201X年春八年级数学下册 第19章 矩形、菱形与正方形本章中考演练练习 (新版)华东师大版

本章中考演练一、选择题1．2018·某某菱形不具备的性质是()A．四条边都相等 B．对角线一定相等C．是轴对称图形 D．是中心对称图形2．2018·滨州下列命题中，是真命题的为()A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．一组邻边相等的矩形是正方形3．2018·某某已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是()A．∠A＝∠B B．∠A＝∠CC．AC＝BD D．AB⊥BC4．2018·某某如图19－Y－1，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是()A．20 B．24C．40 D．4819－Y－1图19－Y－25．2018·某某维吾尔生产建设兵团如图19－Y－2，在矩形纸片ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm.现将其沿AE折叠，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为()A．6 cm B．4 cmC．3 cm D．2 cm6．2018·某某用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是()图19－Y－3图19－Y－47．2018·仙桃如图19－Y－4，正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG 折叠至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是()A．1 B．1.5 C．2 D．二、填空题8．2018·龙东地区如图19－Y－5，在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，添加一个条件________，使平行四边形ABCD是菱形．19－Y－519－Y－69．2018·某某如图19－Y－6，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，连结CE，则∠BCE的度数是________．10．2018·黔西南州已知一个菱形的边长为2，较长的对角线为2 3，则这个菱形的面积是________．11．2018·某某如图19－Y－7，在菱形ABCD中，点B在x轴上，点A的坐标为(2，3)，则点C的坐标为________．19－Y－719－Y－812．2018·某某如图19－Y－8，在矩形ABCD中，AD＝3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE＝EF，则AB的长为________．三、解答题13．2018·内江如图19－Y－9，已知四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是AB，BC 上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD.求证：(1)△AED≌△CFD；(2)四边形ABCD是菱形．图19－Y－914．2018·某某如图19－Y－10，等边三角形AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD 上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形．图19－Y－1015．2018·某某如图19－Y－11，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C 作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E.(1)求证：四边形OCED是矩形；(2)若CE＝1，DE＝2，则菱形ABCD的面积是________．图19－Y－1116．2018·湘西如图19－Y－12，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连结DE，CE.(1)求证：△ADE≌△BCE；(2)若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．图19－Y－1217．2018·某某如图19－Y－13，已知四边形ABCD中，对角线AC，BC相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，过点O作EF⊥BD，分别交AD，BC于点E，F，连结BE，DF.(1)求证：△AOE≌△COF；(2)判断四边形BEDF的形状，并说明理由．图19－Y－13详解详析本章中考演练1．[解析] B 菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直但不一定相等，故选B.2．[答案] D3．[解析] B ∵∠A＝∠B，AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，故A选项不符合题意；∵∠A ＝∠C是一组对角相等，任意平行四边形都具有这个性质，故B选项符合题意；∵对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项不符合题意；∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，故D选项不符合题意．4．[解析] A 由菱形性质可知其对角线互相垂直且平分，再由勾股定理可得结果．设菱形的对角线AC与BD交于点O，则BO＝4，CO＝3.在Rt△BOC中，由勾股定理可得BC＝BO2＋CO2＝42＋32＝5.所以此菱形的周长为5×4＝20.5．[解析] D 由折叠可知，四边形ABEB1是正方形，从而BE＝AB＝6 cm，故CE＝BC－BE ＝8－6＝2(cm)，因此选D.6．[解析] C 根据尺规作图，C 选项作出的四边形ABCD 是平行四边形，不是菱形． 7．[解析] C 连结AE .∵△ABG 沿AG 折叠至△AFG ，∴AB ＝AF ，GB ＝GF ＝3.∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝AF ，∴Rt △AFE ≌Rt △ADE (H.L.)，∴DE ＝FE .设DE ＝x ，则FE ＝DE ＝x ，GE ＝x ＋3，CE ＝6－x .在Rt △CGE 中，由勾股定理得CG 2＋CE 2＝GE 2，∴32＋(6－x )2＝(x ＋3)2，解得x ＝2.8．[答案] 答案不唯一，如AB ＝BC 或AC ⊥BD 等 9．[答案°[解析] 本题考查的是正方形的性质与等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用其性质．∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠CAB ＝∠ACB ＝45°. 在△ACE 中，∵AC ＝CE ，∴∠ACE ＝∠AEC ＝12(180－∠CAB )＝°，∴∠BCE ＝∠ACE －∠ACB ＝°. 故答案为°. 10．[答案] 2 3[解析] 依照题意画出图形，如图所示．在Rt △AOB 中，OB ＝12BD ＝3，∴OA ＝AB 2－OB 2＝1，∴AC ＝2OA ＝2，∴S 菱形ABCD ＝12AC ·BD＝12×2×2 3＝2 3. 故答案为2 3. 11．[答案] (2，－3)[解析] 关于x 轴对称的两个点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数．点A 与点C 关于x 轴对称，点A 的坐标为(2，3)，故点C 的坐标为(2，－3)．12．[答案] 18[解析] ∵AD＝EF＝DE＝3，∠D＝90°，∴AE2＝AD2＋DE2＝18，∴AE＝18，∴AB＝18.13．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C.在△AED和△CFD中，∵∠A＝∠C，AE＝CF，∠AED＝∠CFD，∴△AED≌△CFD(A.S.A.)．(2)由(1)得△AED≌△CFD，∴AD＝CD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．14．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°.又∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，∴△ABE≌△ADF(A.A.S.)，∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．15．解：(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°.∵CE∥OD，DE∥OC，∵∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形．(2)416．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠B.∵E是AB的中点，∴AE＝BE.在△ADE与△BCE中，∵AD＝BC，∠A＝∠B，AE＝BE，∴△ADE≌△BCE(S.A.S.)．(2)∵AB＝6，E是AB的中点，∴AE＝BE＝3.在Rt△ADE中，AD＝4，AE＝3，根据勾股定理，得DE＝AD2＋AE2＝42＋32＝5. ∵△ADE≌△BCE，∴DE＝CE＝5.又∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，∴DE＋CE＋CD＝5＋5＋6＝16，即△CDE的周长为16.17．解：(1)证明：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO.又∵∠EOA＝∠FOC，OA＝OC，∴△AOE≌△COF.(2)四边形BEDF是菱形．理由：由(1)，得△AOE≌△COF，∴OE＝OF.∵OE＝OF，OB＝OD，又∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．。

第19章 矩形、菱形与正方形测试题第20章 第21章一、选择题（每小题3分，共30分）1、关于四边形ABCD ①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC 和BD 相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD 是平行四边形的有（ ）。

（A ） 1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个2、若顺次连结四边形ABCD 各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD 必定是（ ）A 、菱形B 、对角线相互垂直的四边形C 、正方形D 、对角线相等的四边形 3、如图1，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S 1、S 2，那么S 1、S 2的大小关系是（ ）A.S 1 > S 2B.S 1 = S 2C.S 1<S 2D.S 1、S 2 的大小关系不确定 4、矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则这个矩形的面积为（ ）A.3cm 2B. 4cm 2C. 12cm 2D. 4cm 2或12cm 2 5、如图2，菱形花坛 ABCD 的边长为 6m ，∠B ＝60°，其中由两个正六边形组成的图形部分种花，则种花部分的图形的周长（粗线部分）为（ ）m B.20m C.22m D.24m6、如图3，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD 折叠，使C 点与A 点重合，则折痕EF 的长是( ) AB． CD．7、如图4，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地. 根据图中数据，计算耕地的面积为( )A ．600m 2B ．551m 2C ．550 m 2D ．500m 28、如图5，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分面积与正方形ABCD 的面积比是 （ ）A.3∶4B.5∶8C.9∶16D.1∶2图4FEDCBA图3图2图19、如图6，矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，且∠ADE ：∠EDC=3：2，则∠BDE 的度数为 （ ）A 、36oB 、9oC 、27oD 、18o 10、如图7，是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD ，小明从顶点A 沿着花坛间小路直到走到长边中点O ，再从中点O 走到正方形OCDF 的中心O 1，再从中心O 1走到正方形O 1GFH 的中心O 2，又从中心O 2走到正方形O 2IHJ 的中心O 3，再从中心O 3走2走到正方形O 3KJP 的中心O 4，一共走了31 2 m ，则长方形花坛ABCD 的周长是（ ）A.36 mB.48mC.96 mD.60 m二、填空题（每小题3分，共30分）11，如图8, 若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD 的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角的值等于＿＿＿.12，如图9，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点K 分别作矩形两边的平行线MN 与PQ ，那么图中矩形AMKP 的面积S 1与矩形QCNK 的面积S 2的大小关系是S 1 S 2（填“＞”或“＜”或“＝”）.13，如图10，四边形ABCD 是正方形，P 在CD 上，△ADP 旋转后能够与△ABP ′重合，若AB ＝3，DP ＝1，则PP ′＝＿＿＿.14，已知菱形有一个锐角为60°，一条对角线长为6cm ，则其面积为＿＿＿cm 2. 15，如图11，在梯形ABCD 中,已知AB ∥CD ,点E 为BC 的中点, 设△DEA 的面积为S 1,梯形ABCD 的面积为S 2,则S 1与S 2的关系为＿＿＿.16，如图12，四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 互相垂直，A 1B 1C 1D 1四边形ABCD 的中点四边形.如果AC ＝8，BD ＝10，那么四边形A 1B 1C 1D 1的面积为＿＿＿.AC图5图7图12A 1B 1C 1D 1 D AB C B图13D CB A 图8 图10图9 N M Q D C B图11E D C BA17，如图13，□ABCD 中，点E 在边AD 上，以BE 为折痕，将△ABE 向上翻折，点A 正好落在CD 上的点F ，若△FDE 的周长为8，△FCB 的周长为22，则FC 的长为＿＿＿.18，将一张长方形的纸对折,如图14所示，可得到一条折痕(图中虚线),继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可以得到7条折痕，那么对折四次可以得到 条折痕，如果对折n 次，可以得到 条折痕.19、如图15，已知AB ∥DC ，AE ⊥DC ，AE ＝12，BD ＝15，AC ＝20, 则梯形ABCD 的面积为＿＿＿.20、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图16所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝＿＿＿.三、解答题21、（8分）如图17，把一张长方形ABCD 的纸片沿EF 折叠后，ED 与BC 的交点为G ，点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置上，若∠EFG=55°，求∠AEG 和∠EGB 的度数。

