4.一元二次方程的特殊根问题(教师)

公式法解一元二次方程（3）一、教材分析：首先是教材的地位与作用：公式法解一元二次方程是鲁教版八年级数学下册第七章第三节的内容，共分5个课时，本节学习第三课时。

内容是一元二次方程根的判别式的理解和应用，是在学习了配方法、公式法解一元二次方程的基础上对一元二次方程求根公式的进一步的深入研究和理解。

通过本节课的学习，使学生理解一元二次方程的根的判别式，并能用根的判别式判断方程根的情况，更有利于学生顺利的解一元二次方程，同时为以后学习不等式的解法和函数的有关内容奠定基础。

再是教学重、难点：教学重点：一元二次方程的根的判别式定理及逆定理的正确理解和应用。

教学难点：对一元二次方程的根的判别式定理及逆定理使用条件的透彻理解。

由于本节课的内容主要是使学生在以后的学习过程中能合理准确的运用根的判别式的定理及逆定理，所以，我确定一元二次方程的根的判别式定理及逆定理的正确理解和应用为教学重点，而学生能做到灵活运用根的判别式的定理及逆定理的关键就是对一元二次方程的根的判别式定理及逆定理使用条件的透彻理解，所以我确定它为教学难点。

二、教学目标：根据新课标的要求及对教材的分析，结合学生已有的知识基础，确定本节课的教学目标为：1、知识与技能方面：①感悟一元二次方程的根的判别式的产生过程。

②能运用根的判别式判别方程根的情况和进行有关的推理论证。

③会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值。

2、数学思考方面：经历一元二次方程根的判别式的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想的严密性与方法的灵活性。

3、解决问题方面：通过对一元二次方程定理及逆定理的运用，体会数学的互逆思想，提高学生的计算能力及解决实际问题的能力。

4、情感态度方面：通过对一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究，培养学生对科学的探索精神和严谨的治学态度。

三、学情分析及教法学法：1、学情分析：学生在上一节推导求根公式以及用公式法解一元二次方程的过程中，对b2-4ac的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究b2-4ac的作用，它是前面知识的深化和总结。

第5讲一元二次方程的特殊根问题一元二次方程是高中数学中的重要内容。

在第5讲中，我们将讨论一元二次方程的特殊根问题。

这些特殊根包括相等根、相反数根以及特殊的实数根。

我们将探讨这些特殊根的性质和求解方法。

首先，我们将讨论相等根。

一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b和c是已知系数，a≠0。

如果方程的根相等，即只有一个解x = x_1 = x_2，那么我们称之为相等根。

在这种情况下，我们可以使用判别式来判断方程是否有相等根。

判别式的公式为D = b^2 - 4ac。

如果判别式为零，即D = 0，那么方程有相等根。

我们还可以使用求根公式来求解方程的相等根，求根公式为x = -b/2a。

接下来，我们将讨论相反数根。

如果方程的根满足x_1 = -x_2，那么我们称之为相反数根。

在这种情况下，我们可以使用系数与根的关系式来判断方程是否有相反数根。

对于方程ax^2 + bx + c = 0，如果a、b和c满足a/c = b^2/a^2，那么方程有相反数根。

当方程有相反数根时，我们可以使用求根公式来求解。

求根公式为x = -b/2a ± √(b^2 -4ac)/2a。

最后，我们将讨论特殊的实数根。

一元二次方程的根可以是实数根或复数根。

当判别式为正数时，方程有两个不同的实数根。

当判别式为零时，方程有两个相等的实数根。

当判别式为负数时，方程没有实数根，而是有两个共轭复数根。

判别式为负数时，我们可以通过使用复数的平方根来求解方程。

复数的平方根公式为√(-x)=±(√x)i，其中i是虚数单位。

在解决一元二次方程的特殊根问题时，我们需要掌握判别式的计算、系数与根的关系式、求根公式以及复数的平方根公式。

通过掌握这些技巧，我们可以更轻松地解决各种类型的一元二次方程问题。

总结一下，第5讲讨论了一元二次方程的特殊根问题，包括相等根、相反数根以及特殊的实数根。

我们学习了判别式的计算方法、系数与根的关系式、求根公式以及复数的平方根公式。

专题一：一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++两根的三种特殊情况 1.一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为相反数： 设方程两根为21x x ，，则⇔⎪⎩⎪⎨⎧=⇒==+≥∆0b 0a b -x x 021方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为相反数 例1：已知关于x 的一元二次方程()()010m 2x 9-m x 3-m 22=+++有两根互为相反数，求m 及两根。

