高考典型例题 等效重力场

专题10 等效重力场模型模型界定物体在运动过程中所受的外力包含有恒定的场力作用，如匀强电场中的电场力、匀强磁场中恒定电流与磁场间方向关系不变时所受的安培力等，可将其与重力的合力作为一个＂等效重力＂，然后利用重力场中的相关结论来解决的一类问题．模型破解（i）在等效重力场中平衡的液体，其液面与等效重力方向垂直．例１.粗细均匀的U形管内装有某种液体，开始静止在水平面上，如图所示，已知：L=10cm，当此U形管以4m/s2的加速度水平向右运动时，求两竖直管内液面的高度差。

（）【答案】0.04m（ii）．在等效重力场中，从斜面上某点由静止释放的物体，当等效重力与水平方向的夹角大于等于斜面倾角时物体可静止于斜面上或沿面运动；当等效重力与水平方向的夹角小于斜面倾角时物体将沿等效重力方向做类自由落体的匀加速直线运动．例２.如图，一质量为m的小物块带正电荷Q，开始时让它静止在倾角θ的固定光滑斜面顶端，整个装置放在场强大小为E=mg/Q、方向水平向左的匀强电场中，斜面高为H，释放物块后，求在斜面倾角分别为300与600一情况下物块到达水平地面时的速度大小为多少？（重力加速度为g）【答案】【解析】物体受到恒定的电场力与重力两个场力的作用，其合力即＂等效重力＂的大小为，方向与水平方向间夹角满足，即．将整个空间沿逆时针转过45０角，如图所示．由图可以看出，当θ＝300时，物体沿斜面下滑到地面，由动能定理（或＂等效机械能＂守恒）有，可得；当θ＝600时，物体沿等效重力的方向做类自由落体运动，同理可得．（iii）沿任意方向以相同动能抛出的物体，只有等效重力做功时，沿等效重力方向通过位移最大的物体动能改变量最大例３.如图所示，ab是半径为R的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，匀强电场与圆周在同一平面内。

现在该平面内，将一带正电的粒子从a点以相同的动能抛出，抛出方向不同时，粒子会经过圆周上不同的点，在这些所有的点中，到达c点时粒子的动能最大。

等效重力场专题物体仅在重力场中的运动是最常见、最基本的运动，但是对处在匀强电场中的宏观物体而言，它的周围不仅有重力场，还有匀强电场，同时研究这两种场对物体运动的影响，问题就会变得复杂一些。

此时，若能将重力场与电场合二为一，用一个全新的“复合场”（可形象称之为“等效重力场”）来代替，不仅能起到“柳暗花明”的效果，同时也是一种思想的体现。

那么，如何实现这一思想方法呢？一、概念的全面类比为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场” 中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系。

具体对应如下：等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场等效重力重力、电场力的合力等效重力加速度等效重力与物体质量的比值等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积二、处理方法的迁移练习：1. 在光滑水平面上的O 点系一长为L的绝缘细线，线的另一端系一质量为m 、带电量为q的小球，如图所示．当沿细线方向加上场强为 E 的匀强电场后，小球处于平衡状态，现给小球一垂直于细线的初速度v0，使小球在水平面上开始运动．若 v0很小，则小球第一次回到平衡位置所需时间为ml mlA ． 2B．qE qEmlC． 2 qE D ．无法确定2.如右图所示，在方向水平的匀强电场中，一个不可伸长的不导电细线一端连着一个质量为m的带电小球，另一端固定于O点．把小球拉起直至细线与场强平行，然后无初速释放．已知小球摆到最低点的另一侧，线与竖直方向的最大夹角为，若在此过程中线始终绷紧，求（1）小球经过最低点时细线对小球的拉力．（2）小球在什么位置时速度最大．3. 已知如图，匀强电场方向水平向右，场强E 1.510 6 v / m ，丝线长L=40cm，上端系于 O 点，下端系质量为m 1.0 10 4 kg ，带电量为 q4.9 10 10 C 的小球，将小球从最低点 A 由静止释放，求：⑴小球摆到最高点时丝线与竖直方向的夹角多大？⑵摆动过程中小球的最大速度是多大？4.如图所示，固定的半圆形绝缘光滑轨道置于正交的匀强电场和匀强磁场叠加的区域中。

