2017年上海市杨浦区中考三模数学试卷及答案

2017年上海杨浦区初三一模数学试卷一、选择题（共6小题；共30分）1. 如果延长线段AB到C，使得BC=12AB，那么AC:AB等于( )A. 2:1B. 2:3C. 3:1D. 3:22. 在高为100米的楼顶测得地面上某目标的俯角为α，那么楼底到该目标的水平距离是( )A. 100tanαB. 100tanαC. 100sinαD. 100cosα3. 将抛物线y=2(x−1)2+3向右平移2个单位后所得抛物线的表达式为( )A. y=2(x−1)2+5B. y=2(x−1)2+1C. y=2(x+1)2+3D. y=2(x−3)2+34. 在二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c>0，那么它的图象一定不经过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 下列命题不一定成立的是( )A. 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似B. 两个等腰直角三角形相似C. 两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D. 各有一个角等于100∘的两个等腰三角形相似6. 在△ABC和△DEF中，∠A=40∘，∠D=60∘，∠E=80∘，ABAC =FDFE，那么∠B的度数是( )A. 40∘B. 60∘C. 80∘D. 100∘二、填空题（共12小题；共60分）7. 线段3cm和4cm的比例中项是cm．8. 抛物线y=2(x+4)2的顶点坐标是．9. 函数y=ax2(a>0)中，当x<0时，y随x的增大而．10. 如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(−1,2)和(4,2)，那么它的对称轴是直线．11. 如图，△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB，DE:BC=1:3，那么EF:AB的值为．12. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，如果BC=2AD，那么S△ADC:S△ABC的值为．13. 如果两个相似三角形的面积之比是 9:25，其中小三角形一边上的中线长是 12 cm ，那么大三角形对应边上的中线长是 cm ．14. 如果 a ⃗+b ⃗⃗=3c ⃗，2a ⃗−b ⃗⃗=c ⃗，那么 a ⃗= （用 b ⃗⃗ 表示）．15. 已知 α 是锐角，tanα=2cos30∘，那么 α = 度．16. 如图是一斜坡的横截面，某人沿着斜坡从 P 处出发，走了 13 米到达 M 处，此时在铅垂方向上上升了 5 米，那么该斜坡的坡度是 i =1: ．17. 用“描点法”画二次函数 y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象时，列出了如下表格：那么该二次函数在 x =0 时，y ． 18. 如图，△ABC 中，AB =AC =5，BC =6，BD ⊥AC 于点 D ，将 △BCD 绕点 B 逆时针旋转，旋转角的大小与 ∠CBA 相等，如果点 C ，D 旋转后分别落在点 E ，F 的位置，那么 ∠EFD 的正切值是 ．三、解答题（共7小题；共91分）19. 如图，已知△ABC中，点 F 在边 AB 上，且 AF =25AB 、过 A 作 AG ∥BC 交 CF 的延长线于点G .（1）设 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗，AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗ ，试用向量 a ⃗ 和 b ⃗⃗ 表示向量 AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗； （2）在图中求作向量 AG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的和向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）20. 已知抛物线y=−x2+bx+c经过点B(−1,0)和点C(2,3)．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果此抛物线上下平移后过点(−2,−1)，试确定平移的方向和平移的距离．21. 已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABD=∠C，AD=4，BC=9，锐角∠DBC的正弦值为23．求：（1）对角线BD的长；（2）梯形ABCD的面积．22. 如图，某客轮以每小时10海里的速度向正东方向航行，到A处时向位于南偏西30∘方向且相距12海里的B处发出送货请求，货轮接到请求后即刻沿着北偏东某一方向以每小时14海里的速度出发，在C处恰好与客轮相逢，试求货轮从出发到客轮相逢所用的时间．23. 已知：如图，在△ABC中，点D，G分别在边AB，BC上，∠ACD=∠B，AG与CD相交于点F．（1）求证：AC2=AD⋅AB；（2）若ADAC =DFCG，求证：CG2=DF⋅BG．24. 在直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2−4ax+4a+3(a<0)的顶点为D，它的对称轴与x轴交点为M．（1）求点D、点M的坐标；（2）如果该抛物线与y轴的交点为A，点P在抛物线上且AM∥DP，AM=2DP，求a的值．25. 在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=2，点P为边BC上的一动点（不与B，C重合），点P关于直线AC，AB的对称点分别为M，N，连接MN交边AB于点F，交边AC于点E．（1）如图，当点P为边BC的中点时，求∠M的正切值；（2）连接FP，设CP=x，S△MPF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）连接AM，当点P在边BC上运动时，△AEF与△ABM是否一定相似?若是，请证明；若不是，请求出当△AEF与△ABM相似时CP的长．答案第一部分1. D2. B3. D4. C5. C6. B 第二部分7. 2√38. (−4,0)9. 减小10. x =32 11. 2312. 1:213. 2014. 45b⃗⃗ 15. 6016. 2.417. 318. 12第三部分19. （1） ∵ AG ∥BC ，AF =25AB ，∴ △AGF ∽△BCF ，AF BF =23 ， ∴ AG BC =AF BF =23，即 AG =23CB ， ∴ AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=23a ⃗−23b ⃗⃗； （2） 如图所示，AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=BE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AG⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗． 20. （1） 点 B (−1,0)，C (2,3) 代入 y =−x 2+bx +c ，得：{−1−b +c =0,−4+2b +c =3,解得：{b =2,c =3,∴ 此抛物线的表达式为 y =−x 2+2x +3；（2）在y=−x2+2x+3中，当x=−2时，y=−4−4+3=−5，若点(−2,−5)平移后的对应点为(−2,−1)，则需将抛物线向上平移4个单位．21. （1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵∠ABD=∠C，∴△ABD∽△DCB，∴ADBD =BDBC，∵AD=4，BC=9，∴BD=6．（2）过D作DE⊥BC于E，则∠DEB=90∘，∵锐角∠DBC的正弦值为23，∴sin∠DBC=DEBD =23，∵BD=6，∴DE=4，∴梯形ABCD的面积为12×(AD+BC)×DE=12×(4+9)×4=26．22. 如图，由题意，∠ABF=30∘，∠CBF=60∘，∴∠FAB=60∘，∠ABC=∠C=30∘，∴AC=AB=12，货轮从出发到客轮相逢所用的时间=1210=1.2小时．答：货轮从出发到客轮相逢所用的时间1.2小时．23. （1）因为∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，所以△ACD∽△ABC，所以AC：AB=AD：AC，所以AC2=AD⋅AB；（2）因为△ACD∽△ABC，所以∠ADF=∠ACG，因为ADAC =DFCG，所以△ADF∽△ACG，所以∠DAF=∠CAF，即∠BAG=∠CAG，AG是∠BAC的平分线，所以ACAB =CGBG，所以DFCG =CGBG，所以CG2=DF⋅BG．24. （1）∵y=ax2−4ax+4a+3=a(x−2)2+3，∴顶点D(2,3)，M(2,0)．（2）如图，作PN⊥DM于N．∵AM∥DP，∴∠PDN=∠AMG，∵DG∥OA，∴∠OAM=∠AMG=∠PDN，∵∠PND=∠AOM=90∘，∴△PDN∽△MAO，∴PNOM =DNOA=PDAN=12，∵OM=2，OA=−4a−3，∴PN=1，易证P点横坐标为1，代入抛物线解析式得∴P(1,a+3)，∴DN=−a，∵OA=2DN，∴−4a−3=−2a，∴a=−32．（当点A在y的正半轴上时，方法类似，求得a=−12）．25. （1）如图 1，连接BN，∵点P为边BC的中点，∴CP=BP=12BC=1，∵点P与点M关于AC对称，∴CM=CP=1，∵∠ACB=90∘，AC=BC=2，∴∠BAC=∠ABC=45∘，∵点P与点N关于AB对称，∴BP=BN=1，∠ABN=∠ABC=45∘，∴∠CBM=90∘，BM=CM+BC=3，在Rt△MBN中，tanM=BNBM =13．（2）如图 2，过点F作FG⊥BC，设PG=m，∴BG=BP−PG=2−x−m，MG=MP+PG=2x+m，在Rt△BFG中，∠FBG=45∘，∴FG=BG=2−x−m，在Rt△FMG中，tanM=FGMG =2−x−m2x+m，在Rt△MNB中，tanM=BNBM =2−x2+x，∴2−x−m2x+m =2−x2+x，∴m=(x−2)24，FG=2−x−m=2−x−(x−2)24=4−x24，∴y=S△MPF=12MP⋅FG=12×2x×4−x24=4x−x24(0<x<2)．（3）△AEF∽△BAM．理由：如图 3，连接AM，AP，AN，BN，∵点P关于直线AC，AB的对称点分别为M，N，∴AM=AP=AN，∠MAC=∠PAC，∠PAB=∠NAB，∵∠BAC=∠PAC+∠PAB=45∘，∴∠MAN=∠MAC+∠PAC+∠BAP+∠NAB=2(∠PAC+∠PAB)=90∘．∴∠AMN=45∘=∠ABC，∵∠AFE=∠ABC+∠BMF，∠AMB=∠AMN+∠BMF，∴∠AFE=∠AMB，∵∠EAF=∠ABM=45∘，∴△AEF∽△BAM．。

