河南省中原名校2015届高三下学期三月周测数学(文)试题扫描版含答案

2015年高中毕业年级第三次质量预测文科数学 参考答案选择题CBCCD DCDCB BA填空题 13: 25 14: 2 15: C,D 16: ),41(+∞- 解答题17. 解：（Ⅰ）∵A+C=π﹣B ，即cos （A+C ）=﹣cosB ， ∴由正弦定理化简已知等式得：=，………….2分 整理得：2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB ，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin （B+C ）=sinA ， ∵sinA≠0，∴cosC=﹣，………….4分∵C 为三角形内角，∴C=；………….6分 （Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，∴由余弦定理得：c 2=a 2+b 2﹣2a bcosC ，即4=a 2+b 2+a b≥2a b+a b=3a b ， ∴a b≤，（当且仅当a =b 时成立），………….8分 ∵S=a bsinC=a b≤，∴当a=b 时，△ABC 面积最大为，此时a =b=，…………10分 则当a =b=时，△ABC 的面积最大为．………….12分18解：（Ⅰ）由题意可知，16,0.04,0.032,0.004a b x y ====． ………….4分 （Ⅱ）（ⅰ）由题意可知，第4组共有4人，第5组共有2人，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学有，共15种情况.设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ，有共9种情况符号要求．所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是93()155P E ==． 答：随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率35………………….8分 （ⅱ）设“随机抽取的2名同学来自同一组”为事件F ，有共7种情况．所以7()15P F =答：随机抽取的2名同学来自同一组的概率是715. …………………………12分 19 证明:（Ⅰ）连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD . ∵ 四边形11BCC B 是平行四边形,∴点O 为1B C 的中点∵D 为AC 的中点，∴OD 为△1AB C 的中位线,∴ 1//OD AB . …………4分∵OD ⊂平面1BC D ,1⊄AB 平面1BC D ,∴1//AB 平面1BC D . ………… 6分 解:（Ⅱ）∵三棱柱111-ABC A B C ，∴侧棱11//AA CC ，又∵1AA ⊥底面ABC ，∴侧棱1CC ABC ⊥面，故1CC 为三棱锥1C BCD -的高，112A A CC ==， …………8分111()2222BCD ABC S S BC AB ∆∆==⋅= …………10分 11111422333D BCC C BCD BCD V V CC S --∆==⋅=⋅⋅= …………12分20 解：(Ⅰ)由已知:b c ==2224a b c ∴=+=, 所以椭圆方程为22142x y +=. ………………………4分（Ⅱ）由（1）知，(2,0),(2,0)C D -.由题意可设11:(2),(,)CM y k x P x y =+.,(2,4).MD CD M k ⊥∴由22142(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ,整理得:2222(12)8840k x k x k +++-=, 2222(8)4(12)(84)0k k k ∴=-+->△由求根公式知两根之积为228412k k -+ C 1B A22112284242,1212k k x x k k --∴-==++即.1124(2)12k y k x k ∴=+=+, 222244(,).1212k k P k k -∴++点 …………………6分 设00(,0),2Q x x ≠-且.若以MP 为直径的圆恒过,DP MQ 的交点,则,0MQ DP QM DP ⊥∴⋅=恒成立.0(2,4)QM x k =-,22284(,).1212k k DP k k-=++ 202284(2)401212k k QM DP x k k k-∴⋅=-⋅+⋅=++, …………………10分 即2028012k x k=+恒成立, 00.x ∴= ∴存在(0,0)Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP 、MQ 的交点. ……………….12分21 （Ⅰ）a xx f -+='11)( ① 0≤a 时,由011>+x,知0)(>'x f ,)(x f 在),1(+∞-单调递增 而022ln )1(>-=a f ，则0)(≤x f 不恒成立 ………….2分②当0>a 时，令0)(='x f ，得11-=ax 当)11,1(--∈ax 时，0)(>x f ，)(x f 单调递增； 当),11(+∞-∈a x 时， 0)(<x f ，)(x f 单调递减，)(x f 在11-=ax 处取得极大值。

