2020届二轮(理科数学)三角函数专题卷(全国通用)

1经过点M (2,7)且倾斜角为π6的直线,以定点M 到动点P 的位移t 为参数的参数方程是( ) A .{x =2-√32t ,y =7+12t(t 为参数)B.{x =2+√32t ,y =7-12t(t 为参数)C .{x =2-√32t ,y =7-12t (t 为参数)D.{x =2+√32t ,y =7+12t (t 为参数),得{x =2+tcos π6,y =7+tsin π6(t 为参数),即{x =2+√32t ,y =7+12t (t 为参数).2若直线的参数方程为{x =√3+12t ,y =3-√32t (t 为参数),则该直线的斜率为( ) A .√3B.−√3 C .√33D.−√33为{x =√3+12t ,y =3-√32t ,化为标准形式{x =√3+(-t )cos120°,y =3+(-t )sin120°(−t 为参数),所以直线的倾斜角为120°,斜率为−√3. 答案B3(2018·北京朝阳区一模)若直线l 的参数方程为{x =-√3t ,y =1+3t(t 为参数),则l 的倾斜角大小为( ) A .π6B.π3 C .2π3D.5π6l 的参数方程为{x =-√3t ,y =1+3t(t 为参数),可知直线l 的普通方程为y=1−√3x,所以直线l的斜率为−√3,即倾斜角为2π3.4在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标可能是()A.(1,π2)B.(-1,π2)C.(1,0)D.(1,π)x2+y2=-2y,即为x2+(y+1)2=1,圆心的直角坐标为(0,-1),化为极坐标可以为(1,-π2),也可以表示为(-1,π2).故选B.5在极坐标系中,过点P(3,π3)且垂直于极轴的直线方程为()A.ρcos θ=32B.ρsin θ=32C.ρ=32cos θD.ρ=32sin θA,则|OA|=|OP|·co sπ3=32.又设直线上任意一点M(ρ,θ)(除点P外),则|OM|·cos θ=|OA|,即ρcos θ=32.因为点P(3,π3)适合上式,所以所求的直线方程为ρcos θ=32.6在极坐标系中,与圆ρ=6cos θ相切的一条直线方程为() A.ρsin θ=6 B.ρcos θ=3C.ρcos θ=6D.ρcos θ=-6(x-3)2+y2=9,四个选项所对应的直线方程分别为y=6,x=3,x=6,x=-6,易知x=6满足题意.故选C.7圆心在点(-1,1)处,且过原点的圆的极坐标方程是()A.ρ=2(sin θ-cos θ)B.ρ=2(cos θ-sin θ)C.ρ=2sin θD.ρ=2cos θ,圆的半径为√(-1)2+12=√2,所以圆的直角坐标方程为(x+1)2+(y-1)2=2,即x2+y2=-2(x-y).将其化为极坐标方程,为ρ2=-2(ρcos θ-ρsin θ).因为圆过极点,所以方程可简化为ρ=2(sin θ-cos θ).8(2018·天津模拟)在极坐标系中,点(√2,π4)到直线ρcos θ−ρsin θ−1=0的距离等于________________________.(√2,π4)的直角坐标为(1,1),直线ρcos θ-ρsin θ-1=0的直角坐标方程为x-y-1=0,点√2=√22.9在极坐标系中,点P(-2,π2)到直线l:3ρcos θ−4ρsin θ=3的距离为.,点P的坐标为(0,-2),直线l的方程为3x-4y-3=0,所以点P到直线l的距离d=√32+(-4)=1.答案110在极坐标系中,曲线C1为ρ(√2cos θ+sin θ)=1,曲线C2为ρ=a(a>0).若曲线C1与C2的一个交点在极轴上,则a=.(√2cos θ+sin θ)=1,即√2ρcos θ+ρsin θ=1对应的直角坐标方程为√2x+y−1= 0,ρ=a(a>0)对应的直角坐标方程为x2+y2=a2.在√2x+y−1=0中,令y=0,得x=√22,将(√22,0)代入x2+y2=a2,得a=√22.11求过点A(2,π4)且平行于极轴的直线的极坐标方程.,在直线l上任意取除点A外的一点M(ρ,θ),连接OA,OM,过点M作极轴的垂线交极轴于点H.因为A(2,π4),所以|MH|=2si nπ4=√2.在Rt△OMH中,|MH|=|OM|sin θ,即ρsin θ=√2.易知点A(2,π4)适合该方程.故过点A(2,π4)且平行于极轴的直线方程为ρsin θ=√2.12在圆心的极坐标为A(4,0),半径为4的圆中,求过极点O的弦的中点的轨迹.M(ρ,θ)(ρ≠0)是所求轨迹上的任意一点.连接OM并延长交圆A于点P(ρ0,θ0),则有θ0=θ,ρ0=2ρ.由圆心为(4,0),半径为4的圆的极坐标方程,得ρ0=8cos θ0.所以2ρ=8cos θ,即ρ=4cos θ.故所求轨迹方程是ρ=4cos θ(ρ≠0).它表示以(2,0)为圆心,2为半径的圆(不含极点).能力提升1极坐标方程ρ2cos θ-ρ=0的直角坐标方程为()A.x2+y2=0或y=1B.x=1C.x2+y2=0或x=1D.y=1ρ(ρcos θ-1)=0,∴ρ=√x2+y2=0或ρcos θ=x=1.2极坐标方程分别为ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是()A.2B.√2C.1D.√22,两圆的圆心的极坐标分别是(12,0)和(12,π2),这两点间的距离是√22.3在极坐标系中,曲线ρ=4si n(θ-π3)关于()A.直线θ=π3轴对称B.直线θ=5π6轴对称C.点(2,π3)中心对称D.极点中心对称,得(x+√3)2+(y−1)2=4,圆心为(−√3,1),化为极坐标为(2,5π6),故选B.4(2018·北京朝阳区二模)在极坐标系中,直线l:ρcos θ+ρsin θ=2与圆C:ρ=2cos θ的位置关系为()A.相交且过圆心B.相交但不过圆心C.相切D.相离l:ρcos θ+ρsin θ=2,可知直线l 的直角坐标方程为x+y-2=0. 由圆C :ρ=2cos θ,可知圆C 的直角坐标方程为x 2+y 2=2x , 整理得(x-1)2+y 2=1.所以圆心(1,0)到直线x+y-2=0的距离d =|1-2|√12+12=√22<1=r,因此直线与圆相交但不过圆心.5已知曲线C 1:ρ=2√2和曲线C2:ρcos (θ+π4)=√2,则C1上到C2的距离等于√2的点的个数为 .ρ=2√2与ρco s (θ+π4)=√2化为直角坐标方程分别为x 2+y 2=(2√2)2与x-y-2=0,则C 1是圆心在坐标原点,半径为2√2的圆,C 2是直线.因为圆心到直线x-y-2=0的距离为2,故满足条件的点的个数为3.6在极坐标系中,定点A (1,π2),点B 在直线l:ρcos θ+ρsin θ=0上运动,当线段AB 最短时,点B 的极坐标是 .(ρ≥0,θ∈[0,2π))ρcos θ+ρsin θ=0化为直角坐标方程为x+y=0,点A (1,π2)化为直角坐标为A (0,1). 如图,过点A 作AB ⊥直线l 于点B ,因为△AOB 为等腰直角三角形, 又因为|OA|=1,则|OB|=√22,∠BOx =3π4, 故点B 的极坐标是(√22,3π4).7已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2(0≤θ<2π),曲线C 在点(2,π4)处的切线为l,以极点为坐标原点,以极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,则l 的直角坐标方程为 .ρ=2可化为x 2+y 2=4,点(2,π4)可化为(√2,√2).因为点(√2,√2)在圆x 2+y 2=4上,故圆在点(√2,√2)处的切线方程为√2x +√2y =4,即x+y-2√2=0,故填x+y-2√2=0.2√2=08圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ=4cos θ,ρ=-4sin θ.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)求经过圆O 1、圆O 2的交点的直线的直角坐标方程.,极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.(1)由ρ=4cos θ,得ρ2=4ρcos θ.根据x=ρcos θ,y=ρsin θ,可得x 2+y 2-4x=0, 故圆O 1的直角坐标方程为x 2+y 2-4x=0.同理可得圆O 2的直角坐标方程为x 2+y 2+4y=0. (2)由{x 2+y 2-4x =0,x 2+y 2+4y =0,解得{x 1=0,y 1=0,{x 2=2,y 2=-2.即圆O 1、圆O 2相交于点(0,0)和(2,-2),过两圆的交点的直线的直角坐标方程为y=-x. ★9在极坐标系中,已知圆C 的圆心C (3,π6),半径r =1,点Q 在圆C 上运动.(1)求圆C 的极坐标方程;(2)若点P 在直线OQ 上,且OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23QP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求动点P 的轨迹的极坐标方程.将圆C 的圆心的极坐标化为直角坐标为(3√32,32),所以圆C 的直角坐标方程为(x -3√32)2+(y -32)2=1,将其化为极坐标方程为ρ2-6ρco s (θ-π6)+8=0.(2)设点P 的坐标为(ρ,θ),点Q 的坐标为(ρ0,θ0),则由题意可知{ρ0=25ρ,θ0=θ.因为点Q 在圆C 上,所以点Q 的坐标适合圆C 的方程,代入得(25ρ)2−6×25ρcos (θ-π6)+8=0,整理即得动点P 的轨迹的极坐标方程为ρ2-15ρco s (θ-π6)+50=0.。