最新华东师大版八年级数学下册第19章矩形、菱形与正方形单元测试题（附答案）第19章矩形、菱形与正方形一、选择题(每小题4分,共20分)1.如图答案1,菱形ABCD的对角线相交于点O,若AC=8,BD=6,则菱形的周长为()A.40B.30C.28D.202.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是()A.对边相等B.对角相等C.对角线相等D.对角线互相平分图答案1 图答案23.如图答案2,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD=12,∠ACB=30°,则AB的长为()A.9B.6C.12D.244.如图答案3,在?ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F.若BF=12,AB=10,则AE的长为()A.10B.12C.16D.18图答案3 图答案45.如图答案4,菱形ABOC 中,对角线OA 在y 轴的正半轴上,且OA=4,直线y=23x+43过点C ,则菱形ABOC 的面积是( )A .8B .4C .323D .163二、填空题(每小题5分,共25分)6.菱形ABCD 中,∠A=60°,其周长为24 cm,则菱形的面积为 cm 2.7.如图答案5,在正方形ABCD 中,边长为1,对角线AC ,BD 交于点O ,E 是BC 边上任意一点,过点E 分别向BD ,AC 作垂线,垂足分别为F ,G ,则四边形OFEG 的周长是 .图答案5 图答案68.如图答案6,矩形OBCD 的顶点C 的坐标为(1,3),连结BD ,则线段BD 的长为 . 9.如图答案7,菱形ABCD 的面积为120 cm 2,正方形AECF 的面积为50 cm 2,则菱形ABCD 的边长为 cm .图答案7 图答案810.如图答案8,已知正方形ABCD 的一条对角线长为10√2 cm,矩形EFCG 的3个顶点分别在△BCD 的边上,则矩形EFCG 的周长是 .三、解答题(共55分)11.(10分)如图答案9,在矩形ABCD中,点E在AD上,且BE=BC.(1)EC平分∠BED吗?证明你的结论.(2)若AB=1,∠ABE=45°,求BC的长.图答案912.(10分)在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F 满足BE=DF,连结AE,AF,CE,CF,如图答案10所示.(1)求证:△ABE≌△ADF;(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.图答案1013.(10分)如图答案11,正方形ABCD的边长为8 cm,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的动点,且AE=BF=CG=DH.(1)求证:四边形EFGH是正方形;(2)判断直线EG是否经过某一定点,说明理由.图答案1114.(12分)如图答案12,将?ABCD沿过点A的直线折叠,使点B落到AD边上的点F处,折痕为AE,连结DE.(1)求证:四边形ABEF是菱形;(2)若DE平分∠ADC,则四边形CDFE是菱形吗?请说明理由.图答案1215.(13分)如图答案13①,四边形ABCD是菱形,点M,N分别在AB,AD上,且BM=DN,MG∥AD,NF∥AB,点F,G分别在BC,CD上,MG与NF相交于点E.(1)求证:四边形AMEN是菱形;(2)如图②,连结AC.在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出面积相等的四边形.图答案13答案1.[答案] D2.[答案] C3.[答案] B4.[答案] C5.[答案] B6.[答案] 18√37.[答案] √28.[答案] √109.[答案] 1310.[答案] 20 cm11.解:(1)EC平分∠BED.证明如下:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE.∵BE=BC,∴∠BEC=∠BCE,∴∠BEC=∠DEC,∴EC平分∠BED.(2)∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°.∵∠ABE=45°,∴∠ABE=∠AEB=45°,∴AE=AB=1,由勾股定理得BE=√12+12=√2,∴BC=BE=√2.12.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABD=∠ADB=45°,AB=AD,∴∠ABE=∠ADF=135°.又∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF(S.A.S.).(2)四边形AECF是菱形.理由:∵△ABE≌△ADF,∴AE=AF.连结AC交BD于点O.∵四边形ABCD是正方形,∴OA=OC,OB=OD.∵BE=DF,∴OE=OF,∴四边形AECF是平行四边形.又∵AE=AF,∴四边形AECF是菱形.13.解:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=90°,AB=DA.∵AE=DH,∴BE=AH.又∵AE=BF,∴△AEH≌△BFE,∴EH=FE,∠AHE=∠BEF.同理:FE=GF=HG,∴EH=FE=GF=HG,∴四边形EFGH是菱形.∵∠A=90°,∴∠AHE+∠AEH=90°,∴∠BEF+∠AEH=90°,∴∠FEH=90°,∴菱形EFGH是正方形.(2)直线EG经过正方形ABCD的中心.理由如下:连结BD交EG于点O.∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥DC,AB=DC,∴∠EBD=∠GDB.∵AE=CG,∴BE=DG.又∵∠EOB=∠GOD,∴△EOB≌△GOD,∴BO=DO,即O为BD的中点,∴直线EG经过正方形ABCD的中心.14.解:(1)证明:如图,由折叠的性质可知,∠1=∠2,AB=AF.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴AB=BE,∴AF=BE.又∵AF∥BE,∴四边形ABEF是平行四边形.又∵AB=BE,∴?ABEF是菱形.(2)四边形CDFE是菱形.理由:如图,∵DF=AD-AF,CE=BC-BE,由(1)知AD=BC,AF=BE,∴DF=CE.又∵DF∥CE,∴四边形CDFE是平行四边形.∵DE平分∠ADC,∴∠4=∠5.∵AD∥BC,∴∠4=∠6,∴∠5=∠6,∴CD=CE,∴?CDFE是菱形.15.解:(1)证明:∵MG∥AD,NF∥AB,∴四边形AMEN是平行四边形.∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD.又∵BM=DN,∴AB-BM=AD-DN,即AM=AN,∴四边形AMEN是菱形.(2)∵四边形AMEN是菱形,∴S△AEM=S△AEN.同理,四边形CGEF是菱形,∴S△CEF=S△CEG.∵四边形ABCD是菱形,∴S△ABC=S△ADC,∴S四边形MBFE=S四边形DNEG,S四边形MBCE=S四边形DNEC,S四边形MBCG=S四边形DNFC,S四边形ABFE=S四边形ADGE,S=S四边形ADGM.四边形ABFN。

矩形、菱形与正方形专题训练(含答案)班级________姓名________成绩________一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是( )A．12 B．24 C．12 3 D．16 3第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A．14 B．15 C．16 D．173．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合．若AB＝2，则C′D的长为( ) A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是( )A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形5．由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是( )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形6．如图，▱ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为( )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm第6题图第9题图第10题图7．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( )A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶18．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是( )A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为( )A．16 B．17 C．18 D．1910．如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，若正方形ABCD 的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为( )A．20 B．24 C．25 D．26二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图所示，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为点E，连结CP，则∠CPB＝____度．第11题图第12题图第14题图第15题图12．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD 各边中点，如果AC＝8，BD＝10，则四边形A1B1C1D1的面积为___．13．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20 cm，则其对角线长为____________-_，矩形的面积为_______________．14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个菱形的面积是____cm2.15．如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝22，BC＝23，则图中阴影部分的面积为____________．,第16题图第17题第18题图16．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件______________，使▱ABCD是矩形．17．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，则EG＋EF＝____．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为_______________________________．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC且EF＝EC，DE ＝4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．20．(8分)如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于点N，连结BM，DN.(1)求证：四边形BMDN是菱形；(2)若AB＝4，AD＝8，求MD的长．21．(8分)如图所示，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAE和∠EAO 的度数．22．(10分)如图，已知菱形ABCD中，AB＝AC，E，F分别是BC，AD的中点，连结AE，CF.(1)证明：四边形AECF是矩形；(2)若AB＝8，求菱形ABCD的面积．23．(12分)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是点E，F，并且DE＝DF，求证：(1)△ADE≌△CDF；(2)四边形ABCD是菱形．24．(10分)在四边形ABCD中，AB＝CD，M，N，P，Q分别是AD，BC，BD，AC的中点，求证：MN与PQ互相垂直平分．参考答案一、选择题(每小题3分，共30分)1．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是( D )A．12 B．24 C．12 D．16第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( C ) A．14 B．15 C．16 D．173．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合．若AB＝2，则C′D的长为( B ) A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是( A )A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形5．由菱形的两条对角线的交点向各边引垂线，以各垂足为顶点的四边形是( B )A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形6．如图，▱ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，OE⊥AC交AD于点E，则△DCE的周长为( C )A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm第6题图第9题图第10题图7．