江苏省南京三中学年高二数学12月月考(无答案)

2022-2023学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．已知复数z 满足（2+i ）z ＝3﹣4i ，则|z |＝（ ） A ．2B ．√5C ．5D ．102．已知直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，则实数m ＝（ ） A ．﹣2 B ．0C ．2D ．±23．已知双曲线x 2a 2−y 22=1（a ＞0）的离心率为√3，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y ＝±2x B ．y ＝±√2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±√22x 4．直线l 与直线y =√3x 关于直线y ＝x +1对称，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π12B ．π6C ．π4D ．π35．我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面．已知拟柱体的体积公式为V =16ℎ(S +4S 0+S′)，其中S ，S ′别是上、下底面的面积，S 0是中截面的面积，h 为拟柱体的高．一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长、宽比下底长、宽各少2米．现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为4吨的卡车装运，则至少需要运（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）（ ）A ．63车B ．65车C ．67车D ．69车 6．已知α，β均为锐角，且sin （α+β）＝2sin （α﹣β），则tanαtanβ=（ ）A ．13B ．12C ．2D ．37．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上顶点为A ，左右焦点分别为F 1，F 2，连接AF 2并延长交椭圆C 于另一点B ，若F 1B ：F 2B ＝7：3，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．√338．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，E 为线段CD 上的动点，过B 作AE 的垂线，垂足为F ，则DF →•DA→的最小值是（ ） A ．1B ．1613C ．85D ．4二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分． 9．甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图，则在这7天中，（ ）A ．乙城市日均气温的极差为3°CB ．乙城市日均气温的众数为24°C C ．甲城市日均气温的中位数与平均数相等D ．甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定10．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l ：y ＝x ﹣2与抛物线C 交于A ，B 两点，则（ ）A ．抛物线C 的准线方程为x ＝﹣1B ．点F 到直线l 的距离为√22C ．∠AOB =π2 D ．AB ＝1011．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 为侧面BCC 1B 1内一点，则（ ）A ．当C 1P →=13C 1B →时，异面直线CP 与AD 所成角的正切值为12B ．当C 1P →=λC 1B →（0＜λ＜1）时，四面体D 1ACP 的体积为定值C ．当点P 到平面ABCD 的距离等于到直线A 1B 1的距离时，点P 的轨迹为抛物线的一部分D ．当C 1P →=12C 1B →时，四面体BCDP 的外接球的表面积为2π12．过原点的直线l 与圆M ：x 2+y 2+2x ﹣2y ﹣16＝0交于A ，B 两点，且l 不经过点M ，则（ ）A．弦AB长的最小值为8B．△MAB面积的最大值为4√2C．圆M上一定存在4个点到l的距离为2√2D．A，B两点处圆的切线的交点位于直线x﹣y﹣16＝0上三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．已知a＞0，若圆（x﹣a）2+y2＝2与圆x2+（y﹣a）2＝8外切，则a＝．14．某班15名学生在一次测试中的得分（单位：分）如下：9，10，10，11，11，11，12，12，12，12，13，14，16，17，18．则这组数据的70百分位数是．15．设函数f（x）＝2x+log a x﹣8（a＞1）的零点为x0．若x0≥3，则a的最小值为．16．已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，点P的坐标为（2，1），动点A，B在抛物线C上，且P A⊥PB，则F A+FB的最小值是．四、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在①（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C，②tan A=√3bcb2+c2−a2，③a sin B=√3b cos A这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝3，cos B=2√77，且_____，求△ABC的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是棱BC上的点（不与点C重合），AD⊥DC1．（1）证明：平面ADC1⊥平面BCC1B1；（2）若AC＝CC1＝2，求CC1与平面ADC1所成角的正弦值．19．（12分）已知圆M过原点O，圆心M在直线y＝x﹣1上，直线2x+y＝0与圆M相切．（1）求圆M的方程；（2）过点P（0，4）的直线l交圆M于A，B两点．若A为线段PB的中点，求直线l的方程．20．（12分）某篮球场有A，B两个定点投篮位置，每轮投篮按先A后B的顺序各投1次，在A点投中一球得2分，在B点投中一球得3分．设球员甲在A点投中的概率为p，在B点投中的概率为q，其中0＜p＜1，0＜q ＜1，且甲在A ，B 两点投篮的结果互不影响．已知甲在一轮投篮后得0分的概率为16，得2分的概率为13．（1）求p ，q 的值；（2）求甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的概率．21．（12分）已知圆A ：（x −√3）2+y 2＝16，B （−√3，0），T 是圆A 上一动点，BT 的中垂线与AT 交于点Q ，记点Q 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点（0，2）的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，记点P （0，﹣1）．问：是否存在直线l ，满足PM ＝PN ？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由． 22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√3，左、右顶点分别为M ，N ，点P（﹣1，1）满足PM →•PN →=1． （1）求双曲线C 的方程；（2）过点P 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，直线OP 与直线AN 交于点D ．设直线MB ，MD 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．2022-2023学年江苏省南京市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1．已知复数z 满足（2+i ）z ＝3﹣4i ，则|z |＝（ ） A ．2B ．√5C ．5D ．10解：∵（2+i ）z ＝3﹣4i ，∴z =3−4i2+i =(3−4i)(2−i)(2+i)(2−i)=25−115i ， ∴|z|=√(25)2+(−115)2=√5． 故选：B ．2．已知直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行，则实数m ＝（ ） A ．﹣2B ．0C ．2D ．±2解：因为直线l 1：4x +my +2＝0和l 2：mx +y +1＝0平行， 所以4﹣m 2＝0，解得m ＝±2，检验当m ＝2时，直线l 1：4x +2y +2＝0即为2x +y +1＝0，直线l 2：2x +y +1＝0，两直线重合，不符合题意，当m ＝﹣2时，直线l 1：4x ﹣2y +2＝0即为2x ﹣y +1＝0，直线l 2：﹣2x +y +1＝0即为2x ﹣y ﹣1＝0，两直线平行，符合题意， 故m ＝﹣2． 故选：A ． 3．已知双曲线x 2a 2−y 22=1（a ＞0）的离心率为√3，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y ＝±2x B ．y ＝±√2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±√22x解：双曲线x 2a 2−y 22=1（a ＞0）的离心率为√3，可得e =ca =√3， 即有c =√3a ，由c 2＝a 2+b 2， 可得b =√2a ，即有渐近线方程为y ＝±ba x ，即为y ＝±√2x ． 故选：B ．4．直线l 与直线y =√3x 关于直线y ＝x +1对称，则直线l 的倾斜角是（ ） A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3解：因为直线y =√3x 的倾斜角为60°，直线y ＝x +1的倾斜角为45°，由直线l 与直线y =√3x 关于直线y ＝x +1对称可得l 与y =√3x 与直线y ＝x +1的夹角相等，都为15°， 所以直线l 的倾斜角为30°． 故选：B ．5．我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面．已知拟柱体的体积公式为V =16ℎ(S +4S 0+S′)，其中S ，S ′别是上、下底面的面积，S 0是中截面的面积，h 为拟柱体的高．一堆形为拟柱体的建筑材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长、宽比下底长、宽各少2米．现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为4吨的卡车装运，则至少需要运（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）（ ）A ．63车B ．65车C ．67车D ．69车解：两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米，宽10米，堆高1米，上底长、宽比下底长、宽各少2米，由条件可知：上底长为18米，宽为8米；中截面长19米，宽9米； 则上底面积S ＝18×8，中截面积S 0＝19×9，下底面积S 1＝20×10， 所以该建筑材料的体积为V =16×1×(144+684+200)=5143立方米， 所以建筑材料重约5143×32=257（吨），需要的卡车次为257÷4＝64.25，所以至少需要运65车． 故选：B ．6．已知α，β均为锐角，且sin （α+β）＝2sin （α﹣β），则tanαtanβ=（ ）A ．13B ．12C ．2D ．3解：已知α，β均为锐角，且sin （α+β）＝2sin （α﹣β）， 整理得：sin αcos β+cos αsin β＝2sin αcos β﹣2cos αsin β， 故sin αcos β＝3cos αsin β， 所以tanαtanβ=3．故选：D ． 7．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的上顶点为A ，左右焦点分别为F 1，F 2，连接AF 2并延长交椭圆C 于另一点B ，若F 1B ：F 2B ＝7：3，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．√33解：由椭圆的定义可得|BF 1|+|BF 2|＝2a ， 又|F 1B |：|F 2B |＝7：3， 所以|BF 1|=7a 5，|BF 2|=3a 5， 根据题意可得|AF 1|＝|AF 2|=√c 2+b 2=a ， 所以|AB |＝|AF 2|+|BF 2|＝a +3a5， 所以cos ∠F 1BF 2＝cos ∠F 1BA ， 所以|BF 1|2+|BF 2|2−|F 1F 2|22|BF 1||BF 2|=|BF 1|2+|AB|2−|AF 1|22|BF 1||AB|，所以(7a 5)2+(3a 5)2−(2c)22×7a 5×3a 5=(7a 5)2+(a+35a)2−a 22×7a 5×(a+3a5)， 所以49a 2+9a 2−40c 242a 2=49a 2+64a 2−25a 2112a 2，所以49a 2+9a 2−40c 242a 2=1114，所以25a 2＝100c 2， 所以c 2a 2=14，所以e =c a =12， 故选：C ．8．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝2，E 为线段CD 上的动点，过B 作AE 的垂线，垂足为F ，则DF →•DA →的最小值是（ ） A ．1B ．1613C ．85D ．