深圳市2018年高三年级第二次调研考试数学（理科）参考答案1．解析：2{|10}{|1},{|4}{|22}A x x x x B x x x x =-<=<=<=-<<，所以(2,1)A B =-2i 2==，所以22(1i)1i,1i 1i (1i)(1i)z z -==-∴=+++-． 3．解析：甲、乙均被选中的概率为1335310C P C ==．4．解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则由题意可得1313333a S a d =⎧⎨=+=⎩，解得2d =-，所以41434436(2)02S a d ⨯=+=⨯+⨯-= 5．解析：因为点(1,)P m 在椭圆2214x y +=的外部，所以22131,44m m +>∴>，圆心(0,0)到直线20mx y -=的距离1d r =<=<=6其体积11152122112323V ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．7．解析：执行程序框图，1,122i S i S i==→=→→=→→=是否4251052101216i S i S i →=→→=⨯=→→=→→=⨯+=→→=→是否否否是2214272421858285170S i S i S →=⨯=→→=→→=⨯+=→→=→→=⨯=否否否是 921701341i S →→=→→=⨯+=→否否输出341S =．8．解析：知识点：双曲线的焦点到渐近线的距离为b ，根据题意，222242m m a b b ⎧+-=+⎪⎨=⎪⎩，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2c ==，离心率2c e a==．9． 解析：由(4)(4)f x f x -=+，可知函数()f x 是一个周期函数，周期为8，因为()f x 是偶函数，所以当40x -≤≤时，22()()()2()2f x f x x x x x =-=--⋅-=+，当1x =-时，()f x 有最小值，区间[4,0]-与区PADM N间[12,16]刚好相差2个周期，11615-+=，所以在区间[12,16]上，()f x 有最小值(15)f ．10．解析：()()cos f x x x x x x ωωωωωϕ⎫=-==-⎪⎪⎭，其中sin ϕ=，cos ϕ=()cos()f x x ωϕ'=-，设1122(,0),(,0)P x P x ，不妨设 120,x x ωϕωϕπ-=-=，则11()cos(f x x ωϕ'=-，22()cos()=f x x ωϕ'=--，因为该曲线在点12,P P 处的切线互相垂直，所以212()()31f x f x ω''⋅=-=-，又因0ω>，所以ω=． 11． 解析：将二面角A PO D --展开成一个平面，则当AN MN +取得最小值时，A N M 、、三点共线，且AM PD ⊥，由题可知，此时M 为PD 的中点，所以2PA AD ==，PO =，不妨设四棱锥P ABCD -的外接球半径为R ，球心为O '．显然O '在线段PO 上，注意到BOO '△中，有222O B O O BO ''++，即22)1R R =+，解得R =P ABCD -的 外接球的表面积为21643R ππ=． 12．解析：对n N *∀∈，函数()n f x 都不单调，即函数()n f x 存 在极值点，故必存在0(,1)x n n ∈+，使得0001()10,1nn n a f x x a x -'=+=∴=-， 经检验，已知当11n n a n <-<+时，01n x a =-为函数()n f x 的极值点．即12,n n a n +<<+<<，,n b = 所以数列{}n b 的前100项依次为：33336383-21943371,1,,1,2,2,,2,3,3,,3,4,4,,4=-=个个个个，10016219337438307S ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．13．解析：345a b t a ⋅=+==，解得12t =．14．解析：作可行域如图所示，由2z x y =+可得1122y x z =-+表示斜率为12-，纵截距为12z 的直线，作直线12y x =-并平移，当直线过点(1,1)A a --时，直线在y 轴上的截距最大，此时 max 12(1)125z a a =-+⨯-=-=，解得2a =-．15．解析：当1x =时，得各项系数和为(3)81n-=，所以4n =，则展开式中的常数项为2224496C x x ⎛⎫⋅⋅-= ⎪⎝⎭．2x y --O10+=x y a ++16易知(A 下求TC 设线段TC TB -17又因为B ⎛∈ ⎝ (A ∈ （2且AC S ∴△即(2n n 在△可得223m n mn ++=，…② ………………………………10分 联立①②可解得1m n ==，即1BD =．……………………………12分18. 解：（1）ABD △为等腰直角三角形，且90,BAD AB AD ∠=︒∴=，连接AF ，因为点F 是BD 的中点，AF BD ∴⊥，因为侧面ABD ⊥底面BDC ，且平面ABD 平面BDC BD =，AF ∴⊥平面BDC ，…………………………………………………………………………………………1分 BC ⊂ 平面,BDC BC AF ∴⊥，…………………………………………………………………………2分设BC 中点为N ，连接DN ，由4BC BG =可知点G 是BN 的中点，又点F 是BD 的中点， 于是//FG DN ，……………………………………………………………………………………………3分,,CD BD BC DN BC FG =∴⊥∴⊥ ，………………………………………………………………4分 ,,,BC AF BC FG AF FG F BC ⊥⊥=∴⊥ 平面AFG ，又MF ⊂平面AFG ，BC MF ∴⊥．……………………………………………………………………5分 （2）连接MN ，FN 是BDC △的中位线，//FN CD ∴，CD ⊂ 平面,ACD FN ⊄平面,//ACD FN ∴平面ACD ，…………………………………………6分 //MF 平面,//ACD FN 平面,ACD MF FN F = ，且MF ⊂平面MNF ，FN ⊂平面MNF ，∴平面//MNF 平面ACD ，又平面MNF 平面AGC MN =，平面ACD 平面AGC AC =，//MN AC ∴，且13GM GN GA GC ==，…………………………………………………………7分 BDC △为等腰直角三角形，且CD BD =，CD BD ∴⊥，//FN CD ，FN BD ∴⊥， 又AF ⊥平面BDC ，FN FD FA ∴、、两两垂直，以F 为坐标原点，以FN FD FA 、、所在方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，不妨设1FD =，从而(0,0,0),(0,1,0),(2,1,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)F D C A B N -，G 是BN 的中点，111111111,,0,,,1,,,,222233663GM G GA GM GA GA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-∴=-=∴==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，易知111,,333M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵E 是AC 的中点，111,,22E ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，11111,,,1,,33322FM FE ⎛⎫⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，……………………8分设平面EMF 的法向量为(,,)n a b c = ，则111033311022n FM a b c n FE a b c ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=++=⎪⎩，……………………9分解得21,33a cbc =-=，令3c =，(2,1,3)n ∴=- ，…………………………………………10分由（1）可知BC ⊥平面AFG ，即平面MFG 的一个法向量为(2,2,0)BC =，………………11分Bcos ,n BC n BC n BC⋅∴==⋅，易知二面角G MF E --所以二面角G MF E --的余弦值为．19．解：（1）易知123450.50.613, 1.0455t y +++++++====，……………………1分 5152221518.853 1.04ˆ0.3255535i ii ii t y t ybtt ==-⋅-⨯⨯===-⨯-∑∑，…………………………………………………2分 ˆˆ 1.040.3230.08ay bt =-=-⨯=，…………………………………………………………3分 则y 关于t 的线性回归方程为ˆ0.320.08yt =+，………………………………………………4分 当6t =时，ˆ 2.00y=，即2018年4月份参与竞拍的人数估计为2万人．………………5分 （2）（i ）依题意可得这200人报价的平均值x 和样本方差2s 分别为：1.50.12.50.33.50.34.50.155.50.16.50.05 3.