2016-2017新人教第21章一元二次方程教案

《解一元二次方程（公式法）》教学设计（新人教版第二十一章第二节）内容解析：公式法是解一元二次方程的基本方法，它利用了配方法解一元二次方程一般形式的结果，省略了配方过程，使计算更加直接，且具有普适性。

课标要求“能用公式法解数字系数的一元二次方程”，“会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两2 取值的讨个实数根是否相等”。

在用配方法进行公式推导时，学生往往忽视对acb4论，而此讨论又是分类思想的重要渗透，判别式的应用也在此得以体现，应加以强化。

学情分析：①学生认识基础：学生通过前几节课的学习，了解了一元二次方程的概念和一般形式,并且已经能够熟练地将一元二次方程化成它们的一般形式；在本章第二节学生又学习了利用配方法解一元二次方程，这为本节课理解求根公式的应用条件奠定了基础。

②学生活动经验基础：学生在前几册已经学习了一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等的方法，同时积累了一些解方程的经验，并且在学习中学习中不断强化着转化的思想，这些都为本节课的学习奠定了基础，同时教材又提供了丰富的实际问题情境，有利于激发学生的参与热情与兴趣。

教学目标知识与技能1、理解一元二次方程求根公式的推导过程；2、会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况；3、熟练地使用求根公式解一元二次方程。

过程与方法1、通过探究一元二次方程的求根公式，提高学生的观察能力、分析问题能力，同时培养学生的数学建模意识和合情推理能力；2、通过正确、熟练地使用求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力；3、通过探究求根公式的推导及应用过程，获得成功的数学体验，增强信心。

情感态度与价值观1、探究公式的过程中，通过沟通交流进一步发展学生的合作意识和能力，让学生体验数学活动充满着创造和乐趣；2、发展学生独立思考、用于探究的创新精神，向学生渗透转化思想，让学生感受数学中的内在美。