4解：分别以AD ，AB 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，B （0，3），D （2，0）， AB →=（0，3），AD →=（2，0），E 在线段CD 上，设E （2，m ），（0≤m ≤3），AE →=（2，m ）， 设AF →=k AE →=（2k ，mk ），则BF →=AF →−AB →=（2k ，mk ﹣3）， ∵BF ⊥AE ，∴BF →⋅AE →=4k +m （mk ﹣3）＝0，k =3mm 2+4， DF →=AF →−AD →=（2k ﹣2，mk ），DF →⋅DA →=（2k ﹣2，mk ）•（﹣2，0）＝4﹣4k ＝4−12mm 2+4， m ＝0，DF →⋅DA →=4， 0＜m ≤3时，12m m 2+4=12m+4m≤2√m⋅m=3，当且仅当m =4m ，即m ＝2时，取等号， 此时，DF →⋅DA →的最小值为1． 故选：A ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分． 9．甲、乙两城市某月初连续7天的日均气温数据如图，则在这7天中，（ ）A ．乙城市日均气温的极差为3°CB ．乙城市日均气温的众数为24°C C ．甲城市日均气温的中位数与平均数相等D ．甲城市的日均气温比乙城市的日均气温稳定解：由图可以看出，甲城市7天的气温为：22°C ，22°C ，24°C ，24°C ，25°C ，25°C ，26°C ， 乙城市7天的气温为：23°C ，23°C ，24°C ，24°C ，24°C ，25°C ，25°C ， 对于A ，乙城市日均气温的极差为25°C ﹣23°C ＝2°C ，故A 错误， 对于B ，乙城市日均气温的众数为24°C ，故B 正确，对于C ，甲城市的中位数为24°C ，甲城市的平均数为17×(22+22+24+24+25+25+26)=24°C ，故C 正确，对于D ，由图中可以看成，乙城市的日均气温比甲城市的日均气温稳定，故D 错误． 故选：BC ．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l ：y ＝x ﹣2与抛物线C 交于A ，B 两点，则（ ）A ．抛物线C 的准线方程为x ＝﹣1B ．点F 到直线l 的距离为√22C ．∠AOB =π2 D ．AB ＝10解：由抛物线C ：y 2＝4x ，可得抛物线的准线为x ＝﹣1，故A 正确； 由抛物线C ：y 2＝4x ，可得抛物线的焦点坐标为F （1，0）， ∴点F 到直线l 的距离为d =|1−0−2|√1+1=√22，故B 正确；由{y =x −2y 2=4x ，消去x 得y 2﹣4y ﹣8＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴y 1+y 2＝4，y 1y 2＝﹣8，∴x 1x 2=116（y 1y 2）2＝4，∴OA →•OB →=x 1x 2+y 1y 2＝4﹣8＝﹣4，故∠AOB ≠π2，故C 不正确； 由弦长公式得|AB |=√(1+1k2)[(y 1+y 2)2−4y 1y 2]=√(1+1)[42−4×(−8)]=4√6，故D 不正确．故选：AB ．11．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 为侧面BCC 1B 1内一点，则（ ） A ．当C 1P →=13C 1B →时，异面直线CP 与AD 所成角的正切值为12B ．当C 1P →=λC 1B →（0＜λ＜1）时，四面体D 1ACP 的体积为定值C ．当点P 到平面ABCD 的距离等于到直线A 1B 1的距离时，点P 的轨迹为抛物线的一部分D ．当C 1P →=12C 1B →时，四面体BCDP 的外接球的表面积为2π解：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，P(13，1，23)，CP →=(13，0，23)，AD →=(−1，0，0)， 设异面直线CP 与AD 所成角为θ∈(0，π2]， 则cosθ=|cos ＜CP →，AD →＞|=|CP →⋅AD →||CP →|⋅|AD →|=|(13，0，23)⋅(−100)|√19+49=√55，故sinθ=√1−cos 2θ=2√55，tanθ=2，A 错误； 如图2，因为AB ∥C 1D 1，且AB ＝C 1D 1，所以四边形ABC 1D 1为平行四边形， 故BC 1∥AD 1，因为BC 1⊄平面ACD 1，AD 1⊂平面ACD 1， 所以BC 1∥平面ACD 1，故当点P 在BC 1上运动时，点P 到平面ACD 1的距离不变，即当C 1P →=λC 1B →(0＜λ＜1)时，四面体D 1ACP 的体积为定值，B 正确； 如图3，过点P 作PE ⊥BC 于点E ，连接PB 1，因为A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，B 1P ⊂平面BCC 1B 1， 所以A 1B 1⊥B 1P 1，因为AB ⊥平面BCC 1B 1，EP ⊂平面BCC 1B 1， 所以AB ⊥EP ，因为AB ∩BC ＝B ，AB ，BC ⊂平面ABCD ， 所以PE ⊥平面ABCD ，设P （m ，1，n ），0≤m ≤1，0≤n ≤1，其中B 1（1，1，1）， 当PB 1＝PE 时，√(m −1)2+(1−1)2+(n −1)2=n ， 整理得：n =12(m −1)2+12，故当点P 到平面ABCD 的距离等于到直线A 1B 1的距离时，点P 的轨迹为抛物线的一部分，C 正确； 如图4，当C 1P →=12C 1B →时，P 为BC 1的中点，取BD 的中点Q ，BC 的中点N ，连接PN ，则PN ∥CC 1，故PN ⊥平面ABCD ，因为BC ⊥CD ，故三角形BCD 的外心为点Q ，则外接球球心O 在过点Q 且垂直于平面ABCD 的直线上，故OQ ⊥平面ABCD ，OQ ∥PN ，连接OP ，QN ，OB ，过点O 作OM ∥QN 交PN 于点M ，设四面体BCDP 的外接球的半径为R ，则OB =OP =R ，OM =QN =12，OQ =MN ， 其中QB =√22，PN =12，设OQ ＝MN ＝h ，则PM =12−ℎ， 由勾股定理得OB =√OQ 2+QB 2=√ℎ2+12，OP =√OM 2+PM 2=√(12−ℎ)2+14，故√ℎ2+12=√(12−ℎ)2+14，解得：h ＝0，故R =√02+12=√22，4πR 2=2π， 当C 1P →=12C 1B →时，四面体BCDP 的外接球的表面积为2π，D 正确．故选：BCD ．12．过原点的直线l 与圆M ：x 2+y 2+2x ﹣2y ﹣16＝0交于A ，B 两点，且l 不经过点M ，则（ ） A ．弦AB 长的最小值为8B ．△MAB 面积的最大值为4√2C ．圆M 上一定存在4个点到l 的距离为2√2D ．A ，B 两点处圆的切线的交点位于直线x ﹣y ﹣16＝0上解：M ：x 2+y 2+2x ﹣2y ﹣16＝0化为标准方程：M ：（x +1）2+（y ﹣1）2＝18．设M 到直线l 的距离为d ，则d ≤|OM |=√2， 对于A ：由垂径定理|AB|2=√18−d 2≥√16=4，即|AB |≥8，当且仅当d =√2，即OM ⊥l 时取等号，故弦AB 长的最小值为8，故A 正确；对于B ：△MAB 面积为12|AB|⋅d =d √18−d 2=√−d 4+18d 2，令t ＝d 2，则：△MAB 面积为√−t 2+18t ，t ∈（0，2]，而y ＝﹣t 2+18t ＝﹣（t ﹣9）2+81在（0，2]上单调递增，所以y max ＝y |t ＝2＝32，于是△MAB 面积的最大值为4√2，B 正确；对于C ：当OM ⊥l 时，d =√2，到l 的距离为2√2的点由3个，C 错误；对于D ：A ，B 两点处圆的切线的交点坐标为（m ，n ），则直线AB 为切点弦所在直线方程，为：mx +ny +m +x ﹣（n +y ）﹣16＝0，由于直线AB 过原点，所以m ﹣n ﹣16＝0，即A ，B 两点处圆的切线的交点位于直线x ﹣y ﹣16＝0上． 故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 13．已知a ＞0，若圆（x ﹣a ）2+y 2＝2与圆x 2+（y ﹣a ）2＝8外切，则a ＝ 3 ． 解：因为a ＞0，若圆（x ﹣a ）2+y 2＝2与圆x 2+（y ﹣a ）2＝8外切，则√a 2+a 2=√2+2√2=3√2， 所以a ＝3． 故答案为：3．14．某班15名学生在一次测试中的得分（单位：分）如下：9，10，10，11，11，11，12，12，12，12，13，14，16，17，18． 则这组数据的70百分位数是 13 ．解：根据题意，共有15个数据，则有15×0.7＝10.5， 故这组数据的70百分位数第11个数据，即13； 故答案为：13．15．设函数f （x ）＝2x +log a x ﹣8（a ＞1）的零点为x 0．若x 0≥3，则a 的最小值为 √3 ．解：由于y ＝2x +8和y ＝log a x （a ＞1）在（0，+∞）上单调递增，所以f （x ）＝2x +log a x ﹣8（a ＞1）在（0，+∞）上单调递增，则0＝f （x 0）≥f （3），即log a 3﹣2≤0，也即log a 3≤2（a ＞1），从而a 2≥3且a ＞1，故a ≥√3，故a 的最小值为√3， 故答案为：√3．16．已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，点P 的坐标为（2，1），动点A ，B 在抛物线C 上，且P A ⊥PB ，则F A +FB 的最小值是 11 ．解：由抛物线C ：x 2＝4y ，可得焦点为F （0，1）， ∵点P 的坐标为（2，1），∴点P 在抛物线上，∵动点A ，B 在抛物线C 上，且P A ⊥PB ，∴P A ，PB 斜率存在且不为0，设P A 的斜率为k ，PB 的斜率为−1k，则直线P A 的方程为y ﹣1＝k （x ﹣2）， 由{y −1=k(x −2)x 2=4y，消去y 得x 2﹣4kx +8k ﹣4＝0， ∴（x ﹣2）（x ﹣4k +2）＝0，∴x ＝2或x ＝4k ﹣2，∴点A 的坐标为（4k ﹣2，k （4k ﹣4）+1），即A （4k ﹣2，4k 2﹣4k +1）， 同理可得B （−4k −2，4k 2+4k+1），∴|F A|+|FB|＝4k2﹣4k+1+1+4k2+4k+1+1＝4（k2﹣k+1k2+1k+1）＝4[（k−1k）2﹣（k−1k）+3），令t＝k−1k，则|F A|+|FB|＝4（t2﹣t+3）＝4[（t−12）2+114]≥11，当t=12时，等号成立，故|F A|+|FB|的最小值是11．故答案为：11．四、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在①（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C，②tan A=√3bcb2+c2−a2，③a sin B=√3b cos A这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝3，cos B=2√77，且_____，求△ABC的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：因为cosB=2√77，B为三角形内角，则sinB=√1−cos2B=√217，选①：（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C，展开得sin2B+sin2C﹣sin2A＝sin B sin C，由正弦定理得b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得cosA=b 2+c2−a22bc=12，因为A为三角形内角，故A＝60°，所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√32×2√77+12×√217=3√2114，由正弦定理得bsinB =csinC，即b217=3√2114，解得b＝2，所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×3×√32=3√32；选②：tanA=√3bcb2+c2−a2，由余弦定理得sinAcosA=√3bc2bccosA，故sinA=√32，因为A为三角形内角，故A＝60°或120°，当A＝60°时，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√32×2√77+12×√217=3√2114，由正弦定理得bsinB =csinC，即√217=3√2114，解得b＝2，所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×2×3×√32=3√32；当A＝120°时，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=√32×2√77−12×√217=√2114，由正弦定理得bsinB =csinC，即√217=√2114，解得b＝6，所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×6×3×√32=9√32， 综上△ABC 的面积为3√32或9√32；选③：asinB =√3bcosA ，由正弦定理得sinAsinB =√3sinBcosA ， 因为B 为三角形内角，所以sin B ≠0， 从而sinA =√3cosA ，显然cos A ≠0，所以tanA =√3， 因为A 为三角形内角，所以A ＝60°，所以sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =√32×2√77+12×√217=3√2114， 由正弦定理得bsinB=c sinC ，即√217=3√2114，解得b ＝2，所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×2×3×√32=3√32． 