小学数学六年级奥数《染色问题(1)》练习题(含答案)

染色问题练习题1.（2012•常州模拟）用3种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同的概率是 23 ．解：根据题意，每个矩形有3种涂色方法，则3个矩形有33327⨯⨯=种涂色方法； 要使3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同，分2步进行， ①、在3个矩形中任取2个，有233C =种取法，②、为选出的2个矩形选1种颜色，有3种情况，剩余的1个再选1种，有2种情况， 则3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同有33218⨯⨯=种情况，则3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同的概率为182273=；故答案为23．2.（2017春•莲湖区校级月考）用五种不同的颜色，给图中的（1）（2）（3）（4）的各部分涂色，每部分涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则涂色的方法有( )种．A ．240B ．120C ．60D ．180 解：由题意知本题是一个分步计数问题， 第一步先给（3）涂色共有5种结果， 第二步再给（1）（2）涂色共有43⨯种结果， 第三步给（4）涂色有4种结果，∴由分步计数原理知共有5434240⨯⨯⨯= 故选：A ．3.（2008•温州模拟）用4种不同的颜色对圆上依次排列的A ，B ，C ，D 四点染色，每个点染一种颜色，且相邻两点染不同的颜色，则染色方案的总数为( ) A ．72 B ．81 C ．84 D ．108 解：根据题意，按选取颜色的数目分3种情况讨论；①、4种颜色都选取，无论如何排列，相邻两点颜色不同；此时染色方案有4424A =种； ②、选取3种颜色，有34C 种方法；选取后，有32212⨯⨯=种染色方法；此时染色方案有41248⨯=种； ③、选取2种颜色，有24C 种方法；选取后，各有有2种染色方法；此时染色方案有24212C ⨯=种； 共24481284++=种； 故选：C ．4.若给一个正方体的八个顶点染色，要求相邻的两个顶点（即同一条棱的两个端点）颜色不能相同，则至少需要 2 种颜色；现有5种不同的颜色，要给正方体的六个面涂色，要求相邻的两个面不能用同一种颜色，则共有 种不同的涂色方法． 解：（1）如图，顶点A 的先选一种，则B ，D ，1A ，可以相同选另一种颜色，若C ，1D ，1B 与A 的颜色相同，1C 和B 的颜色相同，故至少需要2种颜色．（2）解：由于涂色过程中，要保证满足用五种颜色，且相邻的面不同色，对于正方体的三对面来说，必然有三对同色或两对同色，一对不同色，而且三对面具有“地位对等性”，因此，三对同色：3510C =种不同的涂法； 两对同色，一对不同色：只需从四种颜色中选择2种涂在其中两对面上，剩下的两种颜色涂在另外两个面即可．因此共有2510C =种不同的涂法．故共有101020+=种不同的涂法 故答案为：2，20．5.（2011•潜江校级模拟）将正三棱柱ABC A B C -'''的六个顶点染色，要求每条棱的两个端点不同色，现在有四种不同的颜色供选择，则不同的染法总数为 264 ．解：根据题意，三棱柱的下底面的颜色互不相同，有3424A =种情况， 对上底面分情况讨论可得：①、A 点用第四种颜色，按B 的颜色不同又分2种情况； 1︒当B 与C '处颜色一致时，C 处有2种方法， 2︒当B 与A '处颜色一致时，C 处有1种方法； 共3种方法；②、A 点的颜色与B '处一致时；按B 的颜色不同又分3种情况； 1︒当B 处用第四种颜色时，C 处有1种情况， 2︒当B 与A '处颜色一致时，C 处有2种方法， 3︒当B 与C '处颜色一致时，C 处有1种方法， 共1214++=种方法；③、A 点的颜色与C '处一致时，与②的情况相同，有4种方法； 上底面共11种不同的方法；综合可得：不同的染法总数为2411264⨯=种； 故答案为：264．6.（2013春•海州区校级期末）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个顶点不同色，现有5种不同颜色可用，则不同染色方法的总数是 420 ．（用数字作答） 解：四棱锥为P ABCD -．下面分两种情况即C 与B 同色与C 与B 不同色来讨论，（1）各个点的不同的染色方法15:P C ，14:A C ，13:B C ，C 与A 同色：13:D C ，故共有11115433C C C C g g g 种．（2）各个点的不同的染色方法15:P C ，14:A C ，13:B C ，C 与A 不同色12C ，12:D C ，故共有1111154322C C C C C g g g g种由分步计数原理可得不同的染色方法总数有：111111111543354322420C C C C C C C C C +=g g g g g g g ． 故答案为：420．7.（2018春•三明期末）在如图所示的十一面体ABCDEFGHI 中，用3种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为 6 ．解：根据题意，分3步分析：①，对于A 、B 、C 三点，A 、B 、C 三点两两相邻，颜色互补相同，则A 、B 、C 三点的涂法有336A =种，②，对于E 、D 、F 三点，E 与A 、B 相邻，则E 只有1种涂色方法，同理D 、F 都只有一种颜色，则E 、D 、F 三点只有1种涂色方法，③，对于G 、H 、I 三点，G 与D 、E 相邻，则G 只有1种涂色方法，同理H 、I 都只有一种颜色，则G 、H 、I 三点只有1种涂色方法，则有6116⨯⨯=种不同的染色方案种数； 故答案为：68. （2008春•南通期末）用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色，（每点染一色，有的颜色也可以不用）使每条线段上的两个顶点皆不同色，则不同的染色方法有 1020 种．解：将其转化为具有五个扇形格的圆盘染五色，使邻格不同色的染色问题．设有k 个扇形格的圆盘染五色的方法数 为k x ，则有1154k k k x x --+=g ，于是43255443322()()()5(4444)1020x x x x x x x x =+-+++-=-+-=，故答案为10209.用五种不同的颜色，把ABC ∆的3个顶点染上其中的一种颜色．（1）如果要求三条边的两端点都有不同的颜色，则有多少种不同的染色方法？ （2）如果只要求A 、B 异色，则有多少种不同的染色法？ 解：（1）Q 三条边的两端点都有不同的颜色，∴顶点A ，B ，C 上的颜色都不相同， ∴有五种不同的颜色，∴点A 处有5种染色方法，点B 在点A 用过剩余的4种颜色中，选用一种染色，有4种染色方法， 点C 在剩余的三种颜色中，任选一种，有3种染色方法， 所以一共有54360⨯⨯=种不同的染色方法；（2）A Q 、B 异色，∴点A 在5中颜色种选用一种，则点B 在剩余的4种颜色中，选用一种染色，有四种方法，点C 五种颜色中，任选一种，有5种染法，所以，一共有545100⨯⨯=种不同的染色方法．10.（2017春•徐州期末）给一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使得同一条棱的两端异色如果有4种颜色可供使用，则共有x 种不同的染色方法；如果有5种颜色可供使用，则共有y 种不同的染色方法，那么y x -的值为 348 ．解：设四棱锥为P ABCD -．如果有5种颜色可供使用， 下面分两种情况即B 与D 同色与B 与D 不同色来讨论，（1）15:P C ，14:A C ，13:B C ，B 与D 同色：:1D ，13:C C ．（2）15:P C ，14:A C ，13:B C ，B 与D 不同色：12:D C ，12:C C ．共有1111111115433543221420C C C C C C C C C +=g g g g g g g g ．则420y =种， 如果有4种颜色可供使用，下面分两种情况即C 与A 同色与C 与A 不同色来讨论，（1）P 的着色方法种数为14C ，A 的着色方法种数为13C ，B 的着色方法种数为12C ， C 与A 同色时C 的着色方法种数为1，D 的着色方法种数为12C ．（2）P 的着色方法种数为14C ，A 的着色方法种数为13C ，B 的着色方法种数为12C ，C 与A 不同色时C 的着色方法种数为11C ，D 的着色方法种数为11C ．共有1143C C g ．11124322482472C C C +=+=gg g 种结果． 则72x =种，故42072348y x -=-=，故答案为：34810.（2016春•万州区校级期中）如图，用五种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有 1920 种．解：分两步来进行，先涂A 、B 、C ，再涂D 、E 、F ．①若5种颜色都用上，先涂A 、B 、C ，方法有35A 种；再涂D 、E 、F 中的两个点，方法有23A 种，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有32532720A A =g g 种． ②若5种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有45C 种；先涂A 、B 、C ，方法有34A 种；再涂D 、E 、F 中的1个点，方法有3种， 最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有4354331080C A =g g g 种． ③若5种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有35C 种； 先涂A 、B 、C ，方法有33A 种；再涂D 、E 、F ，方法有2种，故此时方法共有33532120C A =g g 种． 综上可得，不同涂色方案共有72010801201920++=种， 故答案为：1920．11.（2015秋•德州校级月考）如图所示，积木拼盘由A 、B 、C 、D 、E 五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如:A 与B 为相邻区域，A 与D 为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则可组成的不同的积木拼盘的种数是( )A ．780B ．840C ．900D ．960解：先涂A ，则A 有5种涂法，再涂B ，因为B 与A 相邻，所以B 的颜色只要与A 不同即可，有4种涂法，同理C 有3种涂法，D 有4种涂法，E 有4种涂法，由分步乘法计数原理可知，可组成的不同的积木拼盘的种数为54344960⨯⨯⨯⨯=， 故选：D ．12.（2011•邢台一模）如图，某学校要用鲜花布置花圃中ABCDE 五个不同区域，要求同一区域上用一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花，现有红、黄、蓝、白、紫五种不同颜色的鲜花可供任意选择．()I 求恰有两个区域用红色鲜花的概率；()II 当A 、D 区域同时用红色鲜花时，求布置花圃的不同方法的种数．解：()I 设M 表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图： 当区域A 、D 同色时，共有54313180⨯⨯⨯⨯=种； 当区域A 、D 不同色时，共有54322240⨯⨯⨯⨯=种； 因此，所有基本事件总数为：180240420+=种 又因为A 、D 为红色时，共有43336⨯⨯=种； B 、E 为红色时，共有43336⨯⨯=种；因此，事件M 包含的基本事件有：363672+=种所以，恰有两个区域用红色鲜花的概率726()42035P M ==． ()II 当A 、D 区域同时用红色鲜花时，其它区域不能用红色， 布置花圃的不同方法的种数3336⨯⨯=种．（2015春•晋江市校级期中）已知四棱锥P ABCD -的底面是一个边长为2的正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD AD =，E 是线段PC 的中点 （Ⅰ）求证：//PA 面BDE ；（Ⅱ）求二面角A BD E --所成的平面角的余弦值大小；（Ⅲ）若将四棱锥P ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总是多少．【解答】()I 证明：连接AC 交BD 于O ，连接OE ，易知O 为AC 的中点， OE ∴为APC ∆的中位线 //AP OE ∴，又OE ⊂平面BDE ，AP ⊂/平面BDE ， //AP ∴平面BDE ．()II 解：以DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则(2A ，0，0)，(2B ，2，0)，(0D ，0，0)，(0E ，1，1)，(0P ，0，2)， (0DE =u u u r ，1，1)，(2DB =u u u r，2，0)，设平面BDE 的一个法向量(n x =r ，y ，)z ，00n DE n DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，0220y z x y +=⎧⎨+=⎩， (1n =r，1-，1)，又(0DP =u u u r ，0，2)． 设二面角A BD E --的平面角为θ．则||3cos |cos ,|||||23DP n DP n DP n θ=-<>=-==u u u r ru u u r g r u u u r r ．∴二面角A BD E --所成的平面角的余弦值为3-． ()III 解：若A 与C 同色则有54313180⨯⨯⨯⨯=， 若A 与C 不同色则有54322240⨯⨯⨯⨯=． ∴共有180240420+=（种)．。

