2019年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)(有答案解析)
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10.答案：A
解析：解：几何体是四棱锥，挖去一个八分之一的球的几何体，球的半径为：2 ．四棱锥的底面边 长为 4，高为 4．
几何体的体积为：
=
．
故选：A． 判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．
11.答案：B
解析：【分析】 本题主要考查复合函数单调性的简单应用，以新定义为载体，属于中档试题．
5.答案：B
解析：解：由①周期 T=π 可知，ω=2，A，B，C，D 都符合； ②图象关于（ ，0）对称，结合正弦，余弦函数的对称性可排除 A，C；
③在[0， ]上是增函数，结合正弦函数的单调性可排除 D；
故选：B． 结合正弦，余弦函数的对称性及单调性对选项进行判断，即可求解． 本题主要考查了正弦，余弦函数的周期性，对称性及单调性等知识的简单应用，属于基础试题．
uivi
ui
vi
u
30.5
15
15
46.5
根据（1）的判断结果及表中数据，求 y 关于 x 的回归方程；
（3）已知企业年利润 z（单位：千万元）与 x，y 的关系为 z= -x（其中 e=2.71828…），根据
（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线 v=α+βu 的斜率和截距
A.
B.
C.
） D.
第 1 页，共 16 页
10. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某集合体的三视图，则该几何体的体积 为（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 函数 f（x）的定义域为 D，若 f（x）满足在 D 内是单调函数，且存在[m，n]⊆D 使 f（x）在[m，
n]上的值域为[ ， ]，那么就称 y=f（x）为“半保值函数”，若函数 f（x）=loga（ax+t）（a＞0
由题意可知 f（x）在 D 内是单调函数，才为“半保值函数”，从而可构造函数 f（x）= x，转化为 loga
（ax+t）= x 有两异正根，t 的范围可求．
4.答案：C
第 6 页，共 16 页
解析：解：∵双曲线
（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（2， ），
∴= ，
∴b2=2a2，可得 c2=3a2， 所以 e= ． 故选：C． 根据双曲线的一条渐近线经过点（2， ），可得 a，b 的关系，然后转化求解离心率即可． 本题考查双曲线的几何性质，渐近线与离心率的关系，考查学生的计算能力．
16. 已知函数
，若在区间（1，+∞）上函数 f（x）的图象恒在直线 y=2ax 的图
象的下方，则实数 a 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
17. 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，AC=4，cos∠CAB= ，点 D 在线段 BC 上，
∵a=f（-1）=f（1），b=
=f（2），c=f（20.3），而 1＜20.3＜2，
则 a＜c＜b， 故选：B．
第 7 页，共 16 页
由已知可得函数 f（x）为偶函数，根据偶函数的对称性可知，函数 f（x）在（0，+∞）上是增函数， 即可比大小． 本题主要考查了利用偶函数的对称性及单调比较大小，属于基础试题
2019 年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 A={x∈N|-1＜x＜3}，集合 B={x|0＜x＜π}，则 A∩B=（ ）
A. {x|0＜x＜3} B. {0，1，2}
C. {1，2}
D. {x|0＜x＜π}
R2，
∴= = ，
即圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为 ． 故选：A． 根据题意画出图形，结合图形设出圆柱的底面圆半径和高，以及圆锥的底面半径和高，求出母线长， 再列方程求得圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比． 本题考查了圆锥的内接圆柱表面积计算问题，是基础题．
9.答案：D
解析：解：由 an+1-an=3，知{an}为公差为 3 的等差数列，则 an=1+（n-1）×3=3n-2； 由 =3，知{bn}为公比为 3 的等比数列，则 bn=3n-1；
（t 为参数），曲线 C1：
．以
坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=
．
第 4 页，共 16 页
（Ⅰ）若直线 l 与 x，y 轴的交点分别为 A，B，点 P 在 C1 上，求 • 的取值范围； （Ⅱ）若直线 l 与 C2 交于 M，N 两点，点 Q 的直角坐标为（-2，1），求||QM|-|QN||的值． 23. 已知函数 f（x）=|x+1|+a|x+2|． （Ⅰ）求 a=1 时，f（x）≤3 的解集； （Ⅱ）若 f（x）有最小值，求 a 的取值范围，并写出相应的最小值．
的最小二乘估计分别为 =
， =- ．
第 3 页，共 16 页
20. 已知抛物线 y2=-2px（p＞0）的焦点为 F，x 轴上方的点 M（-2，m）在抛物线上，且|MF|= ，直 线 l 与抛物线交于 A，B 两点（点 A，B 与 M 不重合），设直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2． （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）当 k1+k2=-2 时，求证：直线 l 恒过定点并求出该定点的坐标．
a=f（-1），b=f（log2 ），c=f（20.3），则 a，b，c 的大小关系为（）
A.
B.
C.
D.
8. 在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的
底面半径与圆柱的底面半径之比为（ ）
A.
