甘肃省徽县第三中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 答案和解析

密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 总分 得分第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1.现有这么一列数：1，，，，（），，，…，按照规律，（ ）中的数应为( )A ．B ．C ．D ．2. 设，且，则()A. B.C. D.3. 在△ABC 中，点D 在边BC 上，若，则 A.B.C.D.4. 设单位向量，则的值为( ) A ． B ． C ．D ．5. 已知△ABC 中，，那么满足条件的△ABC ( )A ．有一个解B ．有两个解C ．不能确定D ．无解 6.已知数列成等差数列，成等比数列，则的值是( )A ．或B ．C ．D ．7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十四日所织尺数为 ( )A ．13B ．14C ．15D ．168．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其中，那么△ABC 一定是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形 9．已知，都是锐角，，，则 A ． B ． C ．D ．10．如图所示，隔河可以看到对岸两目标AB ，但325478113213649161116121118,,a b c R ∈a b >ac bc>11a b<20ca b≥-11a b a>-2BD DC =AD =2133AB AC +1233AB AC +1344AB AC+3144AB AC +1(cos )3e α=，cos 2α79-12-793223,22,4a b B π===121,,,4a a 1231,,,,4b b b 212a ab -12-1212-121422tan tan a B b A =αβ3sin 5α=()5cos 13αβ+=-sin β=5665-1665-33656365密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题不能到达，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB＝75°,∠BCD ＝45°,∠ADC ＝30°,∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为( )km.A ．2B ．C ．D ．11. 设是△ABC 的重心，且，若△ABC 外接圆的半径为1，则△ABC 的面积为( )A ．B ．C ．D ．12.当时，函数取得最小值，则的值为( ) A ．- B ．C ．-D ．第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.若，则的最小值为．14. 在中，是方程的两根，则．15. 如图，在半径为的圆上，C 为圆心，A 为圆上的一个定点，B 为圆上的一个动点，若,则 ．16. 已知数列满足…，设数列满足：,数列的前项和为，若恒成立，则的最小值是 ．三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知□ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（-2,1）、（-1,3)、(3,4).（1）求顶点D 的坐标；（2）求与所成夹角的余弦值． 18．（本小题满分12分）已知数列是公比为2的等比数列，且成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求．19．（本小题满分12分）521534153853G ()()()sin sin sin 0A GA B GB C GC ++=91634334332x θ=()2cos f x sinx x =+sin 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭215510+251510+1010310101x >41y x x =+-ABC ∆tan ,tan A B 22370x x +-=tan C =3CBAC CB AC -=+AB AC ⋅={}n a 1212a a ++2*1()n a n n n N n +=+∈{}n b 121n n n n b a a ++={}n b n nT *4()1n nT n N n λ≤∈+λAC BD {}n a 234,1,a a a +{}n a 2 , n n n a b log a n n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数{}n b n n T 2nT密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题已知向量，且函数.（1）求函数在时的值域； （2）设α是第一象限角，且112610f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求sin()4cos(22)παπα++的值. 20．（本小题满分12分）首届世界低碳经济大会11月17日在南昌召开，本届大会的主题为“节能减排，绿色生态”.某企业在国家科研部门的支持下，投资810万元生产并经营共享单车，第一年维护费为10万元，以后每年增加20万元，每年收入租金300万元. （1）若扣除投资和各种维护费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后企业为了投资其他项目，有两种处理方案： ①纯利润总和最大时，以100万元转让经营权；②年平均利润最大时以460万元转让经营权，问哪种方案更优？21．（本小题满分12分）已知的角A,B,C 的对边分别为a ,b ,c ,满足.（1）求A;（2）从下列条件中:①中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 22．（本小题满分12分）函数满足：对任意，都有，且，数列满足.（1）证明数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）记数列前n 项和为，且，问是否存在正整数m ，使得成立，若存在，求m 的最小值 ；若不存在， 请说明理由.数学试题参考答案及评分意见一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACBCBCBDDCCA二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．5 14． 1315．9 16． 32三、解答题17．（本小题满分10分） 解：（1）设顶点D 的坐标为(,)x y ．(2,1)A -，(1,3)B -，(3,4)C ，(1(2),31)(1,2)AB ∴=----=，(3,4)DC x y =--， ----------------2分()cos 3m x x=(cos ,cos )n x x =()f x m n =⋅)(x f ,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ABC ∆()(sin sin )()sin b a B A b c C -+=-3a =3ABCS=ABC ∆()x f R ∈βα,()()()αββααβf f f +=()22=f {}n a (2) ()n n a f n N +=∈2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a }{n b n S (1)n nn n b a +=(1)(4)190m m m S b +-+<密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题又AB DC =，-----------------3分所以(1,2)(3,4)x y =--．即13,24,x y =-⎧⎨=-⎩解得2,2.x y =⎧⎨=⎩所以顶点D 的坐标为(2,2)． --------------------5分（2）由22(5,3),||5334AC OC OA AC =-==+=22(3,1),||3(1)10BD OD OB BD =-=-=+-=353(1)12AC BD ⋅=⨯+⨯-= ------------------8分685cos ,||||3410AC BD AC BD AC BD ⋅∴<>===⋅⨯ ----------------10分18．（本小题满分12分）（1）由题意可得32421a a a +=+（），--------------2分即2222214a a a +=+（），解得：22a =，∴2112a a ==， ----------4分∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=． -------------------6分（2）12 1 ,, n n n n b n -⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数--------------------7分 21232153226241()()n n n n T b b b b b b b b b b b b -=+++⋯++++⋯++++⋯+=+0422222223521n n -=+++⋯++++⋯+-（）+(1）------------------10分214(121)4114233n n n n n -+-=+=+----------------------12分19．（本小题满分12分） 解：(1)由2()cos 3sin cos f x m n x x x =⋅= --------------------1分1311cos 22sin(2)22262x x x π=++=++ -----------------3分50,22666x x ππππ-≤≤-≤+≤由得1sin(2)[1,]62x π+∈-所以 ---------------5分所以()f x 的值域为1[,1]2- -----------------6分 （2）π11(),2610f α+=ππ111sin 2()266210α⎡⎤∴+++=⎢⎥⎣⎦ 则π3sin()25α+=即53cos =α 又α为第一象限的角则54sin =α ----9分π2sin()cos )42cos(2π2)cos 2ααααα++=+----------------10分=αααααsin cos 22sin cos )cos (sin 2222-=-+x225-= -----------------12分20．（本小题满分12分）解：（1）设第n 年获取利润为y 万元，n 年共收入租金万元，付出维护费构成一个以10为首项，20为公差的等差数列，共2(1)1020102n n n n -+⨯= -----------------2分因此利润2300(81010)y n n =-+ -------------------3分 令0y >，解得：327n <<所以从第4年开始获取纯利润． -----------------5分 （2）方案①：纯利润22300(81010)10(15)1440y n n n =-+=--+所以15年后共获利润：1440+100=1540（万元）------8分方案②：年平均利润2300(81010)810300(10)n n W n n n--==-+密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题810300210120n n≤-⨯=当且仅当81010n n =，即n =9时取等号所以9年后共获利润：120×9+460=1540（万元） ----11分综上：两种方案获利一样多，而方案②时间比较短，所以选择方案②． ------------12分21．（本小题满分12分）解：（1）因为()(sin sin )()sin b a B A b c C -+=- 由正弦定理得()()()b a b a b c c -+=-，即222bc a bc +-= --------2分由余弦定理得2221cos ,(0,)22b c a A A bc π+-==∈ -------------4分所以3A π=-----------------5分（2）选择①3a =由正弦定理2sin sin sin b c aB C A===，-----6分即ABC ∆周长22sin 2sin 32sin 2sin()33l B C B B π=+=+-+3sin 33B B =23)36B π=++----------------9分251 (0,) ,sin()1366626B B B πππππ∈∴<+<<+≤ ----------------11分即ABC ∆周长的取值范围(23,33----------------12分选择②3ABC S =.,得13sin 324ABC S bc A ===得4bc =.-------7分由余弦定理得22222()3()12,a b c bc b c bc b c =+-=+-=+- --------9分即ABC ∆周长2()12,l a b c b c b c =++=+-+24b c bc +≥=,当且仅当2b c ==时等号成立.----------------11分2 41246l a b c ∴=++≥-=即ABC ∆周长的取值范围[6,) +∞ ----------------12分 22．（本小题满分12分） 解：()()()1112,22,n n a f a f =∴==()()()()112222222,n n n n n a f f f f ++==⋅=⋅+⋅1122n n n a a ++∴=+,----------------2分11122n nn n a a ++∴-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴nn a 2为等差数列，首项为121=a ，公差为1，----------4分22nn n n a n a n ∴==⋅即. ----------------5分 （2）由(1)12n n n n n n b a ++== ----------------6分23111111234(1)22222n n nS n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯2311111123(1)22222n n n S n n +=⨯+⨯++⨯++⨯, 两式相减得 121111111133(1)22222222n n n n n S n +++=+++-+⨯+=-332n nn S +∴=------------------9分假设存在正整数m ，使得(1)(4)190m m m S b +-+<成立，即2160m m +->---------10分密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题由指数函数与一次函数单调性知：()216m F m m =+-m N +∈为增函数.又因为34(3)231650,(4)241640F F =+-=-<=+-=> ------------11分 所以当4m ≥时恒有()2160m F m m =+->成立.故存在正整数m ,使得(1)(4)190m m m S b +-+<成立，m 的最小值为4.---------12分。

2020-2021学年___高一(下)期末数学试卷(附答案详解)1.已知集合A={A∈A|−2≤A<2}，A={0,1}，则下列判断正确的是()A。

A∈AB。

A∩A=⌀C。

A⊆AD。

A⊆A2.已知A>0，则对于2−3A−A^2，说法正确的是()A。

有最小值2+4√3B。

有最小值2−4√3C。

有最大值2+4√3D。

有最大值2−4√33.已知AA=(1,A)，AA//AA，则|AA+AA|=()A。

√10B。

√5C。

2√5D。

104.已知A=log0.3 3，A=log0.3 4，A=30.3，则()A。

A<A<AB。

A<A<AC。

A<A<AD。

A<A<A5.为了得到函数A=cos5A，A∈A的图象，只需把余弦函数的图象A=AAAA，A∈A上所有的点的()A。

横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B。

横坐标缩短到原来的5倍，纵坐标不变C。

纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D。

纵坐标缩短到原来的5倍，横坐标不变6.随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分。

如图是2012～2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是()A。

这9年我国快递业务量有增有减B。

这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%C。

这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%D。

这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件7.在空间四边形ABCD中，若AA⊥AA，AA⊥AA，则对角线AC与BD的位置关系为()A。

