直线与抛物线的位置关系练习直线与抛物线的位置关系：例1：已知抛物线的方程为x y 42=，直线l 过定点)1,2(-p ，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线：（1）只有一个交点；（2）有两个公共点；（3）没有公共点？变式训练一：已知抛物线方程x y 42=，当b 为何值时，直线b x y l +=:与抛物线（1）只有一个交点；（2）有两个公共点；（3）没有公共点。
当直线与抛物线有公共点时，b 的最大值是多少？变式训练二：已知实数y x 、满足方程x y 42=，求函数(1)21+-=x y z 的最值,(2) y x z -=的最值.例2：过抛物线焦点F 作直线AB 交抛物线)0(22>=p px y 于B 、A 两点，设()()y x y x A ２２,B ,,11,求证：(1) p y y 221-=⋅；（2）4221p x x =⋅；（3）以AB 为直径的圆与准线相切；（4）以CD 为直径的圆切AB 于F(5) 90,90 =∠=∠CFD ANB .抛物线的弦的中点问题：例3：已知直线2=-y x 与抛物线x y 42=交于B 、A 两点，那么线段B A 的中点坐标是 。
变式训练：1、抛物线x y 22=上两点B 、A 到焦点的距离之和为5，则线段B A 的中点的横坐标是 。
2、抛物线x y 82=上有两点N,、M 到焦点F 的距离为21,d d ,若521=+d d ，则线段MN 的中点P 到y 轴的距离为3、抛物线x y 2=的一组斜率为2的平行弦中点的轨迹是 。
4、已知抛物线x y 22=，过点Q （2,1）作一条直线交抛物线于A,B 两点，试求弦AB 的中点的轨迹方程。
5、已知抛物线x y 82-=，过点)1,1(-p 引一条弦，使此弦在p 点被平分，求弦所在的直线方程。
6、已知抛物线x y 62=，过点P （4，1）引一弦，使它恰在点P 被平分，求这条弦所在的直线方程。
第2课时直线与抛物线的位置关系课标解读考向预测1.会判断直线与抛物线的位置关系.2.会求直线与抛物线相交所得的弦长.3.能解决与抛物线的切线相关的简单几何问题.从近几年高考来看，直线与圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点，高考试题中加大了思维能力的考查，以及二级结论的考查，减少了对复杂运算的考查．预计2025年高考对直线与抛物线综合问题考查的难度会增加，平时应注意二级结论的应用.必备知识——强基础1．直线与抛物线的位置关系(1)直线与抛物线的三种位置关系(2)设直线l ：y ＝kx ＋m ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x 的方程k 2x 2＋(2km －2p )x ＋m 2＝0.①若k ≠0，当Δ>0时，直线与抛物线04相交，有05两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线06相切，有07一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线08相离，09无交点．②若k ＝0，直线与抛物线10只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．因此，直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的11必要不充分条件．2．弦长问题设直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·（x1＋x2）2－4x1x2或|AB|＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2·（y1＋y2）2－4y1y2(k为直线的斜率，k≠0)．3．抛物线的焦点弦问题若MN为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)，则焦点弦长为|MN|＝12x1＋x2＋p(x1，x2分别为M，N的横坐标)．设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准方程形式下的弦长公式如下表．标准方程弦长公式y2＝2px(p>0)|AB|＝x1＋x2＋py2＝－2px(p>0)|AB|＝p－(x1＋x2)x2＝2py(p>0)|AB|＝y1＋y2＋px2＝－2py(p>0)|AB|＝p－(y1＋y2)4.抛物线的切线(1)过抛物线y2＝2px(p>0)上的点P(x1，y1)的切线方程是y1y＝p(x＋x1)．(2)抛物线y2＝2px(p>0)的斜率为k的切线方程是y＝kx＋p2k(k≠0)．抛物线焦点弦的几个常用结论设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝p1－cosα，|BF|＝p1＋cosα，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)；(3)1 |FA|＋1|FB|＝2p；(4)以弦AB为直径的圆与准线相切；(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上；(7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦，长度为2p；(8)过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点．设直线l1的倾斜角为α，则|AB |＝2psin 2α，|DE |＝2psin ＝2p cos 2α.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线l 的距离为2，则过点A (－1，0)恰有2条直线与抛物线C 有且只有一个公共点．()(2)已知过抛物线C ：y 2＝x 的焦点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，若直线l 垂直于x 轴，则|AB |＝1.