八年级同步第8讲：一元二次方程求根公式及综合

一元二次方程是形如ax²+bx+c=0的一元二次方程式，求解这种方程的根一直是数学学习中的重点和难点。

幸运的是，数学家们在几个世纪前就已经找到了一元二次方程的求根公式，这个公式被广泛地应用于解决各种实际问题和数学推导中。

一元二次方程的求根公式，也称为根的判别式，是一种能够根据方程系数直接求出方程根的公式。

它的应用在实际生活中非常广泛，例如在物理学和工程学中，用于计算物体的运动轨迹或者建筑结构的稳定性。

而在数学研究中，一元二次方程的求根公式更是作为代数方程的基石，为高阶方程的求解提供了重要的思路。

为了更好地理解一元二次方程的求根公式，我们首先来简单了解一下一元二次方程。

一元二次方程一般写作ax²+bx+c=0，其中a、b、c 分别为方程的系数。

那么，方程的根就是能够使得方程成立的未知数的值，也就是x的值。

而一元二次方程的求根公式就是用来求出这些根的具体数值。

这个公式可以分为求判别式和求根两个部分。

首先求判别式，通过计算Δ=b²-4ac来判断方程的根的情况。

如果Δ大于0，则方程有两个不相等的实根；如果Δ等于0，则方程有两个相等的实根；如果Δ小于0，则方程没有实根。

判别式不仅是用来判断方程根的情况，更重要的是它为我们之后的计算提供了信息。

接着是求根的部分，根据判别式的结果，我们可以直接套用求根公式来求出方程的根。

如果Δ大于0，方程的两个根分别为x1=(-b+√Δ)/2a和x2=(-b-√Δ)/2a；如果Δ等于0，方程的两个根为x1=x2=-b/2a；如果Δ小于0，方程没有实根，但可以求出两个虚根。

通过这样的求根过程，我们可以直观地得出方程的根，并且可以根据判别式的结果对根的情况有一个清晰的认识。

在日常生活和学习中，一元二次方程的求根公式为我们解决各种问题提供了便利。

无论是物理问题中的抛物线运动，还是工程问题中的结构稳定性，都可以通过一元二次方程的求根公式得到精确的解答。

在数学的学习中，理解和掌握一元二次方程的求根公式，不仅有助于我们进一步学习高阶方程和代数方程的解法，更能够帮助我们提高数学建模和分析问题的能力。

一元二次方程的求根公式是啥求根公式分为两个部分：计算判别式和计算根的表达式。

首先，计算判别式，判别式是Δ = b^2 - 4ac。

判别式Δ 可以帮助我们判断方程有多少个实根，根的类型以及相应的解。

如果Δ>0，方程有两个实根（不相等），公式为x=(-b±√Δ)/(2a)。

如果Δ=0，方程有一个实根（重根），公式为x=-b/(2a)。

如果Δ<0，方程没有实根，存在复数解，公式为x=(-b±i√，Δ，)/(2a)，其中i是虚数单位。

接下来，我们将详细解释三种情况的求根公式。

1.当Δ>0时，方程有两个实根（不相等），根的公式为x=(-b±√Δ)/(2a)。

在这种情况下，我们需要计算两个不同的实根。

例如，给定方程2x^2+5x-3=0，则有a=2，b=5，c=-3由判别式Δ = b^2 - 4ac = 5^2 - 4(2)(-3) = 49，显然Δ > 0。

根据一元二次方程的求根公式，我们计算两个实根：x1=(-5+√49)/(2*2)=(-5+7)/4=2/4=0.5x2=(-5-√49)/(2*2)=(-5-7)/4=-12/4=-3因此，方程2x^2+5x-3=0的两个实根分别为0.5和-32.当Δ=0时，方程有一个实根（重根），根的公式为x=-b/(2a)。

在这种情况下，方程只有一个解，解是重根。

例如，给定方程x^2+6x+9=0，则有a=1，b=6，c=9根据判别式Δ = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(9) = 0，显然Δ = 0。

根据一元二次方程的求根公式，我们计算重根：x=-6/(2*1)=-6/2=-3因此，方程x^2+6x+9=0的一个实根是-33.当Δ<0时，方程没有实根，存在复数解，根的公式为x=(-b±i√，Δ，)/(2a)。

