椭圆中点弦的一个性质

椭圆、双曲线中心弦和中点弦性质及应用

一、题目来源

1、人教A版选修性必修第一册第108页例3

如图，设点A、B两点的坐标分别是），（），（05,05BA，直线AM和直线BM相交于点M。且他们的斜率之积为94-，求点M的轨迹方程。

2、人教A版选修性必修第一册第121页探究

如图，设点A、B两点的坐标分别是），（），（05,05BA，直线AM和直线BM相交于点M。且他们的斜率之积为94-，求点M的轨迹方程，并由点M的轨迹方程判断轨迹的形状，与第108页例3比较，你有什么发现。

二、关于椭圆、双曲线的“12e”

（一）椭圆和双曲线中心弦的性质：（以焦点在x轴为例）

1、椭圆：若AB是椭圆22221(0)xyabab的中心弦（过对称中心的弦），设P点是椭圆上的任一点，若PA、PB的斜率均存在，则1222eabkkPBPA—；

2、双曲线：若AB是双曲线)0,0(12222babyax的中心弦（过对称中心的弦），设P点是双曲线上的任一点，若PA、PB的斜率均存在，则1222eabkkPBPA

（二）椭圆和双曲线中心弦的性质：（以焦点在x轴为例）

1、椭圆：若AB是椭圆22221(0)xyabab的一条不过椭圆中心的弦，设M是线段AB的中点，O是坐标原点，若OM、AB的斜率均存在，则1222eabkkABOM—；

2、双曲线：若AB是双曲线)0,0(12222babyax的一条不过双曲线中心的弦，设M是线段AB的中点，O是坐标原点，若OM、AB的斜率均存在，则1222eabkkABOM；

（三）中点弦和中心弦性质之间的联系：（以焦点在x轴的椭圆为例） 如图，若AB是椭圆22221(0)xyabab的一条不过椭圆中心的弦，设M是线段AB的中点，O是坐标原点，若OM、AB的斜率均存在，则1222eabkkABOM—（中点弦性质）；

椭圆和双曲线的中点弦公式简介

【示例范文 仅供参考】

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椭圆和双曲线的中点弦公式是一个用于计算椭圆和双曲线中点弦的公式。

对于椭圆和双曲线，一条弦是连接两个点的线段。中点弦是连接弦的中点和曲线上的某一点的线段。

假设我们要计算椭圆或双曲线上的点 P 到弦 AB 中点 M 的距离 d。则可以使用下面的中点弦公式：

对于椭圆： d = sqrt(a^2 - h^2) * sqrt(b^2 - h^2) / c

对于双曲线： d = sqrt(h^2 - a^2) * sqrt(h^2 - b^2) / c

其中，a、b、c 分别为椭圆或双曲线的半长轴、半短轴和离心率，h 为弦 AB 与椭圆或双曲线中心连线的长度的一半。

使用该公式可以方便地计算中点弦距离，从而对于椭圆或双曲线上的点进行进一步的图形分析和计算。

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！ 椭圆与双曲线中点弦斜率公式及其推论

圆锥曲线中点弦问题是问题在高考中的一个常见的考点.其解题方法一般是利用点差法和韦达定理，设而不求.但一般来说解题过程是相当繁琐的.若能巧妙地利用下面的定理则可以方便快捷地解决问题.

定理1(椭圆中点弦的斜率公式)：设00(,)Mxy为椭圆22221xyab弦AB（AB不平行y轴）的中点，则有：22ABOMbkka

证明：设11(,)Axy，22(,)Bxy，则有1212AByykxx，22112222222211xyabxyab 两式相减得：22221212220xxyyab整理得：2221222212yybxxa，即2121221212()()()()yyyybxxxxa，因为00(,)Mxy是弦AB的中点，所以0012001222OMyxyykxyxx，所以22ABOMbkka

定理2(双曲线中点弦的斜率公式)：设00(,)Mxy为双曲线22221xyab弦AByxMF1F2OAB

每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！ （AB不平行y轴）的中点，则有22ABOMbkka

证明：设11(,)Axy，22(,)Bxy，则有1212AByykxx，22112222222211xyabxyab

⾼中数学：中点弦问题

⼀、⽤点差法求斜率及常⽤公式

在圆锥曲线中涉及弦中点问题，如果涉及斜率，则常⽤点差法求斜率，关于点差法求斜率的⽅法，证明过程如下：

这是⼀个标准的点差法求斜率的例题，不过需要注意最后的结论，

因为⽅法过程简单但是繁琐，在⼩题⾥⾯可以直接利⽤结论来求

出相关的斜率，常⽤结论如下：

⼆、利⽤导数法求解中点弦问题

探究：在点差法中我们设了两个点，每个点中⼜有两个量，能不能减少未知量的个数，利⽤中点坐标公式我们可以将四个未知量变成两个，如下：

从图左中可以看出点A其实是两个椭圆的对称点，⽽过A点的直线则是两个椭圆的公共弦，两个

椭圆式⼦相减得到公共弦，这跟两个圆⽅程相减得到相交弦⽅程⼀样。

那么如果点A的位置不在椭圆内⽽在椭圆上的话，从上⾯可知点A依旧是两椭圆的对称点，此时

两个椭圆的位置关系相切，如上图右。

所以上⾯的结论可以直接⽤来写出椭圆的切线⽅程，当然先⽤导数求得斜率，再⽤点斜式写出

切线⽅程也可以，只不过没有上⾯的结论简洁直接，但是这跟⽤导数法求斜率有什么关系？我们继续以这个例题为例：

很多学⽣问点A⼜不在椭圆上，为什么求导可以直接代⼊点A呢，其实很简单，点A虽然不在椭

圆上，但是⼀定在把椭圆按⽐例缩⼩的椭圆上，此时对缩⼩之后的椭圆进⾏求导可以发现不改

变原椭圆⽅程求导之后的结果，因此可以直接对原椭圆⽅程进⾏求导，代⼊点求得过点A的直线的斜率。