()(3)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 的倾斜角为60°且经过点F .若l 与C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则x 1x 2＝2.()答案(1)×(2)√(3)×2．小题热身(1)(人教A 选择性必修第一册3.3例4改编)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝()A ．83B ．163C ．5D ．33答案B解析由题意得，抛物线的焦点为F (1，0)，直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．＝3（x －1），2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝103，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163.(2)(人教A 选择性必修第一册习题3.3T12改编)过定点P (0，1)且与抛物线y 2＝8x 有且仅有一个公共点的直线有________条．答案3解析当斜率不存在时，直线方程为x ＝0，只有一个公共点，符合题意；当斜率存在时，设直线方程为y ＝kx ＋1，＝kx ＋1，2＝8x ，得k 2x 2＋(2k －8)x ＋1＝0，当k ＝0时，直线方程为y＝1，只有一个公共点，符合题意；当k ≠0时，令Δ＝(2k －8)2－4k 2＝0，解得k ＝2，即直线与抛物线有一个公共点，符合题意．所以满足题意的直线有3条．(3)过点P (4，－3)作抛物线y ＝14x 2的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为________________．答案2x －y ＋3＝0解析设切点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又y ′＝12x ，则切线PA 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y ＝12x 1x －y 1，同理，切线PB 的方程为y ＝12x 2x －y 2，由P (4，－3)是PA ，PB 的交点可知，－3＝2x 1－y 1，－3＝2x 2－y 2，由两点确定一条直线，可得过A ，B 的直线方程为－3＝2x －y ，即2x －y ＋3＝0.(4)(2024·山东济南模拟)已知A ，B 为抛物线C ：x 2＝4y 上的两点，M (－1，2)，若AM →＝MB →，则直线AB 的方程为________________．答案x ＋2y －3＝0解析由题意知点M (－1，2)在抛物线内，且M (－1，2)是线段AB 的中点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2，21＝4y 1，22＝4y 2，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝4(y 1－y 2)，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝－12，则直线AB 的方程为y －2＝－12(x ＋1)，即x ＋2y －3＝0.＋2y －3＝0，2＝4y ，消去y ，得x 2＋2x －6＝0，Δ＝22－4×(－6)＞0，故斜率为－12符合题意．因此直线AB 的方程为x ＋2y－3＝0.考点探究——提素养考点一抛物线的切线例1(1)过抛物线x 2＝4y 上一点(4，4)的抛物线的切线方程为()A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x ＋2y ＋4＝0答案A解析解法一：设切线方程为y －4＝k (x －4)．－4＝k （x －4），2＝4y⇒x 2＝4(kx －4k ＋4)⇒x 2－4kx ＋16(k －1)＝0，由Δ＝(－4k )2－4×16(k －1)＝0，得k 2－4k ＋4＝0.∴k ＝2.故切线方程为y －4＝2(x －4)，即2x －y －4＝0.解法二：由x 2＝4y ，得y ＝x 24，∴y ′＝x 2.∴y ′|x ＝4＝42＝2.∴切线方程为y －4＝2(x －4)，即2x －y－4＝0.(2)(2023·四川成都适应性考试)已知A ，B 为抛物线y ＝x 2上两点，以A ，B 为切点的抛物线的两条切线交于点P ，过点A ，B 的直线斜率为k AB ，若点P 的横坐标为13，则k AB ＝________．答案23解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，以A ，B 为切点的抛物线的切线斜率分别为k A ，k B ，由y ＝x 2，得y ′＝2x ，故k A ＝2x 1，k B ＝2x 2，所以切线PA 的方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即x 21－2x 1x ＋y ＝0.同理可得，切线PB 的方程为x 22－2x 2x ＋y ＝0.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，所以x 21－2x 1x 0＋y 0＝0，x 22－2x 2x 0＋y 0＝0，所以x 1，x 2为方程x 2－2x 0x ＋y 0＝0的两根，故x 1＋x 2＝2x 0，x 1x 2＝y 0，则k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 2＝2x 0＝23.【通性通法】求抛物线切线方程的方法方法一首先设出切线方程，然后与抛物线方程联立，利用判别式求解方法二首先求导得出切线的斜率，然后由点斜式得出切线方程方法三过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)的切线方程为y 0y ＝p (x ＋x 0)【巩固迁移】1．