在这种情况下，方程没有实数解，但可以使用复数单位i表示解。

例如，给定方程x^2+2x+5=0，则有a=1，b=2，c=5根据判别式Δ = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(5) = -16，显然Δ < 0。

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（基础）【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】知识点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆ （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0；（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0；（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0. 知识点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-；②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+；④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++；⑦2212121212||()()4x x x x x x x x -=-=+-；⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==； ⑨2212121212()()4x x x x x x x x -=±-=±+-； ⑩22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数； 当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数． ②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根a b +，则必有一根a b -（a ，b 为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1．（•丽水）下列一元二次方程没有实数根的是（ ） A ．x 2+2x +1=0B ．x 2+x +2=0C ．x 2﹣1=0D ．x 2﹣2x ﹣1=0【思路点拨】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断． 【答案】B ． 【解析】解：A 、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误； B 、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C 、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D 、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误； 故选：B ．【总结升华】本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根． 举一反三：【变式】不解方程，判别方程根的情况：2210x ax a -++= .【答案】无实根.2．（•本溪）关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0. 【答案】k ＜2且k≠1；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，∴k ﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0， 解得：k ＜2且k ≠1．故答案为：k ＜2且k≠1．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件. 举一反三：【变式】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m 2+10m+37=(m+5)2+12＞0，∴关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3．已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一个根及k 的值． 【思路点拨】根据方程解的意义，将x ＝2代入原方程，可求k 的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根． 【答案与解析】方法一：设方程另外一个根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得125k x +=-，1625x =-，从而解得：135x =-，k ＝-7． 方法二：将x ＝2代入方程，得5×22+2k -6＝0，从而k ＝-7．设另外一根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得1725x +=，从而135x =-， 故方程的另一根为35-，k 的值为-7．【总结升华】根据一元二次方程根与系数的关系12bx x a+=-，12cx x a=易得另一根及k 的值． 举一反三：【变式】已知方程220x x c -+=的一个根是3，求它的另一根及c 的值． 【答案】另一根为-1；c 的值为-3．4．（•咸宁）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0． （1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根； （2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【答案与解析】 解：（1）△=（m+2）2﹣8m =m 2﹣4m+4 =（m ﹣2）2，∵不论m 为何值时，（m ﹣2）2≥0， ∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解方程得，x=，x1=2m，x2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意义及正确求解适合条件的整数根．一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—巩固练习（基础）【巩固练习】一、选择题1. （•昆明）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．无实数根 D．无法确定2．一元二次方程20(0)ax bc c a ++=≠有两个不相等的实数根，则24b ac -满足的条件是（ ）A ．240b ac -=B ．240b ac ->C ．240b ac -<D ．240b ac -≥3．（•贵港）若关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+2=0有实数根，则整数a 的最大值为（ ）A ．﹣1B ．0 C.1 D.2 4．关于方程2230x x ++=的两根12,x x 的说法正确的是（ ）A. 122x x +=B.123x x +=-C. 122x x +=-D.无实数根 5．关于x 的一元二次方程x 2+4x+k=0有实数解，则k 的取值范围是（ ） A.k≥4 B.k≤4 C.k ＞4 D.k=46．一元二次方程22630x x -+=的两根为α、β，则2()αβ-的值为（ ）．A ．3B ．6C ．18D ．24二、填空题7．（•酒泉）关于x 的方程kx 2﹣4x ﹣=0有实数根，则k 的取值范围是 ． 8．（•遵义）已知x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根，则+= ．9．若方程的两根是x 1、x 2，则代数式的值是 。

主讲：黄冈中学高级教师一、一周知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识总结1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。

(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。

(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。

(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。

如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。

(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。

2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：① ②③ ④⑤ ⑥⑦分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。

专题08 一元二次方程一、解读考点二、考点归纳归纳 1：一元二次的有关概念基础知识归纳：1. 一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2. 一般形式:ax2+bx+c=0（其中a、b、c为常数，a≠0），其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数．3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．基本方法归纳：一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程；（2）必须只含有1个未知数；（3）所含未知数的最高次数是2．注意问题归纳：在一元二次方程的一般形式中要注意a ≠0.因为当a =0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．【例1】若x =﹣2是关于x 的一元二次方程225x ax a 02-+=的一个根，则a 的值为（ ）A . 1或4B . ﹣1或﹣4C . ﹣1或4D . 1或﹣4【答案】B ．考点：一元二次方程的解和解一元二次方程． 归纳 2：一元一次方程的解法 基础知识归纳： 一元二次方程的解法1、直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。

