展应用和实际问题部分的表现及创新程度。

五、作业反馈教师将对每位学生的作业进行批改和评价，并及时进行反馈：1. 对正确率较高的学生给予肯定和表扬，鼓励其继续努力。

2. 对错误较多的学生指出错误原因及改进方向，并提供相应的帮助和支持。

《多项式乘多项式》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过多项式乘多项式的练习，使学生能够熟练掌握多项式乘法的基本法则，加深对乘法分配律的理解，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。

通过作业的完成，提高学生的计算能力和数学逻辑思维能力。

二、作业内容多项式乘法的第一课时作业内容主要包括以下部分：1. 基础练习：设计一系列简单多项式相乘的题目，如（2x+1）×（x-3），（x^2+2x）×（x+1）等，要求学生对每项进行准确的计算和展开，理解每一步的含义和结果。

2. 实际应用：编制与生活相关的问题，如根据数学表达式编写出数学与生活中的小故事。

如：（y-m）×（a+y-n），题目可设定为：“一个苹果商店销售打折活动，苹果的价格是y元/斤，原来进货的成本是m元/斤，现在有活动多买了y-m的苹果数量，其中多买了n斤。

求这个打折活动会为商家带来多少额外成本？”3. 难度提升：提供较为复杂的多项式相乘题目，包括带高次项和复杂项的乘法，如：（x^3-x^2+x-1）×（x^2+3x+4）等，这类题目需要学生综合运用所学的乘法法则和数学运算能力进行计算。

4. 技巧巩固：编写关于乘法法则运用技巧的题目，如提醒学生注意乘法分配律的运用、如何快速找到同类项等。

三、作业要求1. 要求学生独立完成作业，不得抄袭他人答案。

2. 计算过程中要认真细致，确保每一步的计算都准确无误。

3. 答案要清晰明了，每一步的计算过程都要有明确的解释和说明。

4. 对于难度较大的题目，可以尝试多种不同的解题方法，找出最简洁、最快捷的解法。

四、作业评价1. 教师对学生的作业进行批改和评分，重点考察学生对乘法法则的掌握情况及解题过程的正确性。

2. 评价学生作业中的解题思路和解题方法的正确性及合理性。

3. 对学生的解题速度及独立完成能力进行评价。

五、作业反馈1. 对于学生出现错误的题目进行针对性的辅导和讲解。

9.3多项式乘多项式第一课时一、教学目标1.理解和掌握多项式与多项式乘法法则及其推导过程，熟练运用法则进行多项式与多项式的乘法计算。

2.引导学生自己用文字概括法则，提高学生数学表达能力，同时培养学生计算能力和综合运用知识的能力。

3.让学生体会数学中的整体思想与数学思想，感受数学之美。

二、教学重难点重点：多项式乘多项式法则的运用。

难点：利用单项式与多项式相乘的法则推导多项式乘多项式的法则。

三、教学工具直尺、多媒体等。

四、教学过程【探索新知】（一）从学生原有的认知结构提出问题：1、口算(1) x(x-y) =x2-xy(2)-2a(a+3b) = -2a2-6ab2、我们在上一节课里学习了单项式与多项式的乘法，单项式乘多项式的法则是什么？3、计算图中阴影部分面积，你有几种方法？思考：如何求两个多项式(m+a)(n+b)的积呢?（二）新课讲解。

1、引导：能不能用我们已经学过的单项式乘多项式解决呢？方法一:整体思想（将(n+b)看成一个整体▲）。

(m+a)(n+b)=(m+a)▲=m▲+ a▲=m(n+b)+a(n+b)=mn+mb+na+ab想一想：你还有其他方法吗？引导：我们是如何推出单项式乘多项式法则的呢？方法二:数形结合思想（用图形来解决）。

(m+a)(n+b) =mn+mb+na+ab2.多项式乘多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