(多选)(2023·辽宁名校联考)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的准线l 的方程为y ＝－1，过C 的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，以A ，B 为切点分别作C 的两条切线，且两切线交于点M ，则下列结论正确的是()A ．C 的方程为x 2＝2yB ．∠AMB ＝90°C ．M 恒在l 上D ．|MF |2＝|AF |·|BF |答案BCD解析由题得－p2＝－1，所以p ＝2，因此C 的方程为x 2＝4y ，A 错误；由题意可知AB 的斜率存在，F (0，1)，设AB 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝kx ＋1，2＝4y ，得x 2－4kx－4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.由y ＝14x 2得y ′＝12x ，所以AM 的斜率为k AM ＝12x 1，所以AM 的方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，即y －14x 21＝12x 1(x －x 1)①，同理BM 的斜率为k BM ＝12x 2，所以BM 的方程为y －14x 22＝12x 2(x －x 2)②，所以k AM ·k BM ＝14x 1x 2＝－1，即AM ⊥BM ，所以∠AMB＝90°，B 正确；由①②得(x 2－x 1)y ＝14x 1x 2(x 2－x 1)，因为x 1≠x 2，所以y ＝－1，将y ＝－1代入①②得x ＝x 2＋x 12＝2k ，所以点M 的坐标为(2k ，－1)，又C 的准线l 的方程为y ＝－1，所以M 恒在l 上，C 正确；当AB 的斜率k 不为零时，则k MF ＝－1－12k ＝－1k ，所以k AB ·k MF ＝－1，所以AB ⊥MF ，当AB 的斜率k ＝0时，点M 的坐标为(0，－1)，显然AB ⊥MF ，在Rt △ABM 中，由△AMF ∽△MBF 得|MF ||AF |＝|BF ||MF |，所以|MF |2＝|AF |·|BF |，D 正确．故选BCD.考点二焦点弦问题例2(1)(2024·河北邯郸模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |＝()A ．4B ．92C ．5D ．6答案B解析解法一：易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k (x －1)．＝k （x －1），2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，设点A ，B 的横坐标分别为x A ，x B ，则x A x B ＝1①，因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得x A ＋1＝2(x B ＋1)，即x A ＝2x B ＋1②，由①②解得x A ＝2，x B ＝12，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝92.解法二：由对称性，不妨设点A 在x 轴的上方，如图，设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ，由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式，得|AB |＝2p sin 2θ＝92.解法三：因为|AF |＝2|BF |，所以1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝32，|AF |＝3，故|AB |＝|AF |＋|BF |＝92.(2)(多选)(2023·湖北鄂州市教学研究室期末)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，准线l 与y 轴的交点为D ，过点F 的直线m 与抛物线C 交于A ，B 两点，点O 为坐标原点．下列结论正确的是()A ．存在点A ，B ，使∠AOB ≤π2B ．|AB |的最小值为4C ．DF 平分∠ADBD ．若点M (2，3)是弦AB 的中点，则直线m 的方程为x －y ＋1＝0答案BCD解析抛物线C 的焦点F 的坐标为(0，1)，由题意分析可知，直线m 的斜率一定存在．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线m 的方程为y ＝kx ＋1，与抛物线C ：x 2＝4y 联立，得x 2－4kx －4＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋x 214·x 224＝－4＋1＝－3<0，所以∠AOB 为钝角，故A 错误；|AB |＝y 1＋y 2＋2＝kx 1＋1＋kx 2＋1＋2＝k (x 1＋x 2)＋4＝4k 2＋4≥4(当且仅当k ＝0时，等号成立)，故B 正确；因为点D (0，－1)，k DA ＋k DB ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2x 1＋kx 2＋2x 2＝2kx 1x 2＋2（x 1＋x 2）x 1x 2＝2k ×（－4）＋2×4kx 1x 2＝0，即直线DA 和直线DB 的倾斜角互补，所以DF 平分∠ADB ，故C 21＝4y 1，22＝4y 2，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝4(y 1－y 2)，因为点M (2，3)是弦AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，所以直线m 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1，所以直线m 的方程为x －y ＋1＝0，故D 正确．故选BCD.【通性通法】解决焦点弦问题的策略(1)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径，然后转化为到准线的距离，再求解．