逻辑代数的基本定理_基本规则_逻辑函数简化(18)

逻辑代数的运算法则逻辑代数又称布尔代数。

逻辑代数与普通代数有着不同概念，逻辑代数表示的不是数的大小之间的关系，而是逻辑的关系，它仅有0、1两种状态。

逻辑代数有哪些基本公式和常用公式呢？1.变量与常量的关系与运算公式 一、基本公式A·1=AA·0=0或运算公式A+0=A A+1=101律2.与普通代数相似的定律与运算公式A·B=B·A 或运算公式A+B=B+A交换律A·(B·C)=(A·B)·C A+(B+C)=(A+B)+C 结合律A·(B+C)=A·B+A·C A+(B·C)=(A+B)(A+C)分配律3.逻辑代数特有的定律与运算公式或运算公式互补律重叠律（同一律） 反演律（摩根定律）0=⋅A A 1=+A A BA B A +=⋅BA B A ⋅=+ 非非律（还原律）AA =A A A =⋅A A A =+真值表证明摩根定律0001101111111100结论：BA B A +=⋅ 以上定律的证明，最直接的办法就是通过真值表证明。

若等式两边逻辑函数的真值表相同，则等式成立。

【证明】公式1AB A AB =+B A AB +）（B B A += 互补律1⋅=A 01律A= 合并互为反变量的因子【证明】公式2AAB A =+AB A +）（B A +=1 01律A= 吸收多余项【证明】公式3BA B A A +=+B A A +BA AB A ++=B A A A ）（++= 互补律BA += 消去含有另一项的反变量的因子【证明】CA AB BC C A AB +=++BC A A C A AB ）（+++=BC C A AB ++ 分配律BC A ABC C A AB +++= 吸收多余项公式2互补律CA AB += 公式2逻辑代数的运算法则一、基本公式二、常用公式A·1=AA·0=0A+0=A A+1=1 1.变量与常量的关系01律2.与普通代数相似的定律交换律A·B=B·A A+B=B+A结合律 分配律3.逻辑代数特有的定律互补律A·A=A A+A=A 重叠律（同一律）反演律（摩根定律）0=⋅A A 1=+A A BA B A +=⋅BA B A ⋅=+非非律（还原律）AA =AB A AB =+.1AAB A =+.2BA B A A +=+.3CA AB BC C A AB +=++.4A·(B·C )=(A·B )·C A+(B+C )=(A+B )+C A·(B+C )=A·B+A·CA +(B·C )=(A+B )(A+C )谢谢！。

逻辑代数的基本知识 1. 逻辑代数的基本定律根据逻辑变量和逻辑运算的基本定义，可得出逻辑代数的基本定律。

①交换律： A+B = B+A ， A • B = B • A；②结合律： A+(B+C) = (A+B)+ C ， A • (B • C) = (A • B) • C；③分配律: A •(B+C) = A • B+A • C ， A+B • C=(A+B) • (A+C)；④互非定律: A+A = l ，A • A = 0 ；1=+A A ，0=•A A ； ⑤重叠定律（同一定律）：A • A=A， A+A=A ；⑥反演定律(摩根定律）：A • B=A+B 9 A+B=A • B B A B A •=+，B A B A +=•；⑦还原定律: A A = 2. 逻辑代数的基本运算规则 （1）代入规则在逻辑函数表达式中凡是出现某变量的地方都用另一个逻辑函数代替，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。

例如，已知A+AB=A ，将等式中所有出现A 的地方都以函数(C+D)代替则等式仍然成立，即（C+D) + (C+D)B = C+D 。

（2）反演规则对于任意的Y 逻辑式，若将其中所有的“ • ”换成“ + ”换成“ • ”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原函数Y 的反函数，运用它可以简便地求出一个函数的反函数。

运用反演规则时应注意两点： ① 要注意运算符号的优先顺序，不应改变原式的运算顺序。

例：CD B A Y +=应写为))((D C B A Y ++= 证： ))((D C B A CD B A CD B A Y ++=•=+=② 不属于单变量上的非号应保留不变。

例：)(E D C C B A Y•+•= 则[])()(E D C C B A Y ++•++=D C B A Y +•= 则 D C B A Y •++=（3）对偶规则对于任何一个逻辑函数，如果将其表达式Y 中所有的算符“ • ”换成“ + ”换成“ •”，常量 “0”换成换成“0”，而变量保持不变，则得出的逻辑函数式就是Y 的对偶式，记为Y’。