2015年河南省中原名校联盟高考模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M={ x∈Z|﹣4＜x＜2 }，N={x|x2＜4}，则M∩N等于（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．{﹣1，0，1} D．{﹣1，1，2}【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解．【解析】解：M={ x∈Z|﹣4＜x＜2 }={﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，N={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，则M∩N={﹣1，0，1}，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）已知i是虚数单位，是z=1+i的共轭复数，则在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解析】解：∵z=1+i，=1﹣i，z2=（1+i）2=2i，∴==在复平面内对应的点在第三象限，故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，属于基础题．3．（5分）已知sin（+α）=，则cos2α等于（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】二倍角的余弦．【专题】三角函数的求值．【分析】由诱导公式及已知可求cosα，利用二倍角的余弦函数公式即可求值．【解析】解：∵sin（+α）=cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．故选：D．【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．4．（5分）已知圆锥曲线mx2+y2=1的离心率为，则实数m的值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．1【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由双曲线mx2+y2=1，化为标准方程，利用离心率e=，即可求出m的值，【解析】解：圆锥曲线mx2+y2=1为双曲线，即：=1，∵圆锥曲线mx2+y2=1的离心率为，∴e2=1+=2，∴m=﹣1．故选：A．【点评】本题考查双曲线的性质和标准方程，将方程化为标准方程是关键．5．（5分）已知向量=（1，n），=（﹣1，n），若2﹣与垂直，则n2的值为（）A．1 B． 2 C． 3 D． 4【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】运用向量的加减运算和向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到所求值．【解析】解：向量=（1，n）．=（﹣1，n），则2﹣=（3，n），若2﹣与垂直，则（2﹣）=0，则有﹣3+n2=0，n2=3．故选C．【点评】本题考查平面向量的数量积的坐标运算，考查向量的垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．6．（5分）设x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值是（）A．0 B． 1 C． 4 D．8【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解析】解：由约束条件作出可行域如图，由z=x+2y，得y=，由图可知，当直线y=过点A（﹣1，1）时，目标函数取得最小值为﹣1+2×1=1．故选：B．【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．（5分）设a=，b=，c=，则（）A．c＞b＞a B．a＞b＞c C．b＞a＞c D．b＞c＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解析】解：∵a=＜=，b==1，＜c=＜1，∴b＞c＞a，故选：D．【点评】本题考查了指数与对数函数的单调性，属于基础题．8．（5分）如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且其体积为．则该几何体的俯视图可以是（）A．B．C．D．【考点】简单空间图形的三视图．【分析】根据主视图与左视图的形状和几何体的体积是，知底面积是，得到底面是一个半径为1的四分之一圆，在四个选项中，只有D合适．【解析】解：根据主视图与左视图的形状和几何体的体积是，知底面积是，∴底面是一个半径为1的四分之一圆，故选D．【点评】本题考查空间图形的三视图，考查根据三视图还原几何体，考查根据几何体的体积想象几何体的形状，本题是一个基础题．9．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值等于（）A．B．C．D．【考点】循环结构．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，a的值，当a=2016时，刚好满足条件a＞2015，则退出循环，输出S的值为．【解析】解：模拟执行程序框图，可得第1次运行，S=，a=2第2次运行，S=，a=3第3次运行，S=，a=4第4次运行，S=，a=5…第2015次运行，S=，a=2016刚好满足条件a＞2015，则退出循环，输出S的值为．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，a的值是解题的关键，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+4φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的部分图象如图所示，若将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为（）A．g（x）=2sinx B．g（x）=2sin2x C．g（x）=2sin x D．g（x）=2sin（2x﹣）【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由图象可得A，T，可解得ω，由图象过点C（0，1），可得sin4φ=，结合范围0＜φ＜，解得4φ=，可得解析式f（x）=2sin（x+），根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可得解．【解析】解：∵由图象可知，A=2，，∴T=4，解得，故f（x）=2sin（x+4φ），∵图象过点C（0，1），∴1=2sin4φ，即sin4φ=，∵0＜φ＜，∴0＜4φ，∴4φ=，故f（x）=2sin（x+），若将函数f（x）的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，所得到的函数g（x）的解析式为y=2sin（2x+），再向右平移个单位，所得到的函数g（x）的解析式为g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin （2x﹣）．故选：D．【点评】本题主要考查了三角函数解析式的求法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基本知识的考查．11．（5分）已知点A（，﹣1）在抛物线C：x2=2py（p＞0）的准线l1上，过点A作一条斜率为2的直线l2，点P是抛物线上的动点，则点P到直线l1和到直线l2的距离之和的最小值是（）A．B．C．2 D．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】点F作直线l2的垂线FH，垂足为H，则线段FH与抛物线C的交点为所求的点P．由抛物线的定义可得，|PF|为点P到直线的l1距离，又|PH|为点P到直线l2的距离，所以点P 到直线l1和到直线l2的距离之和的最小值是F到直线l2的距离．【解析】解：由题意，抛物线的焦点为F（0，1），则直线l2的方程为2x﹣y﹣4=0，过点F作直线l2的垂线FH，垂足为H，则线段FH与抛物线C的交点为所求的点P．由抛物线的定义可得，|PF|为点P到直线的l1距离，又|PH|为点P到直线l2的距离，所以点P到直线l1和到直线l2的距离之和的最小值是F到直线l2的距离d==，所以点P到直线l1和到直线l2的距离之和的最小值是．故选：B．【点评】此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．12．（5分）设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若对任意的x ∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[a，b]上是“密切函数”，区间[a，b]称为“密切区间”，设函数f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“密切函数”，则实数m的取值范围是（）A．[e﹣1，2] B．[e﹣2，2] C．[﹣e，1+e] D．[1﹣e，1+e]【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意知|lnx+﹣m|≤1，变形得m﹣1≤lnx+≤m+1，令h（x）=lnx+（），则问题转化为函数h（x）的值在[m﹣1，m+1]，对函数h（x）求导即可得h（x）在[，e]上的最值情况，对比后即可答案．【解析】解：∵函数f（x）=lnx与g（x）=在[，e]上是“密切函数”，∴对任意的x∈[a，b]，都有|f（x）﹣g（x）|≤1，即|lnx+﹣m|≤1，从而m﹣1≤lnx+≤m+1，令h（x）=lnx+（），则h′（x）==，从而当x＞1时，h′（x）＞0；当x＜1时，h′（x）＜0；当x=1时，h（x）取极小值，也就是最小值，故h（x）在[，e]上的最小值为1，最大值为e﹣1，所以m﹣1≤1且m+1≥e﹣1，从而e﹣2≤m≤2，故选：B．【点评】本题考查新定义函数，其本质仍是通过变形，求导讨论函数的单调性，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）已知函数f（x）=，则f（f（10））的值为﹣2．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的解析式及自变量的取值代入运算即可．【解析】解：f（10）=lg10=1，f（1）=12﹣3×1=﹣2，所以f（f（10））=f（1）=﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查分段函数求值、对数的运算性质，属基础题．14．（5分）某校开展绘画比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示．记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，但复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清．若记分员计算无误，则数字x应该是1．【考点】茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】讨论x与5的关系，利用平均数公式列出关于x的方程解之．【解析】解：当x≥5时，，所以x＜5，∴，解得x=1；故答案为：1【点评】本题考查了茎叶图，关键是由题意，讨论x与5的关系，利用平均数公式解得x 的值．15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2+bc﹣a2=0，则的值为．【考点】余弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知等式代入计算求出cosA的值，确定出A的度数，表示出B的度数，原式利用正弦定理化简后，整理即可求出值．【解析】解：∵在△ABC中，b2+c2+bc﹣a2=0，即b2+c2﹣a2=﹣bc，∴cosA==﹣，即A=120°，利用正弦定理化简得：=====．故答案为：【点评】此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．16．（5分）如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为+．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】空间位置关系与距离．【分析】有条件利用球的截面的性质求得球心到截面圆的距离，再求出垂直折起的4个小直角三角形的高，相加即得所求【解析】解：由题意可得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，由于鸡蛋的表面积为4π，故鸡蛋（球）的半径为1，故球心到截面圆的距离为=，而垂直折起的4个小直角三角形的高为，故鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为+，故答案为：+．【点评】本题主要考查球的截面的性质，图形的折叠问题，点、线、面间的位置关系，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（n∈N*）．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=，试求{b n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）先由数列递推式求得首项，再取n=n﹣1得另一递推式，两式作差可得{a n}是首项和公比都为2的等比数列，则其通项公式可求；（2）把数列{a n}的通项公式代入b n=，整理后利用错位相减法求{b n}的前n项和T n．【解析】解：（1）当n=1时，由S n=2a n﹣2，及a1=S1可得a1=2，由S n=2a n﹣2①，可得S n﹣1=2a n﹣1﹣2（n≥2），由①﹣②得：a n=2a n﹣1（n≥2）．故{a n}是首项和公比都为2的等比数列，通项公式为；（2）由（1）可得：b n==．则．+3×24+…+n×2n+1．两式相减可得：=．∴．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．18．（12分）如图1所示，直角梯形ABCD，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=CD=AB=2，点E为AC的中点，将△ACD沿AC折起，使折起后的平面ACD与平面ABC垂直（如图2），在图2所示的几何体D﹣ABC中．（1）求证：BC⊥平面ACD；（2）点F在棱CD上，且满足AD∥平面BEF，求几何体F﹣BCE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）由题意知，AC=BC=2，从而由勾股定理得AC⊥BC，取AC中点E，连接DE，则DE⊥AC，从而ED⊥平面ABC，由此能证明BC⊥平面ACD．（2）取DC中点F，连结EF，BF，则EF∥AD，三棱锥F﹣BCE的高h=BC，S△BCE=S△ACD，由此能求出三棱锥F﹣BCE的体积．【解析】（1）证明：在图1中，由题意知，AC=BC=2，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC取AC中点E，连接DE，则DE⊥AC，又平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC=AC，DE⊂平面ACD，从而ED⊥平面ABC，∴ED⊥BC又AC⊥BC，AC∩ED=E，∴BC⊥平面ACD．（2）解：取DC中点F，连结EF，BF，∵E是AC中点，∴EF∥AD，又EF⊂平面BEF，AD⊄平面BEF，∴AD∥平面BEF，由（1）知，BC为三棱锥B﹣ACD的高，∵三棱锥F﹣BCE的高h=BC=2=，S△BCE=S△ACD=×2×2=1，所以三棱锥F﹣BCE的体积为：V F﹣BCE==×1×=．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．19．（12分）2015年3月份全国两会召开后，中国足球引起重视，某校对学生是否喜欢足球进行了抽样调查，男女生各抽了50名，相关数据如下表所示：（1）用分层抽样的方法在喜欢足球的学生中随机抽取6名，男生应该抽取几名？（2）在上述抽取的6名学生中任取2名，求恰有1名女生的概率．（3）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与喜欢足球有关系？参考公式及数据：K2=，其中n=a+b+c+d【考点】独立性检验的应用；分层抽样方法．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（1）求出抽样比，由此能求出男生应抽取人数．（2）随机抽取6名，有4名男生，2名女生，任取2名，共有=15种方法，恰有1名女生有4×2=8种方法，由此能求出恰有1名女生的概率．（3）求出K2，与临界值比较，即可得出结论．【解析】解：（1）喜欢足球的学生有48人，随机抽取6名，男生应该抽取32×=4人；（2）随机抽取6名，有4名男生，2名女生，任取2名，共有=15种方法，恰有1名女生有4×2=8种方法，∴恰有1名女生的概率为．（3）K2=≈10.256＞7.879，∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为性别与喜欢足球有关系．【点评】本题考查概率的求法，考查独立性检验知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．20．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点且斜率为1的直线与圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=相切．（1）求椭圆的方程；（2）设过椭圆右焦点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于点A，B，与y轴交于点C，且AB中点与FC的中点重合，求△AOB（O为坐标原点）的面积．【考点】椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）由，可得a=c，可得椭圆的方程：．过椭圆右焦点且斜率为1的直线方程为：y=x﹣c，由于此直线与圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=相切，可得=，解得c，即可得出椭圆的方程．（2）设直线l的方程为：y=k（x﹣1），C（0，﹣k），设FC的中点为M（x0，y0），可得M．与椭圆方程联立化为（2k2﹣1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B （x2，y2），由中点坐标公式与根与系数的关系可得：k2=．利用|AB|=．点O到直线l的距离d=，S△AOB=．【解析】解：（1）∵，可得a=c，∴b2=a2﹣c2=c2，∴椭圆的方程可化为：．过椭圆右焦点且斜率为1的直线方程为：y=x﹣c，∵此直线与圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=相切，∴=，解得c=1，∴椭圆的方程为：．（2）设直线l的方程为：y=k（x﹣1），C（0，﹣k），设FC的中点为M（x0，y0），可得M．由，化为（2k2﹣1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=．∴==，解得k2=．∴x1+x2=1，x1x2=﹣．则|AB|===．点O到直线l的距离d===．∴S△AOB===．【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆方程相交转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（12分）已知函数f（x）=+lnx．（1）若y=f（x）在x=1处的切线的斜率为，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）=0在[e﹣2，e2]上恰有两个实根，且﹣a＞恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）求函数的导数，根据函数在x=1处的切线的斜率为，建立方程关系即可求出a以及f（x）的单调区间；（2）构造函数，求函数的导数，研究函数的最值即可解决不等式恒成立问题．【解析】解：（1）由f（x）=+lnx得f′（x）=+，若y=f（x）在x=1处的切线的斜率为，∴f′（1）=﹣2a+1=，解得a=，即f′（x）=﹣+=，（x＞0），由f′（x）＞0得x＞，由f′（x）＜0得0＜x＜，即函数的单减区间为（0，），递增求解为（，+∞）．（2）由f（x）=0得+lnx=0，得a=﹣x2lnx，在[e﹣2，e2]上成立，设g（x）=﹣x2lnx，则g′（x）=﹣2xlnx﹣x=﹣x（2lnx+1），由g′（x）=0得2lnx+1=0，解得x=，当x∈[e﹣2，）时，g′（x）＞0，当x∈（，e2），g′（x）＜0，故g（x）在∈[e﹣2，）上单调递增，在（，e2）上单调递减，故g（x）在[e﹣2，e2]上的极大值为g（）=，而g（e﹣2）=，g（e2）=﹣2e4，显然g（e﹣2）＞g（e2），故a的取值范围是[，），令h（a）=﹣a，a∈[，），则h′（a）=﹣1，令h′（a）=0，解得a=＞，则a∈[，）时，h′（a）＞0，故h（a）在[，）上单调递增，故h（a）的最小值为h（）=，故只需要，即m2﹣3m+2＜0，解得1＜m＜2，即实数m的取值范围是（1，2）．【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及导数和不等式的综合应用，考查学生的推理和运算能力．二.请考生在22、23、24三题中任选一题作答．如果多选，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△ABC的顶点都在圆O上，点P在BC的延长线上，且PA与圆O切于点A．（1）若∠ACB=70°，求∠BAP的度数；（2）若=，求的值．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（1）若∠ACB=70°，证明∠ACB+∠BAP=∠ACB+∠ACP=180°，即可求∠BAP 的度数；（2）证明△PAC∽△PBA，利用切割线定理，结合=，求的值．【解析】解：（1）∵PA与圆O切于点A，∴∠CAP=∠ABC，∵∠ACP=∠ABC+∠BAC，∴∠ACP=∠PAC+∠BAC=∠BAP，∴∠ACB+∠BAP=∠ACB+∠ACP=180°，∵∠ACB=70°，∴∠BAP=110°；（2）由（1）得∠CAP=∠ABC，∵∠APC=∠APC，∴△PAC∽△PBA，∴，∴PA=，∴PA2=，由切割线定理可得PA2=PB•PC，∴PB•PC=，∴==．【点评】本题考查切割线定理，考查三角形相似的判断与性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2acosθ（a≠0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ把圆C的极坐标方程，由消元法把直线l的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）根据直线l与圆C有公共点的几何条件，建立关于a的不等式关系，解之即可．【解析】解：（Ⅰ）由得，，则，∴直线l的普通方程为：4x﹣3y+5=0，…（2分）由ρ=2acosθ得，ρ2=2aρcosθ又∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x∴圆C的标准方程为（x﹣a）2+y2=a2，…（5分）（Ⅱ）∵直线l与圆C恒有公共点，∴，…（7分）两边平方得9a2﹣40a﹣25≥0，∴（9a+5）（a﹣5）≥0∴a的取值范围是．…（10分）【点评】本题主要考查学生会将曲线的极坐标方程及直线的参数方程转化为普通方程，运用几何法解决直线和圆的方程的问题，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|，x∈R．（1）解不等式f（x）≤5；（2）若不等式t2+3t＞f（x）在x∈R上有解，求实数t的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）由条件根据绝对值的意义求得不等式f（x）≤5的解集．（2）由题意可得则t2+3t＞f min（x）=4，由此求得实数t的取值范围．【解析】解：（1）函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|表示数轴上的x对应点到﹣3、1对应点的距离之和，而﹣3.5、1.5对应点到﹣3、1对应点的距离之和正好等于5，故不等式f（x）≤5的解集为{x|﹣3.5≤x≤1.5}．（2）若不等式t2+3t＞f（x）在x∈R上有解，则t2+3t＞f min（x）=4，解得t＜﹣4，或t＞1，故实数t的取值范围为{t|t＜﹣4，或t＞1}．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的能成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．。