初三数学质量调研试卷答案—1—杨浦区初三数学质量调研答案及评分建议2017.4一、 选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1． C ； 2．B ； 3． B ； 4． A ； 5． D ；6． D二、 填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．略； 8．1x y-+； 9．(a a a -+； 10． 45x <<； 11． 2-2或； 12． 增大；13． 2(4)2y x =+-； 14． 54； 15． 15； 16． 30； 17． 1010cot tan αβ+； 18．3. 三、 解答题（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）解：原式331(7-÷+--…………………………………………………（6分）=117-+-+2分）=7…………………………………………………………………………（2分）20．（本题满分10分）解：去分母得3(1)(3)(1)(3)x x x x --+=-+. ………………………………………(3分) 整理得 2230x x --=. ………………………………………………………(3分) (1)(3)0x x +-=. ……………………………………………………(1分) 解得 11x =-，13x =. ……………………………………………………(2分) 经检验11x =-，13x =都是原方程的根.……………………………………………(1分)21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）作CH ⊥AB ，垂足为点H ．∵tan A =34，∴设CH =3x ，那么AH =4x ． ……………………………………（1分） ∵∠ABC =45°，∴BH =CH =3x ． ………………………………………………（1分） ∵AB =14，∴3x +4x =14． ………………………………………………………（1分） ∴x =2，即CH =6． ………………………………………………………………（1分） ∴△ABC 的面积等于42． ………………………………………………………（1分）（2）设圆A 的半径为R A ，圆C 的半径为R C .∵以C 为圆心的的圆C 与直线AB 相切，∴R C =CH =6. ………………………………………………………………………（1分） ∵圆A 与圆C 相切，∴AC = R A + R C ，或AC = R A - R C . ………………………（2分） ∵CH =6，AH =8，∴AC =10.∴10= R A +6，或10= R A -6.∴R A =4或16. ………………………………………………………………………（2分） 即圆A 的半径为4或16.初三数学质量调研试卷答案—2—22．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各2分，第（3）小题6分）解:（1） x =20……………………………………………………………………………（2分）（2） 0<x <20 ……………………………………………………………………………（2分）（3） 因为射线OC 过点（20，200），所以射线OC 的表达式是y 2=10x ，…………（1分） 过点（30，0）作y 轴的平行线交OC 于点E ，交AB 于点F ，所以E （30，300），……………………………………………………………………（1分） 所以 F （30，250）……………………………………………………………………（1分） 设射线AB 的表达式为y 1=kx +b (k ≠0)所以25030,20020k b k b=+⎧⎨=+⎩……………………………………………………………………（1分）解得5,100.k b =⎧⎨=⎩所以射线AB 的表达式为5100(10)y x x =+≥………………（1分，1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题7分，第（2）小题5分）（1） 证明：∵BD ⊥BC ，∴∠DBE +∠EBC =90°.∵AB ⊥BE ，∴∠DBE +∠ABD =90°. ∴∠EBC =∠ABD. …………………（1分） ∵E 为边CD 的中点，∴12BE DC =，即BE =EC ，…………………（1分） ∴∠EBC =∠C. ∴∠C =∠ABD. …………………………………………（1分）∵BD 平分∠ADE ，∴∠ADB =∠BDC. ……………………………………（1分）∴△ABD ∽△BCD . ………………………………………………………（1分） ∴AD BD BD DC=.……………………………………………………………（1分） ∴2BD AD DC =⋅.………………………………………………………（1分）（2） 证明： ∵△ABD ∽△BCD ，∴∠A =∠DBC .∵BD ⊥BC ，∴∠DBC =90°. ∴∠A =90°.∵BD =BC ，E 为边CD 的中点，∴BE ⊥DC ，即∠BED =90°.∵AB ⊥BE ，即∠ABE =90°，∴ABED 为矩形.∵BD ⊥BC ，E 为边CD 的中点，∴1,2BE DC DE ==∴ABED 为正方形. …………………………………………………………（2分）∴AE ⊥BD ，且AE =BD .∵BD ⊥BC ，∴AE //BC .∵BD =BC ，∴AE =BC . ……………………………………………………（2分）∴ABCE 为平行四边形. ……………………………………………………（1分）初三数学质量调研试卷答案—3— 24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）解：（1）∵抛物线2y ax x c =-+的对称轴为直线x =1，∴12a =. ∵抛物线与x 轴的一个交点为A （-1，0），∴32c =-. ∴抛物线的表达式为21322y x x =--.………………………………………………（2分） ∴顶点B （1，-2）. …………………………………………………………………（1分） ∵点C （5，m ）在抛物线上，∴6m =. ∴C 点坐标为（5，6）.设直线BC 的表达式为y =kx +b （k ≠0），则652k b k b=+⎧⎨-=+⎩，∴2,4.k b =⎧⎨=-⎩即BC 的表达式为y =2x -4.∴E （2,0）. ……………………………………………………………………………（1分）（2）作CH ⊥x 轴，垂足为H ，作BP ⊥x 轴，垂足为P ，∵C （5，6），A （-1，0），∴CH =6=AH . ∴∠CAH=45°.∵B （1，-2），A （-1，0），∴BP =2=AP . ∴∠BAP=45°.∴∠CAB=90°. …………………………………………………………………………（1分） ∵CH =6=AH ，CH ⊥x轴，∴AC =∵BP =2=AP ，BP ⊥x轴，∴AB = ∴tan 3.AC B AB∠==…………………………………………………………………（2分） （3）∵∠CAB=90°，∴∠B +∠ACB =90°.∵GM ⊥BC ，∴∠CGM +∠ACB =90°. ∴∠CGM =∠B . ………………………………（1分） ∵△CGM 与△ABE 相似，∴∠BAE =∠CMG 或∠BAE =∠MCG .情况1：当∠BAE =∠CMG 时，∵∠BAE =45°，∴∠CMG =45°. ∵GM ⊥BC ，∴∠MCE =45°. ∴∠MCE =∠EAB .∵∠AEB =∠CEM ，∴△ABE ∽△CME . ……………………………………………（1分） ∴BE AE EM CE =.即EM =∴EM =5. ∴M （7，0）. ……………………………（1分） 情况2：当∠BAE =∠MCG 时，∵∠BAE =∠CAM ，∴∠MCG =∠CAM . ∴MC =MA . ………………………………（1分） 设M （x ，0），∵C （5，6），A （-1，0），∴222(1)(5)6.x x +=-+∴x=5.∴M （5，0）. …………………………………………………………………………（1分）初三数学质量调研试卷答案—4— 25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5 分）解：（1）∵AODE 为矩形，∴AD =OE ，且AD =2AC ，OE =2OC . ………………………（1分）∵点C 在AB 上，∴OA =OC . ……………………………………………………（1分） ∴OE =2OC =2OA . ∴AD =2OA . …………………………………………………（1分） ∵AODE 为矩形，∴AO ⊥OD .∴∠ADO =30°. …………………………………………………………………（1分）（2）作OH ⊥AC ，垂足为H .∵O 为圆心，∴AH =HC . ……………………………………………………………（1分）∵ AC =6，∴AH =3.∵∠AOB =90°，∴AO ⊥OD . ∵ED ⊥OD ，∴AO //ED .∴AC AO CD DE =. ∵AC =6，AO =5，CD =65DE . ………………………………………（1分） ∵AO ⊥OD ，OH ⊥AC ，∴cos AH AO A AO AD ==. 356565DE =+. ……………（1分） ∴DE =3518.………………………………………………………………………………（2分） （3）∠BCD 的大小不变. …………………………………………………………………（1分） 设∠A =α，∠OBC =β∵O 为圆心，点C 为AB 上，∴OA =OC =OB .∴∠ACO = ∠A =α，∠OCB =∠OBC =β. ……………………………………………（1分） ∴∠AOC =1802α︒-，∠BOC =1802β︒-.………………………………………（1分）∵∠AOB =90°，∴1802α︒-+1802β︒-=90°. ∴135αβ+=︒.………………（1分） ∴∠BCD=180()45αβ︒-+=︒.…………………………………………………（1分）。

2017-2018年上海市杨浦区中考三模数学试卷及答案上海市杨浦区2017-2018年中考三模数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.点A是数轴上的任意一点，下列说法正确的是（C）点A表示的数一定是有理数。

2.下列关于x的方程一定有实数解的是（B）x-2=1-x。

3.某学校为了了解九年级学生体能情况，随机选取30名学生测试一分钟仰卧起坐次数，并绘制了直方图（如图），学生仰卧起坐次数在25～30之间的频率为（B）0.4.4.将抛物线y=x^2-2平移到抛物线y=x^2+2x-2的位置，以下描述正确的是（A）向左平移1个单位，向上平移1个单位。

5.下列图形既是中心对称又是轴对称的是（C）正三角形。

6.下列条件一定能推得△ABC与△DEF全等的是（D）在△ABC和△DEF中，AB/BC=DE/EF，∠B=∠E。

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：12+27=39.8.方程x+2=x的解是2.9.如果反比例函数y=k/x，当x=3时，y=4，那么k=12.10.函数y=kx+b的大致图像如图所示，则当x<0时，y的取值范围是y<0.11.XXX在数学课上给出了6道题，要求每位同学独立完成。

现将答对的题目数与相应的人数列表如下。

答对题目数相应的人数1 22 33 44 55 66 7这些同学平均答对了几道题目。

12.从分别标有1、2、3、4的四张卡片中，一次同时抽2张，其中和为奇数的概率是多少。

13.在直角三角形ABC中，∠C=90°，点D为AB边上中点，如果AB=a，CD=b，那么CA的长度为多少（用a,b表示）。

14.如果人在一斜坡坡面上前行100米时，恰好在铅垂方向上上升了10米，那么该斜坡的坡度是多少。

15.如图，△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，BC的垂直平分线交AB于点D，联结DC。