根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b <0时，方程没有实数根．2、配方法：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。

配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±．3、公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法． 一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x4、因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法．基本方法归纳：（1）若一元二次方程缺少常数项,且方程的右边为0,可考虑用因式分解法求解;（2）若一元二次方程缺少一次项,可考虑用因式分解法或直接开平方法求解;（3）若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时,可考虑用配方法求解; （4）若用以上三种方法都不容易求解时,可考虑用公式法求解．注意问题归纳：用公式法求解时必须化为一般形式；用配方法求解时必须两边同时加上一次项的系数一半的平方．【例2】用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．x x（其中b2﹣4ac≥0）．【答案】12【解析】试题分析：应用配方法解一元二次方程，要把左边配成完全平方式，右边化为常数．考点：解一元二次方程-配方法．归纳 3：一元二次方程的根的判别式基础知识归纳：一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）：（1）b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）b2－4ac＝0⇔方程有两个的实数根；（3）b2－4ac＜0⇔方程没有实数根．基本方法归纳：若只是判断方程解得情况则根据一元二次方程的根的判别式判断即可．注意问题归纳：一元二次方程的根的判别式应用时必须满足a≠0；一元二次方程有解分两种情况：1、有两个相等的实数根；2、有两个不相等的实数根．【例3】下列方程没有实数根的是（）A．x2＋4x＝10 B．3x2＋8x－3＝0C．x2－2x＋3＝0 D．（x－2）（x－3）＝12【答案】C．【解析】试题分析：A、方程变形为：x2+4x-10=0，△=42-4×1×（-10）=56＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意；B、△=82-4×3×（-3）=100＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意；C、△=（-2）2-4×1×3=-8＜0，所以方程没有实数根，故C选项符合题意；D、方程变形为：x2-5x-6=0，△=52-4×1×（-6）=49＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故D选项不符合题意．故选C．考点：根的判别式．归纳 4：根与系数的关系基础知识归纳：一元二次方程的根与系数的关系若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝ba，x1x2＝ca．基本方法归纳：一元二次方程问题中，出现方程的解得和与积时常运用根与系数的关系．注意问题归纳：运用根与系数的关系时需满足：1、方程有解；2、a≠0．【例4】若α、β是一元二次方程x2+2x-6=0的两根，则α2+β2=（）A. -8B. 32C. 16D. 40【答案】C．考点：根与系数的关系．归纳 5：一元二次方程的应用基础知识归纳：1、一元二次方程的应用1. 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验答五步．2. 列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：（1）增长率等量关系:A.增长率＝×100%；B.设a为原来量，m为平均增长率,n为增长次数，b为增长后的量，则a（1+m）n=b;当m为平均下降率，n 为下降次数，b为下降后的量时，则有a（1-m）n=b．（2）利润等量关系:A.利润＝售价-成本；B.利润率＝利润成本×100%．（3）面积问题3、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答．基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可．注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验．【例5】如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草。

一元二次方程公式法详细讲解好嘞，以下是为您带来的一元二次方程公式法的详细讲解：咱先来说说啥是一元二次方程。

就比如这个式子：ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0），这就是一元二次方程。

那为啥要研究它的解法呢？这就好比你在玩游戏，得知道规则才能通关，解一元二次方程就是我们在数学这个大游戏里的通关秘籍。

咱们今天的主角——公式法，那可是个厉害的角色！这个公式就是：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / （2a）。

可别被这一长串式子吓到，咱们慢慢拆解。

先来说说这个“b² - 4ac”，它有个响亮的名字叫判别式，记为Δ 。

要是Δ 大于 0 ，那方程就有两个不相等的实数根；要是Δ 等于 0 ，就有两个相等的实数根；要是Δ 小于0 ，方程就没有实数根，只有虚数根。

这判别式就像个裁判，决定着方程根的情况。

我记得有一次给学生讲这个的时候，有个学生特别迷糊，就问我：“老师，这判别式到底有啥用啊？”我就跟他打了个比方：“这判别式就像是你去果园摘果子，Δ 大于 0 就表示果子又大又多，能摘两个不一样的；Δ 等于 0 呢，就只有一个特别大的果子等着你；Δ 小于 0 ，那就是果园里没果子，白跑一趟。