河南省洛阳市2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数z满足（1+i）z=3+i，则复数z在复平面内所对应的点的坐标是( )A．（1，﹣2）B．（﹣2，1）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）2．设集合A={x|x2﹣6x+8＜0}，B={x|2＜2x＜8}，则A∪B=( )A．{x|2＜x＜3} B．{x|1＜x＜3} C．{x|1＜x＜4} D．{x|3＜x＜4}3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是( )A．f（x）=﹣x3B．f（x）=C．f（x）=﹣tanx D．f（x）=4．“等式sin（α+γ）=sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的( )A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件5．设F1、F2分别是椭圆+=1的左、焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|=3，则P点到椭圆左焦点的距离为( )A．2 B．3 C．4 D．56．执行如图所示的程序框，输出的T=( )A．17 B．29 C．44 D．527．为了得到函数y=cos2x的图象，可以把函数y=sin（2x+）的图象上所有的点( )A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位8．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥a，则n∥αD．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β9．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且=，点O在线段CD上（点O与点C，D不重合），若=x+y，则x的取值范围是( )A．（﹣1，0）B．（0，）C．（0，1）D．（﹣，0）10．已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若a m，a n满足=8a1，则+的最小值为( )A．2 B．4 C．6 D．811．一个几何体的侧视图是边长为2的正三角形，正视图与俯视图的尺寸如图所示，则此几何体的体积为( )A．12+2+3πB．12+3πC．π+2D．+212．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=10，设椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1+e2的取值范围是( )A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．则f（f（2））的值为__________．14．已知变量x，y满足条件，若z=y﹣x的最小值为﹣3，则z=y﹣x的最大值为__________．15．在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为m，n，则使得函数f（x）=x3+mx2﹣（n2﹣π）x+1有极值点的概率为__________．16．对于函数f（x）=te x﹣x，若存在实数a，b（a＜b），使得f（x）≤0的解集为[a，b]，则实数t的取值范围是__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，点（a，b）在直线x（sinA﹣sinB）+ysinB=csinC上．（1）求C的大小；（2）若c=7，求△ABC的周长的取值范围．18．某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（Ⅰ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小：（Ⅱ）从乙比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到恰好有1场得分不足10分的概率．19．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点，如图2，将△ABE沿AE折起，使面BAE⊥面AECD，连接BC，BD，P是棱BC上的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AB=2，求三棱锥B﹣AEP的体积．20．如图，已知椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的离心率e=，短轴右端点为A，M（1，0）为线段OA的中点．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆Γ相交于两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM=∠QNM，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=lnx，h（x）=f（x）+mf′（x）．（1）求函数h（x）单调区间；（2）当m=e（e为自然对数的底数）时，若h（n）﹣h（x）＜对∀x＞0恒成立，求实数n 的取值范围．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AD是△ABC的对角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA 交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC．（1）求证：FB=FC；（2）若FA=2，AD=6，求FB的长．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若点P是曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值，并求出P点的坐标．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x+l|+|x﹣2|，g（x）=|x+1|﹣|x﹣a|+a（a∈R）．（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．河南省洛阳市2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数z满足（1+i）z=3+i，则复数z在复平面内所对应的点的坐标是( )A．（1，﹣2）B．（﹣2，1）C．（﹣1，2）D．（2，﹣1）考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：由（1+i）z=3+i，得，∴复数z在复平面内所对应的点的坐标是（2，﹣1）．故选：D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．设集合A={x|x2﹣6x+8＜0}，B={x|2＜2x＜8}，则A∪B=( )A．{x|2＜x＜3} B．{x|1＜x＜3} C．{x|1＜x＜4} D．{x|3＜x＜4}考点：并集及其运算．专题：集合．分析：把集合A，B分别解出来，根据并集的概念求解即可．解答：解：（Ⅰ）∵A={x|x2﹣6x+8＜0}={x|2＜x＜4}，B={x|2＜2x＜8}={x|1＜x＜3}，∴A∪B={x|1＜x＜4}，故选：C．点评：本题考查一元二次不等式的解法，集合间运算，属于基础题．3．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是( )A．f（x）=﹣x3B．f（x）=C．f（x）=﹣tanx D．f（x）=考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性的定义，单调性的定义判断：①f（x）=﹣x3是奇函数又是减函数；②f（x）=，定义域（﹣∞，0]不是奇函数；③f（x）=﹣tanx在定义域上不是减函数；④f（x）=在定义域上不是减函数；即可判断f（x）=﹣x3是奇函数又是减函数，从而可得答案．解答：解：①∵f（x）=﹣x3，定义域为（﹣∞，+∞），∴f（﹣x）=﹣f（x），x1＜x2，则﹣x13，∴f（x）=﹣x3是奇函数又是减函数，②∵f（x）=，定义域（﹣∞，0]∴f（x）=不是奇函数，③f（x）=﹣tanx在定义域上不是减函数，④f（x）=在定义域上不是减函数，故选；A点评：本题考查了常见函数的单调性，奇偶性，注意定义域，单调区间的定义，属于中档题．4．“等式sin（α+γ）=sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的( )A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：由正弦函数的图象及周期性：当sinα=sinβ时，α=β+2kπ或α+β=π+2kπ，k∈Z，而不是α=β．解答：解：若等式sin（α+γ）=sin2β成立，则α+γ=kπ+（﹣1）k•2β，此时α、β、γ不一定成等差数列，若α、β、γ成等差数列，则2β=α+γ，等式sin（α+γ）=sin2β成立，所以“等式sin（α+γ）=sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的．必要而不充分条件．故选A．点评：本题考查充要条件的判断和三角函数的有关知识，属基本题．5．设F1、F2分别是椭圆+=1的左、焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|=3，则P点到椭圆左焦点的距离为( )A．2 B．3 C．4 D．5考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意知，OM是三角形PF1F2的中位线，由|OM|=3，可得|PF2|=6，再由椭圆的定义求出|PF1|的值．解答：解：如图，则OM是三角形PF1F2的中位线，∵|OM|=3，∴|PF2|=6，又|PF1|+|PF2|=2a=10，∴|PF1|=4，故选：C．点评：本题考查椭圆的定义，以及椭圆的简单性质的应用，判断OM是三角形PF1F2的中位线是解题的关键，是中档题．6．执行如图所示的程序框，输出的T=( )A．17 B．29 C．44 D．52考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n，T的值，当S=12，T=29时满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=3，n=1，T=2不满足条件T＞2S，S=6，n=2，T=8不满足条件T＞2S，S=9，n=3，T=17不满足条件T＞2S，S=12，n=4，T=29满足条件T＞2S，退出循环，输出T的值为29．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的S，n，T的值是解题的关键，属于基础题．7．为了得到函数y=cos2x的图象，可以把函数y=sin（2x+）的图象上所有的点( )A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用诱导公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解答：解：把函数y=sin（2x+）的图象上所有的点向左平移个单位，可得函数y=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x的图象，故选：C．点评：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．8．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m∥a，则n∥α D．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．分析：用具体事物比如教室作为长方体，再根据面面平行的判定定理及线面平行的性质定理判断．解答：解：A不正确，比如教室的一角三个面相互垂直；B不正确，由面面平行的判定定理知m与n必须是相交直线；C不正确，由线面平行的性质定理知可能n⊂α；D正确，由m∥n，m⊥a得n⊥α，因n⊥β，得α∥β故选D．点评：本题考查了线面平行的性质定理和面面平行的判定定理，利用具体的事物可培养立体感．9．在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且=，点O在线段CD上（点O与点C，D不重合），若=x+y，则x的取值范围是( )A．（﹣1，0）B．（0，）C．（0，1）D．（﹣，0）考点：向量数乘的运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：由已知O，B，C三点共线，所以得到x+y=1，又由=，点O在线段CD上（点O与点C，D不重合），利用共面向量基本定理即可得出解答：解：由已知O，B，C三点共线，所以得到x+y=1，所以=x+y=x+（1﹣x）=x（）+=x+，点D在线段BC的延长线上，且=，点O在线段CD上（点O与点C，D不重合），所以x的取值范围为﹣1＜x＜0；故选：A．点评：本题考查了向量的三角形法则、共线向量定理、共面向量基本定理，考查了推理能力，属于基础题．10．已知正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，若a m，a n满足=8a1，则+的最小值为( )A．2 B．4 C．6 D．8考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由等比数列的性质易得m+n=8，可得+=（+）（m+n）=（10++），由基本不等式求最值可得．解答：解：∵正项等比数列{a n}满足a7=a6+2a5，∴q2a5=qa5+2a5，即q2﹣q﹣2=0，解得公比q=2，或q=﹣1（舍去）又∵a m，a n满足=8a1，∴a m a n=64a12，∴q m+n﹣2a12=64a12，∴q m+n﹣2=64，∴m+n﹣2=6，即m+n=8，∴+=（+）（m+n）=（10++）≥（10+2）=2当且仅当=即m=2且n=6时取等号，故选：A．点评：本题考查基本不等式求最值，涉及等比数列的通项公式，属基础题．11．一个几何体的侧视图是边长为2的正三角形，正视图与俯视图的尺寸如图所示，则此几何体的体积为( )A．12+2+3πB．12+3πC．π+2D．+2考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图得到圆几何体，然后由圆锥和三棱锥体积公式得答案．解答：解：由几何体的三视图可得原几何体如图，则几何体为两个半圆锥及中间一个平放的三棱柱的组合体，∵左视图EAD为边长为2的正三角形，∴圆锥的高EP=，∴两个半圆锥的体积和为；中间三棱柱的体积为．∴几何体的体积为．故选：D．点评：本题考查空间几何体的三视图，关键是由三视图得到原几何体，考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．12．已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F1、F2，这两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|=10，设椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1+e2的取值范围是( )A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）考点：椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由条件可得m=10，n=2c，再由椭圆和双曲线的定义可得a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），运用三角形的三边关系求得c的范围，再由离心率公式，计算即可得到所求范围．解答：解：设椭圆和双曲线的半焦距为c，|PF1|=m，|PF2|=n，（m＞n），由于△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|=10，即有m=10，n=2c，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定义可得m﹣n=2a2，即有a1=5+c，a2=5﹣c，（c＜5），再由三角形的两边之和大于第三边，可得2c+2c＞10，可得c＞，即有＜c＜5．