18．（12分）如图，在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，D 是棱BC 上的点（不与点C 重合），AD ⊥DC 1． （1）证明：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1；（2）若AC ＝CC 1＝2，求CC 1与平面ADC 1所成角的正弦值．解：（1）证明：因为正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1， 故C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，故AD ⊥C 1C ， 又C 1C ∩C 1D ＝C 1，故AD ⊥平面BCC 1B 1， 又AD ⊂平面ADC 1，故平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1；（2）由（1）得平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1，且AD ⊥BC ，故D 为BC 的中点， 作CH ⊥C 1D 于H ，则CH ⊥平面ADC 1，则∠CC 1H 即为CC 1与平面ADC 1所成角， 因为AC ＝CC 1＝2，故CD ＝1，C 1D =√5， 所以sin ∠CC 1D =CD C 1D =√55，故CC 1与平面ADC 1所成角的正弦值为√55．19．（12分）已知圆M 过原点O ，圆心M 在直线y ＝x ﹣1上，直线2x +y ＝0与圆M 相切． （1）求圆M 的方程；（2）过点P （0，4）的直线l 交圆M 于A ，B 两点．若A 为线段PB 的中点，求直线l 的方程． 解：（1）圆M 过原点O ，圆心M 在直线y ＝x ﹣1上，设圆的圆心（a ，a ﹣1），直线2x +y ＝0与圆M 相切．可得√a 2+(a −1)2=|2a+a−1|5，解得a ＝2，所以圆的圆心（2，1），半径为：√5， 所以圆M 的方程：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝5．（2）圆M 的方程：（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝5．圆的圆心（2，1），半径为√5，如图，圆的图形如图，圆过原点，并且经过（0，2）点，过点P （0，4）的直线l 交圆M 于A ，B 两点．若A 为线段PB 的中点，观察可知，y 轴，就是所求直线之一，即x ＝0，M 到y 轴的距离为2，所以设另一条直线l 的方程为y ＝kx +4， 可得√1+k 2=2，解得k =−512， 所以另一条直线l 的方程为y =−512x +4．即5x +12y ﹣48＝0． 综上所求直线方程为：x ＝0或5x +12y ﹣48＝0．20．（12分）某篮球场有A ，B 两个定点投篮位置，每轮投篮按先A 后B 的顺序各投1次，在A 点投中一球得2分，在B 点投中一球得3分．设球员甲在A 点投中的概率为p ，在B 点投中的概率为q ，其中0＜p ＜1，0＜q ＜1，且甲在A ，B 两点投篮的结果互不影响．已知甲在一轮投篮后得0分的概率为16，得2分的概率为13．（1）求p ，q 的值；（2）求甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的概率． 解：（1）由题意可知，{(1−p)(1−q)=16p(1−q)=13， 解得，p =23，q =12；（2）甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的情况有两种，当甲恰好得8分时的概率为：C 21×23×13×12×12=19， 当甲恰好得10分的概率为：23×23×12×12=19，所以甲在两轮投篮后，总得分不低于8分的概率：19+19=29．21．（12分）已知圆A ：（x −√3）2+y 2＝16，B （−√3，0），T 是圆A 上一动点，BT 的中垂线与AT 交于点Q ，记点Q 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点（0，2）的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，记点P （0，﹣1）．问：是否存在直线l ，满足PM ＝PN ？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．解：（1）已知圆A ：（x −√3）2+y 2＝16，B （−√3，0），T 是圆A 上一动点，BT 的中垂线与AT 交于点Q ， 由条件得|QA|+|QB|=|QA|+|QT|=|AT|=r =4＞2√3=|AB|， 所以Q 的轨迹是椭圆，且2a =4，2c =2√3， 所以b ＝1，所以曲线C 的方程为x 24+y 2=1；（2）假设存在满足题意的直线l ，且l 的斜率存在且不为0， 设l ：y ＝kx +2（k ≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）， 由{y =kx +2x 24+y 2=1，消去y 得（1+4k 2）x 2+16kx +12＝0，Δ＝（16k ）2﹣48（1+4k 2）＝64k 2﹣48＞0，解得k 2＞34， 则x 1+x 2=−16k 1+4k2，又y 1+y 2=k(x 1+x 2)+4=41+4k2，所以MN 的中点坐标为(−8k 1+4k2，21+4k2)，因此，MN 的中垂线方程为y −21+4k2=−1k(x +8k 1+4k2)，要使|PM |＝|PN |，则点P （0，﹣1）应在MN 的中垂线上， 所以−1−21+4k2=−1k ⋅8k 1+4k 2，解得k 2=54＞34， 因此，存在满足题意的直线l ，其方程为y =±√52x +2．22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√3，左、右顶点分别为M ，N ，点P（﹣1，1）满足PM →•PN →=1． （1）求双曲线C 的方程；（2）过点P 的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，直线OP 与直线AN 交于点D ．设直线MB ，MD 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1k 2为定值．解：（1）依题意可得M （﹣a ，0），N （a ，0），又点P （﹣1，1） 所以PM →=（﹣a +1，﹣1），PN →=（a +1，﹣1）， 由PM →⋅PN →=2﹣a 2＝1，可得a ＝1， 又双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的离心率为√3，所以ca=√3，c =√3，则b 2＝c 2﹣a 2＝2，所以双曲线C 的方程为x 2−y 22=1．（2）由（1）可得M （﹣1，0），N （1，0），若直线l 的斜率不存在，则l 与双曲线C 仅有一个公共点M ，不合题意，故l 的斜率存在， 故设直线l 的方程为y ＝k （x +1）+1，联立{y =k(x +1)+12x 2−y 2=2，可得（2﹣k 2）x 2﹣（2k 2+2k ）x ﹣k 2﹣2k ﹣3＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2k 2+2k 2−k2，x 1x 2=k 2+2k+3k 2−2，直线OP 的方程为：y ＝﹣x ，直线AN 的方程为y =y 1x 1−1（x ﹣1）， 即可得D （y 1x 1+y 1−1，−y 1x 1+y 1−1），则k 1k 2=−y 1x 1+y 1−1y 1x 1+y 1−1+1⋅y 2x 2+1=y 1y 2(x 1+2y 1−1)(x 2+1)=k 2x 1x 2+(k 2+k)(x 1+x 2)+k 2+2k+1(2k+1)(x 1+x 2+x 1x 2+1)=k 2⋅k 2+2k−12−k2+k 2+2k+1(2k+1)(k 2−32−k2+1)=4k+22k+1=2．所以k1k2为定值．。

数学（满分120分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每个小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．一元二次方程x (x －1)＝0的根是A ．x ＝1B ．x ＝0C ．x 1＝2，x 2＝1D ．x 1＝0，x 2＝12．平面内，若⊙O 的半径为2，OPP 在⊙OA ．内B ．上C ．外D ．内或外3．若二次函数y ＝ax 2的图象经过点P （－2，4），则该图象必经过点A ．（－4，2）B ．（－2，－4）C ．（2，4）D ．（4，－2）4．某班9名学生参加定点投篮测试，每人投篮10次，投中的次数统计如下：3，6，4，6，4，3，6，5，7．这组数据的中位数和众数分别是A ．5，4B ．5，6C ．6，5D ．6，65．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过A （1，0），B （5，0），下列说法正确的是A ．c ＜0B ．b 2－4ac ＜0C ．a －b ＋c ＜0D ．图象的对称轴是直线x ＝36．如图，已知点C 为圆锥母线SB 的中点，AB 为底面圆的直径，SB ＝6，AB ＝4．一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A 点爬到C 点，则蚂蚁爬行的最短路程为A ．5B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．二次函数y ＝(x ＋1)2＋2图象的顶点坐标为▲．8．一组数据：2，3，－1，5的极差为▲．9．已知x 1、x 2是方程x 2－2x －4＝0的两个根，则x 1＋x 2－x 1x 2的值为▲．10．在平面直角坐标系中，将二次函数y ＝2x 2的图象向右平移3个单位，再向上平移1个单位，则平移后的图象所对应的函数表达式为▲．（第5题）（第6题）11．如图，若甲、乙比赛成绩平均数相等，则2S 甲▲2S 乙（填“＞”、“＜”或“＝”)．12．已知圆锥的底面半径为6cm ，母线长为8cm ，它的侧面积为▲2cm ．13．某产品原来每件成本是100元，连续两次降低成本后，现在成本是81元，设平均每次降低成本的百分率为x ，可得方程▲．14．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，延长AD 至点E ，已知∠AOC ＝140°，那么∠CDE＝▲°．15．如图，点E 在y 轴上，⊙E 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C 、D ，若C （0，9），D （0，－1），则线段AB 的长度为▲．16．如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝22，点D 为平面内一点，且∠BDC ＝90°，以AC 、CD 为边作□ACDE ，则CE 的最小值为▲．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.（8分）解下列方程：（1）x 2＋4x －1＝0；（2）2x (x －3)＝x －3．（第11题）（第14题）（第15题）（第16题）18.（8分）为了从甲、乙两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击成绩进行了测试，5次打靶命中的环数如下：甲：8，7，10，7，8；乙：9，5，10，9，7（1）将下表填写完整：平均数极差方差甲▲3▲乙8▲ 3.2（2）根据以上信息，若你是教练，你会选择谁参加射击比赛，理由是什么？（3）若乙再射击一次，命中8环，则乙这六次射击成绩的方差会▲（填“变大”或“变小”或“不变”）．19．（8分）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：x…－3－2－101…y…0－3－4－30…（1）这个二次函数的表达式是▲；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；（3）观察图象，当－4＜x＜0时，y的取值范围为▲．20．（7分）如图，在⊙O 中，AB ＝AC ．（1）若∠BOC ＝100°，则⌒AB 的度数为▲°；（2）若AB ＝13，BC ＝10，求⊙O 的半径．21．（6分）如图，已知线段a 及∠ACB ．请仅用直尺．．和．圆规．．作⊙O ，使⊙O 在∠ACB 的内部，CO ＝a ，且⊙O 与∠ACB 的两边分别相切．（不写作法，保留．．．．．．．作．图痕迹．．．）．22．（8分）若关于x 的方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程x 2＋2x ＝0的两个根是x 1＝0，x 2＝－2，则方程x 2＋2x ＝0是“隔根方程”．（1）方程x 2－x －20＝0是“隔根方程”吗？判断并说明理由；（2）若关于x 的方程x 2＋mx ＋m －1＝0是“隔根方程”，求m 的值．23．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是⌒BD的中点，过点C 作CE⊥AD交AD的延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC＝6，AC＝8，求CE、DE的长．24．（9分）某淘宝网店销售台灯，成本为每个30元．销售大数据分析表明：当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．（1）若售价下降1元，每月能售出▲个台灯，若售价下降x元（x＞0），每月能售出▲个台灯；（2）为迎接“双十一”，该网店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．25.（8分）已知二次函数y＝(x－m)2－1（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个公共点；（2）当－1≤x≤3时，y的最小值为3，求m的值．26．（8分）掷实心球是南京市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1，一名女生投掷实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的函数关系如图2所示，已知掷出时起点处高度为35m ，当水平距离为3m 时，实心球行进至最高点3m 处．（1）求y 关于x 的函数表达式；（2）根据南京市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.9m ，此项考试得分为满分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．27．（10分）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请运用．．此结论．．．，解决以下问题：如图1，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝α（60°＜α＜180°）．点D 是BC 边上的一动点（点D 不与B 、C 重合），将线段AD 绕点A 顺时针旋转α到线段AE ，连接BE ．（1）求证：A 、E 、B 、D 四点共圆；（2）如图2，当AD ＝CD 时，⊙O 是四边形AEBD 的外接圆，求证：AC 是⊙O 的切线；（3）已知α＝120°，BC ＝6，点M 是边BC 的中点，此时⊙P 是四边形AEBD 的外接圆，直接写出圆心P 与点M 距离的最小值．图1图2图1图2备用图。