小题专练·作业 (十二)一、选择题1．(2019·衡水中学第七次调研·4)在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且BD ＝3DC ，若AD →＝λAB →＋μAC →，则λμ＝( )A.12 B.13 C ．2 D.23答案 B解析 本题考查平面向量基本定理．因为AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →，所以λ＝14，μ＝34，所以λμ＝13.故选B.2．(2019·广东四校期末联考·9)已知P 是边长为2的等边三角形ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)的值( ) A ．有最大值8 B ．是定值6C ．有最小值2D ．与P 点的位置有关 答案 B解析 本题可利用平面向量的坐标运算求解．以BC 的中点D 为坐标原点，BC 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系xDy ，则A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0)，设P 点的坐标为(x ，0)，其中－1≤x ≤1，则有AB →＝(－1，－3)，AC →＝(1，－3)，AP →＝(x ，－3)，AB →＋AC →＝(0，－23)，则AP →·(AB →＋AC →)＝6.故选B.3．(2019·山东青岛调研)已知向量a ＝(－1，1)，b ＝(3，m)．若a ∥(a ＋b )，则m ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 答案 C解析 ∵a ＝(－1，1)，b ＝(3，m)，∴a ＋b ＝(2，m ＋1)． ∵a ∥(a ＋b )，∴－(m ＋1)－2＝0，解得m ＝－3.故选C.4．(2019·长春质量监测)已知平面向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，若(2a －b )·b ＝0，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°答案 C解析 由题意知2a ·b －b 2＝0，即2|a |·|b |cos 〈a ，b 〉－|b |2＝0，得cos 〈a ，b 〉＝12，所以向量a 与b 的夹角为60°.故选C.5．(2019·吉林调研测试)已知等边三角形ABC 的边长为2，则|AB →＋2BC →|＝( ) A ．2 3 B ．27 C ．3 2 D ．3 3答案 A解析 由题意得|AB →＋2BC →|＝（|AB →|＋2|BC →|）2＝22＋4×22＋4AB →·BC→＝4＋16＋4×2×2cos120°＝2 3.故选A.6．(2019·江西抚州调研测试)在小正方形边长为1的正方形网格中，向量a ，b 的大小与方向如图，则向量a ，b 所成角的余弦值是( )A.22 B.68585C.155D.61313答案 B解析 建立如图所示的平面直角坐标系，易得a ＝(1，2)，b ＝(4，1)，则cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝65×17＝68585.故选B.7．(2019·湖北部分重点中学联考)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝π3，c ＝4，a ＝26，则C ＝( ) A.3π5B.π4C.π4或3π5D.π3或2π5答案 B解析 由正弦定理a sinA ＝c sinC ，得sinC ＝22.又a>c ，所以A>C ，所以C ＝π4.故选B.8．(2019·广东珠海二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c －2acosB ＝b ，则角A 的大小为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2答案 C解析 在△ABC 中，∵2c －2acosB ＝b ，∴由正弦定理可得2sinC －2sinAcosB ＝sinB.即2sin(A ＋B)－2sinAcosB ＝sinB ，∴2sinAcosB ＋2cosAsinB －2sinAcosB ＝sinB ，可得2cosAsinB ＝sinB.∵B 为△ABC 的内角，∴sinB≠0，∴cosA ＝12.又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π3.故选C.9．在△ABC 中，∠B ＝60°，AD 是∠BAC 的平分线，交BC 于点D ，AD ＝2BD ，则cos ∠BAC ＝( ) A.14 B.24 C.34D.64 答案 A解析 在△ABD 中，AD sinB ＝BD sin ∠BAD ，∴sin ∠BAD ＝BD AD ·sinB ＝22×32＝64，∴cos ∠BAC＝1－2sin 2∠BAD ＝1－2×(64)2＝14.故选A. 10．(2019·广西南宁、玉林、贵港等市摸底)在△ABC 中， A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝3，C ＝π3，sinB ＝2sinA ，则△ABC 的周长是( )A ．3 3B ．2＋ 3C ．3＋ 3D ．4＋ 3答案 C解析 在△ABC 中，sinB ＝2sinA ，∴由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝a 2＋4a 2－2a 2＝3a 2.又c ＝3，∴a ＝1，b ＝2，∴△ABC 的周长是a ＋b ＋c ＝1＋2＋3＝3＋ 3.故选C.11．在△ABC 中，三边上的高的大小依次为113，15，111，则△ABC 为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不存在这样的三角形答案 C解析 设△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，S △ABC ＝12a·113＝12b·111＝12c·15，所以a 13＝b 11＝c5.设a＝13k ，b ＝11k ，c ＝5k(k>0)．因为11k ＋5k>13k ，所以能构成三角形，取大角A ，则cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（11k ）2＋（5k ）2－（13k ）22×11k×5k <0，所以A 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．故选C.12．(2019·保定摸底)已知在河岸A 处看到河对岸两个帐篷C ，D 分别在北偏东45°和北偏东30°方向，若向东走30米到达B 处再次观察帐篷C ，D ，此时C ，D 分别在北偏西15°和北偏西60°方向，则帐篷C ，D 之间的距离为( ) A ．1015米 B ．106米 C ．515米 D ．56米答案 C解析 由题意可得∠DAB ＝60°，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，∠DBA ＝30°，在△ABD 中，∠DAB ＝60°，∠DBA ＝30°，AB ＝30，所以∠ADB ＝90°，sin ∠DAB ＝sin60°＝BDBA，解得BD ＝15 3.在△ABC 中，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，所以∠ACB ＝60°，AB sin60°＝BCsin45°，解得BC ＝10 6.在△BCD 中，∠CBD ＝∠CBA －∠DBA ＝45°，则由余弦定理得cos ∠CBD ＝cos45°＝BC 2＋BD 2－CD 22BC·BD ，即22＝（106）2＋（153）2－CD 22×106×153，得CD ＝515.故选C.二、填空题13．(2019·湖北调研考试)《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S ＝14[c 2a 2－（c 2＋a 2－b 22）2].已知△ABC 满足(sinA －sinB)(sinA ＋sinB)＝sinAsinC －sin 2C ，且AB ＝2BC ＝22，则用以上给出的公式可求得△ABC 的面积为________． 答案3解析 方法一：设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.由(sinA －sinB)(sinA ＋sinB)＝sinAsinC －sin 2C ，根据正弦定理得(a －b)(a ＋b)＝ac －c 2，整理可得c 2＋a 2－b 2＝ac ，解得b＝ 6 .则由提供的公式可得△ABC 的面积S ＝14[a 2c 2－（ac 2）2]＝34ac ＝34×2×22＝3.方法二：虽然本题条件中给出了公式，但由于是填空题，因此也可利用课本上的公式来求．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.由已知等式结合正弦定理，得c 2＋a 2－b 2＝ac ，则cosB ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝12，所以B ＝π3，于是S △ABC ＝12acsinB ＝12×2×22sin π3＝ 3.14．(2019·山西五地市联考)已知向量a ＝(x ，2)，b ＝(－2，1)，若a 与2a －b 共线，则|b ||a |＝________． 答案 12解析 本题考查平面向量的运算、平面向量共线的条件．由题意得2a －b ＝(2x ＋2，3)，则由a 与2a －b 共线得2(2x ＋2)－3x ＝0，解得x ＝－4，则|a |＝（－4）2＋22＝25，|b |＝（－2）2＋12＝5，则|b ||a |＝12.15．(2019·江南三省十校联考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝2，|a ＋b |＝5，则|2a －b |＝________． 答案 2 2解析 本题考查向量的模的计算、平面向量的数量积．由题意，向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，|a ＋b |＝5，所以|a ＋b |2＝1＋2a ·b ＋4＝5，所以a ·b ＝0，所以|2a －b |＝4－4a ·b ＋4＝2 2.16．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m)，且b 在a 上的投影为3，则向量a 与b 的夹角为 ________． 答案 π6解析 设向量a 与b 的夹角为θ.∵b 在a 上的投影为3，且|a |＝12＋（3）2＝2，a ·b ＝3＋3m ，∴|b |cosθ＝|b |×a ·b ||a ||b |＝3＋3m 2＝3，解得m ＝ 2.∴|b |＝2 3.∴cosθ＝a ·b |a ||b |＝3＋3×32×23＝32.∵θ∈[0，π]，∴向量a 与b 的夹角为π6. 17.如图，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25 m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡度θ，在山坡的A 处测得∠DAC ＝15°，沿山坡前进50 m 到达B 处，又测得∠DBC ＝45°，根据以上数据可得cosθ＝________． 答案3－1解析 ∵∠DAC ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ADB ＝30°.在△ABD 中，由正弦定理，得ABsin ∠ADB＝BD sin ∠BAD ，即5012＝BD 6－24，∴BD ＝25(6－2) m ．在△BCD 中，由正弦定理，得CDsin ∠DBC ＝BD sin ∠BCD ，即2522＝25（6－2）sin ∠BCD ，∴sin ∠BCD ＝3－1，∴cosθ＝sin(180°－∠BCD)＝sin ∠BCD ＝3－1.18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.给出下列四个命题： ①若sin2A ＝sin2B ，则△ABC 为等腰三角形； ②若sinA ＝cosB ，则△ABC 为直角三角形；③若cosA a ＝sinB b ＝cosC c，则△ABC 为等腰直角三角形；④若cos(A －B)cos(B －C)cos(C －A)＝1，则△ABC 为正三角形．其中，正确命题的序号为________. 答案 ③④解析 ①若sin2A ＝sin2B ，则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，所以该命题错误；②若sinA ＝cosB ，则sinA ＝sin(π2－B)，所以A ＝π2－B 或A ＋π2－B ＝π，所以A ＋B ＝π2或A －B ＝π2，则△ABC 不一定为直角三角形，所以该命题错误；③若cosA a ＝sinB b ＝cosA c ，则cosA sinA ＝sinB sinB ＝cosC sinC ，所以A ＝C ＝π4，所以△ABC为等腰直角三角形，所以该命题正确；④若cos(A －B)·cos(B －C)cos(C －A)＝1，则cos(A －B)＝cos(B －C)＝cos(C －A)＝1，所以A ＝B ＝C ，所以△ABC 是正三角形，所以该命题正确． 19．(2019·石家庄模拟考试)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若ccosB ＋bcosC ＝2acosA ，AM →＝23AB →＋13AC →，且AM ＝1，则b ＋2c 的最大值是________．答案 2 3解析 本题考查正弦定理、两角和与差的正弦公式、基本不等式．由题意，利用正弦定理将ccosB ＋bcosC ＝2acosA 化简，得sinCcosB ＋sinBcosC ＝2sinAcosA ，∴sin(B ＋C)＝sinA ＝2sinAcosA.∵sinA≠0，∴cosA ＝12.∵A 为三角形的内角，∴A ＝π3.∵AM →＝23AB →＋13AC →，∴AM→2＝(23AB →＋13AC →)2，即1＝19(b ＋2c)2－29bc ≥19(b ＋2c)2－19(b ＋2c 2)2，即(b ＋2c)2≤12，∴b ＋2c ≤23，当且仅当b ＝2c 时，取等号，即b ＋2c 的最大值为2 3.20．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，且2cosAcosC(tanAtanC －1)＝1.若D 为AC 的中点，且BD ＝1，则△ABC 的面积的最大值是________．答案33解析 本题考查正弦定理与余弦定理、三角恒等变换、三角形的面积公式、基本不等式．由2cosAcosC·(tanAtanC －1)＝1，得2cosAcosC(sinAsinCcosAcosC－1)＝1，∴2(sinAsinC －cosAcosC)＝1，∴cos(A ＋C)＝－12，∴cosB ＝12.又0<B<π，∴B ＝π3.在△ABD 中，由余弦定理得c 2＝1＋(b 2)2－2×1×b 2×cos ∠ADB ， ①在△CBD 中，由余弦定理得a 2＝1＋(b 2)2－2×1×b2×cos ∠CDB ， ② ①②相加得a 2＋c 2＝2＋b 22＝2＋a 2＋c 2－2accosB 2，整理得a 2＋c 2＝4－ac ，∵a 2＋c 2≥2ac ，∴ac ≤43，∴△ABC 的面积S ＝12acsinB ≤12×43×32＝33，当且仅当a ＝c ＝233时取等号，∴△ABC的面积的最大值为33.1.(2018·河南中原名校3月联考题)如图，在直角梯形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2CD ，E 为BC 边上一点，BC →＝3EC →，F 为AE 的中点，则BF →＝( ) A.23AB →－13AD → B.13AB →－23AD →C ．－23AB →＋13AD →D ．－13AB →＋23AD →答案 C解析 方法一：如图，取AB 的中点G ，连接DG ，CG ，则易知四边形DCBG 为平行四边形，所以BC →＝GD →＝AD →－AG →＝AD →－12AB →，所以AE →＝AB→＋BE →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AD →－12AB →)＝23AB →＋23AD →，于是BF →＝AF →－AB →＝12AE →－AB →＝12(23AB →＋23AD →)－AB →＝－23AB →＋13AD →.故选C.方法二：BF →＝BA →＋AF →＝BA →＋12AE →＝－AB →＋12(AD →＋12AB →＋CE →)＝－AB →＋12(AD →＋12AB →＋13CB →)＝－AB →＋12AD →＋14AB →＋16(CD →＋DA →＋AB →)＝－23AB →＋13AD →.故选C.2．(2018·武汉调研)已知平面向量a ，b ，e 满足|e |＝1，a ·e ＝1，b ·e ＝－2，|a ＋b |＝2，则a ·b 的最大值为( ) A ．－1B ．－2C ．－52D ．－54答案 D解析 不妨设e ＝(1，0)，则a ＝(1，m)，b ＝(－2，n)(m ，n ∈R )，则a ＋b ＝(－1，m ＋n)，所以|a ＋b |＝1＋（m ＋n ）2＝2，所以(m ＋n)2＝3，即3＝m 2＋n 2＋2mn ≥2mn ＋2mn ＝4mn ，当且仅当m ＝n 时等号成立，所以mn ≤34，所以a ·b ＝－2＋mn ≤－54，综上可知，a ·b 的最大值为－54.故选D.3．(2018·福州四校联考)已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为( ) A ．1 B.12 C.34 D.32答案 D解析 方法一：∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t(a ＋b )(t ∈R )，∴a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2a 2＋2t(t ＋1)a ·b ＋t 2b 2.∵向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2－t(t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，∴|a ＋c |≥32，∴|a ＋c |的最小值为32.故选D.方法二：∵向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，∴向量a ，b 的夹角为120°，在平面直角坐标系中，不妨设向量a ＝(1，0)，b ＝(－12，32)，则a ＋b ＝(12，32)．∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝(12t ，32t)(t ∈R )，∴a ＋c ＝(1＋t 2，32t)，∴|a ＋c |＝（1＋t 2）2＋3t 24＝t 2＋t ＋1≥32，∴|a ＋c |的最小值为32.故选D. 4．(2018·郑州质量预测二)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a ·b ＝12，则(a ＋c )·(2b－c )的最小值为( ) A ．－2 B ．－ 3 C ．－1 D ．0答案 B解析 设a 与b 的夹角为θ，则|a |·|b |cosθ＝12，即cosθ＝12，因为0≤θ≤π，所以θ＝π3，令OA →＝a ，OB →＝b ，以OA →的方向为x 轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，则a ＝OA →＝(1，0)，b ＝OB →＝(12，32)，设c ＝OC →＝(cosα，sinα)(0≤α≤2π)，则(a ＋c )·(2b－c )＝(1＋cosα，sinα)·(1－cosα，3－sinα)＝(1＋cosα)(1－cosα)＋sinα·(3－sinα)＝1－cos 2α＋3sinα－sin 2α＝3sinα≥－3(当且仅当α＝3π2时取等号)．故选B.5．(2018·福建莆田联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若asinBcosC ＋csinBcosA ＝12b ，且a>b ，则B ＝( )A.π6B.π3 C.2π3 D.5π6答案 A解析 ∵asinBcosC ＋csinBcosA ＝12b ，∴根据正弦定理可得sinAsinBcosC ＋sinCsinBcosA ＝12sinB ，即sinB(sinAcosC ＋sinCcosA)＝12sinB.∵sinB≠0，∴sin(A ＋C)＝12，即sinB ＝12.∵a>b ，∴A>B ，即B 为锐角， ∴B ＝π6.故选A.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝4，sinA ＝45，tanC ＝7，则△ABC的面积为( ) A ．7 2 B ．7 C ．14 2 D ．14 答案 B解析 由sinA ＝45，得cosA ＝±35.由tanC ＝7，得sinC ＝7210，cosC ＝210.若cosA ＝－35，则sinB ＝sin(A ＋C)＝－17250<0，与sinB>0矛盾，故cosA ＝35，则sin(A ＋C)＝22.由sinA ＝45，tanC ＝7，得A>π4，C>π4，所以A ＋C>π2，所以A ＋C ＝3π4，故B ＝π4.由正弦定理a sinA ＝bsinB ，得b ＝522，所以△ABC 的面积为12×4×522×7210＝7.7．(2019·河南普通高中适应性考试)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，且a 2＋b 2－c 2＝43S ，c ＝1，则3b －a 的最大值为( ) A. 3B ．2C ．3 D. 2答案 B解析 本题考查三角形与三角恒等变换的综合．a 2＋b 2－c 2＝2abcosC ＝43×12absinC ⇒tanC＝33，C ∈(0，π)⇒C ＝π6，又c ＝1，易知△ABC 外接圆直径为1sin π6＝2，则3b －a ＝23sinB －2sinA ＝23sinB －2sin(B ＋π6)＝2sin(B －π6)，当B ＝2π3时，3b －a 取得最大值2.故选B.8．(2019·衡水中学第七次调研)如图，要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度，在塔的同一侧选择C ，D 两观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得∠BCD ＝120°，C ，D 两地相距600 m ，则铁塔AB 的高度是( ) A ．120 2 m B ．480 m C ．240 2 m D ．600 m答案 D解析 本题考查余弦定理的实际应用．设AB ＝x m ，则BC ＝x m ，BD ＝3x m ，在△BCD 中，由余弦定理知cos ∠BCD ＝BC 2＋CD 2－BD 22BC·CD ，即x 2＋6002－3x 22·x·600＝－12，解得x ＝600，即铁塔的高度为600 m ．故选D.9．(2019·湖南四校调研联考，10)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sinAsinB ＋sinC ＋ba ＋c＝1，则C ＝( ) A.π6 B.π3 C.2π3 .5π6 答案 B解析 由正弦定理可得sinA sinB ＋sinC ＋b a ＋c ＝a b ＋c ＋ba ＋c ＝1，整理可得a 2＋b 2－c 2＝ab.∴由余弦定理的推论可得cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.又由C ∈(0，π)，可得C ＝π3.故选B.10．(2019·山西运城康杰中学模拟)已知a 与b 为单位向量，且a ⊥b ，向量c 满足|c －a －b |＝2，则|c |的取值范围为( ) A ．[1，1＋2] B ．[2－22，2＋2] C ．[2，22] D ．[3－22，3＋22]答案 B解析 ∵a ，b 是单位向量且a ·b ＝0，∴可设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，设c ＝(x ，y)，则c －a －b ＝(x －1，y －1)．∵向量c 满足|c －a －b |＝2，∴（x －1）2＋（y －1）2＝2，∴(x －1)2＋(y －1)2＝4.∴点(x ，y)在圆心为C(1，1)，半径为r ＝2的圆C 上，∴|OC|＝ 2.∵|c |＝x 2＋y 2表示点(x ，y)与原点的距离，∴2－2≤|c |＝x 2＋y 2≤2＋ 2.故选B.11．(2019·黑龙江大庆实验中学月考)△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1.若AB →＋AC →＝2AO →，且|OA →|＝|AC →|，则向量BA →在向量BC →方向上的投影为( ) A.32 B.32C ．3D ．－32答案 A解析 如图，取BC 边的中点D ，连接AD ，则AB →＋AC →＝2AD →＝2AO →，∴点O 和点D 重合．∵点O 是△ABC 外接圆的圆心，|OA →|＝|AC →|，∴∠BAC＝90°，∠BOA ＝∠120°，∠ABO ＝30°.在△AOB 中，由|OA →|＝|OB →|＝1及余弦定理，得|AB →|2＝1＋1－2×(－12)＝3，|AB →|＝ 3.∵∠ABO ＝30°，∴向量BA →在向量BC →方向上的投影为|BA→|cos ∠ABO ＝32.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2ccosB ＝2a ＋b ，若△ABC 的面积S ＝3c ，则ab 的最小值为( ) A ．28 B ．36 C ．48 D ．56 答案 C解析 在△ABC 中，2ccosB ＝2a ＋b ，由正弦定理，得2sinCcosB ＝2sinA ＋sinB.又A ＝π－(B ＋C)，所以sinA ＝sin[π－(B ＋C)]＝sin(B ＋C)，所以2sinCcosB ＝2sin(B ＋C)＋sinB ＝2sinBcosC ＋2cosBsinC ＋sinB ，得2sinBcosC ＋sinB ＝0.因为sinB≠0，所以cosC ＝－12.又0<C<π，所以C ＝2π3.由S ＝3c ＝12absinC ＝12ab×32，得c ＝ab4.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝a 2＋b 2＋ab ≥2ab ＋ab ＝3ab(当且仅当a ＝b 时取等号)，所以(ab4)2≥3ab ，得ab ≥48，所以ab 的最小值为48.故选C.13．(2018·陕西质检一)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2＋b 2－c 2)(acosB＋bcosA)＝abc ，若a ＋b ＝2，则c 的取值范围为________． 答案 [1，2)解析 由sinAcosB ＋sinBcosA ＝sin(A ＋B)＝sinC 及正弦定理，可知acosB ＋bcosA ＝c ，则由(a 2＋b 2－c 2)·(acosB ＋bcosA)＝abc ，得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理可得cosC ＝12，则C ＝π3，B ＝2π3－A ，由正弦定理a sinA ＝b sinB ＝c sinC ，得asinA＝b sin （2π3－A ）＝csinπ3.又a ＋b ＝2，所以csinA 32＋csin （2π3－A ）32＝2，即c ＝3sinA ＋sin （2π3－A ）＝1sin （A ＋π6）.因为A ∈(0，2π3)，所以A ＋π6∈(π6，5π6)，sin(A ＋π6)∈(12，1]，则c ∈[1，2)．14．一艘海轮从A 出发，沿南偏东75°的方向航行100 n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿南偏东15 °的方向航行50 n mile 后到达海岛C.如果下次航行直接从A 沿南偏东θ方向出发到达C ，则sinθ＝________． 答案342＋1428解析 根据题意，画出大致图形，如图所示．由题意得∠ABC ＝180°－75°＋15°＝120°，在△ABC 中，根据余弦定理可得，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB×BC×cos ∠ABC ＝1002＋502－2×100×50×cos120°＝507.根据正弦定理可得，BC sin ∠CAB ＝AC sin ∠ABC ，所以sin ∠CAB ＝BC×sin ∠ABC AC ＝50×32507＝2114.又∠CAB 为锐角，所以cos ∠CAB ＝5714，sinθ＝sin(75°－∠CAB)＝sin75°cos ∠CAB －sin ∠CABcos75°＝342＋1428.15．(2018·贵阳监测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足a ＝4，asinB ＝3bcosA ，则△ABC 面积的最大值是________． 答案 4 3解析 由正弦定理可得sinAsinB ＝3sinBcosA ，得sinA ＝3cosA ，则tanA ＝3，所以在△ABC 中，A ＝π3.又a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，所以bc ≤16(当且仅当b ＝c 时取等号)．所以S △ABC ＝12bcsinA ≤12×16×32＝43，所以△ABC 面积的最大值是4 3.16．(2018·福建八校联考)如图所示，在圆内接四边形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝3，CD ＝4，AD ＝5，则四边形ABCD 的面积为________． 答案 610解析 如图所示，连接BD ，因为四边形ABCD 为圆内接四边形，所以A ＋C ＝180°，则cosA ＝－cosC ，利用余弦定理得cosA ＝62＋52－BD 22×6×5，cosC ＝32＋42－BD 22×3×4，解得BD 2＝2477，所以cosC ＝－37.由sin 2C ＋cos 2C ＝1，得sinC ＝2107，因为A ＋C ＝180°，所以sinA ＝sinC ＝2107，S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12×5×6×2107＋12×3×4×2107＝610. 17．(2019·江苏苏州调研测试)如图，△ABC 为等腰三角形，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝4，以A 为圆心，1为半径的圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，点P 是劣弧EF 上的一点，则PB →·PC →的取值范围是________．答案 [－11，－9]解析 以A 为原点，以BC 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系．由∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝4，可得B(－23，－2)，C(23，－2)．∵|AP →|＝1，∴可设P(cosα，sinα)，76π≤α≤116π，则－1≤sinα≤－12，PB →＝(－23－cosα，－2－sinα)，PC →＝(23－cosα，－2－sinα)，∴PB →·PC→＝cos 2α－12＋(2＋sinα)2＝－7＋4sinα∈[－11，－9]．。