专题14 染色问题1.下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何一个邻室的门.有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗?2.展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢?3.图中的16个点表示16个城市,两个点之间的连线表示这两个城市有公路相通.问能否找到一条不重复地走遍这16座城市的路线?4.下图是由4个小方格组成的“L ”形硬纸片,用若干个这种纸片无重叠地拼成一个4 n 的长方形,试证明:n 一定是偶数.5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃”(“马”走“日”字,另不考虑“别马腿”的情况).6.能否用一个田字和15个4⨯1矩形覆盖8⨯8棋盘?7.能否用1个田字和15个T 字纸片,拼成一个8⨯8的正方形棋盘?8.在8⨯8棋盘上,马能否从左下角的方格出发,不重地走遍棋盘,最后回到起点?若能请找出一条路,若不能,请说明理由.9.下面三个图形都是从4⨯4的正方形分别剪去两个1⨯1的小方格得到的,问可否把它们分别剪成1⨯2的七个小矩形?(1)(2) (3)10.把三行七列的21个小格组成的矩形染色,每个小格染上红、蓝两种色中的一种.求证:总可以找到4个同色小方格,处于某个矩形的4个角上(如图)红红红红11.17个科学家互相通信,在他们的通信中共讨论3个问题,而任意两个科学家之间仅讨论1个问题.证明:至少有3个科学家,他们彼此通信讨论的是同一个问题.12.用一批1⨯2⨯4的长方体木块,能不能把一个容积为6⨯6⨯6的正方体木箱充塞填满?说明理由.13.在平面上有一个27⨯27的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好81枚棋子,它们被罢成一个9⨯9的正方形.按下面的规则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中,并把越过的这格棋子取出来.问:是否存在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子?14.12⨯12的超极棋盘上,一匹超级马每步跳至3⨯4矩形的另一角(如图).问能否从任一点出发遍历每一格恰一次,再回到出发点(这种情况又称马有“回路”)?123———————————————答 案—————————————————————— 1. 不能.对房间染色,使最下面的两个房间染成黑色,与黑色相邻的房染成白色,则图中有7个黑色房间和5个白色房间.如果要想不重复地走过每一个房间,黑色与白色房间数应该相等.故题中的想法是不能实现的. 2. 不能.对展室进行染色,使相邻两房间分别是黑色和白色的.此时入口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完36个展室,入口与出口展室的颜色应该不相同. 3. 不能.对这16个城市进行黑白相间的染色,一种颜色有9个,另一种颜色有7个.而要不重复地走遍这16个城市,黑色与白色的个数应该相等. 4. 如图,对4⨯n 长方形的各列分别染上黑色和白色.任一L 形纸片所占的3黑1白,第二类占3白1黑.设第一类有a 个,第二类有b 个,因为涂有两种颜色的方格数相等,故有3b +a =3a +b ,即a =b ,也就是说第一类与第二类相等,因此各种颜色的方格数都是4的倍数,总数是8的倍数,从而n 是偶然.5. 将棋盘黑白相间染色,由“马”的走法可知,放在黑点上的“马”,只能吃放在某些白点上的马.整个棋盘上黑、白点的个数均为45,故可在45个黑点放上马,它们是不能互吃的.6. 如图的方式对棋盘染色.那么一个田字形盖住1个或3个白格,而一个4⨯1的矩形盖住2个白格.这样一来一个田字和15个4⨯1的矩形能盖住的白格数是一个奇数,但上图中的白格数是一个偶数,因此一个田字形和15个4⨯1的矩n 个7. 将棋盘里黑白相间涂色.一个田字形盖住2个白格,一个T字形盖住3个或1个白格.故1个田字和15个T字盖住的白格数是一个奇数,但棋盘上的白格数是一个偶数.因此一个田字形和15个T字形不能盖住8⨯8的棋盘.8. 将棋盘黑白相间地染色后,马的走法是从一种颜色的格子跳到另一种颜色.棋盘上有32个白格与32个黑格,故马可能跳遍整个棋盘.图中给出了一种走法.564158355039603347445540593451384257464936533261454843543162375220530632211161329642141714251061922782312151287183269249. 先对4⨯4的棋盘黑白相间的涂色(如图),这道题的实际问题是问7个1⨯2矩形能否分别复盖剪去A、B；剪去A、C；剪去A、D的三个棋盘.若7个1⨯2矩形可以复盖剪残的棋盘,因为每个1⨯2矩形均可盖住一个白格和一个黑格,所以棋盘的白格与黑格数目应该相等.都是7个.而剪去A格和C格的棋盘(2)有5个白格8个黑格,剪去A、D的棋盘(3)有5个白格8个黑格,因此这两个剪损的棋盘均不能被7,也就不能剪成7个1⨯2的矩形.棋盘(1)可以被7个1⨯2的矩形所复盖.下面给出一种剪法:A11277B26543654310. 在第一行的7格中必有4格同色,不妨设这4格位于前4个位置,且均为红色.然后考虑前4列构成的3⨯4矩形.若第二行和第3行中出现2个或2个以上的红色格子.则该行的两个红色格子与第一行的红色格子就组成一个4角同为红色格子的矩形.若不然,则第2、3行中都至少有3个蓝格在前4列中,不妨设第2行前3格为蓝色,显然第三行中的前3格中至少有2个蓝格，故在二、三行的前4列中必存在四角都是蓝色的矩形.11. 将17个科学家用17个点代表,两点之间连结的线段表示两个科学家之间讨论的问题.用三种颜色给这些线段染色,表示三个问题,于是问题就变成:给17个点之间的所有连结线段用三种颜色染色,必有同色三角形.从任意一点,不妨设从A 向其他16点A 1,A 2,…A 16共可连成16条线段,用三种颜色染色,由抽屉原则可知,必有6条线段同色.设这6条线段为AA 1,AA 2,…AA 6且同为红色.考虑A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6这六点之间的连线,若有一条为红色,(如A 1A 2为红色) ,则三角形AA 1A 2为红色的同色三角形.若这六点之间的连线中,没有一条是红色的,则它们之间只能涂两种颜色.考虑从A 1引出的五条线段A 1A 2 A 1A 3 A 1A 4 A 1A 5 A 1A 6,由抽屉原理知,其中必有三条是同色的.不妨设这三条为A 1A 2 A 1A 3 A 1A 4,且同为蓝色.若三角形A 2A 3A 4的三边中有一条为蓝色的,则有一个蓝色的三角形存在;若三角形A 2A 3A 4三边都不是蓝色的,则它的三边是同为第三色的同色三角形.12. 把正方体木箱分成27个小正方体,每个小正方体的体积为2⨯2⨯2=8.将这些正方体如右图黑白相间染上色.显然黑色2⨯2⨯2的正方体有14个,白色2⨯2⨯2小正方体有13个.每一个这样的正方体相当于8个1⨯1⨯1的小正方体.将1⨯2⨯4的长方体放入木箱,无论怎么放,每个长方体木块盖住8个边长为1的单位正方体,其中有4个黑色的,4个白色的.木箱共含6⨯6⨯6=216个单位正方体,26个长方体木块共盖住8⨯26=208个单位正方体,其中黑白各占104个,余下216-208=8个单位正方体是黑色的.但是第27个1⨯2⨯4长方体木块不管怎样A A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 1A 2A 3A4放,也无法盖住这8个黑色单位正方体.13. 如图,将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色,这种染色方式将棋盘分成了三个部分.按照游戏规则,每走一步,有两种颜色方格中的棋子数分别减少了1个,而第三种颜色的棋子数增加了一个.这表明每走一步,每个部.因为一开始时,81枚棋子摆成一个9 9的正方形,显然三个部分的棋子数是相同的,从而每走一步,三部分中的棋子数的奇偶性是相同的.如果走了若干步以后,棋盘上恰好剩下一枚棋子,则两部分上的棋子数为偶数,而另一部分上的棋子数为奇数.这种结果是不可能出现的.14. 用两种方法对超级棋盘染色.首先,将棋盘黑白相间染色,则马每跳一步,它所在的方格就要改变一次颜色.不妨设第奇数步跳入白格.其次,将棋盘的第3,4,5及8,9,10这六行染成黑色,其余六行染成白色.在此种染色方式下,马从白格一定跳入黑格.又因黑白格总数相同,马要遍历每一格恰一次又回到出发点,因此,马从黑格只能跳入白格而不能跳入黑格.不妨设马第奇数步跳入白格.但是对于一种满足要求跳法,在两种染色方式下第奇数步跳入的格子的全体是不同的,这显然是不可能的,故题目要求的跳法是不存在的.。

小学奥数杂题染色问题【三篇】
导读：本文小学奥数杂题染色问题【三篇】，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。

【第一篇】 1.如图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房间都有通向任何一个邻室的门．有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？
解析：对房间染色，使最下面的两个房间染成黑色，与黑色相邻的房染成白色，
则图中有7个黑色房间和5个白色房间．
如果要想不重复地走过每一个房间，黑色与白色房间数应该相等．故题中的想法是不能实现的．
点评：完成本题也可根据要求据图中的房间实际找下路线，看是否能够找到．【第二篇】展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢? 答案：不能.对展室进行染色,使相邻两房间分别是黑色和白色的.此时入口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完36个展室,入口与出口展室的颜色应该不相同. 【第三篇】染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关8个顶点。

两面染色和棱长有关。

即新棱长（棱长-2）×12一面染色和表面积有关。

同样用新棱长计算表面积公式（棱长-2）×（棱长-2）*6 0面染色和体积有关。

用新棱长计算体积公式（棱
长-2）×（棱长-2）×（棱长-2）长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算。