”这学生一听，恍然大悟，笑得可开心了。

那咱们再来说说怎么用这个公式解题。

比如说有个方程：x² + 2x - 3 = 0 ，这里 a = 1，b = 2，c = -3 ，先算Δ = 2² - 4×1×(-3) = 16 ，因为 16大于 0 ，所以方程有两个不相等的实数根。

再把数字代入公式，x = [-2 ± √16] / （2×1），算出来 x₁ = 1，x₂ = -3 。

再举个例子，3x² - 6x + 3 = 0 ，这里 a = 3，b = -6，c = 3 ，Δ = (-6)²- 4×3×3 = 0 ，所以方程有两个相等的实数根，x = [-(-6) ± √0] / （2×3），算出来 x₁ = x₂ = 1 。

一元二次方程之求根公式形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法． 求根公式aacb b x 2422,1-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美．降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决．解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法． 【例题求解】【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有 个．【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（ ）A ． 一4B ．8C ．6D ．0【例3】 解关于x 的方程012)1(2=++--a ax x a ．【例4】 设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和．【例5】 已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x ad dc cb ba =+=+=+=+1111， 试求x 的值．注： 一元二次方程常见的变形形式有：(1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换； (2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次；(3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x ．解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222x x x==．巩固练习1．已知a 、b 是实数，且0262=-++b a ，那么关于x 的方程1)2(22-=++a x b x a 的根为 ．2．已知0232=--x x ，那么代数式11)1(23-+--x x x 的值是 ．3．若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为 ． 4．若两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，则( ) A ．b a = B ．0=+b a C ．1=+b a D ．1-=+b a5．当分式4312++-x x 有意义时，x 的取值范围是( )A ．1-<xB ．4>xC ．41<<-xD ．1-≠x 且4≠x 6．方程011)1(=+-++x x x x 的实根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7．解下列关于x 的方程：(1)03)12()2(2=-+-++m x m x m ；(2)012=--x x ； (3)x x x 26542-=-+．8．已知0222=--x x ，求代数式)1)(3()3)(3()1(2--+-++-x x x x x 的值．9．是否存在某个实数m ，使得方程022=++mx x 和022=++m x x 有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由． 注： 解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口．10．若0152=+-x x ，则1539222+++-x x x ＝ ． 11．已知m 、n 是有理数，方程02=++n mx x 有一个根是25-，则n m +的值为 ．12．已知a 是方程020002=--x x 的一个正根。

一元二次方程实数根的公式好吧，今天我们聊聊一元二次方程的实数根公式。

听起来有点复杂，其实没那么吓人。

想象一下，你走在街上，突然发现路边有一个小摊，老板在卖水果，琳琅满目，真是让人眼花缭乱。

可你心里明白，要选一个好吃的，得先看看价钱和品质。

这就像一元二次方程，咱们得找出它的实数根，才能决定它的“水果”好不好。

一元二次方程，简单来说，就是形如 ( ax^2 + bx + c = 0 ) 的方程。

你看，这里的( a )、( b )、( c ) 就像你挑的水果，有好有坏，有的甚至长得奇形怪状。

不过，别担心，只要用到一个神奇的公式，就能轻松搞定。

这个公式就是著名的“求根公式”——“x 等于负 b 加减根号下 b 平方减去四乘以 a 乘以 c 除以二乘以a”。

哎呀，这说起来绕口，不过意思其实就是，用这公式去找根，就像在水果摊里找自己想要的苹果，果然简单明了。

让我们细致一点。

得搞明白这个公式里的每个部分。

那个 ( b ) 是个什么角色呢？它就像摊主推荐的水果，可能会让你心动，也可能让你犹豫。

( b^2 4ac ) 这个东西，有点像那根神秘的“果汁”，它能决定你到底能不能吃到美味的水果。

若果汁充足，根就会生得肥美；若果汁稀少，根可能就会萎缩，甚至干脆没有。

你可能会问，这个 ( b^2 4ac ) 怎么算？简单！就像在家里做菜，先准备好食材，清洗干净，量好分量，煮的时候得掌握火候。

这里的 ( b^2 ) 就是你做菜时的主料，( 4ac ) 则是辅料。

两者结合，就得到了“果汁”。

如果这果汁为正，恭喜你，水果丰富多汁，根也是美滋滋的实数；如果为零，那就是一口咬下去，咔嚓一声，原来这水果只剩下了一个，真是有些可惜；若果汁为负，那果子就没戏了，连个影子都见不着，真的让人伤心。