等效重力场的应用在处理一些不是很熟悉的问题时，若能类比熟悉的模型和方法，将较为生疏、不方便处理的问题，转化为熟悉的模型，使用类似的方法来处理，往往可以创造性的解决很多问题。

等效法属于这种创造性解决问题的方法之一，高中物理中但凡涉及恒力、恒定加速度类问题时，若能采取等效重力场——类比重力场中的问题的方式处理，往往可以迅速找到解决问题的突破口。

一、加速运动体系中的等效重力场加速运动体系的典型代表是竖直加速或减速的升降机和水平加速或减速的车辆，当讨论这样的体系中物体所受的弹力、压力、浮力或相对运动等问题，选升降机或者车辆为参考系，引入等效重力场，就可以将运动体系内的问题转化为静止参考系下的问题，从而类比重力场中的静止参考系下问题的处理方法，将复杂问题简化处理。

1、超重失重问题的一种理解方式由牛顿第二定律和牛顿第三定律可知，当升降机具有向上的加速度a 时，其内质量为m 的物体对升降机的压力为N F mg ma =+，此即超重现象；当升降机具有向下的加速度a 时，其内质量为m 的物体对升降机的压力为N F mg ma =-，此即失重现象。

对这个现象，我们可以这样理解：选升降机为参考系，物体静止，如果我们引入等效重力G mg ''=，超重中g g a '=+，失重中g g a '=-，则在升降机参考系中，用平衡条件N 0F mg ''-=和牛顿第三定律N N F F '=即可计算物体对升降机的压力N F G mg ''==。

我们还可以进一步理解成这样：升降机加速度向上，则等效重力G '在原来G 的基础上向下．．“超重”了ma ，故G mg mg ma ''==+；升降机加速度向下，则等效重力G '在原来G 的基础上向上．．“超重”了ma ，故矢量合成结果是G mg mg ma ''==-。

高考典型例题：等效重力场标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N]运用等效法巧解带电粒子在匀强电场中的运动一、等效法将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法。

中学物理中常见的等效变换有组合等效法（如几个串、并联电阻器的总电阻）；叠加等效法（如矢量的合成与分解）；整体等效法（如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动）；过程等效法（如将热传递改变物体的内能等效为做功改变物体的内能）概念的全面类比为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系。

具体对应如下：等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场等效重力重力、电场力的合力 等效重力加速度等效重力与物体质量的比值等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置 等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积二、题型归类（1）单摆类问题（振动的对称性）例1、如图2-1所示`，一条长为L 的细线上端固定在Ｏ点，下端系一个质量为m 的小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为Ｅ，方向水平向右，已知小球在Ｂ点时平衡，细线与竖直线的夹角为α。

求：当悬线与竖直线的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置时，小球速度恰好为零运动特点：小球在受重力、电场力两个恒力与不做功的细线拉力作用下的运动， 对应联想：在重力场只受重力与细线拉力作用下的运动的模型：单摆模型。

等效分析：对小球在B 点时所受恒力力分析（如图2-2），将重力与电场力等效为一个恒力，将其称为等效重力可得：αcos mg g m ='，小球就做只受“重力”mg ′与绳拉力运动，可等效为单摆运动。

规律应用：如图2-3所示，根据单摆对称运动规律可得，B 点为振动的平衡位置，竖直位置对应小球速度为零是最大位移处，另一最大位移在小球释放位置，根据振动对称性即可得出，当悬线与竖直线的夹角满足αβ2=，小球从这一位置静止释放后至细线到竖直位置时，小球速度恰好为零。

解题应用1．解直线运动例1 如图1所示，在离坡顶为l 的山坡上的C 点树直固定一根直杆，杆高也是L 。

杆上端A 到坡底B 之间有一光滑细绳，一个带电量为q 、质量为m 的物体穿心于绳上，整个系统处在水平向右的匀强电场中，已知细线与竖直方向的夹角 30=θ。

若物体从A 点由静止开始沿绳无摩擦的滑下，设细绳始终没有发生形变，求物体在细绳上滑行的时间。

（2/10s m g =，60.037sin = ，80.037cos = ）解析 因细绳始终没有发生形变，故知在垂直绳的方向上没有压力存在，即带电小球受到的重力和电场力的合力方向沿绳的方向。