由离心率公式可得e1+e2=+=+==，∵f（x）=在（，5）上是减函数，∴0=＜＜=，∴=＜＜+∞，故选：B．点评：本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查三角形的三边关系，考查运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．则f（f（2））的值为2．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．专题：计算题．分析：本题是一个分段函数，且是一个复合函数求值型的，故求解本题应先求内层的f（2），再以之作为外层的函数值求复合函数的函数值，求解过程中应注意自变量的范围选择相应的解析式求值．解答：解：由题意，自变量为2，故内层函数f（2）=log3（22﹣1）=1＜2，故有f（1）=2×e1﹣1=2，即f（f（2））=f（1）=2×e1﹣1=2，故答案为 2点评：本题的考点分段函数，考查复合函数求值，由于对应法则是分段型的，故求解时应根据自变量的范围选择合适的解析式，此是分段函数求值的特点．14．已知变量x，y满足条件，若z=y﹣x的最小值为﹣3，则z=y﹣x的最大值为．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，先求出m的值，然后通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=y﹣x得y=x+z，平移直线y=x+z，由图象可知当直线y=x+z经过点C时，直线y=x+z的截距最小，此时z最小，为﹣3，即z=y﹣x=﹣3，由，解得，即C（2，﹣1），C也在直线x+y=m上，∴m=2﹣1=1，即直线方程为x+y=1，当直线y=x+z经过点B时，直线y=x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（，），此时z=y﹣x=﹣=，故答案为：．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．15．在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为m，n，则使得函数f（x）=x3+mx2﹣（n2﹣π）x+1有极值点的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据f（x）有极值，得到f'（x）=0有两个不同的根，求出a、b的关系式，利用几何概型的概率公式即可的得到结论解答：解：在区间[﹣π，π]内随机取两个数分别记为m，n，则使得函数f（x）=x3+mx2﹣（n2﹣π）x+1有极值点则f′（x）=x2+2mx﹣（n2﹣π）=0有两个不同的根，即判别式△=4m2+4（n2﹣π）＞0，即m2+n2＞π对应区域的面积为4π2﹣π2．如图∴由几何概型的概率公式可得对应的概率P=．故答案为：．点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，利用函数取得极值的条件求出对应a的取值范围是解决本题的关键16．对于函数f（x）=te x﹣x，若存在实数a，b（a＜b），使得f（x）≤0的解集为[a，b]，则实数t的取值范围是（0，）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：转化te x≤x，为t的不等式，求出表达式的最大值，以及单调区间，即可得到t的取值范围．解答：解：te x≤x（e是自然对数的底数），转化为t≤，令y=，则y′=，令y′=0，可得x=1，当x＞1时，y′＜0，函数y递减；当x＜1时，y′＞0，函数y递增．则当x=1时函数y取得最大值，由于存在实数a、b，使得f（x）≤0的解集为[a，b]，则由右边函数y=的图象可得t的取值范围为（0，）．故答案为（0，）．点评：本题考查函数的导数的最值的应用，考查转化思想与计算能力．属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，点（a，b）在直线x（sinA﹣sinB）+ysinB=csinC上．（1）求C的大小；（2）若c=7，求△ABC的周长的取值范围．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）把点（a，b）代入直线方程，利用正弦定理进行化简后求出cosC的值，由内角的范围即可求出C；（2）利用余弦定理和基本不等式化简，求出a+b的范围，再由三边的关系求出△ABC周长的取值范围．解答：解：（1）由题意得，点（a，b）在直线x（sinA﹣sinB）+ysinB=csinC上，∴a（sinA﹣sinB）+bsinB=csinC，根据正弦定理得，a（a﹣b）+b2=c2，整理得，ab=a2+b2﹣c2，则cosC=，由0＜C＜π得，C=；（2）由（1）和余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab则49=（a+b）2﹣3ab≥，∴（a+b）2≤4×49，则a+b≤14（当且仅当a=b时等号成立），∵a+b＞7，c=7，∴△ABC的周长的取值范围是（14，21]．点评：本题考查了正弦、余弦定理，三角形三边关系，以及基本不等式的综合应用，属于中档题．18．某篮球队甲、乙两名队员在本赛季已结束的8场比赛中得分统计的茎叶图如下：（Ⅰ）比较这两名队员在比赛中得分的均值和方差的大小：（Ⅱ）从乙比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到恰好有1场得分不足10分的概率．考点：等可能事件的概率；茎叶图．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据茎叶图的数据，由平均数、方差的计算公式，可得甲、乙两人得分的平均数与方差；（Ⅱ）根据题意，可得乙在6场比赛中的得分，用数组（x，y）表示抽出2场比赛的得分情况，列举（x，y）的全部情况，分析可得其中恰好有1场得分在10以下的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：（Ⅰ）根据题意，甲=（7+9+11+13+13+16+23+28）=15，\overline{x}乙=（7+8+10+15+17+19+21+23）=15，s2甲=[（﹣8）2+（﹣6）2+（﹣4）2+（﹣2）2+（﹣2）2+12+82+132]=44.75，s2乙=[（﹣8）2+（﹣7）2+（﹣5）2+02+22+42+62+82]=32.25．甲、乙两名队员的得分均值相等，甲的方差较大；（Ⅱ）根据题意，乙在6场比赛中的得分为：7，8，10，15，17，19；从中随机抽取2场，用（x，y）表示这2场比赛的得分情况，有（7，8），（7，10），（7，15），（7，17），（7，19），（8，10），（8，15），（8，17），（8，19），（10，15），（10，17），（10，19），（15，17），（15，19），（17，19），共15种情况，其中恰好有1场得分在10以下的情况有：（7，10），（7，15），（7，17），（7，19），（8，10），（8，15），（8，17），（8，19），共8种，所求概率P=．点评：本题考查等可能事件的概率，涉及列举法的运用，注意列举时，按一定的顺序，做到不重不漏．19．如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点，如图2，将△ABE沿AE折起，使面BAE⊥面AECD，连接BC，BD，P是棱BC上的中点．（1）求证：AE⊥BD；（2）若AB=2，求三棱锥B﹣AEP的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）连接BD，取AE中点M，连接BM，DM，根据等边三角形可知BM⊥AE，DM⊥AE，BM∩DM=M，BM，DM⊂平面BDM，满足线面垂直的判定定理则AE⊥平面BDM，而BD⊂平面BDM，得到AE⊥BD．（2）利用V B﹣AEP=V P﹣AEB=V C﹣AEB，即可求出三棱锥B﹣AEP的体积．解答：（1）证明：设AE中点为M，连接BM，∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中点，∴△ABE与△ADE都是等边三角形．∴BM⊥AE，DM⊥AE．∵BM∩DM=M，BM、DM⊂平面BDM，∴AE⊥平面BDM．∵BD⊂平面BDM，∴AE⊥BD；（2）∵面BAE⊥面AECD，面BAE∩面AECD=AE，DM⊥AE，∴DM⊥面AECD，∵AB=2，∴AE=2，∴BM=DM=，∴V B﹣AEP=V P﹣AEB=V C﹣AEB==．点评：本题考查线面垂直，考查三棱锥B﹣AEP的体积，解题的关键是掌握线面垂直，三棱锥体积的计算方法，属于中档题．20．如图，已知椭圆Γ：=1（a＞b＞0）的离心率e=，短轴右端点为A，M（1，0）为线段OA的中点．（Ⅰ）求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）过点M任作一条直线与椭圆Γ相交于两点P，Q，试问在x轴上是否存在定点N，使得∠PNM=∠QNM，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）根据离心率，短轴右端点为A，M（1，0）为线段OA的中点，求出几何量，即可求椭圆Γ的方程；（Ⅱ）分类讨论，设PQ的方程为：y=k（x﹣1），代入椭圆方程化简，若∠PNM=∠QNM，则k PN+k QN=0，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）由已知，b=2，又，即，解得，所以椭圆方程为．…（Ⅱ）假设存在点N（x0，0）满足题设条件．当PQ⊥x轴时，由椭圆的对称性可知恒有∠PNM=∠QNM，即x0∈R；…当PQ与x轴不垂直时，设PQ的方程为：y=k（x﹣1），代入椭圆方程化简得：（k2+2）x2﹣2k2x+k2﹣8=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则则==…若∠PNM=∠QNM，则k PN+k QN=0即=0，整理得4k（x0﹣4）=0因为k∈R，所以x0=4综上在x轴上存在定点N（4，0），使得∠PNM=∠QNM…点评：本题考查椭圆的几何性质与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．21．设函数f（x）=lnx，h（x）=f（x）+mf′（x）．（1）求函数h（x）单调区间；（2）当m=e（e为自然对数的底数）时，若h（n）﹣h（x）＜对∀x＞0恒成立，求实数n 的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（1）由题意先求函数h（x）的定义域，再求导h′（x），从而讨论导数的正负以确定函数的单调性；（2）由h（n）﹣h（x）＜转化为，即成立，利用导数求出在（0，e）上的最小值即可．解答：解：（1），h（x）=，定义域为（0，+∞）=当m≤0时，在（0，+∞）上h′（x）＞0，此时h（x）在（0，+∞）单调递增，当m＞0时，在（0，m）上h′（x）＜0，此时h（x）在（0，m）单调递减，在（m，+∞）上h′（x）＞0，h（x）在（m，+∞）上单调递增，综上：当m≤0时，h（x）在（0，+∞）单调递增，当m＞0时，h（x）在（0，m）单调递减，在（m，+∞）上单调递增；（2）当m=e时，，不等式为即只需由（1）知，在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，∴当x=m时，g min（x）=g（e）=2故lnn＜2，可得0＜n＜e2∴n的取值范围为（0，e2）．点评：本题考查了，利用导数求函数的单调区间，运用了等价转换等数学思想，是一道导数的综合题，难度中等．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AD是△ABC的对角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA 交△ABC的外接圆于点F，连结FB，FC．（1）求证：FB=FC；（2）若FA=2，AD=6，求FB的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：（1）欲证FB=FC，可证∠FBC=∠FCB．由A、C、B、F四点共圆可知∠FBC=∠CAD，又同弧所对的圆周角相等，则∠FCB=∠FAB，而∠FAB=∠EAD，则∠FCB=∠EAD，AD是△ABC外角∠EAC的平分线，得∠CAD=∠EAD，故∠FBC=∠FCB；（2）由（1）知，求FB的长，即可以转化为求FC的长，联系已知条件：告诉FA与AD的长度，即可证△FAC∽△FCD．解答：（1）证明：∵A、C、B、F四点共圆∴∠FBC=∠DAC又∵AD平分∠EAC∴∠EAD=∠DAC又∵∠FCB=∠FAB（同弧所对的圆周角相等），∠FAB=∠EAD∴∠FBC=∠FCB∴FB=FC；（2）解：∵∠BAC=∠BFC，∠FAB=∠FCB=∠FBC∴∠FCD=∠BFC+∠FBC=∠BAC+∠FAB=∠FAC∵∠AFC=∠CFD，∴△FAC∽△FCD∴FA：FC=FC：FD∴FB2=FC2=FA•FD=16，∴FB=4．点评：本题主要考查了圆周角定理及相似三角形的判定．在圆中，经常利用同弧或者等弧所对的圆周角相等来实现角度的等量转化．还要善于将已知条件与所要求的问题集中到两个三角形中，运用三角形相似来解决问题．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=．（1）写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；（2）若点P是曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值，并求出P点的坐标．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：本题（1）可以先消参数，求出直线l的普通方程，再利用公式将曲线C的极坐标方程化成平面直角坐标方程，（2）利用点到直线的距离公式，求出P到直线l的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出P点的坐标，得到本题结论．解答：解：（1）∵，∴x﹣y=1．∴直线的极坐标方程为：ρcosθ﹣ρsinθ=1．即，即．∵，∴，∴ρcos2θ=sinθ，∴（ρcosθ）2=ρsinθ即曲线C的普通方程为y=x2．（2）设P（x0，y0），，∴P到直线的距离：．∴当时，，∴此时，∴当P点为时，P到直线的距离最小，最小值为．点评：本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为平面直角坐标方程、点到直线的距离公式，本题难度不大，属于基础题．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x+l|+|x﹣2|，g（x）=|x+1|﹣|x﹣a|+a（a∈R）．（Ⅰ）解不等式f（x）≤5；（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）f（x）=|x+l|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1和2对应点的距离之和，而﹣2 对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，3对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，从而得到不等式f（x）≤5的解集．（Ⅱ）由题意可得|x﹣2|+|x﹣a|≥a 恒成立，而|x﹣2|+|x﹣a|的最小值为|2﹣a|=|a﹣2|，故有|a ﹣2|≥a，由此求得a的范围．解答：解：（Ⅰ）f（x）=|x+l|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1和2对应点的距离之和，而﹣2 对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，3对应点到﹣1和2对应点的距离之和正好等于5，故不等式f（x）≤5的解集为[﹣2，3]．（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，即|x﹣2|+|x﹣a|≥a 恒成立．而|x﹣2|+|x﹣a|的最小值为|2﹣a|=|a﹣2|，∴|a﹣2|≥a，∴（2﹣a）2≥a2，解得a≤1，故a的范围（﹣∞，1]．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化数学思想，属于中档题．。