2020届二轮（理科数学） 数列 三角函数 平面向量 专题卷（全国通用） (2)(时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题有4个选项，其中有且仅有一个是正确的，把正确的选项填在答题卡中)1．不等式x 2－2x －5＞2x 的解集是( ) A ．{x |x ≥5或x ≤－1} B ．{x |x ＞5或x ＜－1} C ．{x |－1＜x ＜5} D ．{x |－1≤x ≤5}[答案] B[解析] 不等式化为x 2－4x －5＞0， ∴(x －5)(x ＋1)＞0，∴x ＜－1或x ＞5.2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A.6 B ．2 C.3 D. 2[答案] D[解析] 由余弦定理得，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，∴cos120°＝a 2＋2－622a ，整理得a 2＋2a －4＝0，∵a >0，∴a ＝ 2.3．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 [答案] A[解析] 由a 7＋a 9＝16，得a 8＝8，∴4d ＝a 8－a 4＝8－1＝7，∴a 12＝a 8＋4d ＝8＋7＝15.4．(2018·福建理，5)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝2x －y 的最小值等于( )A ．－52B ．－2C ．－32D ．2[答案] A[解析] 画出可行域，如图所示．将目标函数变形为y ＝2x －z ，当z 最小时，直线y ＝2x －z 的纵截距最大，即将直线y ＝2x 经过可行域向上移到过点B ⎝⎛⎭⎫－1，12时，z 取到最小值，最小值为z ＝2×(－1)－12＝－52，故选A.5．对任意实数a ，b ，c ，d ，命题： ①若a >b ，c ≠0，则ac >bc ； ②若a >b ，则ac 2>bc 2； ③若ac 2>bc 2，则a >b . 其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] B[解析] 当c <0时，①不正确；当c ＝0时，②不正确；只有③正确．6．在△ABC 中，b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝78，则△ABC 的面积S 为( )A.152B.15 C ．2 D ．3 [答案] A[解析] ∵b 2－bc －2c 2＝0， ∴(b －2c )(b ＋c )＝0，∵b ＋c ≠0，∴b －2c ＝0.∴b ＝2c . ∴6＝c 2＋4c 2－2c ·2c ×78，∴c ＝2，b ＝4.∴S ＝12bc sin A ＝12×2×4×1－4964＝152. 7．等差数列{a n }中，S n 是{a n }前n 项和，已知S 6＝2，S 9＝5，则S 15＝( ) A ．15 B ．30 C ．45 D ．60[答案] A[解析] 解法1：由等差数列的求和公式及⎩⎪⎨⎪⎧S 6＝2S 9＝5知，⎩⎨⎧6a 1＋6×52d ＝29a 1＋9×82d ＝5，∴⎩⎨⎧a 1＝－127d ＝427，∴S 15＝15a 1＋15×142d ＝15.解法2：由等差数列性质知，{S n n }成等差数列，设其公差为D ，则S 99－S 66＝3D ＝59－26＝29，∴D ＝227，∴S 1515＝S 99＋6D ＝59＋6×227＝1，∴S 15＝15. 8．等比数列{a n }前n 项的积为T n ，若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17，T 25中也是常数的项是( )A ．T 10B ．T 13C ．T 17D ．T 25[答案] C[解析] a 3·a 6·a 18＝a 9q 6·a 9q 3·a 9·q 9＝a 39的一个确定常数 ∴a 9为确定的常数．T 17＝a 1·a 2·…·a 17＝(a 9)17，∴选C.9．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2 D ．1[答案] B[解析] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式． ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12·2·1·sin B ＝12，∴sin B ＝22，∴B ＝π4或3π4.当B ＝π4时，经计算△ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去．∴B ＝3π4，使用余弦定理，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，解得b ＝5，故选B.10．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )，若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 成立，则实数a 的取值范围是( )A ．－1<a <1B ．0<a <2C ．－12<a <32D ．－32<a <12[答案] C[解析] ∵(x －a )⊗(x ＋a )<1，∴(x －a )(1－x －a )<1，即x 2－x －a 2＋a ＋1>0.又∵该不等式对任意实数x 都成立，∴Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＝4a 2－4a －3<0， 解得－12<a <32.11．设x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －6≤0x －y ＋2≥0x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为12，则2a ＋3b的最小值为( )A.256B.83C.113 D ．4 [答案] A[解析] 作出平面区域，如图阴影部分所示，当直线ax ＋by ＝z (a >0，b >0)过直线x －y ＋2＝0与直线3x －y －6＝0的交点(4,6)时，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)取得最大值12，即4a ＋6b ＝12，而2a ＋3b ＝(2a ＋3b )·2a ＋3b 6＝136＋(b a ＋a b )≥136＋2＝256，当且仅当a ＝b 时，等号成立．故选A.12．(2018·福建理，8)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9[答案] D[解析] 由韦达定理得a ＋b ＝p ，a ·b ＝q ，因为p >0，q >0，则a ＞0，b ＞0，当a ，b ，－2适当排序后成等比数列时，－2必为等比中项，故a ·b ＝(－2)2＝4，故q ＝4，b ＝4a .当适当排序后成等差数列时，－2必不是等差中项，当a 是等差中项时，2a ＝4a －2，解得a ＝1，b ＝4，；当b 是等差中项时，8a ＝a －2，解得a ＝4，b ＝1，综上所述，a ＋b ＝p ＝5，所以p＋q ＝9，选D.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每空5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．不等式(x 2－4)(x －6)2≤0的解集是________． [答案] {x |－2≤x ≤2或x ＝6}[解析] 原不等式变形得(x ＋2)(x －2)(x －6)2≤0. 解得－2≤x ≤2或x ＝6.14．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝6，若S 1，S 2，…，S n ，…中，当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，则数列{a n －4}前n 项和最大时，则n ＝________.[答案] 3[解析] 当且仅当n ＝8时S n 取最大值，则⎩⎪⎨⎪⎧a 8＝6＋7d >0，a 9＝6＋8d <0，得－67<d <－34，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －4≥0，a n ＋1－4≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧2＋(n －1)d ≥0，2＋nd ≤0，得：73<－2d ≤n ≤1－2d <113，∴n ＝3.15．(2018·重庆文，13)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.[答案] 4[解析] ∵3sin A ＝2sin B ， ∴3a ＝2b ，又∵a ＝2，∴b ＝3.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×(－14)＝16，∴c ＝4.16．数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (x ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋…＋x 100＝100，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝________.[答案] 102[解析] 由题意得x n ＋1＝10x n ，即数列{x n }是公比为10的等比数列，所以x 101＋x 102＋…＋x 200＝(x 1＋x 2＋…＋x 100)·10100＝10102，故lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝102.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知三角形的三边长分别为x 2＋x ＋1，x 2－1和2x ＋1(x >1)，求这个三角形的最大角．[解析] ∵x >1，∴(x 2＋x ＋1)－(x 2－1)＝x ＋2>0， (x 2＋x ＋1)－(2x ＋1)＝x 2－x ＝x (x －1)>0. ∴x 2＋x ＋1是三角形中的最大边．该边所对的角是最大角，设此最大角为A ， 则cos A ＝(x 2－1)2＋(2x ＋1)2－(x 2＋x ＋1)22(x 2－1)(2x ＋1)＝－12，∵0°<A <180°， ∴A ＝120°，即三角形的最大角为120°.18．(本小题满分12分)已知b 是a ，c 的等差中项，且lg(a ＋1)，lg(b －1)，lg(c －1)成等差数列，同时a ＋b ＋c ＝15，求a ，b ，c 的值．[解析] ∵2b ＝a ＋c ，a ＋b ＋c ＝15，∴3b ＝15，b ＝5. 设等差数列a ，b ，c 的公差为d ，则 a ＝5－d ，c ＝5＋d .由2lg(b －1)＝lg(a ＋1)＋lg(c －1)知 2lg4＝lg(6－d )＋lg(4＋d )． 从而16＝(6－d )(4＋d )， 即d 2－2d －8＝0. ∴d ＝4或d ＝－2.∴a ，b ，c 三个数分别为1,5,9或7,5,3.19．(本小题满分12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A 2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．[解析] (1)∵a ＋b ＋c ＝8，a ＝2，b ＝52，∴c ＝8－2－52＝72.由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝4＋254－4942×2×52＝－15.(2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C ，可得sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A2＝2sin C ，化简得：sin A ＋sin B ＋sin(A ＋B )＝4sin C ， 即sin A ＋sin B ＝3sin C ，由正弦定理可得 a ＋b ＝3c .又a ＋b ＋c ＝8，∴a ＋b ＝6 ①又面积S ＝12ab sin C ＝92sin C ，∴ab ＝9 ②解①②得a ＝3，b ＝3.20．(本小题满分12分)(2018·湖北理，18)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .[解析] (1)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝100a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n－1或⎩⎨⎧a n ＝19(2n ＋79)，b n＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.(2)由d ＞1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1， 故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n ，②①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32n －1.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋3x －a (x ≠a ，a 为非零常数)．(1)解不等式f (x )<x ；(2)设x >a 时，f (x )有最小值为6，求a 的值． [解析] (1)f (x )<x ，即x 2＋3x －a <x ，化为(ax ＋3)(x －a )<0.当a >0时，⎝⎛⎭⎫x ＋3a (x －a )<0，－3a <x <a ； 当a <0时，⎝⎛⎭⎫x ＋3a (x －a )>0，x >－3a或x <a . 综上所述，当a >0时，不等式的解集为{x |－3a <x <a }；当a <0时，不等式的解集为{x |x >－3a或x <a }． (2)设t ＝x －a ，则x ＝t ＋a (t >0)， ∴f (x )＝(t ＋a )2＋3t ＝t ＋a 2＋3t ＋2a≥2t ·a 2＋3t＋2a ＝2a 2＋3＋2a ，当且仅当t ＝a 2＋3t ，即t ＝a 2＋3时，f (x )有最小值2a 2＋3＋2a ，依题意2a 2＋3＋2a ＝6，解得a ＝1.22．(本小题满分12分)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n (n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n .[解析] (1)设{a n }的公比为q . ∵a 1a 2…a n ＝(2)b n∴a 1·a 1q ·a 1q 2…a 1q n －1＝(2)b n又∵a 1＝2，a n 1·q1＋2＋3＋…＋(n －1)＝(2)b n即2n ·q n (n －1)2＝2b n 2∴(2q n －12)n ＝2b n2∴(2q )3＝2b 32，(2q 12)2＝2b 22解得：3b 2＝b 3＋6 又∵b 3＝b 2＋6∴b 2＝6，b 3＝12，∴q ＝2. ∴a n ＝2n ，b n ＝n (n ＋1)(2)C n ＝1a n －1b n ＝12n －1n (n ＋1)＝12n ＋1n ＋1－1n①S n ＝121＋122＋123＋…＋12n ＋(12－1＋13－12＋14－13＋…＋1n ＋1－1n )＝12·1－12n1－12＋1n ＋1－1 ＝1－12n ＋1n ＋1－1＝1n ＋1－12n∴S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N ＋)②令S n ＋1－S n ＝1n ＋2－12n ＋1－1n ＋1＋12n ＝12n ＋1－1(n ＋1)(n ＋2)＝(n ＋1)(n ＋2)－2n ＋12n ＋1(n ＋1)(n ＋2) 由于指数函数2n＋1比(n ＋1)(n ＋2)变化快．∴令S n ＋1－S n >0得n <4∴S 1，S 2，S 3，S 4递增，而S 4，S 5，S 6……S n 递减 ∴S 4最大，∴当k ＝4时，S k ≥S n .。