算完公式后，得注意那些根的表现。

它们像个小调皮，总是藏在某个角落，等待你去发现。

比如说，你得好好检查负号和正号，搞清楚根的真面目。

两个根就像那对双胞胎，长得一模一样；却是两条不同的路，指向不同的未来。

一元二次的求根公式
嘿，朋友们！今天咱们来讲讲一元二次的求根公式呀！一元二次方程的求根公式就是：x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a) 。

比如说方程x² + 3x - 4 = 0，这里 a = 1，b = 3，c = -4，那咱们就可以套用公式算啦！根不就出来了嘛！
咱就说，这求根公式就像一把万能钥匙，能帮我们打开一元二次方程的神秘大门呐！再难的方程，只要套上这公式，嘿，就能找到答案，多神奇呀！你想想，要是没有这个公式，面对那些复杂的一元二次方程，我们得多头疼啊，简直像在迷雾中找不到方向一样。

就像你在黑夜里走路，没有手电筒那多迷茫呀，而这求根公式就是那个亮堂堂的手电筒呀，指引我们找到正确的路！所以说，一定要好好掌握这个公式哦，它可太重要啦！。

一元二次求根公式法一、一元二次方程的一般形式。

对于一元二次方程，其一般形式为ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中a是二次项系数，b 是一次项系数，c是常数项。

例如方程2x^2+3x - 1=0，这里a = 2，b=3，c=-1。

二、一元二次方程求根公式的推导。

1. 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，我们首先将方程进行配方。

- 方程两边同时除以a，得到x^2+(b)/(a)x+(c)/(a)=0。

- 移项，得x^2+(b)/(a)x =-(c)/(a)。

- 在等式两边加上一次项系数一半的平方，即((b)/(2a))^2，得到x^2+(b)/(a)x+((b)/(2a))^2=((b)/(2a))^2-(c)/(a)。

- 左边可以写成完全平方式(x +(b)/(2a))^2，则(x+(b)/(2a))^2=frac{b^2}{4a^2}-(c)/(a)。

- 通分右边frac{b^2}{4a^2}-(c)/(a)=frac{b^2-4ac}{4a^2}。

2. 然后求解x：- 对(x+(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}两边开平方，得到x+(b)/(2a)=±√((b^2)-4ac)/(4a^{2)}。

- 移项可得x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}，这就是一元二次方程的求根公式。

三、求根公式的使用步骤。

1. 确定方程中的a、b、c的值。

- 例如对于方程3x^2-5x + 1 = 0，这里a = 3，b=-5，c = 1。

2. 计算判别式Δ=b^2-4ac的值。

- 在方程3x^2-5x + 1 = 0中，Δ=(-5)^2-4×3×1 = 25 - 12 = 13。

- 判别式Δ的值可以用来判断方程根的情况：- 当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。

- 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根。

中考数学专题 08 一元二次方程及其应用（知识点总结+例题讲解）一、一元二次方程有关概念：1.一元二次方程定义：只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程；2.一般形式：ax2+bx+c=0；(其中 a、b、c 为常数，a≠0)（1）其中 ax2、bx、c 分别叫做二次项、一次项和常数项；（2）a、b 分别称为二次项系数和一次项系数；（3）二次项系数：a≠0；（当 a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程）3.一元二次方程必须具备三个条件：（1）必须是整式方程（等号两边都是整式）；（2）必须只含有 1 个未知数；（3）所含未知数的最高次数是 2；4.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解；一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