教学重难点【重点】理解一元二次方程的求根公式的推导过程；认知根的判别式和求根公式；应用公式法解一元二次方程。

初中数学人教版九年级上册实用资料第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念．2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解．重点通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题．难点一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．活动1 复习旧知1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1x＋1＝0 (4)x 2＝13．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知 根据题意列方程．1．教材第2页 问题1.提出问题：(1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？(2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程． 2．教材第2页 问题2.提出问题：(1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？(2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？(3)如果有x 个队参赛，一共比赛多少场呢？3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数．提出问题：本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？ 活动3 归纳概念 提出问题：(1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？(2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？(3)归纳一元二次方程的概念．1．一元二次方程：只含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________，这样的________方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．提出问题：(1)一元二次方程的一般形式有什么特点？等号的左、右分别是什么？(2)为什么要限制a≠0，b，c可以为0吗？(3)2x2－x＋1＝0的一次项系数是1吗？为什么？3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(根)．活动4例题与练习例1在下列方程中，属于一元二次方程的是________．(1)4x2＝81；(2)2x2－1＝3y；(3)1x2＋1x＝2；(4)2x2－2x(x＋7)＝0.总结：判断一个方程是否是一元二次方程的依据：(1)整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)含有未知数的项的最高次数是2.注意有些方程化简前含有二次项，但是化简后二次项系数为0，这样的方程不是一元二次方程．例2教材第3页例题．例3以－2为根的一元二次方程是()A．x2＋2x－1＝0 B．x2－x－2＝0C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0总结：判断一个数是否为方程的解，可以将这个数代入方程，判断方程左、右两边的值是否相等．练习：1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是关于x的一元二次方程，那么a的取值范围是________．2．将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)4x2＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.3．教材第4页练习第2题．4．若－4是关于x的一元二次方程2x2＋7x－k＝0的一个根，则k的值为________．答案：1.a≠1；2.略；3.略；4.k＝4.活动5课堂小结与作业布置课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程吗？作业布置教材第4页习题21.1第1～7题.21.2解一元二次方程21．2.1配方法(3课时)第1课时直接开平方法理解一元二次方程“降次”——转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax 2＋c ＝0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a(ex ＋f)2＋c ＝0型的一元二次方程．重点运用开平方法解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程，领会降次——转化的数学思想． 难点通过根据平方根的意义解形如x 2＝n 的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x ＋m)2＝n(n ≥0)的方程．一、复习引入学生活动：请同学们完成下列各题． 问题1：填空(1)x 2－8x ＋________＝(x －________)2；(2)9x 2＋12x ＋________＝(3x ＋________)2；(3)x 2＋px ＋________＝(x ＋________)2.解：根据完全平方公式可得：(1)16 4；(2)4 2；(3)(p 2)2 p2.问题2：目前我们都学过哪些方程？二元怎样转化成一元？一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次如何转化成一次？怎样降次？以前学过哪些降次的方法？二、探索新知上面我们已经讲了x 2＝9，根据平方根的意义，直接开平方得x ＝±3，如果x 换元为2t ＋1，即(2t ＋1)2＝9，能否也用直接开平方的方法求解呢？(学生分组讨论)老师点评：回答是肯定的，把2t ＋1变为上面的x ，那么2t ＋1＝±3 即2t ＋1＝3，2t ＋1＝－3 方程的两根为t 1＝1，t 2＝－2例1 解方程：(1)x 2＋4x ＋4＝1 (2)x 2＋6x ＋9＝2分析：(1)x 2＋4x ＋4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为(x ＋2)2＝1. (2)由已知，得：(x ＋3)2＝2直接开平方，得：x ＋3＝±2 即x ＋3＝2，x ＋3＝－ 2所以，方程的两根x 1＝－3＋2，x 2＝－3－ 2 解：略．例2 市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10 m 2提高到14.4 m 2，求每年人均住房面积增长率．分析：设每年人均住房面积增长率为x ，一年后人均住房面积就应该是10＋10x ＝10(1＋x)；二年后人均住房面积就应该是10(1＋x)＋10(1＋x)x ＝10(1＋x)2解：设每年人均住房面积增长率为x ，则：10(1＋x)2＝14.4 (1＋x)2＝1.44直接开平方，得1＋x ＝±1.2 即1＋x ＝1.2，1＋x ＝－1.2所以，方程的两根是x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x 2＝－2.2应舍去． 所以，每年人均住房面积增长率应为20%.(学生小结)老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？共同特点：把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．三、巩固练习教材第6页练习．四、课堂小结本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那么x＝±p转化为应用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝±p，达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.第2课时配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤．重点讲清直接降次有困难，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解题步骤．难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．一、复习引入(学生活动)请同学们解下列方程：(1)3x2－1＝5(2)4(x－1)2－9＝0(3)4x2＋16x＋16＝9(4)4x2＋16x＝－7老师点评：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p(p≥0)．如：4x2＋16x＋16＝(2x＋4)2，你能把4x2＋16x＝－7化成(2x＋4)2＝9吗？二、探索新知列出下面问题的方程并回答：(1)列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？(2)能否直接用上面前三个方程的解法呢？问题：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，求场地的长和宽各是多少？(1)列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x 的完全平方式而后二个不具有此特征．(2)不能．既然不能直接降次解方程，那么，我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程，下面，我们就来讲如何转化：x2＋6x－16＝0移项→x2＋6x＝16两边加(6/2)2使左边配成x2＋2bx＋b2的形式→x2＋6x＋32＝16＋9左边写成平方形式→(x＋3)2＝25降次→x＋3＝±5即x＋3＝5或x＋3＝－5解一次方程→x1＝2，x2＝－8可以验证：x1＝2，x2＝－8都是方程的根，但场地的宽不能是负值，所以场地的宽为2m ，长为8 m .像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1 用配方法解下列关于x 的方程： (1)x 2－8x ＋1＝0 (2)x 2－2x －12＝0分析：(1)显然方程的左边不是一个完全平方式，因此，要按前面的方法化为完全平方式；(2)同上．解：略． 三、巩固练习教材第9页 练习1，2.