相交但不垂直B。

垂直但不相交C。

不相交也不垂直D。

无法判断8.若直线l经过A(2,1)，A(1,−A/2)(A∈A)两点，则直线l 的倾斜角A的取值范围是()A。

≤A≤π/4B。

π/4<A<π/2C。

π/4≤A<π/2D。

π/2<A≤3π/49.三条直线A+A=4，A−A=1，A+AA=3构成三角形，则a 的取值可以是()A。

2021～2021学年度高一年级第二学期期末考试数学试卷本套试卷分第一卷〔1~2页，选择题〕和第二卷〔3~8页，非选择题〕两局部．一共150分，考试用时120分钟．第一卷〔选择题，一共60分〕考前须知：1．答第一卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号、试卷科目需要用2B 铅笔涂写在答题卡上．2．每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案，不能答在试卷上．3．在在考试完毕之后以后，监考人员将本套试卷和答题卡一并收回．一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．1.集合{}250A x x x =-<，{}240B x x =+>，那么A B =〔 〕A. ()0,5B. ()2,5-C. ()2,5D. ()(),25,-∞-+∞【答案】A 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，可得出集合A B .【详解】{}()2500,5A x x x =-<=，{}240B x x R =+>=，因此，()0,5A B =，应选：A.【点睛】此题考察集合的交集运算，解题的关键在于解出两个集合，考察计算才能，属于中等题.2.以下说法正确的选项是〔 〕 A. 假设a b >，那么ac bc > B. 假设a b >，c d >，那么ac bd > C. 假设a b >，那么22a b >D. 假设a b >，c d >，那么a cb d +>+【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质或者举反例的方法来判断各选项里面不等式的正误. 【详解】对于A 选项，假设0c <且a b >，那么ac bc <，该选项错误；对于B 选项，取2a =，1b =-，1c =-，2d =-，那么a b >，c d >均满足，但ac bd <，B 选项错误；对于C 选项，取1a =，2b =-，那么a b >满足，但22a b <，C 选项错误； 对于D 选项，由不等式的性质可知该选项正确，应选：D.【点睛】此题考察不等式正误的判断，常用不等式的性质以及举反例的方法来进展验证，考察推理才能，属于根底题.3.在等比数列{}n a 中，212a =，68a =，那么4a =〔 〕 A. 4 B. 2 C. 4± D. 2±【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的定义知4a 与2a 同号，再利用等比中项的性质可求出4a 的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，那么2420a q a =>，2102a =>，40a ∴>.由等比中项的性质可得24261842a a a ==⨯=，因此，42a =，应选：B. 【点睛】此题考察等比中项性质的应用，同时也要利用等比数列的定义判断出项的符号，考察运算求解才能，属于中等题.4.在ABC ∆中，3AB =，3C π=，O 为ABC ∆的外接圆的圆心，那么CO =〔 〕A. 3B. 23C. 3D. 6【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理可求出ABC ∆的外接圆半径CO .【详解】由正弦定理可得3223sin 32AB CO C ===，因此，3CO =，应选：A. 【点睛】此题考察利用正弦定理求三角形外接圆的半径，考察计算才能，属于根底题.5.七巧板是古代中国劳动人民的创造，到了明代根本定型．清陆以湉在?冷庐杂识?中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．如图，在七巧板拼成的正方形内任取一点，那么该点取自图中阴影局部的概率是〔 〕A. 116B. 18C. 38D. 316【答案】B 【解析】 【分析】设阴影局部正方形的边长为a ，计算出七巧板所在正方形的边长，并计算出两个正方形的面积，利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】如下图，设阴影局部正方形的边长为a，那么七巧板所在正方形的边长为， 由几何概型的概率公式可知，在七巧板拼成的正方形内任取一点，那么该点取自图中阴影局部的概率()2218a =，应选：B. 【点睛】此题考察几何概型概率公式计算事件的概率，解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系，考察分析问题和计算才能，属于中等题.6.某型号汽车使用年限x 与年维修费y 〔单位：万元〕的统计数据如下表，由最小二乘法求得回归方程0.10.2y x =+．现发现表中有一个数据看不清，推测该数据的值是〔 〕A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.7【答案】C 【解析】 【分析】设所求数据为a ，计算出x 和y ，然后将点(),x y 代入回归直线方程可求出a 的值. 【详解】设所求数据为a，那么1234535x ++++==，0.20.50.40.8 1.955a a y +++++==，由于回归直线0.10.2y x =+过样本的中心点 1.93,5a +⎛⎫⎪⎝⎭，那么有1.930.120.55a +=⨯+=，解得0.6a =，应选：C.【点睛】此题考察利用回归直线计算原始数据，解题时要充分利用“回归直线过样本中心点(),x y 〞这一结论的应用，考察运算求解才能，属于根底题.7.设x 、y 满足约束条件20x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，那么2z x y =+的最大值为〔 〕A. 0B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线2z x y =+，观察直线2z x y =+在x 轴上的截距最大时对应的最优解，再将最优解代入目的函数可得出结果.【详解】作出不等式组20x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域如以下图中的阴影局部区域表示：联立2x y y x+=⎧⎨=⎩，得1x y ==，可得点A 的坐标为()1,1.平移直线2z x y =+，当该直线经过可行域的顶点A 时，直线2z x y =+在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 2113z =⨯+=，应选：C.【点睛】此题考察简单线性规划问题，一般作出可行域，利用平移直线结合在坐标轴上的截距取最值来获得，考察数形结合思想的应用，属于中等题.8.执行如下的程序框图，那么输出的S 是〔 〕A. 36B. 45C. 36-D. 45-【答案】A 【解析】 【分析】列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值.【详解】18i =≤满足，执行第一次循环，()120111S =+-⨯=-，112i =+=；28i =≤成立，执行第二次循环，()221123S =-+-⨯=，213i =+=； 38i =≤成立，执行第三次循环，()323136S =+-⨯=-，314i =+=； 48i =≤成立，执行第四次循环，()4261410S =-+-⨯=，415i =+=； 58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=； 68i =≤成立，执行第六次循环，()62151621S =-+-⨯=，617i =+=； 78i =≤成立，执行第七次循环，()72211728S =+-⨯=-，718i =+=； 88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=； 98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值是36，应选：A.【点睛】此题考察算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考察分析问题和计算才能，属于中等题.9.在ABC ∆中，根据以下条件解三角形，其中有一解的是〔 〕 A. 7a =，3b =，30B =B. 6b =，c =45B =C. 10a =，15b =，120A =D. 6b =，c =60C = 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形解的个数的判断条件得出各选项里面对应的ABC ∆解的个数，于此可得出正确选项.【详解】对于A 选项，17sin 722a B =⨯=，sin a B b ∴>，此时，ABC ∆无解；对于B 选项，sin 52c B ==，sin c B b c ∴<<，此时，ABC ∆有两解； 对于C 选项，120A =，那么A 为最大角，由于a b <，此时，ABC ∆无解； 对于D 选项，60C =，且c b >，此时，ABC ∆有且只有一解.应选：D.【点睛】此题考察三角形解的个数的判断，解题时要熟悉三角形个数的判断条件，考察推理才能，属于中等题.10.数列{}n a 是公差不为零的等差数列，{}n b 是等比数列，110=>a b ，440a b =>，那么以下说法正确的选项是〔 〕 A. 2323a a b b +>+ B. 2323a a b b +<+C. 2323a a b b +=+D. 23a a +与23b b +的大小不确定【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列{}n b 的公比为q ，结合题中条件得出0q >且1q ≠，将1b 、2b 、3b 、4b 用1b 与q 表示，利用因式分解思想以及根本不等式可得出23b b +与14b b +的不等关系，并结合等差数列下标和性质可得出23a a +与23b b +的大小关系.【详解】设等比数列{}n b 的公比为q ，由于等差数列{}n a 是公差不为零，那么14a a ≠，从而1q ≠，且3410b q b =>，得0q >，()2231111b b b q b q b q q +=+=+，()()()()()33214111111111b b b b q b q b q q q b q q+=+=+=+-+>+()11b q q =+，即1423b b b b +>+，另一方面，由等差数列的性质可得141423b b a a a a +=+=+，因此，2323a a b b +>+， 应选：A.【点睛】此题考察等差数列和等比数列性质的应用，解题的关键在于将等比中的项利用首项和公比表示，并进展因式分解，考察分析问题和解决问题的才能，属于中等题.11.以下有四个说法：①假设A 、B 为互斥事件，那么()()1P A P B +<； ②在ABC ∆中，a b >，那么cos cos A B <； ③98和189的最大公约数是7；④周长为P 的扇形，其面积的最大值为28P ；其中说法正确的个数是〔 〕 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C 【解析】 【分析】设A 、B 为对立事件可得出命题①的正误；利用大边对大角定理和余弦函数在()0,π上的单调性可判断出命题②的正误；列出98和189各自的约数，可找出两个数的最大公约数，从而可判断出命题③的正误；设扇形的半径为r ，再利用根本不等式可得出扇形面积的最大值，从而判断出命题④的正误.【详解】对于命题①，假设A 、B 为对立事件，那么A 、B 互斥，那么()()1P A P B +=，命题①错误；对于命题②，由大边对大角定理知，A B >，且0B A π<<<，函数cos y x =在()0,π上单调递减，所以，cos cos A B <，命题②正确；对于命题③，98的约数有1、2、7、14、49、98，189的约数有1、3、7、9、21、27、63、189，那么98和189的最大公约数是7，命题③正确；对于命题④，设扇形的半径为r ，那么扇形的弧长为2P r -，扇形的面积为()1222P S r P r r r ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由根本不等式得222216P r r P S ⎛⎫+- ⎪≤= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当2P r r =-，即当4P r =时，等号成立，所以，扇形面积的最大值为216P ，命题④错误.应选：C.【点睛】此题考察命题真假的判断，涉及互斥事件的概率、三角形边角关系、公约数以及扇形面积的最值，判断时要结合这些知识点的根本概念来理解，考察推理才能，属于中等题.12.一个三角形的三边是连续的三个自然数，且最大角是最小角的2倍，那么该三角形的最小角的余弦值是〔 〕 A.45B.34C.18D.7【答案】B 【解析】 【分析】设ABC ∆的最大角为B ，最小角为C ，可得出1b a =+，1c a =-，由题意得出2B C =，由二倍角公式sin sin 22sin cos B C C C ==，利用正弦定理边角互化思想以及余弦定理可得出关于a 的方程，求出a 的值，可得出cos C 的值.【详解】设ABC ∆的最大角为B ，最小角为C ，可得出1b a =+，1c a =-， 由题意得出2B C =，sin sin 22sin cos B C C C ∴==，所以，2cos b c C =，即2cos b C c =，即222b a b c c ab+-=， 将1b a =+，1c a =-代入222b a b c c ab+-=得1411a a a a ++=-+，解得5a =，6b ∴=，4c =， 那么63cos 284b Cc ===，应选：B. 【点睛】此题考察利用正弦定理和余弦定理解三角形，解题时根据对称思想设边长可简化计算，另外就是充分利用二倍角公式进展转化是解此题的关键，综合性较强.第二卷〔非选择题，一共90分〕考前须知：1.第二卷一共6页，用钢笔或者圆珠笔直接答在试题卷上，不要在答题卡上填涂.2.答卷前将密封线内的工程填写上清楚.二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填写上在题中横线上〕〔2〕化为十进制数是______．【答案】15. 【解析】 【分析】由二进制数的定义可将()21111化为十进制数.【详解】由二进制数的定义可得()3210211111212121215=⨯+⨯+⨯+⨯=，故答案为：15. 【点睛】此题考察二进制数化十进制数，考察二进制数的定义，考察计算才能，属于根底题.14.某公司当月购进A 、B 、C 三种产品，数量分别为2000、3000、5000，现用分层抽样的方法从A 、B 、C 三种产品中抽出样本容量为n 的样本，假设样本中A 型产品有20件，那么n 的值是_______． 【答案】100.【解析】 【分析】利用分层抽样每层抽样比和总体的抽样比相等，列等式求出n 的值.【详解】在分层抽样中，每层抽样比和总体的抽样比相等，那么有202000200030005000n=++， 解得100n =，故答案为：100.【点睛】此题考察分层抽样中的相关计算，解题时要充分利用各层抽样比与总体抽样比相等这一条件列等式求解，考察运算求解才能，属于根底题.15.正数x 、y 满足21x y +=，那么()()12x y xy++的最小值是________．【答案】25. 【解析】 【分析】利用等式21x y +=得()()12361x y xyxy++=++，将代数式36x y +与代数式2x y +相乘，利用根本不等式求出36x y +的最小值，由此可得出()()12x y xy++的最小值.【详解】21x y +=，所以()()()12222223611x y x y x y xy x y xyxyxyxy++++++++==+=++，由根本不等式可得()()()12223636112x y xy x y x y xyxyxyxy ++⎛⎫+++==++=+++⎪⎝⎭312131325y x x y =++≥+=， 当且仅当1y 22x ==时，等号成立，因此，()()12x y xy ++的最小值是25，故答案为：25.【点睛】此题考察利用根本不等式求最值，解题时要对代数式进展合理配凑，考察分析问题和解决问题的才能，属于中等题.16.在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，1n n a a n --=．那么数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和是_____. 【答案】21nn + 【解析】 【分析】先利用累加法求出数列{}n a 的通项公式，然后将数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项裂开，利用裂项求和法求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【详解】当2n ≥时，1n n a a n --=．所以，212a a -=，323a a -=，434a a -=，，1n n a a n --=.上述等式全部相加得1234n a a n -=++++，()112342n n n a n +∴=+++++=. ()122211n a n n n n ∴==-++， 因此， 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为22222222122311n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭21n n =+，故答案为：21n n +. 【点睛】此题考察累加法求数列通项和裂项法求和，解题时要注意累加法求通项和裂项法求和对数列递推公式和通项公式的要求，考察运算求解才能，属于中等题.三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．17.某校进展学业程度模拟测试，随机抽取了100名学生的数学成绩〔满分是100分〕，绘制频率分布直方图，成绩不．低于80分的评定为“优秀〞．〔1〕从该校随机选取一名学生，其数学成绩评定为“优秀〞的概率； 〔2〕估计该校数学平均分〔同一组数据用该组区间的中点值作代表〕． 【答案】〔1〕0.35；〔2〕该校数学平均分为76.5. 【解析】 【分析】〔1〕计算后两个矩形的面积之和，可得出结果；〔2〕将每个矩形底边中点值乘以相应矩形的面积，再将这些积相加可得出该校数学平均分. 【详解】〔1〕从该校随机选取一名学生，成绩不．低于80分的评定为“优秀〞的频率为()0.0250.010100.35+⨯=，所以，数学成绩评定为“优秀〞的概率为0.35； 〔2〕估计该校数学平均分()550.005650.020750.040850.025950.011076.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．【点睛】此题考察频率分布直方图频率和平均数的计算，解题时要熟悉频率和平均数的计算原那么，考察计算才能，属于根底题.18.如图，为了测量河对岸A 、B 两点的间隔 ，观察者找到一个点C ，从C 点可以观察到点A 、B ；找到一个点D ，从D 点可以观察到点A 、C ；找到一个点E ，从E 点可以观察到点B 、C ．并测量得到以下数据，105DCA ∠=，30ADC ∠=，90BCE ∠=，60ACB CEB ∠=∠=，2002DC =1003CE =米．求A 、B 两点的间隔 ．【答案】1007AB =米 【解析】 【分析】在ACD ∆中，求出DAC ∠，利用正弦定理求出AC ，然后在Rt BCE ∆中利用锐角三角函数定义求出BC ，最后在ABC ∆中，利用余弦定理求出AB . 【详解】由题意可知，在ACD ∆中，45DAC ∠=，由正弦定理得sin sin AC DCADC DAC =∠∠，所以sin 200sin DC ADC AC DAC⨯∠==∠米， 在Rt BCE ∆中，10033300BC ==米， 在ABC ∆中，由余弦定理得2222212cos602003002200300700002AB AC BC AC BC =⨯⨯=⨯⨯⨯=+-+-，所以，1007AB =米.【点睛】此题考察利用正弦、余弦定理解三角形应用题，要将实际问题转化为三角形的问题，并结合元素类型选择正弦、余弦定理解三角形，考察分析问题和解决问题的才能，属于中等题.19.在公差是整数的等差数列{}n a 中，17a =-，且前n 项和4n S S ≥．〔1〕求数列{}n a 的通项公式n a ；〔2〕令n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】〔1〕29n a n =-；〔2〕()228,4832,5n n n n T n N n n n *⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩. 【解析】 【分析】〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意知，{}n S 的最小值为4S ，可得出450a a ≤⎧⎨≥⎩，可得出d 的取值范围，结合d Z ∈，可求出d 的值，再利用等差数列的通项公式可求出n a ； 〔2〕将数列{}n b 的通项公式表示为分段形式，即(),4,5n n n n a n b a n N a n *-≤⎧==∈⎨≥⎩，于是得出()4,42,,5n n n n S n T n N S S a n *-≤⎧=∈⎨-≥⎩可得出n T 的表达式. 【详解】〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，那么d Z ∈， 由题意知，{}n S 的最小值为4S ，那么450a a ≤⎧⎨≥⎩， 17a =-，所以370470d d -≤⎧⎨-≥⎩，解得7743d ≤≤，d Z ∈，2d ∴=，因此，()()1172129n a a n d n n =+-=-+-=-； 〔2〕29n n b a n ==-.当4n ≤时，0n a <，那么n n n b a a ==-，()272982n n n n T S n n -+-∴=-=-=-+；当5n ≥时，0n a >，那么n n n b a a ==，()22428216832n n T S S n n n n ∴=-=--⨯-=-+. 综上所述：()228,4832,5n n n n T n N n n n *⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩. 【点睛】此题考察等差数列通项公式以及绝对值分段求和，解题的关键在于将n S 的最小值转化为与项相关的不等式组进展求解，考察化归与转化数学思想，属于中等题.20.2019年3月22日是第二十七届“世界水日〞，3月22~28日是第三十二届“中国水周〞．我国纪念2019年“世界水日〞和“中国水周〞活动的宣传主题为“坚持节水优先，强化水资源管理〞．某中学课题小组抽取A、B两个小区各20户家庭，记录他们4月份的用水量〔单位：t〕如下表：〔1〕根据两组数据完成下面的茎叶图，从茎叶图看，哪个小区居民节水意识更好？〔2〕从用水量不．少于30t的家庭中，A、B两个小区各随机抽取一户，求A小区家庭的用水量低．于B小区的概率．【答案】〔1〕见解析〔2〕3 8【解析】【分析】〔1〕根据表格中的数据绘制出茎叶图，并结合茎叶图中数据的分布可比拟出两个小区居民节水意识；〔2〕列举出所有的根本领件，确定所有的根本领件数，然后确定事件“A 小区家庭的用水量低．于B 小区〞所包含的根本领件数，利用古典概型的概率公式可计算出事件“A 小区家庭的用水量低．于B 小区〞的概率. 【详解】〔1〕绘制如下茎叶图：60556898552211223467899877654332245675210312A B由以上茎叶图可以看出，A 小区月用水量有710的叶集中在茎2、3上，而B 小区月用水量有710的叶集中在茎0、1上，由此可看出B 小区居民节水意识更好； 〔2〕从用水量不少于30t 的家庭中，A 、B 两个小区各随机抽取一户的结果：()35,31、()35,32、()32,31、()32,32、()31,31、()31,32、()30,31、()30,32，一共8个根本领件，A 小区家庭的用水量低于B 小区的的结果：()31,32、()30,31、()30,32，一共3个根本领件．所以，A 小区家庭的用水量低．于B 小区的概率是38． 【点睛】此题考察茎叶图的绘制与应用，以及利用古典概型计算事件的概率，考察搜集数据与处理数据的才能，考察计算才能，属于中等题.21.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、ccos c C -=．〔1〕求角A 的大小； 〔2〕假设a =b 的最大值及相应的角B 的余弦值.【答案】〔1〕4A π=〔2〕b +的最大值为cos 5B =【解析】 【分析】〔1〕由正弦定理边角互化思想结合内角和定理、诱导公式可得出cos A 的值，结合角A 的取值范围可得出角A 的大小；〔2〕由正弦定理得出2sin b B =，()2sin 2sin c C A B ==+，然后利用三角恒等变换思想将b +转化为关于角B 的三角函数，可得出b 的值，并求出cos B 的值.【详解】〔1sin cos B C A C -=，()sin cos A C C A C +-=，cos sin sin cos A C A C C A C -=，sin sin 0A C C -=，由sin 0C >得cos A = 因为0A π<<，所以4A π=；〔2〕由正弦定理可知，2sin sin sin a b cA B C===， 那么有2sin b B =，2sin 2sin 4c C B π⎛⎫==+⎪⎝⎭，2sin 2sin 422b B B B B B π⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭()4sin 2cos B B B θ=+=+，其中sin cos θθ==因为304B π<<，所以34B πθθθ<+<+，所以当2B πθ+=时，b +获得最大值此时cos cos sin 25B πθθ⎛⎫=-==⎪⎝⎭，所以，b +的最大值为cos 5B =． 【点睛】此题考察正弦定理边角互化思想的应用，考察内角和定理、诱导公式，以及三角形中最值的求解，求解时常利用正弦定理将边转化为角的三角函数来求解，解题时要充分利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考察运算求解才能，属于中等题.22.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()2n n S a n n N *=-∈．〔1〕求证：数列{}1n a +是等比数列； 〔2〕求证：121111122n na a a -<+++<． 【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析. 【解析】 【分析】〔1〕令1n =，由11a S =求出1a 的值，再令2n ≥，由2n n S a n =-得()1121n n S a n --=--，将两式相减并整理得121n n a a -=+，计算出111n n a a -++为非零常数可证明出数列{}1n a +为等比数列；〔2〕由〔1〕得出12nn a +=，可得出121n n a =-，利用放缩法得出111122n n n a -<≤，利用等比数列求和公式分别求出数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭和112n -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，从而可证明出所证不等式成立.【详解】〔1〕当1n =时，11121a S a ==-，解得11a =； 当2n ≥时，由2n n S a n =-得()1121n n S a n --=--，上述两式相减得11221n n n n n a S S a a --=-=--，整理得121n n a a -=+.那么111122211n n n n a a a a ---++==++，且112a +=. 所以，数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列；〔2〕由〔1〕可知11222n nn a -+=⨯=，那么21n n a =-．因为111212n nn a =>-， 所以212111111112222n nn a a a +++>+++=-.又因为()1111111212222n n n n n a ---==≤--， 所以1112111111122222n n n a a a --+++≤+++=-<． 综上，121111122n na a a -<+++<． 【点睛】此题考察利用前n 项和求数列通项，考察等比数列的定义以及放缩法证明数列不等式，解题时要根据数列递推公式或者通项公式的构造选择适宜的方法进展求解，考察分析问题和解决问题的才能，属于中等题.。