【例题1】（2020 秋•奉贤区期末）下列各方程中，一定是一元二次方程的是（）A．1 + 1 −2 = 0 B．ax2+bx+c＝0x2 xC．（x﹣2）2＝2（x﹣2）D．x2+2y＝3【答案】C【解析】利用一元二次方程定义进行解答即可．解：A、含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B、当 a＝0 时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C、是一元二次方程，故此选项符合题意；= D 、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；故选：C ．【变式练习 1】（2020 秋•丹阳市期末）关于 x 的方程（m+1）x 2+2mx ﹣3＝0 是一元二次方程，则（ ）A ．m≠±1B ．m ＝1C ．m≠1D ．m≠﹣1【答案】D【解析】根据一元二次方程定义可得 m+1≠0，再解可得答案． 解：由题意得：m+1≠0，解得：m≠﹣1；故选：D ．【例题 2】（2020 秋•郫都区期末）若 x ＝m 是方程 x 2+x ﹣1＝0 的根，则 m 2+m+2020 的值为（）A ．2022B ．2021C ．2019D ．2018【答案】B【解析】把 x ＝m 代入已知方程，可以求得 m 2+m ＝1，然后整体代入所求的代数式求值即可．解：∵x＝m 是方程 x 2+x ﹣1＝0 的根，∴m 2+m ﹣1＝0，∴m 2+m ＝1，∴m 2+m+2020＝1+2020＝2021．故选：B ．【变式练习 2】设 m 是方程 x 2﹣3x+1＝0 的一个实数根，则m 4+m 2+18 ． m 2【答案】8【解析】利用一元二次方程的解的意义得到 m 2﹣3m+1＝0，两边除以 m 得到 m + 1=3，m再把原式变形得到原式＝m 2+1+ 1m 2=（m + 1 ）2﹣2+1，然后利用整体代入的方法计算． m解：∵m 是方程 x 2﹣3x+1＝0 的一个实数根，∴m 2﹣3m+1＝0，∴m + 1 =3，∴原式＝m 2+1+ 1 ＝（m + 1）2﹣2+1＝9﹣2+1＝8．mm 2mq b 4ac ≥0 二、一元二次方程的解法：1.解一元二次方程的基本思想：转化思想，即把一元二次方程转化为一元一次方程来求解；2.常用方法：（1）直接开平方法：适用形式：x 2=p(p≥0)，(x+n)2=p 或(mx+n)2=p(p≥0)的方程；（2）配方法：套用公式 a 2+2ab+b 2=(a+b)2；a 2-2ab+b 2=(a-b)2将一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)配方为(x+m)2=n 的形式，再用直接开平方法求解； 配方法解一元二次方程的一般步骤是： ①将已知方程化为一般形式；②化二次项系数为 1；③常数项移到右边；④方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式； 变形为(x+p)2=q 的形式：如果 q≥0，方程的根是 x=-p± ；如果 q ＜0，方程无实根；（3）公式法：利用求根公式 x = -b ±∆ = 2 -)解一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a≠0)； 2a（4）因式分解法：将一元二次方程通过分解因式变为(x-a)(x-b)=0 的形式；进而得到 x-a=0 或 x-b=0 来求解； 3.方法选择技巧：（1）若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为 0，可考虑用因式分解法求解；（2）若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；（3）若一元二次方程的二次项系数为 1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；（4）若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解。

