【精品提分练习】高中数学必修二2.2.3直线与平面平行的性质

人教A 版必修2第二章2.2.3《直线与平面平行的性质》精选题高频考点（含答案)-1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面 2．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，M N ，分别为AC PC ，上的点，且MN ∥平面PAD ，则（ ）A ．MN PD PB ．MN PA ∥C ．MN AD P D ．以上均有可能 3．如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 上一点，且13AE ED =，F 为PC 上一点，当//PA 平面EBF 时，PF FC=（ ）A ．23B ．14C ．13D ．12 4．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，121AB BC AA ，===，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为（ ）A．3 BC．5 D．5 5．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 上一点，且2CE DE =，F 为棱1AA 的中点，且平面BEF 与1DD 交于点G ，与1AC 交于点H ，则（ ）A ．115DG DD =B ．113AH HC = C ．114DG DD = D ．138AH HC = 6．如图，1111ABCD A B C D -是正方体，E 为棱1BB 上的动点（不含端点），平面11AC E 与底面ABCD 的交线为l ，则l 与AC 的位置关系是（ ）A ．异面B ．平行C ．相交D ．与E 点位置有关 7．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，下列命题中正确的有（ ） ①若m α⊥，m β⊥，则//αβ②若//m α，m β⊂，n αβ=I ，则//m n③若//m α，//m β，则//αβ④若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④ 8．已知//,a b αα⊂，则直线a 与直线b 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交或异面C ．异面D ．平行或异面 9．已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -,点E 是棱AB 的中点，12CF FC =u u u r u u u u r ，动点P 在正方形11AA DD （包括边界）内运动，且1PB P 面DEF ，则PC 的长度范围为（ ）A ．B ．5⎡⎢⎣C ．5⎡⎢⎣D ．5⎡⎢⎣10．如图，各棱长均为a 的正三棱柱111ABC A B C -，M 、N 分别为线段1A B 、1B C 上的动点，且MN ∥平面11ACC A ，M ，N 中点S 111ABC A B C -的体积为（ ）A B C ．3 D ．11．点E ，F 分别是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1PA ∥面AEF ，则1PA 的长度范围为（ ）A ．1,2⎡⎢⎣⎦B ．42⎡⎢⎣⎦C ．342⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P在线段MN 上运动时，下列四个结论：①EP ⊥AC ；②EP ∥BD ；③EP ∥平面SBD ；④EP ⊥平面SAC ，其中恒成立的为( )A ．①③B ．③④C ．①②D ．②③④13．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面交线的位置关系是（ ）A ．异面B ．相交C ．不能确定D ．平行 14．如图所示，a P α，A 是α的另一侧的点，B C D a ∈，，，线段AB AC AD ，，分别交α于点EFG ，，，若445BD CF AF ===，，，则EG =（ ）A ．169B ．209C ．94D ．5415．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，AC 交BD 于点O ，E 为AD 中点，F 在PA 上，AP AF λ=，//PC 平面BEF ，则λ的值为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．3 16．给出下列关于互不相同的直线,,l m n 和平面,,αβγ的三个命题：①若l 与m 为异面直线，,l m αβ⊂⊂，则//αβ；②若//,,l m αβαβ⊂⊂，则//l m ；③若,,,//l m n l αββγγαγ===I I I ，则//m n ．其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．317．如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 的中点，F 为PC 上一点，当P A ∥平面EBF 时，PF FC＝（ ）A ．23B ．14C ．13D ．12 18．如果直线m//直线n ，且m//平面α，那么n 与α的位置关系是（） A ．相交 B ．n//α C ．n ⊂α D ．n//α或n ⊂α 19．若直线a 平行于平面α，则下列结论错误的是（ ）A ．直线a 上的点到平面α的距离相等B ．直线a 平行于平面α内的所有直线C ．平面α内有无数条直线与直线a 平行D ．平面α内存在无数条直线与直线a 所成的角为90o20．已知l ，m 为两条不同直线，α，β为两个不同平面.则下列命题正确的是（ ） A ．若l αP ，m α⊂，则l m PB ．若l αP ，m αP ，则l m PC ．若l α⊂，m β⊂，αβ∥，则l m PD ．若l αP ，l β∥，m αβ=I ，则l m P二、填空题21．如图,正方体1111ABCD A B C D -中, AB =点E 为11A D 的中点,点F 在11C D 上,若//EF 平面1ACB ,则EF =________．22．