专题14 染色问题1.下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何 一个邻室的门.有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗?2.展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口 进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢?3.图中的16个点表示16个城市,两个点之间的连线表示这两个城市有公路 相通.问能否找到一条不重复地走遍这16座城市的路线?4.下图是由4个小方格组成的“L ”形硬纸片,用若干个这种纸片无重叠地 拼成一个4 n 的长方形,试证明:n 一定是偶数.5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃”(“马”走“日”字,另不考虑“别马腿”的情况).6.能否用一个田字和15个4⨯1矩形覆盖8⨯8棋盘?7.能否用1个田字和15个T 字纸片,拼成一个8⨯8的正方形棋盘?8.在8⨯8棋盘上,马能否从左下角的方格出发,不重地走遍棋盘,最后回到起点?若能请找出一条路,若不能,请说明理由.9.下面三个图形都是从4⨯4的正方形分别剪去两个1⨯1的小方格得到的,问可否把它们分别剪成1⨯2的七个小矩形?10.把三行七列的21个小格组成的矩形染色,每个小格染上红、蓝两种色中的一种.求证:总可以找到4个同色小方格,处于某个矩形的4个角上(如图)11.17个科学家互相通信,在他们的通信中共讨论3个问题,而任意两个科学家之间仅讨论1个问题.证明:至少有3个科学家,他们彼此通信讨论的是同一个问题.12.用一批1⨯2⨯4的长方体木块,能不能把一个容积为6⨯6⨯6的正方体木箱充塞填满?说明理由.13.在平面上有一个27⨯27的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好81枚棋子,它们被罢成一个9⨯9的正方形.按下面的规则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中,并把越过的这格棋子取出来.问:是否存在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子?14.12⨯12的超极棋盘上,一匹超级马每步跳至3⨯4矩形的另一角(如图).问能否从任一点出发遍历每一格恰一次,再回到出发点(这种情况又称马有“回12 3———————————————答 案——————————————————————1. 不能.对房间染色,使最下面的两个房间染成黑色,与黑色相邻的房染成白色,则图中有7个黑色房间和5个白色房间.如果要想不重复地走过每一个房间,黑色与白色房间数应该相等.故题中的想法是不能实现的.2. 不能.对展室进行染色,使相邻两房间分别是黑色和白色的.此时入口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完36个展室,入口与出口展室的颜色应该不相同.3. 不能.对这16个城市进行黑白相间的染色,一种颜色有9个,另一种颜色有7个.而要不重复地走遍这16个城市,黑色与白色的个数应该相等.4. 如图,对4⨯n 长方形的各列分别染上黑色和白色.任一L 形纸片所占的方3黑1白,第二类占3白1黑.设第一类有a 个,第二类有b 个,因为涂有两种颜色的方格数相等,故有3b +a =3a +b ,即a =b ,也就是说第一类与第二类相等,因此各种颜色的方格数都是4的倍数,总数是8的倍数,从而n 是偶然.5. 将棋盘黑白相间染色,由“马”的走法可知,放在黑点上的“马”,只能吃放在某些白点上的马.整个棋盘上黑、白点的个数均为45,故可在45个黑点放上马,它们是不能互吃的.6. 如图的方式对棋盘染色.那么一个田字形盖住1个或3个白格,而一个4⨯1的矩形盖住2个白格.这样一来一个田字和15个4⨯1的矩形能盖住的白格数是一个奇数,但上图中的白格数是一个偶数,因此一个田字形和15个4⨯1的矩形n 个7. 将棋盘里黑白相间涂色.一个田字形盖住2个白格,一个T字形盖住3个或1个白格.故1个田字和15个T字盖住的白格数是一个奇数,但棋盘上的白格数是一个偶数.因此一个田字形和15个T字形不能盖住8⨯8的棋盘.8. 将棋盘黑白相间地染色后,马的走法是从一种颜色的格子跳到另一种颜色.棋盘上有32个白格与32个黑格,故马可能跳遍整个棋盘.图中给出了一种走法.9. 先对4⨯4的棋盘黑白相间的涂色(如图),这道题的实际问题是问7个1⨯2矩形能否分别复盖剪去A、B；剪去A、C；剪去A、D的三个棋盘.若7个1⨯2矩形可以复盖剪残的棋盘,因为每个1⨯2矩形均可盖住一个白格和一个黑格,所以棋盘的白格与黑格数目应该相等.都是7个.而剪去A格和C格的棋盘(2)有5个白格8个黑格,剪去A、D的棋盘(3)有5个白格8个黑格,因此这两个剪损的棋盘均不能被7个也就不能剪成7个1⨯2的矩形.棋盘(1).下面给出一种剪法:10. 在第一行的7格中必有4格同色,不妨设这4格位于前4个位置,且均为红色.然后考虑前4列构成的3⨯4矩形.若第二行和第3行中出现2个或2个以上的红色格子.则该行的两个红色格子与第一行的红色格子就组成一个4角同为红色格子的矩形.若不然,则第2、3行中都至少有3个蓝格在前4列中,不妨设第2行前3格为蓝色,显然第三行中的前3格中至少有2个蓝格，故在二、三行的前4列中必存在四角都是蓝色的矩形.11. 将17个科学家用17个点代表,两点之间连结的线段表示两个科学家之间讨论的问题.用三种颜色给这些线段染色,表示三个问题,于是问题就变成:给17个点之间的所有连结线段用三种颜色染色,必有同色三角形.从任意一点,不妨设从A向其他16点A1,A2,…A16共可连成16条线段,用三种颜色染色,由抽屉原则可知,必有6条线段同色.设这6条线段为AA1,AA2,…AA6且同为红色.考虑A1,A2,A3,A4,A5,A6这六点之间的连线,若有一条为红色,(如A1A2为红色) ,则三角形AA1A2为红色的同色三角形.若这六点之间的连线中,没有一条是红色的,则它们之间只能涂两种颜色.考虑从A1引出的五条线段A1A2A1A3A1A4A1A5A1A6,由抽屉原理知,其中必有三条是同色的.不妨设这三条为A1A2A1A3A1A4,且同为蓝色.若三角形A2A3A4的三边中有一条为蓝色的,则有一个蓝色的三角形存在;若三角形A2A3A4三边都不是蓝色的,则它的三边是同为第三色的同色三角形.12. 把正方体木箱分成27个小正方体,每个小正方体的体积为2⨯2⨯2=8.将这些正方体如右图黑白相间染上色.显然黑色2⨯2⨯2的正方体有14个,白色2⨯2⨯2小正方体有13个.每一个这样的正方体相当于8个1⨯1⨯1的小正方体.将1⨯2⨯4的长方体放入木箱,无论怎么放,每个长方体木块盖住8个边长为1的单位正方体,其中有4个黑色的,4个白色的.木箱共含6⨯6⨯6=216个单位正方体,26个长方体木块共盖住8⨯26=208个单位正方体,其中黑白各占104个,余下216-208=8个单位正方体是黑色的.但是第27个1⨯2⨯4长方体木块不管怎样放,也无法盖住这8个黑色单位正方体.13. 如图,将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色,这种染色方式将棋盘分成了三个部分.按照游戏规则,每走一步,有两种颜色方格中的棋子数分别减少了1个,而第三种颜色的棋子数增加了一个.这表明每走一步,每个部.AA1 A2A3A4A5A6A1A2A3A4因为一开始时,81枚棋子摆成一个9 9的正方形,显然三个部分的棋子数是相同的,从而每走一步,三部分中的棋子数的奇偶性是相同的.如果走了若干步以后,棋盘上恰好剩下一枚棋子,则两部分上的棋子数为偶数,而另一部分上的棋子数为奇数.这种结果是不可能出现的.14. 用两种方法对超级棋盘染色.首先,将棋盘黑白相间染色,则马每跳一步,它所在的方格就要改变一次颜色.不妨设第奇数步跳入白格.其次,将棋盘的第3,4,5及8,9,10这六行染成黑色,其余六行染成白色.在此种染色方式下,马从白格一定跳入黑格.又因黑白格总数相同,马要遍历每一格恰一次又回到出发点,因此,马从黑格只能跳入白格而不能跳入黑格.不妨设马第奇数步跳入白格.但是对于一种满足要求跳法,在两种染色方式下第奇数步跳入的格子的全体是不同的,这显然是不可能的,故题目要求的跳法是不存在的.。