(1)(2)．四、课堂小结 本节课应掌握：左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程的方程．五、作业布置教材第17页 复习巩固2，3.(1)(2)．第3课时 配方法的灵活运用了解配方法的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤． 通过复习上一节课的解题方法，给出配方法的概念，然后运用配方法解决一些具体题目．重点讲清配方法的解题步骤． 难点对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，通常把常数项移到方程右边后，两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程，要先化二次项系数为1，再用配方法求解．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)x 2－4x ＋7＝0 (2)2x 2－8x ＋1＝0 老师点评：我们上一节课，已经学习了如何解左边不含有x 的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题，那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：略． (2)与(1)有何关联？ 二、探索新知讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)先将已知方程化为一般形式； (2)化二次项系数为1； (3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x ＋p)2＝q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x ＝－p±q ；如果q ＜0，方程无实根．例1解下列方程：(1)2x2＋1＝3x(2)3x2－6x＋4＝0(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．解：略．三、巩固练习教材第9页练习2.(3)(4)(5)(6)．四、课堂小结本节课应掌握：1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性．在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到．五、作业布置教材第17页复习巩固3.(3)(4)．补充：(1)已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，求x＋y＋z的值．(2)求证：无论x，y取任何实数，多项式x2＋y2－2x－4y＋16的值总是正数.21.2.2公式法理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推导，并应用公式法解一元二次方程．重点求根公式的推导和公式法的应用．难点一元二次方程求根公式的推导．一、复习引入1．前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法”，比如，方程(1)x2＝4(2)(x－2)2＝7提问1这种解法的(理论)依据是什么？提问2这种解法的局限性是什么？(只对那种“平方式等于非负数”的特殊二次方程有效，不能实施于一般形式的二次方程．)2．面对这种局限性，怎么办？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能够“直接开平方”的形式．)(学生活动)用配方法解方程2x2＋3＝7x(老师点评)略总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)．(1)先将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x ＋p)2＝q 的形式，如果q ≥0，方程的根是x ＝－p±q ；如果q ＜0，方程无实根．二、探索新知 用配方法解方程：(1)ax 2－7x ＋3＝0 (2)ax 2＋bx ＋3＝0如果这个一元二次方程是一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，试推导它的两个根x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac2a(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a ，b ，c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2＋bx ＝－c二次项系数化为1，得x 2＋b a x ＝－ca配方，得：x 2＋b a x ＋(b 2a )2＝－c a ＋(b2a )2即(x ＋b 2a )2＝b 2－4ac4a 2∵4a 2>0，当b 2－4ac ≥0时，b 2－4ac4a 2≥0∴(x ＋b 2a )2＝(b 2－4ac 2a)2直接开平方，得：x ＋b2a ＝±b 2－4ac 2a即x ＝－b±b 2－4ac2a∴x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a ，x 2＝－b －b 2－4ac 2a由上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根由方程的系数a ，b ，c 而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0，当b 2－4ac ≥0时，将a ，b ，c 代入式子x ＝－b±b 2－4ac2a就得到方程的根．(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 公式的理解(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 例1 用公式法解下列方程：(1)2x 2－x －1＝0 (2)x 2＋1.5＝－3x (3)x 2－2x ＋12＝0 (4)4x 2－3x ＋2＝0分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．补：(5)(x －2)(3x －5)＝0 三、巩固练习教材第12页 练习1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)． 四、课堂小结 本节课应掌握：(1)求根公式的概念及其推导过程； (2)公式法的概念；(3)应用公式法解一元二次方程的步骤：1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0；2)找出系数a ，b ，c ，注意各项的系数包括符号；3)计算b 2－4ac ，若结果为负数，方程无解；4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果．(4)初步了解一元二次方程根的情况． 五、作业布置教材第17页 习题4，5.21.2.3 因式分解法掌握用因式分解法解一元二次方程． 通过复习用配方法、公式法解一元二次方程，体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程，并应用因式分解法解决一些具体问题．重点用因式分解法解一元二次方程． 难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便．一、复习引入(学生活动)解下列方程：(1)2x 2＋x ＝0(用配方法) (2)3x 2＋6x ＝0(用公式法)老师点评：(1)配方法将方程两边同除以2后，x 前面的系数应为12，12的一半应为14，因此，应加上(14)2，同时减去(14)2.(2)直接用公式求解．二、探索新知(学生活动)请同学们口答下面各题．(老师提问)(1)上面两个方程中有没有常数项？ (2)等式左边的各项有没有共同因式？(学生先答，老师解答)上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解． 因此，上面两个方程都可以写成：(1)x(2x ＋1)＝0 (2)3x(x ＋2)＝0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是(1)x ＝0或2x ＋1＝0，所以x 1＝0，x 2＝－12.(2)3x ＝0或x ＋2＝0，所以x 1＝0，x 2＝－2.(以上解法是如何实现降次的？)因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1 解方程：(1)10x －4.9x 2＝0 (2)x(x －2)＋x －2＝0 (3)5x 2－2x －14＝x 2－2x ＋34 (4)(x －1)2＝(3－2x)2思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？解：略 (方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积．) 练习：下面一元二次方程解法中，正确的是( )A ．(x －3)(x －5)＝10×2，∴x －3＝10，x －5＝2，∴x 1＝13，x 2＝7B ．(2－5x)＋(5x －2)2＝0，∴(5x －2)(5x －3)＝0，∴x 1＝25，x 2＝35C ．(x ＋2)2＋4x ＝0，∴x 1＝2，x 2＝－2D ．x 2＝x ，两边同除以x ，得x ＝1 三、巩固练习教材第14页 练习1，2.四、课堂小结 本节课要掌握：(1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．(2)因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0.五、作业布置教材第17页 习题6，8，10，11.21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用． 2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力． 3．渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律． 4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．重点根与系数的关系及其推导 难点正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．一、复习引入1．已知方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是6，则求a 及另一个根的值．