建立“等效重力场”如图2所示，“等效重力场”的“等效重力加速度”，方向：与竖直方向的夹角30，大小：30cos gg ='带电小球沿绳做初速度为零，加速度为g '的匀加速运动30cos 2L S AB = ①221t g S AB '=②由①②两式解得gL t 3=2．解抛类运动例3 如图3所示，在电场强度为E 的水平匀强电场中，以初速度为0v 竖直向上发射一个质量为m 、带电量为+q 的带电小球，求小球在运动过程中具有的最小速度。

解析 建立等效重力场如图4所示，等效重力加速度g 'E图1图2设g '与竖直方向的夹角为θ，则θcos g g ='其中22arcsin ）（）（mg qE qE +=θ则小球在“等效重力场”中做斜抛运动θsin 0v v x = θc o s 0v v y = 当小球在y 轴方向的速度减小到零，即0=y v 时，两者的合速度即为运动过程中的最小速度2200min sin ）（）（qE mg qEv v v v x +===θ例 4 如图5-1所示，匀强电场水平向右，310=E N/C ，一带正电的油滴的质量5100.2-⨯=m kg ，电量5100.2-⨯=q C 。

在A 点时速度大小为20=v m/s ，方向为竖直向上，则油滴在何时速度最小且求出最小速度？3．解振动类例5 如图5所示，让单摆处在电场强度为E ，方向水平向右的匀强电场中，让摆球带上q 的电量，求单摆的周期。

B圆周运动等效重力场问题（找等效最高点、最低点问题）绳拉物体在竖直平面内做圆周运动规律最高点最低点（平衡位置）速度最大、拉力最大临界最高点：重力提供向心力，速度最小等效重力场：重力场、电场等叠加而成的复合场；等效重力：重力、电场力的合力处理思路：①受力分析，计算等效重力（重力与电场力的合力）的大小和方向②在复合场中找出等效最低点、最高点。

最高、低点：T与等效重力共线③根据圆周运动供需平衡结合动能定理列方程处理例1：光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R，在其最低点A处放一质量为m的带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求及运动过程中的最大拉力变式1：如图所示，ABCD为表示竖立放在场强为E=104V/m的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其中轨道的BCD部分是半径为R的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切A为水平轨道的一点，而且把一质量m=100g、带电q=10－4C的小球，放在水平轨道的A点上面由静止开始被释放后，在轨道的内侧运动。

（g=10m/s2）求：（1）它到达C点时的速度是多大？（2）它到达C点时对轨道压力是多大？（3）小球所能获得的最大动能是多少？VCY例2：在水平方向的匀强电场中，用长为L的轻质绝缘细线悬挂一质量为m的带电小球，小球静止在A处，悬线与竖直方向成300角，现将小球拉至B点，使悬线水平，并由静止释放，求小球运动到最低点D时的速度大小变式2：质量为的m小球连在穿过光滑水平面上的小孔的绳子末端,使小球在平面内绕O点做半径为a圆周运动,线速度为v（1）求此时绳子上的拉力（2）若将绳子瞬间放松后又拉直，将做半径为b的圆周运动，求放松时间（3）小球做半径为b的圆周运动时绳子的拉力+练习1：如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点 O，用一根长度的绝缘细绳把质量为、带有正电荷的金属小球悬挂在O点，小球静止在B点时细绳与竖直方向的夹角为。

圆周运动等效重力场问题（找等效最高点、最低点问题）绳拉物体在竖直平面内做圆周运动规律B 最高点最低点（平衡位置）临界最高点：重力提供向心力，速度最小速度最大、拉力最大等效重力场：重力场、电场等叠加而成的复合场；等效重力：重力、电场力的合力A 处理思路：①受力分析，计算等效重力（重力与电场力的合力）的大小和方向②在复合场中找出等效最低点、最高点。

最高、低点：T 与等效重力共线③根据圆周运动供需平衡结合动能定理列方程处理例 1：光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R，在其最低点 A 处放一质量为 m 的带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为3mg ，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速3度 v0，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求v0及运动过程中的最大拉力变式 1：如图所示，ABCD为表示竖立放在场强为E=10 4V/m 的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其中轨道的BCD部分是半径为R 的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切 A 为水平轨道的一点，而且AB R0.2m.把一质量m=100g、带电 q=10－4C 的小球，放在水平轨道的 A 点上面由静止开始被释放后，在轨道的内侧运动。