(2)利用与抛物线焦点弦有关的二级结论求解．【巩固迁移】2．(2024·山东聊城质检)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F作斜率为2的直线l与抛物线交于A，B两点，若弦AB的中点到抛物线准线的距离为3，则抛物线的方程为()A．y2＝125x B．y2＝245xC．y2＝12x D．y2＝6x 答案B解析因为直线l的方程为y＝即y＝2x－p，2＝2px，＝2x－p，消去y，得4x2－6px＋p2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p2，又因为弦AB的中点到抛物线准线的距离为3，所以|AB|＝6，而|AB|＝x1＋x2＋p，所以x1＋x2＝6－p，故3p2＝6－p，解得p＝125，所以抛物线的方程为y2＝245x.故选B.3．(多选)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－3(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则()A．p＝2B．|MN|＝83C．以MN为直径的圆与l相切D．△OMN为等腰三角形答案AC解析对于A，直线y＝－3(x－1)过点(1，0)，所以抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，所以p2＝1，即p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x，A正确；对于B，不妨设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1＞x2，＝－3（x－1），2＝4x，消去y并化简，得3x2－10x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝13，所以|MN|＝x1＋x2＋p＝3＋13＋2＝163，B错误；对于C，设MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d1，d2，d，因为d＝12(d1＋d2)＝12(|MF|＋|NF|)＝12|MN|，即A到直线l的距离等于|MN|的一半，所以以MN为直径的圆与直线l相切，C正确；对于D，由上述分析可知y1＝－3×(3－1)＝－23，y2＝－3×＝233，所以|OM|＝32＋（－23）2＝21，|ON |＝133，所以△OMN 不是等腰三角形，D 错误．故选AC.考点三直线与抛物线的综合问题例3(2023·重庆统考模拟预测)如图，已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，F 为其焦点，点A (2，y 0)在C 上，△OAF 的面积为4.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P (m ，0)(m >0)作斜率为－1的直线l 1交抛物线C 于点M ，N ，直线MF 交抛物线C 于点Q ，以Q 为切点作抛物线C 的切线l 2，且l 2∥l 1，求△MNQ 的面积．解(1)由题意，可知抛物线C 的焦点将A (2，y 0)代入抛物线C 的方程，得y 20＝4p ，且p >0，则|y 0|＝2p ，因为△OAF 的面积为12×p 2×2p ＝p p 2＝4，解得p ＝4，所以抛物线C 的方程为y 2＝8x .(2)由(1)可得抛物线C 的方程为y 2＝8x ，焦点F (2，0)，设直线l 1：x ＝－y ＋m (m >0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 3，y 3)，＝－y ＋m ，2＝8x ，消去x ，得y 2＋8y －8m ＝0，则Δ＝64＋32m >0，可得y 1＋y 2＝－8，y 1y 2＝－8m ，因为点M (x 1，y 1)在抛物线上，则y 21＝8x 1，即x 1＝y 218，所以直线MF 的方程为x ＝x 1－2y 1y ＋2＝y 218－2y 1y ＋2＝y 21－168y 1y ＋2，＝y 21－168y 1y ＋2，2＝8x ，消去x ，得y 2＋16－y 21y 1y －16＝0，可得y 1y 3＝－16，即y 3＝－16y 1，则x 3＝y 21－168y 1×2＝32y 21，即因为l 2∥l 1，可设l 2：x ＝－y ＋n ，代入得32y 21＝16y 1＋n ，即n ＝32y 21－16y 1，所以l 2：x ＝－y ＋32y 21－16y 1，＝－y ＋32y 21－16y 1，2＝8x ，消去x ，得y 2＋8y ＋0，因为l 2为抛物线C 的切线，则Δ＝64－0，整理得y 21－8y 1＋16＝0，解得y 1＝4，又因为y 1＋y 2＝－8，y 1y 2＝－8m ，y 1y 3＝－16，可得y 2＝－12，m ＝6，y 3＝－4，即Q (2，－4)，l 1：x ＝－y ＋6，可得|MN |＝2×|4－(－12)|＝162，点Q (2，－4)到直线l 1：x ＋y －6＝0的距离d ＝|2－4－6|2＝42，所以S △MNQ ＝12|MN |·d ＝12×162×42＝64.【通性通法】解决直线与抛物线综合问题的策略(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线y 2＝2px 的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则一般用弦长公式．(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．【巩固迁移】4．(2023·甘肃张掖高台县第一中学统考期末)已知点A (x 0，－2)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，且A 到C 的焦点F 的距离与到x 轴的距离之差为12.(1)求抛物线C 的方程；(2)当p <2时，M ，N 是C 上不同于点A 的两个动点，且直线AM ，AN 的斜率之积为－2，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点E ，使得|DE |为定值．