2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系，这种关系比较复杂，是否有更简洁的关系？3．由求根公式可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1＝－b ＋b 2－4ac 2a，x 2＝－b －b 2－4ac 2a .观察两式右边，分母相同，分子是－b ＋b 2－4ac 与－b －b 2－4ac.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？二、探索新知解下列方程，并填写表格：(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 之间有什么关系？(2)关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根x 1，x 2与系数a ，b ，c 之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解下列方程，并填写表格：(1)关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为常数，p 2－4q ≥0)的两根x 1，x 2与系数p ，q 的关系是：x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零．)(2)形如ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的方程，可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论．即：对于方程 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) ∵a ≠0，∴x 2＋b a x ＋c a ＝0∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝ca(可以利用求根公式给出证明)例1 不解方程，写出下列方程的两根和与两根积： (1)x 2－3x －1＝0 (2)2x 2＋3x －5＝0 (3)13x 2－2x ＝0 (4)2x 2＋6x ＝ 3 (5)x 2－1＝0 (6)x 2－2x ＋1＝0例2 不解方程，检验下列方程的解是否正确？ (1)x 2－22x ＋1＝0 (x 1＝2＋1，x 2＝2－1)(2)2x 2－3x －8＝0 (x 1＝7＋734，x 2＝5－734) 例3 已知一元二次方程的两个根是－1和2，请你写出一个符合条件的方程．(你有几种方法？) 例4 已知方程2x 2＋kx －9＝0的一个根是－3，求另一根及k 的值．变式一：已知方程x 2－2kx －9＝0的两根互为相反数，求k ；变式二：已知方程2x 2－5x ＋k ＝0的两根互为倒数，求k.三、课堂小结1．根与系数的关系．2．根与系数关系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判别式大于等于零．四、作业布置1．不解方程，写出下列方程的两根和与两根积．(1)x 2－5x －3＝0 (2)9x ＋2＝x 2 (3)6x 2－3x ＋2＝0(4)3x 2＋x ＋1＝02．已知方程x 2－3x ＋m ＝0的一个根为1，求另一根及m 的值．3．已知方程x 2＋bx ＋6＝0的一个根为－2，求另一根及b 的值.21.3 实际问题与一元二次方程(2课时)第1课时 解决代数问题1．经历用一元二次方程解决实际问题的过程，总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．2．通过学生自主探究，会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解，熟悉解题的具体步骤．3．通过实际问题的解答，让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题．难点如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长(降低)过程，找到传播问题和百分率问题中的数量关系．一、引入新课1．列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？2．科学家在细胞研究过程中发现：(1)一个细胞一次可分裂成2个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(2)一个细胞一次可分裂成x 个，经过3次分裂后共有多少个细胞？(3)如是一个细胞一次可分裂成2个，分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂，试问经过3次分裂后共有多少个细胞？二、教学活动活动1：自学教材第19页探究1，思考教师所提问题．有一人患了流感，经过两轮传染后，有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？(1)如何理解“两轮传染”？如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染后共有________人患流感．第二轮传染后共有________人患流感．(2)本题中有哪些数量关系？(3)如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有(x＋1)人患了流感，第二轮有x(1＋x)人被传染上了流感．于是可列方程：1＋x＋x(1＋x)＝121解方程得x1＝10，x2＝－12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．变式练习：如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？活动2：自学教材第19页～第20页探究2，思考老师所提问题．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(1)如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？(2)若设甲种药品年平均下降率为x，则一年后，甲种药品的成本下降了________元，此时成本为________元；两年后，甲种药品下降了________元，此时成本为________元．(3)增长率(下降率)公式的归纳：设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1±x)；二月(或二年)后产量为a(1±x)2；n月(或n年)后产量为a(1±x)n；如果已知n月(n年)后总产量为M，则有下面等式：M＝a(1±x)n.(4)对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.三、课堂小结与作业布置课堂小结1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．2．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．3．若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基准数是a，增长(或降低)n次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．4．成本下降额较大的药品，它的下降率不一定也较大，成本下降额较小的药品，它的下降率不一定也较小．作业布置教材第21－22页习题21.3第2－7题．第2课时解决几何问题1．通过探究，学会分析几何问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决几何问题．2．通过探究，使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换，使列方程更容易．3．通过实际问题的解答，再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验，方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点通过实际图形问题，培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力．难点在探究几何问题的过程中，找出数量关系，正确地建立一元二次方程．活动1创设情境1．长方形的周长________，面积________，长方体的体积公式________．2．如图所示：(1)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为2 cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．(2)一块长方形铁皮的长是10 cm，宽是8 cm，四角各截去一个边长为x cm的小正方形，制成一个长方体容器，这个长方体容器的底面积是________，高是________，体积是________．活动2自学教材第20页～第21页探究3，思考老师所提问题要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到0.1 cm)．(1)要设计书本封面的长与宽的比是________，则正中央矩形的长与宽的比是________．(2)为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．(3)若设上、下边衬的宽均为9x cm，左、右边衬的宽均为7x cm，则中央矩形的长为________cm，宽为________cm，面积为________cm2.(4)根据等量关系：________，可列方程为：________.(5)你能写出解题过程吗？(注意对结果是否合理进行检验．)(6)思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9x cm和7x cm，你又怎样去求上下、左右边衬的宽？活动3变式练习如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75%，等宽且互相垂直的两条路的面积占25%，求路的宽度．答案：路的宽度为5米．活动4课堂小结与作业布置课堂小结1．利用已学的特殊图形的面积(或体积)公式建立一元二次方程的数学模型，并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．2．根据面积与面积(或体积)之间的等量关系建立一元二次方程，并能正确解方程，最后对所得结果是否合理要进行检验．作业布置教材第22页习题21.3第8，10题．。