菱形的周长为8 cm，高为1 cm，则菱形两邻角度数比为( C )A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶18．用两块完全相同的直角三角形拼下列图形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，⑤等腰三角形，⑥等边三角形，一定能拼成的图形是( D )A．①④⑤B．②⑤⑥C．①②③D．①②⑤9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1＋S2的值为( B )A．16 B．17 C．18 D．1910．如图，F为正方形ABCD的边AD上一点，CE⊥CF交AB的延长线于点E，若正方形ABCD 的面积为64，△CEF的面积为50，则△CBE的面积为( B )A．20 B．24 C．25 D．26二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图所示，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为点E，连结CP，则∠CPB＝__72__度．第11题图第12题图第14题图第15题图12．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD 各边中点，如果AC＝8，BD＝10，则四边形A1B1C1D1的面积为__20__．13．矩形的对角线相交成的角中，有一个角是60°，这个角所对的边长为20 cm，则其对角线长为__40_cm__，矩形的面积为__400_cm2__．14．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC＝4 cm，BD＝8 cm，则这个菱形的面积是__16__cm2.15．如图，矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝2，BC＝2，则图中阴影部分的面积为__2__．,第16题图第17题第18题图16．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__AO＝BO(答案不唯一)__，使▱ABCD 是矩形．17．如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G，F，AC＝10，则EG＋EF＝__5__．18．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为__(8，4)，(3，4)或(2，4)__．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上一点，EF⊥EC且EF＝EC，DE ＝4 cm，矩形ABCD的周长为32 cm，求AE的长．解：∵∠AFE ＋∠AEF ＝∠AEF ＋∠CED ＝90°，∴∠AFE ＝∠DEC .又∵∠A ＝∠D ＝90°，EF ＝EC ，∴△AEF ≌△DCE ，∴AE ＝CD .设AE ＝x ，则CD ＝x ，∴AD ＋CD ＝21×32，即x ＋4＋x ＝16，∴x ＝6.即AE ＝6 cm20．(8分)如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的垂直平分线MN 与AD 相交于点M ，与BD 相交于点O ，与BC 相交于点N ，连结BM ，DN .(1)求证：四边形BMDN 是菱形；(2)若AB ＝4，AD ＝8，求MD 的长．解：(1)∵MN 是BD 的垂直平分线，∴BO ＝DO ，∠BON ＝∠DOM ＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠BNO ＝∠DMO ，∴△BON ≌△DOM (AAS )，∴OM ＝ON .∵OB ＝OD ，∴四边形BMDN 是平行四边形．∵MN ⊥BD ，∴▱BMDN 是菱形(2)设MD ＝x ，则MB ＝x ，MA ＝8－x ，在Rt △ABM 中，∵BM 2＝AM 2＋AB 2，∴x 2＝(8－x )2＋42，解得x ＝5.∴MD 的长为521．(8分)如图所示，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于点E ，∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，求∠BAE 和∠EAO 的度数．解：提示：由∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，求出∠BAE ＝22.5°，而∠ABD ＝90°－∠BAE ＝90°－22.5°＝67.5°，∵∠BAO ＝∠ABD ＝67.5°，∴∠EAO ＝∠BAO －∠BAE ＝67.5°－22.5°＝45°22．(10分)如图，已知菱形ABCD 中，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连结AE ，CF .(1)证明：四边形AECF 是矩形；(2)若AB ＝8，求菱形ABCD 的面积．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ，又∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等边三角形．∵E 是BC 的中点，∴AE ⊥BC (等边三角形三线合一)，∠AEC ＝90°.同理，CF ⊥AD .∵E ，F 分别是BC ，AD 的中点，∴AF ＝21AD ，EC ＝21BC .∵四边形ABCD 是菱形，∴AD 綊BC ，∴AF 綊EC ，∴四边形AECF 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．又∵∠AEC ＝90°，∴四边形AECF 是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)(2)在Rt △ABE 中，∵AE ＝＝4，∴S 菱形ABCD ＝8×4＝3223．(12分)如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别是点E ，F ，并且DE ＝DF ，求证：(1)△ADE ≌△CDF ；(2)四边形ABCD 是菱形．解：证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠A ＝∠C ，又∵DE ＝DF ，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，∴∠DEA ＝∠DFC ＝90°，∴△ADE ≌△CDF (AAS ) (2)由(1)知AD ＝DC ，又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴四边形ABCD 是菱形24．(10分)在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，M ，N ，P ，Q 分别是AD ，BC ，BD ，AC 的中点，求证：MN 与PQ 互相垂直平分．解：证明：连结MP ，NQ ，PN ，MQ ，∵PM 綊21AB ，同理NQ 綊21AB ，∴PM 綊NQ ，∴四边形MPNQ 为平行四边形，又∵PN 綊21CD ，而CD ＝AB ，∴PN ＝PM ，∴四边形MPNQ 为菱形，∴MN 与PQ 互相垂直平分。

八年级数学下第19章矩形、菱形与正方形单元测试卷（华师大带答案）第19章矩形、菱形与正方形单元测试卷一、选择题(每题3分,共30分) 1.如图,在矩形OABC中,OA=2,OC=1,把矩形OABC放在数轴上,O在原点,OA在正半轴上,把矩形的对角线OB绕着原点O顺时针旋转到数轴上,点B的对应点为B',则点B'表示的实数是( ) A.2 B.1 C. D.- 2.下列命题是真命题的是( ) A.对角线互相平分的四边形是平行四边形 B.对角线相等的四边形是矩形 C.对角线互相垂直的四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 3.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( ) A.14 B.15 C.16 D.17 4.如图,把一张长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为( ) A.15°或30° B.30°或45° C.45°或60° D.30°或60° 5.如图,有一块矩形纸片ABCD,AB=8,AD=6,将纸片折叠,使得AD边落在AB边上,折痕为AE,再将△AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F,则△CEF的面积为( ) A. B. C.2 D.4 6.如图,已知正方形ABED、正方形BCFE,现从A、B、C、D、E、F六个点中任取三点,使得这三个点构成直角三角形的三个顶点,这样的直角三角形有( ) A.16个 B.14个 C.12个 D.10个 7.如图,在菱形ABCD中,M、N分别在AB、CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连结BO.若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为( ) A.28° B.52° C.62° D.72° 8.如图,在正方形ABCD外侧,作等边三角形ADE,AC、BE相交于点F,则∠BFC为( ) A.45° B.55° C.60° D.75° 9.如图,在△ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,则EF的最小值为( ) A.2 B.2.2 C.2.4 D.2.5 10.如图所示的矩形是由六个正方形组成的,其中最小的正方形的面积为1,则此矩形的面积为( ) A.99 B.120 C.143 D.168 二、填空题(每题3分,共24分) 11.已知正方形ABCD的对角线AC= ,则正方形ABCD的周长为_______________. 12.如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连结AE,如果∠ADB=30°,则∠E=______________. 13.如图,在平面直角坐标系中,▱MNEF的两条对角线ME、NF交于原点O,点F的坐标是(3,2),则点N的坐标是_____________. 14.如图,直线l过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线l的距离分别是1和2,则正方形的边长是_____________. 15.如图,在矩形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点,连结DE和BF,分别取DE、BF的中点M、N,连结AM、CN、MN,若AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为_____________. 16.如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值是_____________. 17.如图,已知在正方形ABCD中,延长BC至E,使CE=CA,连结AE交CD于F,则∠DFE=_____________度.18.在平面直角坐标系中,已知A、B、C三点的坐标分别是A(0,4)、B(-3,0)、C(m,0)(m≠-3).如果存在点D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形,则点m的值等于_____________. 三、解答题( 19,20题每题6分,21,22题每题8分,其余每题9分,共46分) 19.如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是边CD的中点,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交BC于点G,连结AG. (1)求证:△ABG≌△AFG; (2)求BG的长.20.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AM⊥BC,垂足为M,AN⊥DC,垂足为N.若∠BAD=∠BCD,AM=AN,求证:四边形ABCD是菱形.21.如图,在正方形ABCD中,E是边AB的中点,F是边BC的中点,连结CE、DF. 求证:CE=DF.22.如图,点O是线段AB上的一点,OA=OC,OD平分∠AOC交AC于点D,OF 平分∠COB,CF⊥OF于点F. (1)求证:四边形CDOF是矩形; (2)当∠AOC 为多少度时,四边形CDOF是正方形?并说明理由.23.如图,在菱形ABCD中,E为边BC的中点,DE与对角线AC交于点M,过点M作MF⊥CD于点F,∠1=∠2.求证: (1)DE⊥BC; (2)AM=DE+MF.24.在▱ABCD中,AC、BD交于点O,过点O作直线EF、GH,分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点,连结EG、GF、FH、HE. (1)如图①,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由; (2)如图②,当EF⊥GH时,四边形EGFH的形状是_____________; (3)如图③,在(2)的条件下,若AC=BD,四边形EGFH的形状是____________; (4)如图④,在(3)的条件下,若AC⊥BD,试判断四边形EGFH的形状,并说明理由.参考答案一、1.【答案】C 解：∵四边形OABC是矩形,OC=1,OA=2,∴∠BAO=90°,AB=OC=1.∴在Rt△OAB中,由勾股定理得OB= = = .∴OB'=OB= .故选C. 2.【答案】A 3.【答案】C 解：∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC.又∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形.∴AC=AB=4.∴以AC为边长的正方形ACEF的周长为4×4=16. 4.【答案】D 解：如图,设所得四边形为菱形ABCD. 则∠CBD=∠ABC,AD∥BC, 当∠BAD=120°时, 有∠ABC=180°-∠BAD=180°-120°=60°, ∴∠CBD=30°.当∠ABC=120°时,有∠CBD=60°. ∴剪口与第二次折痕所成角的度数应为30°或60°.故选D. 5.【答案】C 解：∵AB=8,AD=6,纸片折叠,使得AD边落在AB边上,∴DB=8-6=2,∠EAD=45°. 又∵△AED沿DE向右翻折,AE与BC的交点为F, ∴AB=AD-DB=6-2=4,△ABF为等腰直角三角形, ∴BF=AB=4, ∴CF=BC-BF=6-4=2, 而EC=DB=2, ∴△CEF 的面积= ×2×2=2. 