数学思维(四下)

四年级下期第一讲定义新运算同学们对于“加、减、乘、除”四则运算已经相当熟悉了。

为了扩展对运算的认识，在四则运算的基础上，还可以按需要规定新的运算。

例1 设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b。

(1)求4△3，3△4。

(2)这种运算有“交换律”吗？(3)求(17△6)△2，17△(6△2)。

(4)这种运算有“结合律”吗？(5)如果已知5△b＝1，求b。

解：像这样的题目叫做“定义新运算”。

这里，“△”当作一种新的运算符号来使用，它的意义是：如等号右端所要求的那样，先求出3×a和2×b的值，再求出3×a与2×b的差。

弄清了新定义运算的意义之后，就要严格按照要求进行操作。

仍然要先做括号里面的。

所以：(1)4△3＝3×4－2×3＝12－6＝6。

3△4＝3×3－2×4＝9－8＝1。

(2)由(1)可知，4△3与3△4的结果不同，所以，这种运算没有“交换律”。

(3)(17△6)△2＝(3×17－2×6)△2＝(51－12)△2＝39△2＝3×39－2×2＝117－4＝113。

17△(6△2)＝17△(3×6－2×2)＝17△(18－4)＝17△14＝3×17－2×14＝51－28＝23。

(4)由(3)可知，(17△6)△2与17△(6△2) 的结果不同，所以，这种运算也没有“结合律”。

(5)因为5△b＝3×5－2×b＝15－2b，而15－2b＝1，所以2b＝15－1，2b＝14，b＝7。

通过这个例题使我们认识到，所谓的“新运算”并不神秘，它只不过是对原有的四则运算的一种综合运用而已。

在做这类题目时，关键是要弄清楚新运算的意义是什么，并且要严格按照它的意义进行运算。

例2 如果a＃b＝2×a＋3×b，a*b＝(a＋b)÷2，那么(3*5)＃7＝？解：“＃”的意义是先求出2×a和3×b，再求出2×a与3×b的和。

小学四年级数学下册逻辑思维第五讲应用题（二）【一】有18个香蕉，小猴前4天每天吃了3个，剩下的每天吃2个，还可以吃几天？练习1、某人有事从东村到西村去，要走26千米，前2个小时每小时走6千米，后来为了抓紧时间，每小时走7千米，还要走几小时？2、把120千克糖放入大、小两种纸箱里，大纸箱有3个，每个可以放25千克，小纸箱每个可以放15千克，还需几个小纸箱？【二】某玩具厂计划每天生产大型玩具9个，15天完成任务。

现在要提前6天完成任务，那么每天要生产多少个玩具？练习1、小华写大字，计划每分钟写12个，5分钟可以完成作业。

实际每分钟比计划多写3个，小华几分钟可以完成作业？2、某工厂要生产一批课桌。

原计划每天生产45张，12天可以完工，实际每天多生产9张，多少天可以完成？【三】某发电厂有1800吨煤，前十天每天烧80吨，后来改进炉灶，每天烧煤50吨，这堆煤还能烧多少天？练习1、某电视机厂要生产1920台冰箱，已经生产了9天，每天生产120台，剩下的每天生产210台，还要多少天才能完成任务？2、某工厂计划生产30000套轴承，前5天平均每天生产1500套，后来改进操作方法，平均每天可以生产2500套。

这样完成这批轴承共需多少天？【四】师傅和徒弟同时开始加工300个零件，师傅每小时加工30个，完成任务时，徒弟还要做2小时才能完成任务。

徒弟每小时加工多少个？练习1、王丹和李艳开始各做120个玩具，王丹每天做12个，完成任务时，李艳还要做两天才能完成任务。

李艳每天做多少个？2、小华和小明同时开始写192个大字，小华每天写24个，完成任务时，小明还要写4天才能完成，小明每天写多少个字？【五】东、西两城相距200千米，汽车行完全程要5小时，步行要40小时，张亮从东城出发，先步行8小时后改乘汽车，还需要几小时到达西城？练习1、玩具厂一车间生产800个玩具。