22.1 一元二次方程教学设计(一)教学目标1．了解一元二次方程的概念、一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)及其他概念．能够将一个一元二次方程化成一般形式．2．了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它解决相关具体问题．3．能够根据实际问题列出简单的一元二次方程． 教学重难点重点是一元二次方程的定义、各项系数的辨别，根的作用；难点是根据实际问题，建立一元二次方程的数学模型．教学过程导入新课活动1：《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？如果假设门的高为x 尺，那么，这个门的宽为__________尺，根据题意，得__________． 整理、化简，得：__________.活动2：如图，如果AC AB ＝CBAC，那么点C 叫做线段AB 的黄金分割点．如果设AB ＝1，AC ＝x ，那么BC ＝__________，根据题意，得：__________. 整理，得：__________.活动3：有一面积为54 m 2的长方形，将它的一边剪短5 m ，另一边剪短2 m ，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x ，那么原来长方形长是__________，宽是__________，根据题意，得：__________.整理，得：__________.教师适当引导并根据整理的结果引入新课．推进新课一、合作探究(一)一元二次方程的定义想一想：(1)上面三个方程整理后含有几个未知数？(2)按照整式中的多项式的规定，它们的最高次数是几次？ (3)有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？结论：(1)都只含一个未知数x ；(2)它们的最高次数都是2次的；(3)都有等号，是方程． 议一议：仿照一元一次方程的定义，你能给以上方程下定义吗？归纳：像这样的等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．强调：一元二次方程必须满足三个特点：(1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2，三者缺一不可．(二)一元二次方程的一般形式及相关概念 一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)后，其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．注意：(1)“a ≠0”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分．因为方程ax 2＋bx ＋c ＝0只有当a ≠0时才是一元二次方程．例如，当a ＝0，b ≠0时，它就是一元一次方程了．反之，如果明确指出方程ax 2＋bx ＋c ＝0是一元二次方程，那就隐含了a ≠0这个条件．(2)任何一个一元二次方程，经过整理，都可以化成一般形式．(3)二次项系数，一次项系数都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式．(4)二次项与二次项系数、一次项与一次项系数要分清． (三)一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．想一想：怎样判定一个数是否是一元二次方程的根呢？点拨：将数值代入一元二次方程，等式左右两边相等，就是一元二次方程的根．反之，则不是．(四)根据实际问题列出一元二次方程 根据题意列出方程，不解方程“最牛”商店进了一些布娃娃玩具，进货单价为40元，老板如果按50元出售时，能卖掉500个，已知玩具每涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚8 000元的利润，售价应定为多少？解：设每个商品涨价x 元，则销售价为(50＋x )元，销售量为(500－10x )个， 根据题意有：(500－10x )·[(50＋x )－40]＝8 000.点评：根据实际问题情景，构建一元二次方程模型的步骤为：(1)把实际问题抽象成数学问题，关键是能够运用所学的数量关系，列出方程．(2)列方程的关键是寻找题目中的数量关系，再用含有未知数的代数式表示这种数量关系．二、应用迁移1．对一元二次方程的概念的考查下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是( )． A ．(m －3)x 2－3x －2＝0 B ．k 2x 2＋5x ＋6＝0C ．3x 2－24x －12＝0D ．3x 2＋1x－2＝0分析：本题考查一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程应紧扣本质特征——只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2且方程两边的代数式都是整式．选项A 方程中最高次项为(m －3)x 2，因无法判定(m －3)是否为零，从而不能确定该方程是否为一元二次方程；选项B 方程中关于未知数x 的最高次项是k 2x 2，k ＝0时，x 的最高次数为1，所以该方程不一定是一元二次方程；选项C 方程中关于未知数x 的最高次项是3x 2，x 的最高次数为2，符合一元二次方程的特征；选项D 分母中含未知数，3x 2＋1x－2不是整式，所以不是一元二次方程．答案：C点拨：本题的关键在于正确理解一元二次方程的概念． 2．对一元二次方程的一般形式及相关概念的考查把方程(x －1)2－3x (x －2)＝2(x ＋2)＋1化成一般形式并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．