格致中学2021
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上海市格致中学2010学年度第一学期期中考试高三年级数学（理科）试卷
（测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷）
一、填空题（本大题满分56分）：本大题共有14题，每个空格填对得4分，填错或不填一律得零分.
1．已知矩阵221aM，其中Ra，点(1,2)P在矩阵M的变换下得到点)0,4('P，则实数a= .
2．函数()3sincosfxaxax(0)a的最小正周期为，最大值为b，则logab ___ .
3．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如右图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n的值为 _____.
4．已知5()ax的展开式中2x的系数为1k，41xa（,0aRa）的展开式中x的系数为2k，则12kk_____________.
5．已知函数()yfx是定义在R上的奇函数，且满足(2)()fxfx，又当(0,1)x时，()21xfx，则12(log6)f的值等于__________________.
6．cos()cos(30)xfxx，则125859ffff
____.
7．不等式2313xxaa对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________.
8．某校选派A、B两个班参加一次社会活动，其中A班有学生40名，其中男生24人；B班有学生50名，其中女生30人，现从A、B两班各找一名学生进行问卷调查，则找出的学生是一男一女的概率为 ____.
9．已知函数2()logfxx，等比数列{}na的首项10a，公比2q，若246810()25faaaaa，则122009()()()2fafafa ____ .
10．阅读下列材料:若两个正实数12,aa满足12221aa，那么221aa.证明:构造函数1)(22)()()(2122221xaaxaxaxxf，因为对一切实数x，恒有0)(xf，所以0，从而得08)(4221aa，所以221aa.根据上述证明方法，若n个正实数满足122221naaa时，你能得到的结论为 .
11．已知抛物线21:2Cypx和圆2222:24ppCxy，其中0p，直线l经过1C的焦点，依次交1C，2C于,,,ABCD四点，则CDAB的值为_____________.
12．已知P是ABC内任一点，且满足APxAByAC，x、yR，则2yx的取值
范围是 ___ . 元 频率
组距
20 30 40 50 60 0.01 0.036
0.024 13．已知以4T为周期的函数()fx在(13]，上的解析式为2(1||),(1,1]()1(2),(1,3]mxxfxxx，其中0m，若方程3()fxx恰有5个实数解，则m的取值范围为______________.
14．定义函数()[[]]fxxx，其中[]x表示不超过x的最大整数，如:[1.5]1[1.3]2，，当*[0)()xnnN，时，设函数()fx的值域为A，记集合A中的元素个数为na，则式子90nan的最小值为 .
二、选择题（本大题满分16分）：本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，每题选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个，一律得零分.
15．“18a”是“对任意的正数x，21axx”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
16．若322，则直线1cossinxy必不经过 （ ）
A．第一象限; B．第二象限; C．第三象限; D．第四象限.
17．对于数列{}na，若存在常数M，使得对任意*nN，na与1na中至少有一个不小于M，则记作{}naM，那么下列命题正确的是 （ ）
A．若{}naM，则数列{}na各项均大于或等于M
B．若{}naM，则22{}naM
C． 若{}naM，{}nbM，则{}2nnabM
D．若{}naM，则{21}21naM
18．如图E所示，是由底为1、高为1的等腰三角形及底为1、高分别为2和3的两个矩形所构成，函数()(0)SSaa是图形E介于平行线0y及ya之间的那一部分面积，则函数()Sa的图形大致为（ ）
三、解答题（本大题满分78分）：本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.
19．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分）
已知以角B为钝角的ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，(,2)mab，(1,sin)nA，且mn.
（1）求角B的大小；
（2）求sincosAC的取值范围. DCBAP20．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题5分，第3小题5分）
如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或C.已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。
某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到,,ABC.则分别设为1,2,3等奖。
（1）求投入小球1次获得1等奖的概率；
（2）已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随机变量为获得(1,2,3)kk等奖的折扣率.求随机变量的分布列及数学期望E；
（3）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次.求(2)P.（即求3次中有二次获得1等奖或2等奖的概率）
21．（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，且//ABCD，90BAD，2PAADDC，4AB.
（1）求证:BCPC；
（2）求PB与平面PAC所成的角的正弦值；
（3）求点A到平面PBC的距离.
22 （本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）
设数列na的前n项和为nS，对一切*nN，点,nSnn都在函数()1fxx的图像上.
（1）求数列na的通项公式；
（2）将数列na依次按1项、2项、3项、4项循环地分为1a，23,aa，456,,aaa，78910,,,aaaa；11a，1213,aa，141516,,aaa，17181920,,,aaaa；21a，…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为nb，求5100bb的值；
（3）设nA为数列1nnaa的前n项积，若不等式3112nnAafaa对一切*nN都成立，求a的取值范围.
23 （本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知抛物线2:2(0)Cypxp上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过焦点F的直线交抛物线于,MN两点，M在第一象限，且2MFNF，求直线MN的方程；
（3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.
例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”。求出体积163后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为163，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为163，求所有侧面面积之和的最小值”。
现有正确命题:过点(,0)2pA的直线交抛物线2:2(0)Cypxp于,PQ两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过焦点F.
试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题. 格致中学 二〇一〇学年度第一学期期中考试
高三年级 数学（理科）试卷
（测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷）
一、填空题（本大题满分56分）：本大题共有14题，每个空格填对得4分，填错或不填一律得零分.
1．已知矩阵221aM，其中Ra，点(1,2)P在矩阵M的变换下得到点)0,4('P，则实数a= .
【答案】3.
【解析】由214,224,32120aaa.
2．函数()3sincosfxaxax(0)a的最小正周期为，最大值为b，则logab ___ .
【答案】1.
【解析】因π()2sin6fxax的最小正周期为，最大值为b，故2,2ab，log1ab.
3．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如右图所示，其中支出在[50,60)元的同学有30人，则n的值为 _____.
【答案】100.
【解析】[50,60)这一组的频率为
1(0.0360.0240.01)100.3，故301000.3n.
4．已知5()ax的展开式中2x的系数为1k，41xa（,0aRa）的展开式中x的系数为2k，则12kk_____________.
【答案】40.
【解析】211254CC40kk.
5 已知函数()yfx是定义在R上的奇函数，且满足(2)()fxfx，又当(0,1)x时，
()21xfx，则12(log6)f的值等于__________________.
【答案】12.
6 cos()cos(30)xfxx，则125859ffff
____.
【答案】5932.
【解析】首尾配对，如cos1cos592cos30cos29(1)(59)3cos29cos29cos29ff， 元 频率
组距
20 30 40 50 60 0.01 0.036
0.024