（三）例题讲解。

1.例1. (3x-y)(a+2b)=3x·a+3x· 2b+(-y) ·a+(-y) ·2b=3xa+6xb-ya-2yb2.巩固练习。

(1)(x+3)(x+4)(2)(2x-1)(x-2)(3) (x–3) 23.口答。

(1)(1+x)(2+x)=1×2+1 · x+2 · x + x ·x(2) (a-2) (a+b+2)=a ·a+a ·b+a ·2+(-2) ·a +(-2) ·b +(-2)×2(1)猜想(a-2) (a+b+c+2)的积的项是多少？(1)你发现积的项与两个多项式的项有什么关系呢？归纳：两个多项式相乘，所得积的项数（合并同类项之前）应为两个多项式的项数的积。

《多项式乘多项式》的教学设计一．【教材分析】本节课实在学习了“单项式与多项式相乘”的基础上进行的，学生已经掌握了“单项式与多项式相乘”的运算法则。

这节学习的内容，既是单项式与多项式相乘应用与推广，又为今后学习乘法公式，因式分解等知识做准备。

同时，还可以激发学生对数学问题中蕴含的内在规律进行探索兴趣和培养学生知识迁移能力。

二．【教学目标】知识与能力1．通过学生自己的探索，用几何和代数两种方法，得出多项式乘以多项式的运算法则；2．能够按多项式乘法步骤进行多项式乘法的运算；3．理解多项式乘多项式的本质是利用乘法分配律转化为单乘多、单乘单，体会转化思想。

1. 数形结合和整体代换的方法2. 经历探索多项式与多项式乘法法则的过程，体会乘法分配律的作用和“化归”的思想。

情感态度价值观通过数学活动，让学生对数学产生好奇心和求知欲，从而体会到到探索与创造的乐趣和成功的喜悦。

三．【教学重点难点及突破】重点：多项式与多项式乘法的法则与应用。

难点：多项式乘多项式法则的推动过程以及法则的应用。

教学突破学生们前面已经学习了有理数，单项式与单项式乘法，单项式与多项式乘法等运算法则，已经具备了一定的运算能力。

本节通过采用“引导发现法”，“类比分析法”，“讲练结合法”，让学生观察，探索，类比，归纳出多项式与多项式的乘法法则。

四．【教学设想】以某个小区绿化带面积扩建为实际背景来激发学生学习的兴趣并导入新课，一方面学生以学习小组的形式参与拼图活动，在拼图的过程中体会代数的问题可用几何的方法来解决；另一方面，通过比较()()a b m n ++与()()a m n b m n +++这两个代数运算式的联系与区别，来引导学生可以用代数的方法推导出多项式乘法的法则，使学生感受到代数与几何的内在联系，从而体会到数形结合和整体代换是重要的数学思想方法，最后用法则来进行计算，提高。