分析：正确应用各种运算法则，将方程中的同类项合并成一项，通过移项把方程右边变为0，并把方程左边按字母x 降幂排列，再写出各项系数．解：去括号，得x 2－2x ＋1－3x 2＋6x ＝2x ＋4＋1.移项，合并同类项得方程的一般形式：－2x 2＋2x －4＝0，即x 2－x ＋2＝0.二次项系数为1，一次项系数为－1，常数项为2.点拨：通常在将方程化为一般式后，各项含有公因式，需要进一步化简得x 2－x ＋2＝0作为所求的一般形式，这样可为后面学习一元二次方程的解法打下基础．本题的一次项系数不能写成“1”，而是“－1”．3．对一元二次方程的解(根)的理解下面哪些数是方程2x 2＋10x ＋12＝0的根？ －4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4.分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可． 解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足方程的等式，所以x ＝－2和x ＝－3是一元二次方程2x 2＋10x ＋12＝0的两根．三、巩固提高1．在下列方程中，一元二次方程的个数是( )．①3x 2＋7＝0 ②ax 2＋bx ＋c ＝0 ③(x －2)(x ＋5)＝x 2－1 ④3x 2－5x＝0A ．1B ．2C ．3D ．42．方程2x 2＝3(x －6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为( )． A ．2,3，－6 B ．2，－3,18 C ．2，－3,6 D ．2,3,63．关于x 的方程(a －1)x 2＋3x ＝0是一元二次方程，则a 的取值范围是__________． 4．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ (1)x 2－64＝0；(2)3x 2－6＝0；(3)x 2－3x ＝0.本课小结本节课要掌握：1．一元二次方程的概念．2．一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及它们的运用．3．一元二次方程根的概念．教学设计(二)学习目标1．理解一元二次方程的概念，并能熟练将一元二次方程化为一般形式，分清二次项及其系数、一次项及其系数、常数项．2．理解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一元二次方程的根． 3．能够根据实际问题列出简单的一元二次方程． 课前预习1．回顾一元一次方程的概念．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是一次的整式方程，叫一元一次方程．通常标准形式是ax ＋b ＝0(a ，b 为常数，且a ≠0)．2．一元一次方程的解．能够使方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元一次方程的解． 3．阅读教材，回答下列问题．等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．4．阅读教材，回答下列问题．当x ＝8时，x 2－x ＝56，所以x ＝8是方程x 2－x ＝56的解．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．课内探究 一、学习新知【目标1】 一元二次方程的概念(一)自主探究1．写出引言中的方程：x 2＋2x －4＝0.2．阅读教材，完成问题1，得到的方程是：x 2－75x ＋350＝0. 3．阅读教材，完成问题2，得到的方程是：x 2－x ＝56. 4．思考探究，上面的三个方程有什么共同点？ 提示：可以从方程的未知数个数和次数上考虑． (二)发现共同点1．方程的两边都是整式； 2．方程中只含有一个未知数； 3．未知数的最高次数是2. (三)总结(参考课前预习3)等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．(四)牛刀小试1．教材练习第1题．【目标2】 一元二次方程的根 1．根据预习，解决下面的问题：(1)下面哪些数是方程x 2－x －6＝0的根． －4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4. 解：3，－2是方程的根．2．若x ＝1是一元二次方程x 2＋x ＋c ＝0的一个解，求c 的值． 解：c 的值是－2.【目标3】 一元二次方程的简单应用 1．根据题意列出方程，不解方程用一根长30厘米的铁丝折成一个斜边长13厘米的直角三角形，求这个三角形的面积． 解：设三角形一条直角边长为x cm ，根据题意得：(30－13－x )2＋x 2＝132，三角形的面积为12x (30－13－x ) cm 2.教师点评：(1)把实际问题抽象成数学问题，关键是能够运用所学的数量关系，列出方程．(2)列方程的关键是寻找题目中的数量关系，再用含有未知数的代数式表示这种数量关系．二、拓展应用【例1】 (见学案·互动课堂例2)如果关于x 的一元二次方程(m －2)x 2＋3x ＋m 2－4＝0有一个解是0，求m 的值．解：将x ＝0代入方程中，得(m －2)×02－3×0＋m 2－4＝0，整理得：m 2＝4，m ＝±2. ∵方程为关于x 的一元二次方程， ∴m －2≠0，即m ≠2.∴m 的值为－2.【例2】 已知：方程(a ＋9)x |a |－7＋8x ＋1＝0是一个一元二次方程，求a 的值．解：因为方程(a ＋9)x |a |－7＋8x ＋1＝0是一元二次方程，所以有：⎩⎪⎨⎪⎧|a|－7＝2，a ＋9≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝±9，a ≠－9，所以a ＝9.