（4）三角函数与解三角形 1、若角θ满足sin 0θ<,tan 0θ<则角θ是（ ）A. 第三象限角B. 第四象限角C. 第三象限角或第四象限角D. 第二象限角或第四象限角 2、一个扇形的弧长与面积都是3,则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A ．2radB ．32radC ．1radD ．52rad 3、已知tan 3α=,则222sin 2cos sin cos sin ααααα+=+( ). A.38 B.916 C.1112 D.794、函数23cos π2()cos(π)x x f x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-++在[]-π,π的图像大致为（ ） A ． B ． C ． D ．5、已知0ω>，函数π()sin()4f x x ω=+在π(,π)2上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A.1(0,]2 B. (0,2] C. 15[,]24 D. 13[,]246、在ABC ∆中，已知5cos 13A =，4cos 5B =，则cos C 的值为（ ） A. 1665 B. 5665 C. 1665或5665 D ．1665- 7、在ABC △中, ,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c ，若4,60,75a B C ==︒=︒,则b 等于（ ）A.42 B.3 C.6 D.68、在ABC △中，3,45,60c B C ==︒=︒，则b =( )A. 2B. 3C. 32D. 29、在ABC △中,角A 、B 、C 的对边分别为、b 、,若222a c b +-,则角B 的值为( ) A. π6 B. π3 C. π6或5π6 D. π3或2π310、在ABC △中，2cos a b C =(a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边），则ABC △的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形11、若1sin cos ,,52αααπ⎛⎫+=∈π ⎪⎝⎭,则sin cos αα-=___________.12、振动量函数()()0y x ωϕω=+>的初相和频率分别为π-和32,则它的相位是__________.13、在ABC △中,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边,D 是AB 上的三等分点(靠近点A),且1CD =,()()()sin sin sin a b A c b C B +=+-,则2a b +的最大值是___________.14、已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2A B =,则2()b a c b+最小值是________________15、在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222cos sin cos b a c A ac A A--= （1）求角A ；（2）若a =，求bc 的取值范围．答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：∵sin θ<0，∴θ为第三或第四象限角或终边落在y 轴的非正半轴上，又tan θ<0，∴θ为第二或第四象限角，取交集得：θ为第四象限角。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{2U =-，1-，0，1，2，3}，{1A =-，0，1}，{1B =，2}，则()=B A C U( ) A.2{-，}3B ．2{-，2，}3C ．2{-，1-，0，3}D ．2{-，1-，0，2，}3 2．若α为第四象限角，则( ) A ．cos20α>B ．cos20α<C ．sin20α>D ．sin20α<3．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( ) A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名4．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）( )A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块5．若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为( ) A 5B 25C 35D 456．数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=．若155121022k k k a a a +++++⋯+=-，则(k = )A ．2B ．3C ．4D ．57．如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为( )A ．EB ．FC ．GD ．H8．设O 为坐标原点，直线a x =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点．若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A ．4B ．8C ．16D ．329．设函数()|21||21|f x ln x ln x =+--，则()(f x )A ．是偶函数，且在1(2，)+∞单调递增B ．是奇函数，且在1(2-，1)2单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)-∞-单调递减10．已知ABC ∆93的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为( ) A 3B ．32C ．1D 3 11．若2233x y x y ---<-，则( )A ．(1)0ln y x -+>B ．(1)0ln y x -+<C ．||0ln x y ->D ．||0ln x y -<12．01-周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列12n a a a ⋯⋯满足{0i a ∈，1}(1i =，2，)⋯，且存在正整数m ，使得(1i m i a a i +==，2，)⋯成立，则称其为01-周期序列，并称满足(1,2)i m i a a i +==⋯的最小正整数m 为这个序列的周期．对于周期为m 的01-序列12n a a a ⋯⋯，11()(1mi i k i C k a a k m +===∑，2，⋯，1)m -是描述其性质的重要指标.下列周期为5的01-序列中，满足()()4,3,2,151=≤k k C 的序列是( ) A ．11010⋯B ．11011⋯C ．10001⋯D ．11001⋯二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年普道高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的,1,已知集合U = {-2—323}, J = 人{L2},则"川可=A.卜冽B {-223}c> [-2-1:053)D {-2-1,0,23)2.若仪为第四象限角，则A.cos 2a >0B.cos 2a <0C.sin 2a > 0D.sin 2a <03.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上箱售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者蔚跃报名参加配货工作。