6.【答案】B 解：从A、B、C、D、E、F六个点中任取三点,以这三点为顶点可得到14个直角三角形,分别为△ABE、△ADE、△ABD、△BED、△BCE、△CFE、△BCF、△BEF、△ACF、△ADF、△ACD、△CDF、△AEC、△DBF. 7.【答案】C 8.【答案】C 9.【答案】C 解：连结AP,由题意易知∠BAC=90°,根据三个角都是直角的四边形是矩形,得四边形AEPF是矩形,根据矩形的对角线相等,得EF=AP,则EF的最小值即为AP的最小值,根据垂线段最短,知AP的最小值等于直角三角形ABC斜边BC上的高. 10.【答案】C 解：如图,由题意知正方形FGHI的边长为1,设GJ的长度为x,则正方形GJKL 的边长为x,正方形LKCM的边长为x,正方形EBJF的边长为x+1,正方形AEIN的边长为x+2,正方形NHMD的边长为x+3.因为四边形ABCD为矩形,所以AD=BC,所以x+2+x+3=x+1+x+x,解得x=4.所以AB=x+2+x+1=2x+3=11,BC=3x+1=13,所以矩形ABCD的面积为11×13=143.故选C.二、11.【答案】4 12.【答案】15°解：如图,连结AC, ∵四边形ABCD是矩形, ∴AD∥BE,AC=BD, ∴∠E=∠DAE. 又∵BD=CE,∴CE=CA, ∴∠E=∠CAE. ∵∠CAD=∠CAE+∠DAE,且易知∠CAD=∠ADB=30°,∴∠E+∠E=30°,∴∠E=15°. 13.【答案】(-3,-2)解：要求点N的坐标,根据平行四边形的中心对称性和关于原点对称的点的坐标特征写出点N的坐标.在▱MNEF中,点F和点N关于原点对称,∵点F的坐标是(3,2),∴点N的坐标是(-3,-2). 14.【答案】解：观察题图易得两直角三角形全等,由全等三角形的性质和勾股定理得正方形的边长为 = . 15.【答案】3 解：由题意易证得△BCN 与△DAM全等,△AEM与△CFN全等,所以△BCN与△DAM的面积相等,△AEM与△CFN的面积相等.又易知▱DFNM与▱BEMN的面积也相等,所以阴影部分的面积其实就是原矩形面积的一半,即×2×3=3. 16.【答案】10 解：连结DE,交AC于P',连结BP',则当P在P'位置时PB+PE的值最小. ∵四边形ABCD是正方形, ∴点B、D关于直线AC对称, ∴P'B=P'D, ∴P'B+P'E=P'D+P'E=DE. ∵BE=2,AE=3BE,∴AE=6,∴AD=AB=8, ∴DE= = =10, 故PB+PE的最小值是10. 17.【答案】112.5 解：由题意易知∠ACB=45°,因为CA=CE,所以∠E=∠CAF= ∠ACB=22.5°,所以∠DFE=∠E+∠FCE=22.5°+90°=112.5°. 18.【答案】2或-8或3或解：要使以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形,则△ABC必定是等腰三角形.分三种情况讨论:①若AB=AC,则m=3;②若AB=BC.则m=2或-8;③若AC=BC,则m= . 三、19.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠D=90°,AD=AB. 由折叠的性质可知,AD=AF,∠AFE=∠D=90°, ∴AB=AF,∠AFG=90°.∴∠AFG=∠B=90°. 又∵AG=AG, ∴Rt△ABG≌Rt△AFG(H.L.). (2)解:∵Rt△ABG≌Rt△AFG, ∴BG=FG.设BG=FG=x,则GC=6-x, ∵E为CD 的中点,∴CE=DE=EF=3,∴EG=x+3, 在Rt△CEG中,由勾股定理,得32+(6-x)2=(x+3)2,解得x=2, ∴BG=2. 20.证明:∵AD∥BC,∴∠BAD+∠B=180°,∠BCD+∠D=180°. 又∵∠BAD=∠BCD,∴∠B=∠D. ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AM⊥BC,AN⊥DC,∴∠AMB=∠AND=90°. 在△AMB和△AND中,∴△AMB≌△AND,∴AB=AD.∴四边形ABCD是菱形. 21.证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC=CD,∠EBC=∠FCD=90°. 又∵E、F分别是AB、BC的中点,∴BE=CF, ∴△CEB≌△DFC,∴CE=DF. 22.(1)证明:∵OD 平分∠AOC,OF平分∠COB,∴∠AOC=2∠COD,∠COB=2∠COF.∵∠AOC+∠COB=180°,∴2∠COD+2∠COF=180°,∴∠COD+∠COF=90°,∴∠DOF=90°.∵OA=OC,OD 平分∠AOC,∴OD⊥AC,即∠CDO=90°.∵CF⊥OF,∴∠CFO=90°,∴四边形CDOF是矩形. (2)解:当∠AOC=90°时,四边形CDOF是正方形.理由如下:当∠AOC=90°时,∵OA=OC,OD平分∠AOC,∴∠ACO=∠A=45°,∠COD=∠AOC=45°,∴∠ACO=∠COD,∴CD=OD.又∵四边形CDOF是矩形,∴四边形CDOF是正方形. 23.证明:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴∠BCA=∠ACD,AB∥CD.∴∠1=∠ACD.∵∠1=∠2,∴∠ACD=∠2.∴MC=MD.又∵MF⊥CD,∴∠CFM=90°,CF= CD.∵E为BC的中点,∴CE=BE= BC.∵CD=BC,∴CF=CE. 在△CFM和△CEM中, ∵∴△CFM≌△CEM.∴∠CEM=∠CFM=90°, 即DE⊥BC. (2)如图,延长AB 交DE的延长线于点N, ∵AB∥CD,∴∠N=∠2, 又∵∠BEN=∠CED,BE=CE, ∴△BEN≌△CED,∴NE=DE.∵∠1=∠2,∠N=∠2,∴∠1=∠N.∴AM=MN. 又∵NM=NE+ME,∴AM=DE+ME. 又由(1)得△CEM≌△CFM,∴ME=MF,∴AM=DE+MF. 24.解:(1)四边形EGFH是平行四边形. 理由:∵▱ABCD的对角线AC、BD交于点O. ∴点O是▱ABCD的对称中心.∴EO=FO,GO=HO. ∴四边形EGFH是平行四边形. (2)菱形 (3)菱形 (4)四边形EGFH是正方形.理由: ∵AC=BD,∴▱ABCD是矩形. ∵AC⊥BD,∴▱ABCD是菱形. ∴▱ABCD是正方形,∴∠BOC=90°,∠GBO=∠FCO=45°,OB=OC. ∵EF⊥GH,∴∠GOF=90°. ∴∠BOG=∠COF.∴△BOG≌△COF. ∴OG=OF,∴GH=EF. 由(1)知四边形EGFH是平行四边形, 又∵EF⊥GH,EF=GH. ∴四边形EGFH是正方形.。

第19章矩形、菱形与正方形一、选择题1.如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB ，AB＝2，则平行四边形ABCD的周长为（）.A. 4B. 6C. 8D. 122.在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O ，则下列说法不正确的是（）.A. AO⊥BOB. ∠ABD＝∠CBDC. AO＝BOD. AD＝CD3.菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A. 3：1B. 4：1C. 5：1D. 6：14.下列性质中，矩形、菱形、正方形都具有的是（）A. 对角线相等B. 对角线互相垂直C. 对角线平分一组对角D. 对角线互相平分5.如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD的周长是（）A. 24B. 16C. 2D. 46.（如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE 的长等于（）A. 3cmB. 4cmC. 2.5cmD. 2cm7.如图，在矩形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，若OB=4，则BD的长为（）A. 4B. 6C. 8D. 108.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（）A. AC⊥BD，AC与BD互相平分B. AB=BC=CD=DAC. AB=BC，AD=CD，AC⊥BDD. AB=CD，AD=BC，AC⊥BD9.已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（）A. 如果AB=CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形B. 如果AB∥CD，AC=BD，那么四边形ABCD是矩形C. 如果AD=BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形D. 如果OA=OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形10.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD.则不能使四边形ABCD成为矩形的是( )A. ①②③B. ②③④C. ②⑤⑥D. ④⑤⑥二、填空题11.已知菱形的一条对角线长为6cm，面积为24cm2，则菱形的周长是________ cm．12.矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AC+BD=16，则该矩形的面积为________13.如图，正方形CEGF的顶点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，且AB=5，CE=3，连接BG、DG，则图中阴影部分的面积是________14.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，使四边形AFDE为菱形，应添加的条件是________ （添加一个条件即可）．15.如图，顺次连接矩形ABCD四边的中点得到四边形A1B1C1D1，然后顺次连接四边形A1B1C1D1的中点得到四边形A2B2C2D2，再顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点得到四边形A3B3C3D3，…，已知AB=6，BC=8，按此方法得到的四边形A5B5C5D5的周长为________．16.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点0，E，F分别为OB，OD上的点，且OE=OF，则由OA=________可以得到四边形AECF是平行四边形，理由是________．17.如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为________．18.如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形BEFG排放在一起，O1和O2分别是这两个正方形的中心，则阴影部分的面积为________．三、解答题19.如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF，∠FDC=30°，求∠BEF的度数．20.已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，若MA=MC，∠BAN=90°，求证：四边形ADCN是矩形．21.已知，如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动．当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求点P 的坐标．22.如图，在□ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）连接CF，若∠ABC=60°，AB= 4，AF =2DF，求CF的长．23.已知：如图，菱形花坛ABCD周长是80m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，相交于O点．（1）求两条小路的长AC、BD．（结果可用根号表示）（2）求花坛的面积．（结果可用根号表示）24.如图，在矩形纸片ABCD中，AD=5，AB=3，点为上一点，沿着AE剪下，将它平移至的位置，拼成四边形．（1）当点E与点B的距离是多少时，四边形是菱形？并说明理由；（2）在（1）的条件下，求菱形的两条对角线的长．25.如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．（1）求证：△AFE ≌△CDF；（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．参考答案一、选择题1. C2. C3. C4. D5. D6. A7. C8. C9.A 10.C二、填空题11.20 12.16 13.8 14.AF=AE 15.516.OC；对角线互相平分的四边形是平行四边形17.3 18.ab三、解答题19.解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=∠DCF=90°，BC=CD，∵CE=CF，∠FDC=30°，∴△BCE≌△DCF，∴∠EBC=∠FDC=30°，∴∠BEC=60°，∵∠DCF=90°，CE=CF，∴∠FEC=45°，∴∠BEF=∠BEC+∠FEC=60°+45°=105°．20.证明：∵CN∥AB，∴∠DAC=∠NCA，在△AMD和△CMN中，∵，∴△AMD≌△CMN（ASA），∴AD=CN．又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形．又∵∠BAN=90度，∴四边形ADCN是矩形21.解：过P作PM⊥OA于M．（1）当OP=OD时，OP=5，CO=4，∴易得CP=3，∴P（3，4）；（2）当OD=PD时，PD=DO=5，PM=4，∴易得MD=3，从而CP=2或CP'=8，∴P（2，4）或（8，4）；综上，满足题意的点P的坐标为（3，4）、（2，4）、（8，4），22.（1）证明：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∵□ABCD，∴AD∥B，∴∠AFB=∠CBF，∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF，∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAO=∠CBF+∠BEO=90°，∴∠BAO=∠BEO，∴AB=BE，∴AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴□ABEF是菱形（2）解：∵AD=BC，AF=BE，∴DF=CE，∴BE=2CE，∵AB=4，∴BE=4，∴CE=2，过点A作AG⊥BC于点G，∵∠ABC=60°，AB=BE，∴△ABE是等边三角形，∴BG=GE=2，∴AF=CG=4，∴四边形AGCF是平行四边形，∴□AGCF是矩形，∴AG=CF，在△ABG中，∠ABC=60°，AB=4，∴AG=2 。