三、课堂小结通过本节课的学习，需要掌握： (1)一元二次方程的概念；(2)一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ，b ，c 是已知数，a ≠0)，一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的；(3)能够列出实际问题中的一元二次方程． 四、当堂测试1．下列关于x 的方程中①(m －3)x 2－3x －2＝0；②k 2x ＋5k ＋6＝0；③3x 2－24x －12＝0；④3x 2＋1x －2＝0，其中是一元二次方程的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：A 2．(见学案·轻松尝试第2题)方程2x 2＝1－3x 化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )．A ．2,1，－3B ．2,3，－1C ．2,3,1D ．2,1,3 答案：B3．关于x 的方程ax 2－3x ＋2＝0是一元二次方程，则( )． A ．a ＞0 B ．a ≠0 C ．a ＝1 D ．a ≥0 答案：B4．已知2是方程23202x a -=的一个根，则2a －1＝__________. 答案：55．(见学案·轻松尝试第7题)方程(m ＋4)x |m|－2＋8x ＋1＝0是一元二次方程，求m 的值．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋4≠0，|m|－2＝2，解得m ＝4.课后拓展A 组1．下列方程是一元二次方程的是( )．A ．x 2＋2x ＋y ＝1B ．x 2＋1x －1＝0C ．(3x 2－1)2－3＝0D ．3x 2－12＝x ＋23答案：D 2．(见学案·智能升级第4题)若方程kx 2＋x ＝3x 2＋1是一元二次方程，则k 的取值范围是__________．答案：k ≠33．若一元二次方程2x 2＋(k ＋8)x －(2k －3)＝0的二次项系数、一次项系数、常数项之和为5，则k ＝__________.答案：8 4．(见学案·智能升级第5题)已知关于x 的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：______.答案：如x 2＝1等5．若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有一根是1，则a ＋b ＋c ＝________. 答案：06．关于x 的方程(a －3)x |a |－1＋x －5＝0是一元二次方程，则a ＝__________. 答案：－37．(见学案·智能升级第6题)教材或资料会出现这样的题目：把方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．(1)下列式子中，有哪几个是方程12x 2－x ＝2所化的一元二次方程的一般形式？(答案只写序号)________．①12x 2－x －2＝0 ②－12x 2＋x ＋2＝0 ③x 2－2x ＝4 ④－x 2＋2x ＋4＝0 ⑤3x 2－23x －43＝0(2)方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？解：(1)①②④⑤；(2)若说它的二次项系数为a (a ≠0)，则一次项系数为－2a 、常数项为－4a . 8．教材习题22.1，第9题B 组9．(见学案·智能升级第8题)已知a 是方程x 2－x －1＝0的根，求－a 3＋2a 2＋2 010的值．解：由方程根的定义知a 2－a －1＝0， 从而a 2＝a ＋1，∴－a 3＋2a 2＋2 010＝－a 2－a ＋2a 2＋2 010 ＝a 2－a ＋2 010＝a ＋1－a ＋2 010 ＝1＋2 010＝2 011.《九章算术》与二次方程我们知道，一次方程最早出现在丢番图的著作中，虽然二次方程在丢番图的著作中也谈及，但是并不是他首先提出来的．追根溯源，二次方程的发明权属于古代中国和古代巴比伦的数学家．大约在公元前2000年，巴比伦的算术已经演化成为一种高度发达的用楔形文字叙述的代数学，他们不但能解相当于代入一般公式的方程，而且还能用配方法来解二次方程．在公元前20世纪，我国也已经掌握了二次方程的求解方法．在《九章算术》中，就有一个相当于x 2＋ax ＝b 的二次方程，但是古人为了避免直接解二次方程，常常把它转换为一次方程的形式．在《九章算术》中，最古老的二次方程是：“今有池方一丈，生其中央，出水一尺，因(新生的芦苇)赴岸，适与岸齐．问水深、苇长各几何？”它的意思是说，设水深为x 尺，则芦苇长为(x ＋1)尺，被风吹倒后与岸齐，这样就构成了直角三角形，由勾股定理，得x 2＋52＝(x ＋1)2，解得x ＝12，则水深为12尺，芦苇长13尺．《九章算术》中关于二次方程的普遍解法比欧洲要早1 000多年，到了刘徽手里，他就是利用解二次方程的原理，创立了小数开方的方法．[奥赛链接]设x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，求代数式a (x 31＋x 32)＋b (x 21＋x 22)＋c (x 1＋x 2)的值．分析：本题考查“方程ax 2＋bx ＋c ＝0可以看作是关于x 的二次三项式ax 2＋bx ＋c 的值为0”的思想，所以将所求代数式化成关于x 1，x 2的二次三项式是解本题的关键．解：因为x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，所以ax 21＋bx 1＋c ＝0，ax 22＋bx 2＋c ＝0.所以a (x 31＋x 32)＋b (x 21＋x 22)＋c (x 1＋x 2)＝ax 31＋ax 32＋bx 21＋bx 22＋cx 1＋cx 2＝(ax 31＋bx 21＋cx 1)＋(ax 32＋bx 22＋cx 2)＝x 1·(ax 21＋bx 1＋c )＋x 2·(ax 22＋bx 2＋c ) ＝x 1·0＋x 2·0＝0.。