已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05JO志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95,则至少需要志愿者 A. 10 名B.18 名C.24 名D.32 名4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块。

下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块。

已知每层环数相同，且下层比中层多729 块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A.3699 块B.3474 块C.3402 块D.3339 块5.若过点（2,1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-），-3 = 0的距离为A,正5B.空56.数列(4)中，《=2，%+〃〃，若4.1+《.2+…+q+10=2"-2'，则出=C,任5A. 2B. 3C. 4D. 5 7.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N,则该端点在侧视图中对应的点为A. EB. FC. GD. H8.设O为坐标原点，直线x =。

三角函数测试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题：[三三]今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？[三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步．问为田几何？翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步．问这块田面积是多少？[三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步．问这块田面积是多少？则下列说法正确的是（）A．问题[三三]中扇形的面积为240平方步B．问题[三四]中扇形的面积为50494平方步C．问题[三三]中扇形的面积为60平方步D．问题[三四]中扇形的面积为50492平方步2．已知函数f（x）＝a sin2x﹣b cos2x，ab≠0．当x∈R时，f(x)≤f(π3)，则下列结论错误的是（）A．a=√3b B．f（π12）＝0C．f(−π5)=f(−2π15)D．f(−4π15)=−f(2π5)3．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A．函数f（x）的图象可由y＝A sinωx的图象向左平移π6个单位得到B．函数f（x）的图象关于直线x=π3对称C．函数f（x）在区间[−π3，π3]上单调递增D．函数f（x）图象的对称中心为(kπ2−π12，0)（k∈Z）4．若m cos80°+√3tan10°=1，则m ＝（ ） A ．4B ．2C ．﹣2D ．﹣45．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，BC =√3CD ，则∠ADB 的最大值为（ ） A ．π4B ．π3C ．π2D ．2π36．在平面直角坐标系xOy 中，点P(√3，1)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →，则点Q 的坐标是（ ） A ．(−√2，1)B ．(−1，√2)C ．(−√3，1)D ．(−1，√3)7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A =π4，B =π12，c ＝3√3，则a ＝（ ） A ．√2B ．2√2C ．3√2D ．4√28．将函数f （x ）＝sin （3x +φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移π4个单位长度后得到函数g （x ）的图象，若直线x =π6是g （x ）的图象的一条对称轴，则（ ） A ．f （x ）为奇函数 B ．g （x ）为偶函数C ．f （x ）在[π12，π3]上单调递减 D ．g （x ）在[−π15，π9]上单调递增二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知函数f （x ）＝|cos x |+sin x ，则下列结论正确的是（ ） A ．函数f （x ）的最小正周期为πB ．函数f （x ）的图象是轴对称图形C ．函数f （x ）的最大值为√2D ．函数f （x ）的最小值为﹣110．将函数y ＝sin （x +φ）的图象F 向左平移π6个单位长度后得到图象F ′，若F ′的一个对称中心为(π4，0)，则φ的取值可能是（ ） A ．π12B ．−5π12C ．5π6D ．7π1211．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则（ ） A ．若2cos C （a cos B +b cos A ）＝c ，则C =π3B ．若2cosC （a cos B +b cos A ）＝c ，则C =π6C ．若边BC 上的高为√36a ，则当c b +b c取得最大值时，A =π3D ．若边BC 上的高为√36a ，则当cb +bc 取得最大值时，A =π612．函数f （x ）＝2sin （x +π6）的图象可由函数g （x ）=√3sin2x ﹣cos2x 的图象如何变化得到（ ）A ．先将g （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π3个单位B ．先将g （x ）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π3个单位C ．先将g （x ）的图象上所有点向左平移π3个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．先将g （x ）的图象上所有点向左平移π6个单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a ，b ∈R ，设函数f （x ）＝2|sin x +a |+|cos2x +sin x +b |的最大值为G （a ，b ），则G （a ，b ）的最小值为 ．14．若sin(α−2020π)=15，则cos2α＝15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b cos B ＝a cos C +c cos A ，若△ABC 外接圆的半径为2√33，则△ABC 面积的最大值是 ．16．在△ABC 中，D 为BC 的中点，若BD =1，∠B =π4，cos ∠ADB =−35，则AB ＝ ，sin ∠CAD ＝ ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数f(x)=2sinxsin(x +π3)−12．（Ⅰ）若f （x +φ）为偶函数，且φ∈（0，π），求φ；（Ⅱ）在△ABC 中，角A 满足f （A ）＝1，sin B ＝2sin C ，a ＝2，求△ABC 的面积．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2bc −1=2abcosCb 2+c 2−a 2，a =2√7． （1）求△ABC 外接圆的面积； （2）若b +c ＝8，求△ABC 的面积．19．在平面四边形ABCD中，∠ABC=π2，∠DAC=2∠ACB，∠ADC=π3．（1）若∠ACB=π6，BC=√3，求BD；（2）若DC=√3AB，求cos∠ACB．20．△ABC的内角A，B、C的对边分别为a，b，c，已知向量m→=（c﹣a，sin B），n→=（b﹣a，sin A+sin C）且m→∥n→．（1）求C；（2）若√6c+3b=3a，求sin A．21．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan A（2cos C﹣sin A）＝cos A﹣2sin C．（1）求角B的大小；（2）若角B为锐角，b＝1，△ABC的面积为√34，求△ABC的周长．22．王老师在做折纸游戏，现有一张边长为1的正三角形纸片ABC，将点A翻折后恰好落在边BC上的点F 处，折痕为DE，设BD＝x，BF＝y．（1）求x、y满足的关系式；（2）求x的取值范围．13．已知a ，b ∈R ，设函数f （x ）＝2|sin x +a |+|cos2x +sin x +b |的最大值为G （a ，b ），则G （a ，b ）的最小值为4916．14．若sin(α−2020π)=15，则cos2α＝232515．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b cos B ＝a cos C +c cos A ，若△ABC 外接圆的半径为2√33，则△ABC 面积的最大值是 √3 ．16．在△ABC 中，D 为BC 的中点，若BD =1，∠B =π4，cos ∠ADB =−35，则AB ＝ 4√2 ，sin ∠CAD ＝2√525．四、17． （Ⅰ）f(x)=2sinx(12sinx +√32cosx)−12=sin 2x +√3sinxcosx −12=1−cos2x2+√32sin2x −12=sin(2x −π6)，则f(x +φ)=sin(2x +2φ−π6)，由f （x +4）为偶函数可知f(0+φ)=sin(2φ−π6)=±1，所以2φ−π6=π2+kπ(k ∈Z)，解得φ=π3+kπ2(k ∈Z)．又因为φ∈（0，π），所以φ=π3或56π．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(A)=sin(2A −π6)=1⇒A =π3，sin B ＝2sin C ⇒b ＝2c ， 所以由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc⇒c =23√3，b =43√3，所以△ABC 的面积S =12bcsinA =12×43√3×23√3×√32=23√3．18． （1）依题意得：2b c−1=2abcosC b 2+c 2−a 2，故：2b −c =2abccosC b 2+c 2−a 2=acosC cosA，则：2b cos A ﹣c cos A ＝a cos C ，所以：2sin B cos A ＝sin A cos C +sin C cos A ＝sin （A +C ），即：2sin B cos A ＝sin B ，参考答案因为：sin B≠0，所以：cosA=12，因为：A∈（0，π），所以：A=π3，所以：asinA =2R=√7√32=√7√3（R为△ABC外接圆的半径），则：R=√7√3，故△ABC外接圆的面积S=πR2=283π．（2）由A=π3．及余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc，又a=2√7，b+c＝8，所以：(2√7)2=82−3bc，解得：bc＝12．故S△ABC=12bcsinA=3√3．19．（1）如右图，∠ABC=π2，∠DAC=2∠ACB，∠ADC=π3，∠ACB=π6，BC=√3，可得∠DAC=π3，在直角三角形ABC中，AB＝BC tanπ6=1，AC=BCcosπ6=2，可得△DAC为边长为2的等边三角形，在△ABD中，∠DAB=2π3，可得BD=√AB2+AD2−2AB⋅AD⋅cos∠DAB=√1+4−2×1×2×(−12)=√7；（2）如右图，设AB＝x，则DC=√3x，∠ACB＝α，则∠DAC＝2α，在直角三角形ABC中，AC=ABsinα=xsinα，在△ACD中，由正弦定理可得ACsin∠ADC =CDsin2α，即sinα⋅√32=√3xsin2α=√3x2sinαcosα，化简可得cosα=34，即cos∠ACB=34．20． （1）∵向量m →=（c ﹣a ，sin B ），n →=（b ﹣a ，sin A +sin C ）且m →∥n →，∴（c ﹣a ）（sin A +sin C ）＝（b ﹣a ）sin B ，由正弦定理可得（c ﹣a ）（a +c ）＝（b ﹣a ）b ， ∴a 2+b 2﹣c 2＝ab ，∴cos C =a 2+b 2−c 22ab=ab 2ab =12，∵C ∈（0，π）， ∴C =π3．（2）由（1）可得B =2π3−A ，由题设及正弦定理可得：√6sin C +3sin （2π3−A ）＝3sin A ，即√22+√32cos A +12sin A ＝sin A ，可得sin （A −π3）=√22， 由于0＜A ＜2π3，−π3＜A −π3＜π3， ∴cos （A −π3）=√22，∴sin A ＝sin （A −π3+π3）＝sin （A −π3）cos π3+cos （A −π3）sin π3=√6+√24． 21． （1）∵tan A （2cos C ﹣sin A ）＝cos A ﹣2sin C ， ∴2sin A cos C ﹣sin 2A ＝cos 2A ﹣2cos A sin C ．化简得sinAcosC +cosAsinC =12，即sin(A +C)=12， ∴sin(π−B)=12，即sinB =12． ∴B =π6或B =5π6．（2）∵B 是锐角， ∴B =π6，由S △ABC =12acsinB =√34，得，ac =√3．在△ABC 中，由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB =(a +c)2−2ac −√3ac ， ∴(a +c)2=1+2√3+3=(1+√3)2， ∴a +c =1+√3， ∴△ABC 的周长为2+√3． 22．（1）如图连接DF，由点A翻折后恰好落在边BC上的点F处，折痕为DE，可得DE垂直平分AF，则AD＝DF，由等边三角形ABC的边长为1，且BD＝x，可得AD＝1﹣x，DF＝1﹣x，在△BDF中，∠B＝60°，由余弦定理可得DF2＝BD2+BF2﹣2BD•BF•cos B即（1﹣x）2＝x2+y2﹣2xy•12，化简可得y2﹣xy+2x﹣1＝0，即x、y满足的关系式为y2﹣xy+2x﹣1＝0；（2）由（1）可得y2﹣xy+2x﹣1＝0，解得x=y2−1y−2，设y﹣2＝t，由0＜y＜1，可得﹣2＜t＜﹣1，则y＝t+2，x=(t+2)2−1t =t+3t+4＝4﹣（﹣t+3−t）≤4﹣2√−t⋅3−t=4﹣2√3，当且仅当t═−√3，即y＝2−√3∈（0，1），等号成立，则x的取值范围是（0，4﹣2√3]．。