八年级数学下册第十九章矩形、菱形与正方形章节训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列说法正确的是（）A．平行四边形的对角线互相平分且相等B．矩形的对角线相等且互相平分C．菱形的对角线互相垂直且相等D．正方形的对角线是正方形的对称轴2、如图，点E在边长为5的正方形ABCD的边CD上，将ADE绕点A顺时针旋转90︒到ABF的位置，连接EF，过点A作FE的垂线，垂足为点H，与BC交于点.G若2CG=，则CE的长为（）A．54B．154C．4D．9 23、在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是（）A ．∠ABC ＝90°B ．AC ⊥BD C ．AB ＝CD D ．AB ∥CD4、下列测量方案中，能确定四边形门框为矩形的是（ ）A ．测量对角线是否互相平分B ．测量两组对边是否分别相等C ．测量对角线是否相等D ．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等5、数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是( )A ．测量对角线是否互相平分B ．测量一组对角是否都为直角C ．测量对角线长是否相等D ．测量3个角是否为直角6、如图，矩形ABCD 的面积为1cm 2，对角线交于点O ；以AB 、AO 为邻边作平行四边形AOC 1B ，对角线交于点O 1；以AB 、AO 1为邻边作平行四边形AO 1C 2B ，…；依此类推，则平行四边形AO 2014C 2015B 的面积为（ ）cmA ．201312 B ．201412 C ．201512 D ．2016127、如图，将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ，若6AB ，则BC 的长为（ ）A ．2B ．C ．4D ．8、如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到E ，使DE =AD ，连接EB ，EC ，DB ，添加一个条件，不能使四边形DBCE 成为矩形的是（ ）A ．AB =BE B ．DE ⊥DC C ．∠ADB =90°D ．CE ⊥DE9、如图，把一张长方形纸片ABCD 沿AF 折叠，使B 点落在B '处，若20ADB ∠=︒，要使AB BD '∥，则BAF ∠的度数应为（ ）A ．20°B ．55°C ．45°D ．60°10、下列说法中，不正确的是（ ）A ．四个角都相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形C ．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴D ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、如图，在矩形ABCD 中，5AB =，3BC =．将矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转得到矩形HBEF ，点H 落在矩形ABCD 的边CD 上，则CH 的长是 __．2、如图，在矩形ABCD 中，3,5AB BC ==，点P 在CD 边上，联结AP ．如果将ADP 沿直线AP 翻折，点D 恰好落在线段BC 上，那么ADP ABCPS S 四边形 的值为_________．3、如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，F 为BC 中点，P 是线段BC 上一点，设(04)BP m m =<≤，连结AP 并将它绕点P 顺时针旋转90°得到线段PE ，连结CE 、EF ，则在点P 从点B 向点C 的运动过程中，有下面四个结论：①当2m ≠时，135EFP ∠=︒；②点E 到边BC 的距离为m ；③直线EF 一定经过点D ；④CE．其中结论正确的是______．（填序号即可）4、若矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且6cm BD =，120BOC ∠=︒，则矩形ABCD 的面积为_____________2cm ．5、如图，正方形ABCD 内有一等边三角形BCE ，直线DE 交AB 于点H ，过点E 作直线GF ⊥DH 交BC 于点G ，交AD 于点F ．以下结论：①∠CEG ＝15°；②AF ＝DF ；③BH ＝3AHBE ＝HE +GE；正确的有_________．（填序号）6、三国时期，数学家赵爽绘制了“勾股圆方图”，又叫“赵爽弦图”，如图所示，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形，如果EF＝2，AH ＝6，那么四边形ABCD的面积等于_____．7、在菱形ABCD中，60∠=︒，其所对的对角线长为2，则菱形ABCD的面积是__．A8、如图，在平面直角坐标系内，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，9），点D和点E分别位于线段AC，AB上，将△ABC沿DE对折，恰好能使点A和点C重合．若x轴上有一点P，使△AEP为等腰三角形，则点P的坐标为________．DC=．在DC上找一点E，沿直线AE把AED折叠，使D点恰好落在9、如图，在长方形ABCD中，9BC上，设这一点为F，若ABF的面积是54，则FCE△的面积=______________．10、如图，已知矩形ABCD中，AD＝3，AB＝5，E是边DC上一点，将ADE绕点A顺时针旋转得到△，使得点D的对应点D落在AE上，如果D E''的延长线恰好经过点B，那么DE的长度等于AD E''_____．三、解答题（5小题，每小题6分，共计30分）1、如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB、DF⊥BC，垂足分别为E、F．求证：BE＝BF．2、问题解决：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE＝AF，DE⊥AF于点G．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）延长CB到点H，使得BH＝AE，判断△AHF的形状，并说明理由．类比迁移：如图2，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DE与AF相交于点G，DE＝AF，△AED＝60°，AE＝7，BF＝2，则DE=________．（只在图2中作辅助线，并简要说明其作法，直接写出DE 的长度3、数学兴趣小组的同学发现：一些复杂的图形运动是由若干个图形基本运动组合形成的，如一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，这样的一种图形运动，大家讨论后把它称为图形的“翻移运动”，这条直线则称为（这次运动的）“翻移线”如图1，222A B C ∆就是由ABC ∆沿直线1翻移后得到的．（先翻折，然后再平移）(1)在学习中，兴趣小组的同学就“翻移运动”对应点（指图1中的A 与2A ，B 与2B …）连线是否被翻移线平分发生了争议．对此你认为如何？（直接写出你的判断）(2)如图2，在长方形ABCD 中，8BC =，点,E F 分别是边,BC AD 中点，点G 在边CD 延长线上，联结,AE FG ，如果GDF ∆是ABE ∆经过“翻移运动”得到的三角形．请在图中画出上述“翻移运动”的“翻移线”直线a ；联结AG ，线段AG 和直线a 交于点O ，若OGF ∆的面积为3，求此长方形的边长AB 的长．(3)如图3，M 是（2）中的长方形边BC 上一点，如果1BM =，ABM ∆先按（2）的“翻移线”直线a 翻折，然后再平移2个单位，得到111A B M ∆，联结线段11AA MM 、，分别和“翻移线”a 交于点K 和点H ，求四边形AKHM 的面积．4、如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是BD 延长线上一点，且△ACE 是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若∠AED ＝2∠EAD ，AB ＝a ，求四边形ABCD 的面积．5、如图，在Rt ABC △与Rt △ABD 中，90ABC BAD ∠=∠=︒，AD BC =，AC ，BD 相交于点G ．过点A 作AE DB ∥交CB 的延长线于点E ，过点B 作BF CA ∥交DA 的延长线于点F ，AE ，BF 相交于点H ．（1）求证：ABC ≌BAD ；（2）若AB BC =，四边形AHBG 是什么特殊四边形？请说明理由．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质定理判断即可．【详解】解：平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，A 错误；矩形的对角线相等且互相平分，B 正确；菱形的对角线互相垂直，不一定相等，C 错误；正方形的对角线所在的直线是正方形的对称轴，D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查了命题的真假判断，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键．2、B【解析】【分析】连接EG ，根据AG 垂直平分EF ，即可得出EG FG =，设CE x =，则5DE x BF =-=，8FG EG x ==-，再根据Rt CEG △中，222CE CG EG +=，即可得到CE 的长．【详解】解：如图所示，连接EG ，由旋转可得，ADE ≌ABF ，AE AF ∴=，DE BF =，又AG EF ⊥，H ∴为EF 的中点，AG ∴垂直平分EF ，EG FG ∴=，设CE x =，则5DE x BF =-=，8FG x =-，8EG x ∴=-，90C ∠=︒，Rt CEG ∴中，222CE CG EG +=，即2222(8)x x +=-， 解得154x =， CE ∴的长为154， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．3、B【解析】略4、D【解析】【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A 、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，∴选项A不符合题意；B、∵两组对边分别相等是平行四边形，∴选项B不符合题意；C、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，∴对角线相等的四边形不是矩形，∴选项C不符合题意；D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等，∴对角线互相平分且相等，∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴选项D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、解题的关键是熟记矩形的判定定理．5、D【解析】【分析】矩形的判定方法有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；由矩形的判定方法即可求解．【详解】解：A、对角线是否互相平分，能判定是否是平行四边形，故不符合题意；B、测量一组对角是否都为直角，不能判定形状，故不符合题意；C、测量对角线长是否相等，不能判定形状，故不符合题意；D、测量3个角是否为直角，若四边形中三个角都为直角，能判定矩形，故符合题意；【点睛】本题考查的是矩形的判定、平行四边形的判定等知识；熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．6、C【解析】【分析】根据“同底等高”的原则可知平行四边形AOC 1B 底边AB 上的高等于BC 的12，则有平行四边形AOC 1B 的面积12，平行四边形AOC 2B 的边AB 上的高等于平行四边形AOC 1B 底边AB 上的高的12，则有平行四边形ABC 3O 2的面积212，…；由此规律可进行求解． 【详解】解：∵O 1为矩形ABCD 的对角线的交点，∴平行四边形AOC 1B 底边AB 上的高等于BC 的12，∴平行四边形AOC 1B 的面积=12×1=12，∵平行四边形AO 1C 2B 的对角线交于点O 2，∴平行四边形AOC 2B 的边AB 上的高等于平行四边形AOC 1B 底边AB 上的高的12，∴平行四边形ABC 3O 2的面积=12×12×1=212， …，依此类推，平行四边形ABC 2014O 2015的面积=201512cm 2．故答案为：C ．本题主要考查矩形的性质与平行四边形的性质，熟练掌握矩形的性质与平行四边形的性质是解题的关键．7、D【解析】【分析】根据菱形及矩形的性质可得到∠BAC的度数，从而根据直角三角形的性质求得BC的长．【详解】解：∵四边形AECF为菱形，∴∠FCO=∠ECO，EC=AE，由折叠的性质可知，∠ECO=∠BCE，又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°，∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°，在Rt△EBC中，EC=2EB，又∵EC=AE，AB=AE+EB=6，∴EB=2，EC=4，∴Rt△BCE中，BC故选：D．【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质，解决问题的关键是根据折叠以及菱形的性质发现特殊角，根据30°的直角三角形中各边之间的关系求得BC的长．8、B【解析】先证明四边形BCED为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，又∵AD=DE，∴DE∥BC，且DE=BC，∴四边形BCED为平行四边形，A、∵AB=BE，DE=AD，∴BD⊥AE，∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意；B、∵DE⊥DC，∴∠EDB=90°+∠CDB＞90°，∴四边形DBCE不能为矩形，故本选项符合题意；C、∵∠ADB=90°，∴∠EDB=90°，∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意；D、∵CE⊥DE，∴∠CED=90°，∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识，判定四边形BCED 为平行四边形是解题的关键．9、B【解析】【分析】设直线AF 与BD 的交点为G ，由题意易得90DAB ∠=︒，则有70ABD ∠=︒，由折叠的性质可知BAF B AF '∠=∠，由平行线的性质可得B AF BGA '∠=∠，然后可得BAF BGA ∠=∠，进而问题可求解．