1、知识目标:在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式;能运用根与系数的关系解决一些简单的问题;能由已知一元二次方程的一个根求出另一个根与未知数,会求一元二次方程两个根的平方和与倒数和。

2、能力目标:通过一元二次方程根与系数的关系的教学过程,使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点,进一步培养学生的创新意识和创新精神。

3、情感目标:通过情境教学过程,激发学生的求知欲望,培养学生积极学习数学的态度。

体验数学活动中充满着探索与创造,体验数学活动中的成功感,建立自信心。

2学情分析评论1.本课的教学对象是九年级学生,学生对事物的认识多是直观、形象的,他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征。

2.学生已学习过用求根公式法解一元二次方程。

3.在教学初始,出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西,结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。

3重点难点评论1、重点:一元二次方程根与系数的关系。

2、难点:让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系,并用语言表述,以及能灵活应用一元二次方程解决具体问题。

4教学过程4.1 第一学时4.1.1教学活动活动1【讲授】一元二次方程根与系数的关系评论教学环节教师活动预设学生行为设计意图复习1、本章学了哪些一元二次方程的解法?学生集体回答2、写出一元二次方程的一般式与求根公式一个学生上黑板写出问题导入解下列方程:x2-2x=0 x2+3x-4=0 x2+5x+6=0并根据问题2和以上的求解填写下表请观察上表,你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗?问题4.请根据以上的观察发现进一步猜想:方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根x1,x2与a、b、c 之间的关系:____________。

问题5.你能证明上面的猜想吗?请证明,并用文字语言叙述说明。