单项选择题(共10小题
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样卷1
一、单项选择题(共10小题，每小题2分，共20分)
1．若A 是( )，则A 必为方阵.
A. 分块矩阵
B. 可逆矩阵
C. 转置矩阵
D. 线性方程组的系数矩阵
2．设A 为3阶方阵，且|A |=2，则|2A -1|=（ ）
A ．-4
B ．-1
C ．1
D ．4
3．设向量组M 为四维向量空间R 4的一个基，则( )必成立.
A. M 由四个向量组成
B. M 由四维向量组成
C. M 由四个线性无关的四维向量组成 D . M 由四个线性相关的四维向量组成
4．设2阶矩阵A =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛d c b a ，则A *=（ ） A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c d C ．⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--a c b d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c d 5．设向量α1=(3,0,-2)T ，α2=(2,-1,-5)T ，β=(1,-2,k)T ，则k=( )时，β才能由α1,α2线性表示.
A. –2
B. –4
C. –6
D. -8 6．设⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=θθθθ
cos sin sin cos A ，则A -1为（ ） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-θθθθcos sin sin cos B ．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-θθθθcos sin sin cos
C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-θθθθ
cos sin sin cos D ．⎥⎦⎤⎢⎣
⎡θθθθcos sin sin cos 7．设非齐次线性方程组Ax =b 有唯一解，A 为m ×n 矩阵，则必有( ).
A. m=n
B. 秩(A )=m
C. 秩(A )=n
D. 秩(A )<n
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8．设3元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为α=（1，0，2）T ，β=（1，-1，3）T ，且系数矩阵A 的秩r(A )=2,则对于任意常数k,k 1,k 2,方程组的通解可表为（ ）
A ．k 1（1，0，2）T +k 2（1，-1，3）T
B ．（1，0，2）T +k （1，-1，3）T
C ．（1，0，2）T +k （0，1，-1）T
D ．（1，0，2）T +k （2，-1，5）T
9．矩阵B =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛2000120001200012的线性无关的特征向量个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
10．二次型Ax x x x x x x x f T =++=2222132)2,1(1中，矩阵A 为（ ）
A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3021
B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3201
C ．⎥⎦
⎤⎢⎣⎡3111 D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3113
二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．2.设A =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛321，则AA T =______.
2. 非零n 维向量α1,α2线性无关的充要条件是______.
3．若a i b i ≠0，i=1,2,3,则行列式3
323133222123
12111b a b a b a b a b a b a b a b a b a =____________.
4．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0x a x a x a 0x a x a x a 0x a x a x a 3332321
31323222121313212111有非零解，则其系数行列式的值为
____________.
5．线性方程组Ax =0解向量的一个最大无关组为x 1，x 2，…，x t ，则Ax =0的解向量x =_____.
6.设向量α=（1，2，3），β=（3，2，1），则向量α，β的内积（α，β）=____________.
7．已知P -1AP =B ，且｜B ｜≠0，则|
|||B A =______.
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8.已知某个3元非齐次线性方程组Ax=b 的增广矩阵A 经初等行变换化为：
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-----→1a 21)1a (a 00120321A ，若方程组无解，则a 的取值为____________.
9．二次型f(x, y , z )的矩阵A 有三个特征值1，-1，2，该二次型的标准形为______.
10．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+a 1000a
21011为正定矩阵，则a 的取值范围是____________.
三、计算题（共6小题，每小题7分，共42分）
1．已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1102X =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1013，求矩阵X .
2.设A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛1200250000200002，求A -1.
3. t取何值时，向量组α1=(1,2,3),α2=(2,2,2)，α3=(3,0,t)线性相关，写出一个线性相关的关系式.
4.设向量α1=（1,-1,2,1）T，α2=（2,-2,4,-2）T，α3=（3,0,6,-1）T，α4=（0,3,0,-4）T.
（1）求向量组的一个极大线性无关组；
（2）将其余向量表为该极大线性无关组的线性组合.
5. 已知二阶方阵A的特征值为4，-2，其对应的特征向量分别为(1，1)T，(1，-5)T，求矩阵A.
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6.求一个正交变换使二次型f(x 1,x 2,x 3)=232232221233x x x x x +++化成标准型，
（1）写出正交变换矩阵 （2）写出标准型
四、证明题（本题8分）
设n 阶矩阵A ，且A 2=E ，试证：A 的特征值只能是1或-1.
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