二十染色问题(1)年级班姓名得分(编者按:由于内容本身的限制,本讲不设填空题)1.某影院有31排,每排29个座位.某天放映了两场电影,每个座位上都坐了一个观众.如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他(前、后、左、右)相邻的某一观众交换座位,这样能办到吗为什么2.如图是一所房子的示意图,图中数字表示房间号码,每间房子都与隔壁的房间相通.问能否从1号房间开始,不重复的走遍所有房间又回到1号房间3.在一个正方形的果园里,种有63棵果树、加上右下角的一间小屋,整齐地排列成八行八列(见图 (a)).守园人从小屋出发经过每一棵树,不重复也不遗漏(不许斜走),最后又回到小屋,行吗如果有80棵果树,连小屋在内排成九行九列(图(b))呢(a) (b)88国际象棋(下图)去掉对角上两格后,是否可以用31个21的“骨牌” (形如 )把象棋盘上的62个小格完全盖住5.如果在中国象棋盘上放了多于45只马,求证:至少有两只马可以“互吃”.6.空间6个点,任三点不共线,对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色,是否必有两个同色三角形7.如图,把正方体分割成27个相等的小正方体,在中心的那个小正方体中有一只甲虫,甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去.如果要求甲虫能走到每个小正方体一次,那么甲虫能走遍所有的正方体吗8.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:一只马从起点出发,跳了n步又回到起点.证明:n一定是偶数.9.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:一只马能否跳遍这半张棋盘,每一点都不重复,最后一步跳回起点10.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:证明:一只马不可能从位置B出发,跳遍半张棋盘而每个点都只经过一次(不要求最后一步跳回起点).11.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:一只马能否从位置B出发,用6步跳到位置A为什么12.中国象棋的马走“日”字,车走横线或竖线,下图是半张中国象棋盘,试回答下面的问题:一只车从位置A出发,在这半张棋盘上走,每步走一格,走了若干步后到了位置B.证明:至少有一个格点没被走过或被走了不止一次.8的国际象棋棋盘能不能被剪成7个22的正方形和9个41的长方形如果可以,请给出一种剪法;如果不行,请说明理由.14.(表1)是由数字0,1交替构成的,(表2)是由(表1)中任选、、三种形式组成的图形,并在每个小方格全部加1或减1,如此反复多次进行形成的,试问(表2)中的A格上的数字是多少并说明理由.1010101001010101101010100101010010101010010101011010101001010101表 111111111111111111111111111111111111111A1表 2———————————————答案——————————————————————1. 把影院的座位图画成黑白相间的矩形.(2931),共有899个小方格.不妨假定四角为黑格,则共有黑格450个,白格449个.要求看第二场电影,每位观众必须跟他相邻的某一观众交换位置,即要求每一黑白格必须互换,因黑白格的总数不相等,因此是不可能的.2. 将编号为奇数的房间染成黑色,编号为偶数的房间染成白色.从1号房间出发,只能按黑白黑白……的次序,当走遍九个房间时应在黑色房间中,这个房间不与1号房间相邻,故不能不重复地走遍所有房间又回到1号房间.3. 图(a)行,走法如图所示.图(a)图(b)不行,将小屋染成黑色,果树染成黑白相间的颜色,则图(b)中有41个黑色的,40个白色的.从小屋出发,按黑白黑白……的次序,当走遍80棵树后,到达的树的颜色还是黑色,与小屋不相邻,故不可能最后回到小屋.4. 不能.原因是每一个21的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格,31个这样的骨牌恰好盖住31个黑格和31个白格.但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是相同的,把它们去掉后剩下的是30个白格,32个黑格,或32个白格,30个黑格,因此不能盖住.5. 中国象棋棋盘上有90个交叉点,把棋盘分成10个小部分,每部分有33=9个交叉点,由抽屉原则知,至少有一个小部分内含有6只马.将这一小部分的9个交叉点分别涂上黑色及白色.总有两只马在不同颜色交叉点上,故一定有两只马“互吃”.6. 设这六个点为A 、B 、C 、D 、E 、F.我们先证明存在一个同色的三角形: 考虑由A 点引出的五条线段AB 、AC 、AD 、AE 、AF,其中必有三条被染成了相同的颜色,不妨设AB 、AC 、AD 三条同为红色.再考虑三角形BCD 的三边:若其中有一条为红色,则存在一个红色三角形;若这三条都不是红色,则三角形BCD 为蓝色三角形.下面再来证明有两个同色三角形,不妨设三角形ABC 的三边同为红色.(1)若三角形DEF 也是红色三角形,则存在两个同色三角形.(2)若三角形DEF 中有一条边为蓝色(不妨设DE),下面考虑DA 、DB 、DC 三 条线段，其中必有两条同色.①若其中有两条是红色的,如DA 、DB 是红色的,则三角形DAB 为第二个同色三角形(图1). B DC AD (图1)②若其中有两条是蓝色的,设DA、DB为蓝色(图2).此时在EA、EB两条线段中,若有一条为蓝色,则存在一个蓝色三角形;若两条都是红色的,则三角形EAB 为红色三角形.综上所述,一定有两个同色三角形.7. 甲虫不能走遍所有的立方体.我们将大正方体如图分割成27个小正方体,涂上黑白相间的两种颜色,使得中心的小正方体染成白色,再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色.显然在27个小正文体中,14个是黑的,13个是白的.甲虫从中间的白色正方体出发,每走一步,小正方体就改变一种颜色.故它走27步,应该经过14个白色的小正方体,13个黑色的小正方体.因此在27步中至少有一个白色的小正方体,甲虫进去过两次.故若要求甲虫到每个小正方体只去一次,甲虫就不能走遍所有的小正方体.8. 将棋盘上的各点按黑白相间的方式染上黑白二色.由“马步”的行走规则,当“马”从黑点出发,下一步只能跳到白点,以后依次是黑、白、黑、白……要回到原出发点(黑点),它必须跳偶数步.9. 不能.半张象棋盘共有45个格点,马从起点出发跳遍半张棋盘,则起点与最后一步同色.故不可能从最后一步跳回起点.10. 与B 点同色的点(白点)有22个,异色的点(黑色)有23个.马从B 点出发,跳了42步时,已经跳遍了所有的白色,还剩下两个黑点,但是马不能够连续跳过两个黑点.11. 不能.因为A 、B 两点异色,从B 到A 所跳的步数是一个奇数.12. “车”每走一步,所在的格点就会改变一次颜色.因A 、B 两点异色,故从A 到B “车”走的步数是一个奇数.但半张棋盘共有45个格点,不重复地走遍半张棋盘要44步，但44是一个偶数.13. 如图对88的棋盘染色,则每一个41的长方形能盖住2白2黑小方格,而每一个22的正方形能盖住1白3黑或1黑3白小方格,那么7个22的正方形盖住的黑色小方格数总是一个奇数,但图中黑格数为32是一个偶数.故这种剪法是不存在的.14. 如下图所示,将表(1)黑白相间地染色. +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 +1 +1+1 +1 -1 -1 -1 -1 -1 -1表(1)本题条件允许如图所示的6个操作,这6个操作无论实行在那个位置上,白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是一个常数,所以表1中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即32,等于表2中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即(31+A)-32,于是(31+A)-32=32,故A=33.二十 染色问题(2)年级 班 姓名 得分1.下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何 一个邻室的门.有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗2.展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口 进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢3.图中的16个点表示16个城市,两个点之间的连线表示这两个城市有公路 相通.问能否找到一条不重复地走遍这16座城市的路线4.下图是由4个小方格组成的“L”形硬纸片,用若干个这种纸片无重叠地拼成一个4n的长方形,试证明:n一定是偶数.5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃”(“马”走“日”字,另不考虑“别马腿”的情况).6.能否用一个田字和15个41矩形覆盖88棋盘7.能否用1个田字和15个T字纸片,拼成一个88的正方形棋盘8.在88棋盘上,马能否从左下角的方格出发,不重地走遍棋盘,最后回到起点若能请找出一条路,若不能,请说明理由.9.下面三个图形都是从44的正方形分别剪去两个11的小方格得到的,问可否把它们分别剪成12的七个小矩形(1)(2)(3)10.把三行七列的21个小格组成的矩形染色,每个小格染上红、蓝两种色中的一种.求证:总可以找到4个同色小方格,处于某个矩形的4个角上(如图)红 红 红 红个科学家互相通信,在他们的通信中共讨论3个问题,而任意两个科学家之间仅讨论1个问题.证明:至少有3个科学家,他们彼此通信讨论的是同一个问题. 12.用一批124的长方体木块,能不能把一个容积为666的正方体木箱充塞填满说明理由.13.在平面上有一个2727的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好81枚棋子,它们被罢成一个99的正方形.按下面的规则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中,并把越过的这格棋子取出来.问:是否存在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子12的超极棋盘上,一匹超级马每步跳至34矩形的另一角(如图).问能否从任一点出发遍历每一格恰一次,再回到出发点(这种情况又称马有“回路”)OO1 2———————————————答案——————————————————————1. 不能.对房间染色,使最下面的两个房间染成黑色,与黑色相邻的房染成白色,则图中有7个黑色房间和5个白色房间.如果要想不重复地走过每一个房间,黑色与白色房间数应该相等.故题中的想法是不能实现的.2. 不能.对展室进行染色,使相邻两房间分别是黑色和白色的.此时入口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完36个展室,入口与出口展室的颜色应该不相同.3. 不能.对这16个城市进行黑白相间的染色,一种颜色有9个,另一种颜色有7个.而要不重复地走遍这16个城市,黑色与白色的个数应该相等.4. 如图,对4n长方形的各列分别染上黑色和白色.任一L形纸片所占的方格只有两类:第一类占3黑1白,第二类占3白1黑.n个设第一类有a个,第二类有b个,因为涂有两种颜色的方格数相等,故有3b+a=3a+b,即a=b,也就是说第一类与第二类相等,因此各种颜色的方格数都是4的倍数,总数是8的倍数,从而n是偶然.5. 将棋盘黑白相间染色,由“马”的走法可知,放在黑点上的“马”,只能吃放在某些白点上的马.整个棋盘上黑、白点的个数均为45,故可在45个黑点放上马,它们是不能互吃的.6. 如图的方式对棋盘染色.那么一个田字形盖住1个或3个白格,而一个41的矩形盖住2个白格.这样一来一个田字和15个41的矩形能盖住的白格数是一个奇数,但上图中的白格数是一个偶数,因此一个田字形和15个41的矩形不能复盖88的棋盘.7. 将棋盘里黑白相间涂色.一个田字形盖住2个白格,一个T字形盖住3个或1个白格.故1个田字和15个T字盖住的白格数是一个奇数,但棋盘上的白格数是一个偶数.因此一个田字形和15个T字形不能盖住88的棋盘.8. 将棋盘黑白相间地染色后,马的走法是从一种颜色的格子跳到另一种颜色.棋盘上有32个白格与32个黑格,故马可能跳遍整个棋盘.图中给出了一种走法.564158355039603347445540593451384257464936533261454843543162375220530632211161329642141714251061922782312151287183269249. 先对44的棋盘黑白相间的涂色(如图),这道题的实际问题是问7个12矩形能否分别复盖剪去A、B；剪去A、C；剪去A、D的三个棋盘.若7个12矩形可以复盖剪残的棋盘,因为每个12矩形均可盖住一个白格和一个黑格,所以棋盘的白格与黑格数目应该相等.都是7个.而剪去A格和C格的棋盘(2)有5个白格8个黑格,剪去A、D的棋盘(3)有5个白格8个黑格,因此这两个剪损的棋盘均不能被7个12矩形复盖,也就不能剪成7个12的矩形.ABCD棋盘(1)可以被7个12的矩形所复盖.下面给出一种剪法:A11277B26543654310. 在第一行的7格中必有4格同色,不妨设这4格位于前4个位置,且均为红色.然后考虑前4列构成的34矩形.若第二行和第3行中出现2个或2个以上的红色格子.则该行的两个红色格子与第一行的红色格子就组成一个4角同为红色格子的矩形.若不然,则第2、3行中都至少有3个蓝格在前4列中,不妨设第2行前3格为蓝色,显然第三行中的前3格中至少有2个蓝格，故在二、三行的前4列中必存在四角都是蓝色的矩形.11. 将17个科学家用17个点代表,两点之间连结的线段表示两个科学家之间讨论的问题.用三种颜色给这些线段染色,表示三个问题,于是问题就变成:给17个点之间的所有连结线段用三种颜色染色,必有同色三角形.从任意一点,不妨设从A向其他16点A1,A2,…A16共可连成16条线段,用三种颜色染色,由抽屉原则可知,必有6条线段同色.设这6条线段为AA1,AA2,…AA6且同为红色.考虑A1,A2,A3,A4,A5,A6这六点之间的连线,若有一条为红色,(如A1A2为红色) ,则三角形AA 1A 2为红色的同色三角形.若这六点之间的连线中,没有一条是红色的,则它们之间只能涂两种颜色.考虑从A 1引出的五条线段A 1A 2 A 1A 3 A 1A 4 A 1A 5 A 1A 6,由抽屉原理知,其中必有三条是同色的.不妨设这三条为A 1A 2 A 1A 3 A 1A 4,且同为蓝色.若三角形A 2A 3A 4的三边中有一条为蓝色的,则有一个蓝色的三角形存在;若三角形A 2A 3A 4三边都不是蓝色的,则它的三边是同为第三色的同色三角形.12. 把正方体木箱分成27个小正方体,每个小正方体的体积为222=8.将这些正方体如右图黑白相间染上色.显然黑色222的正方体有14个,白色222小正方体有13个.每一个这样的正方体相当于8个111的小正方体.将124的长方体放入木箱,无论怎么放,每个长方体木块盖住8个边长为AA 1A 2 A 3 A 4A 5 A 6A 1A 2A 3 A 41的单位正方体,其中有4个黑色的,4个白色的.木箱共含666=216个单位正方体,26个长方体木块共盖住826=208个单位正方体,其中黑白各占104个,余下216-208=8个单位正方体是黑色的.但是第27个124长方体木块不管怎样放,也无法盖住这8个黑色单位正方体.13. 如图,将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色,这种染色方式将棋盘分成了三个部分.按照游戏规则,每走一步,有两种颜色方格中的棋子数分别减少了1个,而第三种颜色的棋子数增加了一个.这表明每走一步,每个部分的棋子的奇偶性要发生改变.因为一开始时,81枚棋子摆成一个99的正方形,显然三个部分的棋子数是相同的,从而每走一步,三部分中的棋子数的奇偶性是相同的.如果走了若干步以后,棋盘上恰好剩下一枚棋子,则两部分上的棋子数为偶数,而另一部分上的棋子数为奇数.这种结果是不可能出现的.14. 用两种方法对超级棋盘染色.首先,将棋盘黑白相间染色,则马每跳一步,它所在的方格就要改变一次颜色.不妨设第奇数步跳入白格.其次,将棋盘的第3,4,5及8,9,10这六行染成黑色,其余六行染成白色.在此种染色方式下,马从白格一定跳入黑格.又因黑白格总数相同,马要遍历每一格恰一次又回到出发点,因此,马从黑格只能跳入白格而不能跳入黑格.不妨设马第奇数步跳入白格.但是对于一种满足要求跳法,在两种染色方式下第奇数步跳入的格子的全体是不同的,这显然是不可能的,故题目要求的跳法是不存在的.。