专题33 二项分布与超几何分布一、单选题1．（2020·山西应县一中高二期中（理））盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是310的事件为()A．恰有1个是坏的B．4个全是好的C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的【答案】C【解析】对于选项A，概率为133741012C CC=.对于选项B，概率为4741016CC=.对于选项C，概率为2237410310C CC=.对于选项D，包括没有坏的，有1个坏的和2个坏的三种情况.根据A选项，恰好有一个坏的概率已经是13210>，故D选项不正确.综上所述，本小题选C.2．（2020·天山新疆实验高二期末）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于（）A．715B．815C．1415D．1【答案】C【解析】由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X＝0)＝27210715CC=，P(X＝1)＝1173210715C CC=⋅，P(X＝2)＝23210115CC=，于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝7714 151515 +=故选C3．（2020·江苏鼓楼 南京师大附中高二期末）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于67的是（ ） A ．至少有1个深度贫困村 B ．有1个或2个深度贫困村 C ．有2个或3个深度贫困村 D ．恰有2个深度贫困村【答案】B 【解析】用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，X 服从超几何分布，故()33437k kC C P X k C -==， 所以()3043374035C C P X C ===， ()21433718135C C P X C ===，()12433712235C C P X C ===，()0343371335C C P X C ===， ()()6127P X P X =+==. 故选：B4．（2020·辉县市第二高级中学高二月考（理））在10个排球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为（ ） A ．542B ．435C ．1942D ．821【答案】A 【解析】分析：根据超几何分布，可知共有410C 种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可。

2021年高二12月月考 数学 含答案一、选择题(共12个小题，每小题5分，共60分)1．命题“如果，那么”的逆否命题是 （ ）A ．如果，那么B ．如果，那么C ．如果，那么D ．如果，那么 2．已知则是的 ( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．已知向量的夹角为 ( )A.0°B.45°C.90D.180°4．已知方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．m <2 B ．1<m <2 C ．m <－1或1<m < D ．m <－1或1<m <25．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于 （ ）A ．B ．C ．D ． 6. 已知的值分别为与则若μλμλλ,//),2,12,6(),2,0,1(b a b a -=+= ( ) A.B.5，2C.D.-5，-27．若 是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，则Δ的面积为 （ ）A ．B ．C ．D ． 8．在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（ ）9．已知圆锥曲线的离心率e 为方程的两根，则满足条件的圆锥曲线的条数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．410．已知双曲线的离心率为2,有一个焦点恰好是抛物线的焦点,则此双曲线的渐近线方程是( )A． B． C． D．11．椭圆上有n个不同的点:P1 ,P2 ,…,P n , 椭圆的右焦点为F，数列｛|P n F|｝是公差大于的等差数列, 则n的最大值是（）A．198 B．199 C．200 D．20112．若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点分成5:3两段，则此椭圆的离心率为（）A． B．C．D．二、填空题(共4个小题，每小题5分，共20分)13．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是;否命题是 .14.在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，则= 。

高二第二学期月考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.62.已知i 是虚数单位，则复数z = 2−i4+3i 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.曲线y = x 2+3x 在点A （2，10）处的切线的斜率k 是（ ） A.7 B.6 C.5 D.44.（√x −1x ）9展开式中的常数项是（ ） A.-36 B.36 C.-84 D.845.已知命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0，那么命题p 的否定是（ ） A.∃a 0∈（0，+∞），a 02 - 2a 0 -3≤0 B.∃a 0∈（-∞，0），a 02 - 2a 0 -3≤0 C.∀a ∈（0，+∞），a 2 - 2a -3≤0 D.∀a ∈（-∞，0），a 2 - 2a -3≤06.已知F 1，F 2是双曲线12222=-bx a y（a ＞0，b ＞0）的下、上焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A.√2 B.2 C.√3 D.37.某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为∧y=8.5x +7.5，则表中的m 的值为（ ）A.50B.55C.60D.658.若f （x ）=x 2 - 2x - 4lnx ，则)('x f ＜0的解集（ ）A.（0，+∞）B.（0，2）C.（0，2）∪（-∞，-1）D.（2，+∞）9.设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1 = - 11，a 4 + a 6= - 6，则当S n 取最小值时，n 等于（ ） A.6 B.7 C.8 D.911.由曲线y =√x ，直线y = x - 2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A.103 B.4 C.163 D.612.定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）+)('x f ＞1，f （0）= 4，则不等式e xf （x ）＞e x +3（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A.（0，+∞） B.（-∞，0）∪（3，+∞） C.（-∞，0）∪（0，+∞） D.（3，+∞）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设随机变量X ～N （μ，σ2），且P （X ＜1）=12， P （X ＞2）=p ，则P （0＜X ＜1）= ______ ． 14.已知函数f （x ）=13x 3+ax 2+x +1有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ______ ． 15.已知函数xx f x f sin cos )4()('+=π，则f （π4）= ______ ．16.观察下列一组等式：①sin 230°+cos 260°+sin 30°cos 60° = 34，②sin 215°+cos 245°+sin 15°cos 45° = 34，③sin 245°+cos 275°+sin 45°cos 75° = 34，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是： ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)17.已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，√3sin C cos C - cos 2C = 12，且c =3 （1）求角C（2）若向量m⃗⃗ =（1，sin A ）与n⃗ =（2，sin B ）共线，求a 、b 的值．18.已知正数数列 {a n } 的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2√S n =a n +1． （Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式； （Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，求数列{b n } 的前n 项和B n ．19.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戏中获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E （X ）．20.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D（Ⅰ）求证：BD ⊥A 1C（Ⅱ）求二面角B-A 1D-C 的大小．21.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0），F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3． （1）求椭圆C 的方程；（2）过定点P （0，2）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且OA ⊥OB （其中O 为坐标原点），求直线l 的方程．22.已知函f （x ）= ax 2 - e x （a ∈R ）．（Ⅰ）a =1时，试判断f （x ）的单调性并给予证明； （Ⅱ）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）． （i ） 求实数a 的取值范围； （ii ）证明：1)(21-<<-x f e（注：e 是自然对数的底数）【解析】1. 解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，所以a +b 的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8， 所以M 中元素只有：5，6，7，8．共4个． 故选B ．利用已知条件，直接求出a +b ，利用集合元素互异求出M 中元素的个数即可． 本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力． 2. 解：复数z =2−i4+3i =(2−i)(4−3i)(4+3i)(4−3i)=5−10i 25=15−25i 在复平面内对应的点(15，−25)所在的象限为第四象限． 故选：D ．