第九章 微分方程及其应用§9.1 微分方程及其相关概念所谓微分方程，就是含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程。
例如，以下各式都是微分方程：⑴ 2x dxdy =. ⑵ ).(22t f kx dt dx hx dt x d m =++ ⑶)()(x Q y x P dxdy =+. ⑷0sin 22=++θθθl g dt d h dt d . ⑸0)',,()(=n y y y x F .只含一个自变量的微分方程,称为常微分方程,自变量多于一个的称为偏微分方程。
本章只研究常微分方程，因而以后各节提到微分方程时均指常微分方程。
微分方程中所含有的未知函数最高阶导数的阶数，称为该微分方程的阶。
例如，⑴、⑶为一阶方程，⑵、⑷为二阶方程，而⑸为n 阶方程。
微分方程中可以不含有自变量或未知函数，但不能不含有导数，否则就不成为微分方程。
微分方程与普通代数方程有着很大的差别，建立微分方程的目的是寻找未知函数本身。
如果P196有一个函数满足微分方程，即把它代入微分方程后，使方程变成（对自变量的）恒等式，这个函数就叫做微分方程的解。
例如331x y =显然是⑴的解，因为23)31(x dxx d =。
若方程解中含有独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称此解为微分方程的通解，例如π+=331x y 就是⑴的通解。
从通解中取定任意常数的一组值所得到的解，称为微分方程的特解。
例如π+=331x y 就是⑴的一个特解。
用来确定通解中任意常数值的条件称为定解条件，当自变量取某个值时，给出未知函数及其导数的相应值的条件称为初始条件。
在本章中，我们遇到的用来确定任意常数值的条件一般为初始条件。
例如，如果⑴的初始条件为()π=0y ，则在代入到通解c x y +=331后，可以求得π=c ，从而得到特解π+=331x y 。
一般的，因为n 阶微分方程的通解中含有n 个独立的任意常数。
微分方程第一节微分方程的基本概念一、引例略。
二、微分方程的基本概念略。
第二节可分离变量的微分方程如果一阶微分方程解出y'后形如dy=M x·N y，（1）dx即右边可以表示为两个单变量因式的乘积，则可称之为可分离变量的微分方程。
在N（y）≠0的情形下，有1dy=M x dx.（2）N y（2）式左边只含一个变量y，而右边只含另一个变量x，称这方程为可分离变量的微分方程。
将式（1）化为式（2）的变形方法叫做分离变量法。
根据积分形式的不变性，对式（2）两边积分1dy=M x dx，设结果为F y=G x+C，得到这个微分方程的通解。
第三节齐次方程一、齐次方程如果一阶微分方程可以化为如下形式：dy dx =φyx，（1）那么称这类方程为齐次方程。
在齐次型方程（1）中，通过引进新的未知函数u=y/x，就可以把它化为可分离变量的微分方程。
因为，由u=y/x，得y=ux，于是有dydx =u+x dudx，代入（1）式，便得到u+x dudx=φu，这是关于新的未知函数u的可分离变量的微分方程。
分离变量后积分du=dx，记Φ（u）为1φu−u的一个原函数，则得通解Φ（u）=ln|x|+C，再将yx回代解中的u，便得到齐次方程（1）的通解。
二、可化为齐次型的微分方程形如dy dx =ax+by+ca1x+b1y+c1,（2）其中a1a ≠b1b的方程。
当c=c1=0时方程（2）是齐次型的，否则不是齐次型的。
在非齐次型的情形下，可用如下的代换把它化为齐次型的。
做代换x=X+h，y=Y+k，其中常数h，k采用如下的方法取定：因为dx=dX， dy=dY，所以方程（2）经代换后成为dY dX =aX+bY+(aℎ+bk+c)a1X+b1Y+(a1ℎ+b1k+c1).令aℎ+bk+c=0a1ℎ+b1k+c1=0在a1a ≠b1b的条件下，右上述方程组可定出h与k.这样方程（2）就化为齐次方程dY dX =aX+bY a1X+b1Y.求得该齐次型方程的通解后，在通解中以x-h代X，y-k代Y，就得到方程（2）的通解。