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，…………………6分222222(1.5 3.5)0.1(2.5 3.5)0.3(3.5 3.5)0.3(4.5 3.5)0.15(5.5 3.5)0.1s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯ 2(6.5 3.5)0.05 1.7+-⨯=，…………………………………………………………………………8分（ii ）2018年4月份实际发放车牌数量为3174，根据竞价规则，报价在最低成交价以上人数占总人数比例为3174100%15.87%20000⨯=，………………………………………………………………………………9分根据假设，报价X 可视为服从正态分布2(,)N μσ，且23.5, 1.7μσ==， 1.3σ∴=≈， 又1()()0.1587,( 4.8)0.15872P x P x P x μσμσμσ--<<++==∴=≥≥，………………11分所以可预测2018年4月份竞拍的最低成交价为4.8万．………………………………………………12分 20．（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线l 的方程为2y kx p =-（易知l 的斜率必存在），由222x py y kx p ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得2331212220,2,2x kpx p x x kp x x p -+=∴+==，…① …………………2分 1212121,1y y k k x x =∴= ，即1212x x y y =，………………………………………………………………3分 又221212()()y y kx p kx p =--，即2241212(1)()0k x x kp x x p --++=，…②将①代入②，整理得4320p p -=，又0p >，解得2p =．…………………………5分亦可由2212121222x x x x y y p p==⋅，得2124x x p =，2342,2p p p ∴=∴=． （2）设切点2111,2x T x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由22x py =，得22x y p =，得x y p '=，所以切线斜率11x k p =，切线方程为 2111()2x x y x x p p -=-，将2(0,)M p -代入，得2312x p =，所以22112x y p p==，由对称性易知直线12TT 的方程为2y p =，…………………………………………………………………7分设直线l 的方程为2y kx p =-，设33(,)N x y ，因为点N 为直线12TT 与弦AB 的交点，由22y p y kx p⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得232p x k =，… ③ …………………………………8分 因为,MA MN MB MN λμ==，显然0,0λμ>>，331211MN MNx x x x MA MB λμ∴+=+=+，……………………………………………………………………10分 又123,,x x x 显然同号，33123121211x x x xx x x x x λμ+∴+=+=⋅，…………………………………………11分 由①、③可知，21233122222x x p kpx x x k p+⋅=⋅=，11+2λμ∴=，即11+λμ为定值2．………………………………………………………………12分21．解：（1）由()ax f x xe =，求导得()(1)ax f x ax e '=+，……………………………………1分①当0a =时，()0ax f x e '=>，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，因此函数()f x 无极值；…2分 ②若0a >，令()(1)0ax f x ax e '=+=，得1x a=-， 当1x a <-时，()0f x '<，当1x a>-时，()0f x '>， 函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递减；函数()f x 在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；所以函数()f x 存在极小值，极小值为11f a ea ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，无极大值．…………………………3分③若0a <，令()(1)0ax f x ax e '=+=，得1x a=-， 当1x a <-时，()0f x '>，当1x a>-时，()0f x '<， 函数()f x 在1,a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递增；函数()f x '在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；所以函数()f x 存在极大值，极大值为11f a ea ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，无极小值．…………………………4分 （2）由题意有ln 1xxe x bx --≥恒成立，即ln 1xx b e x x--≤恒成立，……………………5分 设ln 1()(0)xx g x e x x x =-->，则22221ln 1ln ()x xx x e x g x e x x x-+'=-+=，………………6分 设2()ln x h x x e x =+，下面证明()0h x =有唯一解．易知()h x 单调递增，且(1)0h e =>，所以若()h x 有零点x ，则01x <<， 令()0h x =，可得ln xxxe x=-，(01)x << （※） 注意到ln ln ln (ln ),(01)x xxe f x x x--=-=-<<， 所以方程（※）等价于()(ln )f x f x =-，(01)x <<……………………………………………………8分 又由（1）可知，当1a =时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，又当01x <<时，ln (0,)x -∈+∞， 所以方程()(ln )f x f x =-等价于方程ln (01)x x x =-<<，………………………………9分 设函数()ln (01)m x x x x =+<<，则()m x 单调递增，又1110,(1)10m m e e ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，所以存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0()0m x =， 即方程ln x x =-有唯一解0x ，即00ln x x =-，或01x ex =，……………………………………10分 因此方程()(ln )f x f x =-有唯一解0x ，代入得：200ln 0x x +=，所以()0h x =有唯一解0x ， 且当0(0,)x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 单调递增；……………………………………11分 所以()g x 的最小值为000000000ln ()111()1xx x g x e x x x x x -=--=--=， 所以1b ≤．………………………………………………………………………………………………12分22．解：（1）∵曲线C 的极坐标方程为ρ=，2222sin 3ρρθ∴+=， 又22222cos ,sin ,,33x y x y x y ρθρθρ===+∴+=，即2213x y +=，………………2分所以曲线C 的参数方程为sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）．……………………………………4分（2）不妨设,sin )M ϕϕ，易知121ρρ==，即(0,1),(0,1)A B -，……………………5分010a -=-，解得a =，同理可得b =，……………7分a b ∴+9分显然当0ϕ=或π，即M 或(M 时，a b +=，即a b +的最小值为．23．解：（1）证明：111()()2f x x a x a x a x a a a a a ⎛⎫=-+++++--=+ ⎪⎝⎭≥，…………2分又1122()a a f x x a +=+∴≥≥．……………………………………4分 （2）若(2)3f ≤，即1223a a a-+++≤，又21(1)2a a a a +++=．……………………6分故可如下分类：①若0a <，则1223a a a ⎛⎫--++ ⎪⎝⎭≤，即1230a a ++≥，即22310a a ++≤， 即1(21)(1)0,12a a a ++∴--≤≤≤，…………………………………………………………7分 ②若02a <<，则1223a a a ⎛⎫-+++⎪⎝⎭≤，即11a -≤，所以此时a 无解，………………8分 ③若2a ≥，即1223a a a ⎛⎫-+++⎪⎝⎭≤，即123a a +≤，即22310a a -+≤， 即(21)(1)0a a --≤，112a ∴≤≤，所以此时a 亦无解，………………………………9分 综上，112a --≤≤，即11,2a ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦．……………………………………………………10分。