2020-2021学年第二学期期末考试高一数学 必修Ⅳ考试时间：120分钟 试卷满分：150分第Ⅰ卷（100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上） 1．化简AC -BD +CD -AB 得A ．ABB ．DAC ．BCD ．2．设sin α=-53,cos α=54，那么下列的点在角α的终边上的是 A ．(-3,4) B ．(-4,3) C ．(4,-3)D ．(3,-4)3．cos43°cos77°+sin43°cos167°的值是 A．-B ．12C．D ．12-4．函数)sin(ϕω+=x A y (A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π)在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为 A ．)322sin(2π+=x yB ．)32sin(2π+=x yC ．)32sin(2π-=x yD ．)32sin(2π-=x y5．在边长为2的正三角形ABC 中，BC AB •为A ．32B ．32-C ．2D ．2-x6．如图，ABCD 的对角线交点是O ，则下列等式成立的是 A ．AB OB OA =+ B ．BA OB OA =+C ．AB OB AO =-D ．CD OB OA =-7．若()414tan ,52tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+πββα，那么⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα的值是A ．1813B ．223C ．1213D ．618．函数f (x)是以π为周期的奇函数且1)4(-=-πf ,则)49(πf 的值为A ．4π B ．－4πC ．1D ．－1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．求值：2525sin(-)cos 36ππ+= 。

10．如图，单摆的摆线离开平衡位置的位移S (厘米)和 时间t (秒)的函数关系是2sin(2),[0,)4S t t π=+∈+∞，则摆球往复摆动一次所需要的时间是______秒11．扇形OAB 的面积是1cm 2，半径是1cm ，则它的中心角的弧度数为 。

甘肃高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知两个非零向量满足，则下面结论正确是（）A．B．C．D．2.已知且，则（）A．B．C．D．3.在中，，则等于（）A．B．C．D．4.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位5.函数的值域是（）A．B．C．D．6.设是单位向量，且则的最小值是（）A．B．C．D．7.在中，若，则的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形8.设函数是常数，，若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为（）A．B．C．D．9.如图，正方形的边长为分别为上的点．当的周长为时，则的大小为（）A．B．C．D．10.对任意两个非零的向量和，定义；若向量满足，与的夹角，且都在集合中，则（）A．B．C．D．二、填空题1.已知向量．若λ为实数，，则＝_____．2.函数的定义域是________________．3.在边长为1的正三角形中，设，，则_____．4.函数的最大值为_________．5.下面五个命题中，其中正确的命题序号为________________．①若非零向量满足则存在实数使得；②函数的图象关于点对称；③在中，；④在内方程有个解；⑤若函数为奇函数，则．三、解答题1.（8分）已知．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．2.（8分）在平面直角坐标系中，已知向量，，．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若与的夹角为，求的值．3.（10分）在中，内角的对边分别为，且．已知求：（Ⅰ）和的值；（Ⅱ）的值．4.（12分）已知函数的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数在区间上的值域；（Ⅲ）求函数的单调递增区间．5.（12分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上，作出其在上的图象．甘肃高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知两个非零向量满足，则下面结论正确是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，故选B。