如果AD=2，BD=6，那么△ADC的周长为多少。

2017年上海市杨浦区高考数学三模试卷一、填空题（共12小题，满分54分）1．计算：= ．2．设集合S={x|≤0，x∈R}，T={2，3，4，5，6}，则S∩T= ．3．已知复数z满足：z（2﹣i）=3+i（其中i为虚数单位），则z的模等于．4．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与椭圆+=1的一个顶点重合，则该抛物线的焦点到准线的距离为．5．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是（用数字作答）．6．已知函数f（x）=（x﹣a）|x|存在反函数，则实数a= ．7．方程log2（4x﹣3）=x+1的解集为．8．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0），若存在x0∈R，使得f（x0+2）﹣f（x0）=4，则ω的最小值为．9．若正四棱锥P﹣ABCD的高为2，侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为，则该正四棱锥的体积为．10．从1，2，3，4中选择数字，组成首位数字为1，有且只有两个数位上的数字相同的四位数，这样的四位数有个．11．已知等边△ABC的边长为2，点E、F分别在边CA、BA上且满足•=2•=3，则•= ．12．已知函数f（x）=的最小值为a+1，则实数a的取值范围为．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“a＞1“是“＜1“的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件14．如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．y=x+f（x）B．y=xf（x）C．y=x2+f（x）D．y=x2f（x）15．已知数列{a n}为等比数列，其前n项和为S n，则下列结论正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a1+a3＞0 B．若a1+a3＞0，则a1+a2＞0C．若a1＞0，则S2017＞0 D．若a1＞0，则S2016＞016．已知集合M={（x，y）||x|+|y|≤1}，若实数对（λ，μ）满足：对任意的（x，y）∈M，都有（λx，μy）∈M，则称（λ，μ）是集合M的“嵌入实数对”．则以下集合中，不存在集合M的“嵌入实数对”的是（）A．{（λ，μ）|λ﹣μ=2} B．{（λ，μ）|λ+μ=2} C．{（λ，μ）|λ2﹣μ2=2} D．{（λ，μ）|λ2+μ2=2}三、解答题（共5小题，满分76分）17．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=AB=1．AA1=CD=2．E为棱DD1的中点．（1）证明：B1C1⊥平面BDE；（2）求二面角D﹣BE﹣C1的大小．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，），其部分图象如图所示．（I）求f（x）的解析式；（II）求函数在区间上的最大值及相应的x值．19．经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）万元时，该商品的月供给量为y1吨，y1=ax+a2﹣a（a＞0）：月需求量为y2吨，y2=﹣x2﹣x+1，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量：当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．（1）已知a=，若某月该商品的价格为x=7，求商品在该月的销售额（精确到1元）；（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6万元，求实数a的取值范围．20．如图，由半圆x2+y2=r2（y≤0，r＞0）和部分抛物线y=a（x2﹣1）（y≥0，a＞0）合成的曲线C称为“羽毛球形线”，曲线C与x轴有A、B两个焦点，且经过点（2.3）．（1）求a、r的值；（2）设N（0，2），M为曲线C上的动点，求|MN|的最小值；（3）过A且斜率为k的直线l与“羽毛球形线”相交于P，A，Q三点，问是否存在实数k，使得∠QBA=∠PBA？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．21．已知数列{a n}满足：a1=1，a n=，n=2，3，4，…．（1）求a2，a3，a4，a5的值；（2）设b n=+1，n∈N*，求证：数列{b n}是等比数列，并求出其通项公式；（3）对任意的m≥2，m∈N*，在数列{a n}中是否存在连续的2m项构成等差数列？若存在，写出这2m项，并证明这2m项构成等差数列；若不存在，请说明理由．2017年上海市杨浦区高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，满分54分）1．计算：= ．【考点】8J：数列的极限．【分析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．【解答】解：===．故答案为：．2．设集合S={x|≤0，x∈R}，T={2，3，4，5，6}，则S∩T= {3，4，5} ．【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出集合S，T的等价条件，结合集合交集的定义进行计算即可．【解答】解：S={x|≤0，x∈R}={x|3≤x＜6}，则S∩T={3，4，5}，故答案为：{3，4，5}3．已知复数z满足：z（2﹣i）=3+i（其中i为虚数单位），则z的模等于．【考点】A8：复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：z（2﹣i）=3+i（其中i为虚数单位），∴z（2﹣i）（2+i）=（3+i）（2+i），∴5z=5+5i，可得z=1+i|z|=．故答案为：．4．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与椭圆+=1的一个顶点重合，则该抛物线的焦点到准线的距离为 4 ．【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】求出椭圆的顶点坐标，得到抛物线的焦点坐标，求出P即可得到结果．【解答】解：抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与椭圆+=1的一个顶点（0，2）重合，抛物线的开口向上，焦点坐标（0，2），可得p=4，则该抛物线的焦点到准线的距离为：p=4．故答案为：4．5．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是10 （用数字作答）．【考点】DA：二项式定理．【分析】先求出二项式（x2+）5的展开式中通项公式，令x的系数等于4，求出r的值，即可求得展开式中含x4的项的系数．【解答】解：二项式（x2+）5的展开式中通项公式为 T r+1= x10﹣2r x﹣r=x10﹣3r．令 10﹣3r=4，可得 r=2，∴展开式中含x4的项的系数是=10，故答案为10．6．已知函数f（x）=（x﹣a）|x|存在反函数，则实数a= 0 ．【考点】4R：反函数．【分析】a＞0时，f（x）=，利用单调性即可判断出不存在反函数．a=0时，f（x）=，可得函数f（x）在R上单调递增，因此存在反函数．a＜0时，f（x）=，利用单调性即可判断出不存在反函数．【解答】解：a＞0时，f（x）=，可得函数f（x）在内单调递减，在（﹣∞，0），上单调递增，因此不存在反函数．a=0时，f（x）=，可得函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，因此存在反函数．a＜0时，f（x）=，可得函数f（x）在内单调递减，在（﹣∞，），（0，+∞）上单调递增，因此不存在反函数．综上可得：a=0．故答案为：0．7．方程log2（4x﹣3）=x+1的解集为{log23} ．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【分析】解：由已知条件得（2x）2﹣2•2x﹣3=0，解得2x=3，或2x=﹣1（舍），进一步求出x的答案．【解答】解：∵log2（4x﹣3）=x+1，∴2x+1=4x﹣3，∴（2x）2﹣2•2x﹣3=0，解得2x=3，或2x=﹣1（舍），∴x=log23．∴方程log2（4x﹣3）=x+1的解集为{log23}．故答案为：{log23}．8．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0），若存在x0∈R，使得f（x0+2）﹣f（x0）=4，则ω的最小值为．【考点】HL：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】化简等式可得sin（ωx0+2ω+φ）﹣sin（ωx0+φ）=2，由正弦函数的性质可求ω=（k1﹣k2）π﹣，k1、k2∈Z，结合ω＞0求得ω的最小值．【解答】解：存在x0∈R，使得f（x0+2）﹣f（x0）=4，即2sin﹣2sin（ωx0+φ）=4成立，∴sin（ωx0+2ω+φ）﹣sin（ωx0+φ）=2，∴ωx0+2ω+φ=2k1π+①，ωx0+φ=2k2π+②，k1、k2∈Z；由①②解得：ω=k1π﹣k2π﹣，k1、k2∈Z；又ω＞0，∴ω的最小值是．故答案为：．9．若正四棱锥P﹣ABCD的高为2，侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为，则该正四棱锥的体积为．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】连结AC、BD，交于点O，连结PO，则PO⊥平面ABCD，且PO=2，从而侧棱PA与底面ABCD所成角为∠PAO，且，进而AO=2，AB=，由此能求出该正四棱锥的体积．【解答】解：连结AC、BD，交于点O，连结PO，∵正四棱锥P﹣ABCD的高为2，侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为，∴PO⊥平面ABCD，且PO=2，∴侧棱PA与底面ABCD所成角为∠PAO，且，∴AO=2，∴AB=，∴该正四棱锥的体积：V===．故答案为：．10．从1，2，3，4中选择数字，组成首位数字为1，有且只有两个数位上的数字相同的四位数，这样的四位数有36 个．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【分析】根据题意，分2种情况讨论，①后三位数字中包含1，即1是重复数字；②后三位数字中不包含1；分别求出其情况数目，再由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论，①后三位数字中包含1，则只需在2、3、4中任取两个，与1进行排列即可，有C32×A33=18种情况；②后三位数字中不包含1，则需要在2、3、4中取出2个，一个作为重复数字，另一个不重复，有A32×A33=18种不同情况；故这样的四位数有18+18=36种；故答案为：36．11．已知等边△ABC的边长为2，点E、F分别在边CA、BA上且满足•=2•=3，则•= ﹣．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】用三角形各边向量表示出，，再计算•．【解答】解：设，，则==， =+=，∴=+λ=4﹣2λ，=μ•=2μ，∵，，∴λ=，μ=，∴=（+）•（+）=﹣+++=﹣4++1+=﹣．故答案为：﹣．12．已知函数f（x）=的最小值为a+1，则实数a的取值范围为{﹣2﹣2}∪．【考点】5B：分段函数的应用．【分析】讨论﹣a与0，1的大小关系，判断f（x）在两区间（﹣∞，0]和（0，+∞）上的单调性与最小值，列不等式解出a的范围．