（ g=10m/s2）求：（1）它到达 C 点时的速度是多大？（2）它到达 C 点时对轨道压力是多大？（3）小球所能获得的最大动能是多少？B O例 2：在水平方向的匀强电场中，用长为 3 L的轻质绝缘细线悬挂一质量为m的带电小球，小球静止在 A 处，悬线与竖直方向成300角，现将小球拉至 B 点，使悬线水平，300并由静止释放，求小球运动到最低点 D 时的速度大小C V C AV C DY变式 2：质量为的 m小球连在穿过光滑水平面上的小孔的绳子末端运动 , 线速度为 v（ 1）求此时绳子上的拉力, 使小球在平面内绕O点做半径为a 圆周（ 2）若将绳子瞬间放松后又拉直，将做半径为 b 的圆周运动，求放松时间（ 3）小球做半径为 b 的圆周运动时绳子的拉力练习 1：如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用一根长度L0.40m 的绝缘细绳把质量为 m 0.10kg 、带有正电荷的金属小球悬挂在O 点，小球静止在现将小球拉至位置 A 使细线水平后由静止释放，求：⑴小球通过最低点 C 时的速度的大小；⑵小球通在摆动过程中细线对小球的最大拉力B 点时细绳与竖直方向的夹角为37 。

等效重力场
等效重力场就是把一个和重力场同一方向的匀强场等效为重力场。

如一个匀强电场方向竖直向下，那物体受到的力就是电场力加上重力，相当于1+1=2，本质相同都是力，而且两个场所提供的力方向相同，所以可以等效。

在重力场中竖直平面问题绳拉物体在竖直平面内做圆周运动规律，最高点、最低点平衡位置、临界最高点：重力提供向心力，速度最小。

带电物体在匀强电场中且考虑重力时提出的一个等效概念,在匀强电场中,电场力恒定,物体重力也恒定,因此合力恒定。

带电粒子在等效重力场中的运动一、知识要点（一）等效思维法等效思维法是将一个复杂的物理问题，等效为一个熟知的物理模型或问题的方法。

对于这类问题，若采用常规方法求解，过程复杂，运算量大。

若采用“等效法”求解，则能避开复杂的运算，过程比较简捷。

（二）方法应用这类题常考小球在竖直面内做圆周运动，处理方法是：先求出重力与电场力的合力，将这个合力视为一个“等效重力”，将a=F合m视为“等效重力加速度”，如此便建立起“等效重力场”，找到等效的最低点和最高点，再将物体在重力场中的运动规律迁移到等效重力场中分析求解即可（如图1所示）。

二、经典例题例1.（多选）如图2甲所示，匀强电场方向水平向右，场强为E，丝线长为L.上端系于O 点，下端系质量为m、带电量为＋q的小球，已知Eq＝mg.现将小球从最低点A由静止释放，则下列说法正确的是()A．小球可到达水平位置B．当悬线与水平方向成45°角时小球的速度最大C．小球在运动过程中机械能守恒D．小球速度最大时悬线上的张力为(32－2)mg【答案】ABD解析：如图2乙所示，等效重力F=√2mg,等效最低点在B点。

由对称性知，从A点释放，可到达C点，且在B点速度最大。

运动过程中，因为电场力做功，所以机械能不守恒。

A到B，由动能定理：qELsin450-mgL(1-cos450)=mv2/2在B点，由牛顿第二定律：T-√2mg=mv2/L联立解得：T=（3√2−2）mg.例2．(多选)如图3甲所示，在竖直平面内有水平向右、场强E＝1×104N/C的匀强电场。

在匀强电场中有一根长L＝2m的绝缘细线，一端固定在O点，另一端系一质量为0.08kg的带电小球，它静止时细线与竖直方向成37°角，若小球获得初速度恰能绕O点在竖直平面内做圆周运动，取小球在静止时的位置为电势能零点和重力势能零点，cos37°＝0.8，g取10m/s2。

下列说法正确的是()A．小球的带电荷量q＝6×10－5CB．小球动能的最小值为1JC．小球在运动至圆周轨迹上的最高点时机械能最小D．小球绕O点在竖直平面内做圆周运动的电势能和机械能之和保持不变，且为4J【答案】AB.解析：如图3乙所示，等效最低点为A点，等效最高点为B点，等效重力F=mg/cos370=1N.在A点，tan370=qE/mg,得q=6*10-5C,在B点动能最小，由牛顿第二定律得：F=m V B2/L得E kB=m V B2/2=FL/2=1J.机械能最小时，电势能最大，应在C点而不是最高点。