密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号 一 二 三 总分 得分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，41a =-，则5S =（ ） A ．10 B ．5 C ．0 D ．2-2.已知(2,3)a =-，a 与b 的夹角为60︒，则a 在b 方向上的投影为（ ） A ．72B ．72C ．27D ．773.已知某班级17位同学某次数学联合诊断测试成绩的茎叶图如图所示，则这17位同学成绩中位数为（ ）A ．91B ．92C ．94D ．954.总体由编号为01，02，...，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表的第1行第5列和第6列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）7961 9507 8403 1379 5103 2094 4316 8317 1869 6254 0738 9261 5789 8106 4138 4975 A ．20B ．18C ．17D ．165.已知某企业2020年4月之前的过去5个月产品广告投入与利润依次统计如表：月份11121 23广告投入（x 万元）8.27.88 7.98.1利润（y 万元） 92 89 8987 93由此所得回归方程为ˆ12yx a =+，则a 为（ ） A ．4- B ．6- C ．8- D ．10-6.设α，β是两个不同的平面，是m ，n 两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A ．若m n ∥，mα，则n αB ．若m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则m n ⊥C ．m α⊂，n β⊂，m n ∥， 则αβ密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题D ．若n α⊂，m n ∥，m β⊥，则αβ⊥7.如果实数m ，n ，满足：0m n <<，则下列不等式中不成立的是（ ）A ．m n >B ．11m n m>- C ．11n m<D ．220n m -<8.在数列{}n a 中，11a =-，23a =-，23n n a a +=-，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则2022S =（ ）A ．4-B ．1-C ．0D ．39.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22tan tan B C bc=，则ABC △的形状为（ ） A ．等腰三角形或直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等腰三角形D ．直角三角形10.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示，己知球的半径为R ，酒杯内壁表面积为214π3R ，设酒杯上部分（圆柱）的体积为1V ，下部分（半球）的体积为2V ，则21V V =（ ）A ．2B ．32C ．12D ．111.设a ，b ，c 分别是ABC △的内角的对边A ，B ，C ，已知点M 是BC 边的中点，且2221a b c --=，则()AB MA MB ⋅+=（ ） A ．17B 17C ．12D 1712.在锐角ABC △中，若cos cos sin sin 3sin A C B C acA+=，且3sin cos 2C C +=，则a b +的取值范围是（ ） A ．(3⎤⎦B ．(3⎤⎦C ．(23,43D ．(3⎤⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号 一 二 三 总分 得分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．集合{}22A x x =-<<，{}13B x x =-<<，那么A ∪B =（ ）A ．{}21x x -<<-B ．{}12x x -<<C ．{}21x x -<<D．{}23x x -<<2．已知角α的终边经过点(,4)P m ，（0m < ），且1cos 5m α= ，则sin cos αα-=（ ）A ．15B ．75C ．15-D ．13．已知函数221log (),0(),03x x a x f x x -⎧+<=⎨≥-⎩，若f [f (2)]=1，则a =（ ）A ．-2B ．-7C ．1D ．5 4．在等差数列{}na 中，35712aa a +=-，则19a a +=（） A ．8B ．12C ．16D ．205．如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点， OP ＝x OA ＋y OB ，且BP ＝2PA ，则（ ）A ．21,33x y ==B ．12,33x y ==C ．23,55x y == D ．13,44x y == 6．已知1sin(3)3πα+=-，则2cos ()24απ-值为（ ）A ．13B ．326+C ．326-D ．237．在等比数列{a n }中，已知其前n 项和，则a 的值为( ) A ．－1B ．1C ．－2D ．28．已知⊙C 1：()()22111x y ++-=，⊙C 1与⊙C 2关于直线10x y --=对称，则⊙C 2的方程为 A ．()()22221x y ++-= B ．()()22221x y -++= C ．()()22221x y +++=D ．()()22221x y -+-=9．若定义在R 上的偶函数f (x )在（0, +∞）上单调递增，且(2)0f -=，则不等式()0xf x <的解集是（ ） A ．（-∞, -2）∪（0, 2） B ．（2, +∞） C ．（-2, 2）D ．（-∞, -2）10．已知点P 为直线250x y +-=上的动点，过点P 作圆C ：()()22122x y -++=的两条切线，切点分别为A 、B ，则四边形P ACB 面积的最小值为（ ） A ．6B ．26C ．6D ．1212n n S a +=+密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题11．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=，则ABC 的形状是（ ）A ．三边均不相等的三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．以上均有可能12．设{}max ,p q 表示,p q 两者中较大的一个．已知：定义在[]0,2π上的函数{}()max 2sin ,2cos f x x x =满足关于x 的方程()()2212()0f x m f x m m +-+-=有6个不同的解，则m 的取值范围为( ) A ．()2,2B ．()2,12+ C ．()1,2-D ．()12,22+二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．直线l 过点（-1, 2）且与直线2340x y -+=垂直，则l 的方程是 ． 14．已知函数221,0()log (1),0x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，记()1f x <的解集为 ．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，PA AB =，E 为CD 中点．则PE 与平面PAC 所成角的正切值为 ． 16. 在数列{a n }中，12,a=12(1)n n a a n +-=+，则数列1{}na 的前n 项的和n S = ．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分) 已知2()23sin cos 2sin 1f x x x x =-+（1）求()f x 的最小正周期及单调递增区间；（2）,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()3f x m -≥恒成立，求实数m 的取值范围. 18．(本小题满分12分) 如图，已知以点(1,2)A -为圆心的圆与直线1:270l x y ++=相切，过点(2,0)B -的动直线与圆A相交于,M N两点．（1）求圆A的方程；（2）当||219MN =时，求直线l 的方程．19．(本小题满分12分) 已知数列{}na 中，14nn a a +=，2116a =，递增等差数列{}nb 满足11b =，2b 是1b 与6b 的等比中项．（1）求数列{},{}nna b 的通项公式；（2）求数列{}nn ab +的前n 项的和n S ．20．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC //AD ，BC =CD =12AD . （1）求证：CD ⊥PD ；A BCD EP密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（2）求证：BD ⊥平面P AB ；（3）在棱PD 上是否存在点M ，使CM //平面P AB . 若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由.21．(本小题满分12分) 某驾校拟围着一座山修建一条环形训练道路OASBCD ，道路的平面图如图所示(单位：km)，已知曲线ASB 为函数y ＝A sin(ωx ＋φ) （A >0,0<ω<1，|φ|<π2)，x ∈R ）的图象，且最高点为S (1,2)，折线段AOD 为固定线路，其中AO ＝3，OD ＝4，折线段BCD 为可变线路，但为保证驾驶安全，限定∠BCD ＝1 20°． （1）求A ，ω，φ的值；（2）若∠CBD ＝θ，试用θ表示折线段道路BCD 的长，并求折线段道路BCD 长度的最大值．21．(本小题满分12分) 已知函数()22xxf x k -=+⋅，x R ∈．(其中e为自然对数的底数)（1）若1k =，且()3f m =，求(2)f m 的值； （2）若1k =-，求不等式22(2)(3)0f xx f x x -+-->的解集；（3）若1k =-，且2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围．参考答案1~12 DBBA ADCB AACA 13．3210x y +-= 14．(,1)-∞ 15．3516．1n n + 17．（1）,T π=[,]()36k k k Z ππππ-+∈； （2）4m ≤-．18．（1）22(1)(2)20x y ++-= ； （2）2x =-或3460x y -+=． 19．（1）1(),324n nn a b n ==- ； （2）21333()42n nn nS -=-⋅+．20．略． 21．（1）2,,63A ππωϕ=== ； （226 ．22．（1）7； （2） (,1)-∞； （3）5m ≥-PABCD密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号 一 二 三 总分 得分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．求17cos 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．12-C ．3D ．32．已知向量()2,1a =，(),1b m =-，且()2b a b ⊥-，则m 的值为（ ） A ．1B ．3C ．1或3D ．43．等差数列{}n a 的前n 项和n S ，若132,12a S ==，则6a =( )A ．8B ．12C ．10D ．14 4．已知变量x ，y 之间具有良好的线性相关关系，若通过10组数据(,)(1,2,...,10)i i x y i =得到的回归方程为5y bx =+，且10120i i x ==∑，1018ii y==∑，则b =（ ）A ．2.1B ．2C ．-2.1D ．-25．在三角形ABC 中，已知sin :sin :sin 2:3:4A B C =，且10a b +=，则向量AB 在向量AC 的投影是（ ） A ．7B ．6C ．5D ．46．将函数sin 2y x =的图象向左平移π6个单位长度后得到曲线1C ，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为（ ）A.πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．πsin 43y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7.已知正项等比数列{a n }，若向量()28,a a =，()82b a =，，//a b ，则212229log log log a a a +++＝（）A ．12B ．28log 5+C ．5D ．188．已知α为锐角，且3cos()65πα+=，则sin α=（ ） A 433+B 433- C 334+D 334- 9．下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)； ③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1； ④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 10. 已知函数的最大值为2，其图密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题象相邻两条对称轴之间的距离为且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（ ） A ．函数在上单调递增B ． 函数的图象关于直线对称C ． 当时，函数的最小值为2-D ．要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位 11．已知ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b =，45B =︒，若三角形有两解，则a 的取值范围是（ ）A ．2a >B ．02a <<C ．222a <<D ．223a <<12．已知函数()()231cos sin 0,R 222xf x x x ωωω=+->∈.若函数 ()f x 在区间(),2ππ内没有零点 ， 则ω的取值范围是（ ）A ．50,12⎛⎤⎥⎝⎦B ．55110,,12612⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．50,6⎛⎤⎥⎝⎦D ．55110,,12612⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 若一组样本数据21，19，x ，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为 .14. 若向量(21)a x =+，，(26)b x =+，，又a b ，的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为 ． 15．函数()sin cos sin cos 1f x x x x x =-⋅++-在区间30,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为________.16．等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的积为T n ，并且满足条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0.给出下列结论： ①0<q<1； ②a 1a 99－1<0； ③T 49的值是T n 中最大的；④使T n >1成立的最大自然数n 等于98. 其中所有正确结论的序号是_________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知等差数列{}n a 满足1243102a a a a +=-=，.等比数列{}n b 满足2337b a b a ==，. ( I )求数列{}n a 的通项公式; (II)设n n n c a b =+,求数列{}n c 的前n 项和n S .18．（本小题满分12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .满足22cos c a b A =+.（1）求B ；（2）若5a c +=，3b =，求ABC 的面积.19．（本小题满分12分）如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 上的点，且满,2BE EC DF FC==，记AB a=，AD b =，试以,a b 为平面向量的一组基底.利用向量的有关知识解决下列问题； （1）用,a b 来表示向量BF ⃗⃗⃗⃗ ；密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（2）若3,2ab ==，且3BF =，求DE ；20．（本小题满分12分）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[)15,25，第2组[)25,35，第3组[)35,45，第4组[)45,55，第5组[)55,65，得到的频率分布直方图如图所示: （1）求出样本的平均数（同一组数据用 该区间的中点值作代表）；（2）现在要从年龄较小的第1，2组中用 分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组中抽到2人的概率． 21．（本小题满分12分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n *∈N ，点(),n n a S 都在函数()22f x x =-的图象上. （1）求数列{}n a 的通项公式；[来源:学*科*网] （2）若数列()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和nT ；22．（本小题满分12分）已知向量(sin 3cos ,1)m x x =-，2(2sin ,4cos )n x x =，函数()f x m n =⋅．（1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）若ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f(A)=1，a =3,求b+2c 的取值范围．参考答案1．A由诱导公式可得17171cos cos 6cos 3332ππππ⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A. 2．C根据题意，得()24,3a b m -=-，由()2b a b ⊥-，得()430m m --=.解得1m =或 3.m =故选C.[来源:]3．B 设等差数列{}n a 的公差为d ，则3133S a d =+，所以12323d =⨯+，解得2d =，所以612a =． 4． C因为10101112,2010i i i i x x x ===⇒=⨯=∑∑10101118100.8i i i i y y y ===⇒=⨯=∑∑，所以根本点的中心为(2,0.8)，把样本点的中心代入回归直线方程，得0.825 2.1b b =+⇒=-，故本题选C.5. ．A 由题意，利用正弦定理可得::2:3:4a b c =，则设2a k =，3b k =，4c k =，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题由105a b k +==，所以2k =，故有4a =，6b =，8c =，由余弦定理可得2227cos 28b c a A bc +-==， 所以，向量AB 在向量AC 的投影是7cos 878AB A ⋅=⨯=.故选：A. 6．B 解：将函数sin 2y x =的图像向左平移π6个单位长度后得到曲线1C ，则1C 的解析式为sin 2()sin(2)63y x x ππ=+=+，再将1C 上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到曲线2C ，则2C 的解析式为1sin(2)sin()233y x x ππ=⨯+=+7. D由题意，向量()28,a a =，()82b a =，，//a b ， 则28820a a ⨯-=，即2816a a =，根据等比中项的知识，可得228516a a a ==， ∵50a >，故54a =， ∴212229log log log a a a +++()2129log a a a =()()()()2192837465log a a a a a a a a a =⋅⎡⎤⎣⎦925log a =29log 4=18=故选：D. 8．B 解：∵cos （α6π+）35=（α为锐角），∴α6π+为锐角，∴sin （α6π+）45=， ∴sin α＝sin[（α6π+）6π-]＝sin （α6π+）cos 6π-cos （α6π+）sin 6π4331433552-=-⨯=， 故选：B ．9．A由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A 与B 是互斥事件时，才有P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A ，B 满足P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ＝{摸到红球或黄球}，事件B ＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A 与B 不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1. 10. D 当时，，在为减函数，故A错，故函数图像的对称中心为，故B 错；当时，，故，故C 错；因为的最大值为，故，又图象相邻两条对称轴之间的距离为，故，所以，令，则即，因，故，.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题，故向右平移个单位后可以得到，故D 正确；11．C根据正弦定理：sin sin 2a b A B ==，故sin 22A =，三角形有两解，故2sin 1222A <=<，解得222a <<故选：C. 12．D1cos 3131()cos 222x f x x x x ωωωω+=-=+sin()6x πω=+ ，2,2,2666x x x πππππωπωωπωπωωπ<<∴<<+<+<+, 函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点 (1)(,2)(2,2),66k k k Zππωπωππππ++⊆+∈，则26{226x k k πωππωπππ+≥+≤+ ，则126{512k k ωω≥-≤+，取0k = ，0,ω> 5012k ∴<≤；[来源:学科网]（2）(,2)(2,22),66k k k Z ππωπωπππππ++⊆++∈，则26{2226k k πωππππωπππ+≥++≤+ ，解得：526{1112k k ωω≥+≤+，取0k =，511612k ∴≤≤ ；综上可知：k的取值范围是5511(0,][,]12612，选D . 13.221192018205x ++++=，解得22x =，该组样本数据的方差为22222(2120)(1920)(2220)(2020)(1820)25-+-+-+-+-=.故答案为：214.5{|2}4x x x >-≠且15．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦令3sin cos 2),[0,]()[,],2]4444t x x x x x t πππππ=+=+∈∴+∈∴∈. 221sin cos 12sin cos sin cos 2t t x x t x x x x -=+⇒=+⋅⇒⋅=.所以2221111()1(1)2222t f t t t t t -=-+-=-+-=--.13(0),(2)2,(0)(2)22f f f f =-=∴<，当2]t ∈，所以有max min 1()(1)0,()(0)2f t f f t f ====-， 所以函数的值域为1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16．①②③④密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题【解析】由条件a 1>1，a 49a 50－1>0，(a 49－1)(a 50－1)<0可知a 49>1，a 50<1，所以0<q <1，①对；∵a 1a 99＝250a <1，②对；因为a 49>1，a 50<1，所以T 49的值是T n 中最大的，③对；∵T n ＝a 1a 2a 3…a n ，又∵a 1a 98＝a 49a 50>1，a 1a 99＝250a <1，所以使T n >1成立的最大自然数n 等于98.故填①②③④.17．（Ⅰ）22n a n =+；（Ⅱ）22324n n S n n +=++-. 解: (I)在等差数列{}n a 中，由题意可知12102a d d +=⎧⎨=⎩解得142a d =⎧⎨=⎩22n a n ∴=+.(II)在等比数列{}n b 中，由题意可知121816b q b q =⎧⎨=⎩解得142b q =⎧⎨=⎩11422n n n b -+=⨯=∴,1222n n c n +∴=++,2341426282...222n n S n -∴=+++++++++()23146...2222...2n n +=++++++++ ()2314622222n n +=++++++++22324n n n +=++-.18．（1）π3B =；（243.（1）由题知2sin sin 2sin cos C A B A =+，则()2sin sin 2sin cos A B A B A +=+， 则2sin cos sin A B A =，在ABC 中，sin 0A ≠，所以1cos 2B =，则π3B =. （2）由余弦定理得2222cos b a c ac B=+-，从而得()22293a c ac a c ac =+-=+-，又5a c +=，所以163ac =，所以ABC 的面积为143sin 23S ac B ==. 19．（1）见解析；（27（1）∵在ABCD 中，2DF FC =，∴111222DE DC CE AB CB AB AD a b =+=+=-=- 111333BF BC CF AD CD AD AB b a =+=+=-=-（2）由（1）可知：13BF AD AB =-，12DE AB AD =- ∴2222121·339BF AD AB AD AD AB AB ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭∵3,2AB AD ==且3BF =∴222213223cos 339BAD =-⨯⨯⨯∠+⨯ ∴1cos 2BAD ∠= ∴222211·24DE AB AD AB AB AD AD ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭2211332cos 2961742BAD =-⨯⨯∠+⨯=-⨯+=，∴7DE=20．（1）41.5岁；（2）35（1）由()100.0100.0150.0300.0101a ⨯++++=，得0.035a =． 平均数为；200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁； （3）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，从第1，2组密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为12123,,,,a a b b b ．设从5人中随机抽取3人，为121122123112(,,),(,,),(,,),(,,),a a b a a b a a b a b b ，113123212213223123(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),a b b a b b a b b a b b a b b b b b 共10个基本事件，从而第2组中抽到2人的概率63=105．21．（1）将点(),n n a S 代入函数()y f x =的解析式得到22n n S a =-.当1n =时，1122S a =-，即1122a a =-，解得12a =； 当2n ≥时，由22n n S a =-得1122n n S a --=-， 上述两式相减得122n n n a a a -=-，得12n n a a -=，即12nn a a -=. 所以，数列{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，因此，1222n n n a -=⨯=；（2）()()21212n n n b n a n =-⋅=-⋅，n *∈N ，因此()123123252212n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，①()()23121232232212n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯，②由①-②得()23112222222212n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯()()()211121222212632212n n n n n -++-=+⨯--⨯=-+-⨯-，所以()16232n n T n +=+-⨯； 22．（1）()222sin 23sin cos 4cos f x x x x x =-+222cos 23sin cos x x x =+-3cos23sin2x x =+2cos 233x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1cos 21,32x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()f x 的值域为[]1,4． （2）f (A )=1，则cos 213x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则A=3πsin 2aA R=，223R ∴= 22sin 4sin 2(sin 2sin )b c R B R C R B C ∴+=+=+ 22sin 2sin 3R B B π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2(2sin 3cos )R B B =()0221sin B θ=+．其中锐角0θ满足：03tan θ=ABC 为锐角三角形， 62B ππ∴<<，00062B ππθθθ∴+<+<+， 由064ππθ<<，知：000262πππθθ<-<+<，000sin sin sin 226πππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-<+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()00sin sin 12B πθθ⎛⎫∴+<+≤ ⎪⎝⎭，又00sin cos 27πθθ⎛⎫+==⎪⎝⎭()0sin 17B θ<+≤，432221b c ∴<+≤ 故答案为: (43,221].密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号 一 二 三 总分 得分一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将正确选项的代号填入答题卷内.）1．下列各角中与1°角终边相同的是（ ） A ．360°B ，361°C ．362°D ．363°2．关于x 的不等式()()110x x -+≤的解集是（ ） A ．()1,1-B ．[)1,1-C ．(]1,1-D ．[]1,1-3．设,,a b c R ∈，且a b >，则下列不等式成立的是（ ） A ．22a b >B ．ac bc >C ．a c b c +>+D ．11ab<4．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AB BC=，那么四边形ABCD 为（ ） A ．平行四边形B ．菱形C ．长方形D ．正方形5．已知函数()cos3f x x =的图象向右平移12π个单位长度得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（）A ．()cos 312g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()cos 34g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()cos 312g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()cos 34g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭6．下列函数中，最小正周期是π，且在区间,2n π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数的是（ ） A ．sin 2y x =B ．sin y x =C ．tan 2xy =D ．cos 2y x =7．已知实数x ，y 满足约束条件2602000x y x y x y --≤⎧⎪-+⎪⎨⎪⎪⎩≥≥≥，则z x y =+的最大值为（ ） A ．0B ．18C ．2D ．38．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一格问题：“一百二十六里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每日行数里，请公仔细算相还”，其意思为：“有一个人要去126里外的地方，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问第一天走了（ ）A ．64里B ．32里C ．16里D ．8里9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若452a a +=，则8S 等于（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题10．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 在线段CD 上运动，则AP AB ⋅的取值范围为（）A ．2,2⎡⎤-⎣⎦ B ．2,4⎡⎤⎣⎦C ．[]0,4D ．2⎡⎣11．ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若sin cos sin A B C <，则ABC △一定为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D.等边三角形12．ABC △的内角,,A B C 的对边分别是,,c a b ，(),m a c b =+，(),2n a c b a=-，若m n ⊥，则()2sin22tanA B -的取值范围为（ ）A ．(0,526-B ．[)2,0-C ．2,526⎡--⎣ D ．()2,0-二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卷中对应题号后的横线上．）13．已知O 为坐标原点，()1,2OA =，()1,3AC =-，则OC =______．14．若关于x 的不等式4x xm +≥对任意()0,x ∈+∞恒成立，则实数m的取值范围是 ______．15．已知函数()sin f x x =，[]0,x π∈，实数[)0,1k ∈，则关于x 的方程()f x k =所有根之和为______．16．已知数列：1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16，…其中第一项是1，接下来的两项是1，2，再接下来的三项是1，2，4，依此类推．若该数列的前n 项和是2 的整数次幂，且3100n <<，则n 的所有取值的和为 ______．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(10分）已知等差数列{}n a ，等比数列{}n b 满足：113a b ==，4212a b ==．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n S ．18．(12分）已知向量a ，b 满足：2a =，()1,1b =． （1）若//a b ，求a 的坐标；（2）若()6a a b ⋅+=，求a 与b 的夹角的余弦值．19．(12分）已知角,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且角α的终边与单位圆的交点为525⎛ ⎝⎭． （1）求cos α的值；（2）若()3sin 5αβ-=-，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin β的值．20．(12分）如图，某海港一天从0~12时的水位高度y （单位：密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题米）随时间t （单位：小时）的变化近似满足函数()()sin 0,0y A t b ωϕωϕπ=++><<．（1）求该函数的解析式；（2）若该海港在水位高度不低于6米时为轮船最佳进港时间，那么该海港在0~12时，轮船最佳进港时间总共多少小时？21．(本题10分)在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，向量BA与AC 的夹角的余弦值为13。