如果用手工做要20小时才能完成，用机器只需要4小时，一车间工人先用手工做了5小时，后来改用机器生产，还需要几小时才能完成任务？2、甲、乙两地相距400千米，汽车行完全程要5小时，步行要40小时，张强从甲地出发，先乘汽车4小时，后改步行，他从甲地到乙地共用了多少小时？【六】某筑路队修一条长3600米的公路，原计划每人每天修4米，派9人完成，实际修筑时增加了3人，可以提前几天完成任务？练习1、羊毛衫厂要生产378件羊毛衫。

傲德数学思维课四年级下册
傲德数学思维课是一套针对小学生的数学思维培养课程，旨在
帮助学生建立数学思维，提高数学解决问题的能力。

四年级下册的
数学思维课内容通常包括以下几个方面：
1. 数学逻辑思维，通过引导学生进行逻辑推理、分析和解决问题，培养学生的逻辑思维能力。

例如，通过一些趣味数学题目或者
逻辑推理游戏来激发学生的思维，让他们学会用逻辑的方式解决问题。

2. 初步代数思维，在四年级下册，学生通常开始接触代数概念，例如变量、方程式等。

数学思维课可能会通过一些实际问题引导学
生建立初步的代数思维，让他们学会用代数符号表示问题，并进行
简单的代数运算。

3. 几何思维，培养学生对几何图形的认识和理解，通过几何问
题的解决，引导学生形成几何思维，例如，通过拼图、几何图形的
变换等方式让学生感受几何的趣味性和美感，激发学生对几何的兴趣。

4. 数学问题解决能力，数学思维课还会注重培养学生解决实际
问题的能力，通过一些与日常生活相关的数学问题，引导学生学会
将数学知识应用到实际生活中，培养他们的问题解决能力。

在四年级下册的数学思维课中，老师通常会结合以上内容，设
计一些富有趣味性和挑战性的活动和问题，引导学生主动思考、探
索和解决问题，从而全面提高学生的数学思维水平。