五．【教学准备】多项式与多项式乘法第 2 页 共 6 页教师准备：制作多项式乘多项式的多媒体课件。

9.3多项式乘多项式1．通过同一图形面积的不同算法的比较，理解多项式乘法法则的几何背景．2．在理解多项式与多项式乘法法则的基础上，通过典例分析，学会根据这一法则进行计算．3．在掌握多项式乘法法则的基础上，通过实例理解“不含”问题的本质，学会解决这一类问题．例1 如图9－3－1，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果用这三类卡片拼一个长为2a＋b、宽为a＋2b的大长方形，通过计算说明三类卡片各需多少张．图9－3－1目标二根据多项式乘法法则计算例2 教材例1变式计算下列各题：(1)(－3x－2y)(4x＋2y)；(2)(2x－3y－1)(－2x－3y＋5)；(3)(3x－2)(x＋3)(2x－1)．[全品导学号：98584067]【归纳总结】多项式乘多项式的“三点注意”：(1)相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；(2)多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数等于原多项式的项数的积；(3)相乘后，若有同类项应合并．目标三单项式与多项式中的“不含”问题例3 [教材补充例题]若(x2＋ax＋b)(x2－5x＋7)的展开式中不含有x3与x2的项，求a，b 的值．[全品导学号：98584068]知识点多项式乘多项式法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子可表示为＝ac＋ad＋bc＋bd.[注意] (1)要用一个多项式中的每一项分别乘另一个多项式的每一项，勿遗漏；(2)注意多项式乘法运算过程中的符号问题．多项式中的每一项都包括它前面的符号，应带着符号相乘；(3)若展开后的多项式中有同类项，则要合并同类项，使结果最简，并且最终结果一般都按照某个字母的降幂(或升幂)排列．计算：(2a－b)(a＋3b)．解：(2a－b)(a＋3b)＝2a2＋6ab－ab＋3b2＝2a2＋5ab＋3b2.上面的计算正确吗？如果不正确，请说明理由，并给出正确的解题过程．课堂反馈(十八)9.3多项式乘多项式(建议用时：10分钟)1.若(x＋3)(x＋4)＝x2＋px＋q，则p，q的值是()A．p＝1，q＝－12 B．p＝－1，q＝12C．p＝7，q＝12 D．p＝7，q＝－122．计算(2x－1)(5x＋2)的结果是()A．10x2－2 B．10x2－5x－2C．10x2＋4x－2 D．10x2－x－23．计算：(2x＋1)(x－3)＝________．4．有若干张如图18－1所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为2a＋b，宽为a ＋b的长方形，那么需要A类卡片________张，B类卡片________张，C类卡片________张．图18－15．计算：(1)(2x－7y)(3x＋4y－1)；(2)(x－y)(x2＋xy＋y2)．课时作业(十八)[9.3多项式乘多项式]一、选择题1．2017·武汉计算(x＋1)(x＋2)的结果为()A．x2＋2 B．x2＋3x＋2C．x2＋3x＋3 D．x2＋2x＋22．下列算式的计算结果等于x2－5x－6的是()A．(x－6)(x＋1) B．(x＋6)(x－1)C．(x－2)(x＋3) D．(x＋2)(x－3)3．已知a＋b＝m，ab＝－4，化简(a－2)(b－2)的结果是()A．6 B．2m－8 C．2m D．－2m4．若(x＋t)(x－6)的积中不含有x的一次项，则t的值为()A．0 B．6C．－6 D．－6或0二、填空题5．计算：(3x－1)(2x＋1)＝________．6．在(x＋1)(2x2＋ax＋1)的运算结果中，x2的系数是－1，那么a的值是________．7．已知(x－1)(x＋2)＝ax2＋bx＋c，则代数式4a－2b＋c的值为________．三、解答题8．计算：(1)(a－1)(a2＋a＋1)；(2)(2x＋5)(2x－5)－(x＋1)(x－4)；(3)(3x－2)(2x＋3)(x－2)．9．[教材习题9.3第3题变式]先化简，再求值：6x2－(2x－1)(3x－2)＋(x＋2)(x－2)，其中x＝2.10．[教材习题9.3第4题变式]一块长方形草坪的长是2x m，宽比长少4 m．如果将这块草坪的长和宽都增加3 m，那么面积会增加多少？求出当x＝3时，面积增加的值．数形结合我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如：(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab＋b2就可以用图K－18－1①②等图形的面积表示．(1)请你写出图③所表示的一个等式：________；(2)试画出一个几何图形，使它的面积能表示为(a＋3b)(a＋b)＝a2＋4ab＋3b2；(3)请仿照上述方法另写一个只含有a，b的等式，并画出与之对应的图形．图K－18－1详解详析【目标突破】例1解：∵(2a＋b)(a＋2b)＝2a2＋4ab＋ab＋2b2＝2a2＋5ab＋2b2，∴需要A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张．