2.一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为倒数：设方程两根为21x x ，，则⇔⎪⎩⎪⎨⎧=⇒==≥∆c a 1a c x x 021方程）（0a 0c bx ax 2≠=++的两根是互为倒数 例2：已知关于x 的一元二次方程()02-m 3x 3m x m 22=+++有两根互为倒数，求m 的值。

3.一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++必有一根为0：设方程两根为21x x ，，则⇔⎪⎩⎪⎨⎧=⇒==≥∆0c 0a c x x 021方程）（0a 0c bx ax 2≠=++必有一根为0 例3：已知关于x 的一元二次方程()()04-k x 32k -x 2k 22=+++有一根为0，求k 的值及方程的根。

专题二：利用一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++根的关系求待定系数及两根 例1：已知一元二次方程两根之和是4，两根之积为1，求这两根。

例2：已知关于x 的一元二次方程()05-m x 2m 2x 22=+++有两个实数根，且两根平方和比两根积大16，求m 的值。

例3：已知关于x 的一元二次方程0m 53x x 22=++的两根都小于1，求m 的取值范围。

例4：已知以斜边长为13的直角三角形的两条直角边长分别是一元二次方程()()02m 3x 1-m -x 2=++的两根，求直角三角形两直角边长。

专题三：利用一元二次方程）（0a 0c bx ax 2≠=++根系关系判断根的符号 （1）两根同号⇔⎪⎩⎪⎨⎧⇒>⇒>≥∆同号与c a 0a c 0x x 021 （2）两根异号⇔⎪⎩⎪⎨⎧⇒<⇒<>∆异号与c a 0a c 0x x 021 例：k 为何值时，方程()03k kx 2x 1-k 2=+++有一正根，有一负根，求k 的取值范围。

一元二次方程根的分布教学设计一、教学分析（一）教学内容分析本节课所讲的内容是高中数学必修一第三章第一节《函数与方程》之后的一个专题内容，是中学数学的重要内容之一。

这段内容与一元二次不等式，二次函数等内容有着紧密的联系。

它是在前面学习了函数与方程，二次方程，二次不等式基础上对函数与方程内容的深化和拓展，通过根的分布的不同情况，充分体现了由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。

从而提升学生对数学知识的应用能力。

通过学习一元二次方程根的分布，有助于学生进一步理解二次方程，二次函数，加深函数与方程思想，数形结合思想在数学学习中的应用的认识，同时也为以后数学的学习打下扎实的基础。

（二）教学对象分析高中一年级的学生已经有了一定的观察识图能力及分析判断能力，有利用已有知识解决新问题的愿望。

学生学习了函数与方程，二次方程，二次函数的知识，已经具有用数学知识解决实际问题的能力。

学生抽象逻辑思维很大程度上还属于经验型，需要感性经验的直接支持。

通过学习，抽象逻辑思维逐步成熟，能够用理论作为指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领域。

（三）教学环境分析由于本节课涉及到根的分布情况较多，对老师的的作图提出了很高的要求。

采用传统的板式教学，根本就无法向学生演示动态过程，很难满足学生的求知欲，达不到教学的最佳效果。

多媒体网络教学，是现代高中数学教学全新的教育技术，使传统的教学方式得到补充。

在计算机的帮助下，利用制作好的几何画板课件，操作演示，感受根的分布的不同情况，加深学生的认识和理解，同时也符合学生认识事物从感性认识到理想认识的认知过程。

（四）教学手段采用多媒体网络教学。

《普通高中数学课程标准》指出：“现代信息技术的广泛应用真正对数学教学、数学学习方面产生深刻的影响，数学课程的设计应重视运用现代信息技术，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，提倡实现信息技术与课程内容的有机结合。