逻辑函数（布尔代数）运算规则根据逻辑变量和逻辑运算的基本定义，可得出逻辑代数的基本定律。

一、逻辑运算基本公式1.逻辑常量运算公式·与运算：111 001 010 000=⋅=⋅=⋅=⋅·或运算：111 101 110 000=+=+=+=+ ·非运算：10 01==2.逻辑变量、常量运算公式·0-1律：⎩⎨⎧=⋅=+A A A A 10 ⎩⎨⎧=⋅=+0011A A ·互补律： 0 1=⋅=+A A A A·等幂律：A A A A A A =⋅=+ ·双重否定律：A A =3.逻辑代数的基本定律(1)与普通代数相似的定律·交换律：⎩⎨⎧+=+⋅=⋅A B B A A B B A ·结合律：⎩⎨⎧++=++⋅⋅=⋅⋅)()()()(C B A C B A C B A C B A·分配律：⎩⎨⎧+⋅+=⋅+⋅+⋅=+⋅)()()(C A B A C B A C A B A C B A 利用真值表很容易证明这些公式的正确性。

如证明A·B=B·A ：(2)吸收律·还原律：⎩⎨⎧=+⋅+=⋅+⋅AB A B A A B A B A )()( ·吸收率：⎪⎩⎪⎨⎧+=⋅+⋅=+⋅⎩⎨⎧=+⋅=⋅+BA B A A B A B A A A B A A A B A A )( )( ·冗余律：C A AB BC C A AB +=++(3)摩根定律反演律（摩根定律）：⎪⎩⎪⎨⎧⋅=++=⋅BA B A B A B A . 二、逻辑代数的三个重要规则1.代入规则：任何一个含有变量A 的等式，如果将所有出现A 的位置（包括等式两边）都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。

这个规则称为代入规则。

2.反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y ，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y 的反函数Y （或称补函数）。

逻辑代数的基本定律及规则文章来源：互联网作者：佚名发布时间：2012年05月26日浏览次数： 1 次评论：[已关闭] 功能：打印本文一、逻辑代数相等：假定Ｆ、Ｇ都具有ｎ个相同变量的逻辑函数，对于这ｎ个变量中的任意一组输入，如Ｆ和Ｇ都有相同的输出值，则称这两个函数相等。

在实际中，可以通过列真值表来判断。

二、逻辑代数的基本定律：在逻辑代数中，三个基本运算符的运算优先级别依次为：非、与、或。

由此推出10个基本定律如下：1.交换律Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ；Ａ·Ｂ＝Ｂ·Ａ2.结合律Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）＝（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ；Ａ·（ＢＣ）＝（ＡＢ）·Ｃ3.分配律Ａ·（Ｂ＋Ｃ）＝ＡＢ＋ＡＣ；Ａ＋ＢＣ＝（Ａ＋Ｂ）·（Ａ＋Ｃ）4.0－1律Ａ＋0＝Ａ；Ａ·1＝ＡＡ＋1＝1 ；Ａ·0＝05.互补律Ａ＋＝1 ；Ａ·＝06.重叠律Ａ·Ａ＝Ａ；Ａ＋Ａ＝Ａ7.对合律＝Ａ8.吸收律Ａ＋ＡＢ＝Ａ；Ａ·（Ａ＋Ｂ）＝ＡＡ＋Ｂ＝Ａ＋Ｂ；Ａ·（＋Ｂ）＝ＡＢＡＢ＋Ｂ＝Ｂ；（Ａ＋Ｂ）·（＋Ｂ）＝Ｂ9.反演律＝·；＝＋10.多余项律ＡＢ＋Ｃ＋ＢＣ＝ＡＢ＋Ｃ；(Ａ＋Ｂ）·（＋Ｃ）·（Ｂ＋Ｃ）＝（Ａ＋Ｂ）·（＋Ｃ）上述的定律都可用真值表加以证明，它们都可以用在后面的代数化简中。

三、逻辑代数的基本规则：逻辑代数中有三个基本规则：代入规则、反演规则和对偶规则。

1.代入规则：在任何逻辑代数等式中，如果等式两边所有出现某一变量（如Ａ）的位置都代以一个逻辑函数（如Ｆ），则等式仍成立。

利用代入规则可以扩大定理的应用范围。

例：＝＋，若用Ｆ＝ＡＣ代替Ａ，可得＝＋＋2.反演规则：已知函数Ｆ，欲求其反函数时，只要将Ｆ式中所有的“·”换成“＋”，“＋”换成“·”；“0”换成“1”，“1”换成“0”时，原变量变成反变量，反变量变成原变量，便得到。