利用复数的运算法则及其几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题． 3. 解：由题意知，y =x 2+3x ，则y ′=2x +3， ∴在点A （2，10）处的切线的斜率k =4+3=7， 故选：A ．根据求导公式求出y ′，由导数的几何意义求出在点A （2，10）处的切线的斜率k ．本题考查求导公式和法则，以及导数的几何意义，属于基础题．4. 解：（√x −1x ）9展开式的通项公式为T r +1=C 9r•（-1）r •x9−3r2，令9−3r 2=0，求得r =3，可得（√x −1x ）9展开式中的常数项是-C 93=-84，故选：C ．先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 5. 解：根据特称命题的否定是全称命题，得； 命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0， 那么命题p 的否定是：∀a ∈（0，+∞），a 2-2a -3≤0． 故选：C ．根据特称命题的否定是全称命题，写出命题p 的否定命题￢p 即可． 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目．6. 解：由题意，F 1（0，-c ），F 2（0，c ），一条渐近线方程为y =ab x ，则F 2到渐近线的距离为√a 2+b 2=b ．设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于A ，∴|MF 2|=2b ，A 为F 2M 的中点， 又0是F 1F 2的中点，∴OA ∥F 1M ，∴∠F 1MF 2为直角， ∴△MF 1F 2为直角三角形， ∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2 ∴3c 2=4（c 2-a 2），∴c 2=4a 2， ∴c =2a ，∴e =2． 故选：B ．首先求出F 2到渐近线的距离，利用F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 7. 解：由题意，x .=2+4+5+6+85=5，y .=25+35+m+55+755=38+m5，∵y 关于x 的线性回归方程为y ^=8.5x +7.5， 根据线性回归方程必过样本的中心， ∴38+m5=8.5×5+7.5，∴m =60． 故选：C ．计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论． 本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．8. 解：函数f （x ）=x 2-2x -4lnx 的定义域为{x |x ＞0}， 则f '（x ）=2x -2-4x =2x 2−2x−4x，由f '（x ）=2x 2−2x−4x ＜0，得x 2-x -2＜0，解得-1＜x ＜2，∵x ＞0，∴不等式的解为0＜x ＜2， 故选：B ．求函数的定义域，然后求函数导数，由导函数小于0求解不等式即可得到答案．本题主要考查导数的计算以及导数不等式的解法，注意要先求函数定义域，是基础题． 9. 解：∵△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列， ∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①； 又sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， ∴sin 2B=sin A •sin C=34，②由①②得：sin A •sin （120°-A ）=sin A •（sin 120°cos A-cos 120°sin A ）=√34sin 2A+12•1−cos2A2=√34sin 2A-14cos 2A+14 =12sin （2A-30°）+14 =34，∴sin （2A-30°）=1，又0°＜∠A ＜120° ∴∠A=60°． 故选D ．先由△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，得sin 2B=sin A •sin C ，②，①②结合即可判断这个三角形的形状．本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得∠B=60°，∠A+∠C=120°，再利用三角公式转化，着重考查分析与转化的能力，属于中档题．10. 解：设该数列的公差为d ，则a 4+a 6=2a 1+8d =2×（-11）+8d =-6，解得d =2， 所以S n =−11n +n(n−1)2×2=n 2−12n =(n −6)2−36，所以当n =6时，S n 取最小值．故选A ．条件已提供了首项，故用“a 1，d ”法，再转化为关于n 的二次函数解得． 本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．11. 解：联立方程{y =x −2y=√x得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y =√x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为：S=∫(40√x −x +2)dx =(23x 32−12x 2+2x)|04=163．故选C ．利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y =√x ，直线y =x -2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．12. 解：设g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x=e x[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）-1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）-e0=4-1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．构造函数g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．13. 解：随机变量X～N（μ，σ2），可知随机变量服从正态分布，X=μ，是图象的对称轴，可知P（X＜1）=12，P（X＞2）=p，P（X＜0）=p，则P（0＜X＜1）=12−p．故答案为：12−p．直接利用正态分布的性质求解即可．本题考查正态分布的简单性质的应用，基本知识的考查．14. 解：函数f（x）=13x3+ax2+x+1的导数f′（x）=x2+2ax+1由于函数f（x）有两个极值点，则方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即有△=4a2-4＞0，解得，a＞1或a＜-1．故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）求出函数的导数，令导数为0，由题意可得，判别式大于0，解不等式即可得到．本题考查导数的运用：求极值，考查二次方程实根的分布，考查运算能力，属于基础题．15. 解：由f（x）=f′（π4）cosx+sinx，得f′（x）=-f′（π4）sinx+cosx，所以f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，f′（π4）=-√22f′（π4）+√22．解得f′（π4）=√2-1．所以f（x）=（√2-1）cosx+sinx则f（π4）=（√2-1）cosπ4+sinπ4=√22（√2−1）+√22=1．故答案为：1．由已知得f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，从而f（x）=（√2-1）cosx+sinx，由此能求出f（π4）．本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．16. 解：观察下列一组等式：①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=34，②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=34，③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=34，…，照此规律，可以得到的一般结果应该是sin2x+sinx）cos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，∴sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．证明：sin2x+sinx（√32cosx−12sinx）+（√32cosx−12sinx）2=sin2x+√32sinxcosx-12sin2x+34cos2x-√32sinxcosx+14sin2x=3 4sin2x+34cos2x=34．故答案为：sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．观察所给的等式，等号左边是sin230°+cos260°+sin30°cos60°，3sin215°+cos245°+sin15°cos45°…规律应该是sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，写出结果．本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了类比的能力．答案和解析【答案】1.B2.D3.A4.C5.C6.B7.C8.B9.D 10.A 11.C 12.A13.12−p14.（-∞，-1）∪（1，+∞）15.116.sin2（30°+x）+sin（30°+x）cos（30°-x）+cos2（30°-x）=3417.解：（1）∵√3sinCcosC−cos2C=12，∴√32sin2C−1+cos2C2=12∴sin（2C-30°）=1∵0°＜C＜180°∴C=60°（2）由（1）可得A+B=120°∵m ⃗⃗⃗ =(1，sinA)与n ⃗ =(2，sinB)共线， ∴sin B-2sin A=0∴sin （120°-A ）=2sin A 整理可得，cosA =√3sinA 即tan A=√33∴A=30°，B=90° ∵c =3．∴a =√3，b =2√3 18.解：（Ⅰ）由2√S n =a n +1，n =1代入得a 1=1， 两边平方得4S n =（a n +1）2（1），（1）式中n 用n -1代入得4S n−1=(a n−1+1)2&(n ≥2)（2）， （1）-（2），得4a n =（a n +1）2-（a n -1+1）2，0=（a n -1）2-（a n -1+1）2，（3分） [（a n -1）+（a n -1+1）]•[（a n -1）-（a n -1+1）]=0， 由正数数列{a n }，得a n -a n -1=2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，有a n =2n -1．（7分） （Ⅱ）b n =1an ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，裂项相消得B n =n2n+1．（14分）19.（I ）解：设“在X 次游戏中摸出i 个白球”为事件A i （i =，0，1，2，3），“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B=A 2∪A 3， 又P （A 3）=C 32C 21C 52C 32=15，P （A 2）=C 32C 22+C 31C 21C 21C 52C 32=12，且A 2，A 3互斥，所以P （B ）=P （A 2）+P （A 3）=12+15=710； （II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.X ～B(2，710) 所以X 的分布列是 X 012P9100215049100X 的数学期望E （X ）=0×9100+1×2150+2×49100=75． 20.（Ⅰ）证明：分别以AB 、AC 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，∵AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D ， ∴B （2，0，0），C （0，2√3，0），A 1（0，0，√3），D （32，√32，√3）．则BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2√3，−√3)， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12×0+√32×2√3−√3×√3=0． ∴BD ⊥A 1C ；（Ⅱ）解：设平面BDA 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，√3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，∴{m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +√32y +√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x+√3z=0，取z =2，则m ⃗⃗⃗ =(√3，−3，2)；设平面A 1DC 的一个法向量为n ⃗ =(x ，y ，z)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32，3√32，−√3)，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−2√3，√3)，∴{n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√3y +√3z =0n⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32x+3√32y−√3z=0，取y =1，得n ⃗ =(−√3，1，2)．