染色与覆盖例 1右图是某一套房屋的平面图，共 12 个房间，每相邻两房间都有门相通。

请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗？例 2一个正方形的果园里，种有 63 棵果树，加上右下角的一间小屋，齐整地摆列成八行八列，如图⑴。

守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏 (不准斜走 )，最后又回到小屋，行吗？假如有 80 棵果树，如图⑵，连小屋排成九行九列呢？例 3右图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马。

尽人皆知，马是走“日”字的。

请问：这只马可否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，而后回到出发点？例 49 个 1× 4 的长方形不可以拼成一个 6× 6 的正方形，请你说明原因！例 5有一批商品，每一件都是长方体形状，尺寸是 1× 2× 4。

现有一批现成的木箱，内空尺寸是6× 6× 6，问：为何不可以用这些商品将木箱装满？例 61 个 2×2 长方形和 15 个 4× 1 长方形不可以拼出 8× 8 的大正方形？请你说明原因！测试题1．一只电动老鼠从左下列图的 A 点出发，沿格线奔跑，而且每到一个格点不是向左转就是向右转。

当这只电动老鼠又回到 A 点时，甲说它共转了 81 次弯，乙说它共转了 82 次弯。

假如甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？2．如图⑴，对相邻的两格内的数同时加上 1 或同时减去 1 叫做一次操作。

经过若干次操作后由 1 变为图 2，则图 2 中 A 处的数是多少？3．右图是某一湖泊的平面图，图中全部曲线都是湖岸。

⑴假如 P 点在岸上，那么 A 点是在岸上仍是在水中？⑵某人过此湖泊，他下水时脱鞋，登岸时穿鞋。

假如他从 A 点出发走到某点 B，他穿鞋与脱鞋的总次数是奇数，那么 B 点是在岸上仍是在水中？为何？4．如右图，缺两格的 8× 8 方格有 62 个格，可否用 31 个图不重复地遮住它且不留缝隙？5．有一次车展共 6× 6＝36 个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，进口和出口以下图。

专题6 染色问题例1．如图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（ ）A ．6种B ．9种C ．12种D ．36种【解析】 先涂三棱锥P ABC -的三个侧面，有1113216C C C =种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有1112112C C C =种情况，共有6212⨯=种不同的涂法．故选：C ．例2．如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）A ．192种B ．336种C ．600种D ．624种【解析】 由题意，点E ，F ，G 分别有4，3，2种涂法，（1）当A 与F 相同时，A 有1种涂色方法，此时B 有2种涂色方法，①若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时D 有3种涂色方法；②若C 与F 不同，则D 有2种涂色方法.故此时共有()432121312240⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种涂色方法.（2）当A 与G 相同时，A 有1种涂色方法，①若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时B 有2种涂色方法，D 有2种涂色方法；②若C 与F 不同，则C 有2种涂色方法，此时B 有2种涂色方法，D 有1种涂色方法.故此时共有()4321122221192⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=种涂色方法.（3）当A 既不同于F 又不同于G 时，A 有1种涂色方法.①若B 与F 相同，则C 与A 相同时，D 有2种涂色方法，C 与A 不同时，C 和D 均只有1种涂色方法； ②若B 与F 不同，则B 有1种涂色方法，（i ）若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时D 有2种涂色方法；（ii ）若C 与F 不同，则必与A 相同，C 有1种涂色方法，此时D 有2种涂色方法.故此时共有()()43211121111212168⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦种涂色方法.综上，共有240192168600++=种涂色方法.故选：C.例3．现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（ ）A ．720种B ．1440种C ．2880种D ．4320种【解析】 根据题意分步完成任务：第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法；第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；⨯⨯⨯⨯⨯=种.所以不同的涂色方法：6543434320故选：D.例4．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（）．A．420 B．180 C．64 D．25【解析】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行区域A有5种涂法，B有4种涂法，⨯⨯⨯=种，A，D不同色，D有3种，C有2种涂法，有5432120⨯⨯=种，A，D同色，D有1种涂法，C有3种涂法，有54360共有180种不同的涂色方案．故选：B．例5．用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域A、B、C、D、E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）A ．120种B ．720种C ．840种D ．960种【解析】 法一：A 有5种颜色可选，B 有4种颜色可选，D 有3种颜色可选，若CA 同色，E 有4种颜色可选；若CB 同色，E 有4种颜色可选；若C 与A 、B 都不同色，则C 有2种颜色可选，此时E 有4种颜色可选，故共有()5434424960⨯⨯⨯++⨯=种．法二：当使用5种颜色时，有55120A =种涂色方法；当使用4种颜色时，必有两块区域同色，可以是AC ，BC ，AE ，BE ，CE ，共有455600A =种涂色方法；当使用3种颜色时，只能是AC 同色且BE 同色，AE 同色且BC 同色，ACE 同色，BCE 同色，共有354240A =种涂色方法，∴共有120600240960++=种涂色方法.故选：D.例6．如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（ ）.A．40320种B．5040种C．20160种D．2520种【解析】先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有177C=种方法，再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，共有66A种方法，由于图形是轴对称图形，所以上述方法正好重复一次，所以不同的涂色方法，共有66725202A⨯=种不同的涂法.故选：D.例7．如图所示，将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（）A．240 B．360 C．420 D．960【解析】⨯⨯=种染色方法.由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有54360设5种颜色为1，2，3，4，5，当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法，若C染5，则D可染3或4，有2种染法.⨯=（种）.可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有607420故选：C⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相例8．如图所示，将3333邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为( )A．33 B．56 C．64 D．78【解析】记分隔边的条数为L，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即56L =，其次证明：56L ≥，将将方格的行从上至下依次记为1233,,,A A A ，列从左至右依次记为1233,,B B B ，行i A 中方格出现的颜色数记为()i n A ，列i B 中方格出现的颜色个数记为()i n B ，三种颜色分别记为123,,c c c ，对于一种颜色j c ，设()j n c 为含有j c 色方格的行数与列数之和，定义当i A 行含有j c 色方格时，(),1i j A c δ=，否则(),0i j A c δ=，类似的定义(),i j B c δ，所以()()()()()()()3333331111,,i i i ji j j i i i j n A n B A c B c n c δδ====⎫+=+=⎪⎭∑∑∑∑， 由于染j c 色的格有21333633⨯=个，设含有j c 色方格的行有a 个，列有b 个，则j c 色的方格一定再这个a 行和b 列的交叉方格中，从而363ab ≥，所以()()3839(1,2,3)j j n c a b n c j =+≥≥>⇒≥=①，由于在行i A 中有()i n A 种颜色的方格，于是至少有()1i n A -条分隔边，类似的，在列i B 中有()i n B 种颜色的方格，于是至少有()1i n B -条分隔边， 则()()()()()()()3333113311166i i i ii i i L n A n B n A n B ===≥-+-=+-∑∑∑② ()3166j j n c ==-∑③下面分两种情形讨论，(1)有一行或一列所有方格同色，不妨设有一行均为1c 色，则方格的33列均含有1c 的方格，又1c 色的方格有363个,故至少有11行有1c 色方格，于是()1113344n c ≥+=④由①③④得()()()123664439396656L n c n c n c ≥++-≥++-=，(2)没有一行也没有一列的所有方格同色,则对任意133i ≤≤均有()()2,2i i n A n B ≥≥，从而，由式②知：()()()33166334666656i i i L n A n B =≥+-≥⨯-=>∑，综上，分隔边条数的最小值为56.故选：B.例9．如图给三棱柱ABC DEF -的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有_________________.【解析】首先先给顶点,,A B C 染色，有3424A =种方法，再给顶点D 染色，①若它和点B 染同一种颜色，点E 和点C 染相同颜色，点F 就有2种方法，若点E 和点C 染不同颜色，则点E 有2种方法，点F 也有1种方法，则,,DEF 的染色方法一共有2214+⨯=种方法，②若点D 和点B 染不同颜色，且与点C 颜色不同，则点D 有1种方法，点E 与点C 颜色不同，则点E 有1种方法，则点F 有1种方法，此时有1种方法；若最后E 与C 相同，则F 有2种方法，则共有2种方法；点D 与点C 颜色相同，则点D 有1种方法，则点E 有2种方法，则点F 有2种方法，共有224⨯=种方法，所以点D 和点B 染不同，颜色共有1247++=种方法，所以点,,D E F 的染色方法一共有4711+=种，所以共有2411264⨯=种方法.故答案为：264例10．现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有__________种不同着色方法【解析】先排I ，有5种方法；然后排II,IV ，最后排III ：①当II,IV 相同时，方法有44⨯种，故方法数有54480⨯⨯=种.②当II,IV 不同时，方法有433⨯⨯种，故方法数有5433180⨯⨯⨯=种.综上所述，不同的着色方法数有80180260+=种.故答案为：260例11．如图所示的五个区域中，中心区E 域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色．．．．．．．．．，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为______．【解析】分三种情况：（1）用四种颜色涂色，有4424A =种涂法；（2）用三种颜色涂色，有34248A =种涂法；（3）用两种颜色涂色，有2412A =种涂法；所以共有涂色方法24481284++=.故答案为：84例12．从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是________.【解析】从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色有4种选法.因为每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，分两类：一类是，前三个圆用3种颜色，有336A =种方法，后3个圆也有3种颜色，有11224C C =种方法，此时不同方法有6×4=24方法； 二类是，前3个圆2种颜色，后3个圆2种颜色，共有11326C C =方法.综上可知，所有的涂法共有()4246120⨯+=种方法.故答案为： 120例13．如图一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，则不同的种植方法有_________种【解析】先对E 部分种植，有4种不同的种植方法；再对A 部分种植，又3种不同的种植方法；对C 部分种植进行分类：①若与A 相同，D 有2种不同的种植方法，B 有2种不同的种植方法，共有432248⨯⨯⨯=（种）， ②若与A 不同，C 有2种不同的种植方法，D 有1种不同的种植方法，B 有1种不同的种植方法，⨯⨯⨯⨯=（种），共有4321124综上所述，共有72种种植方法．故答案为：72.例14．现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，不同的涂色方法有_______种．【解析】依题意，I、II、III区域有共同边颜色互不相同，按I、II、III、IV顺序着色，则区域I有5种着色方法，区域II有4种着色方法，区域III有3种着色方法，IV只与II、III相邻，因此区域IV有3种着色方法，根据分步乘法计数原理，不同的着色方法种数为⨯⨯⨯=.5433180故答案为：180例15．现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若恰有两个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有__________种(用数字作答).【解析】当涂红色两个相邻的小正方形在两端时是有12224A A =， 当涂红色两个相邻的小正方形在不在两端时是有122A =，则不同的涂法种数共有426+=种．故答案为：6．例16．四色猜想是近代数学难题之一，四色猜想的内容是：“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”，如图，一张地图被分成了五个区域，每个区域只使用一种颜色，现有4种颜色可供选择（四种颜色不一定用完），则满足四色猜想的不同涂色种数为__________【解析】设五个区域分别为,,,,A B C D E ，依题意由公共边的两个区域颜色不同，用四种颜色进行涂色则有两个区域颜色相同，可以是A 与C ，A 与E ，B 与E 同色，有涂色方法44372A =；或用三种颜色涂色，则有2组颜色同色，为A 与C 同色，B 与E 同色，有涂色方法3424A =，根据分类加法原理，共有涂色方法722496+=.故答案为：96.例17．如图，将标号为1，2，3，4，5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域(有公共边)的颜色不同，则不同的染色方法有______种.【解析】对于1，有三种颜色可以安排；若2和3颜色相同，有两种安排方法，4有两种安排，5有一种安排，此时共有322112⨯⨯⨯=；若2和3颜色不同，则2有两种，3有一种.当5和2相同时，4有两种；当5和2不同，则4有一种，此时共有()322118⨯⨯+=⎡⎤⎣⎦，综上可知，共有121830+=种染色方法.故答案为：30.例18．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______种.（用数字作答）【解析】由题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花，若2、5同色，则3、6同色或4、6同色，所以共有44248A =种栽种方法；若2、4同色，则3、6同色，所以共有4424A =种栽种方法；若3、5同色，则2、4同色或4、6同色，所以共有44248A =种栽种方法；所以共有482448120++=种栽种方法.故答案为：120例19．给图中A ，B ，C ，D ，E ，F 六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有___种不同的染色方案.【解析】解：要完成给图中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，即AF同色，BD同色，CE同色，则从四种颜色中取三种颜色有344C=种取法，三种颜色染三个区域有3 36A=种染法，共4624⨯=种染法；第二类是用四种颜色染色，即AF，BD，CE中有一组不同色，则有3种方案(AF不同色或BD不同色或CE不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有2412A=种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有312272⨯⨯=种染法．∴由分类加法原理得总的染色种数为247296+=种．故答案为：96．20．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有种.（用数字作答）例21．给如图染色，满足条件每个小方格染一种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用4种颜色染色的方案有__种，用5种颜色染色的方案共有__种.【解析】（1）根据题意，若用4种颜色染色时，先对A 、B 区域染色有1143C C 种，再对C 染色： ①当C 同B 时，有1122C C 种；②当C 同A 时，有111322C C C +种；③当C 不同A 、B 时，有111232()C C C +种； 综合①②③共有11111111114322322232[()]252C C C C C C C C C C ++++=种； （2）根据题意，若用5种颜色染色时，先对A 、B 区域染色有1154C C 种，再对C 染色：①当C 同B 时，有1133C C 种；②当C 同A 时，有111433C C C +种；③当C 不同A 、B 时，有11113423()C C C C +种；综合①②③，共有1111111111154334333423[()]1040C C C C C C C C C C C ++++=种. 故答案为：252；1040.例22．如图，用四种不同的颜色给三棱柱ABC A B C '''-的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有________种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．【解析】（1）由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有3344576A A =；（2）若B '，A '，A ，C 用四种颜色，则有4424A =； 若B '，A '，A ，C 用三种颜色，则有33442222192A A ⨯⨯+⨯⨯=；若B '，A '，A ，C 用两种颜色，则有242248A ⨯⨯=.所以共有2419248++=264种．故答案为：①576；②264.。