深圳市2018年高三年级第二次调研考试数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}|10A x x =-<，集合{}2|4B x x =<，则AB =（ ） A ．(2,1)- B ．(,2)-∞C ．(,2)-∞-D ．(,1)(2,)-∞+∞2.已知i 为虚数单位，则复数z =z 为（ ） A ．22i + B ．22i -C ．1i +D ．1i - 3.某学校拟从甲、乙等五位同学中随机选派3人去参加国防教育活动，则甲、乙均被选中的概率为（ ）A ．35B ．12C ．25D ．3104.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知133a S ==，则4S 的值为（ ）A ．3-B ．0C ．3D ．65.已知点(1,)P m 在椭圆2214x y +=的外部，则直线2y mx =+221x y +=的位置关系为（ ）A ．相离B ．相交C ．相切D ．相交或相切6.如图，格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A．23B．1C．43D．537.九连环是我国一种传统的智力玩具，其构造如图：要将9个圆环全部从框架上解下（或套上），无论是那种情形，都需要遵循一定的规则．解下（或套上）全部9个圆环所需的最少移动次数可由如图所示的程序框图得到，执行该程序框图，则输出结果为（）A ．170B ．256C ．341D ．6828.已知椭圆222214x y m m +=+与双曲线22221x y a b-=有共同的焦点，且其中的一个焦点F 到双曲线的两条渐近线的距离之和为 ）A ．2B ．3CD 9.已知定义在R 上的偶函数()f x 对任意实数x 都有(4)(4)f x f x -=+，当04x ≤≤时，2()2f x x x =-，则()f x 在区间[]12,16上（ ）A ．有最小值(16)fB ．有最小值(15)fC ．有最小值(13)fD ．有最小值(12)f10.已知点1P ，2P 为曲线cos y x x ωω=-（x R ∈）（常数0ω>）的两个相邻的对称中心，若该曲线在点1P ，2P 处的切线互相垂直，则ω的值为（ ）ABCD11.如图，在四棱锥P ABCD -中，顶点P 在底面的投影O 恰为正方形ABCD的中心且AB =，设点M 、N 分别为线段PD 、PO 上的动点，已知当AN MN +取得最小值时，动点M 恰为PD 的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．92πB ．163πC ．254πD ．649π 12.已知对*n N ∀∈，关于x 的函数()(1)ln n n f x x a x =+-（1n x n <<+）都不单调，其中n a （1,2,,,n k =……）为常数，定义[]x 为不超过实数x 的最大整数，如[]0.80=，[]3π=，设n b =，记常数{}n b 的前n 项和为n S ，则100S 的值为（ ） A ．310 B ．309 C ．308D ．307第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量(3,4)a =-，(1,)b t =-，若||a b a ⋅=，则实数t = ．14.已知0a <，实数x ，y 满足10,0,20,x x y a x y +≥⎧⎪++≤⎨⎪--≤⎩若2z x y =+的最大值为5，则a = ． 15.若4()nx x -的展开式中各项系数的和为81，则该展开式中的常数项为 ．16.已知A 、B 、C 为某信号（该信号的传播速度为1公里/秒）的三个接收站，其中A 、B 相距600公里，且B 在A 的正东方向；A 、C相距且C 在A 的东偏北30︒方向．现欲选址兴建该信号的发射塔T ，若在T 站发射信号时，A 站总比B 站要迟200秒才能接收到信号，则C 站比A 站最多迟 秒可接收到该信号．（A 、B 、C 、T 站均可视为同一平面上的点）三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知角B 为锐角，且cos sin a B b B c +=．（1）求角C 的大小；（2）若3B π=，延长线段AB 至点D ，使得CD =，且A C D ∆的面积为4，求线段BD 的长度．18.如图，在三棱锥A BCD -中，ABD ∆和BDC ∆均为等腰直角三角形，且90BAD BDC ∠=∠=︒，已知侧面ABD 与底面BDC 垂直，点E 是AC 的中点，点F 是BD 的中点，点G 在棱BC 上，且4BC BG =，点M 是AG 上的动点．（1）证明：BC MF ⊥；（2）当//MF 平面ACD 时，求二面角G MF E --的余弦值．19.为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年4月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（如表）：（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系．请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：y bt a =+，并预测2018年4月份参与竞拍的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：（i ）求这200位竞拍人员报价X 的平均值x 和样本方差2s （同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；（ii ）假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布2(,)N μσ，且μ与2σ可分别由（i ）中所求的样本平均数x 及2s 估值．若2018年4月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价． 参考公式及数据：①回归方程y bx a =+，其中1221n i ii n i i x y nx y b xnx ==-=-∑∑，a y bx =-；②52155i i t==∑，5118.8i i i t y ==∑ 1.3≈； ③若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．20.已知实数0p >，且过点2(0,)M p -的直线l 与曲线C ：22x py =交于A 、B 两点．（1）设O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率分别为1k 、2k ，若121k k =，求p 的值；（2）设直线1MT 、2MT 与曲线C 分别相切于点1T 、2T ，点N 为直线12T T 与弦AB 的交点，且MA MN λ=，MB MN μ=，证明：11λμ+为定值．21.已知函数()axf x xe =．（其中常数 2.71828e =…，是自然对数的底数）（1）求函数()f x 的极值；（2）当1a =时，若()ln 1f x x bx --≥恒成立，求实数b 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=1(,)2A πρ，2(,)2B πρ-，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．（1）在直角坐标系中，求曲线C 的参数方程；（2）若点A 、B 在曲线C 上，且点M （异于A 、B 两点）为曲线C 上的动点．在直角坐标系中，设直线MA ，MB 在x 轴上的截距分别为a ，b ，求||a b +的最小值．23.选修4-5：不等式选讲 已知函数1()||||f x x a x a a =-+++（0a ≠）．（1）证明：()f x ≥（2）若(2)3f ≤，求实数a 的取值范围．。
2019年深圳市高三年级第二次调研考试 数学（理科）参考答案及评分标准2019.4、选择题：本大题共 8个小题，每小题5分，共40分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.、填空题：本大题共 7小题，考生作答 6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题：第 9、10、11、12、13题为必做题.110.e（1）求角C 的大小;a + b（2）求的取值范围.兀 1_因为引详二二，又严一，- 191311. 341 n -113. 9, n（注：第一个空填对给2分，第二个空填对给3分）（二）选做题：第 14、15题为选做题，考生只能从中选做一题14.（坐标系与15.（几何证明选讲选做题）30 （注：也可以填二）6三、解答题：本大题共 6小题, 满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤16、（本小题满分12分）已知△ ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，sin (2C -) 2 丄，且a 2b 222:::C .解：（1）（法一）因为a 2b2:::c 2，由余弦定理,小 a 2 +b 2 _c 2cosC =2ab二 5 ■:所以2C 匚蔦，解之，得^3（法二）因为而 a 2 b 2 < c 2，由余弦定理,cosC 二a 2b 2_ c 20 ,乙C 为钝角,2ab所以二：：2C :: 2 -,又cos2C = -sin(2C )=2 2 所以2C盲,—TT(2)(法一)由(1),得N B==_NA , OcAc3 3TTa b sin A sin B sin A s叫 - A)sin32、\ 3 ■又A ，所以sin( A )-1 ,3 3 3 2 3从而心的取值范围为(1,U] •,,,,,,,,,,,,,,,,,,c 3（法二）由（1）, Z C=二，根据余弦定理,32 2 2 C. 2=a b - 2abcos a32 2-(a b) -ab _(a b)a +b所以久丄的取值范围为（1,c17、（本小题满分12分）一个箱中原来装有大小相同的5个球，其中3个红球，2个白球.