主讲：黄冈中学高级教师一、一周知识概述1、一元二次方程(de)求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方,当b2－4ac≥0时(de)根为．该式称为一元二次方程(de)求根公式,用求根公式解一元二次方程(de)方法称为求根公式法,简称公式法．说明：(1)一元二次方程(de)公式(de)推导过程,就是用配方法解一般形式(de)一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知,一元二次方程(de)根是由系数a、b、c(de)值决定(de)；(3)应用求根公式可解任何一个有解(de)一元二次方程,但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程(de)根(de)判别式（1）当b2－4ac＞0时,方程有两个不相等(de)实数根；（2）当b2－4ac=0时,方程有两个相等(de)实数根；（3）当b2－4ac＜0时,方程没有实数根．二、重难点知识1、对于一元二次方程(de)各种解法是重点,难点是对各种方法(de)选择,突破这一难点(de)关键是在对四种方法都会使用(de)基础上,熟悉各种方法(de)优缺点.(1) “开平方法”一般解形如“”类型(de)题目,如果用“公式法”就显得多余(de)了.(2)“因式分解法”是一种常用(de)方法,一般是首先考虑(de)方法.(3) “配方法”是一种非常重要(de)方法,一般不使用,但若能恰当地使用,往往能起到简化作用,思考于“因式分解法”之后,“公式法”之前.如方程；用因式分解,则6391这个数太大,不易分解；用公式法,也太繁；若配方,则方程化为,就易解,若一次项系数中有偶因数,一般也应考虑运用.(4)“公式法”是一般方法,只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项,若方程有实根,就一定可以用求根公式求出根,但因为要代入(≥0)求值,所以对某些特殊方程,解法又显得复杂了.2、在运用b2－4ac(de)符号判断方程(de)根(de)情况时,应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程(de)判别式,即只有确认方程为一元二次方程时,才能确定a、b、c,求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时,必须先将方程化为一般形式,以便确认a、b、c；（3）根(de)判别式是指b2－4ac,而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)；(2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程(de)关键是找出a、b、c(de)值,再代入公式计算,解：(1)因为a=1,,c=10所以所以(2)原方程可化为因为a=1,,c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1,,c=－1所以所以；所以．总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数,通常将其化为正数；如果方程(de)系数含有分母,通常先将其化为整数,求出(de)根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：① ②③ ④⑤ ⑥⑦分析：要合理地选用适当(de)方法解一元二次方程,就必须熟悉各种方法(de)优缺点,处理好特殊方法和一般方法(de)关系.就直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法这四种方法而言,配方法、公式法是一般方法,而开平方法、因式分解法是特殊方法.⑴ 公式法是最一般(de)方法,只要明确了二次项系数、一次项系数和常数项,若方程有实根,就一定可以用求根公式求出根,但因为要代入一元二次方程(de)求根公式求值,所以对某些方程,解法又显得复杂了.如①,可以直接开平方,就能马上得出解；若此时还用求根公式就显得繁琐了.⑵ 配方法是一种非常重要(de)方法,在解一元二次方程时,一般不使用,但并不是一定不用,若能合理地使用,也能起到简便(de)作用.若方程中(de)一次项系数有因数是偶数,则可使用,计算量也不大.如②,因为224比较大,分解时较繁,此题中一次项系数是-2.可以利用用配方法来解,经过配方之后得到,显得很简单.⑶ 直接开平方法一般解符合型(de)方程,如第①小题.⑷ 因式分解法是一种常用(de)方法,它(de)特点是解法简单,故它是解题中首先考虑(de)方法,若一元二次方程(de)一般式(de)左边不能分解为整数系数因式或系数较大难以分解时,应考虑变换方法.解：①两边开平方,得所以②配方,得所以所以③配方,得所以所以④因为所以 =4＋20=24所以所以⑤配方：所以所以⑥整理,得所以⑦移项,提公因式,得所以小结：以上各题请同学们用其他方法做一做,再比较各种方法(de)优缺点,体会如何选用合适(de)方法,下面给出常规思考方法,仅作参考.例3、已知关于x(de)方程ax2－3x＋1=0有实根,求a(de)取值范围.解：当a=0时,原方程有实根为若a≠0时,当原方程有两个实根.故,综上所述a(de)取值范围是.小结：此题要分方程ax2－3x＋1=0为一元一次方程和一元二次方程时讨论,即分当a=0与a≠0两种情况．例4、已知一元二次方程x2－4x＋k=0有两个不相等(de)实数根.(1)求k(de)取值范围；(2)如果k是符合条件(de)最大整数,且一元二次方程x2－4x＋k=0与x2＋mx－1=0有一个相同(de)根,求此时m(de)值.解：(1)因为方程x2－4x＋k=0有两个不相等(de)实数根,所以b2－4ac=16－4k>0,得k<4.(2)满足k<4(de)最大整数,即k=3.此时方程为x2－4x＋3=0,解得x1=1,x2=3.①当相同(de)根为x=1时,则1＋m－1=0,得m=0；②当相同(de)根为x=3时,则9＋3m－1=0,得所以m(de)值为0或例5、设m为自然数,且3<m<40,方程有两个整数根求m(de)值及方程(de)根.解：,∵方程有整数根,∴4（2m＋1）是完全平方数.∵3<m<40∴7<2m＋1<81∴2m＋1值可以为9,25,49∴m(de)值可以为4,12,24.当m=4时方程为解得x=2或x=8当m=12时方程为解得x=26或x=16当m=24时方程为解得x=52或x=38总结：本题先由整数根确定2m＋1是完全平方数,再由3<m<40中m为整数确定m(de)值,再分别试验求x,是本题特点.。

一元二次方程求根式一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c 是已知的实数常数，且a≠0。

求一元二次方程的根是解这个方程的过程，也是解析几何中的一个重要问题。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，我们可以使用求根公式来求解其根。