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 上一点，且2CE DE =，F 为棱1AA 的中点，且平面BEF 与1DD 交于点G ，与1AC 交于点H ，则1DG DD =______，1AH HC =______. 23．如图所示，a ∥α，A 是α的另一侧的点，B 、C 、D ∈a ，线段AB 、AC 、AD 交α于E 、F 、G ，若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，则EG ＝________．24．如图，E 是棱长为1正方体1111ABCD A B C D -的棱11C D 上的一点，且1//BD 平面1B CE ，则线段CE 的长度为___________．25．如图所示，四面体ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形．则直线CD 与平面EFGH 的关系是______．26．如图在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中正确的有______.(填上所有正确命题的序号)AC BD ⊥①，AC BD =②，//AC ③截面PQMN ，④异面直线PM 与BD 所成的角为45o ．27．在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是边长为4的正三角形，10SA SB SC ===，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H 且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB P 平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为______．28．已知l 、m 是两条直线，α是平面，若要得到“l ∥α”，则需要在条件“m ⊂α，l ∥m ”中另外添加的一个条件是______.29．如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，EB ＝2DC ，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．则直线DP 与平面ABC 的位置关系是________．30．正方体1111ABCD A B C D -中,2AB =,点E 为AD 的中点,点F 在1CC 上,若//EF 平面1AB C ,则EF =_____.31．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，过11A B C ，，的平面与平面ABC 的交线为l ，则l 与直线11A C 的位置关系为________.32．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，其侧面展开图是边长为8的正方形，E F ，分别是侧棱11AA CC ，上的动点，且8AE CF +=，P 在棱1AA 上，且2AP =，若EF P 平面PBD ，则CF =________.33．如图所示，在三棱柱111ABC A B C 中，E F G H ，，，分别是1111AB AC A B A C ，，，的中点，则与平面BCHG 平行的平面为________.34．如图（1）所示，已知正方形ABCD 中，E F ，分别是AB ，CD 的中点，将ADE V 沿DE 折起，如图（2）所示，则BF 与平面ADE 的位置关系是________.35．已知A 、B 、C 、D 四点不共面，且AB ∥平面α，CD ∥α，AC ∩α＝E ，AD ∩α＝F ，BD ∩α＝H ，BC ∩α＝G ，则四边形EFHG 是_______四边形.36．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积是________．37．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，111BB B D =，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题：.① 四棱锥11B BED F -的体积恒为定值；②存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD E ；③存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值；④存在无数个点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得CG P 平面1EBD ，也存在无数个点E ，对棱AD 上任意的点G ， 直线CG 与平面1EBD 均相交.其中真命题的是____________．（填出所有正确答案的序号）38．已正知方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 是平面AA 1D 1D 的中心，点Q 是B 1D 1上一点，且PQ ∥平面AB 1D ，则线段PQ 长为______．39．设,a b 是平面M 外两条直线，且//a M ，那么//a b 是//b M 的________条件.40． 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是平面AA 1D 1D 的中心，点Q 是平面A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1上一点，且PQ ∥平面AA 1B 1B ，则线段PQ 的长为________．三、解答题41．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧面PAD 为正三角形，2AD =，3AB =，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为棱PB 上一点（不与P 、B 重合），平面ADE 交棱PC 于点F .（1）求证：AD EF P ；（2）若二面角––B AC E ，求点B 到平面AEC 的距离. 42．