小学奥数练习卷（知识点：染色问题）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共5小题）1．连接正方形ABCD的对角线，并将四个顶点分别染成红色或黄色，将顶点颜色全相同的三角形称为同色三角形，则图中有同色三角形的染色方法共有（）A．12B．17C．22D．102．由210块小正方体构成5×6×7的长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面涂红的小正方体有（）块，两面涂红的小正方体有（）块．A．92，48B．94，48C．90，50D．94，463．一个由边长为1的小正方形组成的n×n的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩形的4个角上的小正方形不全同色，那么正整数n的最大值是（）A．3B．4C．5D．64．如图，一块草地被开垦出11块正六边形耕地，菲菲在这些耕地内种植向日葵、豌豆射手、闪电芦苇、冰冻西瓜4种植物，如果相邻的耕地种植的植物不能相同，她有（）种不同的种植办法．（相邻耕地是指有公共边，每块耕地内只能种植一种植物）A．6912B．6144C．4608D．42245．将一个大三角形分割成36 个小三角形，并且将其中一部分小三角形涂成红色，另一部分涂成蓝色，并且使得两个有公共边的三角形的颜色不同，如果红色的三角形比蓝色的多，那么多（）个．A．1B．4C．6D．7第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共37小题）6．把一个正方体的表面积全涂成黑色，然后切成27个小正方体（如图），那么两面是黑色的小正方体共有个．7．将图中的圆圈染色，要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色，则最少需要种颜色．8．一个长方体的棱长都是整数，表面涂上色后，切成棱长为1的正方体，若没有颜色的小正方体共有12个，则一面有色的正方体最少有个．9．将图中的圆圈染色，要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色，则最少需要种颜色．10．一个宝库有9个藏宝室，成九宫格状排列，但只有一个进口和一个出口分别开在如图所示的藏宝室，每个藏宝室至多只能进去一次，相邻的藏宝室之间都有门相通，每个藏宝室中的宝贝价值已标在图中，大盗买通守护，夜间进入宝库，他能带走的宝物价值最多是．11．如图是一个由26个相同的小正方体堆成的几何体，它的底层由5×4个小正方体构成，如果把它的外表面（包括底面）全部涂成红色，那么当这个几何体被拆开后，有3个面是红色的小正方体有块．12．如图所示，用64个棱长为1的小立方体组成一个棱长为4的大立方体，再从上到下取走4个小立方体（图中阴影部分）．将剩余立体图形的内外表面都染成红色，那么恰有两个面染色的小立方体共有个．13．一个5×5的方格由25个1×1的小方格组成，每个小方格都被分成四个相同的等腰直角三角形，其中三个被涂成了黑色（如图a所示）．小正方形的边如果位于黑色部分，就称为黑边，反之就是白边．在5×5的方格内，相邻（有公共边）小方格的公共边必须是同色的，那么5×5方格的四条长边（如图b 所示）上最少有条黑边．14．将一个8×8×8的立方体的三个面染红色，三个面染蓝色（要求任意三个有公共顶点的面不能全都染同一种颜色），然后将其切割成512个1×1×1的小立方体．这512个小立方体中，有个小立方体上既有红色面又有蓝色面．15．如图，5×5的方格中有三个小方格已经染黑．现在要将一个1×3的白长方形（不能选已经染黑的方格）染黑，要求其不能与已经染黑的方格产生公共边或者公共点．有种选法．16．这是一个由72个相同小四边形组成的图形，有一些四边形被病毒感染变成黑色．当某个健康的小四边形（白色），其周围至少有两个相邻的小四边形被感染时，则该四边形也将被感染变黑，依次扩散开来．那么至少再增加个病毒源（即黑色小四边形），可以使整个大图形都被感染．（相邻是指两个小四边形有公共边）．17．将一个4×4×4的立方体切割成64个1×1×1的小立方体，然后将其中16个1×1×1的小立方体染成红色，要求与任意一条棱平行的4个小立方体中，都正好有1个小正方体被染成红色，不同的染色方法有种（旋转后相同的染色方法也视为不同的染色方法）．18．小明想要对图中的每个小三角形进行染色，要求任意一个三角形的三边都是一条染红色、一条染绿色、一条染蓝色．图中给出了某些边的颜色，则AB边应该染色．19．如图是一个被挖空的长方体，每个洞都是贯穿的，如果把它丢进染缸里，4个面染色的小正方体比3个面染色的小正方体多个．20．如图，一个长方形的表格有8列，将数字1，2，…按一定顺序填入表格中（从左往右填，等一行填满后进入下一行，还是从左往右填），一个学生先将填有数字1的格子涂黑，接下来跳过1个格子，将填有数字3的格子涂黑；接下来跳过2个格子，将填有数字6的格子涂黑；接下来跳过3个格子，将填有数字10的格子涂黑．依此类推，直到所有列都含有至少一个黑格为止（不再继续涂黑了）．那么，他涂黑的最后一个格子里的数字为．21．将1，2，3，4，5填入如图表格中（表中的字母和数字用来标注行、列或者小方格，比如D3就表示D行3列那个白色小方格），要求每行每列上的五个数互不相同，接下来给出一些提示：（1）第4列的黑色小方格内的数之和为9；（2）第C行的黑色小方格内的数之和为7；（3）第2列的白色小方格内的数之和为8；（4）第B行的黑色小方格内的数之和小于第D行的黑色小方格内的数之和．则D4中填的数字为．22．图中的网格是由6个相同的小正方形构成，将其中4个小正方形涂上灰色，要求每行每列都有涂色的小正方形，经旋转后两种涂色的网格相同，则视为相同的涂法，那么有种不同的涂色方法．23．如图所示的多面体叫做正二十面体，是5个柏拉图立体（正多面体）中的一个，这个多面体由20个面（正三角形）围成，现将这20个面着色，要求有共同棱的两个面染有不同的颜色，则至少需要种颜色．24．由一些顶点和边构成的图形称为一个图，对一个图用不同颜色给顶点染色，要求具有相同边的两个顶点染不同的颜色．称为图的点染色，图的点染色通常要研究的问题是完成染色所需要的最少的颜色数，这个数称为图的色数．如图的图称为皮特森图，皮特森图的色数为．25．一块长、宽、高分别为15cm、12cm、9cm的长方体木块表面涂上红色后，将它切成大小相等的正方体且没有废料，至少可以切块，其中六个面都没有涂上红色的正方体有块．26．把一个棱长为n的大正方体表面涂上红色，然后切成n3个棱长为1的小正方体，经统计，恰好有一面涂红色的小正方体数量刚好是有三面涂红色的小正方体的12倍，那么n=．27．七个正方形拼成如图，我们要对其中的若干个正方形进行涂色，要求：（1）至少涂其中的两个正方形；（2）相邻正方形不能同时被涂色（有公共边或者公共顶点的正方形称为相邻正方形）．那么，有种不同的涂色方法．28．我们有27个1×1×1的小立方体，将其拼成一个3×3×3的大立方体，其中的一些小立方体的某些面被涂成了灰色，最后拼成的大立方体如图所示，那么，六个面都是白色的小立方体最多有个．29．图2的8×8表格中共含有168个如图1的“T”形．现对图2中的每个小方格染成黑色或白色；如果一个“T”形中黑白小方格各2个，则称这个“T”形为“和谐”的；那么对图2的各种染色方案，“和谐”的“T”形至多有个．30．将图中的边染色，要求有共同顶点的两个相邻的边染不同的颜色，则至少需要中颜色．31．四个黑色1×1×1的正方体和四个白色1×1×1的正方体可以组成种不同的2×2×2的正方体（经过旋转得到相同的正方体视为同一种惰况）．32．一个大正方形表面涂上红色后，按如图方式切成27个小正方形，这些小正方形中，恰好有三个面涂有红色的有个．33．将图中的圆圈染色，要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色，则至少需要种颜色．34．有9个表面涂有红漆的正方体，它们的棱长分别是2，3，4，…，9，10．将这些正方体都锯成棱长是1 的小正方体，在得到的小正方体中，至少有一个面是红色的有个．35．用1024个棱长是1的小正方体组成体积是1024的一个长方体．将这个长方体的六个面都涂上颜色，则六个面都没有涂色的小正方体最多有个．36．如图是64个小正方体组成的大正方体，把它的表面全部涂上绿色，请回答：三面涂上绿色的小正方体有个．没有涂上绿色的小正方体有个．两面涂上绿色的小正方体有个．37．将图中的圆圈染色．要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色，则最少需要种颜色．38．36个相同的小正方体叠成如图所示的长方体，取走A、B、C三个小正方体后，在这个几何体的整个表面涂满红漆，其中有个正方体是三面有漆的．39．x是一个正整数，将x×4×5的长方体的表面涂满红色后，锯成棱长全部是1的小正方体．这些正方体中，至少有一面是红色的小正方体有110个．那么，x=．40．由四个完全相同的正方体堆积成如图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至少是个．41．把一个大长方体表面涂满红色后，分割成若干个同样大小的长方体，其中只有两个面涂上红色的小长方体恰好是12块，那么可以把这个大长方体分割成个小长方体．A.20个B.27个C.32个D.42个．42．如图是一个变形的红十字一共分为六块区域．现在要用n种颜色对其染色，要求相邻的两块区域（有公共边的两块区域称为相邻）染成不同的颜色．如果颜色能反复使用，那么一共有种不同的染色方法（用n表示）．三．解答题（共8小题）43．将图中的O分别涂成红色、黄色或绿色，要求有线段相连的两个相邻O涂不同的颜色，共有多少种不同的涂法？44．7×7的方格黑白染色，如果黑格比白格少的列的个数为m，黑格比白格多的行的个数为n，求m+n的最大值．45．如图是一个等边三角形，等分为4个小的等边三角形，用红和黄两种颜色涂染它们的顶点，要求每个顶点必须涂色，且只能涂一种颜色．涂完后，如果经过旋转，等边三角形的涂色相同，则认为是相同的涂色，则共有多少种不同的涂法？46．三阶魔方的国际标准配色：白顶黄底，绿前蓝后，橙左红右．现在规定：白色═1，黄色═2，绿色═3，蓝色═4，橙色═5，红色═6．一个复原状态三阶魔方放在桌面上（如图1所示），今天这个魔方按照动态图片的方式打乱，最终变成图2的形态．此时图片中可以看到7个角块，那么看不到的那一个角块儿中与桌面完全接触的颜色代码是．47．用红、绿、蓝三种颜色涂正八面体（如图）的八个面，要求相邻面涂不同的颜色（有一条公共棱的面称为相邻面），一共有多少种不同的涂色方法？（旋转后相同的视为同一种涂色方法）48．下面是一张把4×6的方格纸去掉两个角所得的图形．（1）请把其中的一些格子涂上阴影，使得每个1×2小长方形（不论横竖）的2个方格中都恰有1个阴影方格和1个空白方格；（2）能否用11个1×2小长方形恰好拼满这张方格纸？如果能，请给出一种方法；如果不能，请说明理由．49．将每个最简分数（其中m，n 互质的非零自然数）染成红色或蓝色，染色规则如下：（1）将1染成红色；（2）相差为1的两个数颜色不同，（3）不为1的数与其倒数颜色不同．问：和分别染成什么颜色？50．在给你的卡纸上画有分别由1、2、3、4、5、6、7、8个小正三角形组成的8块拼板，并涂上黑、白两种颜色．（1）请你把这8块拼板剪下并拼成图1所示大的正三角形，且小三角形间的黑、白两种颜色必须相间．请在图1中用粗线条直接画出拼法，并标上每块拼板的标号．（2）图1的三角形金字塔我们称其为边长为6的金字塔（计每个小正三角形的边长为1）．图1金字塔中有个如图2所示的菱形．