第四章 习题答案(简体)

7、假设生产函数 Q 3 L0.8 K 0.2 。试问： (1) 该生产函数是否为齐次生产函数。 (2) 如果根据欧拉分配定理，生产要素 L 和 K 都按其边际产量领取实物 报酬，那么，分配后产品还会有剩余吗？
解：(1)由于 Q(L, K ) 3(L)0.8 (K )0.2 3 L0.8 K 0.2 Q( L, K ) ，因此该生产 函数为齐次生产函数。 (2)由于 Q 3 L0.8 K 0.2 ， Q / L 2.4 L0.2 K 0.2 ， Q / L 0.6L0.8 K 0.8 ，因而
L Q / L K Q / K 3L0.8 K 0.2 Q ，
因此根据欧拉分配定理， 生产要素 L 和 K 都按其边际产量领取实物报酬， 那么，分配后产品没有剩余。
8、假设生产函数 Q==min{5L, 2K}。 (1)作出 Q=50 时的等产量曲线。 (2)推导该 生产函数的边际 技术替代 率。 (3)分析该生产函数的规模报酬情况。 解 ： (1)Q=50 时 的 最 佳 要 素 投 入 为 5L=2K=50，即 L=10，K=25。由于生
6、假设某厂商的短期生产函数为 Q 35 L 8 L2 L3 。 求：(1)该企业的平均产量函数和边际产量函数。 (2)如果企业使用的生产要素的数量 L=6， 是否处于短期生产的合理区间？ 为什么？ 解：(1)平均产量函数 APL Q / L 35 8 L L2 ， 边际产量函数 M P d Q d 3 5 1 6 23 L / L L L (2)当 APL MPL 时，L=4 （取正根） ；当 MPL=0 时，L=7（取正根） 。 当企业使用的生产要素的数量 L=6，介于 4 与 7 之间，处于短期生产的合 理区间。
K
（ 10,2 5） L
产函数为 Q=min{5L, 2K}，表明生产要素 L, K 之间是不可替代的。因此可 得 Q=50 时的等产量曲线如右图。 (2) 由于生产要素 L, K 之间是不可替代的，因此，MRTSLK=0。 (3) Q=Q(L,K)=min{5L, 2K}, Q( L, K)=min{5 L, 2K}= Q(L,K)， 该生产函数为规模报酬不变的生产函 数。
f ( L, K ) f ( L, K，对于任意的 )
。 1
即
0 1 ( 2 LK )1/ 2 2 K 3 L
0 1 ( LK )1/ 2 2 K 3 L
0 0 故当且仅当 0 ，即 0
解：Q=L2/3K1/3，
w=2, 资本价格r=1，
Q 1 2 / 3 2 / 3 Q 2 1/ 3 1/ 3 L K L K ， ，劳动价格 K 3 L 3
企业实现利益最大化时的均衡条件为
Q Q ，即L=K。 r w K L
(1)当成本C=3000时，企业实现最大产量时的均衡条件为
10、已知生产函数为 (1) Q=5L1/3K2/3 (3) Q=KL2 (2) Q=KL/(K+L) (4) Q=min{3L, K}
求：(1) 厂商长期生产的扩展线方程 (2)当PL=1，PK=1, Q=1000时，厂商实现最小成本的要素投 入组合。
解：生产要素L、K的价格分别为记为PL，PK。如果生产函数 是可微的，并且要素之间是可替代的。则厂商长期生产的扩展线 Q Q 方程为
3) Q KL2 ， Q L2 , Q 2 KL ，则厂商长期生产的扩展线 K L 方程为
L2 2 KL ， PK PL
即
L 2 K。 PK PL
当PL=1，PK=1, Q=1000时，厂商长期生产的扩展线方程为L=2K. 厂商实现最小成本的要素投入组合满足下列方程组
L 2K Q KL2 1000 。
f ( L, K ) 1 ( LK )1/ 2 2 K 3时，该生产函 L
数表现出规模报酬不变的特征。
(2) 在规模报酬不变的情况下，相应的生产函数为 f ( L, K ) 1 ( LK )1/ 2 2 K 3 L 由于
f 1 1/ 2 1/ 2 ， L K 2 K 2
即
2 L PK K / PL
当PL=1，PK=1, Q=1000时，厂商长期生产的扩展线方程为2L=K. 厂商实现最小成本的要素投入组合满足下列方程组
2L K Q 5 L1/ 3 K 2 / 3 1000
L 100 3 2, K 200 3 2
所以 ，
KL Q L2 Q K 2 ，则厂商长期生产 (2) Q ， , 2 K L K ( K L) L ( K L)2 的扩展线方程为
第四章 生产论
