2013年高考二轮复习：第16讲圆锥曲线热点问题共48页

60、人民的幸福是至高无个的法。— —西塞 罗
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部
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圆锥曲线的热点问题
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克

已知两点 A、B 分别在直线 y＝x 和 y＝－x 上 运动，且|AB|＝455，动点 P 满足 2O→P＝O→A＋O→B(O 为 坐标原点)，点 P 的轨迹记为曲线 C.
(1)求曲线 C 的方程； (2)过曲线 C 上任意一点作它的切线 l，与椭圆x42＋ y2＝1 交于 M、N 两点，求证：O→M·O→N为定值．
图 16－2
第16讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)设椭圆的标准方程是xa22＋by22＝1(a>b>0)， 由于椭圆的一个顶点是 A(0， 2)，故 b2＝2. 根据离心率是 23得，e＝ a2－a2b2＝ 23，解得 a2＝8. 所以椭圆的标准方程是x82＋y22＝1. (2)设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)． ①若直线 l 与 y 轴重合，则||PP→→MN||＝||MN→→QQ||⇒ 2－2－y20＝ 2＋2＋y20，解得 y0＝1， 得 λ＝ 2.
第16讲 │ 要点热点探究
要点热点探究 ► 探究点一 轨迹问题
例 1 已知一椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)及焦点 F(－c,0)，点 A 为椭 圆上一动点，求线段 FA 中点 P 的轨迹方程．
【分析】 动点 P(x，y)依赖于另一个动点 A(x1， y1)，而 A(x1，y1)在椭圆上，则可以先列出关于 x，y， x1，y1 的方程组，利用 x，y 表示 x1，y1，并把 x1，y1 代入曲线方程即可求出轨迹的方程．
第16讲 │ 要点热点探究
(2)A→P＝(1,3)，设 Q(x，y)，则A→Q＝(x－3，y－1)， A→P·A→Q＝(x－3)＋3(y－1)＝x＋3y－6. ∵1x82＋y22＝1，即 x2＋(3y)2＝18， 而 x2＋(3y)2≥2|x|·|3y|，∴－18≤6xy≤18. 则(x＋3y)2＝x2＋(3y)2＋6xy＝18＋6xy 的取值范围是 [0,36]． x＋3y 的取值范围是[－6,6]． ∴A→P·A→Q＝x＋3y－6 的取值范围是[－12,0]．

xR＝m＋2
m2＋3
3
.
所以||PPQR||＝xxQR＝22
11＋＋mm3322－＋11＝1＋2
2 1＋m32－1.
基础知识
题型分类 第18页，共88页。 思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
此时 1＋m32>1，且 1＋m32≠2，
所以 1<1＋ 2
1＋2 m32－1<3，且
1＋ 2
1＋2 m32－1≠53，
【例 2】 已知椭圆 C 经过点 A1，32， 两个焦点为(－1,0)、(1,0)． (1)求椭圆 C 的方程；
思维启迪
解析
探究提高
可设直线 AE 的斜率来计算直线 EF 的斜率，通过推理计算消参．
(2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点，
如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率
互为相反数，证明直线 EF 的斜率
圆锥曲线中的探索性问题
难圆点锥正 曲本线P中1的(疑x函点1数清，思源想y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|
圆锥曲线中的探索性问题
1＋k |x －x | ＝ 圆数直锥学线曲 和线圆R 中锥A（的曲文探线）索问性题问解题法的2一般1规律
2
圆锥曲线中的范围、最值问题
1 圆锥曲线中的范围、最值问题
p y0.
2.“点差法”的常见题型
求中点弦方程、求(过 定点、平行弦)弦中点 轨迹、垂直平分线问 题．必须提醒的是 “点差法”具有不等 价性，即要考虑判别 式 Δ>0 是否成立．
基础知识
题型分类 第6页，共88页。 思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
基础自测
题号
1 2 3 4
答案

考点十六 直线与圆锥曲线综合问题
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．已知双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 3，右焦点到一条渐近 线的距离为 2，则此双曲线的焦距等于( ) A． 3 B．2 3 C．3 D．6
答案 B
|bc＋0| 解析 由题意，得焦点 F(c，0)到渐近线 bx＋ay＝0 的距离为 d＝ a2＋b2 ＝bcc＝b＝ 2，又ac＝ 3，c2＝a2＋b2，解得 c＝ 3，所以该双曲线的焦距为 2c＝2 3，故选 B.
A．若 x1＋x2＝6，则|PQ|＝8 B．以 PQ 为直径的圆与准线 l 相切 C．设 M(0，1)，则|PM|＋|PP1|≥ 2 D．过点 M(0，1)与抛物线 C 有且仅有一个公共点的直线至多有 2 条 答案 ABC
解析 对于 A，因为 p＝2，所以 x1＋x2＋2＝|PQ|，则|PQ|＝8，故 A 正 确；对于 B，设 N 为 PQ 的中点，点 N 在 l 上的射影为 N1，点 Q 在 l 上的射 影为 Q1，则由梯形性质可得|NN1|＝|PP1|＋2 |QQ1|＝|PF|＋2 |QF|＝|P2Q|，故 B 正 确；对于 C，因为 F(1，0)，所以|PM|＋|PP1|＝|PM|＋|PF|≥|MF|＝ 2，故 C 正确；对于 D，显然直线 x＝0，y＝1 与抛物线只有一个公共点，设过 M 斜 率存在的直线的方程为 y＝kx＋1，联立yy＝ 2＝k4xx＋，1，可得 k2x2＋(2k－4)x＋1 ＝0，令 Δ＝0，则 k＝1，所以直线 y＝x＋1 与抛物线也只有一个公共点，此 时有三条直线符合题意，故 D 错误．故选 ABC.
三、填空题 9．若直线 2x＋4y＋m＝0 经过抛物线 y＝2x2 的焦点，则 m＝________.