（注意，只要和图2中的形状一样即可，可旋转．）（3）是否存在整数n，使得边长为n的金字塔中菱形的个数为2012202201220132如果存在，请求出n；如果不存在，请证明．参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．连接正方形ABCD的对角线，并将四个顶点分别染成红色或黄色，将顶点颜色全相同的三角形称为同色三角形，则图中有同色三角形的染色方法共有（）A．12B．17C．22D．10【分析】本题考察染色问题．【解答】解：全部为红色或全部为黄色，2种；三红一黄或者三黄一红，4×2=8种，所以有同色三角形的染色方法有2+8=10（种），故选：D．【点评】本题只需简单分类进行枚举即可．2．由210块小正方体构成5×6×7的长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面涂红的小正方体有（）块，两面涂红的小正方体有（）块．A．92，48B．94，48C．90，50D．94，46【分析】根据立体图形切拼可知：三个面均为红色的是各顶点处的小正方体，在各棱处，除去顶点处的正方体的有两面红色，在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色，所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体．根据上面的结论，即可求得答案．【解答】解：一面涂红的小正方体在每个面的中间，有：5﹣2=3（块），6﹣2=4（块），7﹣2=5（块）（3×4+3×5+4×5）×2=47×2=94（块）两面涂红的小正方体在12条棱的中间部分（除去顶点），有：（3+4+5）×4=12×4=48（块）答：其中一面涂红的小正方体有94块，两面涂红的小正方体有48块．故选：B．【点评】关键是理解正方体表面涂色的特点，知道切割后的小正方体涂色面的排列特点．注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用．3．一个由边长为1的小正方形组成的n×n的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩形的4个角上的小正方形不全同色，那么正整数n的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【分析】此题要充分利用抽屉原理和假设推理．根据题目所给的选项不妨选一个中间的数5为假设n的值，进行一步步地推理，进而推出与题目要求矛盾．从而得出n的取值范围，即得出答案．【解答】解：①假设n=5，（由抽屉原理知）第一行中至少有3个格子颜色相同．不妨设前3格为黑色（如图1）．在这3个黑格下方可以分割为4个横着的3×1的长方形，若其中有一个中有2个黑格（如图2），则存在着图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是黑格；所以这4个横着的3×1的长方形中，每个至多1个黑格．②假设这4个横着的3×1的长方形中，有两个对应格子颜色都一样（如图3），则一样存在图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是白格；而3×1的长方形中至多1个黑格的只有如图4的这4种．如果这4种都存在的话如图5，则同样存在图中粗线长方形4个角上的小正方形都是白格；这均与题目要求的矛盾．所以，n＜5，正整数n的最大值是4．而图6给出了n=4的一种构造．故选：B．【点评】对于选择题（特别是类似本题的），我们可以用题目选项所给答案进行推理，而选项正确的答案．4．如图，一块草地被开垦出11块正六边形耕地，菲菲在这些耕地内种植向日葵、豌豆射手、闪电芦苇、冰冻西瓜4种植物，如果相邻的耕地种植的植物不能相同，她有（）种不同的种植办法．（相邻耕地是指有公共边，每块耕地内只能种植一种植物）A．6912B．6144C．4608D．4224【分析】由题意，菲菲在这些耕地内种植向日葵、豌豆射手、闪电芦苇、冰冻西瓜4种植物，相邻的耕地种植的植物不能相同，如图所示，发现阴影六边形一圈是关键，中间选好种后，求出中间一圈3×25×[3×24﹣（3×23﹣3×2×1）]=66，即可得出结论．【解答】解：如图所示发现阴影六边形一圈是关键，中间选好种后，周围一圈3种植物，3×25﹣（A、F同色，相当于5个围一圈），5个围一圈=3×24﹣（4个围一圈），4个围一圈=3×23﹣（3个围一圈），3个围一圈=3×2×1=6，中间一圈3×25×[3×24﹣（3×23﹣3×2×1）]=66，所以总共有4×66×24=4224（种）故选：D．【点评】本题考查染色问题．分情况讨论，发现阴影六边形一圈是关键．5．将一个大三角形分割成36 个小三角形，并且将其中一部分小三角形涂成红色，另一部分涂成蓝色，并且使得两个有公共边的三角形的颜色不同，如果红色的三角形比蓝色的多，那么多（）个．A．1B．4C．6D．7【分析】按题目要求来涂色的话，只有1 种涂法：红色比蓝色多：（1+2+3+4+5+6）﹣（1+2+3+4+5）=6个．【解答】解：根据分析，按题目要求来涂色的话，只有1 种涂法，如图：红色比蓝色多：（1+2+3+4+5+6）﹣（1+2+3+4+5）=6个．故选：C．【点评】本题考查染色问题，突破点是：逆向思维，推出按题意要求来染色只有一种符合条件，从而得出红色比蓝色的个数．二．填空题（共37小题）6．把一个正方体的表面积全涂成黑色，然后切成27个小正方体（如图），那么两面是黑色的小正方体共有12个．【分析】根据正方体表面涂色的特点，分别得出切割后的小正方体涂色面的排列特点：（1）三面涂色的在每个顶点处；（2）两面涂色的在每条棱长上（除去顶点处的小正方体）；（3）一面涂色的都在每个面上（除去棱长上的小正方体）；（4）没有涂色的都在内部．【解答】解：两面涂色的在每条棱长上（除去顶点处的小正方体），有：（3﹣2）×12=12（个）故答案为：12．【点评】解决此类问题的关键是抓住：三面涂色的在顶点处；两面涂色的在每条棱长的中间上；一面涂色的在每个面的中心上；没有涂色的在内部．7．将图中的圆圈染色，要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色，则最少需要4种颜色．【分析】要保证使用的颜色最少，则两个相邻的圆圈的颜色要尽可能多的相同，尝试2种颜色和3种颜色都不行，需要4种颜色，据此解答即可．【解答】解：尝试2种颜色和3种颜色都不行，需要4种颜色，如下图：【点评】本题考查染色问题．8．一个长方体的棱长都是整数，表面涂上色后，切成棱长为1的正方体，若没有颜色的小正方体共有12个，则一面有色的正方体最少有32个．【分析】设把表面涂色的小正方形去了，得到的长方体的长、宽、高分别为a、b、c，由题意abc=12，分有四种情形求解即可．【解答】解：设把表面涂色的小正方形去了，得到的长方体的长、宽、高分别为a、b、c，由题意abc=12，有四种情形：①1×1×12时，一面有色的正方体有2（1×1+1×12+1×12）=50个，②1×2×6时，一面有色的正方体有2（1×2+1×6+2×6）=40个，③1×3×4时，一面有色的正方体有2（1×3+1×4+3×4）=38个，④2×2×3时，一面有色的正方体有2×（2×2+2×3+2×3）=32个，综上所述，一面有色的正方体最少有32个．故答案为32．【点评】本题考查染色问题，记住长方体（a×b×c）的染色规律：①3面染色的有8个（与长方体的顶点有关）；②2面染色的有4[（a﹣2）+（b﹣2）+（c ﹣2）]个（与长方体的棱长有关）；③1面染色的有2[（a﹣2）（b﹣2）+（a ﹣2）（c﹣2）+（b﹣2）（c﹣2）]个（与长方体的表面积有关）；④0面染色的有（a﹣2）（b﹣2）（c﹣2）个（与长方体的体积有关）；9．将图中的圆圈染色，要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色，则最少需要2种颜色．【分析】可以用不同的字母或数字表示不同的颜色，在图中进行标示，本题要求是有线段相连的两个圆圈颜色不同．【解答】解：用字母A、B、C…表示不同的颜色，先在左上角的圆圈填入A，为了使用的颜色种类尽量少，下一步在与它相连的三个圆圈都填入B，最后得到下面的涂色方法：共使用了2种颜色．故本题答案为：2．【点评】简单涂色类题目可以用标字母的方法，方便分析和解答．10．一个宝库有9个藏宝室，成九宫格状排列，但只有一个进口和一个出口分别开在如图所示的藏宝室，每个藏宝室至多只能进去一次，相邻的藏宝室之间都有门相通，每个藏宝室中的宝贝价值已标在图中，大盗买通守护，夜间进入宝库，他能带走的宝物价值最多是39．【分析】本题首先能想到根据染色问题进行分析，可将房间黑白相间染色，根据进口和出口所染颜色不同可知大盗应该经过了偶数个房间，因此最多经过8个房间，据此解答．【解答】解：借助染色解题，给3×3的方格黑白相同染色（如图），进口为黑格，若全部走完9个方格，出口应为黑格，而图中出口为白格，故至少有一个黑格不能走到，标数最小的（进口除外）应为6，即标6的房间无法进入，所以大盗能带走的宝物最多是45﹣6=39．故答案为：39．【点评】本题的突破口在于能用染色的方法进行解题，难度较大．11．如图是一个由26个相同的小正方体堆成的几何体，它的底层由5×4个小正方体构成，如果把它的外表面（包括底面）全部涂成红色，那么当这个几何体被拆开后，有3个面是红色的小正方体有14块．【分析】首先分析染色的方法，3个面的红色的上层的角块和下层的边块是符合条件的．【解答】解：依题意可知：第一层的共有4个角满足条件．第二层的4个角是4面红色，去掉所有的角块其余的符合条件．分别是3+2+3+2=10（个）；共10+4=14（个）；故答案为：14【点评】本题考查对染色问题的理解和运用，关键是底面边长不同计算时要分开计算．同时注意底面是涂色的，问题解决．12．如图所示，用64个棱长为1的小立方体组成一个棱长为4的大立方体，再从上到下取走4个小立方体（图中阴影部分）．将剩余立体图形的内外表面都染成红色，那么恰有两个面染色的小立方体共有28个．【分析】首先分析棱上的小块，面上的除了空心通道以外其他是没有的，空心通道的数字计算出来相加即可．【解答】解：依题意可知：在大正方体的棱上的，上下各有6个，侧面棱上8个，棱上共20个．空心通道产生的上下各有2个，通道内有4个共8个．共20+8=28（个）．故答案为：28．【点评】本题考查对染色问题的理解和运用，关键问题是从棱上分析再分析空心通道即可，问题解决．13．一个5×5的方格由25个1×1的小方格组成，每个小方格都被分成四个相同的等腰直角三角形，其中三个被涂成了黑色（如图a所示）．小正方形的边如果位于黑色部分，就称为黑边，反之就是白边．在5×5的方格内，相邻（有公共边）小方格的公共边必须是同色的，那么5×5方格的四条长边（如图b 所示）上最少有5条黑边．【分析】由题意，角上的小方格每个有2条边在外面，故其中至少有1条是黑边，这样5×5方格的四条长边上，黑边不少于1×4=4条．再判断内部的黑边的条数为偶数，则四条长边上的黑边的条数为奇数，所以5×5方格的四条长边上，黑边不少于5条．【解答】解：由题意，角上的小方格每个有2条边在外面，故其中至少有1条是黑边，这样5×5方格的四条长边上，黑边不少于1×4=4条．每个小方格有3条黑边，5×5=25个小方格一共有3×25=75条黑边，而在5×5方格内，相邻（有公共边）小方格的公共边必须是同色的，故内部的黑边的条数为偶数，则四条长边上的黑边的条数为奇数，所以5×5方格的四条长边上，黑边不少于5条，如图所示为5×5方格的四条长边上有5条黑边的例子，综上所述，5×5方格的四条长边（如图b所示）上最少有5条黑边．故答案为5．。