解(1)抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为准线方程为x ＝－p2，又点A (x 0，－2)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，即(－2)2＝2px 0，∴x 0＝2p ，即－依题意，可得2p ＋p 2－2＝12，解得p ＝1或p ＝4，∴y 2＝2x 或y 2＝8x .(2)证明：∵p <2，∴y 2＝2x ，A (2，－2)．设MN ：x ＝my ＋n ，2＝2x ，＝my ＋n ，消去x ，整理得y 2－2my －2n ＝0，Δ＝4m 2＋8n >0，(ⅰ)且y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－2n ，∴k AM ·k AN ＝2y 1－2·2y 2－2＝－2，∴(y 1－2)(y 2－2)＝－2，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋6＝0，∴n ＋2m ＝3，适合(ⅰ)，将n ＝3－2m 代入x ＝my ＋n ，得x －3＝m (y －2)，－3＝0，－2＝0，＝3，＝2，∴直线MN 恒过定点Q (3，2)．又AD ⊥MN ，∴点D 在以AQ 为直径的圆上，∵A ，Q |AQ |＝（2－3）2＋（－2－2）2＝17，∴以AQ ＋y 2＝174，∴存在点使得|DE |＝172，为定值．课时作业一、单项选择题1．已知直线l 与抛物线x 2＝2py (p >0)只有一个公共点，则直线l 与抛物线的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切答案D解析直线l 与抛物线的对称轴平行或直线l 与抛物线相切时只有一个公共点，所以D 正确．故选D.2．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若点C (x 1，0)与点D (x 2，0)关于直线x ＝32对称，则|AB |＝()A ．3B ．4C ．5D ．6答案C解析抛物线y 2＝4x ，∴p ＝2，过焦点F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AF |＝x 1＋p 2＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋p 2＝x 2＋1，∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2，又点C (x 1，0)与点D (x 2，0)关于直线x ＝32对称，则x 1＋x 2＝32×2＝3，∴|AB |＝3＋2＝5.3．(2023·四川资阳统考三模)已知抛物线C ：y 2＝8x ，过点P (2，－1)的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若|AP |＝|BP |，则直线l 的斜率是()A ．－4B ．4C ．－14D ．14答案A解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，21＝8x 1，22＝8x 2，作差得y 21－y 22＝8(x 1－x 2)．因为|AP |＝|BP |，所以P 是线段AB 的中点，所以y 1＋y 2＝－2，则直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝－4.故选A.4.(2024·江西九江二模)青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，是中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为1cm ，瓷碗的轴截面可以近似看成是抛物线，碗里不慎掉落一根质地均匀、粗细相同且长度为22cm 的筷子，筷子的两端紧贴瓷碗内壁．若筷子的中点离桌面的最小距离为7cm ，则该抛物线的通径长为()A ．16B ．18C ．20D ．22答案C解析如图，建立平面直角坐标系，设抛物线为x 2＝2py (p >0)，焦点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵|AB |＝22，|AB |≤|AF |＋|BF |，∴y 1＋y 2＋p ≥22，设线段AB 的中点为M ，则2y M ＋p ≥22，由题意知，y M 的最小值为6，即12＋p ＝22，得p ＝10，∴该抛物线的通径长为2p ＝20.故选C.5．(2023·辽宁名校联考)过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，点A 处的切线与x ，y 轴分别交于点M ，N .若△MON (O 为坐标原点)的面积为12，则|AF |＝()A ．2B ．3C ．4D ．5答案A解析由题意可知，直线l 的斜率存在，且过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点F ，与其交于A ，B 两点，设，14a又y ＝14x 2，所以y ′＝x 2，所以点A 处的切线方程为y －14a 2＝a2(x －a )．令x ＝0，可得y ＝－14a 2，即，－14a令y ＝0，可得x ＝a 2，即因为△MON 的面积为12，所以12×|－14a 2|×|a2|＝12，解得a 2＝4，所以|AF |＝14a 2＋1＝2.故选A.6．(2023·河北石家庄模拟)过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，若AB 中点的纵坐标为2，且|AB |＝8，则p ＝()A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析设直线AB ：y ＝k ≠0.2＝2px ，＝得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝k 2p ＋2p k2＝p ＋2p k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－p )＝2pk .