∴cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=4×2√2=−√28．∴二面角B-A 1D-C 的大小为arccos √28．21.解：（1）∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0）， F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3， ∴{c =√32a +2c =4+2√3a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx -2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{x 24+y 2=1y =kx −2，得（1+4k 2）x 2-16kx +12=0，△=（-16k ）2-48（1+4k 2）＞0，由根与系数关系得x 1+x 2=16k1+4k 2，x 1•x 2=121+4k 2， ∵y 1=kx 1-2，y 2=kx 2-2，∴y 1y 2=k 2x 1•x 2-2k （x 1+x 2）+4． ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2=0，∴（1+k 2）x 1x 2-2k （x 1+x 2）+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k 2-32k 21+4k 2+4=0，解得k =±2，∴直线l 的方程是y =2x -2或y =-2x -2． 22.解：（Ⅰ）当a =1时，f （x ）=x 2-e x ，f （x ）在R 上单调递减．事实上，要证f ′（x ）=x 2-e x 在R 上为减函数，只要证明f ′（x ）≤0对∀x ∈R 恒成立即可，设g （x ）=f ′（x ）=2x -e x ，则g ′（x ）=2-e x ，当x =ln 2时，g ′（x ）=0，当x ∈（-∞，ln 2）时，g ′（x ）＞0，当x ∈（ln 2，+∞）时，g ′（x ）＜0． ∴函数g （x ）在（-∞，ln 2）上为增函数，在（ln 2，+∞）上为减函数． ∴f ′（x ）max =g （x ）max =g （ln 2）=2ln 2-2＜0，故f ′（x ）＜0恒成立 所以f （x ）在R 上单调递减； （Ⅱ）（i ）由f （x ）=ax 2-e x ，所以，f ′（x ）=2ax -e x ．若f （x ）有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是方程f ′（x ）=0的两个根，故方程2ax-e x=0有两个根x1，x2，又因为x=0显然不是该方程的根，所以方程2a=e xx有两个根，设ℎ(x)=e xx ，得ℎ′(x)=e x(x−1)x2．若x＜0时，h（x）＜0且h′（x）＜0，h（x）单调递减．若x＞0时，h（x）＞0．当0＜x＜1时h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞1时h′（x）＞0，h（x）单调递增．要使方程2a=e xx 有两个根，需2a＞h（1）=e，故a＞e2且0＜x1＜1＜x2．故a的取值范围为(e2，+∞)．（ii）证明：由f′（x1）=0，得：2ax1−e x1=0，故a=e x12x1，x1∈（0，1）f(x1)=ax12−e x1=e x1 2x1⋅x12−e x1=e x1(x12−1)，x1∈（0，1）设s（t）=e t(t2−1)（0＜t＜1），则s′(t)=e t(t−12)＜0，s（t）在（0，1）上单调递减故s（1）＜s（t）＜s（0），即−e2＜f(x1)＜−1．。

南京三中2012-2013学年高二10月阶段性检测数学试题一、填空题：（本大题共14小题,每小题3分,计42分，请将各题答案填在答卷相应位置）1、抛物线y x 42=的准线方程为 ▲ ．2、已知椭圆的中心在原点、焦点在y 轴上, 若其离心率是,21焦距是８，则该椭圆的方程 为 ▲3．过点P (－3，－2)且与圆：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0相切的直线方程是 ▲ .4、圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线3x ＋4y ＋8＝0距离的最小值为 ▲ ．5、若双曲线122=-ny m x 的离心率为2，且双曲线的一个焦点恰好是抛物线28y x =的 焦点，则双曲线的标准方程为 ▲ ．6、圆221:210240C x y x y +-+-=与222:2280C x y x y +++-=公共弦的长为 ▲ ．7、若椭圆1422=+y m x 的离心率为21，则m 为 ▲ ． 8、如果圆8)()(22=-+-a y a x 上总存在两个点到原点的距离为,2则实数a 的取值范围 是 ▲ ． 9、椭圆131222=+y x 的左焦点为1F , 点P 在椭圆上, 如果线段1PF 的中点M 在y 轴的 正半轴上, 那么点M 的坐标是 ▲ ．10、已知双曲线121422=-y x ，12,F F 分别为它的左、右焦点，P 为双曲线上一点， 且2211,,PF F F PF 成等差数列，则21F PF ∆的面积为 ▲ ．11、已知圆C 1：22(1)(1)1x y ++-=，圆C 2与圆C 1关于直线10x y --=对称， 则圆C 2的方程为 ▲ ． 12、已知21,F F 为双曲线136922=-y x 的焦点，点A 在双曲线上，点M 坐标为)3,3(且 21F AF ∆的一条中线恰好在直线AM 上，则线段AM 长度为 ▲ ．13、若直线y x b =+与曲线234y x x =--有公共点，则b 的取值范围是 ▲ ．14.给出下列命题，其中正确命题的序号是 ▲ （填序号）。

安顺市第三中学2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．复数i﹣1（i是虚数单位）的虚部是（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i2．已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式中成立的是（）A．a＜1＜b B．a＜b＜1 C．1＜a＜b D．b＜1＜a3．i是虚数单位，计算i+i2+i3=（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i4．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若该程序运行后输出的结果不大于20，则输入的整数i的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．函数f（x）=3x+x的零点所在的一个区间是（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，0）D．（0，1）6．下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A．B．C．D．7．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y=x的图象是（）A．①B．②C．③D．④8．已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C 的一条切线，切点为B，则|AB|=（）A．2 B．6 C．4D．29．若复数z=（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（）A．3 B．6 C．9 D．1210．高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（）A．720 B．270 C．390 D．30011．若点O和点F（﹣2，0）分别是双曲线的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为（）A．B．C．D．12．有下列说法：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．②相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越小，说明模型的拟合效果越好．③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．其中正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题。

江苏省南京市秦淮区第一中学2022-2023学年九年级上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列函数中是二次函数的是（）A ．31y x =-B ．21y x x=+C ．22(1)y x x =+-D ．231y x =-2．一组数据：5、4-、3、4、6、8-，这组数据的极差是（）A ．10B ．11C ．13D ．143．下表是一组二次函数235y x x =+-的自变量x 与函数值y 的对应值：x11.11.2 1.3 1.4y1-0.49-a0.59 1.16那么方程2350x x +-=的一个近似根的取值范围为（）A ．1 1.1x <<B ．1.1 1.2x <<C ．1.2 1.3x <<D ．1.3 1.4x <<4．若点M （﹣2，y 1），N （﹣1，y 2），P （8，y 3）在抛物线y ＝12x 2+2x 上，则下列结论正确的是（）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 25．若将抛物线25y x =先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（）A ．()2521y x =-+B ．()2521y x =++C ．()2521y x =--D ．()2521y x =+-6．二次函数2y ax ＝与一次函数y ax a +＝在同一坐标系中的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题7．已知二次函数2(1)y a x =-的图象开口向下，则a 的取值范围是___________．8．学校将平时成绩、期中成绩和期末成绩按3∶3∶4计算学生的学期平均成绩．若某同学的数学平时成绩、期中成绩和期末成绩分别是90分、85分、90分，则该同学数学学期平均成绩是_____分．9．在一个不透明的袋子里装有4个白球，若干个黄球，每个球除颜色外均相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为45，则袋子内共有球____个．10．已知二次函数2)(5)y x x =-+（的图象与x 轴交于A 、B 两点，则AB 的长度为___________．11．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：x …－10123…y…105212…则当y ＜5时，x 的取值范围是_______．12．如图，一个大正方形被平均分成9个小正方形，其中有2个小正方形已经被涂上黑色，让一个小球自由滚动，最终停在白色方砖上的概率是___________．13．若函数22y x x m =-+的图像与坐标轴有三个公共点，则m 的取值范围是____________．14．如图，一段抛物线：(3)(03)y x x x =--≤≤，记为1C ，它与x 轴交于两点O ，1A ：将1C 绕1A 旋转180︒得到2C ，交x 轴于2A ：将2C 绕2A 旋转180︒得到3C ，交x 轴于3A .过抛物线1C ，3C 顶点的直线与1C ，2C ，3C 围成的如图中的阴影部分，那么该面积为_________.15．已知抛物线2114y x =+具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为，P 是抛物线2114y x =+上一个动点，则△PMF 周长的最小值是__________.16．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，其对称轴为直线=1x -，下列结论：①0abc >；②24b ac >；③420a b c -+<；④2a b =；⑤30a c +>．其中，正确的是___________．三、解答题17．用配方法将二次函数2245y x x =--化为2()y a x h k =-+的形式．18．已知二次函数的图像经过点（0，－4），且当x=2，有最大值—2．求该二次函数的关系式：19．一个不透明的袋子中，装有2个红球，1个白球，1个黄球，这些球除颜色外都相同．求下列事件的概率：(1)搅匀后从中任意摸出1个球，恰好是红球；(2)搅匀后从中任意摸出2个球，2个都是红球．20．甲、乙两人在相同的情况下各打靶10次，打靶成绩（单位：环）如下图所示：(1)填表：平均数（环）中位数（环）方差（环2）命中9环及9环以上的次数甲▲7 1.2▲乙77.5▲3(2)从两个不同的角度评价甲、乙两人打靶的成绩．21．如图，用一段长为20m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃ABCD ，墙长10m ．设AB 长为x m ，矩形的面积为y 2m ．