下载文档原格式
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《球的体积》教学设计盘俊春一、教学目标1.认知、能力目标（1）能记住球的体积公式；（2）理解球体体积公式的推导过程；能根据球体条件的变化，计算球体体积；（3）能根据球体体积公式解决一些有关球体体积的计算问题。
2.数学思想目标力图向学生渗透“极限”、“类比”等数学思想。
3.情感目标通过揭示球的体积推导过程，培养学生的辩证唯物主义观点以及勇于探索、不断超越自我的创新精神，培养学生对数学的审美情趣，培养学生观察、猜想与论证的能力和分析问题、解决问题的能力.二、教学重点和难点重点：球的体积公式推导及应用。
难点：球的体积公式推导过程。
三、教学对象分析学生经过一段时间的立体几何学习后，已具备了一定的空间想像能力和综合分析及归纳分类能力。
但对于比较抽象的知识，还不能很清晰地解决有关问题。
球的体积公式的推导这部分知识内容已经超越感官上能直接把握的直观化对象，是教材中学生最难理解的证明之一。
所以在课堂上要耐心细致地引导和启发学生，尽可能借助多媒体的动态演示，创设生动、形象、直观的教学情境，将立体几何中抽象的空间图形形象地展现在学生面前。
这样就达到了强化重点，分散难点的效果，并激发学生的兴趣，提高他们的能力，使师生在教与学的过程中产生“共振”。
四、教学策略及教法设计本节课坚持“学生是学习的主人”的指导思想，采用引导发现法和多媒体辅助教学法。
在教学过程中，教师采用点拨的方法，启发学生通过主动思考、动手操作来达到对知识的“发现”和接受，进而完成知识的内化。
对于球体无限分割到底是什么样，学生不容易想像，而多媒体教学能为学生创设生动、形象、直观的教学情境，增加学生的感性认识，更容易全面理解球的体积公式的推导过程，从而很好地向学生灌输极限的思想。
突破用传统教学不好解决的教学重、难点，实现教学目标。
圆球的体积公式推导过程
圆球的体积公式可以通过几何学和微积分的知识来推导。
首先，我们知道圆球的体积公式为V = (4/3)πr³，其中r是圆球的半径，π是圆周率。
推导过程如下：
1. 首先，我们考虑一个半径为r的圆球。
我们可以将圆球看作
由无穷多个半径不同的圆盘叠加而成。
每个圆盘的面积为πr²，
厚度为dy（沿着y轴的厚度）。
2. 然后，我们可以将圆球的体积表示为所有这些圆盘的面积之和。
这可以通过积分来实现。
我们对每个圆盘的面积进行积分，从
y=0到y=r。
积分公式为V = ∫[0, r] πr² dy。
3. 对上述积分进行计算，得到V = πr²y∣[0, r] = πr²r πr²(0) = πr³。
4. 最后，将πr³化简得到V = (4/3)πr³，即圆球的体积公式。
因此，通过对圆球进行微积分的分析，我们可以推导出圆球的体积公式V = (4/3)πr³。
这个推导过程展现了如何将圆球分解为无穷多个微小的圆盘，并通过积分求和得到圆球的体积公式。
球的体积公式: V球=4/3 π r^3球的面积公式: S球=4π r^2附:推导过程(可能会看不懂(涉及到了大学的微积分),就当学点知识吧,呵呵)1．球的体积公式的推导基本思想方法：先用过球心的平面截球，球被截面分成大小相等的两个半球，截面⊙叫做所得半球的底面．（l）第一步：分割．用一组平行于底面的平面把半球切割成层．（2）第二步：求近似和．每层都是近似于圆柱形状的“小圆片”，我们用小圆柱形的体积近似代替“小圆片”的体积，它们的和就是半球体积的近似值．（3）第三步：由近似和转化为精确和．当无限增大时，半球的近似体积就趋向于精确体积．（具体过程见课本）2．定理：半径是的球的体积公式为：．3．体积公式的应用求球的体积只需一个条件，那就是球的半径．两个球的半径比的立方等于这两个球的体积比．球内切于正方体，球的直径等于正方体的棱长；正方体内接于球，球的半径等于正方体棱长的倍（即球体对角钱的一半）；棱长为的正四面体的内切球的半径为，外接球半径为．也可以用微积分来求，不过不好写球体面积公式:可用球的体积公式+微积分推导定积分的应用：旋转面的面积。
好多课本上都有，推导方法借助于曲线的弧长。
让圆y＝√(R^2－x^2)绕x轴旋转，得到球体x^2+y^2+z^2≤R^2。
求球的表面积。
以x为积分变量，积分限是[－R，R]。
在[－R，R]上任取一个子区间[x，x+△x]，这一段圆弧绕x轴得到的球上部分的面积近似为2π×y×ds，ds是弧长。
所以球的表面积S＝∫<－R，R>2π×y×√(1+y'^2)dx，整理一下即得到S＝4πR^。
球表⾯积和体积的初等教学⽅法
⼀、推导⽅法⼩议：
推导球的表⾯积公式和体积公式，⼤体有两⼤⽅法：1、定积分法；2、祖暅原理法。
⽽“定积分法”⼜分两类：（1）多重积分计算法，此法属于⾼等数学的范围，不适合在初等数学中使⽤；（2）定积分定义法，但此法的推导⽐较复杂，特别是推导球的体积公式。