这样的课程设
计有助于激发学生对数学的兴趣，培养他们的创造力和批判性思维，为他们未来的学习打下坚实的数学基础。

备课说明：1、本讲生活中的数学题型较杂，没有特定的解决方法，分为基础篇与提高篇两部分.基础篇（40分钟左右）以简单应用题及数学趣题为主，共7题，难度不大，大部分可由学生思考得到结果，其中第7题也可用列表的方法找到规律.提高篇（75分钟）共6道题，难度有所提升，其中前两道为竞赛真题，3~5为天平称重问题，最后一道扑克牌题，教师可准备一副扑克牌由学生先思考，再实际操作找出结果及规律.2、重点：让学生感受到数学的乐趣，感知到数学与实际的联系.难点：分析题意，找出解题思路.在日常生活中常常能碰到一些很有趣的数学问题，这一讲同学们一起来挑战一些数学趣题吧！将480箱苹果和720箱梨运到水果批发市场，每辆卡车每次运120箱.梨比苹果多运几车？（用两种方法解决）解：（1）246120480120720=-=÷-÷（车）（2）()2120480720=÷-（车）答：梨比苹果多运2车.旅行社推出“大峡谷风景区一日游”的两种出游价格方案.方案一：成人每人150元；儿童每人60元.方案二：团体10人以上（包括10人）每人100元.（1） 成人6人，儿童4人，选哪种方案合算？（2） 成人4人，儿童6人，选哪种方案合算？解：（1）方案一 11402409004601506=+=⨯+⨯（元）方案二 ()100046100=+⨯（元）10001140>所以，方案二合算.（2）方案一 9603606006061504=+=⨯+⨯（元）方案二 ()100064100=+⨯（元）1000960<所以，方案一合算.将30个苹果，放入大、中、小3个盘子里，大盘要比中盘多4个，中盘要比小盘多4个，该怎么放呢？解：小盘子 ()6344430=÷---（个）中盘子 1046=+（个）大盘子 14410=+（个）古尔邦节快到了，天山南北充满了节日气氛.这天阿凡提也骑着毛驴赶集来了.忽然，听见有人喊他的名字，阿凡提回头一看，原来是水果店老板艾山.这时艾山正拿着秤杆坐在两大筐葡萄跟前发愣.一筐是紫葡萄，标价为2元1斤；一筐是青葡萄，标价为1元2斤.只是问的人多，买的人少.“阿凡提大哥，如今做点生意真不容易呀.您看，我在这捱了一上午，还没卖出几斤葡萄，现在紫葡萄和青葡萄都还剩下60斤，不知要卖到何时呢！”艾山说.阿凡提说：“啊，艾山老弟，你可真笨！紫葡萄虽甜，但价格贵，青葡萄虽便宜，却味道酸.何不把两种葡萄掺在一起，按3元3斤出卖，也就是每斤1元，这样不是既好卖又省事吗？”于是艾山按阿凡提的办法出售葡萄，果然买的人多了起来，不多时，120斤葡萄卖光了. 请问艾山按照阿凡提的方法，和原来相比赚了还是亏了？相差多少？解：原来可卖1501260260=⨯÷+⨯（元）现在只卖1201120=⨯（元）亏了 30120150=-（元）答：亏了30元.一个农民，在集市上买了一头牛花了600元，转手以640元卖给别人，随后又以650元买回这头牛.过了不久，这个农民又以640元把牛卖了，最后他又以600元买回了这头牛.问这个农民买这头牛实际花了多少钱？解析：三次买牛，农民共拿出了()610640650600=-+元，第三次买牛后，农民手里还剩下40600640=-（元），所以该农民买这头牛实际花了57040610=-（元）.老师给全班60个学生布置了两道作业题，其中35个人做对了第一道题，有40人做对了第二道题，有4个人两道题都做错了，你能算出两道题都做对的人数吗？ 解：()()194604035=--+（人）答：19人两道题都做对了.小王、小李、小张三人定期前往蕾蕾健身中心健身，小王每2天去一次，小李每3天去一次，小张每4天去一次，今天是8月15日，他们三人在健身中心碰面，那么下一次再在健身中心碰面的时间是几月几日？解：[]124,3,2=， 所以下一次碰面的时间是今天的日期12+日，即8月27日.小明和小华一起清点盒子里的画片.小明比小华的动作快，小明数6张的时间小华只能数4张.小华数到48张时忘了数的数是多少，只好从头数起，当他数到112张时，盒子里只剩下1张画片.盒子里原来有多少张画片？【小机灵杯，第十一届初赛】解：()35311126411248=++⨯÷+（张）.少年宫手工组的小朋友们做工艺品“猪娃娃”.每个人先各做一个纸“猪娃娃”；接着每2个人合做一个泥“猪娃娃”；然后每3个人合做一个布“猪娃娃”；最后每4个人合做一个电动“猪娃娃”.这样下来，一共做了100个“猪娃娃”.由此可知手工组共有 个小朋友.【希望杯，第五届1试】解：由题意可知，总人数应为1、2、3、4的倍数，由于1、2、3、4的最小公倍数为12，以12人为一组可知，一组可做2534612=+++（个）“猪娃娃”，一共做了100个“猪娃娃”，即有425100=÷（组），所以手工组共有：48412=⨯（人）.有8个球编号是①到⑧，其中6个一样重，另外两个球都轻一克，为了找出这两个轻球，用天平秤了3次，结果如下：第一次：①+②比③+④重；第二次：⑤+⑥比⑦+⑧轻；第三次：①+③+⑤与②+④+⑧一样重.那么，那两个轻球的编号分别是几号？