第二章 叶片式流体机械的能量转换§2-1流体在叶轮中的运动分析一、几个概念及进出口边符号确定流体机械叶片表面一般是空间曲面，为了研究流体质点在 叶轮中的 运动规律，必须描述叶片。
叶片在柱坐标下是一曲面方程),,(θθθz r =，但解析式一般 不可能获得。
工程上借助几个面来研究： 基本概念1．平面投影： 平面投影是将叶片按工程图的做法投影到与转轴垂直的面上。
2．轴面（子午面）：通过转轮上的一点和转轮轴线构成平面：（一个转轮有无数个轴面，但是每个轴面相同）3．轴面投影：它是将叶片上每一点绕轴线旋转一定角度投影到同一轴面上的投影，叫轴面投影。
4．流线 5．迹线 6．轴面流线进出边符号确定：（本书规定） P 代表高压边 P 对风机，泵，压缩机，一般S 代表低压边 出口边对水轮机进口边S 对风机，泵，压缩机，一般是进口边，对水轮机是出口边二、叶轮中的介质运动 1．速度的合成与分解：流体机械的叶片表面是空间曲面，而转轮又是绕定轴旋转的，故通常用圆柱坐标系来描述叶片形式及流体介质在转轮中的运动。
在柱坐标中，空间速度矢量式可分解为圆周，径向，轴向三个分量。
u z r C C C C ρρρρ++=将C z ,C r 合成得C m , z r m C C C ρρρ+= C m 位于轴面内（和圆周方向垂直的面），故又叫轴面速度。
2．绝对运动和相对运动：在流体机械的叶轮中，叶片旋转，而流体质点又有相对转轮的运动，这样根据理论力学知识质：叶轮的旋转是牵连运动。
流体质点相对于叶轮的运动叫相对运动，其速度叫相对速度，这样，流体质点的绝对速度为 这两速度的合成，即 u w C ρρρ+= 其中 u ρ是叶轮内所研究的流体质点的牵连速度在流体机械的静止部件内，没有牵连速度，相对运动的轨迹和绝对运动重合。
用速度三角形，表示上述关系，即得：依速度合成分解，将C 分解为沿圆周方向的分量C u 及轴面上的分量C m ，从速度三角形知：C m =W m u u W C u ρρρ+=或u u W C u ρρρ-= 叶轮内，每一点都可作出上述速度三角形。
w ρ和u ρ的夹角β称为相对流动角（介质为液体，叫液流角；介质为气体，叫气流角）C ρ和u ρ夹角α 叫绝对流动角。
叶片骨线沿流动方向的切线和u 方向的夹角叫叶片安放角b β。
作速度三角形很重要，但最重要的是叶轮进出口的速度三角形。
三、几个概念①流面：在叶轮机械中，空间流线绕轴线旋一周形成的回转面叫流面。
对于一个叶轮又无数个流面。
径流式：流面可以近似看成一个平面。
轴流式：流面可以近似看成一个圆柱面，展开后是平面。
混流式：流面是一个曲锥面，不可展开。
有时为了研究方便，近似看成一个圆锥面。
圆锥可以展开。
②轴面流线：流面与轴面的交线叫轴面流线。
（一个转轮有无数条轴面流线） ③过流断面（过流断面面积）在轴面上作一曲线与轴面流线正交，该曲线绕轴线旋转一周而形成的回转面称轴面流动的过流断面。
该断面面积决定了轴面速度的平均值。
过流断面面积：b R A c π2=§2-2叶片式流体机械的基本方程描述可压缩粘性介质的三元非定常流动，用N-S 方程，能量方程，连续性方程和状态方程来研究显得复杂。
这节从一元理论出发导出比较简单的基本方程式（包括欧拉，能量方程及伯努力方程）一． 进出口速度三角形：从水头、扬程等定义看，要研究叶片与介质的能量交换，研究叶片进出口的流动非常重要。
以纯径向叶轮为例来研究。
已知：n, q v (一) 工作机的进出口速度三角形 1. 进口：a). 301nru π=b). 进口处轴面液流过流断面面积1112b r A π=111111ρA qA q C m v m ==由于叶片存在阻塞。
排挤系数：11A A '=Γ 于是真实 11111111Γ=Γ=ρA q A q C m v mc). C u1和α1的确定C u1（α1）的数值取决于吸入室的类型和叶轮前是否有导流器。
若无导流器，对于直锥形，弯管形，环形吸入室，C u1=0，α1=900对于有导流器及半螺旋形吸入室，C u1的值依吸入室尺寸或导流叶片的角度定。
在图中可知：1β随1m C ，1u ，1u C 等参数的变化而变化。
如果参数组合使得1β=b 1β，则流体进入叶片无冲击，称无冲击入口（进口）。
2. 出口① 圆周速度3022nr u π=② 出口轴面速度2222Γ=A q C v m ③ 出口流动角22b ββ= 一般认为，在叶片数无限多假定下介质流动的相对速度方向一定于叶片相切，22b ββ=但在叶片数有限情况下22b ββ≠，如何画呢？目前难以确定，得求助于其他条件（二）原动机的进出口速度三角形：以水轮机为例说明： 1. 反击式水轮机： a). 进口速度三角形①3011nr u π=②1111Γ=A q C v m ③C u1和α1已知（依导水机构，活动导叶工作情况定） b). 出口速度三角形：①3022nr u π=②2222Γ=A q C v m ③22b ββ=当0290=α，这时的出口情况叫法向出口。
这种水轮机，在一定流量下，法向出口流速小（222,0m u C C C ==），带走的能量小，水轮机效率高。
2．冲击式水轮机：特点：冲击式水轮，水流不充满叶间流道，具有一个自由表面，故轴面速度和Cm 和流道尺寸无直接关系。