2021—2021第二学期期末考试试卷高一数学一：选择题。

1.若sin 0α<，且tan 0α>，则α是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角 【答案】C 【解析】sin 0α<，则α的终边在三、四象限；tan 0α>则α的终边在三、一象限， sin 0α<，tan 0α>，同时满足，则α的终边在三象限。

2.4sin()3π-的值等于( )A.12 B. －12C.2D. －2【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式把4sin()3π-化简成sin 3π.【详解】44sin()sin()sin 333πππ-=-==【点睛】本题考查诱导公式的应用，即把任意角的三角函数转化成锐角三角函数，考查基本运算求解能力.3.已知(3,0)AB =，那么AB 等于( ) A. 2 B. 3 C. 4D. 5【答案】B 【解析】【详解】因为(3,0)AB =，所以903AB =+=， 故选B.4.如图是某体育比赛现场上评委为某位选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别是( )A. 5和1.6B. 85和1.6C. 85和0.4D. 5和0.4【答案】B 【解析】 【分析】去掉最低分79分，最高分93分，利用平均数的计算公式求得85x =，利用方差公式求得2 1.6s =.【详解】去掉最低分79分，最高分93分，得到数据84,84,84,86,87， 该组数据的平均数8484848687855x ++++==，222222(8485)(8485)(8485)(8685)(8785) 1.65s -+-+-+-+-==.【点睛】本题考查从茎叶图中提取信息，并对数据进行加工和处理，考查基本的运算求解和读图的能力.5.函数y=2cos 1x -的最大值、最小值分别是( ) A. 2，－2 B. 1，－3C. 1，－1D. 2，－1【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数有界性确定最值.【详解】因为1cos 1x -≤≤，所以2cos 1[3,1]y x =-∈-，即最大值、最小值分别是1，－3，选B.【点睛】本题考查余弦函数有界性以及函数最值，考查基本求解能力，属基本题.6.sin 20︒cos 40︒＋cos 20°sin 40°的值等于A.14C.12【答案】B 【解析】由题可得，000002040+2040=602sin cos cos sin sin =.故选B.7.已知向量(4,2)a =-，向量,)5(b x =，且//a b ，那么x 等于( ) A. 10 B. 5C. 52-D. 10-【答案】D 【解析】 【分析】由两向量平行，其向量坐标交叉相乘相等，得到452x ⨯=-. 【详解】因为//a b ，所以452x ⨯=-，解得：10x =-.【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，考查基本运算，注意符号的正负.8.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是( ) A. 至少有一个红球与都是红球 B. 至少有一个红球与都是白球 C. 至少有一个红球与至少有一个白球 D. 恰有一个红球与恰有两个红球 【答案】D【解析】【详解】试题分析：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球1个白球；1个红球2个白球；3个球全是白球． 选项A 中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件, 不是互斥事件； 选项B 中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项C 中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的交事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”, 不是互斥事件；选项D 中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有二个红球”互斥不对立 考点：互斥事件与对立事件9.函数()y Asin x ωϕ=+的部分图象如图所示，则（ ）A. 2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B. 2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C. 2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. 2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出w ，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式．【详解】根据函数()y Asin x ωϕ=+部分图象，可得2A =，236T πππω==+，解得2w =，再根据五点法作图，可得232ππϕ⨯+=，解得6πϕ=-，故()226f x sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故选：A ．【点睛】本题主要考查由函数()y Asin x ωϕ=+的部分图象求解析式，其中解答中函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出w ，由五点法作图求出ϕ的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 10.设函数()sin(2)2f x x π=-（x ∈R ），则()f x 是A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为2π的奇函数 D. 最小正周期为2π的偶函数 【答案】B 【解析】∵f (x )＝sin 22x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－cos2x ，∴f (x )为偶函数，周期T ＝π.11.若将一个质点随机投入长方形ABCD 中，其中2,1AB BC ==，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率为（ ） A.8πB.6π C.4π D.2π 【答案】C 【解析】 【分析】质点落在以AB 为直径的半圆内的概率等于半圆面积与长方形面积比. 【详解】如图所示：2,1AB BC ==，2112214S P S ππ⋅⋅===⋅半圆长方形.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，注意概率值是半圆面积与长方形面积的比值，与单个图形面积的大小无关.12.[202X·湖北省沙市中学期末]在四边形ABCD 中，AB ＝a ＋2b ，BC ＝－4a －b ，CD ＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 为( ) A. 平行四边形 B. 矩形C. 梯形D. 菱形【答案】C 【解析】∵AD ＝AB ＋BC ＋CD ＝－8a －2b ＝2BC ，AB 与CD 不平行，∴四边形ABCD 为梯形．二、填空题．13.已知角α的终边经过点()3,4P ，则cos α的值为____________. 【答案】35【解析】 【分析】由题意和任意角三角函数的定义求出cos a 的值即可． 【详解】由题意得角α的终边经过点()3,4P ，则5OP =， 所以3cos 5x a OP ==，故答案为35． 【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．14.已知向量a ＝(3，2)，b ＝(0，－1)，那么向量3b －a 的坐标是 ． 【答案】(3,5)-- 【解析】试题分析：因为(3,2),(0,1)a b ==-,所以33(0,1)(3,2)(3,5)b a -=--=--. 考点：向量坐标运算.15.已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为(1,0),(1,2),(0,)A B C c -，若AB ⊥BC ，则c 的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】求出(2,2),(1,2)AB BC c ==--，再利用AB ⋅0BC =，求得3c =. 【详解】(2,2),(1,2)AB BC c ==--，因为AB ⊥BC ，所以2(1)2(2)0c ⨯-+⨯-=，解得：3c =.【点睛】本题考查向量的坐标表示、数量积运算，要注意向量坐标与点坐标的区别.16.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(如下图).为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出80人作进一步调查，则在[1 500，2 000)(元)月收入段应抽出 人.【答案】16 【解析】试题分析：由频率分布直方图知，收入在1500--2000元之间的概率为0．0004×500=0．2，所以在[1 500，2 000）（元）月收入段应抽出80×0．2=16人。

第三中学2021-2021学年高一数学下学期期末考试试题理〔含解析〕创作人：历恰面日期：2020年1月1日考前须知：本套试卷分第I卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.考试时间是是120分钟，满分是150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上答题，在试题卷上答题无效.交卷时只交答题卡。

第一卷一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每个小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1.某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为理解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进展调查，那么样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A. 400，40B. 200，10C. 400，80D. 200，20 【答案】A【解析】【分析】由扇形图能得到总数，利用抽样比拟能求出样本容量；由分层抽样和条形图能求出抽取的高中生近视人数.【详解】用分层抽样的方法抽取4%的学生进展调查，++⨯=，样本容量为：(350045002000)4%400⨯⨯=，抽取的高中生近视人数为：20004%50%40应选A.【点睛】该题考察的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有扇形图与条形图的应用，以及分层抽样的性质，注意对根底知识的灵敏应用，属于简单题目.2.{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，那么其公差d = A. 23-B. 13-C.13D.23【答案】D 【解析】()10110570S a a =+⨯=，解得14a =，那么10121013a a d -==-，应选D 。