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，且//BC AD ，2AD BC =，点Q 是线段AD 的中点，过BQ 的平面BQMN 交平面PCD 于MN ，且PQ AB ⊥，AP PD =，且120APD ∠=︒，24BD AB ==，30ADB ∠=︒.（1）求证：//BQ MN ；（2）求直线PA 与平面PCD 所成角的余弦值.43．如图所示的一块木料中，棱BC 平行于面A C ''.（1）要经过面A C ''内的一点P 和棱BC 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？ （2）所画的线与平面AC 是什么位置关系？44．如图，已知E ，F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1AA ，1CC 上的点，且1AE C F =.求证：四边形1EBFD 是平行四边形.45．如图所示，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 是PD 的中点、若M 是CD 上异于C ，D 的点，连接PM 交CE 于点G ，连接BM 交AC 于点H ，连接GH ，求证：GH //PB .46．已知如图，斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点D 、D 1分别为AC 、A 1C 1上的点． （1）当1111A D D C 等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1？ （2）若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC的值．47．如图所示，已知三棱柱ABC-A'B'C'中，D 是BC 的中点，D'是B'C'的中点，设平面A'D'B∩平面ABC=a ，平面ADC'∩平面A'B'C'=b ，判断直线a ，b 的位置关系，并证明．48．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，且112BC AD ==，BC DC ⊥，60BAD ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点，PAD ∆为等边三角形，M 是棱PC 上的一点，设PM k MC=（M 与C 不重合）.（1）当1k =时，求三棱锥M BCE -的体积；（2）若//PA 平面BME ，求k 的值.49．如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点，且::AE EB AH HD m ==，::CF FB CG GD n ==.（1）证明：E ，F ，G ，H 四点共面.（2）m ，n 满足什么条件时，四边形EFGH 是平行四边形？50．如图，在四校锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，//PD 平面MAC ，PA PD ==4AB =.求证：M 为PB 的中点.参考答案1．A2．B3．B4．D5．D6．B7．A8．D9．B10．D11．B12．A13．D14．B15．D16．B17．D18．D19．B20．D21．222．163823．20 92425．平行26．①③④27．10 28．lα⊄29．平行3031．平行. 32．2. 33．平面1A EF 34．平行35．平行【答案】9 237．①②③④3839．充分不必要40．241．（1）证明见解析；（2.42．（1）证明见解析（243．（1）见解析（2）直线EF与平面AC平行直线,BE CF与平面AC相交. 44．证明见解析45．证明见解析46．（1）1；（2）1.47．直线a，b的位置关系是平行，证明见试题解析．48．（1）14；（2）1.49．（1）见解析（2）当m n时，四边形EFGH是平行四边形. 50．证明见解析。

人教版高中数学必修二第2章点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.3直线与平面平行的性质学案【学习目标】1．理解直线与平面平行的性质定理的含义．(重点)2．能用三种语言准确描述直线与平面平行的性质定理．(重点)3．能用直线与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题．(难点)【要点梳理夯实基础】知识点直线与平面平行的性质定理阅读教材P58～P59“例3”以上的内容，完成下列问题．文字语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行1. 定理三个条件缺一不可。

2. 简记:线面平行,则线线平行。

[思考辨析学练结合]1. (1)若直线a∥平面α，则直线a平行于平面α内的任意一条直线，对吗？(2)若直线a与平面α不平行，则直线a就与平面α内的任一直线都不平行，对吗？[答案](1)不对.若直线a∥平面α，则由线面平行的性质定理可知直线a与平面α内的一组直线平行.(2)不对.若直线a与平面α不平行，则直线a与平面α相交或a⊂α.当a⊂α时，α内有无数条直线与直线a平行.2. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行．()(2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点．()(3)过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．()(4)如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．()[解析]由线面平行的性质定理知(1)(4)正确；由直线与平面平行的定义知(2)正确；因为经过一点可作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面，故(3)错．[答案](1)√(2)√(3)×(4)√【合作探究析疑解难】考点线面平行性质定理的应用[典例1]如图，四边形EFGH是空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH.[点拨]要证明AB∥平面EFGH，只需证AB平行于平面EFGH内的某一条直线，由于EFGH是平行四边形，可利用其对边平行的特点，达到证题的目的．[解答]∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，∴EF∥AB.∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.[方法总结]运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行.应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.1．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过AA1作一平面交平面BCC1B1于EE1.求证：AA 1∥EE1.[证明]在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥BB1，∵AA1⊄平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，∴AA1∥平面BCC1B1.∵AA1⊂平面AEE1A1，平面AEE1A1∩平面BCC1B1＝EE1，∴AA1∥EE1.【学习检测巩固提高】1. 如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线()A.只和这个平面内的一条直线平行B.只和这个平面内两条相交直线不相交C.和这个平面内的任何一条直线都平行D.和这个平面内的任何一条直线都不相交[解析]一条直线和一个平面平行，则这条直线和这个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面内的任何一条直线都没有公共点，所以这条直线和这个平面内的直线都不相交.[答案] D2．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有[解析]过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条．故选B.[答案] B3．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是________. [解析]由直线与平面平行的性质定理知l∥m.[答案]平行4．如图，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：CD∥EF.[证明]因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD.同理可证AB∥EF，所以CD∥EF.5．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD 交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.[证明]连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.线∥面线面平行的性质线面平行的判定线∥线.在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键.人教版高中数学必修二第2章点、直线、平面之间的位置关系2.2.3直线与平面平行的性质课时检测一、选择题1．a，b是两条异面直线，P是空间一点，过P作平面与a，b都平行，这样的平面()A．只有一个B．至多有两个C．不一定有D．有无数个[答案] C2．两条直线都和一个平面平行，则这两条直线的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．以上均可能[答案] D3．若不在同一直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且A∉α，则()A.α∥平面ABCB.△ABC中至少有一边平行于αC.△ABC中至多有两边平行于αD.△ABC中只可能有一边与α相交[解析]若三点在平面α的同侧，则α∥平面ABC，有三边平行于α.若一点在平面α的一侧，另两点在平面α的另一侧，则有两边与平面α相交，有一边平行于α，故△ABC中至少有一边平行于α.[答案] B4．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为()A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°[解析]∵截面PQMN为正方形，∴PQ∥MN，PQ∥面DAC．又∵面ABC∩面ADC＝AC，PQ⊂面ABC，∴PQ∥AC，同理可证QM∥BD．故有选项A、B、D正确，C错误．[答案] C5．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】 C6．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行和异面[解析]∵截面PQMN为正方形，∴PQ∥MN，PQ∥面DAC．又∵面ABC∩面ADC＝AC，PQ⊂面ABC，∴PQ∥AC，同理可证QM∥BD．故有选项A、B、D正确，C错误．∵E、F分别是AA1、BB1的中点，∴EF∥AB．又AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH．又AB⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，∴AB∥GH．[答案] A7．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面[解析]由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.[答案] A8．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有[解析] 设这n条直线的交点为P，则点P不在直线a上，那么直线a和点P确定一个平面β，则点P既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交，设交线为直线b，则直线b过点P．又直线a∥平面α，则a∥b．