【详解】解：设直线AF 与BD 的交点为G ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴90DAB ∠=︒，∵20ADB ∠=︒，∴70ABD ∠=︒，由折叠的性质可知BAF B AF '∠=∠，∵AB BD '∥，∴B AF BGA '∠=∠，∴BAF BGA ∠=∠， ∴180552ABG BAF ︒-∠∠==︒；故选B．【点睛】本题主要考查折叠的性质及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键．10、D【解析】【分析】根据矩形的判定，正方形的性质，菱形和平行四边形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、四个角都相等的四边形是矩形，说法正确；B、正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，说法正确；C、对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形，说法正确；D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原说法错误；故选：D．【点睛】本题主要考查特殊平行四边形的判定与性质，熟练掌握特殊平行四边形相关的判定与性质是解答本题的关键．二、填空题1、4【解析】【分析】根据矩形的性质和旋转性质得出BH=AB=5，∠C=90°，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：由题意知：5==，∠C=90°，BH AB∴在Rt△BCH 中，BC =3，∴4CH ，故答案为：4．【点睛】本题考查矩形的性质、旋转性质、勾股定理，熟练掌握旋转性质和勾股定理是解答的关键． 2、513【解析】【分析】先根据翻折的性质得出AD ′=AD =5，DP =PD ′，，然后在Rt △ABF 中由勾股定理求出BD ′=4，D ′C =1，设DP =x ，则D ′P =x ，PC=3-x ，在RtCD ′P 中，由勾股定理求出列方程求出x 即可，然后利用三角形的面积公式求出S △ADP 和ABCP S 四边形的面积即可．【详解】解：∵AB =3，BC =5，∴DC =3，AD =5，又∵将△ADP 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点D ′，∴AD ′=AD =5，DP =PD ′，在Rt △ABD ′中，AB =3，AD ′=5，∴BD ，∴D ′C =5-4=1，设DP =x ，则D ′P =x ，PC =3-x ，在Rt △CD ′P 中，D ′P 2=D ′C 2+PC 2，即x 2=12+（3-x ）2，解得x =53，即DP 的长为53，∵AD =5，∴S △ADP =12×DP ×AD =12×53×5=256，ADP ABCD ABCP S S S =-矩形四边形=3×5-256=656， ∴ADP ABCP S S 四边形=255665136=， 故答案为：513．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，也考查了矩形的性质以及勾股定理．3、②③④【解析】【分析】①当P 在F 点的右边时，得出45EFP CFD ∠=∠=︒即可判断；②证明出()Rt ABP Rt PGE AAS ≌即可判断；③根据Rt CDF 为等腰直角三角形，得出Rt GEF 都是等腰直角三角形，得到45EFG ∠=︒即可判断； ④当CE DF ⊥时，CE 有最小值，计算即可．【详解】解：12,22CD AB CF BC ====，Rt CDF∴为等腰直角三角形，∴∠=︒，CFD45当P在F点的左边时，EFP CFD∴∠=︒-∠=︒，180135当P在F点的右边时，EFP CFD∴∠=∠=︒，45故①错误；⊥，过点E作EG BC在Rt ABP和Rt PGE△中，根据旋转的性质得：AP PE=，∠+∠=∠+∠=︒，APB BAP APB EPG90∴∠=∠，BAP EPG∴≌，Rt ABP Rt PGE AAS()∴==，EG BP m故②正确；由①中得知Rt CDF为等腰直角三角形，//EG DC，∴也是等腰直角三角形，Rt GEF∴过点D，EF不管P在BC上怎么运动，得到Rt GEF都是等腰直角三角形，EFG∴∠=︒，45即直线EF一定经过点D，故③正确；Rt CDF是等腰直角三角形，⊥时，CE有最小值，当CE DFDCE ECF∴∠=∠=︒，45∴为等腰直角三角形，Rt CEF∴=，CE EFCF=，2由勾股定理：222+=，CE EF CFCE∴=故④正确；故答案是：②③④．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形，解题的关键是灵活运用这些性质进行推理．4、【解析】【分析】如图，过点O 作OE BC ⊥，根据矩形的对角线相等且互相平分可得OB OC =，2AB OE =，2BC BE =，由120BOC ∠=︒得30OBE OCE ∠=∠=︒，利用勾股定理求出BE ，由矩形面积得解．【详解】如图，过点O 作OE BC ⊥，∵四边形ABCD 是矩形， ∴13cm 2OB OC OD BD ====，2AB OE =，2BC BE =， ∵120BOC ∠=︒，∴30OBE OCE ∠=∠=︒， ∴13cm 22OE OB ==，∴BE ===，∴3cm AB =，BC =，∴23)ABCD S =⨯=矩形．故答案为：【点睛】本题考查矩形的性质与勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．5、①【解析】【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得CD CE =，30ECD ∠=︒，可得75CED ∠=︒，可求15CEG ∠=︒，故①正确；由“SAS “可证ABE DCE ∆≅∆，可得AE DE =，可证EH ED =，由线段垂直平分线的性质可得HF FD AF =>，故②错误；设2AB BC BE a ===，由等边三角形的性质和三角形中位线定理分别求出AH ，BH 的长，可判断③，通过证明点B ，点G ，点E ，点H 四点共圆，可得45BHG BEG ∠=∠=︒，可证HG =，由三角形三边关系可判断④，即可求解．【详解】 解：四边形ABCD 是正方形，AB BC CD AD ∴===，90DAB ADC ABC BCD ∠=∠=∠=∠=︒，BCE ∆是等边三角形，BE CE BC ∴==，60BCE EBC ∠=︒=∠，CD CE ∴=，30ECD ∠=︒，75CED ∴∠=︒，15CEG ∴∠=︒，故①正确；如图，连接AE ，过点E 作直线MN AD ⊥于N ，交BC 于M ，连接EH ，30ABE ABC EBC ∠=∠-∠=︒，ABE DCE ∴∠=∠，又AB CD =，BE CE =，()ABE DCE SAS ∴∆≅∆，AE DE ∴=，EAD EDA ∴∠=∠，EAH EHA ∴∠=∠，AE EH ∴=，EH ED ∴=，又FG DH ⊥，FH FD ∴=，FH AF >，FD AF ∴>，故②错误；设2AB BC BE a ===，MN AD ⊥，90DAB ADC ABC BCD ∠=∠=∠=∠=︒，∴四边形ABMN 是矩形，AN BM ∴=，2MN AB a ==，MN BC ⊥，EBC ∆是等边三角形，MN BC ⊥，∴==，EM，BM MC a==，∴=，AN DN aEN a2又EH HD=，∴==-，24AH EN a∴=-=-，2BH AB AH a∴≠，故③错误；3BH AH如图，连接HG，CEG∠=︒，6015∠=︒，BECBEG∴∠=︒，45∠+∠=︒，ABC GEH180∴点B，点G，点E，点H四点共圆，BHG BEG∴∠=∠=︒，45∴∠=∠=︒，BGH BHG45∴=，BH BG∴=，HG+>，EH EG HG∴+，故④错误；EH EG故答案为：①．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些性质解决问题．6、100【解析】【分析】由图知，四边形ABCD 的面积=4个直角三角形面积的和+正方形EFGH 的面积，由题意可求得直角三角形的面积及正方形EFGH 的面积，从而可求得结果．【详解】∵四边形EFGH 是正方形∴GH =EF =2∵△ABH ≌△BCG∴BG =AH =6∴BH =BG +GH =6+2=8 ∴11682422ABH S AH BH =⨯=⨯⨯=△ ∵ △ABH 、△BCG 、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形∴这四个直角三角形的面积均为24∵四边形EFGH 是正方形∴224EFGH S =⨯=正方形∴44244100ABH ABCD EFGH S S S =+=⨯+=△正方形正方形故答案为：100【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质及图形的面积，关键是全等三角形的性质求得直角三角形的面积．7、【解析】【分析】根据菱形的性质证得△ABD 是等边三角形，得到OB ，利用勾股定理求出OA ，由菱形的性质求出菱形的面积．【详解】解：如图所示：在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，其所对的对角线长为2，AD AB ∴=，AC BD ⊥，BO DO =，AO CO =，ABD ∴∆是等边三角形，则2AB AD ==，故1BO DO ==，则AO =AC =则菱形ABCD 的面积122=⨯⨯故答案为：【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，正确得出菱形的另一条对角线的长是解题关键．8、（8，0）或（-2，0）##（-2，0）或（8，0）【解析】【分析】由矩形的性质可得BC=OA =3，AB=OC=9，∠B=90°=∠OAE，由折叠的性质可得AE=CE，由勾股定理可求AE的长，由等腰三角形的性质可求解．【详解】解：∵四边形OABC矩形，且点A（3，0），点C（0，9），∴BC=OA =3，AB=OC=9，∠B=90°=∠OAE，∵将△ABC沿DE对折，恰好能使点A与点C重合．∴AE=CE，∵CE2=BC2+BE2，∴CE2=9+（9-CE）2，∴CE=5，∴AE=5，∵△AEP为等腰三角形，且∠EAP=90°，∴AE=AP=5，∴点E坐标（8，0）或（-2，0）故答案为：（8，0）或（-2，0）【点睛】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，坐标与图形变化-对称，求出AE 的长是本题的关键．9、6【解析】【分析】根据三角形的面积求出BF，利用勾股定理列式求出AF，再根据翻折变换的性质可得AD=AF，然后求出CF，设DE=x，表示出EF、EC，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列方程求解和三角形的面积公式解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形∴AB=CD=9，BC=AD∵12•AB•BF＝54，∴BF=12．在Rt△ABF中，AB=9，BF=12，由勾股定理得，15AF．∴BC=AD=AF=15，∴CF=BC-BF=15-12=3．设DE=x，则CE=9-x，EF=DE=x．则x2=（9-x）2+32，解得，x=5．∴DE=5．∴EC=DC-DE=9-5=4．∴△FCE的面积=1122CF CE⨯⨯=×4×3=6．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，三角形的面积，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．10、9 4【解析】【分析】如图，连接BE、BE′，根据矩形的性质和旋转变换的性质可得：AD′＝AD＝3，∠AD′E＝∠D＝90°，利用勾股定理可得BD′＝4，再运用等面积法可得：AB•AD＝AE•BD′，求出AE＝154，再运用勾股定理即可求得答案．【详解】解：如图，连接BE、BE′，∵矩形ABCD中，AD＝3，AB＝5，∴∠D＝90°，由旋转知，△AD′E′≌△ADE，∴AD′＝AD＝3，∠AD′E＝∠D＝90°，∵D′E′的延长线恰好经过点B，∴∠AD′B＝90°，在Rt△ABD′中，BD4，∵S△ABE=12AB•AD＝12AE•BD′，∴AE＝AB ADBD'⋅＝534⨯＝154，在Rt△ADE中，DE 94，故答案为：94．【点睛】本题考查矩形的性质、旋转性质、勾股定理、三角形的面积，熟练掌握矩形性质和旋转性质，会利用等面积法求解是解答的关键．三、解答题1、见解析【解析】【分析】根据菱形的性质，可得AD＝DC，AB＝BC，∠A＝∠C．从而得到△AED≌△CFD．从而得到AE＝CF．即可求证．【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AB＝BC，∠A＝∠C．∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED＝∠CFD＝90°．∴△AED≌△CFD（AAS）．∴AE＝CF．∴AB﹣AE＝BC﹣CF．即：BE＝BF．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的对角相等，对边相等是解题的关键．2、（1）见解析；（2）△AHF是等腰三角形，理由见解析；类比迁移：9【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得∠DAB=∠B=90°，由等角的余角相等可得∠ADE=∠BAF，利用AAS可得△ADE≌△BAF（AAS），由全等三角形的性质得AD=AB，即可得四边形ABCD是正方形；（2）利用AAS可得△ADE≌△BAF（AAS），由全等三角形的性质得AE=BF，由已知BH=AE可得BH=BF，根据线段垂直平分线的性质可得即可得AH=AF，△AHF是等腰三角形；类比迁移：延长CB到点H，使BH=AE=6，连接AH，利用SAS可得△DAE≌△ABH（SAS），由全等三角形的性质得AH=DE，∠AHB=∠DEA=60°，由已知DE=AF可得AH=AF，可得△AHF是等边三角形，则AH=HF=HB+BF=AE+BF=6+2=8，等量代换可得DE=AH=8．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB=∠B=90°，∵DE⊥AF，∴∠DAB=∠AGD=90°，∴∠BAF+∠DAF=90°，∠ADE+∠DAF=90°，∴∠ADE=∠BAF,∵DE=AF，∴△ADE≌△BAF(AAS)，∴AD=AB，∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形；：（2）①∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB=AD，∴∠ABH=∠BAD，∵BH=AE，∴△DAE≌△ABH(SAS)，∴AH=DE，∵DE=AF，∴AH=AF，∴△AHF是等腰三角形．