(2,1)-的圆,被直线10x y --=截得的弦长为，那么这个圆的方程是〔 〕A. 22(2)(1)2x y -++= B. 22(2)(1)4x y -++= C. 22(2)(1)8x y -++= D. 22(2)(1)16x y -++=【答案】B 【解析】 【分析】设出圆的方程，求出圆心到直线的间隔 ，利用圆心到直线的间隔 、半径和半弦长满足勾股定理，求得圆的半径，即可求得圆的方程，得到答案． 【详解】由题意，设圆的方程为222(2)(1)x y r -++=，那么圆心到直线10x y --=的间隔 为d ==又由被直线10x y --=截得的弦长为2224r =+=， 所以所求圆的方程为22(2)(1)4x y -++=， 应选B ．【点睛】此题主要考察了圆的方程的求解，以及直线与圆的弦长的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，合理利用圆心到直线的间隔 、半径和半弦长满足勾股定理是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．110b a<<，那么以下不等式不成立．．．的是( ) A.11a b a>- B. a b < C. a b >D.22a b >【答案】A 【解析】 【分析】由题得a ＜b ＜0，再利用作差比拟法判断每一个选项的正误得解. 【详解】由题得a ＜b ＜0，对于选项A,11a b a --=110,()b a a b a b a <∴<--，所以选项A 错误.对于选项B,显然正确.对于选项C,0a b a b b a -=-+=->，所以a b >，所以选项C 正确. 对于选项D,2222()()0,a b a b a b a b -=+->∴>，所以选项D 正确. 故答案为：A【点睛】(1)此题主要考察不等式的根本性质和实数大小的比拟，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.(2) 比差的一般步骤是：作差→变形〔配方、因式分解、通分等〕→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形〔配方、因式分解、通分等〕→与1比→下结论.假如两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.5.假设圆锥的母线长是8，底面周长为6π，那么其体积是( )【答案】C 【解析】 【分析】圆锥的底面周长，求出底面半径，然后求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积． 【详解】∵圆锥的底面周长为6π， ∴圆锥的底面半径r=3；双∵圆锥的母线长l=8，圆锥的高所以圆锥的体积V=213r h π 应选：C ．【点睛】此题考察圆锥的几何性质，解题关键空间问题平面化，在轴截面中明确各量的关系.6.(2,1),(0,5)A C -，那么AC 的垂直平分线所在直线方程为〔 〕 A. 250x y +-= B. 250x y +-= C. 250x y -+= D. 250x y -+=【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题中所给的两个点的坐标，应用中点坐标公式求得线段的中点坐标，利用两点斜率坐标公式求得51202AC k -==+，利用两直线垂直时斜率的关系，求得其垂直平分线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，化简求得结果.【详解】因为()()2,1,0,5A C -，所以其中点坐标是(1,3)-，又51202AC k -==+， 所以AC 的垂直平分线所在直线方程为13(1)2y x -=-+， 即250x y +-=，应选A.【点睛】该题考察的是有关线段的垂直平分线的方程的问题，在解题的过程中，需要明确线段的垂直平分线的关键点一是垂直，二是平分，利用相关公式求得结果.a,b 是异面直线，那么以下四个命题：①存在分别经过直线a 和b 的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线a 和b 的两个平行平面；③经过直线a 有且只有一个平面垂直于直线b ；④经过直线a 有且只有一个平面平行于直线b ，其中正确的个数有〔 〕A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C对于①：可以在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断①正确对于②：可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断②正确 对于③：当这两条直线不是异面垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断③错误 对于④：假设过直线a 有两个平面α、β与直线b 平行，那么面α、β相交于直线a ，过直线b 做一平面γ与面α、β相交于两条直线m 、n ，那么直线m 、n 相交于一点，且都与直线b 平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与直线平行〞矛盾，所以假设不成立，所以④正确 应选：C ．x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，那么由该观测的数据算得的线性回归方程可能是A. 0.4.3ˆ2yx =+ B. 2 2.4ˆyx =- C. 9ˆ2.5yx =-+ D. 0.3 4.4ˆyx =-+ 【答案】A 【解析】试题分析：因为与正相关，排除选项C 、D ，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B ；应选A ．考点：线性回归直线.n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．4505S a ==，，那么A. 2122n S n n =- B. 310n a n =- C. 228n S n n =-D.25n a n =-【答案】D【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意列出方程组，求得1,a d 的值，进而利用公式，求得,n n a S ，即可得到答案．【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 由4505S a ==，，可得1146040a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，所以3(1)225n a n n =-+-⨯=-，2(1)(3)242n n n S n n n -=⨯-+⨯=-， 应选D ．【点睛】此题主要考察了等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，其中解答中根据题意求得得出数列的首项和公式是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．10.以下结论中错误的选项是〔 〕 A. 假设0ab >，那么2b aa b+≥ B. 函数1cos 0cos 2y x x x π=+<<（）的最小值为2 C. 函数22xxy -=+的最小值为2 D. 假设01x <<，那么函数1ln 2ln x x+≤- 【答案】B 【解析】 【分析】根据均值不等式成立的条件逐项分析即可. 【详解】对于A ，由0ab >知，0,0b a a b >>，所以2b a a b +≥=，应选项A 本身正确；对于B，1cos 2cos y x x =+≥=，但由于1cos cos x x =在02x π<<时不可能成立，所以不等式中的“=〞实际上取不到，应选项B 本身错误；对于C，因为222x x y -=+≥=，当且仅当22x x -=，即0x =时，等号成立，应选项C 本身正确；对于D，由01x <<知，ln 0x <，所以lnx+()()111ln 2ln ln ln ln x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-≤--⋅-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=-2，应选项D 本身正确. 应选B.【点睛】此题主要考察了均值不等式及不等式取等号的条件，属于中档题.11.a ＞0，x ，y 满足约束条件1{3(3)x x y y a x ≥+≤≥-,假设z=2x+y 的最小值为1，那么a=A. B.C. 1D. 2【答案】B 【解析】画出不等式组表示的平面区域如右图所示：当目的函数z=2x+y 表示的直线经过点A 时，z 获得最小值，而点A 的坐标为〔1，2a -〕，所以221a -=，解得12a =，应选B. 【考点定位】本小题考察线性规划的根底知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.12.平面α过正方体ABCD －1111D C B A 的顶点A ，α∥平面11CB D ，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面11ABB A ＝n ，那么m ，n 所成角的正弦值为( )A.32B.22C.33D.13【答案】A【解析】 【分析】延长11B A 至2A ，使2111A A B A =，延长11D A 至3A ，使3111A A D A =，连接23,AA AA ，2311,,A A A B A D .先证明m∥23A A ，再证明m 、n 所成的角为60°，即得m ，n 所成角的正弦值为32. 【详解】如图，延长11B A 至2A ，使2111A A B A =，延长11D A 至3A ，使3111A A D A =，连接23,AA AA ，2311,,A A A B A D .易证211311||||,||||AA A B D C AA A D B C .∴平面23AA A ∥平面11CB D ，即平面23AA A 为平面α. 于是m∥23A A ，直线2AA 即为直线n.显然有2AA ＝3AA ＝23A A ，于是m 、n 所成的角为60°，所以m ，n 所成角的正弦值为32. 应选：A.【点睛】此题主要考察异面直线所成角的计算和空间位置关系的证明，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，请将准确之答案写在答题卡相应的横线上.〕13.在边长为2的正△ABC 所在平面内，以A 3为半径画弧，分别交AB ，AC 于D ，E.假设在△ABC 内任丢一粒豆子，那么豆子落在扇形ADE 内的概率是________．【答案】36π 【解析】 【分析】此题考察的知识点是几何概型的意义，我们由三角形ABC 的边长为2不难求出三角形ABC 的面积，又由扇形的半径为 3，我们也可以求出扇形的面积，代入几何概型的计算公式即可求出答案．【详解】由题意知，在△ABC 中，BC 边上的高AO 正好为，∴DE 与边CB 相切，如图．S 扇形＝×××＝， S △ABC ＝×2×2×＝，∴P＝＝.【点睛】此题考察面积型几何概型概率的求法，属根底题.S n 为等比数列{a n }的前n 项和．假设214613a a a ==，，那么S 5=____________．【答案】1213. 【解析】 【分析】此题根据条件，列出关于等比数列公比q 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到5S ．题目的难度不大，注重了根底知识、根本计算才能的考察． 【详解】设等比数列的公比为q ，由21461,3a a a ==，所以32511(),33q q =又0q ≠，所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--． 【点睛】准确计算，是解答此类问题的根本要求．此题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，局部考生易出现运算错误．15.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .假设π6,2,3b ac B ===，那么ABC △的面积为__________.【答案】【解析】 【分析】此题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，此题属于常见题目，难度不大，注重了根底知识、根本方法、数学式子的变形及运算求解才能的考察．【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=， 即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 22ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】此题涉及正数方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或者是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的根底上，准确记忆公式，细心计算．l：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与y轴交于C ，D两点，假设||AB =，那么||CD =__________． 【答案】4【解析】 【分析】由题，根据垂径定理求得圆心到直线的间隔 ，可得m 的值，既而求得CD 的长可得答案. 【详解】因为AB =，且圆的半径为r =，所以圆心()0,0到直线30mx y m ++=的间隔为3=，那么由3=，解得3m =-，代入直线l的方程，得3y x =+l 的倾斜角为30︒，由平面几何知识知在梯形ABDC 中，4cos30AB CD ==︒．故答案为4【点睛】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的根本思想方法〔即几何问题代数化〕，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联络得非常严密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．三、解答题〔本大题一一共6道题，其中17题10分，其余每一小题12分，一共计70分，请将准确之答案写在答题卡相应的区域内.〕C 的圆心为()1,1，直线40x y +-=与圆C 相切．()1求圆C 的HY 方程；()2假设直线l 过点()2,3，且被圆C 所截得弦长为2，求直线l 的方程．【答案】(1) 22(1)(1)2x y -+-=.(2) :3460l x y -+=；3460x y -+=或者2x =． 【解析】 【分析】〔1〕结合点到直线间隔 公式，计算半径，建立圆方程，即可。