B. 2
C. 2
D. 4
9. 已知数列{an}，{bn}满足 a1=b1=1，an+1-an= =3，n∈N*，则数列{ }的前 10 项的和为（ ）
第 5 页，共 16 页
1.答案：C
-------- 答案与解析 --------
解析：解：A={0，1，2}； ∴A∩B={1，2}． 故选：C． 可求出集合 A，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．
2.答案：D
解析：解：由 z（1-i）=2+i，得 z=
，
∴
，
则在复平面内 的对应的点的坐标为（ ，- ），在第四象限． 故选：D． 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得 的坐标得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
包含的基本事件个数 m=
=9，
∴所选 2 部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为 p=
．
故选：D．
基本事件总数 n= =10，所选 2 部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著，包含的基本
事件个数 m=
=9，由此能求出所选 2 部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著
的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
B.
C.
D. 3
5. 同时具有性质“①最小正周期是 π；②图象关于（ ，0）对称；③在[0， ]上是增函数”的一个
函数可以是（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 在△ABC 中，若点 D 满足 =2 ，点 M 为 AC 中点，则 =（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（-x）=f（x），且函数 f（x）在（-∞，0）上是减函数，若
2. 已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z（1-i）=2+i，则在复平面内 的对应的点在（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙
子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这 5
∴ =33n-3=27n-1，
∴{ }为首项为 1，公比为 27 的等比数列，
则{ }的前 10 项的和为： =
，
故选：D．
易判断数列{an}，{bn}分别为等差数列、等比数列，求出 an，bn 后可得 ，而{ }为等比数列，从
而可求．
第 8 页，共 16 页
本题考查等差数列、等比数列的通项公式求和公式，考查学生的运算求解能力，属中档题．
A.
B. a2=12
C.
D. b2=1
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 若实数 x，y 满足条件
则 z=3x-2y 的最大值为______．
14. 在三棱锥 D-ABC 中，AB=AC=AD= ，BC=BD=CD=2，则三棱锥 D-ABC 外接球的表面积为______． 15. 在数列{an}中，满足 a1=1，a2=4.2nan=（n-1）an-1+（n+1）an+1（n≥2 且 n∈N*），则 a8=______．
8.答案：A
解析：解：如图所示，
∠AMB=90°，设圆柱的底面圆半径为 r，高为 h； 圆锥的底面半径为 R，则圆锥的高为 R，母线长为 R； 由题意知，2πr2+2πrh=πR• R， 即 2r2+2rh= R2；
由相似边成比例得 = ，
即 h=R-r； ∴2r2+2r（R-r）= 即 2r= R，
解析：解：几何体是四棱锥，挖去一个八分之一的球的几何体，球的半径为：2 ．四棱锥的底面边 长为 4，高为 4．
几何体的体积为：
=
．
故选：A． 判断几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．
11.答案：B
解析：【分析】 本题主要考查复合函数单调性的简单应用，以新定义为载体，属于中档试题．
5.答案：B
解析：解：由①周期 T=π 可知，ω=2，A，B，C，D 都符合； ②图象关于（ ，0）对称，结合正弦，余弦函数的对称性可排除 A，C；
③在[0， ]上是增函数，结合正弦函数的单调性可排除 D；
故选：B． 结合正弦，余弦函数的对称性及单调性对选项进行判断，即可求解． 本题主要考查了正弦，余弦函数的周期性，对称性及单调性等知识的简单应用，属于基础试题．
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30.5
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46.5
根据（1）的判断结果及表中数据，求 y 关于 x 的回归方程；
（3）已知企业年利润 z（单位：千万元）与 x，y 的关系为 z= -x（其中 e=2.71828…），根据
（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线 v=α+βu 的斜率和截距
A.
B.
C.
） D.