很明显这样作出的直线b有且只有一条，那么直线b可能在这n条直线中，也可能不在，即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条．[答案] B9．如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是()A．l1平行于l3，且l2平行于l3B．l1平行于l3，且l2不平行于l3C．l1不平行于l3，且l2不平行于l3D．l1不平行于l3，但l2平行于l3[解析] ∵l1∥l2，l2⊂γ，l1⊄γ，∴l1∥γ．又l1⊂β，β∩γ＝l3，∴l1∥l3∴l1∥l3∥l2．[答案] A10．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确命题是()A．AE⊥CGB．AE与CG是异面直线C．四边形AEC1F是正方形D．AE∥平面BC1F[解析]由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F.故选D.[答案] D11．对于直线m、n和平面α，下列命题中正确的是()A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n[解析]对于A，如图(1)所示，此时n与α相交，故A不正确；对于B，如图(2)所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如图(3)所示，m与n相交，故D不正确．故选C.图(1)图(2)图(3)[答案] C12．如图，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面P AD，则()A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能[解析] ∵MN∥平面P AD，平面P AC∩平面P AD＝P A，MN⊂平面P AC，∴MN∥P A.[答案]B二、填空题13．设M、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①M∥n；②M∥α；③n∥α．以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________．(用序号表示) [解析]设过M的平面β与α交于l．∵M∥α，∴M∥l，∵M∥n，∴n∥l，∵n⊄α，l⊂α，∴n∥α．[答案]①②⇒③(或①③⇒②14．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD 上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．[解析]因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，所以点F是CD的中点，所以EF＝12AC＝ 2.[答案]215．如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为_________.[解析]由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E ＝45＋62.[答案]45＋62.16．如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．[解析]∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝2a 3，故PQ＝PD2＋DQ2＝2DP＝22a 3．[答案]22 3 a17．如图所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB、AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.[解析]EF可看成直线a与点A确定的平面与平面α的交线，∵a∥α，由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知AC＝AF＋CF＝3＋5＝8.又EFBC＝AFAC，∴EF＝AF×BCAC＝3×48＝32.[答案]3 218．已知(如图)A、B、C、D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是______．[解析]平面ADC∩α＝EF，且CD∥α，得EF∥CD；同理可证GH∥CD，EG∥AB，FH∥AB．∴GH∥EF，EG∥FH．∴四边形EFGH是平行四边形．[答案]平行四边形19．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝M，BD＝n，当四边形EFGH 是菱形时，AE ∶EB ＝______．[解析] ∵AC ∥平面EFGH ，∴EF ∥AC ，GH ∥AC ，∴EF ＝HG ＝M·BE BA ，同理EH ＝FG ＝n·AE AB ．∵EFGH 是菱形，∴M·BE BA ＝n·AE AB ，∴AE ∶EB ＝M ∶n ．[答案] M ∶n三、解答题20．ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH ．[证明] 如图所示，连接AC 交BD 于O ，连接MO ，∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 中点，又M 是PC 的中点，∴AP ∥OM ．根据直线和平面平行的判定定理，则有PA ∥平面BMD ．∵平面PAHG∩平面BMD ＝GH ，根据直线和平面平行的性质定理，∴AP ∥GH ．21．如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，E 是BB1上不同于B 、B1的任一点，AB1∩A1E ＝F ，B1C∩C1E ＝G .求证：AC ∥FG .[证明]∵AC∥A1C1，A1C1⊂平面A1EC1，AC⊄平面A1EC1，∴AC∥平面A1EC1.又∵平面A1EC1∩平面AB1C＝FG，∴AC∥FG.22．如图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形．[证明]∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面APD，BC⊄平面APD，∴BC∥平面APD.