问：当AB 长为多少米时，所围成的花圃ABCD 面积最大？最大面积是多少？22．已知二次函数2223y x mx m =-++（m 是常数）．(1)求证：不论m 为何值，该函数图像与x 轴没有公共点；(2)把该函数的图像沿y 轴向下平移___________个单位长度后，得到的函数的图像与x 轴只有一个公共点？23．某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：销售单价x （元/千克）55606570销售量y （千克）70605040(1)求y 与x 之间的函数表达式；(2)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？(3)为保证某天获得销售利润不低于600元，则该天的销售量最多为多少？24．已知二次函数2123y x x =--的图象与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ．(1)求点A 、B 、D 的坐标，并在下面直角坐标系中画出该二次函数的大致图象；(2)设一次函数2()0y kx b k =+≠的图象经过B 、C 两点，请直接写出满足12y y ≤的x 的取值范围是___________．25．如图，已知二次函数y=x 2+bx+c 过点A （1，0），C （0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P 使△ABP 的面积为10，请直接写出点P 的坐标．26．某校九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209m ，与篮圈中心的水平距离为7m ，当球出手后水平距离为4m 时到达最大高度4m ，设篮球运动的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m ．建立如图所示的平面坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？27．在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：224y ax ax =-+()0a ≠(1)当1a =时①抛物线L 的对称轴为直线x =______.②若在抛物线L 上有两点()12,y ，()2,m y ，且21y y >，则m 的取值范围是______.(2)抛物线L 的对称轴与x 轴交于点M ，点M 与点A 关于y 轴对称，将点M 向右平移3个单位得到点B ，若抛物线L 与线段AB 恰有一个公共点，结合图象，求a 的取值范围.参考答案：1．D【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可，二次函数的定义：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c 、、是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数．【详解】A 、31y x =-是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；B 、21y x x=+不是二次函数，故此选项不符合题意；C 、22(1)y x x =+-整理后21y x =+是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；D 、231y x =-是二次函数，故此选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．2．D【分析】根据极差的定义，用最大值减去最小值即可求解．【详解】由题意可知，极差是6(8)14--=．故选：D ．【点睛】本题考查了求极差，掌握极差的定义是解题的关键．3．B【分析】根据解析式求得0a >，观察表格即可求解．【详解】解：由235y x x =+-，当 1.2x =时，21.231.250.040a =+⨯-=>当 1.1x =时，0.490y =-<，∴方程2350x x +-=的一个近似根在1.1和1.2之间．故选：B ．【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．4．A【分析】把点M 、N 、P 的横坐标代入抛物线解析式求出相应的函数值，即可得解．【详解】解：x ＝﹣2时，y ＝12x 2+2x ＝12×（﹣2）2+2×（﹣2）＝2﹣4＝﹣2，x ＝﹣1时，y ＝12x 2+2x ＝12×（﹣1）2+2×（﹣1）＝12﹣2＝﹣32，x ＝8时，y ＝12x 2+2x ＝12×82+2×8＝32+16＝48，∵﹣2＜﹣32＜48，∴y 1＜y 2＜y 3．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，分别求出各函数值是解题的关键．5．A【分析】根据函数平移的法则：上加下减，左加右减进行求解．【详解】解：∵抛物线25y x =先向右平移2个单位，再向上平移1个单位∴平移后解析式为：()2521y x =-+故选：A【点睛】本题考查了二次函数的平移，熟练掌握函数平移的法则是解答此题的关键．6．D【分析】由一次函数y=ax+a 可知，一次函数的图象与x 轴交于点（-1，0），即可排除A 、B ，然后根据二次函数的开口方向，与y 轴的交点；一次函数经过的象限，与y 轴的交点可得相关图象进行判断．【详解】解：由一次函数y ax a +＝可知，一次函数的图象与x 轴交于点10-（，），排除A B 、；当a 0＞时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限，当a 0＜时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C ；故选D ．【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系．7．1a <【分析】根据二次函数2(1)y a x =-的图象开口向下，得出二次项系数小于0，即可求解．【详解】 二次函数2(1)y a x =-的图象开口向下，10a ∴-<．故答案为：1a <．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．8．88.5【分析】根据加权平均数的计算方法列式进行计算，即可得解．【详解】解：根据题意得：该同学数学学期平均成绩是：903853904334⨯⨯⨯＋＋＋＋＝88.5（分）．故答案为：88.5．【点睛】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．9．20【分析】设袋子内共有球x 个，利用概率公式得到445x x -=，然后利用比例性质求出x 即可．【详解】解：设袋子内共有球x 个，根据题意得445x x -=，解得x=20，经检验x=20为原方程的解，即袋子内共有球20个．故答案为20．【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．10．7【分析】令0y =，解方程，得,A B 的坐标，进而即可求解．【详解】令0y =得：02)(5)x x =-+（，解得：12x =，25x =-，AB ∴的长度为：2(5)7--=，故答案为7．【点睛】本题考查了求二次函数与x 轴的截线长，解一元二次方程是解题的关键．11．04x ＜＜【分析】根据表格数据可知：利用二次函数的对称性判断出对称轴x ＝2，在对称轴的左边y 随着x 的增大而减小，在对称轴的右边y 随着x 的增大而增大，进一步得出x ＝4时，y ＝5，然后写出y ＜5时，x 的取值范围即可．【详解】由表可知，∵二次函数的两个对称点为（1，2），（3，2）对称轴为直线x ＝2，∴当x ＜2时，y 随着x 的增大而减小，当x ＞2时，y 随着x 的增大而增大，∴x ＝4时，y ＝5，∴y ＜5时，x 的取值范围为0＜x ＜4．故答案为：0＜x ＜4．【点睛】此题考查二次函数的性质，利用表格发现数据的对应计算规律得出对称点，求得对称轴是解决问题的关键．12．79【分析】根据概率公式直接求解即可．【详解】解：如图所示：在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的三个小正方形组成轴对称图形，符合题意的有共7个，故最终停在白色方砖上的概率是：79．故答案为：79．【点睛】本题考查了几何概率，掌握概率公式求概率是解题的关键．13．m>-1，且m≠0【分析】由抛物线y=x 2-2x+m 与坐标轴有三个公共点知抛物线不过原点且与x 轴有两个交点，据此可得．【详解】∵抛物线y=x 2-2x+m 与坐标轴有三个公共点，∴△=（-2）2-4×1×m ＞0，且m≠0，解得：m ＜1且m≠0，故答案为m ＜1且m≠0．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，解题的关键是利用一元二次方程的判别式来判断抛物线与坐标轴的交点个数．14．272【分析】先求出点A 1、A 2、A 3的坐标，进一步可求出抛物线C 1的顶点F 、抛物线C 2的顶点H 、抛物线C 3的顶点G 的坐标，由题意可判断F 、A 1、H 三点共线、H 、A 2、G 三点共线，再根据抛物线的对称性可得：S 阴影=S △FGH ，继而可得结果.【详解】解：对于抛物线C 1：(3)(03)y x x x =--≤≤，当y =0时，(3)0x x --=，所以120,3x x ==，∴点A 1的坐标为（3，0）；由题意：将1C 绕1A 旋转180︒得到2C ，交x 轴于2A ，将2C 绕2A 旋转180︒得到3C ，交x 轴于3A ，∴点A 2的坐标为（6，0），点A 3的坐标为（9，0）；设抛物线C 1的顶点为F ，抛物线C 2的顶点为H ，抛物线C 3的顶点为G ，则F 、H 、G 的坐标分别为（39,24）、（99,24-）、（159,24），连接A 1F 、A 1H ，如图，根据题意可知F 、A 1、H 三点共线，同理H 、A 2、G 三点共线，∴由抛物线的对称性可得：S 阴影=S △FGH =1153927()22222⨯-⨯=.故答案为272.【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质和旋转的性质，解答的关键是把阴影面积转化为△FGH 的面积.15．5【分析】过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，ME 与抛物线交于点P′，由点P′在抛物线上可得出P′F=P′E ，结合点到直线之间垂线段最短及MF 为定值，即可得出当点P 运动到点P′时，△PMF 周长取最小值.【详解】解：过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，ME 与抛物线交于点P′，如图所示．∵点P′在抛物线上，∴P′F=P′E ．又∵点到直线之间垂线段最短，，∴当点P 运动到点P′时，△PMF 周长取最小值，最小值为ME+MF=3+2=5．故答案为5.【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及点到直线的距离，根据点到直线之间垂线段最短找出△PMF 周长的取最小值时点P 的位置是解题的关键.16．②③④⑤【分析】利用二次函数的开口方向，对称轴直线，图像与坐标轴的交点逐项判断即可．【详解】解：由图像可知，当0x =时，0y <，0c ∴<，a ∴>>0b ∴，则<0abc ∴①不正确；当0y =时，与x 轴有两个交点，则24b ac >；∴②正确；2x =-时，y 0<，即420a b c -+<；∴③正确；对称轴12b x a=-=-，∴2b a =，∴④正确；1x =时，230y a b c a a c a c =++=++=+>．故⑤正确；故答案为：②③④⑤．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．17．22(1)7y x =--【分析】根据配方法将一般式化为顶点式即可求解．【详解】解：2245y x x =--()22217x x =-+-()2217x =--，【点睛】本题考查了将二次函数解析式化为顶点式，掌握配方法是解题的关键．18．21y x 2x 42=-+-.【详解】试题分析：由二次函数当x=2时，有最大值是—2，得到二次函数的顶点坐标为（2，—2），设出二次函数的顶点式方程，将（0，—4）代入求出a 的值，即可求出二次函数的解析式．试题解析：由二次函数当x=2时，有最大值是—2，得到顶点坐标为（2，—2），设二次函数解析式为()2y a x 22=--（a≠0），将x=0，y=—4代入得：—4=4a—2，解得：1a 2=-.则二次函数解析式为()21y x 222=---，即21y x 2x 42=-+-.考点：待定系数法求二次函数解析式．19．(1)12(2)16【分析】（1）直接根据概率的概念求解；（2）根据题意展示所有6种等可能的结果，其中摸出两个球恰好是2个红球占1种，然后根据概率的概念计算即可．【详解】（1）解：搅匀后从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果共有4种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“恰好是红球”(记为事件A )的结果有2种，所以P (A )＝24＝12．（2）搅匀后从中任意摸出2个球，所有可能出现的结果有：(红1，红2)、(红1，黄)、(红2，黄)、(红1，白)、(红2，白)、(白，黄)，共有6种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“2个都是红球”(记为事件B )的结果只有1种，所以P (B )＝16．【点睛】用列举法计算概率时，要注意求出事件发生情况的数目及其中一个事件发生的数目，而且每一种情况发生的可能性都相同，需要一次操作即可完成的事件，用概率公式来求解；需要两次或两次以上的操作完成的事件，先用列表法或画树状图法列举所有等可能的情况，再利用概率计算公式求解．