”本节课涉及到的图象信息较多，利用多媒体网络教学可以实现最大容量地向学生提供图象信息，并让学生整理归纳信息，增强学生的动手能力、思考能力和自主学习能力，也能实现数学课堂中学生的高参与度，从而实现资源、时间、效率的最优化。

一元二次方程及其解法（一）特殊的一元二次方程的解法—知识讲解（基础）【学习目标】1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法和因式分解法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法和因式分解法中的分类讨论与换元思想.【要点梳理】要点一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．要点诠释：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.要点二、特殊的一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点诠释：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2.因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次式的积；③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.（2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、关于一元二次方程的判定1．判定下列方程是不是一元二次方程:(1)； (2)．【答案】（1）是；（2）不是.【解析】(1)整理原方程，得，所以． 其中，二次项的系数，所以原方程是一元二次方程． (2)整理原方程，得，所以 ． 其中，二次项的系数为，所以原方程不是一元二次方程．【总结升华】识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.举一反三：【变式】判断下列各式哪些是一元二次方程．①21x x ++；②2960x x -=；③ 2102y =；④215402x x -+=； ⑤ 2230x xy y +-=；⑥ 232y =；⑦ 2(1)(1)x x x +-=．【答案】②③⑥.【解析】①21x x ++不是方程；④215402x x -+=不是整式方程；⑤ 2230x xy y +-=含有2个未知数，不是一元方程；⑦ 2(1)(1)x x x +-=化简后没有二次项，不是2次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．类型二、一元二次方程的一般形式、各项系数的确定2.把下列方程中的各项系数化为整数，二次项系数化为正数，并求出各项的系数：(1)-3x 2-4x+2=0； (2)．【答案与解析】(1)两边都乘-1，就得到方程3x 2+4x-2=0．各项的系数分别是： a=3，b=4，c=-2．(2)两边同乘-12，得到整数系数方程6x 2-20x+9=0．各项的系数分别是：．【总结升华】一般地，常根据等式的性质把二次项的系数是负数的一元二次方程调整为二次项系数是正数的一元二次方程；把分数系数的一元二次方程调整为整数系数的一元二次方程．值得注意的是，确定各项的系数时，不应忘记系数的符号，如(1)题中c=-2不能写为c=2，(2)题中不能写为．举一反三：【变式】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项：（1）2352x x =-； （2）(1)(1)2a x x x +-=-．【答案】（1）235+2=0x x -，二次项系数是3、一次项系数是-5、常数项是2.（2）(1)(1)2a x x x +-=-化为220,ax x a +--=二次项系数是a 、一次项系数是1、常数项是-a-2.类型三、一元二次方程的解（根）3. 如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是( )A ．-3，2B ．3，-2C ．2，-3D ．2，3【答案】A ；【解析】∵ x ＝2是方程x 2+px+q ＝0的根，∴ 22+2p+q ＝0，即2p+q ＝-4 ①同理，12+p+q ＝0，即p+q ＝-1 ②联立①，②得24,1,p q p q +=-⎧⎨+=-⎩ 解之得：3,2.p q =-⎧⎨=⎩ 【总结升华】由方程根的定义得到关于系数的方程(组)，从而求出系数的方法称为待定系数法，是常用的数学解题方法．即分别用2，1代替方程中未知数x 的值，得到两个关于p 、q 的方程，解方程组可求p 、q 的值．类型四、用直接开平方法解一元二次方程4.解方程（1）3x 2-24=0； (2)5(4-3n)2=320．【答案与解析】（1）把方程变形为3x 2=24，x 2=8．开平方，得原方程的根为x=或x=-．(2)原方程可化为(4-3n)2=64，所以有4-3n=8或4-3n=-8．所以，原方程的根为n=-或n=4．【总结升华】应当注意，形如=k(k≥0)的方程是最简单的一元二次方程，“开平方”是解这种方程最直接的方法．“开平方”也是解一般的一元二次方程的基本思路之一．举一反三：【变式1】用直接开平方法求下列各方程的根：(1)x2=361；(2)2y2-72=0；(3)5a2-1=0；(4)-8m2+36=0．【答案】(1)∵ x2=361，∴ x=19或x=-19．(2)∵2y2-72=0，2y2=72，y2=36，∴ y=6或y=-6．(3)∵5a2-1=0，5a2=1，a2=，∴a=或a=-．(4)∵-8m2+36=0，-8m2=-36，m2=，∴m=或m=-．【变式2】解下列方程：(1)(x+5)2=225；(2)(3y-2)2=27； (3)3(b+4)2=96.【答案】(1)∵ (x+5)2=225，∴ x+5=15或x+5=-15．所以，原方程的根为x=10或x=-20．(2)∵ (3y-2)2=27，∴ 3y-2=或3y-2=-．所以，原方程的根为y=或y=．(3)原方程可化为(b+4)2=32，所以有b+4=或b+4=-．所以，原方程的根为b=-4+或b=-4-．类型五、因式分解法解一元二次方程5．用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2＝2(x+2)； (2)(2x+3)2-25＝0．【答案与解析】(1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0．∴ x+2＝0或3x+4＝0，∴ x 1＝-2，243x =-． (2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴ 2x-2＝0或2x+8＝0，∴ x 1＝1，x 2＝-4．【总结升华】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．(2)可用平方差公式分解．6．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0． 即2(23)0x +=，∴ 1232x x ==-． (2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以11x =，22x =-．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x ＝1这个根．举一反三：【变式】()()()21 85860;x x +-++= （2）3(21)42x x x +=+ 【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0X 1=-6,x 2=-5.(2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=0 1212,23x x =-=.。