【解答】解：（1）若﹣a≤0，即a≥0时，f（x）=，∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，最小值为f（0）=2，在（0，+∞）上最小值为a+1，故只需2≥a+1即可，解得0≤a≤1；（2）若0＜﹣a≤1，即﹣1≤a＜0时，则f（x）=，∴f（x）在（﹣∞，0]上先减后增，最小值为f（）=2﹣，在（0，+∞）上最小值为a+1，故只需2﹣≥a+1即可，解得﹣2﹣2≤a≤﹣2+2，又﹣1≤a＜0，∴﹣1≤a＜0，（3）若﹣a＞1，即a＜﹣1时，f（x）=，∴f（x）在（﹣∞，0]上先减后增，最小值为f（）=2﹣，f（x）在（0，+∞）上的最小值为﹣a﹣1＞0，而f（x）的最小值为a+1＜0，故只需令2﹣=a+1即可，解得a=﹣2﹣2或a=﹣2+2（舍），综上，a的取值范围是{﹣2﹣2}∪．故答案为：{﹣2﹣2}∪．二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．“a＞1“是“＜1“的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：当a＞1时，＜1成立，即充分性成立，当a=﹣1时，满足＜1，但a＞1不成立，即必要性不成立，则“a＞1“是“＜1“的充分不必要条件，故选：A14．如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．y=x+f（x）B．y=xf（x）C．y=x2+f（x）D．y=x2f（x）【考点】3K：函数奇偶性的判断．【分析】逐个计算g（﹣x），观察与g（x）的关系得出答案．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）．对于A，g（﹣x）=﹣x+f（﹣x）=﹣x﹣f（x）=﹣g（x），∴y=x+f（x）是奇函数．对于B，g（﹣x）=﹣xf（﹣x）=xf（x）=g（x），∴y=xf（x）是偶函数．对于C，g（﹣x）=（﹣x）2+f（﹣x）=x2﹣f（x），∴y=x2+f（x）为非奇非偶函数，对于D，g（﹣x）=（﹣x）2f（﹣x）=﹣x2f（x）=﹣g（x），∴y=x2f（x）是奇函数．故选B．15．已知数列{a n}为等比数列，其前n项和为S n，则下列结论正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a1+a3＞0 B．若a1+a3＞0，则a1+a2＞0C．若a1＞0，则S2017＞0 D．若a1＞0，则S2016＞0【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】对等比数列中的公比q讨论，可得答案．【解答】解：对于A：a1+a2＞0，即a1（1+q）＞0，那么a1+a3=a1（1+q2），当a1＞0，可得a1+a3＞0，当a1＜0时，a1+a3＞0不成立．对于B：a1+a3＞0，即a1+a3=a1（1+q2）＞0，可得a1＞0，a1+a2＞0，即a1（1+q）＞0，当1+q ＜0时，不成立．对于C：a1＞0，则S2017=，当q＞1时，S2017＞0．当0＜q＜1时，1﹣q＞0，1﹣q2017＞0，∴S2017＞0．当﹣1＜q＜0时，1﹣q＞0，1﹣q2017＞0，∴S2017＞0．当q＜﹣1时，1﹣q＜0，1﹣q2017＜0，∴S2017＞0．对于D：a1＞0，则S2016=，当q＞1时，1﹣q＜0，1﹣q2016＜0，∴S2016＞0．当0＜q＜1时，1﹣q＞0，1﹣q2016＞0，∴S2016＞0．当﹣1＜q＜0时，1﹣q＞0，1﹣q2016＞0，∴S2016＞0．当q＜﹣1时，1﹣q＞0，1﹣q2016＜0，∴S2016＜0．故选C．16．已知集合M={（x，y）||x|+|y|≤1}，若实数对（λ，μ）满足：对任意的（x，y）∈M，都有（λx，μy）∈M，则称（λ，μ）是集合M的“嵌入实数对”．则以下集合中，不存在集合M的“嵌入实数对”的是（）A．{（λ，μ）|λ﹣μ=2} B．{（λ，μ）|λ+μ=2} C．{（λ，μ）|λ2﹣μ2=2} D．{（λ，μ）|λ2+μ2=2}【考点】KE：曲线与方程．【分析】由定义可知|λ|≤1，|μ|≤1，利用不等式的性质即可得出λ+μ，λ﹣μ，λ2﹣μ2，λ2+μ2的范围，从而得出答案．【解答】解：若集合M存在“嵌入实数对”（λ，μ），则|λx|+|μy|≤1对任意（x，y）∈M恒成立，又|x|+|y|≤1，∴|λ|≤1，|μ|≤1，∴﹣2≤λ﹣μ≤2，故A正确；﹣2≤λ+μ≤2，故B正确；﹣1≤λ2﹣μ2≤1，故C不正确；0≤λ2+μ2≤2，故D正确；故选C．三、解答题（共5小题，满分76分）17．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=AB=1．AA1=CD=2．E为棱DD1的中点．（1）证明：B1C1⊥平面BDE；（2）求二面角D﹣BE﹣C1的大小．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由题意证明BC⊥BD，再由已知ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，得BC⊥DE，由线面垂直的判定可得BC⊥平面BDE，进一步得到B1C1⊥平面BDE；（2）如图建立空间直角坐标系，由已知求出B，C，C1，E的坐标，进一步求出平面BEC1与平面BDE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D﹣BE﹣C1的大小．【解答】（1）证明：由题意，BD=BC=，∵CD=2，∴BD2+BC2=CD2，则BC⊥BD．又∵ABCD﹣A1B1C1D1为直四棱柱，∴BC⊥DE，∵BD∩DE=D，∴BC⊥平面BDE，又∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面BDE；（2）解：如图建立空间直角坐标系，则有B（1，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（0，0，1）．，．设平面BEC1的法向量为，由，得，取x=3，得．由（1）知，平面BDE的一个法向量．∴cos＜＞==．由图可知，二面角D﹣BE﹣C1为钝角，∴二面角D﹣BE﹣C1的大小为arccos（﹣）．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，），其部分图象如图所示．（I）求f（x）的解析式；（II）求函数在区间上的最大值及相应的x值．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HW：三角函数的最值．【分析】（I）先求周期，推出ω，利用（），推出，得到f（x）的解析式；（II）求函数在区间上的最大值及相应的x值．【解答】解：（I）由图可知，A=1，所以T=2π所以ω=1又，且所以所以．（II）由（I），所以===cosx•sinx=因为，所以2x∈，sin2x∈故：，当时，g（x）取得最大值．19．经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）万元时，该商品的月供给量为y1吨，y1=ax+a2﹣a（a＞0）：月需求量为y2吨，y2=﹣x2﹣x+1，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量：当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．（1）已知a=，若某月该商品的价格为x=7，求商品在该月的销售额（精确到1元）；（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6万元，求实数a的取值范围．【考点】5D：函数模型的选择与应用．【分析】（1）计算y1，y2，比较大小确定销售量，再计算销售额；（2）令f（x）=y1﹣y2，则f（x）在[6，14）上有零点，根据零点的存在性定理列不等式组解出a的范围．【解答】解：（1）当a=，x=7时，y1=×7+×（）2﹣=1+﹣=，y2=﹣×（）2﹣×+1=，∴y1＞y2，∴该月销售额为7××104≈50313（元）．（2）令f（x）=y1﹣y2=x2+（+a）x﹣a﹣1，则f（x）在[6，14）上有零点，∵a＞0，∴f（0）=﹣a﹣1＜0，又f（x）的图象开口向上，∴f（x）在[6，14）上只有1个零点，∴，即，解得：0＜a≤．20．如图，由半圆x2+y2=r2（y≤0，r＞0）和部分抛物线y=a（x2﹣1）（y≥0，a＞0）合成的曲线C称为“羽毛球形线”，曲线C与x轴有A、B两个焦点，且经过点（2.3）．（1）求a、r的值；（2）设N（0，2），M为曲线C上的动点，求|MN|的最小值；（3）过A且斜率为k的直线l与“羽毛球形线”相交于P，A，Q三点，问是否存在实数k，使得∠QBA=∠PBA？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．【分析】（1）由将点代入抛物线方程，即可求得a的值，求得A，B点坐标，代入圆方程，即可r的值；（2）根据两点之间的距离公式，采用分类讨论，根据二次函数的性质，即可求得|MN|的最小值；（3）将直线方程，代入抛物线及圆的方程求得Q及P点坐标，由k BP=﹣k BQ，即可求得k的值，因此存在实根k=1+，使得∠QBA=∠PBA．【解答】解：（1）将（2，3）代入y=a（x2﹣1），解得：a=1，由y=x2﹣1与x轴交于（±1，0），则A（1，0），B（﹣1，0），代入圆x2+y2=r2，解得：r=±1，由r＞0，则r=1，∴a的值为1，r的值为1；（2）设M（x0，y0），则丨MN丨2=x02+（y0﹣2）2，当y0≤0，x02=1﹣y02，丨MN丨2=5﹣4y0，∴当y0=0时，丨MN丨min=，当y≥0时，x02=1+y0，丨MN丨2=x02+（y0﹣2）2=1+y0+（y0﹣2）2=y02﹣3y0+5=（y0﹣）2+，当y0=时，丨MN丨min=；（3）由题意可知：PQ的方程y=k（x﹣1），，整理得：x2﹣kx+k﹣1=0，则x=1，y=k﹣1，则Q（k﹣1，k2﹣2k），则，整理得：（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣1=0，解得：x=1或x=，则P点坐标为（，﹣），由∠QBA=∠PBA，则k BP=﹣k BQ，即=﹣，即k2﹣2k﹣1=0，解得：k=1±（负值舍去），因此存在实根k=1+，使得∠QBA=∠PBA．21．已知数列{a n}满足：a1=1，a n=，n=2，3，4，…．（1）求a2，a3，a4，a5的值；（2）设b n=+1，n∈N*，求证：数列{b n}是等比数列，并求出其通项公式；（3）对任意的m≥2，m∈N*，在数列{a n}中是否存在连续的2m项构成等差数列？若存在，写出这2m项，并证明这2m项构成等差数列；若不存在，请说明理由．【考点】8H：数列递推式．【分析】（1）由a1=1，利用递推公式能求出a2，a3，a4，a5的值．（2）由题意，对于任意的正整数n，b n=+1，从而b n+1=+1，进而b n+1=2b n，由此能证明数列{b n}是首项、公比均为2的等比数列，并求出其通项公式．（3）对任意的m≥2，m∈N*，在数列{a n}中存在连续的2m项构成等差数列．对任意的m≥2，k ∈N*，在数列{a n}中，，，，…，这连续的2m就构成一个等差数列．利用构造法和分类讨论法能推导出，，，…，这连续的2m项，是首项为，公差为﹣的等差数列．【解答】解：（1）∵a1=1，∴a2=1+2a1=3，a3=+2a2=，a4=1+2a3=7，a5=+2a4=；证明：（2）由题意，对于任意的正整数n，b n=+1，∴b n+1=+1，又∵+1=（2+1）+1=2（+1）=2b n，∴b n+1=2b n，又∵b1=+1=a1+1=2，∴数列{b n}是首项、公比均为2的等比数列，其通项公式b n=2n；（3）对任意的m≥2，m∈N*，在数列{a n}中存在连续的2m项构成等差数列．对任意的m≥2，k∈N*，在数列{a n}中，，，，…，这连续的2m就构成一个等差数列．我们先来证明：“对任意的n≥2，n∈N*，k∈（0，2n﹣1），k∈N*，有”，由（2）得，∴，当k为奇数时，=，当k为偶数时， =1+2a，记，∴要证=，只需证明，其中，k1∈N*，（这是因为若，则当时，则k一定是奇数）有===，当时，则k一定是偶数，有=1+=1+2（）=1+2（）=，以此递推，要证=，只要证明，其中，k2∈N*，如此递推下去，我们只需证明，，即，即，由（Ⅱ）可得，所以对n≥2，n∈N*，k∈（0，2n﹣1），k∈N*，有，对任意的m≥2，m∈N*，=，，其中i∈（0，2m﹣1），i∈N*，∴﹣=﹣，又，，∴，∴，，，…，这连续的2m项，是首项为，公差为﹣的等差数列．2017年6月15日。