河南省豫南九校2015届高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题：共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={x|y=log2（x﹣1），y∈N*，x∈B}，B={2，3，4，5，6，7，8，9}，则A∩B=（）A．{1，2} B．{1，2，3}C．{3，5，9} D．{2，3，4，5，6，7，8，9}2．（5分）如图复平面内的点A表示复数z，则复数表示的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）2014年11月11日的“双十一”又掀购物狂潮，淘宝网站对购物情况做了一项调查，收回的有效问卷共500000份，其中购买下列四种商品的人数统计如下：服饰鞋帽198000人；家居用品94000人；化妆品116000人；家用电器92000人．为了解消费者对商品的满意度，淘宝网站用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行调查，已知在购买“化妆品”这一类中抽取了116人，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为（）A．92 B．94 C．116 D．1184．（5分）已知直线l的斜率为2，M、N是直线l与双曲线C：的两个交点，设M、N的中点为P（2，1），则C的离心率为（）A．B．C．2 D．25．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6．（5分）若，则等于（）A．B．C．D．7．（5分）实数x，y满足条件，则22x﹣y的最小值为（）A．B．C．1 D．48．（5分）如图所示，该程序框图的功能是计算数列{2n﹣1}前6项的和，则判断框内应填入的条件为（）A．i＞5 B．i≥5C．i＞6 D．i≥69．（5分）甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s1，s2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）A．＞，s1＜s2B．=，s1＞s2C．=，s1=s2D．=，s1＜s210．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA=AB=4，BC=2，则三棱锥P﹣ABC 的外接球的体积为（）A．24πB．36πC．12πD．11．（5分）已知点A（1，2）在抛物线C：y2=4x上，过点A作两条直线分别交抛物线于点D，E，直线AD，AE的斜率分别为k AD，K AE．若直线DE过点（﹣1，﹣2），则k AD•k AE=（）A．4 B．3 C．2 D．112．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知•=0，|+|=t||，若+与﹣的夹角为，则t的值为．14．（5分）已知函数f（x）=x（x﹣a）（x﹣b）的导函数为f′（x），且f′（0）=4，则a2+2b2的最小值为．15．（5分）设锐角三角形ABC的三个内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若a=2，B=2A，则b的取值范围为．16．（5分）已知函数f（x）及g（x）（x∈D），若对于任意的x∈D，存在x0，使得f（x）≥f （x0），g（x）≥g（x0）恒成立且f（x0）=g（x0），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”，已知函数f（x）=x2+px+q（p，q∈R），g（x）=是定义在区间[，2]上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间[，2]上的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且对任意正整数n，点（a n+1，S n）在直线2x+y ﹣2=0上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{S n+λ•n+}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．18．（12分）把参加某次铅球投掷的同学的成绩（单位：米）进行整理，分成以下6个小组：[5.25，6.25），[6.15，7.05），[7.05，7.95），[7.95，8.85），[8.85，9.75），[9.75，10.65），并绘制出频率分布直方图，如图所示的是这个频率分布直方图的一部分．已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04、0.10、0.14、0.28、0.30，第6小组的频数是7．规定：投掷成绩不小于7.95米的为合格．（Ⅰ）求这次铅球测试成绩合格的人数；（Ⅱ）你认为这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在第几组？请说明理由；（Ⅲ）若参加这次铅球投掷的学生中，有5人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加相关部门组织的经验交流会，已知a，b两位同学的成绩均为优秀，求a，b 两位同学中至少有1人被选到的概率．19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，SA=SD，∠BAD=60°，AB=2，SE=，SC=，E是AD中点，SF=2FC．（1）求证：AD⊥平面SBE；（2）求三棱锥F﹣BEC的体积．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点（，1）一个焦点是F（0，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C与y轴的两个交点为A1、A2，点P在直线y=a2上，直线PA1、PA2分别与椭圆C 交于点M、N两点，试问：当点P在直线y=a2上运动时，直线MN是否恒经过定点Q？证明你的结论．21．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．三、请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD相交于点F．（Ⅰ）证明：A、E、F、M四点共圆；（Ⅱ）若MF=4BF=4，求线段BC的长．三、选修4-4：坐标系与参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．三、选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|（Ⅰ）解不等式f（x）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）≤|a﹣2|的解集为R，求实数a取值范围．河南省豫南九校2015届高考数学模拟试卷（文科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1．（5分）已知集合A={x|y=log2（x﹣1），y∈N*，x∈B}，B={2，3，4，5，6，7，8，9}，则A∩B=（）A．{1，2} B．{1，2，3}C．{3，5，9} D．{2，3，4，5，6，7，8，9}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由对数的性质得到x大于1，再由符合已知条件得到集合A中的元素，则A交B的答案可求．解答：解：由y=log2（x﹣1），得x﹣1＞0 即x＞1．又x∈B，当x取3，5，9时，y符合题意，属于N*，则A∩B={3，5，9}∩{2，3，4，5，6，7，8，9}={3，5，9}．故选：C．点评：本题考查了交集及其运算，考查了对数的运算性质，是基础题．2．（5分）如图复平面内的点A表示复数z，则复数表示的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出．解答：解：由图可知：z=3+i，则复数===2﹣i表示的点（2，﹣1）所在的象限为第四象限．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3．（5分）2014年11月11日的“双十一”又掀购物狂潮，淘宝网站对购物情况做了一项调查，收回的有效问卷共500000份，其中购买下列四种商品的人数统计如下：服饰鞋帽198000人；家居用品94000人；化妆品116000人；家用电器92000人．为了解消费者对商品的满意度，淘宝网站用分层抽样的方法从中选出部分问卷进行调查，已知在购买“化妆品”这一类中抽取了116人，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为（）A．92 B．94 C．116 D．118考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．解答：解：在购买“化妆品”这一类中抽取了116人，则在购买“家居用品”这一类中应抽取的问卷份数为x，则，解得x=94，故选：B点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．4．（5分）已知直线l的斜率为2，M、N是直线l与双曲线C：的两个交点，设M、N的中点为P（2，1），则C的离心率为（）A．B．C．2 D．2考点：双曲线的简单性质．分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），根据AB的中点P的坐标，表示出斜率，利用点差法，得到关于a、b的关系式，再求离心率解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则=1，①=1，②，∵点P（2，1）是AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2，∵直线l的斜率为2，∴，∴①﹣②得a2=b2，∴c2=2a2，∴e=．故选：A．点评：本题考查了双曲线的简单性质，解题的关键是利用“设而不求”法求直线l的斜率．5．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．解答：解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选：D．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，解答的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．6．（5分）若，则等于（）A．B．C．D．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：将看作整体，将化作的三角函数．解答：解：==﹣=﹣=2﹣1=2×﹣1=．故选A点评：观察已知的角与所求角的练习，做到整体代换．7．（5分）实数x，y满足条件，则22x﹣y的最小值为（）A．B．C．1 D．4考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：设z=2x﹣y，利用数形结合求出z的最小值即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图，设z=2x﹣y，由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C（0，1）时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小．将A（0，1）的坐标代入目标函数z=0﹣1=﹣1，即z=2x﹣y的最小值为﹣1，此时22x﹣y的最小值为．故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．8．（5分）如图所示，该程序框图的功能是计算数列{2n﹣1}前6项的和，则判断框内应填入的条件为（）A．i＞5 B．i≥5C．i＞6 D．i≥6考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：根据算法流程，依次计算运行结果，由等比数列的前n项和公式，判断程序退出循环的条件．解答：解：由算法的流程知，第一次运行，A=2×0+1=1，i=1+1=2；第二次运行，A=2×1+1=3，i=2+1=3；第三次运行，A=2×3+1=7，i=3+1=4；第四次运行，A=2×7+1=15，i=5；第五次运行，A=2×15+1=31，i=6；第六次运行，A=2×31+1=1+2+22+…+25==26﹣1=64﹣1=63，i=7；由于程序框图的功能是计算数列{2n﹣1}前6项的和，由题意，此时应该满足条件，终止运行，输出A=63，故判断框内应填入的条件为：i＞6故选：C．点评：本题考查循环结构的程序框图，等比数列的前n项和公式，根据算法流程判断程序的功能是关键，属于基本知识的考查．9．（5分）甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，s1，s2分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）A．＞，s1＜s2B．=，s1＞s2C．=，s1=s2D．=，s1＜s2考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：计算甲、乙运动员成绩的平均数与方差、标准差，进行比较即可．解答：解：根据茎叶图中的数据，得；甲运动员成绩的平均数是=（9+14+15+15+16+21）=15，方差是=[（9﹣15）2+（14﹣15）2+2×（15﹣15）2+（16﹣15）2+（21﹣15）2]=，标准差是s1=；乙运动员成绩的平均数是=（8+13+15+15+17+22）=15，方差是=[（8﹣15）2+（13﹣15）2+2×（15﹣15）2+（17﹣15）2+（22﹣15）2]=，标准差是s2=；∴=，s1＜s2．故选：D．点评：本题考查了求数据的平均数与方差、标准差的应用问题，是基础题目．10．（5分）在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA=AB=4，BC=2，则三棱锥P﹣ABC 的外接球的体积为（）A．24πB．36πC．12πD．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：构造补充图形为长方体，几何体三棱锥P﹣ABC的外接球，与棱长为4，4，2．长方体的外接球应该是同一个外接球，再用长方体的对角线长求解外接球的半径，即可求解体积．解答：解：∵在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC且PA=AB=4，BC=2，∴画出几何图形，可以构造补充图形为长方体，棱长为4，4，2．∵对角线长为=6．∴三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为3，体积为×π×33=36π．故选：B．点评：本题考查了空间几何体的性质，构建容易操作的几何体，把问题转化求解，关键是有一定的空间想象能力．11．（5分）已知点A（1，2）在抛物线C：y2=4x上，过点A作两条直线分别交抛物线于点D，E，直线AD，AE的斜率分别为k AD，K AE．若直线DE过点（﹣1，﹣2），则k AD•k AE=（）A．4 B．3 C．2 D．1考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：向量与圆锥曲线．分析：通过利用过F点直线DE与抛物线C方程，利用韦达定理计算即可．解答：解：设F（﹣1，﹣2），过F点直线DE方程为：y+2=k（x+1），联立，消去x、整理得：ky2﹣4y+4k﹣8=0，由题意及韦达定理可得：y1+y2=，y1y2=，∴x1+x2==，x1x2==，∴k AD•k AE=•===2，故选：C．点评：本题是一道直线与抛物线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．12．（5分）定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；压轴题．分析：根据定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），可以令x=﹣1，求出f（1），再求出函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x ﹣18，画出图形，根据函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，利用数形结合的方法进行求解；解答：解：因为 f（x+2）=f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数令x=﹣1 所以 f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1），f（﹣1）=f（1）即 f（1）=0 则有，f（x+2）=f（x）f（x）是周期为2的偶函数，当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18=﹣2（x﹣3）2图象为开口向下，顶点为（3，0）的抛物线∵函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得a＜1，要使函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）=log a（|x|+1），如图要求g（2）＞f（2），可得就必须有 log a（2+1）＞f（2）=﹣2，∴可得log a3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a＜又a＞0，∴0＜a＜，故选A；点评：此题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是2015届高考常考的热点问题，此题是一道中档题；二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．