南京林业大学各样微分方程的解法1.可分别变量的微分方程解法 一般形式 :g(y)dy=f(x)dx直接解得 ∫g(y)dy= ∫f(x)dx设 g(y)及 f(x) 的原函数依次为 G(y)及 F(x),那么 G(y)=F(x)+C 为微分方程的隐式通解 2.齐次方程解法一般形式 :dy/dx= φ(y/x)令 u=y/x 那么 y=xu,dy/dx=u+xdu/dx, 所以 u+xdu/dx=φ(u), 即 du/ ［φ (u)-u ］=dx/x 两端积分 , 得∫du/ ［φ (u)-u ］ =∫dx/x 最后用 y/x 代替 u, 便得所给齐次方程的通解 3.一阶线性微分方程解法一般形式 :dy/dx+P(x)y=Q(x)－∫P(x)dx－∫P(x)dx先令 Q(x)=0 那么 dy/dx+P(x)y=0 解得 y=Ce, 再令 y=ue代入原方程解得 u=∫Q(x) e∫P(x)dx－∫P(x)dx∫P(x)dxdx+C ］dx+C,所以 y=e［∫Q(x)e－∫P(x)dx－ ∫P(x)dx∫P(x)dxdx 为一阶线性微分方程的通解即 y=Ce +e∫Q(x)e 4.可降阶的高阶微分方程解法(n) ① y =f(x) 型的微分方程(n)y =f(x)y (n-1) = ∫f(x)dx+C 1y (n-2) = ∫［ ∫f(x)dx+C 1］ dx+C 2(n)=f(x) 的含有 n 个任意常数的通解依次类推 , 接连积分 n 次, 便得方程 y ② y 〞 =f(x,y ’ ) 型的微分方程令 y ’=p 那么 y 〞=p ’ , 所以 p ’=f(x,p),再求解得 p=φ (x,C 1)即 dy/dx= φ(x,C 1), 所以 y=∫φ(x,C 1)dx+C 2 ③ y 〞 =f(y,y ’ ) 型的微分方程令 y ’=p 那么 y 〞=pdp/dy, 所以 pdp/dy=f(y,p), 再求解得 p=φ (y,C 1) 即 dy/dx= φ(y,C 1), 即 dy/ φ(y,C 1)=dx, 所以 ∫dy/ φ (y,C 1)=x+C 2 5.二阶常系数齐次线性微分方程解法一般形式 :y 〞+py ’+qy=0,特色方程 r 2+pr+q=01南京林业大学特色方程 r 2+pr+q=0 的两根为 r1,r2微分方程y〞+py’+qy=0的通解r r1x r2x212两个不相等的实根 r1,y=C e +C e两个相等的实根 r1=r2y=(C1+C2x)e r 1 x一对共轭复根 r1=α+iβ, r 2=α-iβαxcosβx+C2sin β x) y=e (C16.二阶常系数非齐次线性微分方程解法一般形式 : y 〞+py’+qy=f(x)先求 y〞+py’+qy=0 的通解 y0(x), 再求 y〞+py’+qy=f(x) 的一个特解 y*(x)那么 y(x)=y 0(x)+y*(x) 即为微分方程 y〞+py’+qy=f(x) 的通解求 y〞+py’+qy=f(x) 特解的方法 :①f(x)=P m(x)e x型λ令 y*=x k Q m(x)eλx［k 按λ不是特色方程的根 , 是特色方程的单根或特色方程的重根依次取 0,1 或 2］再代入原方程 , 确定 Q m(x) 的 m+1个系数λx②f(x)=e［Pｌ(x)cosωx+P n(x)sinωx］型kλx［Q m(x)cos ω x+R m(x)sin ωx］［m=max﹛ｌ ,n ﹜ ,k 按λ +i ω不是特色令 y*=x e方程的根或是特色方程的单根依次取0 或 1］再代入原方程 , 分别确定 Q (x) 和mR m(x) 的 m+1个系数附微分方程在物理学中的应用:⑴找准合适的研究对象⑵确定正确的数学模型⑶联列合理的微分方程⑷解出最正确的方程结果执笔：缪张华2。