a) 进口①01/A q C v u = A 0为喷嘴出口面积 ②C m1=0③30/11nr u π= 此时速度三角形退化为一条直线b) 出口①12230/u nr u ==π ②22b ββ=③12w w = (为何以后讲) 二、欧拉方程的推导：假设：①叶片上的叶片数无穷多，叶片无限薄，叶轮内流动是轴对称的，并且相对速度的方向与叶片相切；②相对流动是定常的；③ 轴面速度在过流断面均匀分布。
应用动量矩定量推导：取控制体如虚线所示，单位时间流出控制面的流体动量矩为222r C q L u m =，流入的动量矩为111r C q L u m =，由于流动定常，控制面内的动量矩不变，因此，依动量矩定理有： )(1122r C r C q dtdLM u u m -±==作用力控制体的外力有：①作用力控制体面内外两个圆柱上（压力），对轴线的力矩为零。
a) 叶轮对转轴的力矩 ②叶轮对控制体内流体的作用力b) 叶轮盖板对流体的正压力，此力矩为零 c) 由于流体的粘性产生的切应力对轴的力矩)(s us p up m r C r C q dtdLM -==为了对工作机、原动机统一，故为上式。
)()(us s up p m s us p up m C u C u q r C r C q M -=-=ωω，若不考虑叶轮内的水力损失：即叶片后流体的功率（或者流体从叶片获得的功率应等于M ω）即)(us s up p m th v th m th m C u C u q P q h q gH q -=== 即：th gH =th h =P th /ρ=us s up p C u C u - 上即为叶片式流体机械的欧拉方程几点解释：①. 上式中，H th , h th , P th 分别称为理论（水头），理论能量头，理论全压，是指在没有损失情况下，每单位量（重力，质量，体积）流体从叶片获得的能量或者传给叶片的能量。
②. 如 )0(900==us s c α（指法向进口或出口） 有：th gH =th h =P th /ρ=up p C u ③. 欧拉方程用速度环量表示：th gH =th h =P th /ρ=πωπω22)(bs p Z Γ=Γ-Γ式中up p b C r π2=Γ us s s C r π2=Γ Z —叶片数 b Γ—绕单个叶片环量 ④. 推导方程时引入C m 在过水断面均匀分布，叶轮体径向，但实际上欧拉方程的推导与假设无关，以上假设是为了便于推导。
若不是进出在同一半径，C m 沿进出口边值不同将值代入。
⑤. 叶片无穷多假定，bp p ββ=，出口速度三角形易得，实际叶片数有限，pβ不一定等于bp β，（为何后讲）⑥. 由欧拉方程可见：叶轮和流利交换的能量，取决于叶轮进出口速度矩的差值和ω的乘积。
为了有效转换能量，再径流式和混流式机器中希望r p >r s ，所以工作机多是离心式，原动机向心。
⑦. 轴流式 r p =r s h th =u(C up -C us )=ΔC u u ⑧. 用相对速度表示:u CC w u uw w u C 2cos 222222-+=-+=βΘ 故有 h th =222222222ps sp s p w w u u C C -+-+-式中第一项是介质通过叶轮后动能的变化量，第二三项是介质静压能或焓值的变化。
⑨. 叶片式流体机械建立了介质进出口运动参数和叶片与介质传递能量大小之间的关系三、能量方程与伯努力方程 1．能量方程叶片对介质做功，将改变介质具有的能量，包括内能和宏观的动能、势能。
能量方程就是建立介质的能量与叶片做功的关系。
在热力学中已知开口热力系的稳流的能量方程：s w z z g C C h h q +-+-+-=)(212212212 s w ——流体机械单位质量介质得到或输出的功率，对叶轮而言，s w =th h ±（这时不考虑损失） 对于压缩机th h =-w s对于一般流体机械，介质与外界基本上无热量交换，故q=0。
对于压缩机可，除有冷却装置的外，也忽略介质通过机壳与外界的能量交换。
这是由于在压缩机中，气体压缩时，热焓的变化比压缩机对外的热量交换相比大得多，故可认为q=0。
)](2[12212212z z g C C h h h th -+-+-±=对于固定元件：th h =0故得 )(212212212z z g C C h h -+-+-=0 若不考虑重力（即进出口位能差较小）有：2212212C C h h h th -+-= 2212212C C h h -+-=0（用于固定元件）上式只用于可压介质，对于不可压介质不考虑内能变化。
注意：①能量方程是在质量守恒的前提下得到的。
即介质在压缩机内满足连续条件。
②方程中出现的是h th , 即不考虑流动损失，但当考虑流动损失时此方程仍适用，这是由于流动损失最终以热量形式传给介质。
使温度升高，而介质的温升，会反映到焓值的变化中，介质（气体）。
因此，并不破坏能量的平衡。
③h th 应理解为叶轮对介质作的功，但是实际上叶轮的泄漏损失和圆盘的损失也是叶轮与介质之间传递的能量，但这些能量损失不是通过叶片与介质之间传递的。
故并未包括在欧拉方程式h th 值中。
2．伯努力方程叶片式流体机械，压力是一个重要参数但能量方程中没出现压力值（希望用 一个方程将其联系上）依热力学第一定律，气体内能增量等于传给气体的总热量与技术功之和（介质 压力作的功）对于单位质量介质。