②延长CB到点H，使得BH＝AE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AB=AD,∴∠ABH=∠BAD，∵BH=AE，∴△DAE≌△ABH(SAS)，∴AH=DE，∠AHB=∠DEA=60°，∵DE=AF，∴AH=AF，∴△AHF是等边三角形，∴AH=HF=HB+BF=AE+BF=7+2=9，∴DE =AH =9【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3、 (1)“翻移运动”对应点（指图1中的A 与2A ，B 与2)B ⋯连线被翻移线平分(2)3(3)11或10【解析】【分析】（1）画出图形，即可得出结论；（2）作直线EF ，即为“翻移线”直线a ，再由“翻移运动”的性质和三角形面积关系求解即可；（3）分两种情况：①ABM ∆先按（2）的“翻移线”直线a 翻折，然后再向上平移2个单位，②ABM ∆先按（2）的“翻移线”直线a 翻折，然后再向下平移2个单位，由“翻移运动”的性质、梯形面积公式和三角形面积公式分别求解即可．(1)解：如图1，连接2AA ，2BB ⋯，则“翻移运动”对应点（指图1中的A 与2A ，B 与2)B ⋯连线被翻移线平分；(2)解：作直线EF ，即为“翻移线”直线a ，如图2所示：四边形ABCD 是长方形，AB CD ∴=，8AD BC ==，由“翻移运动”的性质得：AB DC GD ==，142AF DF AD ===，O 是AG 的中点，3AOF OGF S S ∆∆∴==， ΔΔ26AFG OGF S S ∴==，AF DF =，ΔΔ6GDF AFG S S ∴==，Δ114622GDF S DG DF DG ∴=⨯=⨯⨯=， 3DG ∴=，3AB ∴=；(3)解：分两种情况：①ABM ∆先按（2）的“翻移线”直线a 翻折，然后再向上平移2个单位，如图3所示：设ABE ∆翻折后的三角形为DCP ∆，连接1PM ，则1112A D B C M P ===，同（2）得：1112KF A D ==，1112HE M P ==，4BE =，1BM =，3ME BE BM ∴=-=，∴四边形AKHM 的面积=梯形ABEK 的面积ABM -∆的面积HME -∆的面积111(331)4313111222=⨯++⨯-⨯⨯-⨯⨯=； ②ABM ∆先按（2）的“翻移线”直线a 翻折，然后再向下平移2个单位，如图4所示：设ABE ∆翻折后的三角形为DCP ∆，连接1PM ，则1112A D B C M P ===，同（2）得：1112KF A D ==，1112HE M P ==，4BE =，1BM =，3ME BE BM ∴=-=，∴四边形AKHM 的面积=梯形AFEM 的面积AFK -∆的面积HME +∆的面积111(34)3413110222=⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=； 综上所述，四边形AKHM 的面积为11或10．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了长方形的性质、“翻移运动”的性质、梯形面积公式、三角形面积公式等知识，本题综合性强，解题的关键是熟练掌握“翻移运动”的性质和长方形的性质．4、（1）见解析；（2）正方形ABCD 的面积为a 2【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得EO ⊥AC ，即BD ⊥AC ，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论；（2）证明菱形ABCD 是正方形，即可得出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝OC ，∵△ACE 是等边三角形，∴EO ⊥AC （三线合一），即BD ⊥AC ，∴▱ABCD 是菱形；（2）解：∵△ACE 是等边三角形，∴∠EAC ＝60°由（1）知，EO ⊥AC ，AO ＝OC∴∠AEO ＝∠OEC ＝30°，△AOE 是直角三角形，∵∠AED ＝2∠EAD ，∴∠EAD ＝15°，∴∠DAO ＝∠EAO ﹣∠EAD ＝45°，∵▱ABCD 是菱形，∴∠BAD ＝2∠DAO ＝90°，∴菱形ABCD 是正方形，∴正方形ABCD 的面积＝AB 2＝a 2．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识，证明四边形ABCD 为菱形是解题的关键．5、（1）见解析（2）正方形，证明见解析【解析】【分析】（1）由“SAS ”可证明Rt △ABC ≌Rt △BAD ；（2）先证明平行四边形AHBG 是菱形，根据有一个角是直角的菱形是正方形，进行判断即可．【详解】（1）证明：在△ABC 和△BAD 中，90BC AD ABC BAD AB BA =⎧⎪∠=∠︒⎨⎪=⎩＝，∴△ABC≌△BAD（SAS）；（2）解：∵AH∥GB，BH∥GA，∴四边形AHBG是平行四边形．∵△ABC≌△BAD，∴∠ABD＝∠BAC，∴GA＝GB，∴平行四边形AHBG是菱形．∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAG＝45°，又∵△ABC≌△BAD，∴∠ABG＝∠BAG＝45°，∴∠AGB＝90°，∴菱形AHBG是正方形．【点睛】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等几何知识的综合运用，解题时注意：先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角即可得到正方形．。

2020-2021学年华东师大版八年级下册数学第19章矩形、菱形、正方形综合练习1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC 到点F，使得CF＝BE，连接DF，（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）连接OE，若AB＝13，OE＝，求AE的长．2．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，分别过A、D两点作AO、DO的垂线，两垂线交于点E．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若四边形AODE的面积为12，AD＝5，求四边形AODE的周长．3．如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB向外作等边△ACE，等边△ABD，取AB 的中点F，连接DF、EF，已知∠BAC＝30°．（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；（2）若BD＝4，求四边形BCEF的面积．4．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，且BE ＝DF．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）不添加辅助线，请你补充一个条件，使得四边形AECF是菱形；并给予证明．5．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．（1）求证：△ABM≌△DCM；（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC的垂直平分线交AB于点E，连接CE，BF∥CE交DE的延长线于点F．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形；（2）当∠A满足什么条件时，四边形BCEF是菱形？回答并证明你的结论．7．如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．8．如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，且AE＝BC，连接DE，CE．（1）求证：AB＝DE；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是矩形？并说明理由．9．如图，过△ABC边AC的中点O，作OE⊥AC，交AB于点E，过点A作AD∥BC，与BO的延长线交于点D，连接CD，CE，若CE平分∠ACB，CE⊥BO于点F．（1）求证：①OC＝BC；②四边形ABCD是矩形；（2）若BC＝3，求DE的长．10．如图，四边形ABCD是平行四边形，DE∥BF，且分别交对角线AC于点E，F，连接BE，DF．若BE＝DE，求证：四边形EBFD是菱形．11．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F．（1）试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；（2）若OE＝5，AC＝8，求菱形ABCD的面积．12．已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．（1）求证：BD、EF互相平分；（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．13．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）如果∠A＝80°，∠C＝30°，求∠BDE的度数．14．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的长．16．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于F，连接CF，求证：四边形ADCF是菱形．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．18．如图，四边形ABCD是平行四边形，连接对角线AC，过点D作DE∥AC与BC的延长线交于点E，连接AE交DC于F．（1）求证：BC＝CE；（2）连接BF，若∠DAF＝∠FBE，且AD＝2CF，求证：四边形ABCD是正方形．19．如图，已知△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线，交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．（1）求证：BD＝CD；（2）若四边形AFBD要为菱形，则需要添加什么条件？证明你的结论．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，在BC上任取一点D，以AB、BD为邻边构造平行四边形ABDE，连接CE．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）当点D在边BC的什么位置时，四边形ADCE是矩形？证明你的结论．21．如图，四边形ABCD中，BE⊥AC交AD于点G，DF⊥AC于点F，已知AF＝CE，AB ＝CD．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如果∠GBC＝∠BCD，AG＝6，GE＝2，求AB的长．22．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，点E为AO的中点，过点A 作AF∥BD交BE的延长线于点F，连接DF．（1）求证：四边形AODF是平行四边形；（2）当△ACD满足什么条件时，四边形AODF是菱形？请说明理由．23．如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）若AD＝AE，求证：AB＝AG；（3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长．24．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．25．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且与AE交于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AC＝6，BD＝8，AM⊥BC于M，求AM的长．26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD 于点E，交CB于点F．（1）若∠B＝30°，AC＝4，求CE的长；（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明理由．27．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，分别过点B、C作BE∥AC，CE ∥BD，BE与CE交于点E．（1）求证：四边形OBEC是矩形；（2）当∠ABD＝60°，AD＝2时，求BE的长．28．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，CD＝，求四边形的ABCD面积．29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB边上的中点，AE∥DC，CE∥DA．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）连接DE，若AC＝，BC＝1．求证：△ADE是等边三角形．30．如图，E，F是▱ABCD对角线BD上两点，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）连接AC，若∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝AE＝3，求AC的长．31．如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，点E、F分别是BC、AD的中点，AE、BF 交于点O，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝6，∠ABC＝60°，求BF的长．32．如图，点E为▱ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：EF⊥EG．33．如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD交于点O，∠ADO＝∠CBO，且AO＝CO，E为线段OC上一点，连接DE并延长交BC于点F．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）若∠ADE＝45°，AD⊥AC，AE＝3，CE＝2，求三角形AOD的面积．34．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形ADFE是矩形；（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．35．如图，在平行四边形ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交于点E．（1）若AD＝12，AB＝6，求CF的长；（2）连接BE与AF相交于点G，连接DF，与CE相交于点H，求证：GH和EF互相平分．36．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为AD上一点，连接EB并延长使BF＝BE，连接EC并延长到G，使CG＝CE，连接FG，H为FG的中点，连接DH．（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；（2）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠G的度数．37．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OA＝OC，AB∥CD．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若BE平分∠ABC，交AD于E，BC﹣AB＝2，求DE长．（3）若∠AOB＝2∠ADB时，则平行四边形ABCD为形．38．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝8，AB＝9，求菱形ADCF的面积．39．在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF＝CE，连接DF，CF．（1）求证：四边形DFBE是矩形；（2）当CF平分∠DCB时，若CE＝3，BC＝5，求CD的长．40．如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，延长AE至点G，使EG ＝AE，连接CG．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形EGCF是矩形．。