规定：进行一次操作是指“从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中.”（1）求进行第二次操作后，箱中红球个数为4的概率;（2）求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望.解：（1）设A表示事件“第1次操作从箱中取出的是红球”，B1表示事件“第1次操作从箱中取出的是白球”；A2表示事件“第2次操作从箱中取出的是红球”，根据正弦定理, sin C1 —= sin A + ——cos A—一si nA 5 I2 22 —「si" 3) 10分12分2b ab ，”，”所以, '旦I'4 ,心兰迄，3a b .110分12分次操作从箱中取出的是红球，且第2次操作从箱中取出的是白球”则A B2表示事件“第1由条件概率的计算公式，得P（AB2）= P（ A ）P（B21 A）3 2 =—.,,,,,,,5 5 25B 1A 2表示事件“第1次操作从箱中取出的是白球，且第2次操作从箱中取出的是红球”2 4 8 由条件概率的计算公式，得P(B I A 2)= P(B I )P(A 2 | B i )二一 一二一5 525AB 2 B I A^表示事件“进行第二次操作后，箱中红球个数为4 ” •而AB 2与B 1A 2是互斥事件，所以 P(AB 2 B I A)二 P(AB 2)P(B I A)6 8=——+——25 2514 —•5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 525(2) 设进行第二次操作后，箱中红球个数为X ，则X =3,4, 5 •,,,,,,,,,3 3 914 P(X=3) , P (X=4)：5 5 25 252 1 2 9 14 2 P(X =5)(或 P(X =5) =1 _P(X = 3) _P(X =4) =1)•5 5 25252525进行第二次操作后，箱中红球个数X 的分布列为：X345P9 14 2 25252518、（本小题满分14分）如图6,已知四边形 ABCD 是矩形，AB =2BC =2 ,三角形PAB 是正三角形，且平面ABCD -平面PCD • (1) 若0是CD 的中点，证明：BO _ PA ； (2) 求二面角B - PA - D 的余弦值• 解：(法一)(1)连结 0A 、0P ••/ ABCD 是矩形，且 AB =2BC , 0是CD 的中点, BO _ A0 •①,,,,,,,,,,,,,,,1 分又•••平面PCD _平面ABCD ,进行第二次操作后，箱中红球个数EX925 4兰5 Z252X 的数学期望9325 •,,,,,,,,,,,,10分平面PCD 平面ABCD =CD ,AD 平面ABCD , AD _ CD ,••• AD _ 平面PCD •而PD 二平面PCD ,••• AD _ PD .同理BC _ PC .直角△ ADP 和直角△ BCP 中，AD=BC , PA=PB , • PC = PD 3 分• PO _CD .又PO 二平面PCD , • PO _ 平面ABCD，而 BO 二平面ABCD ,■■ B° —P°.^②,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 5分由①②及AO PO =O , AO、PO二平面PAO，得BO _平面PAO .又PA 二平面PAO，所以BO _ PA . ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 7 分1(2)延长BO、AD 相交于点E，: OD // AB，且OD = 1 AB2■O、D 分别是EB、EA 的中点.，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，8 分取PA中点F，连结BF、EF，•••△ PAB是正三角，■ PA _ BF •③又由(1 )，PA 丄BO，而BF 门BO=B，BF、BO 二平面BEF，所以，PA _ 平面BEF . v EF 平面BEF，■ PA _ EF .④,,,,,,,,,,, 10 分而EF 平面DPA，■乙BFE是二面角B - PA - D的一个平面角.••• AB =2BC =2，△ PAB 是正三角，■ BE =2.2，BF = 3，EF =.△ BEF 中，由余弦定理，得cos BFE （' 3）（3）一（2'2）_一1 .2江寸3汇丁3 31即二面角B-PA-D 的余弦值为一 .，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，14 分3（法二）（1 ）•••平面PCD _ 平面ABCD，平面PCD 平面ABCD = CD，AD 二平面ABCD，OP *PD2-OD2二■. PA2-AD2-OD2仝2，■ P(0, .2,0).从而，BO=(T,0,-1)，PA = (T, —,2,1)，,,,,,,,,,,,,,,,, 5分BO PA - -1 (-1) 0 (- 2) (-1) 1=0.所以BO _ PA，BO _ PA .(2)由(1), PA=(—1, —、,2,1), AB = (2,0,0).PA n 1 = 0 —设平面BPA的法向量为n =(为，％,乙)，由. =PB m = 0-捲 - _ 2y 「乙=02x 1 = 0=0=1 ，所以，平面BPA 的一个法向量为 忆=（0,1,、、2）.,, 又 PA=（_1,_ ,、2,1）, 5A=（0,0,1）.X i 取y i =1，解之，得WZ i设平面DPA 的法向量为n 2=（x 2 , y 2 ,z 2），由；号,=0二 j DA n 2 = 0-x ? - 2 y ? ■'z?= 0z 2 = 0x ? = —v 2取y 2 =1，解之，得y 2 =1 =0，所以，平面DPA 的一个法向量为 =(-21,0).,,11分Z 2 cos ::: n 1 , n 2 =n 1 n 20 (-.2) 1 12 0 因为法向量 ■ F|n 1II n 2|10212( 2)2J-^.2)2122313分q 和n 2均指向二面角 B —■ PA —■ D 夕卜，所以二面角B - PA - D 的平面角与角502 •互补,故二面角B - PA - D 的余弦值为-1 .314分19、（本小题满分 14分)已知数列｛a n ｝ , ｛b n ｝满足：a^0 , b^ 2013,且对任意的正整数n, a n , a n -1 ,bn 和 an 1 ,b n 1，b n 均成等差数列.(1) 求a 2, b 2的值;(2) 证明：｛a n -b n ｝和｛a n 2b n ｝均成等比数列; (3) 是否存在唯一的正整数 c ，使得a n < c b n 恒成立？证明你的结论.解: (1)a 1 +bi2013a 2：2 2, a 2 6039 b 2 :（2）依题意，对任意的正整数n ,有b n 14 _ a n ■ b n -2 二 a n 1 - b n21a n 1 a n 2b n 1 ~ a n41 ■—bn …①23b n …② 4 b [»1b nLan 1 bn 彳 _* 2 _因为a n — bn a n — bn13Ua nb n 41 4（常数），n • N * ,1又a 1=-2013 = 0，所以，｛a n -b n ｝是首项为- 2013，公比为一的等比数列；”4即对任意的n • N *且n _ 7时，1341 ：：： a n ：：： 1342 ：：： b n <1343.所以，正整数k = 1342也是唯一的.综上所述，存在唯一的正整数 k =1342，使得对任意的n • N *，有a n ：：： k ：：： b n . ,,,14分（注：如果仅是通过极限的描述性语言说明 k 的存在性和唯一性，且 k 的值是正确的，计扣 2分） 20、（本小题满分14分）已知动点M 至惊F （0,1）的距离与到直线 y = 4的距离之和为5. （1） 求动点M 的轨迹E 的方程，并画出图形；（2）若直线I : y = x • m 与轨迹E 有两个不同的公共点 A 、B ，求m 的取值范围;（3）在（2）的条件下，求弦长| AB |的最大值. 解：（1）设动点M 的坐标为（x, y ），依题意，点..X 2—（y 二 1）2|y-4|=5 .,,,,,,,,化简整理，得x 2 = 4y （ y 乞4 ）或 x 2 二-16（y 「5） （ y _ 4）.所以，动点M 的轨迹E 的方程为x 2=4y （ y 乞 4）或 x 2二—16（y -5） （ y - 4）.x 2x 2其图形是抛物线 y 和y5位于因为 a n 1 ' 2b n 1a n +2b n如A 2存孰=1 (常数)，n N * , a n 2b n又 a i 2bi = 4026 = 0,所以，｛a n 2b n ｝是首项为4026,公比为1的等比数列.a n(3) 由（2）,得<2b n =40262013，，解之,显然, a n b na n1342 "4nJ= 1342 ｛a n ｝是单调递增数列，｛b n ｝是单调递减数列，a n ::: 1342 ：：b n , n N *a n < 1342 ：： b即存在的正整数 k=1342，使得对任意n •又令8分.44 16 一4辽x^4的部分（如图7）.,,,,,,,,,2 x（2）记抛物线段y（-4乞x 乞4）为E 1，抛物线段4E 1与E 2的公共点为C( -4, 4)和D(4,4).