高考典型例题等效重力场Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】1、如图所示，在水平方向的匀强电场中的O 点，用长为l的轻、软绝缘细线悬挂一质量为m 的带电小球，当小球位于B 点时处于静止状态，此时细线与竖直方向（即OA 方向）成θ角．现将小球拉至细线与竖直方向成2θ角的C 点，由静止将小球释放．若重力加速度为g ，则对于此后小球的受力和运动情况，下列判断中正确的是 A ．小球所受电场力的大小为mg tan θB ．小球到B 点的速度最大C ．小球可能能够到达A 点，且到A 点时的速度不为零D ．小球运动到A 点时所受绳的拉力最大2、、半径R=0.8m 的光滑绝缘导轨固定于竖直面内，加上某一方向的匀强电场后，带电小球沿轨道内侧做圆周运动，小球动能最大的位置在A 点，圆心O 与A 点的连线与竖直方向的夹角为θ，如图所示.在A 点时小球对轨道的压力F N =120N ，若小球的最大动能比最小动能多32J ，且小球能够到达轨道上的任意一点（不计空气阻力）.试求：（1）小球最小动能等于多少(2)若小球在动能最小位置时突然撤去轨道，并保持其他量不变，则小球经 时间后，其动能与在A 点时的动能相等，小球的质量是多少3、如图14所示，ABCD 为表示竖立放在场强为E=104V/m 的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其中轨道的BCD 部分是半径为R 的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切A 为水平轨道的一点，而且.2.0m R AB ==把一质量m=100g 、带电q=10－4C 的小球，放在水平轨道的A 点上面由静止开始被释放后，在轨道的内侧运动。

（g=10m/s 2）求：（1）它到达C 点时的速度是多大（2）它到达C 点时对轨道压力是多大（3）小球所能获得的最大动能是多少4、水平放置带电的两平行金属板，相距d,质量为m 的微粒由板中间以某一初速平行于板的方向进入，若微粒不带电，因重力作用在离开电场时，向下偏转d/4，若微粒带正电，电量为q ，仍以相同的初速度进入电场，微粒恰好不再射出电场，则两板的电势差应为多少并说明上下板间带电性5、如图所示，绝缘光滑轨道AB 部分为倾角为30°的斜面，AC 部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切。

圆周运动等效重力场问题（找等效最高点、最低点问题）等效重力场：重力场、电场等叠加而成的复合场；等效重力：重力、电场力的合力 处理思路：①受力分析，计算等效重力（重力与电场力的合力）的大小和方向②在复合场中找出等效最低点、最高点。

最高、低点：T 与等效重力共线 ③根据圆周运动供需平衡结合动能定理列方程处理例1：光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为R ，在其最低点A 处放一质量为m 的带电小球，整个空间存在匀强电场，使小球受到电场力的大小为mg 33，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度0v ，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求0v 及运动过程中的最大拉力变式1：如图所示，ABCD 为表示竖立放在场强为E=104V/m 的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其中轨道的BCD 部分是半径为R 的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切A 为水平轨道的一点，而且.2.0m R AB ==把一质量m=100g 、带电q=10－4C 的小球，放在水平轨道的A 点上面由静止开始被释放后，在轨道的内侧运动。

（g=10m/s2）求：（1）它到达C 点时的速度是多大？ （2）它到达C 点时对轨道压力是多大？ （3）小球所能获得的最大动能是多少？例2：在水平方向的匀强电场中，用长为3L 的轻质绝缘细线悬挂一质量为m 的带电小球，小球静止在A处，悬线与竖直方向成300角，现将小球拉至B 点，使悬线水平，并由静止释放，求小球运动到最低点D 时的速度大小变式2：质量为的m 小球连在穿过光滑水平面上的小孔的绳子末端,使小球在平面内绕O 点做半径为a 圆周运动,线速度为v（1）求此时绳子上的拉力A Y（2）若将绳子瞬间放松后又拉直，将做半径为b 的圆周运动，求放松时间 （3）小球做半径为b 的圆周运动时绳子的拉力练习1：如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点 O ，用一根长度m L 40.0=的绝缘细绳把质量为kg m 10.0=、带有正电荷的金属小球悬挂在O 点，小球静止在B 点时细绳与竖直方向的夹角为37=θ。