⼆、祖暅原理的特点：
祖暅原理是由柱体和锥体“等底等⾼则等积”的性质推⼴⽽得，实际上就是定积分求体积的前⾝。
祖暅原理通俗易懂，是推导初等数学中常见曲⾯⼏何体（圆柱、圆锥、圆台、球体、球缺、球台）体积公式的最简⽅法。
三、推导⽅法归纳：
（1）球表⾯积：锥带微元法（S=2πph）；
（2）球体积：祖暅原理法；
（3）两者关系式：球锥微元法(V=SR/3)、相似极限法。
球体积公式推导过程微积分积分是数学中求解等式的重要方法，而球体积求解是其中的重要应用。
在球体积公式推导过程中，将使用微积分来进行推导，从而得出球体积公式。
首先，先回顾一下一元函数的定义。
一元函数定义为：f（x）=y 是一个实数x和另一个实数y之间的对应关系，即要求在这一对应关系的情况下，给定任意的实数x，可以求出一个唯一的实数y。
接下来，要介绍的是积分，在积分的内容中，将涉及到无穷小的概念，即所谓的微积分。
微积分是一种把函数转换成实数积分的技术，它使用了一些技巧来解决函数的极限问题，即把它拆分成一系列更小的问题，然后把它们组合起来，从而得出答案。
现在，开始介绍球体积公式推导过程中使用的微积分的思想。
首先，我们以球的体积来说明：球的表面积和体积的关系是确定的，球体积公式可以表示为：V=4/3πr^3，其中r表示球的半径，π表示圆周率。
球体积公式推导过程通过将球表面积表示为一元函数：S=4πr^2，并将其引入积分，然后考虑S函数在每一个无穷小的区间[r,r+dr]上的变化，进而求出球体积与球半径的关系，从而求出了球体积公式：V=4/3πr^3。
球体积公式推导过程中使用的微积分原理是，将要求解的问题拆分成更小的问题，从而求出答案。
球体积公式推导过程中，首先把球表面积表示为一元函数，并且把函数引入积分，考虑在每个无穷小的区间上的变化，最后求出了球体积的公式，即V=4/3πr^3。
综上所述，我们可以看出，球体积公式推导过程中使用的微积分实际上是一种把函数转换成实数积分的技术，它可以帮助我们求出球体积公式：V=4/3πr^3。
而且，在推导过程中，并没有用到复杂的数学知识，只要掌握了一些基本概念和微积分的思想，就可以轻松求出球体积公式，这就是球体积公式推导过程中使用微积分的好处。
总之，球体积公式推导过程中使用的微积分可以帮助我们求出球体积公式，是一种有效的技术。
它使得球体积公式推导过程中的极限求解，从而更容易理解、掌握。
球的体积公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：球是一种常见的几何体，具有许多特点和性质。
其中之一便是其体积公式。
体积是指一个物体所占据的三维空间的大小。
对于球体而言，其体积公式是一个关于半径的函数，即V=4/3πr³，其中V表示球的体积，r表示球的半径，π 是一个常数，取值约为3.14159。
这个体积公式的推导可以通过积分来完成。
我们知道球体是由许多无限小的立方体组成的，而体积则是所有这些立方体体积之和。
可以将球体划分为无数个体积微小的立方体，然后对这些微小立方体的体积进行求和，即得到球体的总体积。
具体来说，我们可以将球体放在一个以原点为中心的三维直角坐标系中。
对于球体上的任意一点(x,y,z)，其到球心的距离为r，根据勾股定理可知x² + y² + z² = r²。
假设我们在球体上切割一个微小的立方体，其边长为dx，dy，dz，那么这个立方体的体积可以表示为dV = dx * dy * dz。
接着，我们可以从球体表面开始，沿着x，y，z三个方向各自延伸。
根据球的对称性，我们可以设定dx = dy = dz = dr，即每次沿着这三个方向延伸的步长相等。
而从球的表面到球心的距离r 的取值范围是0 到R，其中R 表示球体的半径。
球体的体积可以表示为V = ∫0^R dV = ∫0^R 4πr² dr = 4/3πR³这个积分计算的过程可以通过微积分知识来完成，不过在这里我们不做深入探讨。
重要的是要理解球的体积公式是如何推导出来的，以及体积与球半径之间的关系。
利用球的体积公式，我们可以方便地计算球体的体积。
只需要知道球的半径就可以求出其体积，而不需要对球进行复杂的测量。
这对于科学研究和工程设计来说具有重要意义。
在建筑设计中，设计师需要计算建筑物的体积以确定建筑物需要的材料数量；在天文学中，研究天体的体积可以帮助我们了解宇宙的构成和演化。
球体积公式推导
球体积公式是指一个球的体积等于其表面积乘以 4，即 $V = 4 pi r^3$。
这个公式可以通过多种方式推导，以下是其中一种简单的方法:
首先，我们可以使用球的体积公式 $V = frac{4}{3} pi r^3$ 和圆的面积公式 $A = pi r^2$ 来推导球体积公式。
假设我们有一个球体，其半径为 $r$,则其表面积为 $A = 4 pi r^2$。
