高中数学 1.4 生活中的优化问题举例导学案 新人教A版选修2-2

第一章 导数及其应用

§1.1 变化率与导数

§1.1.1 变化率问题

§1.1.2 导数的概念

§1.1.3 导数的几何意义

§1.2 导数的计算

§1.2.1 几个常用函数的导数

§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

§1.3 导数在研究函数中的应用

§1.3.1 函数的单调性与导数

§1.3.2 函数的极值与导数

§1.3.3 函数的最大(小)值与导数

§1.4 生活中的优化问题举例

§1.5 定积分的概念

§1.5.1 曲边梯形的面积

§1.5.2 汽车行驶的路程

§1.5.3 定积分的概念

§1.6 微积分基本定理

§1.7 定积分的简单应用

§1.7.1 定积分在几何中的应用

§1.7.2 定积分在物理中的应用

章末整合提升 章末达标测试

第二章 推理与证明

§2.1 合情推理与演绎推理

§2.1.1 合情推理

§2.1.2 演绎推理

§2.2 直接证明与间接证明

§2.2.1 综合法和分析法

§2.2.2 反证法

§2.3 数学归纳法

章末整合提升

章末达标测试

第三章 数系的扩充与复数的引入

§3.1 数系的扩充和复数的概念

§3.1.1 数系的扩充和复数的概念

§3.1.2 复数的几何意义

§3.2 复数代数形式的四则运算

§3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义

§3.2.2 复数代数形式的乘除运算

章末整合提升

章末达标测试

模块综合检测

§1.1 变化率与导数

§1.1.1 变化率问题

§1.1.2 导数的概念

[课标要求]

1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．(难点)

2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)

3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)

一、函数平均变化率

如果函数关系用y＝f(x)表示，那么变化率可用式子f（x2）－f（x1）x2－x1表示，我们把这个式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是平均变化率可以表示为ΔyΔx．

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《导数在生活中的优化问题举例》的教学和反思

作者：丁仕杰

来源：《吉林省教育学院学报·上旬刊》2013年第11期

摘要：利用导数解决实际应用问题是导数教学的一个难点，也是高考的热点，解决这个问题首先是要准确建模，其次是合理利用导数求最值。本文通过容积一定的易拉罐的优化设计引导学生合理利用导数解决实际问题，并结合高考题引导学生对实际问题处理一般方法的掌握。

关键词：导数；优化；应用问题；建模

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1671—1580（2013）11—0036—02

人教A版选修2-2的1.4节是《导数在生活中的优化问题举例》。“优化问题”是现实生活中常碰到的问题，比如速度最快、距离最小、费用最低、用料最省、效率最高等。而解决此类问题的方法多样，学生较为熟悉的是线性规划问题、二次函数最值问题或结合函数图像解决最值。本节课的教学目标是：1.通过生活中的优化问题的学习，使学生体会导数在解决生活中的优化问题的广泛作用和强大实力，促进学生全面认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；2.通过实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高，突出导数的应用研究。本节课的难点主要有两个：难点之一是数学建模问题；难点之二是学生的“用导数求函数最值”知识是否扎实。教材主要在最值、利润、最大容量三个方面举例说明，这三道题虽然都来自实际生活，但内容相对陈旧，而且有些问题用导数过于牵强，不能很好地吸引学生眼球。

比如例题1，海报版面尺寸的设计问题，虽然与同学平时生活联系比较紧，但从目标函数来看，S（x）=2x+512x+8x>0，只要有点不等式知识的学生都会毫不犹豫地选择均值不等式快速简洁求解，而此处再考虑用导数去求解，显然繁琐，没有必要。对于例题2，利润最大化的问题，材料比较新颖，但所选择的模型——球形的饮料盒，在现实生活中基本上是不存在的。而实际上，现实生活中的饮料盒，大多都是方形（纸盒）和圆柱形的（易拉罐），因此我想能不能从中选择一个更合适问题切入呢？

- 1 - 建立数学模型 §1.4生活中的优化问题举例（2课时）

教学目标：

1． 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。

2． 提高将实际问题转化为数学问题的能力。

教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题。

教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题。

教学过程：

一．创设情景

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题。

二．新课讲授

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具。

利用导数解决优化问题的基本思路：

三．典例分析

例1．汽油的使用效率何时最高

我们知道，汽油的消耗量w（单位：L）与汽车的速度v（单位：km/h）之间有一定的关系，汽油的消耗量w是汽车速度v的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：

（1） 是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？

（2） “汽油的使用率最高”的含义是什么？

分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用G表示每千米平均的汽油消耗量，那么wGs，其中，w表示汽油消耗量（单位：L），s表示汽油行驶的路程（单位：km）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G的最小值的问题

通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度v（单位：km/h）之间有如图所示的函数关系gfv。 解决数学模型

1.4生活中的优化问题举例

【学习目标】

1.理解导数与最值的意义及求法，学会用导数知识解决实际问题；

2.提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归转化的思想意识．

【新知自学】

知识回顾：

1.求函数)(xfy在ba,上的最大值与最小值的步骤为：

（1）求函数)(xfy在ba,上的___________；

（2）将函数)(xfy的各极值与端点处的函数值bfaf),(比较，其中_____的一个是最大值，_______的一个是最小值．当导数在其定叉域内只有一个极值点．从图象角度理解即只有一个波峰，即是单峰的，因而这个极值点就是最值点．不必考虑端点的函数值．

新知梳理：

1. 生活中经常遇到求_______、______、______等问题，通常称为优化问题．

2．利用导数解决优化问题的实质是利用导数求函数在闭区间上的________或_______________．

3. 用导数解决优化问题的一般步骤：

(1)准确把握题意，构建___________；

(2)结合实际，求函数的_____________；

(3)利用____________________________．

感悟：

对点练习：

1.把长为cm60的铁丝围成矩形，长为 ，宽为 时，矩形面积最大．

2. 圆柱形金属饮料罐的容积为316cm，它的高是________cm，底面半径是_________cm时可使所用材料最省.

3.把长为100cm的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之各最小？

4.做一个容积为256L的方底无盖水箱，它的高为多少时材料最省？

【合作探究】

典例精析：

例1. 有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做一个长方形的无盖容器。为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？

例2.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是28.0r分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售ml1的饮料，制造商可获利2.0分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm．问题：