运用等效法巧解带电粒子在匀强电场中的运动一、等效法将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法。

中学物理中常见的等效变换有组合等效法（如几个串、并联电阻器的总电阻）；叠加等效法（如矢量的合成与分解）；整体等效法（如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动）；过程等效法（如将热传递改变物体的内能等效为做功改变物体的内能）概念的全面类比为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系。

具体对应如下： 等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场 等效重力重力、电场力的合力 等效重力加速度等效重力与物体质量的比值 等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置 等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置 等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积二、题型归类（1）单摆类问题（振动的对称性）例1、如图2-1所示`，一条长为L 的细线上端固定在Ｏ点，下端系一个质量为m 的小球，将它置于一个很大的匀强电场中，电场强度为Ｅ，方向水平向右，已知小球在Ｂ点时平衡，细线与竖直线的夹角为α。

求：当悬线与竖直线的夹角为多大时，才能使小球由静止释放后，细线到竖直位置时，小球速度恰好为零？运动特点：小球在受重力、电场力两个恒力与不做功的细线拉力作用下的运动，对应联想：在重力场只受重力与细线拉力作用下的运动的模型：单摆模型。

等效分析：对小球在B 点时所受恒力力分析（如图2-2），将重力与电场力等效为一个恒力，将 其称为等效重力可得：αcos mgg m ='，小球就做只受“重力”mg ′与绳拉力运动，可等效为单摆运动。

规律应用：如图2-3所示，根据单摆对称运动规律可得，B 点为振动的平衡位置，竖直位置对应小球速度为零是最大位移处，另一最大位移在小球释放位置，根据振动对称性即可得出，当悬线与竖直线的夹角满足αβ2=，小球从这一位置静止释放后至细线到竖直位置时，小球速度恰好为零。

等效重力场法专题训练课前知识回顾1、长为R 的细绳一端固定，另一端栓一质量为m 的小球，小球将在 （位置）静止。

2、圆周运动中的绳模型：用长为R 的细线栓一质量为m 小球，刚好能在竖直平面内做圆周运动，小球运动过程中在 有最小速度，在 （位置）绳有最大拉力，求小球运动过程中的最小速度和绳的最大拉力（重力加速度为g ）。

一、知识拓展例1.如果在场强为E 方向竖直向下的匀强电场中，用长为R 的细线栓一质量为m 小球，而且小球带正电，电量大小为q速度和绳的最大拉力。

变式练习1、 如果上题中小球带负电，电量大小仍为q ，且有mg>Eq ，则小球运动过程中的最小速度和绳的最大拉力？讨论：（1）若mg<Eq 呢？（2）若mg=Eq 呢？2、 如果将例1中电场方向改为水平向右，则小球运动过程中的最小速度和绳的最大拉力？等效重力场方法总结：概念的全面类比:(1)等效重力场 ：重力场、匀强电场叠加而成的复合场(2)等效重力G , ：重力、电场力的(3)等效重力加速度g ,：等效重力与物体质量的(4)等效“最低点”： 物体自由时能处于稳定 状态的位置(5)等效“最高点”: 物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置二、知识迁移：例2.（单摆类）如图所示，一条长为L 的细线，上端固定，下端栓一质量为m 的带电小球，将它置于一匀强电场中，电场强度大小为E ，方向水平小向右。

已知当细线离开竖直位置的偏角为α时，小球处于平衡。

求：（1）小球带何种电荷？ 小球的电量？（2）如果使细线与竖直方向的偏角由α增大到θ，然后将小球由静止释放，则θ为多大时，可使小球到达竖直位置时速度刚好为零？变式练习：若将例2中电场E 突然反向，求细线偏离竖直方向的最大偏角？（α小于三、知识再迁移例3、（直线类）如图所示，在离坡底为L 的山坡上的C 点竖直固定一根直杆，杆高也是L 。