又平面BCFE∩平面APD＝EF，∴BC∥EF，∴AD∥EF.又E，F是△APD边上的点，∴EF≠AD，∴EF≠BC.∴四边形BCFE是梯形．23．如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．求证：CD∥平面EFGH．[证明]∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥GH．又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD．∴EF∥平面BCD．而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF⊂平面ACD，∴EF∥CD．而EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH．24．如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC 的中点，平面P AD∩平面PBC＝l．(1)求证：BC∥l；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论．(1)[证明]因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD．又平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，所以BC∥l．(2)[解]MN∥平面P AD．证明如下：如图所示，取DC的中点Q．连接MQ、NQ．因为N为PC中点，所以NQ∥PD．因为PD⊂平面PAD，NQ⊄平面PAD，所以NQ∥平面PAD．同理MQ∥平面PAD．又NQ⊂平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，NQ∩MQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD．所以MN∥平面PAD．。

2.2. 直线、平面平行的判断及其性质直线与平面平行的判断知识梳理1、直线与平面平行的判判定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：aαbβ=> a∥ αa∥ b知能训练一．选择题1．已知 m，n 是两条不同样直线，α，β，γ是三个不同样平面，以下命题中正确的选项是（）A ．若 m∥ α， n ∥ α，则 m∥ n B ．若α⊥ γ，β⊥ γ，则α∥ βC．若 m ∥ α， m ∥ β，则α∥ β D ．若 m ⊥ α， n⊥ α，则 m ∥ n 2．若直线l 不平行于平面α，且l?α，则（）A ．α内存在直线与 l 异面B ．α内存在与 l 平行的直线C．α内存在唯一的直线与 l 平行D ．α内的直线与 l 都相交3．如图， M 是正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1的棱 DD 1的中点，给出以下命题①过 M 点有且只有一条直线与直线AB 、 B 1C1都订交；②过 M 点有且只有一条直线与直线AB 、 B 1C1都垂直；③过 M 点有且只有一个平面与直线AB 、 B 1C1都订交；④过 M 点有且只有一个平面与直线AB 、 B 1C1都平行．其中真命题是（）A ．② ③ ④B ．① ③ ④C ．① ② ④D ．① ② ③4．正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1中 M ，N ，Q 分别是棱 D 1C1， A 1D 1，BC 的中点． P在对角线 BD 1上，且BP＝BD1，给出下面四个命题：（1）MN ∥面 APC；（2）C1 Q∥面 APC；（3）A ，P， M 三点共线；（4）面 MNQ ∥面 APC．正确的序号为（）A ．（ 1 ）（ 2 ）B ．（ 1 ）（ 4 ）C．（ 2）（ 3 ） D ．（ 3 ）（ 4）5．在正方体ABCD-A 1B 1C1D 1的各个极点与各棱中点共20 个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A 1BC 1平行的直线共有（）A ． 12 条B ． 18 条C ． 21 条D ． 24 条6．直线 a∥平面α，P∈ α，那么过 P 且平行于 a 的直线（）A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内7．若是直线a∥平面α，那么直线 a 与平面α内的（）A ．一条直线不相交B ．两条直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A 1B 1C1D 1中，与平面AB 1C 平行的直线是（）A ．DD 1B ．A 1 D 1C ．C 1D 1 D ．A 1 D9．如图，在三棱柱 ABC-A 1B1C1中，点 D 为 AC 的中点，点 D1是 A 1C1上的一点，若 BC 1∥平面 AB 1D 1，则等于（）A ． 1/2B ． 1C． 2 D ． 310．下面四个正方体图形中， A 、B 为正方体的两个极点，M、N 、 P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面 MNP 的图形是（）A ．①②B ．①④C．②③ D ．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段 B′ D上′有两个动点 E ，F，EF= ，则以下结论中错误的选项是（）A ． AC ⊥ BEB ． EF ∥平面 ABCDC．三棱锥 A-BEF的体积为定值D ．异面直线 AE ， BF 所成的角为定值二．填空题12．如图，在正方体ABCD-A1B 1C1D 1 中，E，F，G，H，M分别是棱AD ，DD 1，D1A 1，A 1A ，AB的中点，点 N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N 只需满足条件时，就有MN ⊥ A1C1；当N 只需满足条件时，就有MN ∥平面 B 1D 1C．13．如图，正方体ABCD-A1B 1C1D 1 中，AB=2，点E 为 AD的中点，点 F 在 CD上，若EF ∥平面AB 1C，则线段EF的长度等于．三．解答题14．如图，在三棱柱 ABC-A 1B 1 C1中，侧棱 AA 1⊥底面 ABC ，AB ⊥ BC，D 为 AC的中点， AA 1=AB=2 ．（1）求证： AB 1∥平面 BC1D ；（2）若 BC=3 ，求三棱锥 D-BC 1C 的体积．平面与平面平行的判断知识梳理1、两个平面平行的判判定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