逻辑代数的基本运算规则有逻辑代数是一门研究命题和命题之间关系的学科，它通过对命题进行逻辑运算，从而得到新的命题。

逻辑代数的基本运算规则包括与运算、或运算、非运算和异或运算。

与运算是逻辑代数中最基本的运算之一，它表示两个命题同时为真时，结果才为真。

与运算的运算规则是简单直接的，即如果两个命题都为真，则结果为真；否则，结果为假。

例如，假设有两个命题P和Q，其中P表示“今天下雨”，Q表示“我带伞”，那么P与Q的与运算结果可以表示为P ∧ Q。

当且仅当P和Q都为真时，P ∧ Q的结果为真。

或运算是逻辑代数中另一个重要的运算，它表示两个命题中至少有一个为真时，结果为真。

或运算的运算规则是通过考虑两个命题的真值来确定的。

如果两个命题中至少有一个为真，则结果为真；否则，结果为假。

例如，假设有两个命题P和Q，其中P表示“今天下雨”，Q表示“我带伞”，那么P和Q的或运算结果可以表示为P ∨ Q。

当且仅当P和Q中至少有一个为真时，P ∨ Q的结果为真。

非运算是逻辑代数中的一种运算，它表示对一个命题的否定。

非运算的运算规则是简单明了的，即如果一个命题为真，则其否定为假；反之，如果一个命题为假，则其否定为真。

例如，假设有一个命题P表示“今天下雨”，那么P的否定可以表示为¬P。

当且仅当P为假时，¬P的结果为真。

异或运算是逻辑代数中的一种特殊运算，它表示两个命题中只有一个为真时，结果为真。

异或运算的运算规则是通过考虑两个命题的真值来确定的。

如果两个命题中只有一个为真，则结果为真；否则，结果为假。

例如，假设有两个命题P和Q，其中P表示“今天下雨”，Q表示“我带伞”，那么P和Q的异或运算结果可以表示为P ⊕ Q。

当且仅当P和Q中只有一个为真时，P ⊕ Q的结果为真。

以上是逻辑代数中基本运算规则的介绍。

在实际应用中，逻辑代数可以用于电路设计、计算机科学、数学推理等领域。

逻辑代数的基本运算规则是这些应用的基础，通过对命题进行与运算、或运算、非运算和异或运算，我们可以得到更复杂的命题，进而进行更深入的推理和分析。

逻辑代数基本公式逻辑代数是一种用于逻辑项的数学工具。

在逻辑代数中，有许多基本公式，这些公式是我们进行逻辑运算必须掌握并灵活运用的工具。

首先，我们要介绍逻辑代数的基本运算符：与（∧）、或（∨）、非（¬）。

其中，“与”表示两个命题都成立的情况，“或”表示两个命题中至少有一个成立的情况，“非”则是指命题的否定。

接下来，我们要介绍逻辑代数的基本公式：1.德摩根定律德摩根定律是逻辑代数中最经典的公式之一。

它的形式如下：（¬A）∨（¬B）=¬（A∧B）（¬A）∧（¬B）=¬（A∨B）这个定律的意义在于，将“非”运算符从一个命题移到另一个上时，必须同时改变并置换“与”和“或”运算符。

例如：“既不是A也不是B”等价于“不是（A和B）”。

2.分配律分配律的形式如下：A∧（B∨C）=（A∧B）∨（A∧C）A∨（B∧C）=（A∨B）∧（A∨C）分配律在进行逻辑运算时非常实用。

例如，可以将一个复杂的命题转化为一个简单的命题，从而更容易理解。

3.结合律结合律的形式如下：（A∧B）∧C=A∧（B∧C）（A∨B）∨C=A∨（B∨C）结合律指的是，多个有相同运算符的命题可以成员结合在一起。

例如，（A∧B）∧C 等价于A∧（B∧C）。

4.交换律交换律的形式如下：A∧B=B∧AA∨B=B∨A交换律指的是命题中多个项之间可以交换位置，而不影响命题的结论。

例如，A∧B 等价于B∧A。

5.对偶原理对偶原理是基于真值表同构的，它用于将一个表达式的真值表中0 和 1 互换，统称为互为对偶。

其公式如下：¬(A∧B) = ¬A ∨ ¬B¬(A∨B) = ¬A ∧ ¬B其中，左侧是原式，右侧是公式的对偶形式。

逻辑代数中的这些基本公式，可以帮助我们更加容易地进行逻辑运算，简化逻辑命题，并且在实践中具有广泛的应用。

我们应该认真学习这些公式，并对其进行灵活的运用。

逻辑函数代数的运算法则逻辑函数代数的运算法则包括以下几个方面：1. 否定律（Negation Law）：对于任意逻辑函数f(x)，有f(x')= f'(x)，即一个逻辑函数的否定等于其补函数。

2. 同一律（Identity Law）：对于任意逻辑函数f(x)，有f(x, x) = f(x)，即逻辑函数与自身进行“与”运算其结果不变。

3. 不变律（Null Law）：对于任意逻辑函数f(x)，有f(x, 1) =f(x)，f(x, 0) = 0，即逻辑函数与真值1进行“与”运算结果不变，与假值0进行“与”运算结果为0。