（5分）已知•=0，|+|=t||，若+与﹣的夹角为，则t的值为2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据题目条件得出|+|=||=t||，2=t2，即2=（t2﹣1）2，t＞0 利用向量的夹角公式cos=，即可解得结论，即=．解答：解：∵•=0，∴|+|=||∵|+|=t||，若+与﹣的夹角为，∴2=t2，即2=（t2﹣1）2，t＞0∴由向量的夹角公式cos=====，即=，t2=4，t=±2，t=﹣2（舍去），故答案为：2．点评：本题主要考查向量数量积的运算及夹角公式的应用，属于基础题．14．（5分）已知函数f（x）=x（x﹣a）（x﹣b）的导函数为f′（x），且f′（0）=4，则a2+2b2的最小值为8．考点：导数的运算．专题：导数的综合应用．分析：求函数的导数，得到ab=4，然后利用基本不等式即可得到结论．解答：解：∵f（x）=x（x﹣a）（x﹣b）=x3﹣（a+b）x2+abx，∴f′（x）=3x2﹣2（a+b）x+ab，∵f′（0）=4，∴f′（0）=ab=4，∴a2+2b2≥，当且仅当a2=2b2，即a=时取等号，故答案为：8点评：本题主要考查基本不等式的应用，利用导数求出ab=4是解决本题的关键．15．（5分）设锐角三角形ABC的三个内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若a=2，B=2A，则b的取值范围为（2，2）．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由题意可得0＜2A＜，且＜3A＜π，解得A的范围，可得cosA的范围，由正弦定理求得=b=2cosA，根据cosA的范围确定出b范围即可．解答：解：锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，B=2A，∴0＜2A＜，且B+A=3A，∴＜3A＜π．∴＜A＜，∴＜cosA＜，∵a=2，B=2A，∴由正弦定理可得：=b==2cosA，即b=4cosA，∴2＜4cosA＜2，则b的取值范围为：（2，2）．故答案为：（2，2）．点评：此题考查了正弦定理，余弦函数的性质，解题的关键是确定出A的范围，属于基本知识的考查．16．（5分）已知函数f（x）及g（x）（x∈D），若对于任意的x∈D，存在x0，使得f（x）≥f （x0），g（x）≥g（x0）恒成立且f（x0）=g（x0），则称f（x），g（x）为“兄弟函数”，已知函数f（x）=x2+px+q（p，q∈R），g（x）=是定义在区间[，2]上的“兄弟函数”，那么函数f（x）在区间[，2]上的最大值为2．考点：函数的最值及其几何意义．专题：计算题；新定义；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：化简g（x）=x+﹣1，从而由基本不等式可判断g（x）在x=1处取得最小值1；从而可知f（x）在x=1处取得最小值1，再由二次函数的顶点式写出f（x）=（x﹣1）2+1，从而求函数的最大值．解答：解：∵g（x）==x+﹣1≥2﹣1=1；（当且仅当x=，即x=1时，等号成立）∴g（x）在x=1处取得最小值1；又∵f（x）与g（x）是定义在区间[，2]上的“兄弟函数”，∴f（x）在x=1处取得最小值1；∴f（x）=x2+px+q=（x﹣1）2+1；又∵|﹣1|＜|2﹣1|，∴f max（x）=f（2）=1+1=2；故答案为：2．点评：本题考查了学生对新定义的接受与转化能力，同时考查了基本不等式的应用及二次函数的性质应用，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且对任意正整数n，点（a n+1，S n）在直线2x+y ﹣2=0上．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{S n+λ•n+}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．考点：数列递推式；等差关系的确定．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由已知条件可得 2a n+1 +S n ﹣2=0，可得n≥2时，2a n+s n﹣1﹣2=0，相减可得=（n≥2）．由此可得{a n}是首项为1，公比为的等比数列，由此求得数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）先求出s n=2﹣，若数列{S n+λ•n+}为等差数列，则由第二项的2倍等于第一项加上第三项，求出λ=2，经检验λ=2时，此数列的通项公式是关于n的一次函数，故满足数列为等差数列，从而得出结论．解答：解：（Ⅰ）∵点（a n+1，S n）在直线2x+y﹣2=0上，∴2a n+1 +S n ﹣2=0．①n≥2时，2a n+s n﹣1﹣2=0．②①─②得 2a n+1 ﹣2a n+a n=0，∴=（n≥2）．再由a1=1，可得 a2=．∴{a n}是首项为1，公比为的等比数列，∴a n =．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 s n==2﹣．若数列{S n+λ•n+}为等差数列，则 s1+λ+，s2+2λ+，s3+3λ+成等差数列，∴2（s2+2λ+）=（s1+λ+）+（s3+3λ+），解得λ=2．又λ=2时，S n+λ•n+=2n+2，显然 {2n+2}成等差数列，故存在实数λ=2，使得数列 {S n+λ•n+}成等差数列．点评：本题主要考查等差关系的确定，根据数列的递推关系求通项，属于中档题．18．（12分）把参加某次铅球投掷的同学的成绩（单位：米）进行整理，分成以下6个小组：[5.25，6.25），[6.15，7.05），[7.05，7.95），[7.95，8.85），[8.85，9.75），[9.75，10.65），并绘制出频率分布直方图，如图所示的是这个频率分布直方图的一部分．已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04、0.10、0.14、0.28、0.30，第6小组的频数是7．规定：投掷成绩不小于7.95米的为合格．（Ⅰ）求这次铅球测试成绩合格的人数；（Ⅱ）你认为这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在第几组？请说明理由；（Ⅲ）若参加这次铅球投掷的学生中，有5人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加相关部门组织的经验交流会，已知a，b两位同学的成绩均为优秀，求a，b 两位同学中至少有1人被选到的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）先求第6组的频率，从而确定这次铅球测试成绩合格的人数；（Ⅱ）计算出第1、2、3组的人数为14人，第5、6组的人数为22人，所以可以确定这次铅球投掷的成绩的中位数在[7.95，8.85）内，即第4组；（Ⅲ）列举随机选出2人参加相关部门组织的经验交流会的所有基本事件，找出a，b两位同学中至少有1人被选到所包含的基本事件，利用概率公式计算即可．解答：解：（Ⅰ）第6小组的频率为1﹣（0.04+0.10+0.28+0.30）=0.14，∴参加这次铅球投掷的总人数为人，根据规定，第4、5、6组的成绩均为合格，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36人；（Ⅱ）∵成绩在第1、2、3组的人数为（0.04+0.10+0.14）×50=14人成绩在第5、6组的人数为（0.30+0.14）×50=22人，参加这次铅球投掷的总人数为50人，∴这次铅球投掷的成绩的中位数在[7.95，8.85）内，即第4组；（Ⅲ）设这次铅球投掷成绩优秀的5人为a、b、c、d、e，则选出的2人所有可能的情况为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种，其中a、b至少有1人的情况为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be共7种，∴a、b至少有1人被选到的概率为P=．点评：本题考查频率分布直方图的性质，样本数据的数字特征，古典概型概率的计算公式，列举法的应用，属于中档题．19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，SA=SD，∠BAD=60°，AB=2，SE=，SC=，E是AD中点，SF=2FC．（1）求证：AD⊥平面SBE；（2）求三棱锥F﹣BEC的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连接BD，利用菱形与等边三角形的性质可得：BE⊥AD．再利用等腰三角形的性质可得：SE⊥AD．利用线面垂直的判定定理即可证明：AD⊥平面SBE．（2）在△CED中，由余弦定理可得：CE2=7，又SE=，SC=，利用勾股定理的逆定理可得：SE⊥EC，从而证明SE⊥平面ABCD．由SF=2FC．可得V F﹣BEC=，即可得出．解答：（1）证明：连接BD，∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∵E是AD中点，∴BE⊥AD．∵SA=SD，E是AD中点，∴SE⊥AD．又SE∩BE=E，∴AD⊥平面SBE；（2）在△CED中，由余弦定理可得：CE2=ED2+CD2﹣2ED•CD•cos∠CDE=12+22﹣2×1×2cos120°=7，又SE=，SC=，∴SE2+CE2=SC2，∴SE⊥EC，又AD∩EC=E，∴SE⊥平面ABCD．S△B EC==．∵SF=2FC．∴V F﹣BEC====．点评：本题考查了线面垂直的判定与性质定理、菱形的性质定理、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点（，1）一个焦点是F（0，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C与y轴的两个交点为A1、A2，点P在直线y=a2上，直线PA1、PA2分别与椭圆C 交于点M、N两点，试问：当点P在直线y=a2上运动时，直线MN是否恒经过定点Q？证明你的结论．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）通过将点（，1）代入椭圆方程、并利用a2﹣b2=1，计算即得结论；（2）分MN斜率不存在与存在两种情况讨论，当点P不在y轴上时，分别联立直线PA1方程、直线PA2方程与椭圆方程，计算出k QM、k QN即可．解答：解：（1）∵椭圆C：（a＞b＞0）经过点（，1），∴①又∵椭圆的一个焦点是F（0，1），∴a2﹣b2=1 ②由①②得：a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为：；（2）结论：直线MN恒经过定点Q（0，1）．证明如下：由（1）知a2=4，∴点P在直线y=4上，设P（t，4）．当MN斜率不存在时，直线MN即y轴，通过点Q（0，1）；当点P不在y轴上时，记A1（0，2）、A2（0，﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），则直线PA1方程：y=x+2=x+2，直线PA2方程：y=x﹣2=x﹣2，联立，得：（3+t2）x2+6tx=0，解得x1=﹣，y1=，∴k QM==，联立，得：（27+t2）x2﹣18tx=0解得x2=，y2=，∴k QN==，∵k QM==k QN，∴直线MN恒经过定点Q（0，1）．点评：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；导数的几何意义；导数的运算．专题：方程思想．分析：（1）由f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值，可得f'（1）=f'（﹣1）=0，故可得到a、b的方程组，求解即可；（2）由题意知，点A不在曲线上，故设出切点为M（x0，y0），根据切点在曲线y=f（x）上和导数的几何意义建立等量关系，推出2x03﹣3x02+m+3=0，由题意知，该方程有3个解，故将问题转化为g（x0）=2x03﹣3x02+m+3的极大值和极小值异号的问题，从而求出实数m的取值范围．解答：解：（1）f'（x）=3ax2+2bx﹣3，依题意，f'（1）=f'（﹣1）=0，即，解得a=1，b=0．∴f（x）=x3﹣3x．（4分）（2）f'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），∵曲线方程为y=x3﹣3x，∴点A（1，m）不在曲线上．设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0=x03﹣3x0．∵f'（x0）=3（x02﹣1），∴切线的斜率为，整理得2x03﹣3x02+m+3=0．（8分）∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，∴关于x0方程2x03﹣3x02+m+3=0有三个实根．设g（x0）=2x03﹣3x02+m+3，则g'（x0）=6x02﹣6x0，由g'（x0）=0，得x0=0或x0=1．（12分）∴函数g（x0）=2x03﹣3x02+m+3的极值点为x0=0，x0=1．∴关于x0方程2x03﹣3x02+m+3=0有三个实根的充要条件是g（1）g（0）＜0，即（m+3）（m+2）＜0，解得﹣3＜m＜﹣2．故所求的实数a的取值范围是﹣3＜m＜﹣2．点评：本题考查了导数的几何意义，利用导数求函数的极值和最值等知识，难度较大．三、请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，AB为圆O的直径，CD为垂直于AB的一条弦，垂足为E，弦BM与CD相交于点F．（Ⅰ）证明：A、E、F、M四点共圆；（Ⅱ）若MF=4BF=4，求线段BC的长．考点：与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．专题：立体几何．分析：（Ⅰ）连结AM，由AB为直径可知∠AMB=90°，又CD⊥AB，由此能证明A、E、F、M 四点共圆．（Ⅱ）连结AC，由A、E、F、M四点共圆，得BF•BM=BE•BA，由此能求出线段BC的长．解答：（Ⅰ）证明：如图，连结AM，由AB为直径可知∠AMB=90°，又CD⊥AB，所以∠AEF=∠AMB=90°，因此A、E、F、M四点共圆．（4分）（Ⅱ）解：连结AC，由A、E、F、M四点共圆，所以BF•BM=BE•BA，（6分）在RT△ABC中，BC2=BE•BA，（8分）又由MF=4BF=4知BF=1，BM=5，所以BC2=5，．（10分）点评：本题考查四点共圆的证明，考查线段长的求法，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．三、选修4-4：坐标系与参数方程23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．考点：直线的参数方程；参数方程化成普通方程．专题：选作题；坐标系和参数方程．分析：（1）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆C的直角坐标方程；（2）将代入z=x+y得z=﹣t，又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，可得结论．解答：解：（1）因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣），所以ρ2=4ρ（sinθ﹣cosθ），所以圆C的直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣2y=0．…（5分）（2）设z=x+y由圆C的方程x2+y2+2x﹣2y=0，可得（x+1）2+（y﹣）2=4所以圆C的圆心是（﹣1，），半径是2将代入z=x+y得z=﹣t …（8分）又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，由题意有：﹣2≤t≤2所以﹣2≤t≤2即x+y的取值范围是[﹣2，2]．…（10分）点评：本题考查直线的参数方程与圆的极坐标方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．三、选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|（Ⅰ）解不等式f（x）≥2；（Ⅱ）若不等式f（x）≤|a﹣2|的解集为R，求实数a取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）利用绝对值的意义可得数轴上的到﹣1对应点的距离减去它到2对应点的距离正好等于2，从而求得不等式f（x）≥2的解集．（Ⅱ）由题意可得|a﹣2|≥f max（x），而由绝对值的意义可得f max（x）=3，可得|a﹣2|≥3，由此求得不等式的解集．解答：解：（Ⅰ）函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|表示数轴上的x对应点到﹣1对应点的距离减去它到2对应点的距离，而数轴上的到﹣1对应点的距离减去它到2对应点的距离正好等于2，故不等式f（x）≥2的解集为{x|x≥}．（Ⅱ）若不等式f（x）≤|a﹣2|的解集为R，故|a﹣2|≥f max（x），而由绝对值的意义可得f max（x）=3，∴|a﹣2|≥3，∴a﹣2≥3，或 a﹣2≤﹣3．解得a≥5，或a≤﹣1，即实数a取值范围为{a|a≥5，或a≤﹣1}．点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于基础题．。