杨浦区2017学年度第一学期期末质量调研初 三 数 学 试 卷 2018.1（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．如果5x =6y ，那么下列结论正确的是（ ） （A ）:6:5x y =；（B ）:5:6x y =；（C ）5,6x y ==；（D ）6,5x y ==．2．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是 （ ）（A ）都含有一个40°的内角； （B ）都含有一个50°的内角； （C ）都含有一个60°的内角； （D ）都含有一个70°的内角．3．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ∶DE =1∶2，那么下列等式一定成立的是（ ） （A ）BC ∶DE =1∶2；（B ） △ABC 的面积∶△DEF 的面积=1∶2；（C ）∠A 的度数∶∠D 的度数=1∶2；（D ）△ABC 的周长∶△DEF 的周长=1∶2.4．如果2a b =r r （,a b r r均为非零向量）,那么下列结论错误的是（ ）（A ）//a b r r；（B ）20a b -=r r ； （C ）12b a =r r； （D ）2a b =r r ．5．如果二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像如图所示，那么下列不等式成立的是（ ） （A ）0a >； （B ）0b <；（C ）0ac <；（D ）0bc <．6．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，且∠AED =∠B ，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE ∽△BDF 的是（ ） （A ）EA EDBD BF =； （B ）EA EDBF BD =；（C ）AD AEBD BF=； （D ）BD BABF BC=. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．抛物线23y x =-的顶点坐标是 .8．化简：112()3()22a b a b --+r r r r= .9．点A （-1，m ）和点B （-2，n ）都在抛物线2(3)2y x =-+上，则m 与n 的大小关系为m n （填“<”或“>”）．（第6题图）10．请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，4）的抛物线的表达式 . 11．如图，DE //FG //BC ，AD ∶DF ∶FB =2∶3∶4，如果EG =4，那么AC = .12．如图，在□ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，联结BE 并延长交AD 于点F ，如果△AEF的面积是4，那么△BCE 的面积是 . 13．Rt △ABC 中，∠C =90°，如果AC =9，cos A =13，那么AB = . 14．如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降了50米，那么该斜坡的坡度是1∶ .15．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，M 是AB 中点，MH ⊥BC ，垂足为点H ，CM 与AH 交于点O ，如果AB =12，那么CO = .16．已知抛物线22y ax ax c =++，那么点P （-3，4）关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是 . 17．在平面直角坐标系中，将点（-b ，-a ）称为点（a ，b ）的“关联点”（例如点（-2，-1）是点（1，2）的“关联点”）.如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第 象限． 18．如图，在△ABC 中，AB =AC ，将△ABC 绕点A 旋转，当点B 与点C 重合时，点C 落在点D 处，如果sin B =23，BC =6，那么BC 的中点M 和CD 的中点N 的距离是 . 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：cos 45tan 45sin 60cot 60cot 452sin 30︒⋅︒-︒⋅︒︒+︒20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分） 已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，sin B =35，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，且AD ∶DB =2∶3，DE ⊥BC . （1）求∠DCE 的正切值； （2）如果设AB a =u u u r r ，CD b =u u u r r ，试用a r 、b r 表示AC uuu r.21．（本题满分10分）甲、乙两人分别站在相距6米的A 、B 两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C 处发出一球，乙在离地面1.5米的D 处成功击球，球飞行过程中的最高点H 与甲的水平距离AE 为4米，现以A 为原点，直线AB 为x 轴，建立平面直角坐标系（如图所示）.求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度. 22．（本题满分10分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC 的高为10米，灯柱BC 与灯杆AB 的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 的长为13.3米，从D 、E 两处测得路灯A 的仰角分别为α和45°，且tan α=6. 求灯杆AB 的长度．23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =AB ，对角线AC 、BD 交于点E ，点F 在边BC 上，且∠BEF =∠BAC . （1）求证：△AED ∽△CFE ；ACD（第20题图） AB C（第18题图）D A B C O EF （第11题图） （第12题图） （第15题图） AB M O AB C D EF G（第21题图）．HA （O ）BCDxyE（第22题图） ABC D（第23题图）AB CDE（2）当EF //DC 时，求证：AE =DE .24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H .（1）求顶点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D 在第二象限时，如果∠ADH =∠AHO ，求m 的值. 25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）已知：矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，直线MN 交矩形对角线AC 于点E ，将△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在射线CB 上.（1）如图1，当EP ⊥BC 时，求CN 的长； （2）如图2，当EP ⊥AC 时，求AM 的长；（3）请写出线段CP 的长的取值范围，及当CP 的长最大时MN 的长.杨浦区初三数学期末试卷参考答案及评分建议2018.1一、 选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、A ； 2、C ； 3、D ； 4、B ； 5、C ； 6、C 二、 填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7、()0,3-； 8、142a b -r r ； 9、<； 10、24y x =-+等； 11、12； 12、36； 13、27； 14、2.4； 15、4； 16、()1,4； 17、二、四； 18、4三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）解：原式=12231122+⨯--------------------------------------------------（6分） =1222-----------------------------------------------------------------（2分） =14. --------------------------------------------------------------（2分） 20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分） 解：（1）∵∠ACB =90°，sin B =35，∴35AC AB =. -------------------------（1分）∴设AC =3a ，AB =5a . 则BC =4a . ∵AD :DB =2:3，∴AD =2a ，DB =3a . ∵∠ACB =90°即AC ⊥BC ，又DE ⊥BC ，（第24题图）（备用图）（图1）AB C D NP ME（图2） AB C DN P M E （第25题图） ABCD∴AC//DE. ∴DE BD AC AB =, CE ADCB AB=. ∴335DE a a a =, 245CE a a a =. ∴95DE a =，85CE a =.----------（2分） ∵DE ⊥BC ，∴9tan 8DE DCE CE ∠==.-----------------------------（2分）（2）∵AD :DB =2:3，∴AD :AB =2:5. ------------------------------------------------（1分）∵AB a =u u u r r ，CD b =u u u r r ，∴25AD a =u u u r r . DC b =-u u ur r .--------------------（2分）∵AC AD DC =+u u u r u u u r u u u r ，∴25AC a b =-u u u r r r .-----------------------------------（2分）21．（本题满分10分）解：由题意得：C （0，1），D （6，1.5），抛物线的对称轴为直线x =4.----（3分）设抛物线的表达式为()210y ax bx a =++≠-------------------------------------（1分）则据题意得：421.53661ba ab ⎧-=⎪⎨⎪=++⎩. ----------------------------------------------（2分）解得：12413a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. -------------------------------------------------------------------（2分）∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为2111243y x x =-++. ------（1分）∵()2154243y x =--+，∴飞行的最高高度为53米. ------------------------（1分） 22．（本题满分10分）解：由题意得∠ADE =α，∠E =45°.----------------------------------------------（2分） 过点A 作AF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点B 作BG ⊥AF ，交AF 于点G ，则FG =BC =10. 设AF =x ．∵∠E =45°，∴EF =AF =x ． 在Rt △ADF 中，∵tan ∠ADF =AFDF，-----------------（1分） ∴DF =tan tan 6AF x xADF α==∠. --------------------------（1分）∵DE =13.3，∴6x x +=13.3. ---------------------------（1分） ∴x =11.4. ---------------------------------------------（1分）∴AG =AF ﹣GF =11.4﹣10=1.4. ------------------------------------------------------------（1分） ∵∠ABC =120°，∴∠ABG =∠ABC ﹣∠CBG =120°﹣90°=30°．-------------------（1分） ∴AB =2AG =2.8 ----------------------------------------------------------------------- （1分） 答：灯杆AB 的长度为2.8米．------------------------------------------------------------（1分）ABC D EF G23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分） 证明：（1）∵∠BEC =∠BAC+∠ABD ，∠BEC =∠BEF+∠FEC ，又∵∠BEF =∠BAC ，∴∠ABD=∠FEC.------------------------------------ （1分） ∵AD =AB ，∴∠ABD=∠ADB.------------------------------------------------- （1分） ∴∠FEC=∠ADB. -------------------------------------------------------- （1分） ∵AD //BC ，∴∠DAE=∠ECF.--------------------------------------------------- （1分） ∴△AED ∽△CFE. --------------------------------------------------------- （1分）（2）∵EF //D C ，∴∠FEC=∠ECD. --------------------------------------------------- （1分） ∵∠ABD=∠FEC ，∴∠ABD=∠ECD.--------------------------------------------- （1分） ∵∠AEB=∠DEC. ∴△AEB ∽△DEC. ----------------------------------------------- （1分） ∴AE BEDE CE=.------------------------------------------------------------------------------（1分） ∵AD //BC ，∴AE DECE BE=.----------------------------------------------------------------（1分） ∴AE AE BE DE DE CE CE BE⋅=⋅.即22AE DE =.-------------------------------------------（1分） ∴ AE =DE . ----------------------------------------------------------------------------- （1分）24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分） 解：（1）∵22221()1y x mx m m x m m =-+--+=---+.------------------------（1分） ∴顶点D （m , 1-m ）.------------------------------------------------------------------（2分） （2）∵抛物线2221y x mx m m =-+--+过点（1，-2），∴22121m m m -=-+--+.即220m m --=. ---------------------------（1分） ∴2m =或1m =-（舍去）. ------------------------------------------------------（2分）∴抛物线的顶点是（2，-1）.∵抛物线22y x x =-+的顶点是（1，1），∴向左平移了1个单位，向上平移了2个单位. -------------------------（2分）（3）∵顶点D 在第二象限，∴0m <.情况1，点A 在y 轴的正半轴上，如图（1）.作AG ⊥DH 于点G ， ∵A （0,21mm --+），D （m ,-m +1），∴H （,0m ），G （2,1m m m --+）∵∠ADH =∠AHO ，∴tan ∠ADH = tan ∠AHO ， ∴AG AODG HO=. ∴2211(1)m m m m m m m ---+=----+-.整理得：20m m +=. ∴1m =-或0m =（舍）. --------------（2情况2，点A 在y 轴的负半轴上，如图（2）.作AG ⊥DH 于点G ， ∵A （0,21mm --+），D （m ,-m +1），∴H （,0m ），G （2,1m m m --+）∵∠ADH =∠AHO ，∴tan ∠ADH = tan ∠AHO ，∴AG AODG HO=. ∴2211(1)m m m m m m m -+-=----+-. 整理得：220mm +-=. ∴2m =-或1m =（舍）. ---------（2∴1m =-或2m =-.xx25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分） 解：（1）∵△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处， ∴△AME ≌△PME . ∴∠AEM =∠PEM ，AE=PE . ∵ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC . ∵EP ⊥BC ，∴AB // EP .∴∠AME =∠PEM . ∴∠AEM =∠AME . ∴AM =AE . ---------------------（2分） ∵ABCD 是矩形，∴AB // DC . ∴AM AECN CE=. ∴CN =CE . ------------------（1分） 设CN = CE =x .∵ABCD 是矩形，AB =4，BC =3，∴AC =5. ∴PE= AE=5- x . ∵EP ⊥BC ，∴4sin 5EP ACB CE =∠=. ∴545x x -=. ---------------------（1分） ∴259x =，即259CN =. ------------------------------------------------------（2分） （2）∵△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处， ∴△AME ≌△PME . ∴AE=PE ，AM=PM . ∵EP ⊥AC ，∴4tan 3EP ACB CE =∠=. ∴43AE CE =. ∵AC =5，∴207AE=，157CE =.∴207PE =. ---------------------（2分）∵EP ⊥AC ，∴257PC===. ∴254377PB PC BC =-=-=. --------------------------------------（2分） 在Rt △PMB 中，∵222PM PB MB =+，AM=PM . ∴2224()(4)7AMAM =+-. ∴10049AM =. --------------------------------------（2分）（3）05CP ≤≤,当CP 最大时MN =.--------------------------------------------------（2分）。

