高数八章

1 第三章

一、填空题

1．函数lnsinfxx在区间5,66上满足罗尔定理，则

2． 函数34fxx在区间0,1上满足拉格朗日中值定理，则

3．设函数2lnyxx，则它在x 处取得极小值。

4．设函数2ln1yxx，则它在其定义域, 内单调

5．设函数xyxe，则曲线的拐点坐标为

6．3231214yxxx的拐点是 __ .

7．a =______b=_______时，曲线32yaxbx的拐点是（1，2）.

8．曲线2cosyxx在区间[0,]2上的最大值为_____________

9. 曲线3()fxx的拐点是 ．

二、选择题

1．设在0,1上0fx，则0,1,10ffff或01ff几个数的大小顺序为（ ）

A ()()()()1010ffffⅱ>>- B 1100ffff

C 1010ffff D 1010ffff

2． 设0000,0fxfxfx，则（ ）

A 0fx是fx的极大值 B 0fx是fx的极大值

C 0fx是fx的极小值 D 00,xfx是曲线yfx的拐点

3．fx二阶可导，0,0ff，已知x是fx的极值点，cosgxfxx则（ ）

A x是gx的极大值点 B x是gx的极小值点

C x不是gx的极大值点 D x是否为gx的极值点不定 2 4．fx二阶可导，0,0ff，已知x是fx的极值点，

1 第25，26讲 第八章 重 积 分

上一章把一元函数微分学推广到多元函数情形.现在要把一元函数定积分推广为多元函数的多重积分、曲线积分和曲面积分.

定积分（特定构造的和式极限，“高级和”）所讨论的是分布在某区间上的几何量（曲边梯形面积）或物理量（变速直线运动路程）的积累问题.而多重积分，曲线、曲面积分则能求出分布在平面区域，平面曲线，空间曲面上的整体量，以扩大积分学的应用范围.

第一节 二重积分的概念和性质

一、二重积分的概念

1.两个实例

例1 求曲顶柱体的体积.

曲顶柱体是指：以平面上的有界闭区域D为底，以D上方的曲面S为顶，周围是母线平行于z轴的柱面（见P.306图8-1）

今设曲顶方程为(,),(,)zfxyxyD，且设(,)fxy连续，，(,)0fxy，求该曲顶柱体的体积.V

解 第一步 ：“分割”— 化整为零.

用一组曲线网将区域D分成n个小区域：12,,,n，并用它们记各小区域的面积.，于是大体积相应被分割为n个曲顶柱体，记体积为：12,,,nvvv（见P.306图8-2）.

第二步：“近似代替”— 以平代曲.

i上任意取一点（,)ii，(,)fxy在D上连续，当分割充分细小时，可用小平顶柱体体积,()iiif近似代替小曲顶柱体的体积(,)(1,2,,).iiiivfin

第三步：“求和”— 积零为整.

11(,)nniiiiiiVvf.

第四步：“取极限”— 由近似到精确.

01lim(,)niiiiVf，

其中是n个小区域i的直径最大者，即 1max()iind.

例2 求不均匀平面薄板的质量（薄即厚度可忽略不计）.

高数B第7-8章测试题

1. (5分)确定2

12()x

yCCxe中的常数

12,,CC使之满足初始条件：.1,0

00

xxyy

2. (5分)解方程：











.

0

02

xyx

yey

3. (5分)

求微分方程

)1(1

2



xxxy

y

满足初始条件0)1(y的解

4. (10分)求方程03)(233

dyxydxyx的通解.

5. (10分)求方程x

eyyy22的通解.

6. (5分)

求微分方程690yyy的通解，

（2）写出23

69x

yyyxe

特解的形式（不求解）。

7. (10分)

设函数()fx

连续，且满足方程

00()()()xx

x

fxetftdtxftdt

求()fx

8. 指出下列二次曲面的名称. (每题2分,共10分)

（1）259916222

zyx；

（2）259916222

zyx；

（3）xyx422

；

（4）xzy422

；

（5）0)3()2()1(2222

zyx.

9. (5分)求由曲线





.0,122322

zyx

绕y

轴旋转一周所得的旋转面在点(0,3,2)处的指向外侧的单

位法向量.

10. (5分) 求曲线





,1)1()1(,1

222222

zyxzyx

在xoy平面上的投影. 答案：





.0,02222

zyyx

11. (10分) 设一平面经过原点及点)2,3,6(，且与平面824zyx垂直，求此平面方程.

12. (10分)

求过与平面平行且与直线

15510

:

210xyz

l





垂直的直线方程

13. (10分)求过直线





,0,272210

zyxzyx

且与曲面273222

zyx相切的切平面方程.

P

0423(,,):xyz100

一：向量代数与空间几何

定理1：设

0



a，则向量

b

与

a

平行的充要条件为：存在唯一的实数，使得

ab



。

证：

充分性：已知一个向量

a

，且

0



a，因为规定a



是一个向量，当

0，方向与

a

相同；当

0时，方向与

a相反，但方向无论是相反还是相同，都成为两向量共线，即平行，故由

ab



，所以向量

b

与

a

平行。

必要性：已知

ab//，且0a，故设

b

与

a

的模长相差一个倍关系，即

ab



，故而

baa



，即

a

的模长等于

b

的模长，当

b

与

a

同向时，令

0，则

a

与

a

的方向相

同，则此次

b

与

a

同向且等模，故

ab



；当

b

与

a

反向时，令

0，则

a

与

a

的方向相

反，则此次

b

与

a

仍然同向且等模，故

ab



仍成立；故又假设存在不等于的实数满

足上面所述的关系，即

ab



（

），故

abb

)(0

，又

0



a，故

，与假设

矛盾，故假设不成立，所以能满足上述关系的实数唯一。

2.向量的平行时对应的坐标成比例：

如

),(

1

11,

zy

x

a

，

),(

2

22,

zy

x

b

，若

ba



//，则

ba





，则



zzyy

xx

21

21

21

，

注意：当

0

2x

时，而

0

2

2zy

，即

),0(

2

2,

zy

b

，若

ba



//，则

ba















zz

yyxx

21

21210

；

当

0

22yx

时，而

0

2z

，即

),0,0(

2z

b

，若

ba



//，则

ba













zzyyxx

212121

00



，但是

注意到无论



zz

21

为何值，

0

21xx

以及

0

21yy

都恒成立，因为

00时，可

以取任意实数。故就不需要约定z

1与z

2的关系，即









00

2121

yyxx



。

3.向量

),,(zyxr

，则在

x轴上的方向余弦为

rx



cos（注意：分母是

r