将该球体切成无数个小球体，每个小球体的体积为 $V_i = frac{4}{3} pi r_i^3$,其中 $r_i$ 是小球体的半径。
由于这些小球体是均匀的分布在球体表面的，因此它们的总表面积为 $A = 4 pi r^2$。
因此，我们可以得到以下等式:
$$V = frac{4}{3} pi r^3 = frac{4}{3} pi r^2 A = frac{4}{3} pi r^2 cdot 4 pi r^2 = 16 pi r^3$$
现在我们可以将这个等式改写为 $V = 4 pi r^3$。
这个结果与我们最初提出的球体积公式一致，这表明我们的推导是正确的。
球体积公式可以通过多种方式推导，其中一种简单的方法是使用圆的面积公式和球的体积公式。
通过这种方法，我们可以得出球体积公式为 $V = 4 pi r^3$。
2019-2020年高中数学1.3.2球体的体积和表面积教案新人教A版必修2【教学目标】（1）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。
（2）培养学生的空间思维能力和空间想象能力。
【教学重难点】重点：球的体积和面积公式的实际应用难点：应用体积和面积公式中空间想象能力的形成。
【教学过程】一、教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，它是由半圆围绕直径旋转而成的旋转体，那么球的表面积与体积与半圆的哪个量有关呢？引导学生进行思考。
教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？球的体积和面积公式：半径是Ｒ的球的体积，表面积Ｓ＝４πR2二、典例例1．一种空心钢球的质量是732πg，外径是5cm，求它的内径. （钢密度9g/cm3）求空心钢球的体积。
解析：利用“体积=质量/密度”及球的体积公式解：设球的内径为r,由已知得球的体积V=732π/9(cm3)由V=(4/3) π(53-r3)得r=4(cm)点评：初步应用球的体积公式变式：正方体的棱长为2，顶点都在同一球面上，则球的体积为____________()例2 在球心同侧有相距9的两个平行截面，它们的面积分别为49π和400π，求球的表面积。
（答案：2500π）解析：利用轴截面解决解：设球的半径为R,球心到较大截面的距离为x则R2=x2+202,R2=(x+9)2+72解得x=15,R=25所以球的表面积Ｓ＝2500π点评：数形结合解决实际问题变式：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是。
（答案50π）【板书设计】一、球的面积和体积公式二、例题例1变式1例2变式2【作业布置】P30 1、21.3.2 球的体积和表面积课前预习学案一．预习目标：记忆球的体积、表面积公式二．预习内容：1.3.2课本内容思考：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积三．提出疑惑课内探究学案一．学习目标：应用球的体积与表面积公式的解决实际问题学习重点：球的体积和面积公式的实际应用学习难点：应用体积和面积公式中空间想象能力的形成。
球体积公式推导过程微积分标题，微积分推导球体积公式的过程。
在数学中，微积分是研究函数的变化率和积分的学科。
微积分的概念可以应用于推导出球体积的公式。
通过微积分的方法，我们可以推导出球体积公式，并了解其背后的数学原理。
首先，我们知道球体积的公式为V = 4/3 π r^3，其中r是球的半径，π是圆周率。
现在让我们来看看如何用微积分来推导这个公式。
我们可以将球体积看作是许多薄圆盘的叠加。
每个薄圆盘的体积可以表示为π (y^2) dx，其中y是圆盘的半径，dx是圆盘的厚度。
我们可以用积分来求解所有这些薄圆盘的体积之和，从而得到球的体积。
首先，我们需要确定圆盘的半径y与x的关系。
考虑到球的半径r是一个常数，我们可以利用勾股定理将y表示为关于x的函数。
根据勾股定理，我们有y^2 + x^2 = r^2。
解出y，我们得到y =√(r^2 x^2)。
现在，我们可以将每个薄圆盘的体积表示为π (r^2 x^2) dx。
为了求得整个球的体积，我们需要对所有这些圆盘的体积进行积分。
因此，球的体积V可以表示为：V = ∫[0, r] π (r^2 x^2) dx.接下来，我们可以通过积分来计算这个表达式。
进行计算后，我们得到：V = π [r^3/3 r^3/3] = 4/3 π r^3。
这就是球体积的公式的推导过程。
通过微积分的方法，我们能够理解球体积公式背后的数学原理，并且可以将微积分的概念应用到其他几何体积的推导中。
这展示了微积分在几何学中的重要应用，以及微积分的强大工具性质。