密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题人教版2020--2021学年下学期期末考试卷高一 数学（满分：150分 时间： 120分钟）题号一 二 三 总分 得分第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题中给出四个选项，只有一项是符合要求的. 1. 下列命题正确的是（ ） A. 若a b >，则ac bc > B. 若a b >，c d >，则ac bd > C. 若0ab >，a b >，则11ab<D. 若a b >，c d >，则a b cd>2. 在ABC △中，若b c =，sin 3sin A B =，则A 等于（ ） A.23π B.3πC.4πD.6π3. 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若113a =，246a a =，则3S =（ ） A.1327B.113C. 4D.1334. 在梯形ABCD 中，4AB DC =，则BC 等于（ ） A. 1344AB AD -+ B. 34AB AD -+C.34AB AD - D.3544AB AD -+ 5.（选做：立体几何）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为正方形，13AA AB=1BC 与1D C 所成角的余弦值为（ ）A. 12B. 35C.34D.22（选做：解析几何）直线()()25240a x a y ++-+=与直线()()2310a x a y -++-=互相垂直，则a 的值为（ ）A. 2B. -2C. 2或-2 C. 0或-26.（选做：立体几何）若一个几何体的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的体积为（ ）A. 123B. 183C.273D.363（选做：解析几何）直线()()12y a x a R =-+∈过定点A ，则过点A 且与圆221x y +=相切的直线方程为（ ）密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题A.3450x y -+= B. 3450x y +-= C. 3450x y +-=或1x = D.3450x y -+=或1x =7.（选做：立体几何）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若m n ⊥，//n α，则m α⊥B. 若//m β，βα⊥，则m α⊥C. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αD. 若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥（选做：解析几何）过点()1,2M 的直线l 与圆C ：()()223425x y -+-=交于A ，B 两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线l 的方程是（ ）A. 230x y -+=B. 240x y +-=C.10x y ++=D.30x y +-=8. 两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2134m m a b+≥+恒成立时实数m 的取值范围是（ ）A. []4,3-B. []2,6-C. []6,2-D. []3,4-9. 在平面直角坐标系中，向量()1,0n =，将向量n 绕原点O 按逆时针方向旋转3π后得到向量m ，若向量a 满足1a m n --=，则a 的最大值是（ ） A.31B. 31C. 3D. 6110.（选做：立体几何）四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PAB △是边长为23则该四棱锥外接球的表面积为（ ） A.36πB.28πC.24πD. 12π（选做：解析几何）已知圆1C ：224x y +=与圆2C ：()()22334x y -+-=，过动点(),P a b 分别作圆1C ，圆2C 的切线PM ，PN （M ，N 分别为切点），若PM PN=，则224613a b a b +--+的最小值是（ ）A.2 B. 2 C.13 D. 13二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分11. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A.100a =B. 当9n =或10时，n S 取最大值C.911a a <D.613S S =12. 如图，ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a b =，)3coscos 2sin a C c A b B +=，D 是ABC △外一点，1DC =，3DA =，则下列说法正确的是（ ）A.ABC △是等边三角形B. 若23AC =A ，B ，C ，D 四点共圆C. 四边形ABCD 533+密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题D. 四边形ABCD 533-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分.13. 若向量()1,2a =-，(),1b m m =-+，且a b ⊥，则实数m 的值为______.14. 如图，研究性学习小组的同学为了估测古塔CD 的高度，在塔底D 和A ，B （与塔底D 同一水平面）处进行测量，在点A ，B 处测得塔顶C 的仰角分别为45︒和30︒，且A ，B 两点相距127m ，150ADB ∠=︒，则古塔CD 的高度为______m .15. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，…，若按此规律继续下去，得到数列{}n a ，则5a =___________；对*n N ∈，n a =______.16. 锐角ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()12cos c a B =+，则b a的取值范围是______.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答需写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.（选做：立体几何）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PC ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）证明：//PB 平面AEC ； （2）证明：平面PBD ⊥平面PAC .（选做：解析几何）已知矩形ABCD 顶点D 的坐标为()1,0-，两条对角线相交于点3,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，AB 边所在直线的方程为240x y --=.（1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的标准方程.密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题18.ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C π≠，且4sin cos sin B C CA CB A⋅⋅=. （1）求a 的值；（2）若角B ，A ，C 成等差数列，求ABC △周长的最大值.19. 已知关于x 的不等式2430ax x -+<的解集为{}|1x x b <<. （1）求a ，b 的值；（2）求关于x 的不等式()20ax ac b x bc +--<的解集.20. 某制造商为拓展业务，计划引进一设备生产一种新型体育器材.通过市场分析，每月需投入固定成本3000元，生产x 台需另投入成本()C x 元，且210400,030()100008049000,30x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，若每台售价800元，且当月生产的体育器材该月内能全部售完. （1）求制造商由该设备所获的月利润()L x 关于月产量x 台的函数关系式；（利润＝销售额－成本）（2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润.21.（选做：立体几何）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，侧面PAC 为等边三角形，90ABC ∠=︒，AB BC =，4AC =.（1）证明：PB AC ⊥；（2）若M ，N 是线段AC 上的动点，且30MBN ∠=︒，设ABM α∠=，求三棱锥P MBN -体积关于α的函数表达式并求体积取最小值时α的值.（选做：解析几何）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：221x y +=，圆C 与圆O 关于点()2,3对称. （1）求圆C 的方程；（2）若过平面上一点P 存在无穷多对互相垂直的直线1l 和2l （1l ，2l 的斜率存在且不为0），它们分别与圆O 和圆C 相交，且直线1l 被圆O 截得的弦长与直线2l 被圆C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.22. 已知数列{}n a 的前n 项和为()2*4n S nn n N =+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令3nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）若数列{}n c 满足1n n n c c a ++=，且不等式220n c n +≥对任意的*n N ∈密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题都成立，求1c 的取值范围.数学试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 456 7 8 9 10 11 12答案C AD BCD D C A BA DA C10.（选做：立体几何） 连,AC BD 交于1O ，设AB 中点E连PE ，则PE ⊥面ABCD ，设2O 是PAB △的中心，且213EO PE =则以12,EO EO 为邻边的矩形的另一顶点设为O ，则O 是四棱锥P ABCD -外接球的球心PAB △边长为233,PE ∴=21O E ∴=，13O E = 2OE ∴=，∴设外接球半径为R则22222(3)7R OB OE BE ==+=+=2428S R ππ∴==球表 选B（选做：解析几何）由已知1212,,(0,0),(3,3)PM C M PN C N C C ⊥⊥∴由PM PN=得221244PC PC -=-2222(3)(3)a b a b ∴+=-+-3a b ∴+=又22224613(2)(3)a b a b a b +--+=-+- 法（一）这式子值可看为是定点(2,3)到直线3x y +=上动点(,)a b 的距离的平方由直线外定点到直线上动点的距离中，垂直线段最短，22(2)(3)a b ∴-+-最小值为距离平方即2(22= 选B法（二）22222(2)(3)(2)244a b a a a a -+-=-+=-+22(1)22a =-+≥，当且仅当1a =时取得最小值2 选B 12. 由正弦定理2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C === 3(sin cos sin cos )2sin sin A C C A B B +=⋅332sin ,sin B =∴=a b =，B是等腰ABC △的底角，(0,)2B π∴∈,3B ABC π∴=∴△是等边三角形.A 正确B 不正确：若,,,A BCD 四点共圆，则四边形对角互补， 由A 正确知21,cos 32D D π∠==-但由于1,3,23DC DA AC ===密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题22222213(23)11cos 232DC DA AC D DA DC +-+-===-≠-⋅⋅∴B 不正确. C 正确，D 不正确：设D θ∠=，则2222cos 106cos AC DC DA DC DA θθ=+-⋅⋅=-35333(106cos )ABC S θθ∴=-=△3sin 2ADCS θ=△33353sin 2ABC ADC S ABCD S S θ∴=+=△△四边形13533(sin cos )2θθ=⋅-+533sin()3πθ=-+3(0,),sin()(3πθπθ∈∴-∈53332ABCDS ∴-<≤+四边形，∴C 正确，D 不正确二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置.） 13.2314. 12 15. 35； 232n n n a -=16.23()，16. 由已知sin sin()sin (12cos )C A B A B =+=+sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B A A B ∴+=+得sin()sin B A A -=B A A ∴-=，即2B A =ABC △为锐角三角形 2,322B AC A B A ππππ∴=<=--=-<23,cos (642A A ππ∴<<∴∈ sin 2sin cos 2cos (2,3)sin sin b B A AA a A A∴===∈ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答需写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17.（选做：立体几何）（1）证明：设BD 与AC 的交点为O ，连接EO .底面ABCD 为菱形，O ∴为BD 的中点.又E 为PD 的中点，//EO PB ∴.又EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，//PB ∴平面AEC .密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（2）底面ABCD 为菱形，BD AC ∴⊥，又PC ⊥平面ABCD ，PC BD ∴⊥，又PCAC C =，BD ∴⊥平面PAC ，又BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAC .17.（选做：解析几何） （1）AB 边所在直线的方程为240x y --=，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为2-.AD ∴边所在直线的方程为022=++y x .（2）矩形ABCD 两条对角线的交点为302M （，）， M∴为矩形ABCD 外接圆的圆心，又()223500222DM =-++=⎛⎫⎪⎝⎭.∴矩形ABCD 外接圆的方程为22325()24x y -+=.18.（1）由已知得4cos cos b Cb a C a⋅⋅⋅=， 又2C π≠，即cos 0C ≠，则24a =，2a ∴=. （2）角,,B A C 成等差数列，则3A π=， 又2222cos a b c bc A =+-， 则22222()()3()324b c b c a b c bc b c ++=+-≥+-=⎛⎫⎪⎝⎭，又2a =，故4b c +≤，ABC △周长的最大值为6， 当且仅当2b c ==时等号成立.19.（1）由题意知：0a >且b 和1是方程2430ax x -+=的两根，由根与系数的关系有4131b ab a=+=⨯⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩. （2）不等式2()0ax ac b x bc +--<可化为2(3)30x c x c +--<， 即(3)()0x x c -+<.其对应方程的两根为13x =，2x c =- ①当3c ->即3c <-时，原不等式的解集为{|3}x x c <<-；PBCDAEO密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题②当3c -<即3c >-时，原不等式的解集为{|3}x c x -<<；③当3c -=即3c =-时，原不等式的解集为∅；综上所述：当3c <-时，原不等式的解集为{|3}x x c <<-； 当3c >-时，原不等式的解集为{|3}x c x -<<；当3c =-时，原不等式的解集为∅； 20. 解：（1）当030x <<时，22()800104003000104003000L x x x x x x =---=-+-；当30x ≥时，1000010000()800804900030006000(4)L x x x x xx =--+-=-+.2104003000,030()100006000(4),30x x x L x x x x-+-<<∴=-+≥⎧⎪⎨⎪⎩ .（2）当030x <<时，，∴当时，.当30x ≥时，1000010000()6000(4)6000245600L x x x xx=-+≤-⋅=，当且仅当100004x x=，即50x =时，max ()(50)56001000L x L ==>. ∴当50x =时，获得增加的利润最大，且增加的最大利润为5600元.21.（选做：立体几何）（1）证明：AC 的中点O ，连接,PO BO ，PAC △为等边三角形，O 为AC 的中点，∴PO AC ⊥，同理BO AC ⊥，又=O BOPO ，∴AC ⊥平面POB .∴PB AC ⊥.（2）由（1）知PO AC ⊥ 又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面,ABC AC PO =⊂平面PAC ，∴PO ⊥平面ABC .∴PO 是三棱锥P ABC -的高，易得23PO = ABM α∠=，060α︒≤≤︒，在ABM △中，由正弦定理得()()sin 452sin 45sin 45AB BM αα︒==︒+︒+，同理()2sin 75BN α=︒+ ，故1sin 2BMNS BM BN MBN =⨯⨯⨯∠△()()1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒()()()131sin 45sin 45cos 4522ααα=︒+︒++︒+⎡⎤⎢⎥⎣⎦1331sin 2cos 2444αα=++()131sin 23042α=++︒∴三棱锥P MBN -的体积()()113131sin 230sin 230424212323=33V αα++︒++︒=.()()210201000L x x =--+20x()()max 201000L x L ==密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题060α︒≤≤︒，30230150α︒≤+︒≤︒，∴当30α=︒时，()sin 230α+︒的最大值为1，此时三棱锥P MBN -的体积有最小值且最小值为2311638333142=+ ∴当30α=︒时，三棱锥P MBN -的体积有最小值.21.（选做：解析几何）（1）设圆C 的圆心的坐标为(,)C m n ，因为圆C 与圆O 关于点(2,3)对称，所以C 与O 关于点(2,3)对称，由中点坐标公式得：46m n ==⎧⎨⎩，因为圆C 与圆O 关于点(2,3)对称，所以圆C 与圆O 的半径相等， 所以圆C 的方程为()()22461x y -+-=.（2）设点(,)P a b 满足条件，不妨设直线1l 的方程为()(0)y b k x a k -=-≠，则直线2l 的方程为1()y b x a k-=--.因为圆O 和圆C 的半径相等，直线1l 被圆O 截得的弦长与直线2l 被圆C 截得的弦长相等，所以圆心O 到直线1l 的距离和圆心C 到直线2l 的距离相等， 221(4)6111a b kkk --++-=++，整理得4(6)ka b a k b -=-+-，从而4(6)ka b a k b -=-+-或4(6)ka b a k b -=-+-.因为k 的取值有无穷多个，所以64a b b a =-⎧⎨-=-⎩或64a b b a =-+⎧⎨-=-+⎩解得15a b =-⎧⎨=⎩或51a b =⎧⎨=⎩.所以这样的点P 只可能是点()11,5P -或点2(5,1)P .经检验，点1P 和2P 都满足条件，所以所有满足条件的点P 的坐标为()11,5P -和2(5,1)P . 22. 解：（1）2n ≥时，21(1)4(1)n Sn n -=-+-，又24n S n n =+，两式相减得23n a n =+， 当1n =时，115a S ==，故通项公式23n a n =+. （2）因为2333n nnna nb +==，则23579233333n n n T +=++++，2341157********n n n T ++=++++2312522223333333n nn n T ++=++++-，ACBPM NO密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题所以312332323333nnn nn T n +=-⋅-⨯+⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （3）由（1）知，当2n ≥时，12(1)3n n c c n -+=-+，又123n n c c n ++=+， 两式相减得112n n c c +--=，所以数列{}2n c 是以2c 为首项，公差为2的等差数列，数列{}21n c -是以1c 为首项，公差为2的等差数列.125c c +=，215c c ∴=-，当n 为偶数时，211125232n c c c n c nn =+-⨯=-+-=+-⎛⎫⎪⎝⎭；当n 为奇数时，1111212nn cc n c +=+-⨯=-+⎛⎫⎪⎝⎭.111,3,n n n c n n c c -+∴=+-⎧⎨⎩为奇数为偶数.