一元二次方程根的情况
一元二次方程是高等数学中最为基础的知识，从应用计算到抽象思维解题，可以说从未过时。

假设有一元二次方程ax²+bx+c=0，其中a≠0，那么该方程就有两种解的可能性，有效解析这种情况就显得尤为重要了。

从一元二次方程的结构可以看出，它的解法与一元一次方程的解法稍有不同，我们需要按照特定的算法进行求解。

比如，我们可以使用平方根定理，即 x1=(-
b+√(b²-4ac))/2a ，x2=(-b-√(b²-4ac))/2a，其中b²-4ac是称为判别式的一个表达式。

这个公式就是计算一元二次方程根的基础，而根据该公式求出的根它也有可能只有一个、两个或无解。

如果判别式大于0，说明该方程有两个不一样的实数根。

按照公式计算出两个根，例如x1(3)和x2(-2)，表明该一元二次方程的解是实数值3和-2。

而如果这个判别式等于0，表明该方程有重根，则其根为-(b/2a)，以此类推，我们就可以根据上面的公式进行求解。

但是当判别式小于零的时候，就说明这个一元二次方程无解，此时不妨转而探究特殊情况，比如b=0,c=0的特殊情况。

当b=0时，如果c不等于0，就说明判别式小于零，该方程无实根。

而当c=0时，则原一元二次方程变成ax²+bx=0，此时解等于-b/a，满足此方程的一个实数解即为-b/a。

综上所述，一元二次方程的解的取决于其判别式的大小，其求解公式也依据此进行求解。

把握这一基本原理，除了一般计算外，也能灵活应用在实际生活中，扩展面对于一些看似复杂但其实可以简化的问题。

如何求解一元二次方程的根一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。

求解一元二次方程的根是数学学习中的基本内容之一，下面将介绍一些常见的求解方法。

一、因式分解法当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因式相乘的形式时，我们可以通过因式分解法求解方程的根。

例如，对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，我们可以将其分解为(x - 2)(x - 3) = 0，从而得到x = 2和x = 3两个根。