例2解：(1)原式＝－3x·4x－3x·2y－2y·4x－2y·2y＝－12x2－6xy－8xy－4y2＝－12x2－14xy－4y2.(2)原式＝－4x2－6xy＋10x＋6xy＋9y2－15y＋2x＋3y－5＝－4x2＋(－6xy＋6xy)＋(10x＋2x)＋9y2＋(3y－15y)－5＝－4x2＋12x＋9y2－12y－5.(3)原式＝(3x2＋9x－2x－6)(2x－1)＝(3x2＋7x－6)(2x－1)＝6x3＋14x2－12x－3x2－7x＋6＝6x3＋11x2－19x＋6.例3[解析] 缺某项指展开式中合并同类项后该项的系数为0，列出一个方程即可求得字母的值．解：在(x2＋ax＋b)(x2－5x＋7)的展开式中，x2项有7x2，－5ax2，bx2，x3项有－5x3，ax3.因为不含x2与x3的项，故有－5＋a＝0，7－5a＋b＝0，解得a＝5，b＝18.备选目标有关多项式乘多项式的规律探索型问题例分别计算出下列各题的结果：①(x＋2)(x＋3)＝________；②(x－2)(x－3)＝________；③(x－2)(x＋3)＝________；④(x＋2)(x－3)＝________．(1)仔细分析比较所得的结果，你能发现什么规律？并把你的发现用文字叙述出来．文字叙述：________________________________________________________________________；规律：(x＋a)(x＋b)＝________．(2)运用你发现的规律计算下列各题：①(x＋2y)(x－4y)；②(a－2)(a＋2)(a2＋4)．[解析] 利用多项式乘多项式的法则进行计算，总结归纳出规律．解：①x2＋5x＋6②x2－5x＋6③x2＋x－6④x2－x－6(1)文字叙述：两个一次项系数为1的一次二项式相乘时，其积是一个二次三项式，其中二次项系数为1，一次项系数是两个常数的和，常数项是两个常数的积；规律：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab.(2)①(x＋2y)(x－4y)＝x2－2xy－8y2.②(a－2)(a＋2)(a2＋4)＝a4－16.[归纳总结] 利用多项式乘多项式的法则进行计算，利用从特殊到一般的思路，总结归纳出规律，再加以应用．【总结反思】[反思] 不正确．在确定积中的每一项时，符号出错，－b乘3b时，积应该是－3b2，而不是3b2.正确解答：(2a－b)(a＋3b)＝2a2＋6ab－ab－3b2＝2a2＋5ab－3b2.课堂反馈(十八)1．C 2.D 3.2x2－5x－34．213[解析] 长为2a＋b，宽为a＋b的长方形的面积为(2a＋b)(a＋b)＝2a2＋3ab ＋b2，A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为b2，C类卡片的面积为ab，则可知需要A类卡片2张，B类卡片1张，C类卡片3张．5．解：(1)原式＝6x2＋8xy－2x－21xy－28y2＋7y＝6x2－2x－13xy－28y2＋7y.(2)原式＝x3＋x2y＋xy2－x2y－xy2－y3＝x3－y3.【课时作业】[课堂达标]1．[解析] B原式＝x2＋2x＋x＋2＝x2＋3x＋2，故选B.2．[解析] A A．(x－6)(x＋1)＝x2－5x－6；B.(x＋6)(x－1)＝x2＋5x－6；C.(x－2)(x＋3)＝x2＋x－6；D.(x＋2)(x－3)＝x2－x－6.故选A.3．[解析] D∵a＋b＝m，ab＝－4，∴(a－2)(b－2)＝ab＋4－2(a＋b)＝－4＋4－2m＝－2m .故选D.4．[全品导学号：98584264][解析] B∵(x＋t)(x－6)＝x2＋(t－6)x－6t，又∵不含有x的一次项，∴t－6＝0，∴t＝6.故选B.5．6x2＋x－16．[答案] －3[解析] (x＋1)(2x2＋ax＋1)＝2x3＋ax2＋x＋2x2＋ax＋1＝2x3＋(a＋2)x2＋(1＋a)x＋1，∵运算结果中x2的系数是－1，∴a＋2＝－1，解得a＝－3.7．[全品导学号：98584265][答案] 0[解析] (x－1)(x＋2)＝x2－x＋2x－2＝x2＋x－2＝ax2＋bx＋c，则a＝1，b＝1，c＝－2，故原式＝4－2－2＝0.8．解：(1)原式＝a·a2＋a·a＋a×1－a2－a－1＝a3－1.(2)原式＝4x2－25－x2＋3x＋4＝3x2＋3x－21.(3)原式＝(6x2＋9x－4x－6)(x－2)＝(6x2＋5x－6)(x－2)＝6x3＋5x2－6x－12x2－10x＋12＝6x3－7x2－16x＋12.9．解：原式＝6x2－(6x2－4x－3x＋2)＋(x2－2x＋2x－4)＝6x2－6x2＋4x＋3x－2＋x2－2x ＋2x－4＝x2＋7x－6.当x＝2时，原式＝22＋7×2－6＝12.10．[全品导学号：98584266][解析] 该题取材于现实生活，体现了数学来源于生活，又服务于生活的特点，只要根据题意列出式子并化简即可．解：面积会增加(2x＋3)(2x－4＋3)－2x(2x－4)＝(2x＋3)(2x－1)－(4x2－8x)＝4x2－2x＋6x－3－4x2＋8x＝(12x－3)m2.当x＝3时，面积增加12×3－3＝33(m2)．[素养提升][全品导学号：98584267]解：(1)(a＋2b)(2a＋b)＝2a2＋5ab＋2b2(2)画法不唯一，如图所示：(3)答案不唯一，例如：(a＋b)(a＋2b)＝a2＋3ab＋2b2可以用下图表示：。