杨浦区2017学年度第一学期期末质量调研初 三 数 学 试 卷 2018.1（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．如果5x =6y ，那么下列结论正确的是（ ）（A ）:6:5x y =； （B ）:5:6x y =； （C ）5,6x y ==； （D ）6,5x y ==．2．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是 （ ）（A ）都含有一个40°的内角； （B ）都含有一个50°的内角； （C ）都含有一个60°的内角； （D ）都含有一个70°的内角．3．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ∶DE =1∶2，那么下列等式一定成立的是（ ） （A ）BC ∶DE =1∶2；（B ） △ABC 的面积∶△DEF 的面积=1∶2；（C ）∠A 的度数∶∠D 的度数=1∶2；（D ）△ABC 的周长∶△DEF 的周长=1∶2.4．如果2a b =r r （,a b r r均为非零向量）,那么下列结论错误的是（ ）（A ）//a b r r ； （B ）20a b -=r r ； （C ）12b a =r r ； （D ）2a b =r r ．5．如果二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图像如图所示，那么下列不等式成立的是（ ） （A ）0a >； （B ）0b <；（C ）0ac <；（D ）0bc <．6．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 、BC 上，且∠AED =∠B ，再将下列四个选项中的一个作为条件，不一定能使得△ADE ∽△BDF 的是（ ） （A ）EA EDBD BF =； （B ）EA EDBF BD =；（C ）AD AEBD BF=； （D ）BD BABF BC=.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）（第6题图）7．抛物线23y x =-的顶点坐标是 .8．化简：112()3()22a b a b --+r r r r= .9．点A （-1，m ）和点B （-2，n ）都在抛物线2(3)2y x =-+上，则m 与n 的大小关系为m n （填“<”或“>”）．10．请写出一个开口向下，且与y 轴的交点坐标为（0，4）的抛物线的表达式 . 11．如图，DE //FG //BC ，AD ∶DF ∶FB =2∶3∶4，如果EG =4，那么AC = .12．如图，在□ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，点E 是OA 的中点，联结BE 并延长交AD 于点F ，如果△AEF 的面积是4，那么△BCE 的面积是 . 13．Rt △ABC 中，∠C =90°，如果AC =9，cos A =13，那么AB = . 14．如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了130米的同时，在铅垂方向上下降了50米，那么该斜坡的坡度是1∶ .15．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，M 是AB 中点，MH ⊥BC ，垂足为点H ，CM 与AH 交于点O ，如果AB =12，那么CO = .16．已知抛物线22y ax ax c =++，那么点P （-3，4）关于该抛物线的对称轴对称的点的坐标是 . 17．在平面直角坐标系中，将点（-b ，-a ）称为点（a ，b ）的“关联点”（例如点（-2，-1）是点（1，2）的“关联点”）.如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这一点在第 象限． 18．如图，在△ABC 中，AB =AC ，将△ABC 绕点A 旋转，当点B 与点C 重合时，点C 落在点D 处，如果sin B =23，BC =6，那么BC 的中点M 和CD 的中点N 的距离是 .三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：cos 45tan 45sin 60cot 60cot 452sin 30︒⋅︒-︒⋅︒︒+︒20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分） 已知：如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，sin B =35，点D 、E 分别在边AB 、BC 上，且AD ∶DB =2∶3，DE ⊥BC . （1）求∠DCE 的正切值；（2）如果设AB a =u u u r r ，CD b =u u u r r ，试用a r 、b r 表示AC uuu r.C（第18题图）（第11题图） （第12题图） （第15题图）B21．（本题满分10分）甲、乙两人分别站在相距6米的A 、B 两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C 处发出一球，乙在离地面1.5米的D 处成功击球，球飞行过程中的最高点H 与甲的水平距离AE 为4米，现以A 为原点，直线AB 为x 轴，建立平面直角坐标系（如图所示）.求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度.22．（本题满分10分）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱BC 的高为10米，灯柱BC 与灯杆AB 的夹角为120°．路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 的长为13.3米，从D 、E 两处测得路灯A 的仰角分别为α和45°，且tan α=6. 求灯杆AB 的长度．23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：梯形ABCD 中，AD //BC ，AD =AB ，对角线AC 、BD 交于点E ，点F 在边BC 上，且∠BEF =∠BAC .（1）求证：△AED ∽△CFE ；（2）当EF //DC 时，求证：AE =DE .（第20题图）（第21题图） ． H A （O ） B C Dxy E （第22题图）ABC （第23题图）A B CDE24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H .（1）求顶点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D 在第二象限时，如果∠ADH =∠AHO ，求m 的值.25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）已知：矩形ABCD 中，AB =4，BC =3，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，直线MN 交矩形对角线AC 于点E ，将△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，且点P 在射线CB 上. （1）如图1，当EP ⊥BC 时，求CN 的长； （2）如图2，当EP ⊥AC 时，求AM 的长；（3）请写出线段CP 的长的取值范围，及当CP 的长最大时MN 的长.（第24题图）（备用图） （图1） A B C D NP ME（图2） A B C D N P M E （第25题图）A B C D杨浦区初三数学期末试卷参考答案及评分建议2018.1一、 选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1、A ； 2、C ； 3、D ； 4、B ； 5、C ； 6、C 二、 填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7、()0,3-； 8、142a b -rr ； 9、<；10、24y x =-+等； 11、12； 12、36； 13、27； 14、2.4； 15、4； 16、()1,4； 17、二、四； 18、4 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）解：原式=12231122⋅+⨯--------------------------------------------------（6分）=1222----------------------------------------------------------------（2分）=14. --------------------------------------------------------------（2分） 20．（本题满分10分，第（1）、（2）小题各5分） 解：（1）∵∠ACB =90°，sin B =35，∴35AC AB =. -------------------------（1分）∴设AC =3a ，AB =5a . 则BC =4a .∵AD :DB =2:3，∴AD =2a ，DB =3a .∵∠ACB =90°即AC ⊥BC ，又DE ⊥BC ，∴AC//DE. ∴DE BD AC AB =, CE ADCB AB=. ∴335DE a a a =, 245CE a a a =. ∴95DE a =，85CE a =.----------（2分） ∵DE ⊥BC ，∴9tan 8DE DCE CE ∠==.-----------------------------（2分）（2）∵AD :DB =2:3，∴AD :AB =2:5. ------------------------------------------------（1分）∵AB a =u u u r r ，CD b =u u u r r ，∴25AD a =u u u r r . DC b =-u u ur r .--------------------（2分）∵AC AD DC =+u u u r u u u r u u u r ，∴25AC a b =-u u u r r r.-----------------------------------（2分）21．（本题满分10分） 解：由题意得：C （0，1），D （6，1.5），抛物线的对称轴为直线x =4.----（3分） 设抛物线的表达式为()210y ax bx a =++≠-------------------------------------（1分）则据题意得：421.53661ba ab ⎧-=⎪⎨⎪=++⎩. ----------------------------------------------（2分）解得：12413a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. -------------------------------------------------------------------（2分）∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为2111243y x x =-++. ------（1分）∵()2154243y x =--+，∴飞行的最高高度为53米. ------------------------（1分） 22．（本题满分10分）解：由题意得∠ADE =α，∠E =45°.----------------------------------------------（2分）过点A 作AF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点B 作BG ⊥AF ，交AF 于点G ，则FG =BC =10. 设AF =x ． ∵∠E =45°，∴EF =AF =x ． 在Rt △ADF 中，∵tan ∠ADF =AFDF，-----------------（1分） ∴DF =tan tan 6AF x xADF α==∠. --------------------------（1分）∵DE =13.3，∴6x x +=13.3. ---------------------------（1分） ∴x =11.4. ---------------------------------------------（1分）∴AG =AF ﹣GF =11.4﹣10=1.4. ------------------------------------------------------------（1分） ∵∠ABC =120°，∴∠ABG =∠ABC ﹣∠CBG =120°﹣90°=30°．-------------------（1分） ∴AB =2AG =2.8 ----------------------------------------------------------------------- （1分） 答：灯杆AB 的长度为2.8米．------------------------------------------------------------（1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分） 证明：（1）∵∠BEC =∠BAC+∠ABD ，∠BEC =∠BEF+∠FEC ，又∵∠BEF =∠BAC ，∴∠ABD=∠FEC.------------------------------------ （1分） ∵AD =AB ，∴∠ABD=∠ADB.------------------------------------------------- （1分） ∴∠FEC=∠ADB. -------------------------------------------------------- （1分）A B C EG∵AD //BC ，∴∠DAE=∠ECF .--------------------------------------------------- （1分） ∴△AED ∽△CFE. --------------------------------------------------------- （1分）（2）∵EF //D C ，∴∠FEC=∠ECD. --------------------------------------------------- （1分） ∵∠ABD=∠FEC ，∴∠ABD=∠ECD.--------------------------------------------- （1分） ∵∠AEB=∠DEC. ∴△AEB ∽△DEC. ----------------------------------------------- （1分） ∴AE BEDE CE=.------------------------------------------------------------------------------（1分） ∵AD //BC ，∴AE DECE BE=.----------------------------------------------------------------（1分） ∴AE AE BE DE DE CE CE BE⋅=⋅.即22AE DE =.-------------------------------------------（1分） ∴ AE =DE . ----------------------------------------------------------------------------- （1分） 24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分） 解：（1）∵22221()1y x mx m m x m m =-+--+=---+.------------------------（1分） ∴顶点D （m , 1-m ）.------------------------------------------------------------------（2分） （2）∵抛物线2221y x mx m m =-+--+过点（1，-2），∴22121m m m -=-+--+.即220m m --=. ---------------------------（1分） ∴2m =或1m =-（舍去）. ------------------------------------------------------（2分） ∴抛物线的顶点是（2，-1）.∵抛物线22y x x =-+的顶点是（1，1），∴向左平移了1个单位，向上平移了2个单位. -------------------------（2分） （3）∵顶点D 在第二象限，∴0m <.情况1，点A 在y 轴的正半轴上，如图（1）.作AG ⊥DH 于点G ， ∵A （0,21m m --+），D （m ,-m +1），∴H （,0m ），G （2,1m m m --+）∵∠ADH =∠AHO ，∴tan ∠ADH = tan ∠AHO ， ∴AG AODG HO=. ∴2211(1)m m m m m m m ---+=----+-.整理得：20m m +=. ∴1m =-或0m =（舍）. --------------（2情况2，点A 在y 轴的负半轴上，如图（2）.作AG ⊥DH 于点G ，∵A （0,21m m --+），D （m ,-m +1），∴H （,0m ），G （2,1m m m --+）∵∠ADH =∠AHO ，∴tan ∠ADH = tan ∠AHO ，∴AG AODG HO=. ∴2211(1)m m m m m m m -+-=----+-. 整理得：220m m +-=. ∴2m =-或1m =（舍）. ---------（2分） ∴1m =-或2m =-.25．（本题满分14分，第（1）、（2）小题各6分，第（3）小题2分）解：（1）∵△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处， ∴△AME ≌△PME . ∴∠AEM =∠PEM ，AE=PE .xx∵ABCD 是矩形，∴AB ⊥BC . ∵EP ⊥BC ，∴AB // EP .∴∠AME =∠PEM . ∴∠AEM =∠AME . ∴AM =AE . ---------------------（2分） ∵ABCD 是矩形，∴AB // DC . ∴AM AECN CE=. ∴CN =CE . ------------------（1分） 设CN = CE =x .∵ABCD 是矩形，AB =4，BC =3，∴AC =5. ∴PE= AE=5- x . ∵EP ⊥BC ，∴4sin 5EP ACB CE =∠=. ∴545x x -=. ---------------------（1分） ∴259x =，即259CN =. ------------------------------------------------------（2分） （2）∵△AME 沿直线MN 翻折，点A 落在点P 处，∴△AME ≌△PME . ∴AE=PE ，AM=PM . ∵EP ⊥AC ，∴4tan 3EP ACB CE =∠=. ∴43AE CE =. ∵AC =5，∴207AE =，157CE =.∴207PE =. ---------------------（2分）∵EP ⊥AC ，∴257PC ===. ∴254377PB PC BC =-=-=. --------------------------------------（2分） 在Rt △PMB 中，∵222PM PB MB =+，AM=PM . ∴2224()(4)7AM AM =+-. ∴10049AM =. --------------------------------------（2分）（3）05CP ≤≤,当CP 最大时MN .--------------------------------------------------（2分）。