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10. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某集合体的三视图，则该几何体的体积 为（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 函数 f（x）的定义域为 D，若 f（x）满足在 D 内是单调函数，且存在[m，n]⊆D 使 f（x）在[m，
n]上的值域为[ ， ]，那么就称 y=f（x）为“半保值函数”，若函数 f（x）=loga（ax+t）（a＞0
由题意可知 f（x）在 D 内是单调函数，才为“半保值函数”，从而可构造函数 f（x）= x，转化为 loga
（ax+t）= x 有两异正根，t 的范围可求．
4.答案：C
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解析：解：∵双曲线
（a＞0，b＞0）的一条渐近线经过点（2， ），
∴= ，
∴b2=2a2，可得 c2=3a2， 所以 e= ． 故选：C． 根据双曲线的一条渐近线经过点（2， ），可得 a，b 的关系，然后转化求解离心率即可． 本题考查双曲线的几何性质，渐近线与离心率的关系，考查学生的计算能力．
16. 已知函数
，若在区间（1，+∞）上函数 f（x）的图象恒在直线 y=2ax 的图
象的下方，则实数 a 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分）
17. 在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，AC=4，cos∠CAB= ，点 D 在线段 BC 上，
∵a=f（-1）=f（1），b=
=f（2），c=f（20.3），而 1＜20.3＜2，
则 a＜c＜b， 故选：B．
第 7 页，共 16 页
由已知可得函数 f（x）为偶函数，根据偶函数的对称性可知，函数 f（x）在（0，+∞）上是增函数， 即可比大小． 本题主要考查了利用偶函数的对称性及单调比较大小，属于基础试题
2019 年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 已知集合 A={x∈N|-1＜x＜3}，集合 B={x|0＜x＜π}，则 A∩B=（ ）
A. {x|0＜x＜3} B. {0，1，2}
C. {1，2}
D. {x|0＜x＜π}
R2，
∴= = ，
即圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为 ． 故选：A． 根据题意画出图形，结合图形设出圆柱的底面圆半径和高，以及圆锥的底面半径和高，求出母线长， 再列方程求得圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比． 本题考查了圆锥的内接圆柱表面积计算问题，是基础题．
9.答案：D
解析：解：由 an+1-an=3，知{an}为公差为 3 的等差数列，则 an=1+（n-1）×3=3n-2； 由 =3，知{bn}为公比为 3 的等比数列，则 bn=3n-1；
（t 为参数），曲线 C1：
．以
坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=
．
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（Ⅰ）若直线 l 与 x，y 轴的交点分别为 A，B，点 P 在 C1 上，求 • 的取值范围； （Ⅱ）若直线 l 与 C2 交于 M，N 两点，点 Q 的直角坐标为（-2，1），求||QM|-|QN||的值． 23. 已知函数 f（x）=|x+1|+a|x+2|． （Ⅰ）求 a=1 时，f（x）≤3 的解集； （Ⅱ）若 f（x）有最小值，求 a 的取值范围，并写出相应的最小值．
的最小二乘估计分别为 =
， =- ．
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20. 已知抛物线 y2=-2px（p＞0）的焦点为 F，x 轴上方的点 M（-2，m）在抛物线上，且|MF|= ，直 线 l 与抛物线交于 A，B 两点（点 A，B 与 M 不重合），设直线 MA，MB 的斜率分别为 k1，k2． （Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）当 k1+k2=-2 时，求证：直线 l 恒过定点并求出该定点的坐标．
a=f（-1），b=f（log2 ），c=f（20.3），则 a，b，c 的大小关系为（）
A.
B.
C.
D.
8. 在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的
底面半径与圆柱的底面半径之比为（ ）
A.
B. 2
C. 2
D. 4
9. 已知数列{an}，{bn}满足 a1=b1=1，an+1-an= =3，n∈N*，则数列{ }的前 10 项的和为（ ）
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1.答案：C
-------- 答案与解析 --------
解析：解：A={0，1，2}； ∴A∩B={1，2}． 故选：C． 可求出集合 A，然后进行交集的运算即可． 考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．
2.答案：D
解析：解：由 z（1-i）=2+i，得 z=
，
∴
，
则在复平面内 的对应的点的坐标为（ ，- ），在第四象限． 故选：D． 把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得 的坐标得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
包含的基本事件个数 m=
=9，
∴所选 2 部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为 p=
．
故选：D．
基本事件总数 n= =10，所选 2 部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著，包含的基本
事件个数 m=
=9，由此能求出所选 2 部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著
的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
B.
C.
D. 3
5. 同时具有性质“①最小正周期是 π；②图象关于（ ，0）对称；③在[0， ]上是增函数”的一个
函数可以是（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 在△ABC 中，若点 D 满足 =2 ，点 M 为 AC 中点，则 =（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 已知定义在 R 上的函数 f（x）满足 f（-x）=f（x），且函数 f（x）在（-∞，0）上是减函数，若
2. 已知 i 为虚数单位，复数 z 满足 z（1-i）=2+i，则在复平面内 的对应的点在（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙
子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这 5
∴ =33n-3=27n-1，
∴{ }为首项为 1，公比为 27 的等比数列，
则{ }的前 10 项的和为： =
，
故选：D．
易判断数列{an}，{bn}分别为等差数列、等比数列，求出 an，bn 后可得 ，而{ }为等比数列，从
而可求．
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本题考查等差数列、等比数列的通项公式求和公式，考查学生的运算求解能力，属中档题．
A.
B. a2=12
C.
D. b2=1
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
13. 若实数 x，y 满足条件
则 z=3x-2y 的最大值为______．
14. 在三棱锥 D-ABC 中，AB=AC=AD= ，BC=BD=CD=2，则三棱锥 D-ABC 外接球的表面积为______． 15. 在数列{an}中，满足 a1=1，a2=4.2nan=（n-1）an-1+（n+1）an+1（n≥2 且 n∈N*），则 a8=______．
8.答案：A
解析：解：如图所示，
∠AMB=90°，设圆柱的底面圆半径为 r，高为 h； 圆锥的底面半径为 R，则圆锥的高为 R，母线长为 R； 由题意知，2πr2+2πrh=πR• R， 即 2r2+2rh= R2；
由相似边成比例得 = ，
即 h=R-r； ∴2r2+2r（R-r）= 即 2r= R，