2014—2015学年度第二学期3月月考高 三 数 学（文）试 卷（考试时间120分钟 满分150分）第I 卷 （选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）1．设全集,R =U 集合{}21≤≤-=x x A ,{}10≤≤=x x B ，则=B C A U （ ） A ．{}10><x x x 或 B ．{}2101≤<<≤-x x x 或 C ．{}2101≤≤≤≤-x x x 或 D ．{}21>-<x x x 或2．命题:p ∀R ∈x ，012>+x ，命题:q R ∈∃θ,5.1cos sin 22=+θθ，则下列命题中真命题是（ ）A ．q p ∧B ．q p ∧⌝C ．q p ∨⌝D ．)(q p ⌝∧ 3．某一棱锥的三视图如右图，则其侧面积为( ) A．8+ B ．20 C． D．8+4．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是 （ ）A ．1y x=- B ．||e x y = C ．23y x =-+ D ．cos y x =5．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最小值为（ ）A ．6-B ．29- C ．3- D ．96．阅读下边程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中 应填入的条件为 （ ） A ．≤i 4 B ．≤i 5 C ．≤i 6 D ．≤i 7 7．已知双曲线122=-myx 与抛物线x y 82=的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若5=PF ，则双曲线的渐近线方程为 （ ） A ．02=±y x B ．02=±y x C ．03=±y x D ．03=±y x 8．已知0,0,228x y x y xy >>++=，则2x y +的最小值为 （ ） A ．3 B ．4 C ．29 D ．2119．函数))((R x x f y ∈=满足)1()1(-=+x f x f ,且]1,1[-∈x 时,21)(x x f -=,函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=)0(1)0(1)(x xx gx x g ,则函数)()()(x g x f x h -=在区间]5,5[-内的零点的个数为（ ） A ．8B ．9C ．7D ．610．设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成： ①21;2n n n a a a +++< ②存在实数M ，使n a M ≤．（n 为正整数）．在以下数列 ⑴{}21n +;（2）29211n n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭; （3）42n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭;（4）1{1}2n -中属于集合W 的数列编号为 （ ）A ．（1）（2）B ．（3）（4）C ．（2）（3）D ．（2）（4） 二、填空题11．i 是虚数单位，则=+i12___. 12．过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为 . 13．已知函数()ϕω+=x x f sin )(（ω>0, 20πϕ<<）的图象如图所示，则ω=____，ϕ=___.14．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂和仓库之间的距离为___千米时，运费与仓储费之和最小，最小值为__万元．15．设函数20()1f x x =-，101()|()|2f x f x =-，11()|()|2n n n f x f x -=-，（1,n n N ≥∈）,则方程31)(1=x f 有___个实数根，方程1()3nn f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭有___个实数根．三、解答题 （本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 16．（本小题13分）已知函数2()sin(2)2cos 16f x x x π=-+-，x R ∈（1）求)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）在ABC ∆中，三内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知()12f A =, c a b ,,成等差数列，且9AB AC ⋅=，求ABC S ∆ 及 a 的值.17．（本小题13 分）已知数列{}n a 是等差数列，12a =，且2a ，4a ，8a 成等比数列． （1）求等差数列{}n a 的通项公式；（2）如果数列{}n b 是等比数列，且1b =2a ，2b =4a ，求{}n b 的前n 项和n S ．18．（本小题13 分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天。