中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是()A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确【答案】A【解析】过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得CE=CF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB【详解】如图所示：过两把直尺的交点C作CF⊥BO与点F，由题意得CE⊥AO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴CE=CF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选A．【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．2．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF=4，则下列结论：①12AF FD =；②S △BCE =36；③S △ABE =12；④△AEF ～△ACD ，其中一定正确的是（ ）A ．①②③④B ．①④C ．②③④D ．①②③【答案】D 【解析】∵在▱ABCD 中，AO=12AC ， ∵点E 是OA 的中点，∴AE=13CE ， ∵AD ∥BC ，∴△AFE ∽△CBE ，∴AF AE BC CE ==13， ∵AD=BC ，∴AF=13AD ， ∴12AF FD =；故①正确； ∵S △AEF =4， AEFBCE SS =（AF BC ）2=19， ∴S △BCE =36；故②正确；∵EF AE BE CE = =13， ∴AEFABE SS =13， ∴S △ABE =12，故③正确；∵BF 不平行于CD ，∴△AEF 与△ADC 只有一个角相等，∴△AEF 与△ACD 不一定相似，故④错误，故选D ．3．如图1，点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，沿以的速度匀速运动到点C ，图2是点P 运动时，APD ∆的面积2()y cm 随运动时间()x s 变化而变化的函数关系图象，则矩形ABCD 的面积为（ ）A．36B．C．32D．【答案】C【解析】由函数图象可知AB=2×2=4,BC=(6-2) ×2=8,根据矩形的面积公式可求出．【详解】由函数图象可知AB=2×2=4,BC=(6-2) ×2=8,∴矩形ABCD的面积为4×8=32,故选:C.【点睛】本题考查动点运动问题、矩形面积等知识，根据图形理解△ABP面积变化情况是解题的关键，属于中考常考题型．4．△ABC在网络中的位置如图所示，则cos∠ACB的值为（）A．12B．22C．3D．3【答案】B【解析】作AD⊥BC的延长线于点D,如图所示：在Rt△ADC中，BD=AD，则2BD．cos∠ACB=22ADAB==故选B．5．如图，如果从半径为9cm的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为A ．6cmB ．35cmC ．8cmD ．53cm【答案】B 【解析】试题分析：∵从半径为9cm 的圆形纸片上剪去13圆周的一个扇形， ∴留下的扇形的弧长=()2293π⨯=12π，根据底面圆的周长等于扇形弧长，∴圆锥的底面半径r=122ππ=6cm ， ∴圆锥的高为2296-=35cm故选B.考点: 圆锥的计算．6．在△ABC 中，AB=3，BC=4，AC=2，D ，E ，F 分别为AB ，BC ，AC 中点，连接DF ，FE ，则四边形DBEF 的周长是（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】B 【解析】试题解析：∵D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 中点，∴DF=12BC=2，DF ∥BC ，EF=12AB=32，EF ∥AB ，∴四边形DBEF 为平行四边形，∴四边形DBEF 的周长=2（DF+EF ）=2×（2+32）=1．故选B ． 7．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，沿CE 折叠△CDE ，点D 恰好落在AC 的中点F 处，若CD ＝3，则△ACE 的面积为（ ）A ．1B 3C ．2D ．3【答案】B【解析】由折叠的性质可得DE=EF，AC=由三角形面积公式可求EF的长，即可求△ACE 的面积．【详解】解：∵点F是AC的中点，∴AF=CF=12AC，∵将△CDE沿CE折叠到△CFE，∴DE=EF，∴AC=在Rt△ACD中，．∵S△ADC=S△AEC+S△CDE，∴12×AD×CD=12×AC×EF+12×CD×DE∴，∴DE=EF=1，∴S△AEC=12×故选B．【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，熟练运用三角形面积公式求得DE=EF=1是解决本题的关键．8．学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（）A．10000x﹣90005x-=100 B．90005x-﹣10000x=100C．100005x-﹣9000x=100 D．9000x﹣100005x-=100【答案】B【解析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．【详解】科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：9000 x5 -﹣10000x=100，故选B．【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.9．在娱乐节目“墙来了！”中，参赛选手背靠水池，迎面冲来一堵泡沫墙，墙上有人物造型的空洞．选手需要按墙上的造型摆出相同的姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一块几何体恰好能以右图中两个不同形状的“姿势”分别穿过这两个空洞，则该几何体为()A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：通过图示可知，要想通过圆，则可以是圆柱、圆锥、球，而能通过三角形的只能是圆锥，综合可知只有圆锥符合条件.故选C10．如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°【答案】C【解析】由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠2的度数．【详解】∵∠1=50°，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=90°−50°=40°.故选C.【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟悉掌握性质是关键.二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，△ABC中，AB＝BD，点D，E分别是AC，BD上的点，且∠ABD＝∠DCE，若∠BEC＝105°，则∠A的度数是_____．【答案】85°【解析】设∠A=∠BDA=x，∠ABD=∠ECD=y，构建方程组即可解决问题．【详解】解：∵BA＝BD，∴∠A＝∠BDA，设∠A＝∠BDA＝x，∠ABD＝∠ECD＝y，则有2180 2105x yy x︒︒⎧+=⎨+=⎩，解得x＝85°，故答案为85°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．12．计算：12466⎛⎫+⨯=⎪⎪⎭______．【答案】13【解析】分析：先把括号内的二次根式进行化简，然后再利用乘法分配律进行计算即可得解.详解：原式=626+6⨯（）=12+1=13.点睛：考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．13．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图，已知EF=CD=80cm，则截面圆的半径为cm．【答案】1【解析】过点O作OM⊥EF于点M，反向延长OM交BC于点N，连接OF，设OF=r，则OM=80-r，MF=40，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【详解】过点O作OM⊥EF于点M，反向延长OM交BC于点N，连接OF，设OF=x，则OM=80﹣r，MF=40，在Rt△OMF中，∵OM2+MF2=OF2，即（80﹣r）2+402=r2，解得：r=1cm．故答案为1．14．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为23，则黄球的个数为______．【答案】1【解析】首先设黄球的个数为x个，然后根据概率公式列方程即可求得答案．解：设黄球的个数为x个，根据题意得：88x=2/3解得：x=1．∴黄球的个数为1．15．如图，⊙O的半径为2，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，过点P作⊙O的切线，切点为C．若PC=23，则BC的长为______．【答案】2【解析】连接OC，根据勾股定理计算OP=4，由直角三角形30度的逆定理可得∠OPC=30°，则∠COP=60°，可得△OCB是等边三角形，从而得结论．【详解】连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP=90°，∵PC=23，OC=2， ∴OP=22OC PC +=222(23)+=4，∴∠OPC=30°，∴∠COP=60°，∵OC=OB=2，∴△OCB 是等边三角形，∴BC=OB=2，故答案为2【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．16．如图，Rt ABC ∆中，01590,15,tan 8C BC A ∠===，则AB = __________．【答案】17【解析】∵Rt △ABC 中，∠C=90°，∴tanA=BC AC ， ∵1515,tan 8BC A ==，∴AC ＝8， ∴AB=22BC AC + =17,故答案为17.17．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD 、BC 的延长线相交于点E ，AB 、DC 的延长线相交于点F ．若∠E ＋∠F ＝80°，则∠A ＝____°．【答案】50【解析】试题分析：连结EF ，如图，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠BCD=180°，根据对顶角相等得∠BCD=∠ECF ，则∠A+∠ECF=180°，根据三角形内角和定理得∠ECF+∠1+∠2=180°，所以∠1+∠2=∠A ，再利用三角形内角和定理得到∠A+∠AEB+∠1+∠2+∠AFD=180°，则∠A+80°+∠A=180°，然后解方程即可．试题解析：连结EF，如图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，而∠BCD=∠ECF，∴∠A+∠ECF=180°，∵∠ECF+∠1+∠2=180°，∴∠1+∠2=∠A，∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°，即∠A+∠AEB+∠1+∠2+∠AFD=180°，∴∠A+80°+∠A=180°，∴∠A=50°．考点：圆内接四边形的性质．18．如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于_____．【答案】5π【解析】根据题意得出球在无滑动旋转中通过的路程为12圆弧，根据弧长公式求出弧长即可．【详解】解：由图形可知，圆心先向前走OO1的长度，从O到O1的运动轨迹是一条直线，长度为14圆的周长，然后沿着弧O1O2旋转14圆的周长，则圆心O运动路径的长度为：112544π⨯⨯+×2π×5＝5π，故答案为5π．【点睛】本题考查的是弧长的计算和旋转的知识，解题关键是确定半圆作无滑动翻转所经过的路线并求出长度．三、解答题（本题包括8个小题）19．元旦放假期间，小明和小华准备到西安的大雁塔（记为A）、白鹿原（记为B）、兴庆公园（记为C）、秦岭国家植物园（记为D）中的一个景点去游玩，他们各自在这四个景点中任选一个，每个景点被选中的可能性相同．求小明选择去白鹿原游玩的概率；用树状图或列表的方法求小明和小华都选择去秦岭国家植物园游玩的概率．【答案】（1）14；（2）116【解析】（1）利用概率公式直接计算即可；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小明和小华都选择去同一个地方游玩的情况，再利用概率公式即可求得答案．【详解】（1）∵小明准备到西安的大雁塔（记为A）、白鹿原（记为B）、兴庆公园（记为C）、秦岭国家植物园（记为D）中的一个景点去游玩，∴小明选择去白鹿原游玩的概率＝14；（2）画树状图分析如下：两人选择的方案共有16种等可能的结果，其中选择同种方案有1种，所以小明和小华都选择去秦岭国家植物园游玩的概率＝1 16．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．20．如图所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；把△A1B1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的△A1B2C2；如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过（1）、（2）变换的路径总长．【答案】（1）（2）作图见解析；（3）2222π+．【解析】（1）利用平移的性质画图，即对应点都移动相同的距离．（2）利用旋转的性质画图，对应点都旋转相同的角度．（3）利用勾股定理和弧长公式求点B经过（1）、（2）变换的路径总长．【详解】解：（1）如答图，连接AA1，然后从C点作AA1的平行线且A1C1=AC，同理找到点B1，分别连接三点，△A1B1C1即为所求．（2）如答图，分别将A1B1，A1C1绕点A1按逆时针方向旋转90°，得到B2，C2，连接B2C2，△A1B2C2即为所求．（3）∵2211290222222,? BB B B π⋅⋅=+===，∴点B所走的路径总长=222．考点：1．网格问题；2．作图（平移和旋转变换）；3．勾股定理；4．弧长的计算．21．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？【答案】（1）20%；（2）能.【解析】（1）设年平均增长率为x，则2015年利润为2(1+x)亿元，则2016年的年利润为2(1+x)(1+x)，根据2016年利润为2.88亿元列方程即可．（2）2017年的利润在2016年的基础上再增加(1+x)，据此计算即可.【详解】(1)设该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为x.根据题意，得2(1＋x)2＝2.88， 解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率为20%.(2)如果2017年仍保持相同的年平均增长率，那么2017年该企业年利润为2.88×(1＋20%)＝3.456(亿元)，因为3.456＞3.4，所以该企业2017年的利润能超过3.4亿元．【点睛】此题考查一元二次方程的应用---增长率问题，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大． 22．抛物线23y ax bx a =+-经过A （-1，0）、C （0，-3）两点，与x 轴交于另一点B ．求此抛物线的解析式；已知点D (m,-m-1) 在第四象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点D’的坐标;在（2）的条件下，连结BD ，问在x 轴上是否存在点P ，使PCB CBD ∠=∠，若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2y x 2x 3=--（2）（0，-1）（3）（1,0）（9,0）【解析】（1）将A （−1，0）、C （0，−3）两点坐标代入抛物线y ＝ax 2＋bx−3a 中，列方程组求a 、b 的值即可；（2）将点D （m ，−m−1）代入（1）中的抛物线解析式，求m 的值，再根据对称性求点D 关于直线BC 对称的点D'的坐标；（3）分两种情形①过点C 作CP ∥BD ，交x 轴于P ，则∠PCB ＝∠CBD ，②连接BD′，过点C 作CP′∥BD′，交x 轴于P′，分别求出直线CP 和直线CP′的解析式即可解决问题．【详解】解：（1）将A （−1，0）、C （0，−3）代入抛物线y ＝ax 2＋bx−3a 中，得3033a b a a --=⎧⎨-=-⎩， 解得12a b =⎧⎨=-⎩∴y ＝x 2−2x−3；（2）将点D （m ，−m−1）代入y ＝x 2−2x−3中，得m 2−2m−3＝−m−1，解得m ＝2或−1，∵点D （m ，−m−1）在第四象限，∴D （2，−3），∵直线BC 解析式为y ＝x−3，∴∠BCD ＝∠BCO ＝45°，CD′＝CD ＝2，OD′＝3−2＝1，∴点D 关于直线BC 对称的点D'（0，−1）；（3）存在．满足条件的点P 有两个．