第1~2章 矢量分析 宏观电磁现象的基本规律
1. 已知半径为R 0球面内外为真空，电场强度分布为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>θ+θ<θ+θ-=θθ )R ( )sin ˆcos 2ˆ()
R ( )sin ˆcos ˆ(2
0300
r e e r
B r e e R
E r r 求（1）常数B ；（2）球面上的面电荷密度；（3）球面内外的体电荷密度。
Sol. (1) 球面上
由边界条件 t t E E 21=得：
sin sin 230
0θ=θR B
R 202R B =→
（2）由边界条件s n n D D ρ=-21得：
θε=
-ε=-ε=ρcos 6)()(0
210210R E E E E r r n n s （3）由ρ=⋅∇D
得：
⎩
⎨⎧><=θ∂θ∂θε+∂∂ε=⋅∇ε=ρθ )R ( 0)R (
0)sin (sin 1)(10002200r r E r r E r r E r
即空间电荷只分布在球面上。
2. 已知半径为R 0、磁导率为μ 的球体，其内外磁场强度分布为
⎪⎩⎪
⎨⎧>θ+θ<θ-θ=θθ )R ( )sin ˆcos 2ˆ(A
)R ( )sin ˆcos ˆ(203
0r e e r r e e H r r 且球外为真空。求（1）常数A ；（2）球面上的面电流密度J S 大小。
Sol. 球面上（r =R 0）：r H 为法向分量；θH 为法向分量 （1）球面上由边界条件n n B B 21=得：r r H H 201μ=μ3
00
R A μμ=→
（2）球面上由边界条件s t t J H H =-21得
θμμ
+
-=-==θθsin )2(|)(0
210R r s H H J
第3章 静电场及其边值问题的解法
1. 如图，两块位于x = 0 和 x = d 处无限大导体平板的电位分别为0、U 0，其内部充满体
密度ρ = ρ0 (1- e x -d ) 的电荷（设内部介电常数为ε0）。（1）利用直接积分法计算0 < x < d
区域的电位φ 及电场强度E ；（2）x = 0处导体平板的表面
电荷密度。
Sol. 为一维边值问题：)(x φ=φ )1(d d 00222
d x
e x
--ερ-=φ
⇒ερ-=φ∇
边界条件：0)0(==φx ， 0)(U d x ==φ
（1）直接积分得：
x e d d d U e x e x d d d x )]1([)2()(2000200---+-ερ
-++-ερ=φ
)]1()([ˆˆ)(200000d d x x x e d d
d U x
e e dx d e x E --+-ερ-+-ερ-=φ
-=φ-∇= （2）由s n
ρ-=∂φ
∂ε得：000
00
)(==ε=∂φ∂ε-=∂φ∂ε-=ρx x s x E x n
)]11(1[20000d
e d d d U d -+--ρερ-=-
2. 如图所示横截面为矩形的无限长直导体槽，内填空气。已知侧壁和底面的电位为零，而
顶盖的电位为V 0 。写出导体槽内电位所满足的微分方程及其边界条件，并利用直角坐标系分离变量法求出该导体槽内的电位分布。 Sol. （略）见教材第82页例3.6.1
3. 如图所示，在由无限大平面和突起的半球构成的接地导体上方距离平面为d 处有一个点
电荷q 0 。利用镜像法求z 轴上z > a 各点的电位分布。 Sol. 空间电荷对导体表面上部空间场分布的影响等效于： 无限大接地导体平面 + 接地导体球
边界条件：0=φ=φ球面平面
使0=φ平面，引入镜像电荷：0,q q d z -='-='
使0=φ球面，引入镜像电荷：
x
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧=''-=-='-=-==022
22
0121
||,||,q d a q z a q d a z a z q d a q d a z z 轴上z > a 各点的电位：
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+'+-+-+-πε=
φd z q z z q z z q d z q 221100
||41
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----πε=d z a d z a d z q 12||144
22300 4. 已知接地导体球半径为R 0 ，在x 轴上关于原点（球心）对称放置等量异号电荷+q 、-q ，
位置如图所示。利用镜像法求（1）镜像电荷的位置及电量大小；（2）球外空间电位；（3）x 轴
上x >2R 0各点的电场强度。
Sol. (1) 引入两个镜像电荷： 22001q q R R q -=-=，22002
01R R R x ==
2)(2002q q R R q =--=，2
200201R R R x -=-=
（2）=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛'-++πε=
φR q R q R q R q z y x 22110
41),,(（略）
2220)2(z y R x R ++-=， 22201)2/(z y R x R ++-=
22202)2/(z y R x R +++=，2220)2(z y R x R +++='
（3）x 轴上x >2R 0各点的电场强度：
⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++--+-=20202020)2()2/(2/)2/(2/)
2(ˆR x q
R x q R x q R x q e E x 5. 如图所示，两块半无限大相互垂直的接地导体平面，
在其平分线上放置一点电荷q ，求（1）各镜像电荷的位置及电量；（2）两块导体间的电位分布。
Sol. （1）01q q -=，)0 ,0 ,(a -
45 45
,(a