二、配方法对于一些无法直接因式分解的一元二次方程，我们可以通过配方法来求解其根。

配方法的基本思想是通过添加适当的常数使得方程可以被因式分解。

例如，对于方程x^2 + 6x + 8 = 0，我们可以通过添加一个恰当的常数使得方程可以被因式分解为(x + 2)(x + 4) = 0，从而得到x = -2和x = -4两个根。

三、求根公式求根公式是求解一元二次方程的一种常用方法。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其根可以通过求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)来得到。

其中，±表示两个根，√表示平方根。

通过求根公式，我们可以得到一元二次方程的解。

四、图像法图像法是一种直观的求解一元二次方程根的方法。

我们可以通过绘制一元二次方程的图像来观察其根的情况。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以绘制出其对应的抛物线图像，并通过观察图像与x轴的交点来得到方程的根。

这种方法在直观上帮助我们理解方程根的性质。

五、完全平方差公式完全平方差公式是一种求解一元二次方程根的特殊方法。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果其可以写成(x + p)^2 = q的形式，那么方程的根可以通过求解x + p = ±√q来得到。

这种方法在某些特殊情况下能够简化方程的求解过程。

一元二次方程的特殊解法一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。

②只含有一个未知数；③未知数项的最高次数是2。

方程形式：通常形式使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

变小形式解题方法：公式法x=(-b±√(b^2-4ac))/2a求根公式十字二者乘法解法因式分解法因式分解法又分“提公因式法”；而“公式法”（又分“平方差公式”和“完全平方公式”两种），另外还有“十字相乘法”，因式分解法是通过将方程左边因式分解所得，因式分解的内容在八年级上学期学完。

用因式分解法求解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边水解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）求解这两个一元一次方程，它们的求解就是原方程的求解.十字相乘法公式公式法（可解全部一元二次方程）求根公式去求出方程的木配方法（可以求解全部一元二次方程）开方法（可以求解部分一元二次方程）均值代换法（可以求解部分一元二次方程）设x1=-b/(2a)+m，x2=-b/(2a)-m (m≥0)根据x1·x2=c/a求得m。

再求出x1, x2。

简单解法1．看看与否能够用因式分解法求解（因式分解的数学分析中，先考量加公因式法，再考虑平方公式法，最后考量十字相加法）2．看是否可以直接开方解3．采用公式法解4．最后再考虑配方法（配方法虽然可以解全部一元二次方程，但是有时候解题太麻烦）如果要参加竞赛，可按如下顺序：a.因式分解；b.韦达定理；c.判别式； d.公式法；e.配方法；f.开平方；g.求根公式；h.表示法。