当直线l : y = x • m 经过点C(_4,4)时，m =8 .y = x 8x 2 ，解之，得*y = —一 +516因为点（_12, 一4）不在抛物线段E 2上，所以，要使直线l : ^x m 与轨迹E 有两个不同的公共点，则m ：：：8 ”，①.,,,,,,2xx 当直线l : y=x+m 与抛物线y= — 相切时，由y ，=— =1，得切点坐标 丿42因为切点（2,1）在抛物线段 巳上, 所以，要使直线I : y = x • m 与轨迹E 有两个不同的公共点，贝U m *「1,,,②.，,,,综合①②，所求 m 的取值范围为（-1,8）.（3）当-1 ：：： m 乞0时，直线丨与轨迹E 的两个不同的公共点 A 、B 均在抛物线段 且 0 ：| AB| 勻 0D |=4.2 .当0 _m ::: 8时，直线l 与轨迹E 的两个不同的公共点 A 、B 分别在抛物线段 巳与抛物线段E 222xx上，且A 点是直线l 抛物线y 两个交点中左下方的点，B 点是直线l 抛物线y5两个416交点中右上方的点(如图7).y = x m由x 2，解之，得y = x m由x 2，解之得y 5I 162y f 5(一 4X4 )为 E 2 ,x = -12 y = -410分E i 上,x=2_2・1 m ，点 A 的横坐标 x A = 2 - 2-.. 1 • mx = -8 士 49 - m ，点 B 的横坐标 x B =-8,4.、9-m .所以|AB|=、2(X B -X A) =2.2(" m 2 9-m -5).,,,,,,,,,,,,,令f (m) = . 1 m 2、9 一m ( 0 _ m ：： 8 ),由f'(、_ 1 _ 1 __9二m二2丄1_m __________ 5(1 二m) _________2 J1 + m J9_m 2 J(1 +m)(9 - m) 2( J 9 _ m + 2』1 + m) J(1 + m)(9 _ m)当0^m：：：1 时，f'(m) 0 , f (m)单调递增；当1 ：：： m ：：： 8 时，f '(m) :: 0 , f(m)单调递减.所以，[f(m)]max "(1) =5.2 .故m =1时,I AB I,max = 20 - 10、2.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,（注：也可以通过一元二次方程在闭区间[-4,4]有解的思路来求m的取值范围；求|AB|的最值也可以利用换元法、判别式法、均值不等式、柯西不等式等方法.其他解法，酌情给分12分，得14分•)221 .(本小题满分14分)定义：(x , y)=| e x _y I —y| X — In y |，其中 x R , y R .(1) 设a 0，函数f (x)二珥x , a)，试判断f (x)在定义域内零点的个数； (2) 设 0 ：：a :：: b ，函数 F(x)」(x, a) - 珥x ,b)，求 F(x)的最小值； (3) 记(2)中的最小值为T(a,b)，若｛a n ｝是各项均为正数的单调递增数列,n证明：a TG© .J ：：： (a n 1 —ajln 2 .i 4解：(1) f (x) =|e x —a|_a|x —lna|( a=0),函数 f (x)的定义域为 R .当 x _lna 时，e x _a , f(x)=e x —ax alna — a ,•- f'(x) =e x-a _0,「• f(x)在［ln a, •：：)上为增函数当 x □ na 时，e x _a , f (x) = ax -e x - alna a ,••• f'(x)二a-e x_0 ,••• f(x)在(-：：，l na ］上为增函数.,,,,,,,,,,,,,综上所述，f (x)在定义域内为增函数. 又 f (ln a) =| a -a | -a |ln a -1n a |= 0 .所以，f (x)在定义域内有且仅有一个零点.，,,,,,,,,,,,,,,,,,,， (2)易知 F(x)的定义域为 R , F'(x)「"(x,a)-〔(x,b).而0 ：：： a ::: b ，所以ln a ::: ln b ，由(1)容易得到下列结论: ①当 x ln a ：： ln b 时，F '(x) = (a - e x ) -(b - e x ) • F (x)在(-二,ln a ］上为减函数，从而 F(x) _ F (ln a)②当 ln a mx Inb 时，F'(x) = (e x —a) —(b — e x )a +b 令 F'(x) =0 ,得 x=ln^^ .2 a + b当 ln a_x ：：：ln 时，F'(x)：：：0 , F (x)单调递减;a +b 当 ln nb 时，F'(x) 7, F(x)单调递增.2 a + b a + b•••当 x = ln 时，F(x)有最小值 F(ln ).,,,,,,,,,,,,,,,,2 2xx③当 ln a l n b 一 x 时，F '(x) =(e - a) - (e 一 b) = b - a 0 , 综上所述，当x =ln 时，2a +bF (x)有最小值 F (l n )=al na bl nb-(a b)l n2 2= 2e x- (a b),• F(x)在［ln b,，：)上为增函数，从而 F(x)_F(l n b).,,,,,,a b2分4分5分6分7分8分10分(3)由(2)知T(a , b)二aln a bln b -(a b)ln先证明T(a i ,a i d) :：: (a i d -a i)ln2，- N *，即证明：a i + a i 卑・*a i In a i a i 1 In a i 1 —⑻ a i 1 )ln (a i 1 — ajln2 , i N将a j视为常数，a i 1视为变量，构造下列函数：a i +tG(t)二a j In a i11n t - 佝t)ln - (t —ajln 2，其中t -a i0 .2a.+1 t则G'(t) =l nt 1 -In i1 -I n2 Jn 0 ,2 a j +tG(t)在［a i, •：：)上单调递减，而G(aJ 二a i Ina i a i Ina^2a i In a^(a^ a i)In2 = 0，因为｛a n｝是各项均为正数的单调递增数列，a i 1 ■ ai，r N *，所以G(a i 1) ：0，a i * a i +i即a i In a i- a i 11n a i(a i a i d) In i::: (a i 1- a i) In 2，i • N *所以T(a i , a i 1) :: (a i^a i)In2 , i N * .,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,n n于是，' T(a i,a i 1^ (a i^a i)ln 2 =(a n^a1)ln 2 .,,,,,,,,,,,, i壬i壬12分14分2。
2018年省高考数学二模试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．x，y∈R，集合A={2，log3x}，集合B={x，y}，假设A∩B={0}，那么x+y=〔〕A．B．0 C．1 D．32．假设复数z1=1+i，z2=1﹣i，那么以下结论错误的选项是〔〕A．z1•z2是实数 B．是纯虚数C．|z|=2|z2|2D．z=4i3．=〔﹣1，3〕，=〔m，m﹣4〕，=〔2m，3〕，假设，那么〔〕A．﹣7 B．﹣2 C．5 D．84．如图，是以正方形的边AD为直径的半圆，向正方形随机投入一点，那么该点落在阴影区域的概率为〔〕A．B．C．D．5．等比数列{a n}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3〔a3+a2〕，那么=〔〕A．﹣9 B．9 C．﹣81 D．816．双曲线C：〔a＞0，b＞0〕的一个焦点坐标为〔4，0〕，且双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的方程为〔〕A．=1 B．C．=1 D．=1或=17．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为〔〕A．8π+6 B．6π+6 C．8π+12 D．6π+128．设x，y满足约束条件，那么z=2x+y的取值围是〔〕A．[﹣2，2]B．[﹣4，4]C．[0，4]D．[0，2]9．在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人﹣﹣宰相宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！〞国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的选项是〔〕A．B．C．D．10．数列{a n}前n项和为S n，a1=15，且满足〔2n﹣5〕a n+1=〔2n﹣3〕a n+4n2﹣16n+15，n，m∈N+，n＞m，那么S n﹣S m的最小值为〔〕A．B．C．﹣14 D．﹣2811．菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A﹣BD﹣C的余弦值为，那么该四面体ABCD外接球的体积为〔〕A．B．8πC．D．36π12．函数f〔x〕=e x﹣ln〔x+3〕，那么下面对函数f〔x〕的描述正确的选项是〔〕A．∀x∈〔﹣3，+∞〕，f〔x〕≥B．∀x∈〔﹣3，+∞〕，f〔x〕C．∃x0∈〔﹣3，+∞〕，f〔x0〕=﹣1 D．f〔x〕min∈〔0，1〕二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．将函数f〔x〕=2sin〔2x+φ〕〔φ＜0〕的图象向左平移个单位长度，得到偶函数g〔x〕的图象，那么φ的最大值是．14．