2 侧视图俯视图 第5题图正视图4.cm11 2015届第三次模拟试卷 数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分钟，考试时间120分钟。

考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。

2．答卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡．．．上书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答．．．．．题无效．．．。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设i 为虚数单位，若2(,)a ib i a b R i+=-∈，则a b +=( ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．42. 已知集合{0,1,3}A =，{|ln(1)}B x y x ==-，则A B =（ ）A ．ΦB ．{3}C ．{1,3}D ．{0,1,3}3. .如图，若()()32log ,log f x x g x x ==，输入0.25x =，则输出()h x =（ ） A.0.25 B.31log 222C.32log 2-D.2- 4. 下列关于命题的说法错误的是 ( )A ．命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为“若1≠x ，则 0232≠+-x x ”；B ．“2a =”是“函数()log a f x x =在区间(0,)+∞上为增函数”的充分不必要条件；C ．若命题p ：,21000nn N ∃∈>，则p ⌝：,21000nn N ∀∈≤； D ．命题“(,0),23xxx ∃∈-∞< ”是真命题5. 某几何体的三视图（单位：cm ）如右图所示，其中侧视图是一个边长为 2的正三角形，则这个几何体的体积是( )A.33cmB. 32cmC. 33cmD. 333cm 6. 已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P (12，y )，则sin (2π＋2α)＝( ) A .12 B .1 C .－12D .－327. 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，此双曲线的离心率为 （ ） A.2 B.3 C.312+ D.512+8．设数列{}n a 是以3为首项，1为公差的等差数列，{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列 则4321a a a a b b b b +++ =（ ）A ．15B ．60C ．63D ．729. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:32C x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，,AP AQ 分 别切圆C 于,P Q 两点，则线段PQ 的取值范围是（ ）A. 214,223⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ B.214,223⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 14,23⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭10．已知函数22|2|,04,()23,46x x x f x x ---≤<⎧=⎨-≤≤⎩，若存在12,x x ，当12046x x ≤<≤≤时， 12()()f x f x = 则12()x f x ⋅的取值范围是（ ）A.[0,1)B.[1,4]C.[1,6]D.[0,1][3,8] 二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置）11. 已知()f x ={234,01,(1)1, 1.x x x f x x -+≤<-+≥ 则(3)f = 12. 设函数()f x =2cos ωx （0>ω）在区间[0，34π]上递减，且有最小值1，则ω的值等于13. 在等腰ABC ∆中，90,2,2,BAC AB AC BC BD ∠====3AC AE =，则AD BE ⋅的值为()4,ABC ∈∆1. 已知三角形三边长分别为x 、y 、1且x,y 0,1则ABC 为锐角三角形的概率是2212122221+1,(,),x y F F P m n PF F a bPF F αβ=∠=∠=——————15.椭圆、为左右焦点，为椭圆上异于顶点的一点，记 ，下列结论正确的是 ①若12PF F ∆是锐角三角形，则sin cos αβ< ② sin()sin sin e αβαβ+=+椭圆的离心率③若12PF F ∆是锐角三角形，则它的外心到三边距离之比为sin :sin :sin()αβαβ+ ④2P PF 存在一个定圆与以为圆心为半径的圆相切⑤2221111a b m n ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭(2)cos cos ,()2Aa c Bb C f -=求三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2015届高三毕业班调研考试数学(文科)·答案一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.三、解答题（18）解：（Ⅰ）由直方图可知得分在75分以上的频率为()++⨯=0.020 00.017 50.007 5100.45,⨯=.所以估计参加应聘的1 200人中得分在75分以上的人数为0.45 1 200540…………………………………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）估计第一组的200人平均分为：()>⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=73.570 0.012 5500.017 5600.025 0700.020 0800.017 5900.007 510010，所以本次招聘符合期望.…………………………………………………（12分）（20）解：（Ⅰ）()1a x a f x x x-'=-=，()f x 的定义域为()0,+∞，…………………（1分） 当0a …时，()0f x '>，所以()f x 在()0,+∞上单调递增；当0a >时，令()0f x '=，得x a =，此时()f x ，()f x '随x 的变化情况如下表：所以()f x 的单调递减区间为()0,a ，(),a +∞. 单调递增区间为综上可得：当0a …时， ()f x 在()0,+∞上单调递增，无减区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间为()0,a ，单调递增区间为(),a +∞.………………（6分） x ()0,a a (),a +∞ ()f x ' - 0 + ()f x ↘ 极小值 ↗（Ⅱ）由题意得()min 0f x …，由（Ⅰ）知，当0a >时，()()min 1ln f x f a a a a ==--， 则()1ln 0f a a a a =--…，令()1ln g a a a a =--，可得()ln g a a '=-，因此()g a 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 10g a g ==，故1ln 0a a a --…成立的解只有1a =；…………………………………………………………………………（10分） 当0a …时， ()f x 在()0,+∞上单调递增，0x →，()f x →-∞，故不合题意.综上可知实数a 的取值集合为{}1.…………………………………………………………（12分）（21）解：（Ⅰ）过A 作24y x =准线的垂线AH ，垂足为H ， 则1||||||2AH AF AB ==，所以直线AB 的方程为3(1)y x =-. (1,23),B ∴--又(1,0)F ，则||4BF =，所以以AB 为直径的圆为22(1)16x y -+=. 所以，所求弦长为43. ……………………………………………………………………（4分）（Ⅱ）设直线CD ：3y x m =+，222012012,,(,),(,)444y y y P y C y D y ⎛⎫ ⎪⎝⎭.把3y x m =+代入24y x =，消去x 得23440y y m -+=，则121244,33m y y y y +=⋅=，31616303m m ∆=->⇒<.所以，1020444PC PD k k y y y y ⋅=⋅=-++.…………………………………………………（6分） 2120120()4y y y y y y ⇒⋅+++=-20044433y m y ⇒++=-， ()200344430y y m ⇒+++=.………………………………………………………（8分） 所以，()21643443033m m ∆=-+⇒-厔. 当233m =-时，直线CD ：3y x =233-，纵截距最大值为233-.…………（12分）（23）解：（Ⅰ）因为圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，则22cos ρρθ=， 即222x y x +=，所以圆C 的直角坐标方程为()2211x y -+=.……………………………（2分） 因为tan 2α=，α是锐角，所以211cos 51tan αα==+，2sin 5α=，又直线l 的极坐标方程()5cos 2ρθα+=， 所以5cos cos 5sin sin 2αρθαρθ⋅-⋅=， 即直线l 的直角坐标方程220x y --=．………………………………………………（5分）（Ⅱ）联立2220,220,x x y x y ⎧-+=⎨--=⎩得2,0x y =⎧⎨=⎩或2,54,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩取()2,0A ，24(,)55B -，设点(,)M x y 是圆D 上的任一点，因为AB 为圆D 的直径，则0AM BM ⋅=，而(2,)AM x y =-，24(,)55BM x y =-+， 所以()242()()055x x y y --++=，即225512440x y x y +-++=，………………………（8分） 化为标准方程为22624()()555x y -++=，所以圆D 的参数方程为625cos,55225sin.55xyϕϕ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（ϕ为参数）………………………………（10分）。

文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I 卷(选择题 共50分)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合11,22A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,集合{}2,B y y x x A =|=∈,则AB =( )(A )12⎧⎫⎨⎬⎩⎭(B ){}2 (C ){}1 (D )φ 2. 已知i 是虚数单位,若()32i z i -⋅=,则z =( )(A )1255i - (B )2155i -+ (C )2155i -- (D )1255i +3. 下列函数中,在区间()0,+∞上为增函数的是( ) (A )()ln 1y x =- (B )1y x =-(C )13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭(D )sin 2y x x =+4.抛物线214y x =-的焦点坐标是( ) (A )()1,0- (B )()2,0- (C )()0,1- (D )()0,2- 5.将函数sin y x =的图象上所有的点向右平移10π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( ) (A )sin 25y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭(B ) sin 210y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭(C )1sin 210y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ (D )1sin 220y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭6.已知A ,B ,C 为ABC ∆的三个内角,命题p :A B =;命题q :sin sin A B =.则p ⌝是q ⌝的( ) (A )充分不必要条件 (B )必要不充分条件(C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件7.若直线1x y a +=+被圆()()22224x y -+-=所截得的弦长为则a =( ) (A )1或5 (B )1-或5 (C )1或5- (D )1-或5-8.已知向量()3,4OA =-,()6,3OB =-,()2,1OC m m =+,若AB ∥OC ,则实数m 的值为( )(A )15 (B )35- (C )17- (D )3-9.对任意实数a 、b ,定义运算“⊙”：a ⊙b ,1,1b a b a a b -≥⎧=⎨-<⎩，设()()21f x x =-⊙()4x k ++，若函数()f x 的图像与x 轴恰有三个公共点，则k 的取值范围是（ ） (A )()2,1- (B )[]0,1 (C )[)2,0- (D )[)2,1-10. P 为椭圆2211615x y +=上任意一点，EF 为圆()22:14N x y -+=的任意一条直径，则 PE PF ⋅的取值范围是（ ）(A )[]0,15 (B )[]5,15 (C )[]5,21 (D )()5,21第II 卷(非选择题 共100分)二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11．已知直线1:260l ax y ++=，()22:110l x a y a +-+-=，若12l l ⊥，则a =＿＿。

2015届高三第三次模拟试卷文科数学（考试时间：120分钟 满分：150分）注意：1．本套试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，所有答案写在答卷上，否则答题无效。

2．答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚，密封线内不要答题。

3．选择题，请用2B 铅笔，把答题卡上对应题目选项的信息点涂黑。

非选择题，请用 0. 5mm 黑色字迹签字笔在答题卡指定位置作答。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合 {}{}(2)|ln(2),|21,x x A x N y x B x A B -=∈=-=≤=A ． {}|1x x ≥B ． {}|12x x ≤<C ． {}1D ． {}0,12．已知复数z 满足方程z ii z+=（i 为虚数单位），则 z = A. 1122i + B ． 1122i - C ． 1122i -- D ． 1122i -+3．一个四棱锥的三视图如右图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. l B ．2 C 3． D ．44．已知正数组成的等比数列 {}n a ，若 120100a a ⋅=，那么 318a a + 的最小值为A.20 B ．25 C. 50 D ．不存在5．若实数x ，y 满足约束条 330,240,220.x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z=x+y 的最大值为A.1 B ．2 C. 3 D ．56.已知抛物线的焦点F 到准线的距离为4，若抛物线上一点P 到y 轴的距离是1，则等于A.2 B ．3 C.4 D ．57.命题p:已知αβ⊥，则l α∀⊂，都有l β⊥命题q:已知//l α，则m α∃⊂，使得l 不平行于m （其中αβ、是平面，l 、m 是直线），则下列命题中真命题的是A. ()q ⌝∧⌝(p) B ． ()p q ∨⌝ C. ()p q ∧⌝ D ． q ⌝∧(p) 8．在△ABC 中,A=60，若a,b,c 成等比数列，则sin b Bc=A.12 B ． 2 C. 2 D ． 49．一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O xyz -中的坐标分别是(1，0，1)，(1，l ，0)， (0，1,0)， (1，1，1)，则该四面体的外接球的体积为A.B ．π C. D ． 2π10．设函数 1()cos 2f x x ω=对任意的 x R ∈，都有 ()()66f x f x ππ-=+，若函数 ()23sin g x x ω=-+，则 ()6g π的值是A. 1 B ． -5或3 C. -2 D ．1210.点 (,)M x y 在直线x+y-10=0上，且x ，y 满足 55x y -≤-≤，则 围是A. 0,2⎡⎢⎣⎦ B ． 0,⎡⎣ C. 2⎡⎢⎣⎦ D ．5,2⎡⎢⎣⎦11．过双曲线 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点 (,0)(0)F c c ->，作圆 2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若 2OF OE OP =-，则双曲线的离心率为A.B ．5 C. 2D ． 12.直线y=m 分别与曲线y=2x+3， ln y x x =+交于A ，B ，则 AB 的最小值为A.32 B ．4C. 2 D ． 3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13.在 ∆ABC 中，若 31,32AB AC AB AC ==⋅=,则 ABC S ∆为_________。

一、选择题（每小题3分，共24分）1.下列各数中最大的数是（）A. 5B.C.πD.－8【答案】：A【解析】：根据有理数的定义，很容易得到最大的数是5，选A。

2.如图所示的几何体的俯视图是（）【答案】：B【解析】：本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，找到从上面看所得到的图形即可，选B。

3.据统计，2014年我国高新产品出口总额达40570亿元，将数据40570亿用科学记数法表示为（）A.4.0570×109B. 0.40570×1010C. 40.570×1011D. 4.0570×1012【答案】：D【解析】：科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数。

确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同。

当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数。

将40570亿用科学记数法表示4.0570×1012元，选D。

4.如图，直线a，b被直线c，d所截，若∠1=∠2，∠3=1250，则∠4的度数为（）A.550B.600 C .700 D.750【答案】：A【解析】：本题考查了三线八角，因为∠1=∠2，所以a∥b,又∠3=1250，∠3与∠4互补，则∠4的度数为550。

选A。

5.不等式组的解集在数轴上表示为（）【答案】：C【解析】：本题考查了不等式组的解集，有①得x≥-5，有②得x＜2，这里注意空心和实心；所以选C。

6.小王参加某企业招聘测试，他的笔试，面试，技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2：3：5的比例确定成绩，则小王的成绩是（）A.255分B.84分C.84.5分D.86分【答案】：D【解析】：本题主要考察加权平均数的计算方法，（85×2+80×3+90×5）÷（2+3+5）=86分，所以选D.7.如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A.4B.6C.8D.10【答案】：C【解析】：本题主要考察平行四边形和等腰三角形三线合一定理。