2020 年一般高等学校招生全国一致考试理科数学（全国 2 卷）全解全析一、选择题10i1、=2 i（A ） -2+4i (B) -2-4i (C) 2+4i (D)2-4i【答案】 A【分析】 运用复数基本运算化为复数代数形式、设会合A= ｛ x ｜ x 3｝， ＝｛ x ｜x12Bx 4（A ） （B ） （3，4） （C ） （-2，1）【答案】 B【分析】 解分式不等式并求交集3、已知 V ABC 中， cotA= 12 ,则 cosA=5（A ）125 512（ B ）（ C ） (D) 1313 13 13 【答案】 D0｝则 A I B=（D ） （4+）【分析】 由 cotA=12A ，清除（ A ）、（B ）；若 cosA 5 12,知，213，则 sin A513则 cot Acos A 5 与题设不符，清除（ C ），应选 Dsin A12或由 cotA=12 tan A5secA1 tan2 A13 ，512 12∴ cos A112secA13【易错提示】 同角三角函数基本关系并注意所在象限的符号x4、 .曲线 y=2x 1在点（ 1， 1）处的切线方程为（A ） x-y-2=0 (B)x+y-2=0 (C)x+4y-5=0(D)x-4y-5=0【答案】 B【分析】 y'1( 2x 1) x 2 1 ，切线的斜率 k y' x 111( 2x ( 2 11)2( 2x 1)2 1)2∴切线方程为 y 1( x 1) x y 2 05.、已知正四棱柱 ABCD A 1 B 1C 1 D 1 中，AA 1 2AB ，E 为 AA 1 中点，则异面直线 BE 与 CD 1所成角的余弦值为（A ）10(B)1(C)3 10 (D)3 105105【答案】 C【分析】如图，取DD 1的中点 F，连结 CF，则 CF ∥BE ，∴∠ D1CF为所求。

设 AB＝ 1，则CF 2.CD15， FD1＝1由余弦定理得：cos D1CF( 2)2( 5)216310225 2 10。

2020届二轮（理科数学） 解三角形 专题卷（全国通用）【答案】1)+【解析】连接AC ，在ABC △中，由余弦定理可知，AC ===120ABC ∠=︒，AB AC =，30ACB ∴∠=︒， 1203090ACD BCD ACB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴在ACD △中，AD ===，设MAD θ∠=，在AMD △中，由正弦定理可知sin DM θ=DM θ=，13π13πsin()sin()2424AMD S AD DM θθθ∴=⋅-=⨯⨯-△)34πθ=-+，∴当22ππ4θ-=，即3π8θ=时，景观区域面积最大，为1)+，故答案为1)+．MBCDA一、选择题1．给定ABC △的三个条件：60A =︒，4b =，2a =，则这样的三角形解的个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个2．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，12cos 13C =，1a =，则b =（ ）A ．2B ．5613C ．2113D ．56393．ABC △的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若7cos 8A =，2c a -=，3b =， 则a =（ ） A ．2B ．52C ．3D ．724．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos cos cos a A b C c B =+，3b c +=，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．35．在ABC △中，120BAC ∠=︒，AD 为BAC ∠的平分线，2AB AC =，则（ ） A ．2AB AD =B ．3AB AD =C ．2AB AD =或3AB AD =D ．5AB AD =6．在ABC △中，D 是边BC 上一点，22AB AD AC ==，1cos 3BAD ∠=，则sin C =（ ） A ．23B ．33C ．63D ．327．ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知ABC △的面积为3154，2a =，3b =，则sin aA=（ ） A ．463 B ．161515C ．4153D ．463或161515经典集训8．设ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos b cB C a++=， 则这个三角形的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定二、填空题9．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c cos cos CA =，则角A 等于 ．10．如图，已知ABC △中，点D 在边BC 上，AD 为BAC ∠的平分线，且1AB =，AD =，2AC =．则BDDC 的值为 ，ABC △的面积为 ．三、简答题11．如图，在ABC △中，π3B ∠=，8AB =，点D 在边BC 上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=． 求BD ，AC 的长．12．在锐角ABC △中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，已知3b =，2239a c c =-+．（1）求A ；（2）求22sin sin B C +的取值范围．13．在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，已知(0)a b m +=>．（1）当3m =时，①若A B =，求sin C ； ②若π6B =，求sin()A C -的值． （2）当2m =时，若2c =，求ABC △面积的最大值．答案一、选择题 1．【答案】A 【解析】在ABC △中，2a =，4b =，60A =︒，∴由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin 1b A B a ===>，则此三角形无解，故选A ． 2．【答案】D【解析】4cos 5A =，12cos 13C =，A ，B ，(0,π)C ∈．3sin 5A ∴==，5sin 13C ==，3124556sin sin()sin cos cos sin 51351365B AC A C A C ∴=+=+=⨯+⨯=．由正弦定理可得561sin 56653sin 395a Bb A ⨯==，故选D ． 3．【答案】A 【解析】2222cos a b c bc A =+-，22273(2)23(2)8a a a ∴=++-⨯⨯+⨯，解得2a =，故选A ． 4．【答案】B【解析】在ABC △中，3cos cos cos a A b C c B =+，3sin cos sin cos sin cos sin()sin A A B C C B B C A ∴=+=+=，即3sin cos sin A A A =， 又(0,π)A ∈，sin 0A ∴≠，1cos 3A ∴=． 3b c +=，∴两边平方可得2229b c bc ++=，可得9224bc bc bc ≥+=，解得94bc ≤， 当且仅当b c =时等号成立，2222cos a b c bc A ∴=+-，可得22222889()933334bc a b c bc b c =+-=+-≥-⨯=， 当且仅当b c =时等号成立，∴解得a故选B ．5．【答案】B【解析】设AC x =，则2AB x =，在三角形ABC 中由余弦定理得2222(2)22cos1207BC x x x x x =+-⋅⋅⋅︒=，cos C ∴==，sin C ∴==， sin sin(60)sin 60cos cos60sin ADC C C C ∴∠=︒+=︒+︒12==在ADC △中由正弦定理得sin sin AD ACC ADC =∠= 223323AB ABAD x ∴==⨯=，3AB AD ∴=， 故选B ． 6．【答案】B 【解析】如图所示，不妨设2AC =，AB AD AC ==，AB AD ∴==． 1cos 3BAD ∠=，1cos(π2)cos 23B B ∴=-=-，212sin 13B ∴=-，解得sin B =sin sin b cB C=，sin sin c B C b ∴===B ． 7．【答案】D【解析】2a =，3b =，ABC △11sin 23sin 22ab C C ==⨯⨯⨯，sin C ∴=，1cos 4C ∴==±，由余弦定理c =，可得c ==或4，∴由正弦定理可得sin sin a c A C ==D ． 8．【答案】C 【解析】cos cos b cB C a++=，(cos cos )b c a B C ∴+=+， 由正弦定理得sin sin sin (cos cos )B C A B C +=+，2sincos 2sin cos (2cos cos222222B C B C A A B C B C+-+-∴=． 由于cos 02B C -≠，sin sin cos 2cos 2222B C B C B C B C ++++∴=，22cos 12B C+∴=，cos2B C +∴=，π24B C +∴=，2πB C +=，π2A ∴=． 故选C ．二、填空题 9．【答案】π6【解析】23cos cos 3b c CA a-=，(2)cos cos b A C ∴-=，2sin cos cos cos )B A A C C A A C B ∴=+=+=，cos A ∴=π6A ∴=． 故答案为π6． 10．【答案】12；1【解析】在ABD △中，由正弦定理可得：sin sin AB BDADB BAD =∠∠， 在ACD △中，由正弦定理可得：sin sin AC CDADC CAD=∠∠， sin sin BAD CAD ∠=∠，sin sin ADB ADC ∠=∠，12BD AB DC AC ∴==．设BAD α∠=，则11sin 2ABD S α=⨯=△，12sin 2ACD S α=⨯=△，112sin 22sin cos 2ABC S ααα=⨯⨯⨯=△，2sin cos αα=，∴解得cos α=，可得π4α=， 1sin sin 212ABC S AB AC BAC α∴=⋅⋅∠∠==△． 故答案为12；1．三、简答题11．【答案】3BD =，7AC =． 【解析】在ABC △中，1cos 7ADC ∠=，sin ADC ∴∠====则sin sin()sin cos cos sin BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-∠=∠⋅-∠⋅1127=-=在ABD △中，由正弦定理得sin 3sin AB BAD BD ADB ⋅∠===∠， 在ABC △中，由余弦定理得2222212cos 85285492AC AB CB AB BC B =+-⋅=+-⨯⨯⨯=，即7AC =． 12．【答案】（1）π3A =；（2）53,42⎛⎤ ⎥⎝⎦． 【解析】（1）在锐角ABC △中，3b =，2239a c c =-+，∴可得222c b a bc +-=，∴由余弦定理可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，∴由A 为锐角，可得π3A =．（2）2222222π1sin sin sin sin ()sin sin )32B C B B B B B +=+-=++11112cos 2)1sin(2)222π6B B B =+-=+-，又022π03ππ2B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，可得π6π2B <<，5π2,π66π6B ⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，π1sin(2),162B ⎛⎤∴-∈ ⎥⎝⎦，22153sin sin 1sin π(2),2642B C B ⎛⎤∴+=+-∈ ⎥⎝⎦，即22sin sin B C +的取值范围是53,42⎛⎤⎥⎝⎦． 13．【答案】（1；②12；（2）1S =．【解析】（1）①ABC △中，3m =时，a b +=，sin sin A B C ∴+=，又A B =，22πA B A B C ∴+===-， π22C A B ∴==-，sin()sin()222π2πC C C ∴-+-=，2cos cos 222C C C ∴=，sin 2C ∴=，cos 2C ∴=，sin 2sincos 222C C C ∴===． ②6πB =，5ππ6A C B ∴+=-=，又sin sin A B C +=，1sin 2A C ∴+=，1sin 2A C ∴=-，又5π5π5π1sin sin()sin cos cos sin cos 6662A C C C C C =-=-=+，11cos 22C C C ∴+=-，11cos 22C C ∴-=-，11cos 22C C -=，即π1sin()62C -=， π3C ∴=，π5632πA =-=， π1sin()sin()sin 2ππ362A C ∴-=-==．（2）当2m c ==时，a b +==，2228a ab b ∴++=，22428ab a b ab ∴≤++=，2ab ∴≤，此时a b ==，ABC △是等腰直角三角形，其面积最大值为11122S ab ===．。

专题6三角函数研究发现，课标全国卷的试卷结构和题型具有一定的稳定性和延续性，每个题型考查的知识点、考查方法、考查角度、思维方法等相对固定，掌握了全国卷的各种题型，就把握了全国卷命题的灵魂，基于此，潜心研究全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及高考数学考试说明，精心分类汇总至少最近三年全国卷的所有题型（按年份先理后文排列），对把握全国卷命题的方向，指导我们的高考有效复习，走出题海，快速提升成绩，会起到事半功倍的效果。

三角函数——近3年三角函数考了45道，每年理科1-3道小题，文科2-4道小题，当考3-4道小题时，当年就不在考三角函数大题了，题目多数难度较小，主要考查公式熟练运用、平移、图像性质、化简求值、解三角形等问题（含应用问题），多数属于“中档题”，小心平移（重点，难点，几乎年年考），也会有难题，如2016年全国1卷12题和2018年全国1卷16题的考法是比较难的，所以当了压轴题。

1.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理16））已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是．【答案】见解析。

【考点】利用导数研究函数的最值；三角函数的最值．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用；56：三角函数的求值．【分析】由题意可得T=2π是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在[0，2π）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域，先来求该函数在[0，2π）上的极值点，求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1），令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1，可得此时x=，π或；∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，π或和边界点x=0中取到，计算可得f（）=，f（π）=0，f（）=﹣，f（0）=0，∴函数的最小值为﹣，故答案为：．【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题．2.（2017年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理9））已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+），则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；35：转化思想；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用三角函数的伸缩变换以及平移变换转化求解即可．【解答】解：把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数y=cos2（x+）=cos（2x+）=sin（2x+）的图象，即曲线C2，故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式的应用，考查计算能力．3.（2016年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅰ卷数学（理12））已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）上单调，则ω的最大值为（）A．11 B．9 C．7 D．5【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．【专题】35：转化思想；4R：转化法；57：三角函数的图像与性质．【分析】根据已知可得ω为正奇数，且ω≤12，结合x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在（，）上单调，可得ω的最大值．【解答】解：∵x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴，即，（n∈N）即ω=2n+1，（n∈N）即ω为正奇数，∵f（x）在（，）上单调，则﹣=≤，即T=≥，解得：ω≤12，当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣，此时f（x）在（，）不单调，不满足题意；当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为9，故选：B．【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难，难度较大．4.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理6））在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（）A．4B．C．D．2【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力．5.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理10））若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（）A．B．C．D．π【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性．【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，结合已知条件即可求出a的最大值．【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）=，由，k∈Z，得，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[，]，由f（x）在[﹣a，a]是减函数，得，∴．则a的最大值是．故选：A．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．6.（2018年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理15））已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=．【答案】见解析。