由题可知，x 1＋x 2＋p ＝8，y 1＋y 22＝2，＋pk2＝4，2，＝1，＝2.故选B.7．(2023·湖北武汉模拟)已知抛物线x 2＝2py (p >0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()A ．y ＝－3B ．y ＝－32C ．x ＝－3D ．x ＝－32答案B解析根据题意，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 21＝2py 1①，x 22＝2py 2②，由①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝2p (y 1－y 2)，即k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22p ，因为直线AB 的斜率为1，线段AB 中点的横坐标为3，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22p ＝3p ＝1，即p ＝3，所以抛物线的方程为x 2＝6y ，准线方程为y ＝－32.故选B.8．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为()A ．16B ．14C ．12D ．10答案A解析抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，由题意可知l 1，l 2的斜率存在且不为0.不妨设直线l 1的斜率为k ，则直线l 2的斜率为－1k ，故l 1：y ＝k (x －1)，l 2：y ＝－1k (x －1)．2＝4x ，＝k （x －1），消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝2＋4k 2，由抛物线的定义可知，|AB |＝x 1＋x 2＋2＝4＋4k 2.同理可得|DE |＝4＋4k 2，∴|AB |＋|DE |＝8＋4k 2＋4k 2≥8＋216＝16，当且仅当1k 2＝k 2，即k ＝±1时取等号．故|AB |＋|DE |的最小值为16.二、多项选择题9．(2023·广州模拟)已知点O 为坐标原点，直线y ＝x －1与抛物线C ：y 2＝4x 交于A ，B 两点，则()A ．|AB |＝8B ．OA ⊥OBC ．△AOB 的面积为22D ．线段AB 的中点到直线x ＝0的距离为2答案AC解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为抛物线C ：y 2＝4x ，则p ＝2，焦点为(1，0)，则直线y ＝x －1过焦点．＝x －1，2＝4x ，消去y ，得x 2－6x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，y 1y 2＝(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝－4，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8，故A 正确；因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1－4＝－3≠0，所以OA 与OB 不垂直，故B 错误；原点到直线y ＝x －1的距离为d ＝12，所以△AOB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝12×8×12＝22，故C 正确；因为线段AB 的中点到直线x ＝0的距离为x 1＋x 22＝62＝3，故D 错误．故选AC.10．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 到准线的距离为4，直线l 过点F 且与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若M (m ，2)是线段AB 的中点，则下列结论正确的是()A ．p ＝4B ．抛物线的方程为y 2＝16xC ．直线l 的方程为y ＝2x －4D ．|AB |＝10答案ACD解析由焦点F 到准线的距离为4，并根据抛物线的定义可知p ＝4，故A 正确；抛物线的方程为y 2＝8x ，故B 错误；因为焦点F (2，0)，y 21＝8x 1，y 22＝8x 2，若M (m ，2)是线段AB 的中点，则y 1＋y 2＝4，所以y 21－y 22＝8x 1－8x 2，即y 1－y 2x 1－x 2＝8y 1＋y 2＝84＝2，所以直线l 的方程为y ＝2x －4，故C 2＝8x ，＝2x －4，得x 2－6x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝6，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋4＝10，故D 正确．故选ACD.三、填空题11．(2023·天津高考)过原点O 的一条直线与圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝3相切，交曲线y 2＝2px (p >0)于点P ，若|OP |＝8，则p 的值为________．答案6解析由题意得直线OP 的斜率存在．设直线OP 的方程为y ＝kx ，因为该直线与圆C 相切，所以|－2k |1＋k2＝3，解得k 2＝3.将直线方程y ＝kx 与曲线方程y 2＝2px (p >0)联立，得k 2x 2－2px＝0，因为k 2＝3，所以3x 2－2px ＝0，解得x ＝0或x ＝2p 3，设P (x 1，y 1)，则x 1＝2p3，又O (0，0)，所以|OP |＝1＋k 2|x 1－0|＝2×2p3＝8，解得p ＝6.12．