求根公式即根据方程的系数a、b、c，计算出方程的两个根x1和x2的公式。

一元二次方程的求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

其中，±表示取两个值，一个是加号的结果，一个是减号的结果，√表示求平方根。

我们需要判断方程是否有实根。

当b^2 - 4ac > 0时，方程有两个不相等的实根；当b^2 - 4ac = 0时，方程有两个相等的实根；当b^2 - 4ac < 0时，方程没有实根，但可以有复数根。

接下来，我们可以根据求根公式计算出方程的根。

首先，我们计算出b^2 - 4ac的值，然后求其平方根。

再根据公式，分别计算出两个根的值。

例如，对于方程2x^2 + 5x + 3 = 0，我们可以计算出b^2 - 4ac = 5^2 - 4*2*3 = 1。

由于b^2 - 4ac > 0，所以方程有两个不相等的实根。

接下来，我们计算出根的值。

根据求根公式，x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

代入方程的系数，得到x = (-5 ± √1) / (2*2)。

化简后，得到x1 = (-5 + 1) / 4 = -1和x2 = (-5 - 1) / 4 = -1.5。

因此，方程2x^2 + 5x + 3 = 0的两个根分别为-1和-1.5。

除了使用求根公式，我们还可以采用其他的方法来求解一元二次方程的根，例如配方法、因式分解、图像法等。

这些方法都有其适用的场景和特点，可以根据具体的问题选择合适的方法来求解方程。

一元二次方程的求根是解析几何中的一个重要问题，可以通过求根公式来计算方程的根。

一元二次方程根式公式(二)一元二次方程根式公式一元二次方程是形如ax2+bx+c=0的方程，其中a、b和c为常数，x是未知数。

解一元二次方程的根式公式是通过判别式来确定方程有几个实数根，并将根值计算出来。

根据判别式D=b2−4ac的值，可以判断方程的根的情况，即：1.当D>0时，方程有两个不相等的实数根。

2.当D=0时，方程有两个相等的实数根。

3.当D<0时，方程没有实数根，存在两个虚数根。

两个不相等的实数根当方程的判别式D=b2−4ac大于0时，即D>0，方程有两个不相等的实数根。

根的计算公式如下：x1=−b+√D2ax2=−b−√D2a例子：假设有一元二次方程3x2−2x+1=0，可以根据公式计算方程的根：a=3，b=−2，c=1，判别式D=b2−4ac=(−2)2−4∗3∗1=4−12=−8，由于D<0，所以方程没有实数根。

两个相等的实数根当方程的判别式D=b2−4ac等于0时，即D=0，方程有两个相等的实数根。

根的计算公式如下：x=−b 2a例子：假设有一元二次方程2x2−4x+2=0，可以根据公式计算方程的根：a=2，b=−4，c=2，判别式D=b2−4ac=(−4)2−4∗2∗2=16−16=0，由于D=0，所以方程有两个相等的实数根。

没有实数根，存在两个虚数根当方程的判别式D=b2−4ac小于0时，即D<0，方程没有实数根，存在两个虚数根。

根的计算公式如下：x1=−b+√−D2a=−b2a+√−D2aix2=−b−√−D2a=−b2a−√−D2ai例子：假设有一元二次方程x2+2x+5=0，可以根据公式计算方程的根：a=1,b=2,c=5，判别式D=b2−4ac=22−4∗1∗5=4−20=−16，由于D<0，所以方程没有实数根，存在两个虚数根。

总结通过一元二次方程的根式公式，我们可以判断方程的根的情况，并利用相关公式计算方程的根。

根据判别式的值，方程可能有两个不相等的实数根、两个相等的实数根，或者没有实数根，存在两个虚数根。

【数学公式】一元二次方程求根公式总结一元二次方程求根公式是数学中的一个重要知识点，下面总结了一元二次方程求根公式，供大家参考。

当Δ=b^2-4ac≥0时,x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a当Δ=b^2-4ac＜0时,x={-b±[(4ac-b^2)^(1/2)]i}/2a只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

它的标准形式为:ax²+bx+c=0（a≠0）其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。

（一）开平方法形如(X-m)²=n (n≥0)一元二次方程可以直接开平方法求得解为X=m±√n。

①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。

②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。

③方法是根据平方根的意义开平方。

（二）配方法用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。

（三）求根公式用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式aX²+bX+c=0，确定a,b,c的值（注意符号）；②求出判别式△=b²-4ac的值，判断根的情况.若△<0原方程无实根;若△>0，X=((-b)±√(△))/(2a)感谢您的阅读，祝您生活愉快。