20．(1)7；5.4；1(2)甲打靶的成绩更稳定，（答案不唯一）理由见解析【分析】（1）根据图象将甲乙打靶成绩都写出来，然后依据平均数及方差的计算方法求解即可；（2）评价方法可以从平均数或者方差方面进行分析即可．【详解】（1）解：由图可得甲的打靶环数分别为：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，∴甲打靶的平均成绩为：()19578768677710+++++++++=，乙的打靶环数分别为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，∴乙打靶的方差为：()()()()()()()()()()22222222222127476787777787979710710S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-⎣⎦=5.4；甲成绩中命中9环及以上的只有1次，故答案为：7；5.4；1；（2）本题答案不唯一，下列解法供参考．例如：①甲、乙打靶的成绩的平均数都是7环，说明两人的打靶实力相当；②甲、乙两人打靶的成绩的方差分别是1.2环2和5.4环2，说明甲打靶的成绩更稳定．【点睛】题目主要考查计算数据的平均数及方差，利用平均数或方差作决策等，理解题意，熟练掌握运用平均数及方差的计算方法是解题关键．21．AB 长为5m 时，花圃面积最大，最大面积为250m 【分析】根据题意，得出y 关于x 的函数，根据二次函数的性质求得最值，即可求解．【详解】根据题意得，22(202)2202(5)50y x x x x x =-=-+=--+，∴当5x =时，y 有最大值，y 的最大值为50，∴当AB 长为5m 时，花圃面积最大，最大面积为250m ．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．22．(1)见解析(2)3【分析】（1）令0y =，得到方程22230x mx m -++=，计算判别式得出Δ0<，即可得证；（2）将二次函数化为顶点式求得顶点坐标为(,3)m ，进而根据平移后的顶点落在x 轴上，即可求解．【详解】（1）证明：令0y =，得到方程22230x mx m -++=，∴2244(3)120m m ∆=-+=-<，∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点．（2）解：22223()3y x m x m x m =-++=-+ ，∴抛物线2223y x mx m =-++的顶点坐标为(,3)m ，当把抛物线2223y x mx m =-++平移后的顶点落在x 轴上，∴抛物线2223y x mx m =-++沿y 轴向下平移3个单位长度．故答案为：3．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴交点问题，二次函数的平移，掌握以上知识是解题的关键．23．(1)2180y x =-+(2)当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元(3)为保证某天获得销售利润不低于600元，则该天的销售量最多为60千克【分析】（1）利用待定系数法来求一次函数的解析式即可；（2）根据利润=销售量×每千克的利润列出二次函数关系式，配方求解即可；；（3）根据题意列出一元二次方程求解，然后根据（1）的结论，根据一次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：设y 与x 之间的函数表达式为0y kx b k =+≠（），将表中数据()5570，、()6060，代入得：55706060k b k b +⎧⎨+⎩＝＝，解得：2180k b -⎧⎨⎩＝＝．∴y 与x 之间的函数表达式为2180y x =-+．（2）解：设当天的销售利润为w 元，则：502180w x x =--+（）（）()2270800x =--+，∵20-<，∴当70x =时，w 最大值800=．所以，当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元；答：当销售单价定为70元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是800元．（3）解：由题意得：()()502180600x x --+=，整理得：214048000x x -+=，解得126080x x ==，．∴为保证某天获得销售利润不低于600元利润，x 范围为：6080x ≤≤由（1）2180y x =-+，∴当60x =时，销售量最大为60千克答：为保证某天获得销售利润不低于600元，则该天的销售量最多为60千克．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．24．(1)(1,0)A -，(3,0)B ，(1,4)D -，见解析(2)03x ≤≤【分析】（1）根据解析式，分别令,0x y =，求得与坐标轴的交点坐标，进而根据顶点式求得顶点坐标，根据函数对称性画出图象即可求解；（2）根据交点坐标，结合函数图象即可求解．【详解】（1）解：对于抛物线2123y x x =--，令0y =，得到2230x x --=，解得=1x -或3，∴(1,0)A -，(3,0)B 令0x =，得到=3y -，(0,3)C ∴-，22123(1)4y x x x =--=-- ，∴顶点(1,4)D -．图形如图所示：（2）解：∵()3,0B ,()0,3C -,根据函数图象可知：满足12y y ≤的x 的取值范围为：03x ≤≤．【点睛】本题考查了求二次函数与坐标轴交点坐标，图象法求不等式的解集，数形结合是解题的关键．25．（1）二次函数的解析式为y=x 2+2x ﹣3．（2）P （﹣4，5）（2，5）．【详解】试题分析：（1）根据曲线上点的坐标与方程的关系，把A （1，0），C （0，﹣3）代入）二次函数y=x 2+bx+c 中，求出b 、c 的值，即可得到函数解析式是y=x 2+2x ﹣3．∵二次函数y=x 2+bx+c 过点A （1，0），C （0，﹣3），∴1b c 0{c 3++==-，解得b 2{c 3==-．∴二次函数的解析式为y=x 2+2x ﹣3．（2）求出A 、B 两点坐标，得到AB 的长，再设P （m ，n ），根据△ABP 的面积为10可以计算出n 的值，然后再利用二次函数解析式计算出m 的值即可得到P 点坐标：∵当y=0时，x 2+2x ﹣3=0，解得：x 1=﹣3，x 2=1．∴A （1，0），B （﹣3，0）．∴AB=4．设P （m ，n ），∵△ABP 的面积为10，∴12AB•|n|=10，解得：n=±5．当n=5时，m 2+2m ﹣3=5，解得：m=﹣4或2．∴P （﹣4，5）（2，5）．当n=﹣5时，m 2+2m ﹣3=﹣5，方程无解．∴P （﹣4，5）（2，5）．26．21(4)49y x =--+，能【分析】根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式，令x ＝7，求出y 的值，与3m 比较即可作出判断．【详解】解：由题意得，抛物线的顶点坐标为（4，4），求出手时的坐标为（0，209），设抛物线解析式为2(4)4y a x =-+，将点（0，129）代入可得：201649a +=，解得：19a =-，则抛物线的解析式为21(4)49y x =--+，当x =7时，21(74)439y =--+=，∵3m=3m ，∴此球能准确投入．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是利用待定系数法求出抛物线解析式，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力．27．(1)1m>2或0m <(2)4132a -<≤-或4a =【分析】（1）把1a =代入抛物线解析式，①利用对称轴公式即可求得抛物线L 的对称轴；②先画二次函数的简易图象，根据二次函数的图象和性质，抛物线L 上有两点()12,y ，()2,m y ，且21y y >，进而可得m 的取值范围；（2）根据题意先求出点M 、A 、B 的坐标，再结合图象，即可求a 的取值范围．【详解】（1）①∵当1a =时，抛物线L 为224y x x =-+，∴抛物线L 的对称轴为212x -=-=，故答案为：1；②当1a =时，抛物线为224y x x =-+，如图，当2x =或0x =时，14y =，∵抛物线L 上有两点()12,y ，()2,m y ，且21y y >，∴()2,m y 在点()0,4左边抛物线上或点()2,4右边的抛物线上，∴m 的取值范围是m>2或0m <；故答案为：m>2或0m <；（2）∵抛物线L ：224y ax ax =-+的对称轴为1x =，且对称轴于x 轴交于点M ，∴点M 的坐标为（1，0），∵点M 与点A 关于y 轴对称，∴点A 的坐标为（1-，0），∵点M 向右移3个单位长度得到点B ，∴点B 的坐标为（4，0），依题意，抛物线L 与线段AB 恰有一个公共点，把点A （1-，0）代入224y ax ax =-+可得43a =-；把点B （4，0）代入224y ax ax =-+可得12a =-；把点M （1，0）代入224y ax ax =-+可得4a =；根据图象可知抛物线L 与线段AB 恰有一个公共点时可得4132a -<≤-或4a =．数图象与几何变换，结合图象作答是解题的关键．。

高二12月月考（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.（5分）1．直线x﹣y+1＝0的斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣2.（5分）2．已知向量＝（2，3，1），＝（1，2，0），则|+|等于（）A．B．3C．D．93.（5分）3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝，＝，＝，则下列向量与相等的是（）A．﹣﹣+B．+﹣C．﹣++D．++4.（5分）4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（）A．6.5尺B．13.5尺C．14.5尺D．15.5尺5.（5分）5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM和CN所成角的余弦值是（）A．B．C．D．﹣6.（5分）6．历时23天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中2020年11月28日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点F1，若其近月点A（离月球表面最近的点）与月球表面距离为r1公里，远月点B（离月球表面最远的点）与月球表面距离为r2公里，并且F1，A，B在同一直线上已知月球的半径为R公里，则该椭圆形轨道的离心率为（）A．B．C．D．7.（5分）7．已知动点P在直线l1：3x﹣4y+1＝0上运动，动点Q在直线l2：6x+my+4＝0上运动，且l1∥l2，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．8.（5分）8．若等差数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＞0，a2020+a2021＞0，a2020•a2021＜0，则满足S n＞0成立的最大正整数n是（）A．4039B．4040C．4041D．4042二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.（5分）9．关于双曲线C1：＝1与双曲线C2：＝1，下列说法正确的是（）A．它们的实轴长相等B．它们的渐近线相同C．它们的离心率相等D．它们的焦距相等10.（5分）10．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣4x＝0的公共点为A，B，则（）A．|C1C2|＝2B．直线AB的方程是x＝C．AC1⊥AC2D．|AB|＝11.（5分）11．若数列{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N+），则称数列{a n}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的是（）A．a7＝13B．a1+a3+a5+……+a2019＝a2020C．S7＝54D．a2+a4+a6+……+a2020＝a202112.（5分）12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E，F在平面A1B1C1D1内，若|AE|＝，AC⊥DF，则（）A．点E的轨迹是一个圆B．点F的轨迹是一个圆C．|EF|的最小值为﹣1D．AE与平面A1BD所成角的正弦值的最大值为三、填空题（本题共计3小题，总分15分）13.（5分）13．若直线x﹣y+1＝0与直线mx+3y﹣1＝0互相垂直，则实数m的值为．14.（5分）14．若双曲线的渐近线为，则双曲线C的离心率为．15.（5分）16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点（，0）的直线l与圆C：x2+y2﹣4x+8＝0交于A，B两点，则四边形OACB面积的最大值为．四、解答题（本题共计7小题，总分75分）16.（5分）15．已知四面体ABCD的顶点分别为A（2，3，1），B（1，0，2），C（4，3，﹣1），D（0，3，﹣3），则点D到平面ABC的距离．17.（10分）17．在：①圆C与y轴相切，且与x轴正半轴相交所得弦长为2；②圆C经过点A（4，1）和B（2，3）；③圆C与直线x﹣2y﹣1＝0相切，且与圆Q：x2+（y﹣2）2＝1相外切。