a＞0，b＞0，〔ax+〕6展开式的常数项为，那么a+2b的最小值为．15．函数f〔x〕=log2〔4x+1〕+mx，当m＞0时，关于x的不等式f〔log3x〕＜1的解集为．16．设过抛物线y2=2px〔p＞0〕上任意一点P〔异于原点O〕的直线与抛物线y2=8px 〔p＞0〕交于A，B两点，直线OP与抛物线y2=8px〔p＞0〕的另一个交点为Q，那么=三、解答题〔本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60°，c=8．〔1〕假设点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=BC，=2，求AM的值；〔2〕假设b=12，求△ABC的面积．18．如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD=DE，∠ADE=90°，∠ADC=∠DCB=120°．〔1〕证明：平面ABCD⊥平面EDCF；〔2〕求直线AF与平面BDF所成角的最正弦值．19．经销商第一年购置某工厂商品的单价为a〔单位：元〕，在下一年购置时，购置单价与其上年度销售额〔单位：万元〕相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如表：上一年度销售额/万元[0，100〕[100，200〕[200，300〕[300，400〕[400，500〕[500，+∞〕商品单价/元a0.9a0.85a0.8a0.75a0.7a为了研究该商品购置单价的情况，为此调查并整理了50个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图．某经销商下一年购置该商品的单价为X〔单位：元〕，且以经销商在各段销售额的频率作为概率．〔1〕求X的平均估计值．〔2〕该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购置单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动．每次获奖的金额和对应的概率为获奖金额/元500010000概率记Y〔单位：元〕表示某经销商参加这次活动获得的奖金，求Y的分布列与数学期望..20．椭圆C1：〔b＞0〕的左、右焦点分别为F1，F2，点F2也为抛物线C2：y2=8x的焦点．〔1〕假设M，N为椭圆C1上两点，且线段MN的中点为〔1，1〕，求直线MN 的斜率；〔2〕假设过椭圆C1的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线段AB，CD的长分别为m，n，证明是定值．21．f′〔x〕为函数f〔x〕的导函数，f〔x〕=e2x+2f〔0〕e x﹣f′〔0〕x．〔1〕求f〔x〕的单调区间；〔2〕当x＞0时，af〔x〕＜e x﹣x恒成立，求a的取值围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为〔t为参数〕，圆C的标准方程为〔x﹣3〕2+〔y﹣3〕2=4．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．〔1〕求直线l和圆C的极坐标方程；〔2〕假设射线θ=与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]23．f〔x〕=|mx+3|﹣|2x+n|．〔1〕当m=2，n=﹣1时，求不等式f〔x〕＜2的解集；〔2〕当m=1，n＜0时，f〔x〕的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求n的取值围．2018年省高考数学二模试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．x，y∈R，集合A={2，log3x}，集合B={x，y}，假设A∩B={0}，那么x+y=〔〕A．B．0 C．1 D．3【分析】根据A∩B={0}即可得出0∈A，0∈B，这样即可求出x，y的值，从而求出x+y的值．【解答】解：A∩B={0}；∴0∈A，0∈B；∴log3x=0；∴x=1，y=0；∴x+y=1．应选：C．【点评】考查列举法表示集合的概念，交集的概念与运算，以与元素与集合的关系．2．假设复数z1=1+i，z2=1﹣i，那么以下结论错误的选项是〔〕A．z1•z2是实数 B．是纯虚数C．|z|=2|z2|2D．z=4i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算与复数模的求法逐一判断得答案．【解答】解：∵z1=1+i，z2=1﹣i，∴z1•z2=1﹣i2=2，故A正确；，故B正确；，，故C正确；，故D错误．应选：D．【点评】此题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是根底题．3．=〔﹣1，3〕，=〔m，m﹣4〕，=〔2m，3〕，假设，那么〔〕A．﹣7 B．﹣2 C．5 D．8【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算法那么，计算即可．【解答】解：=〔﹣1，3〕，=〔m，m﹣4〕，=〔2m，3〕，假设，那么﹣1×〔m﹣4〕﹣3×m=0；解得m=1；∴=〔1，﹣3〕=〔2，3〕；=1×2+〔﹣3〕×3=﹣7．应选：A．【点评】此题考查了平面向量的坐标运算与共线定理、数量积运算问题，是根底题．4．如图，是以正方形的边AD为直径的半圆，向正方形随机投入一点，那么该点落在阴影区域的概率为〔〕A．B．C．D．【分析】根据图象的关系，求出阴影局部的面积，结合几何概型的概率公式进展求解即可．【解答】解：连结AE，结合图象可知弓形①与弓形②面积相等，将弓形①移动到②的位置，那么阴影局部将构成一个直角三角形，那么阴影局部的面积为正方形面积的，那么向正方形随机投入一点，那么该点落在阴影区域的概率P=，应选：D．【点评】此题主要考查几何概型的概率公式的应用，求出阴影局部的面积是解决此题的关键．5．等比数列{a n}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3〔a3+a2〕，那么=〔〕A．﹣9 B．9 C．﹣81 D．81【分析】等比数列{a n}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3〔a3+a2〕，可得=3〔a2q+a2〕，化为：q2=3．由等比数列的性质可得：a1a2……a9=q1+2+……+8=q4×9，代入=q4．即可得出．【解答】解：等比数列{a n}的首项为1，公比q≠﹣1，且a5+a4=3〔a3+a2〕，∴=3〔a2q+a2〕，化为：q2=3．由等比数列的性质可得：a1a2……a9=q1+2+……+8==q4×9那么==q4=9．应选：B．【点评】此题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式与其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．双曲线C：〔a＞0，b＞0〕的一个焦点坐标为〔4，0〕，且双曲线的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的方程为〔〕A．=1 B．C．=1 D．=1或=1【分析】由题意可得c=4，由双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a=b，解方程可得a，b的值，即可得到所求双曲线的方程．【解答】解：双曲线C：〔a＞0，b＞0〕的一个焦点坐标为〔4，0〕，可得c=4，即有a2+b2=c2=16，双曲线的两条渐近线互相垂直，即直线y=x和直线y=﹣x垂直，可得a=b，解方程可得a=b=2，那么双曲线的方程为﹣=1．应选：A．【点评】此题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，以与两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，考查方程思想和运算能力，属于根底题．7．某几何体的三视图如下图，那么该几何体的外表积为〔〕A．8π+6 B．6π+6 C．8π+12 D．6π+12【分析】由题意判断几何体的形状，然后求解几何体的外表积即可．【解答】解：几何体是组合体，上部是半圆柱，下部是半球，圆柱的底面半径与球的半径一样为1，圆柱的高为3，几何体的外表积为：2π×12+12×π+2×3+3π=6+6π．应选：B．【点评】此题考查的知识点是由三视图求体积和外表积，解决此题的关键是得到该几何体的形状．8．设x，y满足约束条件，那么z=2x+y的取值围是〔〕A．[﹣2，2]B．[﹣4，4]C．[0，4]D．[0，2]【分析】作出约束条件所对应的可行域，变形目标函数，平移直线y=2x 可得结论．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域〔如图阴影〕变形目标函数可得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x可知当直线经过点A〔﹣2，0〕时，目标函数取最小值﹣4当直线经过点B〔2，0〕时，目标函数取最大值4，故z=﹣2x+y的取值围为[﹣4，4]．应选：B．【点评】此题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．9．在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人﹣﹣宰相宰相西萨•班•达依尔．国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍．请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！〞国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒．当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求．那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的选项是〔〕A．B．C．D．【分析】由中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：由中程序的功能，可得循环变量的初值为1，终值为64，由于四个答案均为直到条件不满足时退出循环，故循环条件应为n≤64，而每次累加量构造一个以1为首项，以2为公式的等比数列，由S n=2n﹣1得：S n+1=2n+1﹣1=2S n+1，故循环体S=1+2S，应选：C．【点评】此题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．数列{a n}前n项和为S n，a1=15，且满足〔2n﹣5〕a n+1=〔2n﹣3〕a n+4n2﹣16n+15，n，m∈N+，n＞m，那么S n﹣S m的最小值为〔〕A．B．C．﹣14 D．﹣28【分析】由等式变形，可得{}为等差数列，公差为1，首项为﹣5，运用等差数列的通项公式可得a n，再由自然数和的公式、平方和公式，可得S n，讨论n 的变化，S n的变化，僵尸可得最小值．【解答】解：∵〔2n﹣5〕a n=〔2n﹣3〕a n+4n2﹣16n+15，+1∴﹣=1，=﹣5．可得数列{}为等差数列，公差为1，首项为﹣5．∴=﹣5+n﹣1=n﹣6，∴a n=〔2n﹣5〕〔n﹣6〕=2n2﹣17n+30．∴S n=2〔12+22+……+n2〕﹣17〔1+2+……+n〕+30n=2×﹣17×+30n=．可得n=2，3，4，5，S n递减；n＞5，S n递增，∵n，m∈N+，n＞m，S1=15，S2=19，S5=S6=5，S7=14，S8=36，S n﹣S m的最小值为5﹣19=﹣14，应选：C．【点评】此题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，沿对角线BD将菱形ABCD折起，使得二面角A﹣BD﹣C的余弦值为，那么该四面体ABCD外接球的体积为〔〕A．B．8πC．D．36π【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的体积．【解答】解：如下图，取BD中点F，连结AF、CF，那么AF⊥BD，CF⊥BD，∴∠AFC是二面角A﹣BD﹣C的平面角，过A作AE⊥平面BCD，交CF延长线于E，∴cos∠AFC=﹣，cos，AF=CF==3，∴AE=2，EF=1，设O为球，过O作OO′⊥CF，交F于O′，作OG⊥AE，交AE于G，设OO′=x，∵O′B=CF=2，O′F==1，∴由勾股定理得R2=O′B2+OO'2=4+x2=OG2+AG2=〔1+1〕2+〔2﹣x〕2，解得x=，∴R2=6，即R=，∴四面体的外接球的体积为V=πR3==8π．应选：B．【点评】此题考查四面体的外接球的体积的求法，考查四面体、球等根底知识，考查运用求解能力、空间想象能力、探索能力、转化与化归思想、函数与方程思想，是中档题．12．函数f〔x〕=e x﹣ln〔x+3〕，那么下面对函数f〔x〕的描述正确的选项是〔〕A．∀x∈〔﹣3，+∞〕，f〔x〕≥B．∀x∈〔﹣3，+∞〕，f〔x〕C．∃x0∈〔﹣3，+∞〕，f〔x0〕=﹣1 D．f〔x〕min∈〔0，1〕【分析】此题首先要对函数f〔x〕=e x﹣ln〔x+3〕进展求导，确定f′〔x〕在定义域上的单调性为单调递增函数，然后再利用当x∈〔a，b〕时，利用f′〔a〕f′〔b〕＜0确定导函数的极值点x0∈〔﹣1，﹣〕从而．得到x=x0时是函数f〔x〕的最小值点．【解答】解：因为函数f〔x〕=e x﹣ln〔x+3〕，定义域为〔﹣3，+∞〕，所以f′〔x〕=e x﹣，易知导函数f′〔x〕在定义域〔﹣3，+∞〕上是单调递增函数，又f′〔﹣1〕＜0，f′〔﹣〕＞0，所以f′〔x〕=0在〔﹣3，+∞〕上有唯一的实根，不妨将其设为x0，且x0∈〔﹣1，﹣〕，那么x=x0为f〔x〕的最小值点，且f′〔x0〕=0，即e=，两边取以e为底的对数，得x0=﹣ln〔x0+3〕故f〔x〕≥f〔x0〕=e﹣ln〔x0+3〕=﹣ln〔x0+3〕=+x0，因为x0∈〔﹣1，﹣〕，所以2＜x0+3，故f〔x〕≥f〔x0〕=＞2+=﹣，即对∀x∈〔﹣3，+∞〕，都有f〔x〕＞﹣．应选：B．【点评】此题外表考查命题的真假判断，实际上是考查函数的求导，求最值问题，准确计算是根底，熟练运用知识点解决问题是关键．二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．将函数f〔x〕=2sin〔2x+φ〕〔φ＜0〕的图象向左平移个单位长度，得到偶函数g〔x〕的图象，那么φ的最大值是．【分析】根据三角函数图象平移法那么，结合函数的奇偶性求出φ的最大值．【解答】解：函数f〔x〕=2sin〔2x+φ〕〔φ＜0〕的图象向左平移个单位长度，得f〔x+〕=2sin[2〔x+〕+φ]=2sin〔2x+φ+〕的图象，∴g〔x〕=2sin〔2x++φ〕；又g〔x〕是偶函数，∴+φ=+kπ，k∈Z；∴φ=﹣+kπ，k∈Z；又φ＜0，∴φ的最大值是﹣．故答案为：﹣．【点评】此题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是根底题．14．a＞0，b＞0，〔ax+〕6展开式的常数项为，那么a+2b的最小值为2．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，可得ab=，再由根本不等式求a+2b的最小值．【解答】解：〔ax+〕6展开式的通项为x6﹣2r，由6﹣2r=0，得r=3．∴，即．∴a+2b，当且仅当a=2b，即a=1，b=时，取“=〞．∴a+2b的最小值为2．故答案为：2．【点评】此题考查二项式定理的应用，考查二项式系数的性质，训练了利用根本不等式求最值，是根底题．15．函数f〔x〕=log2〔4x+1〕+mx，当m＞0时，关于x的不等式f〔log3x〕＜1的解集为〔0，1〕．【分析】利用单调性求解即可．【解答】解：函数f〔x〕=log2〔4x+1〕+mx，当m＞0时，可知f〔x〕时单调递增函数，当x=0时，可得f〔0〕=1，那么不等式f〔log3x〕＜f〔0〕的解集，即，解得：0＜x＜1．故答案为〔0，1〕【点评】此题考查的知识点是对数函数的图象和性质，符合函数的单调性判断，3难度不大，属于根底题．16．设过抛物线y2=2px〔p＞0〕上任意一点P〔异于原点O〕的直线与抛物线y2=8px 〔p＞0〕交于A，B两点，直线OP与抛物线y2=8px〔p＞0〕的另一个交点为Q，那么=3【分析】联立方程组求出P，Q的坐标，计算OP，PQ的比值得出结论．【解答】解：设直线OP方程为y=kx〔k≠0〕，联立方程组，解得P〔，〕，联立方程组，解得Q〔，〕，∴|OP|==，|PQ|==，∴==3．故答案为：3．【点评】此题考查了抛物线的性质，属于中档题．三、解答题〔本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60°，c=8．〔1〕假设点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=BC，=2，求AM的值；〔2〕假设b=12，求△ABC的面积．【分析】〔1〕设BM=x，那么AM=2x，由余弦定理求出BM=4，由此利用余弦定理能求出b．〔2〕由正弦定理得=，从而sinC=，由b=12＞c，得B＞C，cosC=，从而sinA=sin〔B+C〕=sinBcosC+cosBsinC=，由此能求出△ABC的面积．【解答】解：〔1〕∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B=60°，c=8点M，N是线段BC的两个三等分点，BM=BC，=2，∴设BM=x，那么AN=2x，在△ABN中，由余弦定理得12x2=64+4x2﹣2×8×2xcos60°，解得x=4〔负值舍去〕，那么BM=4，∴AM==4．〔2〕在△ABC中，由正弦定理得=，∴sinC===，又b=12＞c，∴B＞C，那么C为锐角，∴cosC=，那么sinA=sin〔B+C〕=sinBcosC+cosBsinC=×=，∴△ABC的面积S=bcsinA=48×=24．【点评】此题考查三角形的边长的求法，考查三角形面积的求法，考查三角函数性质、三角函数恒等式、余弦定理、三角形面积公式等根底知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．18．如图，在五面体ABCDEF中，四边形EDCF是正方形，AD=DE，∠ADE=90°，∠ADC=∠DCB=120°．〔1〕证明：平面ABCD⊥平面EDCF；〔2〕求直线AF与平面BDF所成角的最正弦值．【分析】〔1〕推导出AD⊥DE，DC⊥DE，从而DE⊥平面ABCD．由此能证明平面ABCD⊥平面EDCF．〔2〕以D为原点，以DA为x轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出直线AF与平面BDF所成角的正弦值．【解答】证明：〔1〕因为AD⊥DE，DC⊥DE，AD、CD⊂平面ABCD，且AD∩CD=D，所以DE⊥平面ABCD．又DE⊂平面EDCF，故平面ABCD⊥平面EDCF．解：〔2〕由DC∥EF，所以DC∥平面ABFE．又平面ABCD∩平面ABFE=AB，故AB∥CD．所以四边形ABCD为等腰梯形．