精品文档，欢迎下载如果你喜欢这份文档，欢迎下载，另祝您成绩进步，学习愉快！9.5多项式的因式分解教学目标：1. 知道公因式、因式分解及提公因式法的概念。

2．能用提公因式法进行因式分解（指数是正整数）3.经历通过单项式乘以多项式探索提公因式法因式分解的过程，体会单项式乘以多项式与提取公因式之间的联系，发展逆向思维的能力。

教学重点与难点：重点：多项式因式分解和整式乘法的关系,提公因式法分解因式；难点：多项式的公因式的确定．教学过程：一、情境创设三八妇女节华地百货搞了大型的促销活动，黄金饰品也不例外，活动价是325元∕克，吸引了三位妈妈来购买，她们分别买了45克、49克、6克，请你列式算一算，这三位妈妈一共消费了多少元？若把数325改为数a,45、49、6分别改为数b,c,d呢？形成等式ab＋ac＋ad=a（b＋c＋d）二、引导探究1.公因式的概念（1）观察多项式ab＋ac＋ad=a（b＋c＋d）左边的每一项，你有什么发现?突显出多项式各项都含有相同的因式 a，我们称因式a是多项式ab＋ac＋ad的公因式。

（2）填空：多项式4x+4y的公因式是；ax128+的公因式是；ay21232222b-的公因式是。

aa+c6b9bca你能归纳出找一个多项式各项的公因式的方法吗? （学生归纳总结）（3）找一个多项式各项的公因式的方法一般分三个步骤：一看系数：当多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；二看字母：公因式的字母应取多项式中各项都含有的相同字母；三看指数：相同字母的指数取次数最低的．学生做一组找公因式的练习2.因式分解的概念（1）你能否将以上几个多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式？（刚开始学，提倡学生将每一项写成公因式与另一个因式乘积的形式，再根据乘法的分配律把公因式提出来，写在括号的前面）（2）.形成概念：像这样，把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解.（点题……）（因式分解的结果可以是“单项式乘多项式”或“多项式乘多项式”的形式）。