2020年高考理科数学二轮专题复习四：三角函数（附解析）1．以正弦函数、余弦函数、正切函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2．考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差公式、二倍角公式、辅助角公式进行化简计算；3．考查三角函数的图象的平移及伸缩变换；4．掌握通过sin()y A x ωϕ=+【解析】式求性质及通过性质求【解析】式．一、公式： （1）诱导公式：22sin cos 1αα+=，sin tan cos ααα=（3）两角和与差的三角函数：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+（4）二倍角公式：sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=- 22tan tan 21tan ααα=-（5）降幂公式：21cos 2sin 2αα-=，21cos 2cos 2αα+=二、三角函数性质三、函数sin()y A x ωϕ=+的图象及变换 1．ϕ对函数sin()y A x ωϕ=+的图象的影响2．(0)ωω>对sin()y A x ωϕ=+的图象的影响3．(0)A A >对sin()y A x ωϕ=+的图象的影响(1)A 越大，函数图象的最大值越大，最大值与A 是正比例关系．(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，函数图象的周期越大，周期与ω为反比例关系．(3)ϕ大于0时，函数图象向左平移，ϕ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”．四、函数sin()y A x ωϕ=+的性质1．函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>中参数的物理意义当0A <或0ϕ<时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相ϕ．如函数sin(2)4y x π=--的初相不是4πϕ=-．2．函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的有关性质1．tan 255︒=（ ）A．2-．2-．2 D．22．若123,44x x ππ==是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，则ω=（ ） A ．2 B ．32 C ．1 D ．123．已知(0,)2πα∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=（ ）A ．15B．5 C．3 D．54．函数()2sin sin 2f x x x =-在[0,2]π的零点个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为___________．1．下列函数中，以2π为周期且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增的是（ ） A ．|2cos |)(x x f = B ．|2sin |)(x x f = C ．||cos )(x x f = D ．||sin )(x x f =高频易错题经典常规题（45分钟）2．若cos2π2sin()4αα=--，则cos sin αα+的值为（ ） A．．12- C ．12 D3．关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在区间(,)2ππ单调递增；③()f x 在[],ππ-有4个零点；④()f x 的最大值为2． 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③4．设函数()()sin 05f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点； ②()f x 在()0,2π有且仅有2个极小值点；③()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增； ④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭，其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④精准预测题1．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ）A ．关于点(,0)12π-对称 B ．关于点(,0)12π对称C ．关于直线12x π=-对称 D ．关于直线12x π=对称2．关于函数()cos |s ||co 2|f x x x =+有下列四个结论：①()f x 是偶函数；②π是()f x 的最小正周期；③()f x 在35[,]44ππ上单调递增；④()f x 的值域为[]2,2-．上述结论中，正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 3．对于函数11()(sin cos )|cos sin |22f x x x x x =+--，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的值域为[1,1]- B ．当且仅当222k x k πππ<<+（k ∈Z ）时，()0f x >C ．当且仅当22x k ππ=+（k ∈Z ）时，函数()f x 取得最大值1D ．函数()f x 是以π为最小正周期的周期函数4．已知函数()sin()f x A ωx φ=+，（0A >，0ω>，||2φπ<）的部分图象如图所示，下列说法正确的 是（ ）A ．()f x 的图象关于直线23x p=对称 B ．()f x 的图象关于点5(,0)12p-对称2w =C ．将函数2cos 2y x x =-的图象向左平移个单位得到函数()f x 的图象D ．若方程()f x m =在[,0]2p-上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,--5．已知函数()3|sin(2)|3|cos 2|6x f x x p=-+，现有如下命题： ①函数()f x 的最小正周期为2p ；②函数()f x 的最大值为③512x p=是函数()f x 图象的一条对称轴． 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．设函数()cos |2||sin |f x x x =+，下述四个结论： ①()f x 是偶函数；②()f x 的最小正周期为p ； ③()f x 的最小值为0；④()f x 在上有3个零点，其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．②③④ 7．已知2sin(5)2sin 3cos(2)333x x x p p ---=，则cos(2)3x p-=（ ） A ．19 B ．19- C ．13 D ．13- 2020年高考理科数学二轮专题复习四：三角函数（解析）1．以正弦函数、余弦函数、正切函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2．考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差公式、二倍角公式、辅助角公式进行化简计算；3．考查三角函数的图象的平移及伸缩变换；4．掌握通过sin()y A x ωϕ=+【解析】式求性质及通过性质求【解析】式．一、公式： （1）诱导公式：22sin cos 1αα+=，sin tan cos ααα=（3）两角和与差的三角函数：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+ sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=- cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+（4）二倍角公式：sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=- 22tan tan 21tan ααα=-（5）降幂公式：21cos2sin2αα-=，21cos2cos2αα+=二、三角函数性质三、函数sin()y A x ωϕ=+的图象及变换 1．ϕ对函数sin()y A x ωϕ=+的图象的影响2．(0)ωω>对sin()y A x ωϕ=+的图象的影响3．(0)A A >对sin()y A x ωϕ=+的图象的影响(1)A 越大，函数图象的最大值越大，最大值与A 是正比例关系．(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，函数图象的周期越大，周期与ω为反比例关系．(3)ϕ大于0时，函数图象向左平移，ϕ小于0时，函数图象向右平移，即“加左减右”．四、函数sin()y A x ωϕ=+的性质1．函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>中参数的物理意义当0A <或0ϕ<时，应先用诱导公式将x 的系数或三角函数符号前的数化为正数，再确定初相ϕ．如函数sin(2)4y x π=--的初相不是4πϕ=-．2．函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的有关性质1．tan 255︒=（ ）A．2-．2-．2 D．2 【答案】D【解析】因为tan 255tan(18075)tan 75︒=︒+︒=︒tan 45tan 30tan(4530)1tan 45tan 30︒+︒=︒+︒=-︒⋅︒，化简可得tan 2552︒=2．若123,44x x ππ==是函数()sin (0)f x x ωω=>两个相邻的极值点，则ω=（ ） A ．2 B ．32 C ．1 D ．12【答案】A【解析】由题意可知32442T πππ=-=，即T π=，所以2ω=． 3．已知(0,)2πα∈，2sin 2cos21αα=+，则sin α=（ ）A ．15B．5 C．3 D．5【答案】B 【解析】(0,)2πα∈，22sin 2cos 214sin cos 2cos ααααα=+⇒=，则12sin cos tan 2ααα=⇒=，所以cos α==经典常规题（45分钟）所以sin 5α==． 4．函数()2sin sin 2f x x x =-在[0,2]π的零点个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】B【解析】令()2sin sin 20f x x x =-=，则有2sin sin 22sin 2sin cos x x x x x -=-2sin (1cos )0x x =-=，即sin 0x =或cos 1x =， 当sin 0x =时，,x k k π=∈Z ； 当cos 1x =时，2,x k k π=∈Z ， 又[0,2]x π∈，所以0x =或π或2π，即函数()2sin sin 2f x x x =-在[0,2]π有3个零点．5．函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为___________． 【答案】4-【解析】23()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x π=+-=--=--+， 因为cos [1,1]x ∈-，知当cos 1x =时()f x 取最小值，则3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为4-．高频易错题1．下列函数中，以2π为周期且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增的是（ ） A ．|2cos |)(x x f = B ．|2sin |)(x x f = C ．||cos )(x x f = D ．||sin )(x x f = 【答案】A【解析】对于A ，函数|2cos |)(x x f =的周期T π=2，在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，符合题意；对于B ，函数|2sin |)(x x f =的周期T π=2，在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，不符合题意； 对于C ，函数x x x f cos ||cos )(==，周期T π=2，不符合题意； 对于D ，函数||sin )(x x f =的周期T π=，不符合题意．2．若cos2π2sin()4αα=--，则cos sin αα+的值为（ ） A．．12- C ．12 D【答案】C【解析】∵)cos2cos sin π2sin()4αααα==+=--， ∴1cos sin 2αα+=． 3．关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 在区间(,)2ππ单调递增；③()f x 在[],ππ-有4个零点；④()f x 的最大值为2． 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③ 【答案】C【解析】因为()sin sin()sin sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，①正确，因为52,(,)632ππππ∈，而52()()63f f ππ<，所以②错误， 画出函数()f x 在[],ππ-上的图像，很容易知道()f x 有3零点，所以③错误， 结合函数图像，可知()f x 的最大值为2，④正确．4．设函数()()sin 05f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点； ②()f x 在()0,2π有且仅有2个极小值点；③()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增； ④ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭，其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④ 【答案】D 【解析】根据题意，画出草图，由图可知[)122,x x π∈，由题意可得，125565x x πωππωπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得12245295x x πωπω⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2429255πππωω≤<，解得1229510ω≤<，故④对； ∵[)122,x x π∈，∴()f x 在()0,2π有2个或3个极小值点，故②错；∵1229510ω≤<，∴1149251051002πππππω≤⋅+<<，故③对．1．已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ<）图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ）A ．关于点(,0)12π-对称 B ．关于点(,0)12π对称C ．关于直线12x π=-对称 D ．关于直线12x π=对称【答案】B精准预测题【解析】因为相邻两条对称轴的距离为2π，故22T π=，T π=，从而2ω=．设将()f x 的图像向左平移3π单位后，所得图像对应的解析式为()g x ， 则2()sin(2)3g x x πϕ=++， 因()g x 的图像关于y 轴对称，故(0)1g =±， 所以2sin()13πϕ+=±，232k ππϕπ+=+，k ∈Z ，所以6k πϕπ=-，k ∈Z ， 因||2πϕ<，所以6πϕ=-．又()sin(2)6f x x π=-，令262x k πππ-=+，k ∈Z ，故对称轴为直线23k x ππ=+，k Z ∈，所以C ，D 错误； 令26x k ππ-=，k ∈Z ，故212k x ππ=+，k ∈Z ， 所以对称中心为(,0)212k ππ+，k ∈Z ，所以A 错误，B 正确． 2．关于函数()cos |s ||co 2|f x x x =+有下列四个结论：①()f x 是偶函数；②π是()f x 的最小正周期；③()f x 在35[,]44ππ上单调递增；④()f x 的值域为[]2,2-．上述结论中，正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】2()cos |cos 2|cos |2cos |||||1f x x x x x ++=-=，由cos |o |c s x x =，可得22()cos |2cos 12cos ||||1|cos f x x x x x =+-+=-，由22|cos()||c (os())|1()f x x x f x -+--=-=，则()f x 为偶函数，故①正确； 可令s ||co t x =，可得2()21g t t t =+-，由s ||co y x =的最小正周期π，可得()f x 的最小正周期为π，故②正确；由cos y x =在[,0]2π-递增，在[0,]2π递减，可得()f x 在3[,]4ππ递增，在5[,]4ππ递减，故③错误；由[0,1]t ∈，219()2()48g t t =+-，可得()g t 在[0,1]递增，则()g t 的值域为[1,2]-，故④错误．3．对于函数11()(sin cos )|cos sin |22f x x x x x =+--，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的值域为[1,1]-B ．当且仅当222k x k πππ<<+（k ∈Z ）时，()0f x >C ．当且仅当22x k ππ=+（k ∈Z ）时，函数()f x 取得最大值1D ．函数()f x 是以π为最小正周期的周期函数【答案】B【解析】由函数11()(sin cos )|cos sin |22f x x x x x =+--， 则sin ,cos sin ()cos ,cos sin x x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩， 作出函数()y f x =的图像（实线部分），观察图像的性质有：函数()f x 的值域为[1,]2-，即选项A 错误，当且仅当222k x k πππ<<+（k ∈Z ）时，()0f x >，即选项B 正确，当且仅当24x k ππ=+（k ∈Z ）时，函数()f x ，即选项C 错误， 函数()f x 是以2π为最小正周期的周期函数，即选项D 错误．4．已知函数()sin()f x A ωx φ=+，（0A >，0ω>，||2φπ<）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于直线23x p =对称 B ．()f x 的图象关于点5(,0)12p -对称2w =C ．将函数2cos 2y x x =-的图象向左平移个单位得到函数()f x 的图象D ．若方程()f x m =在[,0]2p -上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,--【答案】D【解析】由函数的图象可得2A =124312w p p p ?-，求得2w =， 由五点法作图可得23pj p ?=，求得3p j =，所以()2sin(2)3f x x p =+， 当时23x p =-，()0f x =，不是最值，故A 不成立； 当时512x p =-，()2f x =-，不是函数的对称中心，故B 不成立；将函数2cos 22sin(2)6y x x x p =-=-的图象向左平移2p 个单位得到函数 52sin[2()]sin(2)266y x x p p p =+-=+的图象，故C 不成立； 当[,0]2x pÎ时，22[,]333x p p p +?，因为2sin()3p -=-sin()12p -=-故方程()f x m =在[,0]2p 上两个不相等的实数根时，则的取值范围是(2,--， 所以D 成立．5．已知函数()3|sin(2)|3|cos 2|6x f x x p =-+，现有如下命题： ①函数()f x 的最小正周期为2p ；②函数()f x 的最大值为 ③512x p =是函数()f x 图象的一条对称轴． 其中正确命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】由题意得，函数()f x 的最小正周期为2p ，故①正确；当[0,)12x p Î时，()3sin(2)3cos 2)66f x x x x p p =--+=+； 当[,)124x p p Î，()3sin(2)3cos 23sin(2)66x x f x x p p =-+=+；当[,]42x p pÎ时，3sin(2)3cos 2)()66x x x f x p p =--=-+． 作出函数()f x 的图象如图所示，可知②③正确．6．设函数()cos |2||sin |f x x x =+，下述四个结论：①()f x 是偶函数；②()f x 的最小正周期为p ；③()f x 的最小值为0；④()f x 在上有3个零点，其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．②③④【答案】B【解析】因为函数()f x 定义域为R ，而且()cos |2||sin |()f x x x f x =+=，所以()f x 是偶函数，①正确；因为函数cos |2|y x =的最小正周期为p ，|sin |y x =的最小正周期为p ，所以()f x 的最小正周期为p ，②正确；2219()cos |2||sin |cos 2sin 12sin |sin |2(sin |)48f x x x x x x x x =+=+--==-++|， 而|sin |[0,1]x Î，所以当sin |1x =|时，()f x 的最小值为0，③正确； 由上可知()0f x =可得12sin 2|sin |0x x -+=，解得|sin |1x =或1sin ||2x =-（舍去） 因此在[0,2]p 上只有2x p =或32x p =，所以④不正确． 7．已知2sin(5)2sin 3cos(2)333x x x p p ---=，则cos(2)3x p -=（ ） A ．19 B ．19- C ．13 D ．13- 【答案】B【解析】因为sin(5)sin(32)sin 3cos(2)cos3sin(2)3333x x x x x x x p p p p -=+-=-+-， 所以2sin(5)2sin 3cos(2)sin 3cos(2)cos3sin(2)33333x x x x x x x p p p p ---=--+-=， 整理得2sin()33x p -+=，即2sin()33x p +=-， 所以21cos[2(cos(2)cos[2()])]2sin ()133933x x x x p p p p p -=+-=-+=+-=-。