又AD=DE，所以AD=CD，由题意得AD⊥BD，令AD=1，如图，以D为原点，以DA为x轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，那么D〔0，0，0〕，A〔1，0，0〕，F〔﹣，，1〕，B〔0，，0〕，∴=〔，﹣，﹣1〕，=〔0，，0〕，=〔﹣，，1〕．设平面BDF的法向量为=〔x，y，z〕，那么，取x=2，得=〔2，0，1〕，cos＜，＞===．设直线与平面BDF所成的角为θ，那么sinθ=．所以直线AF与平面BDF所成角的正弦值为．【点评】此题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．19．经销商第一年购置某工厂商品的单价为a〔单位：元〕，在下一年购置时，购置单价与其上年度销售额〔单位：万元〕相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如表：上一年度销售额/万元[0，100〕[100，200〕[200，300〕[300，400〕[400，500〕[500，+∞〕商品单价/元a0.9a0.85a0.8a0.75a0.7a为了研究该商品购置单价的情况，为此调查并整理了50个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图．某经销商下一年购置该商品的单价为X〔单位：元〕，且以经销商在各段销售额的频率作为概率．〔1〕求X的平均估计值．〔2〕该工厂针对此次的调查制定了如下奖励方案：经销商购置单价不高于平均估计单价的获得两次抽奖活动，高于平均估计单价的获得一次抽奖活动．每次获奖的金额和对应的概率为获奖金额/元500010000概率记Y〔单位：元〕表示某经销商参加这次活动获得的奖金，求Y的分布列与数学期望..【分析】〔1〕由统计表和柱状图能得到X的平均估计值．〔2〕购置单价不高于平均估计单价的概率为0.24+0.12+0.04=0.5=．Y的取值为5000，10000，15000，20000．分别求出相应的概率，由此能求出Y的分布列和E〔Y〕．【解答】解：〔1〕由题可知：a 0.9a0.85a0.8a 0.75a0.7a商品单价/元频率0.20.30.240.120.10.04X的平均估计值为：a×0.2+0.9a×0.36+0.85a×0.24+0.8a×0.12+0.75a×0.1+0.7a×0.04=0.873a．〔2〕购置单价不高于平均估计单价的概率为0.24+0.12+0.04=0.5=．Y的取值为5000，10000，15000，20000．P〔Y=5000〕=，P〔Y=10000〕==，P〔Y=15000〕==，P〔Y=20000〕==．∴Y的分布列为：Y5000100001500020000PE〔Y〕=+20000×=9375〔元〕．【点评】此题考查学生对频率分布直方图的理解以与分布列的相关知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想．20．椭圆C1：〔b＞0〕的左、右焦点分别为F1，F2，点F2也为抛物线C2：y2=8x的焦点．〔1〕假设M，N为椭圆C1上两点，且线段MN的中点为〔1，1〕，求直线MN 的斜率；〔2〕假设过椭圆C1的右焦点F2作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，设线段AB，CD的长分别为m，n，证明是定值．【分析】〔1〕根据抛物线的性质，求得c，即可求得b的值，利用“点差法〞即可求得直线MN的斜率；〔2〕分类讨论，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理与弦长公式即可求得m的值，同理即可求得n的值，即可求得是定值．【解答】解：〔1〕抛物线C2：y2=8x的焦点〔2，0〕，那么c=2，b2=a2﹣c2=4，∴椭圆的标准方程：，设M〔x1，y1〕，N〔x2，y2〕，那么，两式相减得：=﹣•，由MN的中点为〔1，1〕，那么x1+x2=2，y1+y2=2，∴直线MN的斜率k==﹣，∴直线MN的斜率为﹣；〔2〕由椭圆的右焦点F2〔2，0〕，当直线AB的斜率不存在或为0时，+=+=，当直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y=k〔x﹣2〕，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，联立，消去y化简整理得：〔1+2k2〕x2﹣8k2x+8k2﹣8=0，△=〔﹣8k2〕2﹣4〔1+2k2〕〔8k2﹣8〕=32〔k2+1〕＞0，∴x1+x2=，x1x2=，那么m==，同理可得：，∴=〔+〕=，综上可知：是定值．【点评】此题考查椭圆的标准方程与性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的应用，考查转化思想，属于中档题．21．f′〔x〕为函数f〔x〕的导函数，f〔x〕=e2x+2f〔0〕e x﹣f′〔0〕x．〔1〕求f〔x〕的单调区间；〔2〕当x＞0时，af〔x〕＜e x﹣x恒成立，求a的取值围．【分析】〔1〕求出函数的导数，计算f〔0〕，求出f′〔0〕的值，求出函数的单调区间即可；〔2〕令g〔x〕=af〔x〕﹣e x+x，求出函数的导数，通过讨论a的围，求出函数的最值，从而确定a的围即可．【解答】解：〔1〕由f〔0〕=1+2f〔0〕，得f〔0〕=﹣1．因为f′〔x〕=2e2x﹣2e x﹣f′〔0〕，所以f′〔0〕=2﹣2﹣f′〔0〕，解得f′〔0〕=0．所以f〔x〕=e2x﹣2e x，f′〔x〕=2e x〔e x﹣1〕，当x∈〔﹣∞，0〕时，f′〔x〕＜0，那么函数f〔x〕在〔﹣∞，0〕上单调递减；当x∈〔0，+∞〕时，f′〔x〕＞0，那么函数f〔x〕在〔0，+∞〕上单调递增．〔2〕令g〔x〕=af〔x〕﹣e x+x=ae2x﹣〔2a+1〕e x+x，根据题意，当x∈〔0，+∞〕时，g〔x〕＜0恒成立．g′〔x〕=〔2ae x﹣1〕〔e x﹣1〕．①当0＜a＜，x∈〔﹣ln2a，+∞〕时，g′〔x〕＞0恒成立，所以g〔x〕在〔﹣ln2a，+∞〕上是增函数，且g〔x〕∈〔g〔﹣ln2a〕，+∞〕，所以不符合题意；②当a≥，x∈〔0，+∞〕时，g′〔x〕＞0恒成立，所以g〔x〕在〔0，+∞〕上是增函数，且g〔x〕∈〔g〔0〕，+∞〕，所以不符合题意；③当a≤0时，因为x∈〔0，+∞〕，所有恒有g′〔x〕＜0，故g〔x〕在〔0，+∞〕上是减函数，于是“g〔x〕＜0对任意x∈〔0，+∞〕都成立〞的充要条件是g〔0〕≤0，即a﹣〔2a+1〕≤0，解得：a≥﹣1，故﹣1≤a≤0．综上，a的取值围是[﹣1，0]．【点评】此题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以与函数恒成立问题，是一道综合题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为〔t为参数〕，圆C的标准方程为〔x﹣3〕2+〔y﹣3〕2=4．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．〔1〕求直线l和圆C的极坐标方程；〔2〕假设射线θ=与l的交点为M，与圆C的交点为A，B，且点M恰好为线段AB的中点，求a的值．【分析】〔1〕直线l的参数方程消去t可得直线l的普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，能求出直线l的极坐标方程．由圆的标准方程能求出圆C的极坐标方程．〔2〕设M〔〕，A〔〕，B〔ρ3，〕．联立，得，从而ρ2+ρ3=3+3，进而M〔，〕．把M〔，〕代入，能求出a的值．【解答】解：〔1〕∵直线l的参数方程为〔t为参数〕，∴在直线l的参数方程中消去t可得直线l的普通方程为x﹣y﹣=0，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入以上方程中，得到直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣=0．∵圆C的标准方程为〔x﹣3〕2+〔y﹣3〕2=4，∴圆C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ﹣6ρsinθ+14=0．〔2〕在极坐标系中，由可设M〔〕，A〔〕，B〔ρ3，〕．联立，得，∴ρ2+ρ3=3+3．∵点M恰好为AB的中点，∴，即M〔，〕．把M〔，〕代入，得×﹣=0，解得a=．【点评】此题考查直线和圆的极坐标方程的求法，考查实数值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等根底知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．f〔x〕=|mx+3|﹣|2x+n|．〔1〕当m=2，n=﹣1时，求不等式f〔x〕＜2的解集；〔2〕当m=1，n＜0时，f〔x〕的图象与x轴围成的三角形面积大于24，求n的取值围．【分析】〔1〕代入m，n的值，得到关于x的不等式组，解出即可；〔2〕求出A，B，C的坐标，表示出三角形的面积，得到关于n的不等式，解出即可．【解答】解：〔1〕当m=2，n=﹣1时，f〔x〕=|2x+3|﹣|2x﹣1|，不等式f〔x〕＜2等价于或或，解得：x＜﹣或﹣≤x＜0，即x＜0．所以不等式f〔x〕＜2的解集是〔﹣∞，0〕．〔2〕由题设可得，f〔x〕=|x+3|﹣|2x+n|=，所以函数f〔x〕的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为：A〔﹣，0〕，B〔3﹣n，0〕，C〔﹣，3﹣〕，所以三角形ABC的面积为〔3﹣n+〕〔3﹣〕=，由＞24，解得：n＞18或n＜﹣6．【点评】此题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