9.2 单项式乘多项式一．选择题（共5小题）1．计算（﹣3x）•（2x2﹣5x﹣1）的结果是（）A．﹣6x2﹣15x2﹣3x B．﹣6x3+15x2+3xC．﹣6x3+15x2D．﹣6x3+15x2﹣12．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，右图可表示的代数恒等式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．2a（a+b）＝2a2+2abC．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b23．计算：（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）＝（）A．﹣12x5﹣6x4B．2x6+12x5+6x4C．x2﹣6x﹣3 D．2x6﹣12x5﹣6x44．已知ab2＝﹣2，则﹣ab（a2b5﹣ab3+b）＝（）A．4 B．2 C．0 D．145．若x﹣y+3＝0，则x（x﹣4y）+y（2x+y）的值为（）A．9 B．﹣9 C．3 D．﹣3二．填空题（共3小题）6．已知实数m，n，p，q满足m+n＝p+q＝4，mp+nq＝6，则（m2+n2）pq+mn（p2+q2）＝．7．a n b2[3b n﹣1﹣2ab n+1+（﹣1）2003]＝．8．计算：m2n3[﹣2mn2+（2m2n）2]＝．三．解答题（共8小题）9．先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2．10．先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2，其中x＝﹣4，y＝．11．计算：（1）（﹣2xy2）2•3x2y；（2）（﹣2a2）（3ab2﹣5ab3）12．阅读下列文字，并解决问题．已知x2y＝3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值．分析：考虑到满足x2y＝3的x、y的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y＝3整体代入．解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）＝2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y＝2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y＝2×33﹣6×32﹣8×3＝﹣24．请你用上述方法解决问题：已知ab＝3，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）的值．13．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：×（﹣xy）＝3x2y﹣xy2+xy（1）求所捂的多项式；（2）若x＝，y＝，求所捂多项式的值．14．计算：（1）a（a﹣b）+ab；（2）2（a2﹣3）﹣（2a2﹣1）．15．计算：（1）（﹣ab2c4）3（2）（x2y﹣xy2﹣y3）（﹣4xy2）16．某同学在计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1，那么正确的计算结果是多少？参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．计算（﹣3x）•（2x2﹣5x﹣1）的结果是（）A．﹣6x2﹣15x2﹣3x B．﹣6x3+15x2+3xC．﹣6x3+15x2D．﹣6x3+15x2﹣1【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加计算即可．【解答】解：（﹣3x）•（2x2﹣5x﹣1）＝﹣3x•2x2+3x•5x+3x＝﹣6x3+15x2+3x．故选：B．【点评】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理．2．通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式，右图可表示的代数恒等式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．2a（a+b）＝2a2+2abC．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【分析】由题意知，长方形的面积等于长2a乘以宽（a+b），面积也等于四个小图形的面积之和，从而建立两种算法的等量关系．【解答】解：长方形的面积等于：2a（a+b），也等于四个小图形的面积之和：a2+a2+ab+ab＝2a2+2ab，即2a（a+b）＝2a2+2ab．