题型切片（两个）对应题目题型目标整数根问题例1，例2，例3，例4，练习1，练习2，练习3；公共根问题例5，例6，练习4，练习5．解决整数根问题的思路：1.先看方程二次项系数，确定二次项系数是否能为0；2.确定是一元二次方程后，看能否因式分解求出根的取值；3.不能因式分解的：⑴判别式是完全平方数；⑵b-±∆是2a的整数倍．以上两个条件需同时满足，缺一不可，如果只满足⑴，则只能保证方程有有理根．思路导航题型切片知识互联网一元二次方程的特殊根问题题型一：整数根问题【引例】 已知m 为整数，求证关于x 的一元二次方程2220x mx m +-=有根且都是整数．【解析】 法1：将原方程直接因式分解求出两根()()20x m x m -+=，即1x m =，22x m =-，故符合题意．法2：不用因式分解，利用根的判别式是完全平方数()()222242930m m m m ∆=-⨯-==≥，且29m m -±是2的倍数，故符合题意.【例1】 已知关于x 的方程2(1)(31)220k x k x k ++-+-=．⑴讨论此方程根的情况；⑵若方程有两个整数根，求正整数k 的值．【例2】 已知关于x 的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根．⑴求k 的取值范围；⑵若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．【例3】 当m 为何整数时，关于x 的一元二次方程 2440mx x -+=与2244450x mx m m -+--=的根都是整数．【例4】 当整数m 取何值时，关于x 的方程()21(21)10m x m x --++=有整数根．例题精讲典题精练若已知若干个一元二次方程有公共根，求方程系数的问题，叫一元二次方程的公共根问题． 两个一元二次方程只有一个公共根的解题步骤：⑴设公共根为a ，则a 同时满足这两个一元二次方程；⑵用加减法消去a 2的项，求出公共根或公共根的有关表达式；⑶把公共根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．【引例】 已知两方程20x mx n ++=，20x nx m ++=有且仅有一个公共根，求m ，n 关系．【解析】 设a 为两方程公共根，则2200a ma n a na m ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①②①-②得()()0m n a n m -+-=()()10m n a --=∵有且只有一个公共根，则0m n -≠∴1,a =即1x =将1x =代入，1m n +=-且m n ≠．【例5】 已知2a >，2b >，试判断关于x 的方程2()0x a b x ab -++=与2()0x abx a b -++=有没有公共根，请说明理由．典题精练例题精讲思路导航题型二：公共根问题【例6】 已知关于x 的一元二次方程()2200ax bx c a ++=>①．⑴ 若方程①有一个正实根c ，且20ac b +<．求b 的取值范围； ⑵ 当1a =时，方程①与关于x 的方程2440x bx c ++=②有一个相同的非零实根，求2288b c b c-+的值．题型一 整数根问题 巩固练习【练习1】 已知关于x 的方程2(1)210a x x a -+--=的根是整数，求符合条件的a 的整数值.【练习2】 当k 为何正整数时，关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有两个非零整数根．真题赏析复习巩固【练习3】 设m 为整数，且440m <<，方程()2222341480x m x m m --+-+=有两个整数根，求m 的值及方程的根．题型二 公共根问题 巩固练习【练习4】 已知m 为非负实数，当m 取什么值时，关于x 的方程21=0x mx +-与22=0x x m ++-仅有一个相同的实根？【练习5】 设关于x 的方程24x ax +=只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根.。

一元二次方程的特殊形式1. 引言：方程中的小秘密大家好，今天咱们来聊聊一元二次方程，听起来可能有点严肃对吧？但其实，这里面藏着不少小秘密，就像生活中那些不为人知的趣事。

说到一元二次方程，大家首先想到的就是那个经典的形式：ax² + bx + c = 0。

哎呀，乍一看，真是有点吓人，不过别担心，今天我们不讲复杂的公式，而是来聊聊它的特殊形式，像是完成平方、求根公式等等，轻轻松松让你理解，嘿嘿，咱们就像聊家常一样。

2. 一元二次方程的特殊形式2.1 完全平方形式首先，要说的就是“完全平方”形式。

这个词一听就高大上，但实际上它的意思很简单。

我们知道，任何一个方程都能转变成一个完整的平方。

想象一下，就像是把一个脏兮兮的房间打扫得干干净净，一切都变得明亮起来。

比如，咱们的方程ax² + bx + c 可以变成(px + q)² = r 的样子。

是不是听起来就简单多了？只要我们找到合适的 p 和 q，就能把方程变得“干净利落”。

这样的变形就像变魔术，真是让人叹为观止！2.2 求根公式的魅力再来说说求根公式，这可是个神奇的工具哦。

无论你遇到什么样的二次方程，只要拿出这个公式，保证你能找到方程的根。

公式是这样的：x = (b ± √(b² 4ac)) / 2a。

哎呀，听起来是不是有点复杂？但其实，理解它的背后原理就像剥洋葱一样，一层一层剥开，最后总能看到那颗美丽的心。

在这个公式里，b² 4ac 的值决定了根的数量和类型，简直是个了不起的“裁判”。

要是这个值大于零，嘿嘿，两个不同的根就来了；要是等于零，那就只有一个根；要是小于零，那就没根，呵呵，这就像生活，有时候甜，有时候苦，甚至有时候就是空白。

3. 应用与趣事3.1 实际应用好了，咱们聊聊这些方程的应用。

其实一元二次方程的特殊形式在我们的生活中无处不在。

比如说，抛物线的运动轨迹，或者是一些物理问题，甚至在经济学中也常常会出现。