(2024·陕西咸阳二模)过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若l的倾斜角为45°，则线段AB 的中点到x 轴的距离是________．答案3解析由题意，抛物线方程为x 2＝4y ，则F (0，1)，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1，将直线方程代入抛物线方程，整理，得x 2－4x －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4，故线段AB的中点的横坐标为x 1＋x 22＝2，代入直线l 的方程，得y ＝3，∴线段AB 的中点到x 轴的距离是3.13．(2024·贵州遵义统考)已知抛物线x 2＝2y 上两点A ，B 关于点M (2，t )对称，则直线AB 的斜率为________．答案2解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程x 2＝2y ，21＝2y 1，22＝2y 2，则x 21－x 22＝2(y 1－y 2)①，因为A ，B 两点关于点M (2，t )对称，则x 1≠x 2，x 1＋x 2＝4，所以由①得y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22＝2，即直线AB 的斜率为2.14．(2023·山东鄄城三模)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过A (－1，0)作抛物线C 的切线，切点为B ，|BF |＝3，则抛物线C 上的动点P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离与到y 轴的距离之和的最小值为________．答案32－2解析根据抛物线的对称性，不妨设B (x 0，y 0)(y 0>0)，由抛物线定义知，|BF |＝x 0＋p2＝3，∴x 0＝3－p2>0，∴p <6，∴y 0＝6p －p 2，当y >0时，y ＝2px ，∴y ′＝2p 2x ，∴2p23－p2＝6p －p 23－p 2＋1，解得p ＝0(舍去)或p ＝4或p ＝203(舍去)，则抛物线C 的方程为y 2＝8x ，焦点F (2，0)，准线方程为x ＝－2，焦点F (2，0)到直线l ：x －y ＋4＝0的距离d ＝|2－0＋4|12＋（－1）2＝32，抛物线C上的动点P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离与到y 轴的距离之和的最小值为32－2.四、解答题15．已知F 为抛物线T ：x 2＝4y 的焦点，直线l ：y ＝kx ＋2与T 交于A ，B 两点．(1)若k ＝1，求|FA |＋|FB |的值；(2)点C (－3，－2)，若∠CFA ＝∠CFB ，求直线l 的方程．解由已知得F (0，1)，设12＝kx ＋2，2＝4y ，得x 2－4kx －8＝0，所以x 1＋x 2＝4k ，①x 1x 2＝－8.②(1)|FA |＋|FB |＝x 214＋1＋x 224＋1＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 24＋2.当k ＝1时，由①②，得|FA |＋|FB |＝10.(2)由题意可知，FA →1，x 214－FB →2，x 224－FC →＝(－3，－3)．由∠CFA ＝∠CFB ，得cos 〈FA →，FC →〉＝cos 〈FB →，FC →〉，即FA →·FC →|FA →||FC →|＝FB →·FC →|FB →||FC →|，又|FA |＝x 214＋1，|FB |＝x 224＋1，所以由FA →·FC →|FA →||FC →|＝FB →·FC→|FB →||FC →|，得4＋2(x 1＋x 2)－x 1x 2＝0，即4＋8k ＋8＝0，解得k ＝－32，所以直线l 的方程为3x ＋2y －4＝0.16．(2024·江西南昌等四地联考)已知直线l ：x －y ＋1＝0与抛物线C ：x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求p ；(2)设抛物线C 的焦点为F ，过点F 且与l 垂直的直线与抛物线C 交于E ，G 两点，求四边形AEBG 的面积．解(1)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，－y ＋1＝0，2＝2py ，可得x 2－2px －2p ＝0，易得Δ＝4p 2＋8p >0，所以x A ＋x B ＝2p ，x A x B ＝－2p ，则|AB |＝2×（x A ＋x B ）2－4x A x B ＝22×p 2＋2p ＝8，即p 2＋2p －8＝0，因为p >0，所以p ＝2.(2)由题意可得抛物线C 的焦点为F (0，1)，直线EG 的方程为x ＋y －1＝0.＋y －1＝0，2＝4y ，化简可得x 2＋4x －4＝0，则Δ＝16＋16>0，设E (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2－(x 1＋x 2)＝6，则|EG |＝y 1＋y 2＋p ＝8，因为AB ⊥EG ，所以S 四边形AEBG ＝12|AB |·|EG |＝12×8×8＝32.17．(多选)(2023·云南昆明模拟)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，O 为坐标原点，过F 的直线与C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则()A ．∠AOB 可能为直角B ．x 1x 2为定值C ．若与抛物线C 分别相切于点A ，B 的两条切线交于点N ，则点N 在抛物线C 的准线上D ．