染色问题（一）染色问题是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案。

因此，这里的染色问题指的是一种解题方法。

这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会集中典型的染色方法。

根据具体题目的研究对象，染色方法大致可以分为对点染色、对线段染色、对方格染色和对区域染色。

对方格染色常用的是黑白方格相间染色，也叫自然染色。

例1如右图，在5×5方格的A格中有一只爬虫，它每次总是朝上下左右方向爬到相邻的方格中。

那么他能否不重复的爬满每个方格再回A到A格中？解：有小虫的爬法，可黑白相间对方格自然染色，于是小虫只能由黑格爬到白格或白格爬到黑格。

所以它由A出发回到A，即黑格爬到黑格，必须经过偶数步。

而小方格为5×5=25个，每格爬过一次，就应该为25步，不是偶数。

于是这只爬虫不可能不重复地爬遍每格再回到A格。

例2 有一次车展有6×6=36个展室，如图。

每格展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示。

参观者能否从入口进去，不重复地参观完每格展室在从出口出来？解：如图，对每个展室黑白相间染色，同样每次只能冲黑格到白格或者从白格到黑格。

入口和出口都是白格，故线路黑白相间，首位都是白格，于是应该白格比合格多1个，而实际上白格、黑格都是18个，故不能做到不重复走遍每个展室。

例3 右图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两间房间都有门相通。

请问，你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗？解：如图所示，将房间黑白相间染色，发现只有5个黑格、7个白格。

因为每次只能从黑到白或者白到黑，路线必然是黑白相间，显然应该从多的白格开始。

但路线上1白1黑......直至5白5黑后还多余2白格，不可能从白到黑。

故无法实现不重复地走遍每个房间。

小结：染色问题的解题技巧主要在于染色具体方案的构造，其基本原则是使题目条件出现一定的规律，以利于解题。

染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关 8个顶点。

两面染色和棱长有关。

即新棱长（棱长-2）×12一面染色和表面积有关。

同样用新棱长计算表面积公式（棱长-2）×（棱长-2）*6 0面染色和体积有关。

用新棱长计算体积公式（棱长-2）×（棱长-2）×（棱长-2）长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算。

六年级染色问题：难度：高难度下图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？分析：将40个小正方形剪裁成20个相同的长方形，就是将图形分割成 20个1×2的小长方形，将图形黑白相间染色后，发现有21黑， 19白，黑、白格数目不等，而1×2的小长方形覆盖的总是黑白格各一个，所以不可能做到。

六年级染色问题习题难度：中难度下图是学校素质教育成果展览会的展室，每两个相邻的展室之间都有门相通。

有一个人打算从A室开始依次而入，不重复地看过各室展览之后，仍回到A 室，问他的目的能否达到，为什么？分析：采用染色法。

如右下图，共有9 个展览室，对这9个展览室，黑白相间地进行染色，从白室A出发走过第1 扇门必至黑室，再由黑室走过第2 扇门至白室，由于不重复地走遍每一间展览室，因此将走过黑白相间的8个展览室，再回到白室A ，共走过9扇门。

由于走过奇数次门至黑室，走过偶数次门至白室。

现在，走过9扇门，必至黑室，所以无法回到原来的白室A 。

六年级染色问题：难度：中难下图是由14个大小相同的方格组成的图形。

试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形分析：将这14个小方格黑白相间染色（见下图），有 8个黑格， 6个白格。

相邻两个方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7个小长方形，那么14个格应当是黑、白各7个，与实际情况不符，所以不能剪裁成 7个由相邻两个方格组成的长方形。

染色问题练习题及答案。