①过点C 作CP ∥BD ，交x 轴于P ，则∠PCB ＝∠CBD ，∵直线BD 解析式为y ＝3x−9，∵直线CP 过点C ，∴直线CP 的解析式为y ＝3x−3，∴点P 坐标（1，0），②连接BD′，过点C 作CP ′∥BD′，交x 轴于P′，∴∠P′CB ＝∠D′BC ，根据对称性可知∠D′BC ＝∠CBD ，∴∠P′CB ＝∠CBD ，∵直线BD′的解析式为113y x =- ∵直线CP′过点C ，∴直线CP′解析式为133y x =-， ∴P′坐标为（9，0），综上所述，满足条件的点P 坐标为（1，0）或（9，0）．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．关键是由已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，直线BC 的特殊性求点的坐标，学会分类讨论，不能漏解．23．“校园诗歌大赛”结束后，张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图部分信息如下：本次比赛参赛选手共有人，扇形统计图中“69.5～79.5”这一组人数占总参赛人数的百分比为；赛前规定，成绩由高到低前60%的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为78分，试判断他能否获奖，并说明理由;成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为获奖代表发言，试求恰好选中1男1女的概率.【答案】（1）50，30%；（2）不能，理由见解析；（3）P=2 3【解析】（1）由直方图可知59.5~69.5分数段有5人，由扇形统计图可知这一分数段人占10%，据此可得选手总数，然后求出89.5~99.5这一分数段所占的百分比，用1减去其他分数段的百分比即可得到分数段69.5~79.5所占的百分比；（2）观察可知79.5~99.5这一分数段的人数占了60%，据此即可判断出该选手是否获奖；（3）画树状图得到所有可能的情况，再找出符合条件的情况后，用概率公式进行求解即可. 【详解】（1）本次比赛选手共有（2+3）÷10%=50（人），“89.5～99.5”这一组人数占百分比为：（8+4）÷50×100%=24%，所以“69.5～79.5”这一组人数占总人数的百分比为：1-10%-24%-36%=30%，故答案为50，30%；（2）不能；由统计图知，79.5~89.5和89.5~99.5两组占参赛选手60%，而78＜79.5，所以他不能获奖；（3）由题意得树状图如下由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好选中1男1女的共有8种结果，故P=812=23.【点睛】本题考查了直方图、扇形图、概率，结合统计图找到必要信息进行解题是关键. 24．如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．求证：DP 是⊙O 的切线；若⊙O 的半径为3cm ，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）2933()22cm . 【解析】（1）连接OD ，求出∠AOD ，求出∠DOB ，求出∠ODP ，根据切线判定推出即可．（2）求出OP 、DP 长，分别求出扇形DOB 和△ODP 面积，即可求出答案．【详解】解：（1）证明：连接OD ，∵∠ACD=60°，∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°．∴∠DOP=180°﹣120°=60°．∵∠APD=30°，∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°． ∴OD ⊥DP ．∵OD 为半径，∴DP 是⊙O 切线．（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm ，∴OP=6cm ，由勾股定理得：3． ∴图中阴影部分的面积221603933333()236022ODP DOB S S S cm 扇形 25．某市教育局为了了解初一学生第一学期参加社会实践活动的情况，随机抽查了本市部分初一学生第一学期参加社会实践活动的天数，并将得到的数据绘制成了下面两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，回答下列问题：扇形统计图中a的值为%，该扇形圆心角的度数为；补全条形统计图；如果该市共有初一学生20000人，请你估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人？【答案】（1）25，90°；（2）见解析；（3）该市“活动时间不少于5天”的大约有1．【解析】试题分析：（1）根据扇形统计图的特征即可求得a的值，再乘以360°即得扇形的圆心角；（2）先算出总人数，再乘以“活动时间为6天”对应的百分比即得对应的人数；（3）先求得“活动时间不少于5天”的学生人数的百分比，再乘以20000即可.（1）由图可得该扇形圆心角的度数为90°；（2）“活动时间为6天” 的人数，如图所示：（3）∵“活动时间不少于5天”的学生人数占75%，20000×75%=1∴该市“活动时间不少于5天”的大约有1人．考点：统计的应用点评：统计的应用初中数学的重点，在中考中极为常见，一般难度不大.26．数学课上，李老师和同学们做一个游戏：他在三张硬纸片上分别写出一个代数式，背面分别标上序号①、②、③，摆成如图所示的一个等式，然后翻开纸片②是4x1+5x+6，翻开纸片③是3x1﹣x﹣1．解答下列问题求纸片①上的代数式；若x是方程1x＝﹣x﹣9的解，求纸片①上代数式的值．【答案】（1）7x1+4x+4；（1）55.【解析】（1）根据整式加法的运算法则，将（4x1+5x+6）+（3x1﹣x﹣1）即可求得纸片①上的代数式; （1）先解方程1x＝﹣x﹣9，再代入纸片①的代数式即可求解.【详解】解：（1）纸片①上的代数式为：（4x1+5x+6）+（3x1﹣x﹣1）＝4x1+5x+6+3x1-x-1＝7x1+4x+4（1）解方程：1x＝﹣x﹣9，解得x＝﹣3代入纸片①上的代数式得7x1+4x+4＝7×(-3)²+4×(-3)+4＝63-11+4＝55即纸片①上代数式的值为55.【点睛】本题考查了整式加减混合运算，解一元一次方程，代数式求值，在解题的过程中要牢记并灵活运用整式加减混合运算的法则．特别是对于含括号的运算，在去括号时，一定要注意符号的变化．中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．将抛物线y ＝2x 2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是( )A ．y ＝2x 2+3B ．y ＝2x 2﹣3C ．y ＝2(x+3)2D ．y ＝2(x ﹣3)2 【答案】C【解析】按照“左加右减，上加下减”的规律，从而选出答案.【详解】y ＝2x 2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是y ＝2（x ＋3）2，故答案选C.【点睛】本题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变换规律，解本题的要点在于熟知“左加右减，上加下减”的变化规律.2．已知一组数据1、2、3、x 、5，它们的平均数是3，则这一组数据的方差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】先由平均数是3可得x 的值，再结合方差公式计算．【详解】∵数据1、2、3、x 、5的平均数是3， ∴12355x ++++=3， 解得：x=4，则数据为1、2、3、4、5，∴方差为15×[（1-3）2+（2-3）2+（3-3）2+（4-3）2+（5-3）2]=2， 故选B ．【点睛】本题主要考查算术平均数和方差，解题的关键是熟练掌握平均数和方差的定义．3．如图，直线m ∥n ，直角三角板ABC 的顶点A 在直线m 上，则∠α的余角等于（ ）A ．19°B ．38°C ．42°D ．52°【答案】D 【解析】试题分析：过C 作CD ∥直线m ，∵m ∥n ，∴CD ∥m ∥n ，∴∠DCA=∠FAC=52°，∠α=∠DCB ，∵∠ACB=90°，∴∠α=90°﹣52°=38°，则∠a 的余角是52°．故选D ．考点：平行线的性质；余角和补角．4．抛物线y=ax 2﹣4ax+4a ﹣1与x 轴交于A ，B 两点，C （x 1，m ）和D （x 2，n ）也是抛物线上的点，且x 1＜2＜x 2，x 1+x 2＜4，则下列判断正确的是（ ）A ．m ＜nB ．m≤nC ．m ＞nD ．m≥n【答案】C【解析】分析：将一般式配方成顶点式，得出对称轴方程2x =，根据抛物线2441y ax ax a =-+-与x 轴交于,A B 两点，得出()()244410a a a =--⨯->，求得0a >，距离对称轴越远，函数的值越大，根据121224x x x x <<+<，，判断出它们与对称轴之间的关系即可判定.详解：∵()2244121y ax ax a a x =-+-=--，∴此抛物线对称轴为2x =，∵抛物线2441y ax ax a =-+-与x 轴交于,A B 两点，∴当24410ax ax a -+-=时，()()244410a a a =--⨯->，得0a >，∵121224x x x x <<+<，，∴1222x x ，->-∴m n >，故选C ．点睛：考查二次函数的图象以及性质，开口向上，距离对称轴越远的点，对应的函数值越大， 5．某校在国学文化进校园活动中，随机统计50名学生一周的课外阅读时间如表所示，这组数据的众数和中位数分别是（ ） 学生数（人）5 8 14 19 4 时间（小时）6 7 8 9 10 A ．14，9B ．9，9C ．9，8D ．8，9 【答案】C【解析】解:观察、分析表格中的数据可得：∵课外阅读时间为1小时的人数最多为11人，∴众数为1．∵将这组数据按照从小到大的顺序排列，第25个和第26个数据的均为2，∴中位数为2．故选C．【点睛】本题考查（1）众数是一组数据中出现次数最多的数；（2）中位数的确定要分两种情况：①当数据组中数据的总个数为奇数时，把所有数据按从小到大的顺序排列，中间的那个数就是中位数；②当数据组中数据的总个数为偶数时，把所有数据按从小到大的顺序排列，中间的两个数的平均数是这组数据的中位数. 6．某青年排球队12名队员年龄情况如下：年龄18 19 20 21 22人数 1 4 3 2 2则这12名队员年龄的众数、中位数分别是（）A．20，19 B．19，19 C．19，20.5 D．19，20【答案】D【解析】先计算出这个队共有1+4+3+2+2=12人，然后根据众数与中位数的定义求解．【详解】这个队共有1+4+3+2+2=12人，这个队队员年龄的众数为19，中位数为20202=1．故选D．【点睛】本题考查了众数：在一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数．也考查了中位数的定义．7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有以下结论：①a+b+c＜0；②a﹣b+c＞1；③abc＞0；④4a﹣2b+c＜0；⑤c﹣a＞1，其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③④C．①②③⑤D．①②③④⑤【答案】C【解析】根据二次函数的性质逐项分析可得解.【详解】解：由函数图象可得各系数的关系：a＜0，b＜0，c＞0，则①当x=1时，y=a+b+c＜0，正确；②当x=-1时，y=a-b+c ＞1，正确；③abc ＞0，正确；④对称轴x=-1，则x=-2和x=0时取值相同，则4a-2b+c=1＞0，错误；⑤对称轴x=-2b a =-1，b=2a ，又x=-1时，y=a-b+c ＞1，代入b=2a ，则c-a ＞1，正确． 故所有正确结论的序号是①②③⑤．故选C8．如图,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B 恰好碰到地面,经测量AB=2m,则树高为（ ）米A ．5B ．3C ．5+1D ．3【答案】C【解析】由题意可知，AC=1，AB=2，∠CAB=90°据勾股定理则BC=2222125AC AB +=+=m ；∴AC+BC=（1+5）m.答：树高为（1+5）米．故选C.9．下列各图中a 、b 、c 为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC 全等的是（）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．甲和丙D ．只有丙【答案】B【解析】分析：根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC 全等，甲与△ABC 不全等．详解：乙和△ABC 全等；理由如下：在△ABC 和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS ，所以乙和△ABC 全等；在△ABC 和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS ，所以丙和△ABC 全等；不能判定甲与△ABC 全等；故选B ．点睛：本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．10．如图所示是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，求出这支蜡烛在暗盒中所成像CD 的长（ ）A ．16cmB ．13cm C ．12cm D ．1cm【答案】D【解析】过O 作直线OE ⊥AB ，交CD 于F ，由CD//AB 可得△OAB ∽△OCD ，根据相似三角形对应边的比等于对应高的比列方程求出CD 的值即可.【详解】过O 作直线OE ⊥AB ，交CD 于F ，∵AB//CD ，∴OF ⊥CD ，OE=12，OF=2，∴△OAB ∽△OCD ，∵OE 、OF 分别是△OAB 和△OCD 的高，∴OF CD OE AB =，即2126CD =， 解得：CD=1.故选D.【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键在于理解小孔成像原理给我们带来的已知条件，熟记相似三角形对应边的比等于对应高的比是解题关键.二、填空题（本题包括8个小题）11．如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于________．【答案】70°【解析】试题分析：由平角的定义可知，∠1+∠2+∠3=180°，又∠1=∠2，∠3=40°，所以∠1=（180°-40°）÷2=70°，因为ａ∥b，所以∠4=∠1=70°.故答案为70°.考点：角的计算；平行线的性质.12．如图，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，点P从点B出发，沿B－C－D向终点D匀速运动，设点P走过的路程为x，△ABP的面积为S，能正确反映S与x之间函数关系的图象是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】分出情况当P点在BC上运动，与P点在CD上运动，得到关系，选出图象即可【详解】由题意可知，P从B开始出发，沿B—C—D向终点D匀速运动，则当0＜x≤2，s=1 2 x当2＜x≤3，s=1所以刚开始的时候为正比例函数s=12x图像，后面为水平直线，故选C【点睛】本题主要考查实际问题与函数图像，关键在于读懂题意，弄清楚P的运动状态13．已知关于x方程x2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为_____．【答案】1【解析】分析：设方程的另一个根为m，根据两根之和等于-ba，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．详解：设方程的另一个根为m，根据题意得：1+m=3，解得：m=1．故答案为1． 点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-b a是解题的关键． 14．如图，在ABC 中A 60∠=︒，BM AC ⊥于点M ，CN AB ⊥于点N ，P 为BC 边的中点，连接PM,PN ，则下列结论：①PM PN =，②MN AB BC AC ⋅=⋅，③PMN 为等边三角形，④当ABC 45∠=︒时，CN 2PM =.请将正确结论的序号填在横线上__.【答案】①③④【解析】①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①；②先证明△ABM ∽△ACN ，再根据相似三角形的对应边成比例可判断②；③先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，从而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN ，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③； ④当∠ABC=45°时，∠BCN=45°，进而判断④．【详解】①∵BM ⊥AC 于点M ，CN ⊥AB 于点N ，P 为BC 边的中点，∴PM=12BC ，PN=12BC ， ∴PM=PN ，正确；②在△ABM 与△ACN 中，∵∠A=∠A ，∠AMB=∠ANC=90°，∴△ABM ∽△ACN ，∴AM AN AB AC=，错误； ③∵∠A=60°，BM ⊥AC 于点M ，CN ⊥AB 于点N ，∴∠ABM=∠ACN=30°，在△ABC 中，∠BCN+∠CBM=180°-60°-30°×2=60°，∵点P 是BC 的中点，BM ⊥AC ，CN ⊥AB ，∴PM=PN=PB=PC ，∴∠BPN=2∠BCN ，∠CPM=2∠CBM ，∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM ）=2×60°=120°，∴∠MPN=60°，。