因为对任意的n *∈N 都有220n c n +≥成立， 当n 为奇数时，2212120n n c n c n +=-++≥恒成立，2121n n c ∴-≤+-在n 为奇数时恒成立，12c ∴-≤即12c ≥-，12c ∴≥-；同理当n 为偶数时，2212320n c c n n n +=+-+≥恒成立，2123c n n ∴≤++在n 为偶数时恒成立，113c ∴≤.综上所述，1c 的取值范围是[]2,13-.参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题中给出四个选项，只有一项是符合要求的，把答案填涂在答题卡的相应位置.1. 下列命题正确的是（ ） A. 若a b >，则ac bc >B. 若a b >，c d >，则ac bd >C. 若0ab >，a b >，则11ab<D. 若a b >，c d >，则a b cd>2. 在ABC △中，若b c =，sin 3sin A B =，则A 等于（ ） A.23πB.3πC.4πD.6π3. 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若113a =，246a a =，则3S =（ ） A.1327B.113C. 4D.1334. 在梯形ABCD 中，4AB DC =，则BC 等于（ ） A.1344AB AD -+ B.34AB AD -+ C.34AB AD - D.3544AB AD -+ 5.（选做：立体几何）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为正方形，13AA AB=1BC 与1D C 所成角的余弦值为（ ）A.12B. 35密 封 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题C.34D.2（选做：解析几何）直线()()25240a x a y ++-+=与直线()()2310a x a y -++-=互相垂直，则a 的值为（ ）A. 2B. -2C. 2或-2 C. 0或-26.（选做：立体几何）若一个几何体的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的体积为（ ）A. 123B. 183C.273D.363（选做：解析几何）直线()()12y a x a R =-+∈过定点A ，则过点A 且与圆221x y +=相切的直线方程为（ ） A. 3450x y -+=B. 3450x y +-=C.3450x y +-=或1x =D.3450x y -+=或1x =7.（选做：立体几何）设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A. 若m n ⊥，//n α，则m α⊥ B. 若//m β，βα⊥，则m α⊥ C. 若m α⊥，m n ⊥，则//n αD. 若m β⊥，n β⊥，n α⊥，则m α⊥（选做：解析几何）过点()1,2M 的直线l 与圆C ：()()223425x y -+-=交于A ，B 两点，C 为圆心，当ACB ∠最小时，直线l 的方程是（ ）A. 230x y -+=B. 240x y +-=C. 10x y ++=D.30x y +-=8. 两个正实数a ，b 满足3a ，12，b 成等差数列，则不等式2134m m a b+≥+恒成立时实数m 的取值范围是（ ）A. []4,3-B. []2,6-C. []6,2-D. []3,4-9. 在平面直角坐标系中，向量()1,0n =，将向量n 绕原点O 按逆时针方向旋转3π后得到向量m ，若向量a 满足1a m n --=，则a 的最大值是（ ）A. 31B. 31C. 3D. 6110.（选做：立体几何）四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，平面PAB ⊥平面ABCD ，PAB △是边长为23则该四棱锥外接球的表面积为（ ） A.36πB.28πC.24πD. 12π（选做：解析几何）已知圆1C ：224x y +=与圆2C ：()()22334x y -+-=，过动点(),P a b 分别作圆1C ，圆2C 的切线PM ，PN （M ，N 分别为切点），若PM PN=，则224613a b a b +--+的最小值是（ ）A.2 B. 2 C.13 D. 13二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分11. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ）A. 100a =B. 当9n =或10时，n S 取最大值C.911a a < D.613S S =12. 如图，ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a b =，)3cos cos 2sin a C c A b B +=，D 是ABC △外一点，1DC =，3DA =，则下列说法正确的是（ ）A.ABC △是等边三角形B. 若23AC =A ，B ，C ，D 四点共圆C. 四边形ABCD 533D. 四边形ABCD 533-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，其中第15题第一空2分，第二空3分.13. 若向量()1,2a =-，(),1b m m =-+，且a b ⊥，则实数m 的值为______.14. 如图，研究性学习小组的同学为了估测古塔CD 的高度，在塔底D 和A ，B （与塔底D 同一水平面）处进行测量，在点A ，B 处测得塔顶C 的仰角分别为45︒和30︒，且A ，B 两点相距127m ，150ADB ∠=︒，则古塔CD 的高度为______m .15. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作312a =，第4个五角形数记作422a =，…，若按此规律继续下去，得到数列{}n a ，则5a =___________；对*n N ∈，n a =______.16. 锐角ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且密线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题()12cos c a B =+，则b a的取值范围是______.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答需写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.（选做：立体几何）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD为菱形，PC ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点.（1）证明：//PB 平面AEC ； （2）证明：平面PBD ⊥平面PAC .（选做：解析几何）已知矩形ABCD 顶点D 的坐标为()1,0-，两条对角线相交于点3,02M ⎛⎫⎪⎝⎭，AB 边所在直线的方程为240x y --=.（1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的标准方程. 18.ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2C π≠，且4sin cos sin B C CA CB A⋅⋅=. （1）求a 的值；（2）若角B ，A ，C 成等差数列，求ABC △周长的最大值. 19. 已知关于x 的不等式2430ax x -+<的解集为{}|1x x b <<.（1）求a ，b 的值；（2）求关于x 的不等式()20ax ac b x bc +--<的解集.20. 某制造商为拓展业务，计划引进一设备生产一种新型体育器材.通过市场分析，每月需投入固定成本3000元，生产x 台需另投入成本()C x 元，且210400,030()100008049000,30x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，若每台售价800元，且当月生产的体育器材该月内能全部售完. （1）求制造商由该设备所获的月利润()L x 关于月产量x 台的函数关系式；（利润＝销售额－成本）（2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润.21.（选做：立体几何）如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，侧面PAC 为等边三角形，90ABC ∠=︒，AB BC =，4AC =.（1）证明：PB AC ⊥；（2）若M ，N 是线段AC 上的动点，且30MBN ∠=︒，设ABM α∠=，密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题求三棱锥P MBN -体积关于α的函数表达式并求体积取最小值时α的值.（选做：解析几何）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：221x y +=，圆C 与圆O 关于点()2,3对称.（1）求圆C 的方程；（2）若过平面上一点P 存在无穷多对互相垂直的直线1l 和2l （1l ，2l 的斜率存在且不为0），它们分别与圆O 和圆C 相交，且直线1l 被圆O 截得的弦长与直线2l 被圆C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标.22. 已知数列{}n a 的前n 项和为()2*4n S n n n N =+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令3n n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（3）若数列{}n c 满足1n n n c c a ++=，且不等式220n c n +≥对任意的*n N ∈都成立，求1c 的取值范围.数学试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分） 题号 12345678910 11 12答案C AD BCD D C A BA DA C10.（选做：立体几何） 连,AC BD 交于1O ，设AB 中点E连PE ，则PE ⊥面ABCD ，设2O 是PAB △的中心，且213EO PE =则以12,EO EO 为邻边的矩形的另一顶点设为O ，则O 是四棱锥P ABCD -外接球的球心PAB △边长为233,PE ∴=21O E ∴=，13O E 2OE ∴=，∴设外接球半径为R则22222(3)7R OB OE BE ==+=+=2428S R ππ∴==球表 选B（选做：解析几何）由已知1212,,(0,0),(3,3)PM C M PN C N C C ⊥⊥∴由PM PN=得221244PC PC -=-2222(3)(3)a b a b ∴+=-+- 3a b ∴+=又22224613(2)(3)a b a b a b +--+=-+-密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题法（一）这式子值可看为是定点(2,3)到直线3x y += 上动点(,)a b 的距离的平方由直线外定点到直线上动点的距离中，垂直线段最短，22(2)(3)a b ∴-+-最小值为距离平方 即2(22= 选B法（二）22222(2)(3)(2)244a b a a a a -+-=-+=-+22(1)22a =-+≥，当且仅当1a =时取得最小值2 选B 12. 由正弦定理2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C === 3(sin cos sin cos )2sin sin A C C A B B +=⋅332sin ,sin B =∴=a b =，B是等腰ABC △的底角，(0,)2B π∴∈,3B ABC π∴=∴△是等边三角形.A 正确B 不正确：若,,,A BCD 四点共圆，则四边形对角互补， 由A 正确知21,cos 32D D π∠==-但由于1,3,23DC DA AC ===22222213(23)11cos 221332DC DA AC D DA DC +-+-===-≠-⋅⋅⨯⨯∴B 不正确.C 正确，D 不正确：设D θ∠=，则2222cos 106cos AC DC DA DC DA θθ=+-⋅⋅=-35333(106cos )ABC S θθ∴=-=△3sin 2ADC S θ=△33353sin 2ABC ADC S ABCD S S θ∴=+=+△△四边形13533(sin cos 2θθ=⋅-+533sin()3πθ=-+3(0,),sin()(3πθπθ∈∴-∈53332ABCD S ∴-<≤+四边形，∴C 正确，D 不正确二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡的相应位置.） 13.2314. 12 15. 35；232n n n a -=16. 23()，16. 由已知sin sin()sin (12cos )C A B A B =+=+sin cos cos sin sin 2sin cos A B A B A A B ∴+=+得sin()sin B A A -=B A A ∴-=，即2B A =密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题ABC △为锐角三角形 2,322B AC A B A ππππ∴=<=--=-<23,cos ()64A A ππ∴<<∴∈ sin 2sin cos 2cos (2,3)sin sin b B A A A a A A∴===∈ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答需写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17.（选做：立体几何）（1）证明：设BD 与AC 的交点为O ，连接EO . 底面ABCD 为菱形，O ∴为BD 的中点.又E 为PD 的中点，//EO PB ∴.又EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，//PB ∴平面AEC .（2）底面ABCD 为菱形，BD AC ∴⊥，又PC ⊥平面ABCD ，PC BD ∴⊥，又PCAC C =，BD ∴⊥平面PAC ，又BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAC .17.（选做：解析几何） （1）AB 边所在直线的方程为240x y --=，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为2-.AD ∴边所在直线的方程为022=++y x .（2）矩形ABCD 两条对角线的交点为302M （，），M∴为矩形ABCD 外接圆的圆心，又()223500222DM =-++=⎛⎫⎪⎝⎭.∴矩形ABCD 外接圆的方程为22325()24x y -+=.18.（1）由已知得4cos cos b Cb a C a⋅⋅⋅=， PBCDAEO密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题又2C π≠，即cos 0C ≠，则24a =，2a ∴=.（2）角,,B A C 成等差数列，则3A π=， 又2222cos ab c bc A =+-，则22222()()3()324b c b c ab c bc b c ++=+-≥+-=⎛⎫⎪⎝⎭，又2a =，故4b c +≤，ABC △周长的最大值为6， 当且仅当2b c ==时等号成立.19.（1）由题意知：0a >且b 和1是方程2430ax x -+=的两根，由根与系数的关系有4131b ab a=+=⨯⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得13a b =⎧⎨=⎩.（2）不等式2()0ax ac b x bc +--<可化为2(3)30x c x c +--<， 即(3)()0x x c -+<.其对应方程的两根为13x =，2x c =- ①当3c ->即3c <-时，原不等式的解集为{|3}x x c <<-； ②当3c -<即3c >-时，原不等式的解集为{|3}x c x -<<； ③当3c -=即3c =-时，原不等式的解集为∅；综上所述：当3c <-时，原不等式的解集为{|3}x x c <<-； 当3c >-时，原不等式的解集为{|3}x c x -<<；当3c =-时，原不等式的解集为∅； 20. 解：（1）当030x <<时，22()800104003000104003000L x x x x x x =---=-+-；当30x ≥时，1000010000()800804900030006000(4)L x x x x xx=--+-=-+.2104003000,030()100006000(4),30x x x L x x x x-+-<<∴=-+≥⎧⎪⎨⎪⎩ .（2）当030x <<时，，∴当时，.当30x ≥时，1000010000()6000(4)6000245600L x x x xx=-+≤-⋅=，当且仅当100004x x=，即50x =时，max ()(50)56001000L x L ==>. ∴当50x =时，获得增加的利润最大，且增加的最大利润为5600元.21.（选做：立体几何）（1）证明：AC 的中点O ，连接,PO BO ，PAC △为等边三角形，O 为AC 的中点，∴PO AC ⊥，同理BO AC ⊥，又=O BOPO ，∴AC ⊥平面POB .∴PB AC ⊥.()()210201000L x x =--+20x()()max 201000L x L ==密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题（2）由（1）知PO AC ⊥又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面,ABC AC PO =⊂平面PAC ，∴PO ⊥平面ABC .∴PO 是三棱锥P ABC -的高，易得23PO = ABM α∠=，060α︒≤≤︒， 在ABM △中，由正弦定理得()()sin 452sin 45sin 45AB BM αα︒==︒+︒+，同理()2sin 75BN α=︒+ ，故1sin 2BMNS BM BN MBN =⨯⨯⨯∠△()()1sin 45sin 4530αα=︒+︒++︒()()()131sin 45sin 45cos 4522ααα=︒+︒++︒+⎡⎤⎢⎥1331sin 2cos 2444αα=++()131sin 23042α=++︒∴三棱锥P MBN -的体积()()113131sin 230sin 230424212323=33V αα++︒++︒=.060α︒≤≤︒，30230150α︒≤+︒≤︒，∴当30α=︒时，()sin 230α+︒的最大值为1，此时三棱锥P MBN -的体积有最小值且最小值为2311638333142=-+ ∴当30α=︒时，三棱锥P MBN -的体积有最小值.21.（选做：解析几何）（1）设圆C 的圆心的坐标为(,)C m n ，因为圆C 与圆O 关于点(2,3)对称，所以C 与O 关于点(2,3)对称，由中点坐标公式得：46m n ==⎧⎨⎩，因为圆C 与圆O 关于点(2,3)对称，所以圆C 与圆O 的半径相等，所以圆C 的方程为()()22461x y -+-=.（2）设点(,)P a b 满足条件，不妨设直线1l 的方程为()(0)y b k x a k -=-≠，则直线2l 的方程为1()y b x a k-=--.因为圆O 和圆C 的半径相等，直线1l 被圆O 截得的弦长与直线2l 被圆C 截得的弦长相等，所以圆心O 到直线1l 的距离和圆心C 到直线2l 的距离相等，ACBPM NO密 线学校 班级 姓名 学号密 封 线 内 不 得 答 题221(4)6111a b kk k --++-=++，整理得4(6)ka b a k b -=-+-，从而4(6)ka b a k b -=-+-或4(6)ka b a k b -=-+-.因为k 的取值有无穷多个，所以64a b b a =-⎧⎨-=-⎩或64a b b a =-+⎧⎨-=-+⎩解得15a b =-⎧⎨=⎩或51a b =⎧⎨=⎩.所以这样的点P 只可能是点()11,5P -或点2(5,1)P .经检验，点1P 和2P 都满足条件，所以所有满足条件的点P 的坐标为()11,5P -和2(5,1)P . 22. 解：（1）2n ≥时，21(1)4(1)n Sn n -=-+-，又24n S n n =+，两式相减得23n a n =+， 当1n =时，115a S ==，故通项公式23n a n =+. （2）因为2333n nnna nb +==，则23579233333n n n T +=++++，2341157********n n n T ++=++++2312522223333333n nn n T ++=++++-，所以312332323333nnn n n T n +=-⋅-⨯+⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （3）由（1）知，当2n ≥时，12(1)3n n c c n -+=-+，又123n n c c n ++=+，两式相减得112n n c c +--=，所以数列{}2n c 是以2c 为首项，公差为2的等差数列，数列{}21n c -是以1c 为首项，公差为2的等差数列.125c c +=，215c c ∴=-， 当n 为偶数时，211125232n c c c n c nn =+-⨯=-+-=+-⎛⎫⎪⎝⎭；当n 为奇数时，1111212n n c c n c +=+-⨯=-+⎛⎫ ⎪⎝⎭.111,3,n n n c n n c c -+∴=+-⎧⎨⎩为奇数为偶数.因为对任意的n *∈N 都有220n c n +≥成立， 当n 为奇数时，2212120n n c n c n +=-++≥恒成立，2121n n c ∴-≤+-在n 为奇数时恒成立，12c ∴-≤即12c ≥-，12c ∴≥-；同理当n 为偶数时，2212320n c c n n n +=+-+≥恒成立，2123c n n ∴≤++在n 为偶数时恒成立，113c ∴≤.综上所述，1c 的取值范围是[]2,13-.。