以BF 为直径的圆与y 轴有两个交点答案BC解析设直线l AB ：x ＝ty ＋1，与y 2＝4x 联立并消去x ，得y 2－4ty －4＝0，y 1y 2＝－4，则x 1x 2＝y 21y 2216＝1，故B 正确；因为x 1x 2＝1，所以k OA ·k OB ＝y 1y 2x 1x 2≠－1，所以∠AOB ≠π2，故A 不正确；设N (x 0，y 0)，由y 2＝4x ，得y ＝±2x ，所以y ′＝±1x ，因为AN ，BN 均为切线，设k AN ＝1x 1，k BN ＝－1x 2，则AN 的方程为y －y 1＝1x 1(x －x 1)，化简，得yy 1－2x －2x 1＝0，BN 的方程为y －y 2＝－1x 2(x －x 2)，化简，得yy 2－2x －2x 2＝0，因为AN 与BN 的交点为N (x 0，y 0)，所以y 0y 1－2x 0－2x 1＝0，y 0y 2－2x 0－2x 2＝0，则直线AB 的方程为y 0y －2x 0－2x ＝0，由于直线AB 过点F (1，0)，所以x 0＝－1，又因为抛物线C 的准线方程为x ＝－1，所以点N 在抛物线C 的准线上，故C 正确；设BF 的中点，|BF |2＝1＋x 22，则以BF 为直径的圆与y 轴相切，故D 不正确．故选BC.18．(多选)(2023·河北秦皇岛模拟)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点A (1，－4)作两条相互垂直的直线，与C 的另外两个交点分别为M ，N ，则()A ．C 的准线方程是x ＝－4B ．过C 的焦点的最短弦长为8C ．直线MN 过定点(0，4)D ．当点A 到直线MN 的距离最大时，直线MN 的方程为2x ＋y －38＝0答案AD解析将A (1，－4)代入C 的方程中，得p ＝8，所以C 的方程为y 2＝16x ，所以C 的准线方程是x ＝－4，故A 正确；当过C 的焦点且与x 轴垂直时弦长最短，此时弦长为16，故B 不正确；设y y 直线MN 的方程为x ＝my ＋n ，将直线MN 的方程代入C 的方程，得y 2－16my －16n ＝0，所以y 1＋y 2＝16m ，y 1y 2＝－16n .因为AM ⊥AN ，所以AM →·AN →＝1，y 1＋1，y 2＋＝（y 21－16）（y 22－16）256＋(y 1＋4)(y 2＋4)＝0.因为y 1≠－4，y 2≠－4，所以(y 1＋4)(y 2＋4)≠0，所以（y 1－4）（y 2－4）256＋1＝0，整理得y 1y 2－4(y 1＋y 2)＋272＝0，所以－16n －64m ＋272＝0，得n ＝－4m ＋17，所以直线MN 的方程为x ＝m (y －4)＋17，所以直线MN 过定点P (17，4)，故C 不正确；当MN ⊥AP 时，点A 到直线MN 的距离最大，此时直线MN 的方程为2x ＋y －38＝0，故D 正确．19．(2023·河北石家庄三模)已知M ，N 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上不同两点，O 为坐标原点，OM ⊥ON ，过O 作OH ⊥MN 于H ，且点H (2，2)．(1)求直线MN 的方程及抛物线C 的方程；(2)若直线l 与直线MN 关于原点对称，Q 为抛物线C 上一动点，求点Q 到直线l 的距离最短时，点Q 的坐标．解(1)如图，由点H (2，2)，得直线OH 的斜率为1，又OH ⊥MN ，则直线MN 的斜率为－1，故直线MN 的方程为y －2＝－(x －2)，整理，得直线MN 的方程为x ＋y ＝4.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，＋y ＝4，2＝2px ，得y 2＋2py －8p ＝0，1＋y 22p ，1y 2＝－8p ，由OM ⊥ON ，得OM →·ON →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝y 21y 224p2＋y 1y 2＝0，因为y 1y 2≠0，所以y 1y 2＝－4p 2，所以－4p 2＝－8p ，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设点A (x ，y )是直线l 上任一点，则点A 关于原点的对称点A ′(－x ，－y )在直线MN 上，所以－x ＋(－y )＝4，即直线l 的方程为x ＋y ＝－4.设点Q (x 0，y 0)，则y 20＝4x 0，点Q 到直线l 的距离d ＝|x 0＋y 0＋4|2＝|y 204＋y 0＋4|2＝（y 0＋2）2＋1242，当y 0＝－2时，d 取得最小值322，此时Q (1，－2)．20．(2023·辽宁沈阳模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，其焦点到准线的距离为2，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，且l 1与l 2交于点M .(1)求p 的值；(2)若l 1⊥l 2，求△MAB 面积的最小值．解(1)由题意知，准线方程为y ＝－p 2，焦点到准线的距离为2，即p ＝2.(2)由(1)知，抛物线的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，所以y ′＝12x ，设12l 1：y －x 214＝x 12(x －x 1)，l 2：y －x 224＝x 22(x －x 2)，由于l 1⊥l 2，所以x 12·x 22＝－1，即x 1x 2＝－4.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，与抛物线的方程联立，＝kx ＋m ，2＝4y ，消去y ，得x 2－4kx －4m＝0，Δ＝16k 2＋16m >0，所以x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4m ＝－4，所以m ＝1，即直线l ：y ＝kx ＋1，此时Δ＝16k 2＋16>0.＝x 12x －x 214，＝x 22x －x 224，＝2k ，＝－1，即M (2k ，－1)．点M 到直线l 的距离d ＝|k ·2k ＋1＋1|1＋k 2＝21＋k 2，|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝4(1＋k 2)，所以S ＝12×4(1＋k 2)×21＋k 2＝4(1＋k 2)32≥4，当k ＝0时，△MAB 的面积取得最小值4.。