(一)三角函数与解三角形1．已知函数f (x )＝sin x ·(cos x ＋3sin x )．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若关于x 的方程f (x )＝t 在区间0，π2内有两个不相等的实数解，求实数t 的取值范围．解(1)f (x )＝sin x cos x ＋3sin 2x ＝12sin 2x ＋32(1－cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x ＋32＝x ＋32.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为x ∈0，π2，所以2x －π3∈－π3，2π3.令u ＝2x －π3，因为y ＝sin u 在－π3，π2上是增函数，在π2，2π3上是减函数，令u ＝2x －π3＝π2x ＝5π12，所以f (x )在0，5π12上是增函数，在5π12，π2上是减函数．由题意知，关于x 的方程f (x )＝t 在区间0，π2内有两个不相等的实数解，等价于y ＝f (x )与y ＝t 的图象在区间0，π2内有两个不同的交点，又因为f (0)＝0，1＋32，＝3，所以3≤t <1＋32，即t 的取值范围是3，12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A ＝－1010，b ＝2，c ＝ 5.(1)求a ；(2)求cos(B －A )的值．解(1)在△ABC 中，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝2＋5－2×2×59，∴a ＝3(舍负)．(2)在△ABC 中，由cos A ＝－1010，得A∴sin A ＝1－cos 2A ＝＝31010.在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝b sin B，即331010＝2sin B ，∴sin B ＝55，又A B∴cos B ＝1－sin 2B ＝＝255.∴cos(B －A )＝cos B cos A ＋sin B sin A＝255×＋55×31010＝210.3．(2018·河北省衡水中学模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos 2B －cos 2C ＝sin 2A －3sin A ·sin B .(1)求角C ；(2)若A ＝π6，△ABC 的面积为43，M 为AB 的中点，求CM 的长．解(1)由cos 2B －cos 2C ＝sin 2A －3sin A sin B ，得sin 2C －sin 2B ＝sin 2A －3sin A sin B .由正弦定理，得c 2－b 2＝a 2－3ab ，即a 2＋b 2－c 2＝3ab .又由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝3ab 2ab ＝32.因为0<C <π，所以C ＝π6.(2)因为A ＝C ＝π6，所以△ABC 为等腰三角形，且顶角B ＝2π3.故S △ABC ＝12a 2sin B ＝34a 2＝43，所以a ＝4(舍负)．在△MBC 中，由余弦定理，得CM 2＝MB 2＋BC 2－2MB ·BC cos B＝4＋16＋2×2×4×12＝28，解得CM ＝27.4．(2018·重庆市綦江区调研)已知a ＝(2cos x,2sin x )，b f (x )＝cos 〈a ，b 〉．(1)求函数f (x )的零点；(2)若锐角△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且f (A )＝1，求b ＋c a 的取值范围．解(1)由条件可知，a ·b ＝2cos x 2sin x x ∴f (x )＝cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝＝x 由2x －π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，即函数f (x )的零点为x ＝k π2＋π12，k ∈Z .(2)由正弦定理得b ＋c a ＝sin B ＋sin C sin A，由(1)知，f (x )＝x又f (A )＝1，得A 1，∴2A －π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，又A ∈(0，π)，得A ＝π3，∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝2π3－B ，代入上式化简得，b ＋c a ＝＝32sin B ＋32cos B sin A＝又在锐角△ABC 中，有0<B <π2，0<C ＝2π3－B <π2，∴π6<B <π2，∴π3<B ＋π6<2π3，则有32<sin 1，即3<b ＋c a≤2.5．(2018·河南省郑州外国语学校调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A ＋sin B ＝3sin C .(1)若cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，求sin A ＋sin B 的值；(2)若c ＝2，求△ABC 面积的最大值．解(1)∵cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B ，∴1－sin 2A ＝sin 2B ＋1－sin 2C ＋sin A sin B ，∴sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ，∴由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝－12，又0<C <π，∴C ＝2π3，∴sin A ＋sin B ＝3sin C ＝3sin 2π3＝32.(2)当c ＝2，a ＋b ＝3c ＝23，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(a ＋b )2－2ab －c 22ab＝4ab －1，∴sin C ＝1－cos 2C ＝＝∴S ＝12ab sin C ＝12ab ＝12－16＋8ab .∵a ＋b ＝23≥2ab ，即0<ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立，∴S ＝12－16＋8ab ≤12－16＋8×3＝2，∴△ABC 面积的最大值为 2.。

2020届二轮（理科数学） 三角函数的周期性 专题卷（全国通用）1.若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3B [∵f (x ＋5)＝f (x )，f (－x )＝－f (x )，∴f (3)＝f (3－5)＝f (－2)＝－f (2)＝－2，∴f (4)＝f (4－5)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (3)－f (4)＝－2＋1＝－1.]2.函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2x ＋π3的周期不大于4，则正整数k 的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5 C [由T ＝2πω得T ＝2πk 2＝4πk. ∵T ≤4，∴4πk≤4，∴k ≥π， ∴正整数k 的最小值为2.]3.设函数f (x )(x ∈R )是以π为最小正周期的周期函数，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ；当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π时，f (x )＝cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫113π＝( ) A ．－12 B.12 C.32D ．－32 A [∵T ＝π，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π时，f (x )＝cos x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫113π＝f ⎝⎛⎭⎪⎫3π＋2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝cos 2π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12.] 二、填空题4.对于任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x )，则f (x )的一个周期为________． 2(答案不唯一) [由周期函数的定义知f (x )的一个周期为2.]5.若函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的最小正周期为T ，且T ∈(1,3)，则正整数ω的最大值是________．6 [T ＝2πω，又T ∈(1,3)，∴1<2πω<3，又ω∈N *，则ω＝3,4,5,6，∴ω的最大值为4.]6.已知函数f (x )对于任意x ∈R 满足条件f (x ＋3)＝1f (x )，且f (1)＝12，则f (2 020)＝________.2 [∵f (x ＋3)＝1f (x )， ∴f (x ＋6)＝1f (x ＋3)＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝6， ∴f (2 020)＝f (336×6＋4)＝f (4)．又f (4)＝f (1＋3)＝1f (1)＝2， ∴f (2 020)＝2.]三、解答题7.已知函数y ＝f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数．(1)求f (4)的值；(2)若－2≤x ≤－1时，f (x )＝sin πx 2＋1，求2≤x ≤3时，f (x )的解析式． [解] (1)∵函数y ＝f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，∴f (0)＝0，∴f (4)＝f (4＋0)＝f (0)＝0.(2)设2≤x ≤3，则－2≤－4＋x ≤－1，∴f (－4＋x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2(－4＋x )＋1＝sin π2x ＋1， ∴f (x )＝f (－4＋x )＝sin π2x ＋1. 8.若单摆中小球相对静止位置的位移x (cm)随时间t (s)的变化而周期性变化，如图所示，请回答下列问题：(1)单摆运动的周期是多少？(2)从O 点算起，到曲线上的哪一点表示完成了一次往复运动？如从A 点算起呢？(3)当t ＝11 s 时，单摆小球相对于静止位置的位移是多少？[解] (1)从图象可以看出，单摆运动的周期是0.4 s.(2)若从O 点算起，到曲线上的D 点表示完成了一次往复运动；若从A 点算起，到曲线上的E 点表示完成了一次往复运动．(3)11＝0.2＋0.4×27，所以小球经过11 s 相对于静止位置的位移是0 cm.[等级过关练]1．已知函数f (x )＝sin πx 3，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝( ) A ．1 B ．－1 C. 3 D ．－ 3C [f (x )的周期T ＝2ππ3＝6，f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝sin π3＋sin 2π3＋sin π＋sin 4π3＋sin 5π3＋sin 2π＝0. 原式＝336[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)]＋f (1)＋f (2)＝ 3.]2．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期．若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝95，则sin α的值为( ) A.35B.35或－35C.45D.45或－45 D [∵f (x )的最小正周期为π2，ω>0，∴ω＝2ππ2＝2. ∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＋π12＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝3cos α＝95， ∴cos α＝35. ∴sin α＝±1－cos 2α＝±45.] 1.函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－ωx (ω＜0)的最小正周期为4π，则ω＝________. －12 [由周期公式可知4π＝2π|ω|⇒|ω|＝12，由ω＜0，可知ω＝－12.] 2.欲使函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值 ，则ω的最小值为________．199π2 [函数y ＝A sin ωx 的最小正周期为2πω，因为在每一个周期内， 函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)都只有一个最小值，要使函数y ＝A sin ωx 在闭区间[0,1]上至少出现50个最小值，则y 在区间[0,1]内至少含4934个周期，即⎩⎪⎨⎪⎧ T ＝2πω，4934T ≤1，解得ω≥199π2，所以ω的最小值为199π2.] 3.已知函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝－1f (x )(f (x )≠0)． (1)求证：函数f (x )是周期函数；(2)若f (1)＝－5，求f (f (5))的值．[解] (1)证明：∵f (x ＋2)＝－1f (x )， ∴f (x ＋4)＝－1f (x ＋2) ＝－1－1f (x )＝f (x )， ∴f (x )是周期函数，4就是它的一个周期．(2)∵4是f (x )的一个周期，∴f (5)＝f (1)＝－5，∴f (f (5))＝f (－5)＝f (－1)＝－1f (－1＋2)＝－1f (1)＝15.。