4. 吸收律（Absorption Law）：对于任意逻辑函数f(x)和g(x)，有f(x, f(x, g(x))) = f(x, g(x))，f(x, g(x, f(x))) = f(x)，即逻辑函数与自身进行“或”运算不变，进行“与”运算在错误情况下也能保持结果。

5. 分配律（Distribution Law）：对于任意逻辑函数f(x)，g(x)，h(x)，有f(x, g(x, h(x))) = f(x, g(x))，f(x, g(x)) ' h(x) = f(x, g(x)) 'f(x, h(x))，即逻辑函数的“与”操作在“或”操作上分配，相同地，“或”操作在“与”操作上分配。

6. 排中律（Excluded Middle Law）：对于任意逻辑函数f(x)，有f(x) ' f(x') = 1，即一个逻辑函数与其否定进行“或”运算的结果为真值1。

7. 确定律（Definition Law）：对于任意逻辑函数f(x)和g(x)，有f(x) = g(x) 当且仅当f(x) ' g(x) = 0和f(x) ' g’(x) = 0，即两个逻辑函数相等当且仅当它们的真值表相同。

这些运算法则在逻辑函数代数中起到了重要的作用，通过这些法则可以化简和优化逻辑函数的表达式，方便逻辑电路的设计和分析。

逻辑代数的基本规则
逻辑代数是一种数学系统，用于处理逻辑关系。

以下是逻辑代数的基本规则：
1. 0 和1 规则：0 和1 分别代表逻辑中的假和真。

2. 与运算规则（AND）：如果A 和B 都是真，则A AND B 为真；如果A 和B 中至少有一个为假，则A AND B 为假。

3. 或运算规则（OR）：如果A 或B 中至少有一个为真，则A OR B 为真；如果A 和B 都为假，则A OR B 为假。

4. 非运算规则（NOT）：如果A 为真，则NOT A 为假；如果
A 为假，则NOT A 为真。

5. 分配律：A (B OR C) = (A B) OR (A C)，A (B AND C) = (A B) AND (A C)。

6. 结合律：(A OR B) OR C = A OR (B OR C)，(A AND B) AND C =
A AND (
B AND C)。

7. 交换律：A OR B = B OR A，A AND B = B AND A。

8. 吸收律：A OR A = A，A AND A = A。

9. 互补律：A OR NOT A = 1，A AND NOT A = 0。

10. 德摩根定律：NOT (A OR B) = (NOT A) AND (NOT B)，NOT
(A AND B) = (NOT A) OR (NOT B)。

逻辑代数的基本规则1. 代⼊规则在任何⼀个逻辑等式中，如果将等式两边出现的某变量 A，都⽤⼀个函数代替，则等式依然成⽴，这个规则称为代⼊规则。

2. 反演规则根据摩根定理，由原函数 L 的表达式，求它的⾮函数 ! A 时，可以将 L 中的与(&&)换成或(||)，或(||)换成与(&&)；再将原变量换为⾮变量(如A 换成 ! A)，⾮变量换为原变量；并将 1 换成 0，0 换成 1；那么所得的逻辑函数式就是 ! L。

这个规则称为反演规则。

利⽤反演规则，可以⽐较容易地求出⼀个原函数的⾮函数。

运⽤反演规则时必须注意以下两个原则：(1) 保持原来的运算优先级，即先进⾏与运算，后进⾏或运算。

并注意优先考虑括号内的运算。

(2) 对于反变量以外的⾮号应保留不变。

1 In[34]:= L = \[Not] A \[And] \[Not] B \[Or] F \[And] G \[Or] False23 Out[34]= (! A && ! B) || (F && G)45 In[35]:=6 \!\(\*OverscriptBox[\(L\), \(_\)]\) = (A \[Or]7 B) \[And] (\[Not] F \[Or] \[Not] G) \[And] True89 Out[35]= (A || B) && (! F || ! G)1011 In[36]:= L =12 A \[Or] \[Not] (B \[And] \[Not] F \[Or] \[Not] (G \[Or] \[Not] H))1314 Out[36]= A || ! ((B && ! F) || ! (G || ! H))1516 In[37]:=17 \!\(\*OverscriptBox[\(L\), \(_\)]\) = \[Not]18 A \[And] \[Not] ((\[Not] B \[Or]19 F) \[And] \[Not] (\[Not] G \[And] H))2021 Out[37]= ! A && ! ((! B || F) && ! (! G && H))3. 对偶规则设 L 是⼀个逻辑表达式，若把 L 中的与(&&)换成或(||)，或(||)换成与(&&)；True 换成 False，False 换成 True，那么就得到⼀个新的逻辑函数式，这就是 L 的对偶式，记作 L'。