杆上端A 到坡底B 之间有一光滑细绳，一个带电量为q、质量为m 的物体穿心于绳上，整个系统处在水平向右的匀强电场中，已知细线与竖直方向的夹角为θ=30o .若物体从A 点由例4、（抛体类）如图1所示，倾角α=37°的光滑绝缘斜面处于水平向右的匀强电场中，电场强度E= 10 3 N/C ，有一个质量为m =3×10－3 kg 的带电小球，以速度v =1 m/s 沿斜面匀速下滑，求:（1）小球带何种电荷?电荷量为多少?（2）若在小球匀速下滑的某一时刻突然撤去斜面，此后经 t = 0.2 s 小球的位移是多大?(g 取 10 m/s 2 )四、巩固练习1、光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为Ｒ，在其最低点A处放一质量为m的带电小球，整个空间存在匀强电场，小球受到的的电场力大小为√3mg/3，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度v 0 ，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求v 0大小．2、如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用一根长度为l=0.20m的绝缘轻线把质量为m=0.10kg、带有正电荷的金属小球悬挂在O点，小球静止在B点时轻线与竖直方向的夹角为θ=37°。

1、如图所示，倾角的光滑绝缘斜面处于水平向右的匀强电场中，电场强度，有一个质量为的带电小球，以速度沿斜面匀速下滑，求：（1）小球带何种电荷电荷量为多少（2）在小球匀速下滑的某一时刻突然撤去斜面，此后经内小球的位移是多大（取）正电，2、如图所示，一条长为的细线，上端固定，下段拴一质量为的带电小球，将它置于一匀强电场中，电场强度大小为，方向水平向右。

已知当细线偏离竖直位置的夹角为时，小球处于平衡状态，如果使细线的偏转角由增大到，然后将小球由静止开始释放，则：（1）应为多大，才能使在细线到达竖直位置时小球的速度恰好为零；3、光滑绝缘的圆形轨道竖直放置，半径为，在其最低点处放一质量为的带电小球，整个空间存在匀强电场，小球受到的的电场力大小为，方向水平向右，现给小球一个水平向右的初速度，使小球沿轨道向上运动，若小球刚好能做完整的圆周运动，求大小。

4、如图，水平放置的平行金属板间有匀强电场，一根长的绝缘细绳一端固定在点，另一端系有质量为的带电小球，小球原来静止在点，当给小球一个水平速度后，它可以在竖直面内绕点做匀速圆周运动。

若将两板间的电压增大为原来的3倍，求：要使小球从点开始在竖直面内绕点做圆周运动，至少要给小球多大的水平速度在这种情况下，在小球运动过程中细绳所受的最大拉力是多大1减速追匀速1 客车在平直轨道上以20 m/的速度开行，突然发现正前方90m 处有一列货车正以6m/ 的速度沿同一方向匀速运动，于是客车紧急刹车，若客车以1.0 m/2的加速度作匀减速直线运动，直至停下来。

问客车是否会撞到货车上。

2 匀速追减速2一汽车在平直公路上以速度匀速行驶，从某一时刻起汽车开始刹车，加速度大小为a=2m/ 2。

此时，在汽车后面7 处有一自行车以V=4m/的速度匀速运动，求汽车开始刹车后，自行车追上汽车需要的时间。

3 加速追匀速3 一辆汽车在直十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/ 2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。

（选修3-1）第一部分静电场专题1.24 等效场问题一、选择题1．（6分）（2019湖北黄冈三模）内壁光滑、由绝缘材料制成的半径R＝m的圆轨道固定在倾角为θ＝45°的斜面上，与斜面的切点是A，直径AB垂直于斜面，直径MN在竖直方向上，它们处在水平方向的匀强电场中。

质量为m，电荷量为q的小球（可视为点电荷）刚好能静止于圆轨道内的A点，现对在A点的该小球施加一沿圆环切线方向的速度，使其恰能绕圆环完成圆周运动。

g取10m/s2，下列对该小球运动的分析，正确的是（）A．小球可能带负电B．小球运动到N 点时动能最大C．小球运动到B 点时对轨道的压力为0 D．小球初速度大小为10m/s【参考答案】CD【名师解析】此题用“等效重力法”分析，受力如下图所示：小球能静止在A点，故电场力的大小与重力的大小相等，两者合力，方向垂直斜面向下；根据“等效重力法”：等效重力为F合、等效最高点为B点、等效最低点为A点；可将只受重力的竖直平面内的圆周运动规律完全迁移过来；小球能静止在A点，小球受到的电场力为水平向左方向，小球必然带正电，故A错误；小球做圆周运动时，在等效最低点的动能最大，所以小球在A点的动能最大，故B错误；小球恰能绕圆环完成圆周运动，则小球在等效最高点B点由等效重力充当向心力，小球对在B 点对轨道的压力为0，故C正确；小球在等效最高点B点由等效重力充当向心力，由向心力公式得：①，小球从A 点到B点的过程中由动能定理得：②，联立①②代入数据得：v A＝10m/s，故D 正确。