课后导练基础达标1 在以下四个命题中，真命题是（）①在一个平面内有两点到另一个平面的距离相等都是d(d＞ 0)，则这两个平面平行②在一个平面内有三点到另一个平面的距离都是d(d＞ 0)，则这两个平面平行③在一个平面内有无数个点到另一个平面的距离都是d(d＞ 0)，则这两个平面平行④一个平面内随意一点到另一个平面的距离都是d(d＞ 0)，则这两个平面平行A. ②③④B.④C.②③D. ②④分析：命题①中的两点不论在另一个平面的同侧仍是异侧，这两个平面均有可能订交.因此①是错误的；同理可知②③均错.只有④正确 .答案： B2 平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β的关系是（）A ．平行B．订交C．垂直D．不确立分析：若三点在β的同侧，则α∥ β,不然订交，应选 D.答案： D3 设 a、b 是两条互不垂直的异面直线，过a、b 分别作平面α、β．关于下边四种状况可能的状况有（）①b∥ α ② b⊥α ③ a∥ β ④α与β订交A．1 种B．2 种C．3 种D．4 种分析：关于②来说，若 b⊥ α,又∵ a α,∴b⊥ a 与 a，b 不垂直矛盾，∴②错 .答案： C4 已知平面α∥β，直线 a∥α，点 B ∈β，则在β内过 B 的全部直线中（）A. 不必定存在与 a 平行的直线B.只有两条与 a 平行的直线C.存在无数条与 a 平行的直线D.存在独一的直线与 a 平行分析：若 aβ,且 B ∈ a,此时，不存在 .若 B a,此时存在独向来线与 a 平行 .答案： A5 已知α∩β =c,a∥α ,a∥ β，则 a 与 c 的地点关系是 _______________分析： a∥ α,a∥ β, α∩β则=c,a∥ c(前方已证 ).答案：平行6 直线 a∥ b,a∥平面α,则 b 与平面α的地点关系是 _______________分析：当直线 b 在平面α外时， b∥ α;当直线 b 在平面α内时， bα.答案： b∥ α或 b∩α7a∥ α ,A是α的另一侧的点， B、 C、 D∈ α,线段 AB 、AC 、 AD 交α于 E、F、 G，若BD=4 ， CF=4 ，AF=5 ，则 EG=__________. （如图）分析：∵ a∥ α,EG=α∩平面 ABD ，∴a∥ EG,即 BD ∥ EG.∴ EF FG AF EF FG EG AFBC CD AC BC CD BD AF FC则EG= AF ?BD5420.AF FC54920答案：98 已知 : α∩β =l,aα ,b β ,a∥ b，求证： a∥ b∥ l.证明：∵ a∥ b,bβ,aβ,由线面平行的判断定理知a∥ β.又知 aα,α∩β由=l,线面平行的性质知,a∥ l,∴ a∥b∥ l.综合应用9 如右图，四边形 ABCD 是矩形， P 平面 ABCD ，过 BC 作平面 BCFE 交 AP 于 E，交 DP 于点 F.求证：四边形BCFE 是梯形 .证明：在矩形 ABCD 中， BC ∥ AD,又∵ BC面PAD，AD面PAD，∴BC ∥面 PAD.又面 BC面BCFE，且面 BCFE∩面 PAD=EF,∴E F∥ BC,又 BC AD,EF≠AD,∴E F≠BC,故四边形 BCFE 为梯形 .10 已知 :AB 、 CD 为异面线段， E、 F 分别为 AC 、 BD 的中点，过E、 F 作平面α∥ AB.求证： CD∥α.证明：如图，连接AD 交面α于点 H，连接 EH ， FH,∵AB ∥ α,AB面ABD，且面ABD∩α =FH,∴AB ∥ HF.又∵F为BD 中点,∴H 为 AD 中点，又 E 为 AC 中点，∴EH ∥ CD,又∵ EH面α,CD面α，故 CD∥ α.11 如图 ,P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是 AB 、PC 的中点 ,平面 PAD∩平面 PBC＝ l.(1) 求证 :BC ∥ l;(2)MN 与平面 PAD 能否平行 ?试证明你的结论.证明：（ 1）在ABCD 中， BC ∥ AD,BC 面 PAD， AD面PAD，∴ BC∥面PAD.又面 PAD∩面 PBC=l, 且 BC面PBC，故 BC∥ l.（2） MN ∥平面 PAD.证明以下，取PD 中点 E，连 AE ， NE；∵N 是 PC 中点，∴ NE 1CD, 2又M为AB的中点，∴AM 1DC, 2∴AM NE, ∴AE ∥ MN.又∵ AE面 PAD， MN面 PAD,∴MN ∥面 PAD.拓展研究12 如图，已知空间四边形ABCD ，作一截面 EFGH ，且 E、F、G、H 分别在 BD 、BC、AC 、AD 上.(1)若平面 EFGH 与 AB 、 CD 都平行，求证： EFGH 是平行四边形；(2)若平面 EFGH 与 AB 、 CD 都平行，且 CD⊥ AB ，求证： EFGH 是矩形；(3)若 EFGH 与 AB 、CD 都平行，且 CD ⊥AB ，CD=a,AB=b, 问点 E 在什么地点时， EFGH 的面积最大？(1) 证明：∵ AB ∥面 EFGH,AB面ABD，面 ABD∩面 EFGH=EH ，∴ AB ∥ EH.同理可证 AB ∥ GF，∴ GF∥ EH.又∵ CD∥面 EFGH ，同理可证EF∥ GH.故四边形 EFGH 是平行四边形 .（2）证明：由（ 1）知， AB ∥ EH,CD ∥EF,又∵ CD⊥ AB, ∴EF⊥ EH,故 EFGH 为矩形 .（3）解：设BE=x, 由上知EH DE ,EF BE ,∴ DE BD x ? AB ·b,AB BD CDBD BDBDEF=x·a.BDabx(BD-x)=ab(-x 2+BDx)∴S 矩形 EFGH =EF ·EH=BDBD=ab［-（ x-BD)2+BD 2）］，BD24∴x=BD即 E 为 BD 中点时，面积最大.2。