分析与解：为了表达方便设这8个球分别为①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧.由第一次秤的结果可知：球③和④中至少有一个是轻球，球①和②都是重球，否则“①+②比③+④重”这个结论就不成立.有第二次称的结果可知：球⑤、⑥中至少有一个球是轻球，而球⑦、⑧都是重球.由第三次“①+②+③与②+④+⑧一样重”可知：①、③、⑤中及②、④、⑧中各有一个轻球.总上可知：球④和球⑤一定是轻球.有80个零件，分装成8袋，每袋装10个，在其中的7袋里面装的零件每个都是50克，有1袋里面的每个零件都是49克.这8袋混在了一起，你能用秤称一次，就把装49克重的零件的那一袋找出来吗？分析：同例1，给每个袋子标上标号，从每个袋子中取出各不相同数目的零件，用秤称一次，那么比都是50克重的零件少的重量刚好对应取出鸡蛋个数的那个袋子.分析与解：（1）将8个袋子分别编上1、2、…、7、8八个号码.（2）从每个袋子中取出与袋子编码相同数目的零件，总共取出3687654321=+++++++（个），用秤称一次.（3）作比较，若36个零件都是50克重，那么总共是18005036=⨯（克），与（2）所称得的重量作比较.（4）若称得的重量比1800少1克，就是1号袋子；少2克就是2号袋子；…；少7克就是7号袋子；少8克，就是8号袋子.在天平上左边放砝码右边放物体称重量，最少应准备几个砝码，就能称量1克到60 克之间不论多少克的重量？这几个砝码分别是多少克？解：①1克、2克的砝码可以称出1克、2克、3克的物体的质量；②1克、2克、4克的砝码可以称出1克、2克、3克、4克、5克、6克、7克的物体的质量；不难发现：①中02和12克的砝码可以称出1克到1022+克之间的重量；②中02、12和22克的砝码可以称出1克到210222++克之间的重量；③中02、12、22和32克的砝码可以称出1克到32102222+++克之间的重量. 以此类推，第n 个砝码为12-n 克.因为6332168421=+++++，所以最少要用6个砝码，这6个砝码分别为1克、2克、4克、8克、16克和32克.哥哥和弟弟玩扑克牌，哥哥说：“弟弟，你只许拿第奇数张牌，这样拿到最后，剩一张牌，大王一定在我手里.”弟弟果真这样做了.第一次，拿了全部牌的第奇数张，共27张；第二次，拿了剩下27张中的第奇数张牌，共14张；第三次，又拿了剩下13张牌中的第奇数张牌，……最后，只剩下一张，翻开看，确实是大王.你知道，哥哥把大王放在了第几张吗？答案：哥哥把大王放在第32张.解析： 弟弟第一次拿的是第1 、 3 、 5 、 7 、 …53张牌，共27张；第二次拿的是第 2 、 6 、10 、 …54张牌，共 14 张；第三次拿的是第 4 、 12 、20 、 …52张牌，共 7 张；第四次拿的是第 8 、 24 、 40 张牌，共 3 张；第五次拿的是第 16 、 48 张牌，共 2 张.这时一共拿走了 532371427=++++（张），只剩下了第 32 张牌.【备用题】1、有人想买几套餐具，到餐具店看了后， 自己带的钱可以买21把叉子和21把勺子，或者28把小刀.如果他买的叉子，勺子，小刀数量不统一，就无法配成套，所以他必须买同样多的叉子，勺子，小刀，若将钱全部用完，这个人能买几套餐具？解：21与28的最大公约数为()728,21=，将这个人所带的钱分为7份，则每份可买3把叉子和3把勺子，或者4把小刀，由于他必须买同样多的叉子，勺子，小刀，所以，其中4份买叉子和勺子，余下3份买小刀即可，一共能买1234=⨯（套）.2、屋里有一群人，如果3个人一桌，多2个人；如果5个人一桌，多4个人；如果7个人一桌，多6个人；如果9个人一桌，多8人，如果11个人一桌，正好.请问这屋里有多少人？解析：如果屋里的人数再多1人，则屋里的人数就是3、5、7、9的倍数，而3、5、7、9的最小公倍数为315，则屋里的总人数比315的倍数少1，由于72811315 =÷，设倍数为a ，则()1315-a 应为11的倍数，从而17-a 应为11的倍数，由此可知8=a ，所以这屋里有251918315=-⨯（人）.3、一台天平要称出1克、2克、…、40克的东西，只要准备四个砝码就够了.这四个砝码应该各为几克？（允许称东西时在天平两边同时放砝码）分析:①1克的砝码可以称出1克的物体重量；②1克、3克的砝码可以称出1克、2克、3克、4克的物体重量；③1克、3克、9克的砝码可以称出1克、2克、3克、…、12克、13克的物体的重量. 观察上面3种情况不难发现：第一个砝码是30=1克；第二个砝码是31=3克；第3个砝码是32=9克；第四个砝码应该是33=27克.以此类推，第n 个砝码是31-n 克.解：因为4027931=+++(克)，所以只要准备4个砝码就够了，这4个砝码分别是1克、3克、9克、27克.4、有5盒茶叶，如果从每盒中取出200克，那么5盒剩下的茶叶正好和原来3盒茶叶的重量相等.原来每盒茶叶有多少克？解析：由条件“每盒取出200克，5盒剩下的茶叶正好和原来3盒茶叶重量相等”可以推出，拿出的10005200=⨯（克）茶叶正好等于原来的245=- （盒）茶叶的重量，所以，原来每盒茶叶50021000=÷（克）.。