故选：B．【点评】本题考查了单项式乘多项式的几何解释，列出面积的两种不同表示方法是解题的关键．3．计算：（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）＝（）A．﹣12x5﹣6x4B．2x6+12x5+6x4C．x2﹣6x﹣3 D．2x6﹣12x5﹣6x4【分析】先算积的乘方，单项式乘多项式，再合并同类项即可求解．【解答】解：（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）＝8x6﹣6x6﹣12x5﹣6x4＝2x6﹣12x5﹣6x4．故选：D．【点评】考查了积的乘方，单项式乘多项式，合并同类项，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．4．已知ab2＝﹣2，则﹣ab（a2b5﹣ab3+b）＝（）A．4 B．2 C．0 D．14【分析】原式利用单项式乘以多项式法则计算即可得到结果．【解答】解：﹣ab（a2b5﹣ab3+b）＝﹣a3b6+a2b4﹣ab2＝﹣（ab2）3+（ab2）2﹣ab2，当ab2＝﹣2时，原式＝﹣（﹣2）3+（﹣2）2﹣（﹣2）＝8+4+2＝14故选：D．【点评】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．若x﹣y+3＝0，则x（x﹣4y）+y（2x+y）的值为（）A．9 B．﹣9 C．3 D．﹣3【分析】由于x﹣y+3＝0，可得x﹣y＝﹣3，根据单项式乘多项式、合并同类项和完全平方公式的运算法则将x（x﹣4y）+y（2x+y）变形为（x﹣y）2，再整体代入即可求解．【解答】解：∵x﹣y+3＝0，∴x﹣y＝﹣3，∴x（x﹣4y）+y（2x+y）＝x2﹣4xy+2xy+y2＝x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝（﹣3）2＝9．故选：A．【点评】考查了单项式乘多项式，单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．注意整体思想的运用．二．填空题（共3小题）6．已知实数m，n，p，q满足m+n＝p+q＝4，mp+nq＝6，则（m2+n2）pq+mn（p2+q2）＝60 ．【分析】先利用单项式乘以多项式法则将要求值的多项式进行整理，将题目所给的有确定值的式子进行变形，得出所需要的式子的值，运用整体代入法既可求解．【解答】解：∵m+n＝p+q＝4∴（m+n）（p+q）＝4×4＝16∵（m+n）（p+q）＝mp+mq+np+nq∴mp+mq+np+nq＝16∵mp+nq＝6∴mq+np＝10∴（m2+n2）pq+mn（p2+q2）＝m2pq+n2pq+mnp2+mnq2＝mp•mq+np•nq+mp•np+nq•mq＝mp•mq+mp•np+np•nq+nq•mq＝mp（mq+np）+np（nq+mq）＝（mp+nq）（np+mq）＝6×10＝60故答案为60【点评】本题需要综合运用单项式乘以多项式、多项式乘以多项式法则，将式子通过变形后整体代入求解，解题的关键是对条件所给的式子变形要有方向性和目的性，同时要掌握分组分解法对式子进行因式分解，有一定难度．7．a n b2[3b n﹣1﹣2ab n+1+（﹣1）2003]＝3a n b n+1﹣2a n+1b n+3﹣a n b2．【分析】根据单项式成多项式，用单项式乘多向数的每一项，把所得的积相加，可得答案．【解答】解：原式＝a n b2（3b n﹣1﹣2ab n+1﹣1）＝3a n b n+1﹣2a n+1b n+3﹣a n b2，故答案为：3a n b n+1﹣2a n+1b n+3﹣a n b2．【点评】本题考查了单项式成多项式，用单项式乘多向数的每一项，把所得的积相加．8．计算：m2n3[﹣2mn2+（2m2n）2]＝﹣m3n5+2m6n5．【分析】先算幂的乘方，再根据单项式乘以多项式进行计算即可．【解答】解：m2n3[﹣2mn2+（2m2n）2]＝＝﹣m3n5+2m6n5．故答案为：﹣m3n5+2m6n5．【点评】本题考查单项式乘多项式，解题的关键是明确单项式乘多项式的计算方法．三．解答题（共8小题）9．先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2．【分析】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．【解答】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）＝6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2＝﹣20a2+9a，当a＝﹣2时，原式＝﹣20×4﹣9×2＝﹣98．【点评】本题考查了整式的化简．