3、已知生产函数Q=f(L, K)=2KL-0.5L2- 0.5K2, 假定厂商目前处于 短期生产，且K=10. (1)写出在短期生产中该厂商关于劳动的总产量TPL函数、劳动的 平均APL函数和劳动的边际产量MPL函数。 (2)分别计算当劳动总产量TPL函数、劳动的平均APL函数和劳动 的边际产量MPL函数各自达到极大值时的厂商的劳动投入量。 解： (1) TPL =f(L, 10)= -0.5L2 +20L- 50 APL = TPL/L= -0.5L – 50/L +20 MPL =d( TPL)/ dL=-L +20 (2) 由于TPL =-0.5L2 +20L- 50= -0.5(L-20) 2 +150，当L=20时, TPL 取得极大值。 d(APL)/ d L= -0.5 + 50/L2 d2(APL)/ d L2= -100/L3,令d(APL)/ d L=0， 得L=10, d2(APL)/ d L2<0。当L=10时, APL取得极大值。 L≥0，易见，当L=0时, MPL =-L +20取得最大值。
9、已知柯布-拉格斯生产函数为 Q AL K 。请讨论该生产的规模 稿酬情况。 解： Q AL K ，则 Q(L, K ) AL K ，因此，当 1 ， 生产函数为规模报酬递增； 1 ， 当 生产函数为规模报酬不变； 当 1 ，生产函数为规模报酬递减。
K L Q 10 1/ 3 1/ 3 Q 5 2 / 3 2 / 3 L K (1)Q=5L1/3K2/3， ， L K 则厂商长期生 L 3 K 3
10 1/ 3 1/ 3 5 L K PK L2 / 3 K 2 / 3 PL 3 3
PK
PL
产的扩展线方程为
，
，
1 1/ 2 3 / 2 ； 2 f L K 0 K 2 4
f 1 1/ 2 1/ 2 ， L K 3 L 2
2 f 1 L3/ 2 K 1/ 2 0 L2 4
因此，在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。
注：本题去掉“规模报酬不变的情况下”，结论仍然成立。 13、已知某企业的生产函数为Q=L2/3K1/3，劳动价格w=2, 资本价 格r=1。求： (1)当成本C=3000时，企业实现最大产量时的L, K和Q的均衡值。 (2)当产量Q=800时，企业实现最小成本时的L, K和C的均衡值。
L=1000/3，K=1000
11、已知生产函数为Q=AL1/3K2/3 (1)在长期的生产中，该生产函数的规模报酬属于哪一类型？ (2)在短期生产中，该生产函数是否受边际报酬递减规律的支配？
解：(1)Q(λ L，λ K)=A(λ L)1/3(λ K)2/3= Aλ L1/3K2/3，该生产函数处于规模报 酬不变阶段。 2Q 2 (2)由于 Q 2 AL1/ 3 K 1/ 3 ， ； AL1/ 3 K 4 / 3 0 2 K 9 K 3
L2 K 2 。 PK PL
L2 ( K L)2 K 2 ( K L)2 ， PK PL
即
当PL=1，PK=1, Q=1000时，厂商长期生产的扩展线方程为L=K. 厂商实现最小成本的要素投入组合满足下列方程组
L K KL Q 1000 KL
所以 K L 2000 。
12、令生产函数为 n=0, 1, 2, 3. ， ，其中
(1)当满足什么条件时，该生产函数表现出规模报酬不变的特征。
(2)证明，在规模报酬不变的情况下，相应的边际产量是递减的。
解：(1)
f ( L, K ) 0 1 ( LK )1/ 2 2 K 3 L
该生产函数表现出规模报酬不变的特征当且仅当
所以
L 20/ 3 4, K 10/ 3 4
(4) Q=min{3L, K}，因此L, K之间完全不可替代，为了生产产量Q 的产品，其最优的要素组合满足Q=min{3L, K}=3L=K，厂商长期 生产的扩展线方程为3L=K。当PL=1，PK=1, Q=1000时，厂商实 现最小成本的要素投入组合满足Q=min{3L, K}=3L=K=1000，即
L K L 2 K 1 3000
所以L=K=1000，此时Q=L2/3K1/3=1000。 当成本C=3000时，企业实现最大产量时的L, K和Q的均衡值均为 1000。
(2) 当产量Q=800时，企业实现最小成本时的均衡条件为 L K Q L2 / 3 K 1/ 3 800 所以L=K=800，此时C=2L+1K=2400 当产量Q=800时，企业实现最小成本时的L, K和C的均衡值分别 为800，800，2400。
2 5 / 3 2 / 3 。 Q 1 2 / 3 2 /， 2Q 3 AL K 0 AL K 2 L 9 L 3
因此，该生产函数受边际报酬递减规律的支配。
f ( L, K ) 0 1 ( LK )1/ 2 2 K 3 L 0 n 1
4、区分边际报酬递增、不变和递减的情况与规模报酬递增、不 变和递减的情况 (答案略） 5、已知生产函数为Q=min{2L, 3K}。求： (1)当产量Q=36时，L与K的值是多少？ (2)如果生产要素的价格分别为PL=2，PK=5, 则生产480单位产量 时的最小成本是多少？ 解 ： (1) Q=min{2L, 3K}=36 ， 则 在 最 优 的 生 产 要 素 投 入 下 ， 2L=36, 3K=36，L=18, K=12。 (源自文库) 生产480单位产量时最优的要素投入为2L=480, 3K=480。最小 成本为 C| L=240, K=160=L•PL+K•PK| L=240, K=160=1280