专训1 正方形性质与判定的灵活运用名师点金：正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是矩形又是菱形即可．利用正方形的性质解决线段和差问题1．已知：在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易证：BM＋DN＝MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明．(第1题)利用正方形的性质证明线段位置关系2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连结DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.(第2题)正方形性质与判定的综合运用3．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.(1)不管滚动多长时间，求证：连结四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？(3)四边形PQRS在什么时候面积为正方形ABCD面积的一半？并说明理由．(第3题)专训2 特殊平行四边形性质与判定的灵活运用名师点金：特殊平行四边形的性质区别主要从边、角及对角线三个方面进行区分；而判定主要从建立在其他特殊四边形的基础上再附加一些条件进行判定．矩形的综合性问题a．矩形性质的应用1．如图，将矩形纸片ABCD沿AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E.(1)试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；(2)若AB＝8，DE＝3，P为线段AC上的任意一点(不与A，C重合)，PG⊥AE于点G，PH⊥EC于点H，试求PG＋PH的值．(第1题)b．矩形判定的应用2．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连结OE.求证：(1)四边形OCED是矩形；(2)OE＝BC.(第2题)c．矩形性质和判定的应用3．如图①，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任意一点(不与B，C重合)，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC.垂足分别为E，F，D.(1)求证：BD＝PE＋PF.(2)当点P在BC的延长线上时，其他条件不变．如图②，BD，PE，PF之间的上述关系还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．(第3题)菱形的综合性问题a．菱形性质的应用4．已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连结AF交对角线BD于点E，连结EC.(1)求证：AE＝EC.(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？并说明理由．(第4题)b．菱形判定的应用5．如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线．AF∥CD交CE于点F，FG∥AC交CD于点G.求证：四边形ACGF是菱形．(第5题)c.菱形性质和判定的应用6．(中考·江西)(1)如图①，平行四边形纸片ABCD中，AD＝5，S▱ABCD＝15.过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE′的位置，拼成四边形AEE′D，则四边形AEE′D的形状为( )A．平行四边形B．菱形C．矩形D．正方形(2)如图②，在(1)中的四边形纸片AEE′D中，在EE′上取一点F，使EF＝4，剪下△AEF，将它平移至△DE′F′的位置，拼成四边形AFF′D.①求证：四边形AFF′D是菱形；②求四边形AFF′D的两条对角线的长．(第6题)正方形的综合性问题a．正方形性质的应用7．(中考·凉山州)如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连结AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于点F，探究线段AF，BF，EF三者之间的数量关系，并说明理由．(第7题)b．正方形判定的应用8．两个长为2 cm，宽为1 cm的矩形摆放在直线l上(如图①)，CE＝2 cm，将矩形ABCD 绕着点C顺时针旋转α度，将矩形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．(1)当旋转到顶点D，H重合时(如图②)，连结AE，CG，求证：△AED≌△GCD；(2)当α＝45时(如图③)，求证：四边形MHND是正方形．(第8题)答案专训11．解：(1)BM ＋DN ＝MN 成立．证明如下： 如图①，过点A 作AE⊥AN，交CB 的延长线于点E, 易证△ABE≌△ADN，∴BE＝DN ，AE ＝AN. 又∵∠NAM＝45°，∴∠EAM＝∠NAM＝45°，又∵AM＝AM ，∴△EAM≌△NAM.∴ME＝MN.∵ME＝BE ＋BM ＝DN ＋BM ，∴BM＋DN ＝MN .(2)DN －BM ＝MN.证明如下： 如图②，在DN 上截取DE ＝BM ，连结AE.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABM＝∠D＝90°，AB ＝AD. 又∵BM＝DE ，∴△ABM≌△ADE. ∴AM＝AE ，∠BAM＝∠DAE.∴∠BAM＋∠EAB＝∠DAE＋∠EAB＝∠DAB＝90°，∴∠MAE＝90°. ∵∠MAN＝45°，∴∠EAN＝45°.∴∠MAN＝∠EAN. 又∵AM＝AE ，AN ＝AN ， ∴△AMN≌△AEN.∴MN＝EN. ∴DN＝DE ＋EN ＝BM ＋MN. ∴DN－BM ＝MN.①②(第1题)2．证明：∵AC，BD 是正方形ABCD 的两条对角线，∴AC⊥BD，OA ＝OD ＝OC ＝OB.∵DE＝CF ，∴OE＝OF.在△AOE 与△DOF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OD ，∠AOE＝∠DOF＝90°，OE ＝OF ，∴△AOE≌△DOF.∴∠OA E ＝∠ODF.∵∠DOF＝90°，∴∠DFO＋∠ODF＝90°.∴∠DFO＋∠OAE＝90°.∴∠AMF＝90°，即AM⊥DF.3．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA.又∵不管滚动多长时间，AP ＝BQ ＝CR ＝DS ，∴SA＝PB ＝QC ＝RD.∴△ASP≌△BPQ≌△CQR≌△DRS.∴PS＝QP ＝RQ ＝SR ，∠ASP ＝∠BPQ.∴不管滚动多长时间，连结四个小球所得的四边形PQRS 总是菱形．又∵∠APS＋∠ASP＝90°，∴∠APS＋∠BPQ＝90°.∴∠QPS＝180°－(∠APS＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°.∴不管滚动多长时间，连结四个小球所得的四边形PQRS 总是正方形．(2)解：当P ，Q ，R ，S 在出发时或到达终点时面积最大，此时的面积就等于正方形ABCD 的面积．(3)解：当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形ABCD 四边中点时，四边形PQRS 的面积是正方形ABCD 面积的一半．理由：设正方形ABCD 的边长为a.当PS 2＝12a 2时，在Rt △APS 中，AS ＝a －SD ＝a －AP.由勾股定理，得AS 2＋AP 2＝PS 2，即(a －AP)2＋AP 2＝12a 2，解得AP ＝12a.同理可得BQ ＝CR ＝SD ＝12a.∴当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形ABCD 各边中点时，四边形PQRS 的面积为正方形ABCD 面积的一半．专训21．解：(1)△AED≌△CEB′. 证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴BC＝DA ，∠B＝∠D.由折叠可知BC ＝B′C，∠B＝∠B′， ∴B′C＝DA ，∠B′＝∠D. 在△AED 和△CEB′中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DEA＝∠B′EC，∠D＝∠B′，DA ＝B′C， ∴△AED≌△CEB′.(第1题)(2)如图，延长HP交AB于点M，则PM⊥AB.∵∠1＝∠2，PG⊥AB′，PM⊥AB，∴PM＝PG.∵CD∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝CE＝8－3＝5.在Rt△ADE中，DE＝3，AE＝5，∴AD＝52－32＝4.∵PM＋PH＝AD，∴PG＋PH＝AD＝4.2．证明：(1)∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠DOC＝90°.∴四边形OCED是矩形．(2)∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD.∵四边形OCED是矩形，∴OE＝CD，∴OE＝BC.(第3题)3．(1)证明：如图，过点B作BH⊥FP交FP的延长线于点H.∵BD⊥AC，PF⊥AC，BH⊥PF，∴四边形BDFH是矩形．∴BD＝HF.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠PEB＝∠PFC＝90°.∴∠EPB＝∠FPC.又∵∠HPB＝∠FPC，∴∠EPB＝∠HPB.∵PE⊥AB，PH⊥BH，∴∠PEB＝∠PHB＝90°.又∵PB＝PB，∴△PEB≌△PHB.∴PE＝PH，∴BD＝HF＝PF＋PH＝PF＋PE.即BD＝PE＋PF.(2)解：不成立．理由：过点B作BH⊥PF交PF的延长线于点H.与(1)同理可得PE＝PH，BD＝HF.∴PE＝FH＋PF＝BD＋PF.(第4题)4．(1)证明：连结AC，如图．∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD是线段AC的垂直平分线，∴AE＝EC.(2)解：点F是线段BC的中点．理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°，∴∠EAC＝∠EAB.∴AF是△ABC的角平分线．∴BF＝CF.∴点F是线段BC的中点．(第5题)5．证明：如图，∵AF∥CD，FG∥AC，∴四边形ACGF是平行四边形．∵CE平分∠ACD，∴∠1＝∠2.∵AF∥CD，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴AF＝AC.∴四边形ACGF 是菱形． 6．(1)C(2)①证明：由平移可知AF=DF′，∴四边形AFF′D 是平行四边形． ∵S ▱ABCD ＝AD·AE＝15，AD ＝5， ∴AE＝3.∵AE＝3，EF ＝4，∠E＝90°， ∴AF＝AE 2＋EF 2＝32＋42＝5. ∵AD＝5，∴AD＝AF ， ∴四边形AFF′D 是菱形． ②解：如图，连结AF′，DF ，在Rt △AEF′中，AE ＝3，EF′＝EF ＋FF′＝4＋5＝9， ∴AF′＝90.在Rt △DFE′中，FE′＝EE′－EF ＝5－4＝1， DE′＝AE ＝3， ∴DF＝10，∴四边形AFF′D 的两条对角线的长分别是90和10.(第6题)7．解：线段AF ，BF ，EF 三者之间的数量关系是AF ＝BF ＋EF ，理由如下： ∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝AD ，∠DAB＝∠ABC＝90°. ∴∠DAE＋∠BAF＝90°.∵DE⊥AG 于E ，BF∥DE 交AG 于F ， ∴∠AFB＝∠DEF＝∠DEA＝90°， ∴∠ADE＋∠DAE＝90°， ∴∠ADE＝∠BAF. 在△ABF 和△DAE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF＝∠ADE，∠AFB＝∠DEA，AB ＝DA ，11 ∴△ABF≌△DAE.∴BF＝AE.∵AF＝AE ＋EF ，∴AF＝BF ＋EF.8．证明：(1)∵CD＝CE ＝DE ＝2 cm ， ∴∠CDE ＝60°.又∵四边形ABCD 和四边形EFGH 是矩形， ∴∠ADC＝∠GDE＝90°，∴∠ADE＝∠GDC＝150°.在△AED 和△GCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝GD ，∠ADE＝∠GDC，DE ＝DC ，∴△AED≌△GCD.(2)∵α＝45，∴∠NCE＝∠NEC＝45°，∴∠CNE＝90°，CN ＝NE ，∴∠HND＝90°.∴∠H＝∠D＝∠HND＝90°，∴四边形MHND 是矩形．又∵CD＝HE ，CN ＝NE ，∴ND＝HN.∴四边形MHND 是正方形．。