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．10．先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2，其中x＝﹣4，y＝．【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的法则把原式进行化简，代入已知数据计算即可．【解答】解：原式＝x2﹣4xy+4y2﹣x2﹣3xy）﹣4y2＝﹣7xy，当x＝﹣4，y＝时，原式＝﹣7×（﹣4）×＝14．【点评】本题考查的是单项式乘多项式，掌握完全平方公式、单项式乘多项式的法则是解题的关键．11．计算：（1）（﹣2xy2）2•3x2y；（2）（﹣2a2）（3ab2﹣5ab3）【分析】（1）首先利用积的乘方运算法则化简，进而利用单项式乘以单项式运算法则计算得出答案；（2）直接利用单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）（﹣2xy2）2•3x2y＝4x2y4•3x2y＝12x4y5；（2）（﹣2a2）（3ab2﹣5ab3）＝﹣2a2×3ab2﹣2a2×（﹣5ab3）＝﹣6a3b2+10a3b3．【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘以多项式运算，正确掌握运算法则是解题关键．12．阅读下列文字，并解决问题．已知x2y＝3，求2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）的值．分析：考虑到满足x2y＝3的x、y的可能值较多，不可以逐一代入求解，故考虑整体思想，将x2y＝3整体代入．解：2xy（x5y2﹣3x3y﹣4x）＝2x6y3﹣6x4y2﹣8x2y＝2（x2y）3﹣6（x2y）2﹣8x2y＝2×33﹣6×32﹣8×3＝﹣24．请你用上述方法解决问题：已知ab＝3，求（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b）的值．【分析】根据单项式乘多项式，可得一个多项式，根据把已知代入，可得答案．【解答】解：（2a3b2﹣3a2b+4a）•（﹣2b），＝﹣4a3b3+6a2b2﹣8ab，＝﹣4×（ab）3+6（ab）2﹣8ab，＝﹣4×33+6×32﹣8×3，＝﹣108+54﹣24，＝﹣78．【点评】本题考查了单项式乘多项式，整体代入是解题关键．13．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：×（﹣xy）＝3x2y﹣xy2+xy（1）求所捂的多项式；（2）若x＝，y＝，求所捂多项式的值．【分析】（1）设多项式为A，则A＝（3x2y﹣xy2+xy）÷（﹣xy）计算即可．（2）把x＝，y＝代入多项式求值即可．【解答】解：（1）设多项式为A，则A＝（3x2y﹣xy2+xy）÷（﹣xy）＝﹣6x+2y﹣1．（2）∵x＝，y＝，∴原式＝﹣6×+2×﹣1＝﹣4+1﹣1＝﹣4．【点评】本题考查单项式乘多项式、多项式除以单项式的法则，解题的关键是利用乘法与除法是互为逆运算，把乘法转化为除法解决问题，属于基础题．14．计算：（1）a（a﹣b）+ab；（2）2（a2﹣3）﹣（2a2﹣1）．【分析】1）先算单项式乘多项式，再合并同类项即可求解；2）先算单项式乘多项式，再去括号合并同类项即可求解．【解答】解：1）a（a﹣b）+ab＝a2﹣ab+ab＝a2；2）2（a2﹣3）﹣（2a2﹣1）＝2a2﹣6﹣2a2+1＝﹣5．【点评】考查了整式的加减、单项式乘多项式，单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．15．计算：（1）（﹣ab2c4）3（2）（x2y﹣xy2﹣y3）（﹣4xy2）【分析】（1）直接利用积的乘方运算得出即可；（2）利用单项式乘以多项式运算法则求出即可．【解答】解：（1）（﹣ab2c4）3＝﹣a3b6c12；（2）（x2y﹣xy2﹣y3）（﹣4xy2）＝﹣3x3y3+2x2y4+xy5．【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及单项式乘以多项式，正确把握运算法则是解题关键．16．某同学在计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1，那么正确的计算结果是多少？【分析】根据题意首先求出多项式，进而利用单项式乘以多项式运算法则求出即可．【解答】解：∵计算一个多项式乘以﹣2a时，因抄错运算符号，算成了加上﹣2a，得到的结果是a2+2a﹣1，∴这个多项式为：a2+2a﹣1+2a＝a2+4a﹣1，∴正确的计算结果是：﹣2a（a2+4a﹣1）＝﹣2a3﹣8a2+2a．【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．。