2. （2019安徽江南十校二模）如图所示，竖直平面内有固定的半径为R 的光滑绝缘圆形轨道，水平匀强电场平行于轨道平面向左，P 、Q 分别为轨道上的最高点、最低点，M 、N 分别是轨道上与圆心等高的点。

质量为m 、电荷量为g 的带正电小球(可视为质点)在轨道内运动，已知重力加速度为g ，场强qmgE 43=，要使小球能沿轨道做完整的圆周运动，则下列说法正确的是A.小球在轨道上运动时，动能最小的位置，电勢能最大 B 小球在轨道上运动时，机械能最大的位置一定在M 点 C 小球过Q 、P 点受轨道弹力大小的差值为6mg D.小球过Q 、P 点受轨道弹力大小的差值为7.5mg 【参考答案】BC【名师解析】电场力与重力的合力可视为等效场力=54mg ，则等效重力加速度g’=5g/4，如图所示，tan θ=qE/mg =3/4，θ=37°。

例2：如下图所示，在竖直平面内有水平方向的匀强电场，场强E=1041N C ·-，有一质量m kg =004.，带电荷量Q C =-3105×的小球，用一长度l =04.m 的细线拴住且悬于电场中的O 点，当小球处于平衡位置静止时，问：在平衡位置以多大的初速度释放小球，才能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动？（g m s =-102·）如图所示，在水平向左的匀强电场中，一带电小球用绝缘轻绳(不伸缩)悬于 O 点，平衡时小球位于 A 点，此时绳与竖直方向的夹角 θ ＝53°，绳长为L ， B 、 C 、 D 到 O 点的距离均为L ， BD 水平， OC 竖直． BO ＝ CO ＝ DO ＝L.(1)将小球移到 B 点由静止释放，求小球下摆中的最大速率。

(2)将小球移到 B 点，给小球一竖直向下的初速度 v B ，小球到达悬点正下方 C 点时绳中拉力恰等于小球重力，求 v B 的大小．(3)当小球移到 D 点后，让小球由静止自由释放，求：小球首次经过悬点 O 正下方时的速率．(计算结果可带根号，取sin53°＝0.8)如图14所示，ABCD 为表示竖立放在场强为E=104V/m 的水平匀强电场中的绝缘光滑轨道，其中轨道的BCD 部分是半径为R 的半圆环，轨道的水平部分与半圆环相切A 为水平轨道的一点，而且.2.0m R AB ==把一质量m=100g 、带电q=10－4C 的小球，放在水平轨道的A 点上面由静止开始被释放后，在轨道的内侧运动。

（g=10m/s 2）求：（1）它到达C 点时的速度是多大？ （2）它到达C 点时对轨道压力是多大？ （3）小球所能获得的最大动能是多少？ 答案：（9分）概述：对于本题，无论应用功能关系、动能定理或广义机械能守恒定律观点，只要叙述准确以及对应的方程符合规范，都要给相应的分。

以下仅用动能定律的观点求解，供参考。

） 解：（1）、（2）设：小球在C 点的速度大小是V c ，对轨道的压力大小为N C ，则对于小球由A →C 的过程中，应用动能定律列出：…………………① 在C 点的圆轨道径向应用牛顿第二定律，有：……②解得：………③0212.2-=-C mV mgR R qE RV m qE N C C 2=-s m gR mqERV C /224=-=…………………………④（3）∵mg=qE=1N ∴合场的方向垂直于B 、C 点的连线BC∴合场势能最低的点在BC的中点D 如图：……………………⑤ ∴小球的最大能动E KM ：…………⑥ 11．(19分)如图所示，直角坐标平面Oxy 在竖直平面内，y 轴竖直向上，在第一象限内分布着方向竖直向上的匀强电场，场强大小用E 1表示，在第二象限内分布着方向沿x 轴负方向的匀强电场，场强大小用E 2表示。