图像采集与处理-C13-R

∑
x
f ( x)2 j / 2ψ (2 j x − k )
代替ψ (2 j x − k ) ⇒ Wψ ( j , k ) = ⎡ ⎤ f ( x)2 j / 2 ⎢∑ hψ (m − 2k ) 2ϕ (2 j +1 x − m)⎥ ∑ x ⎣m ⎦ Wϕ ( j0 , k ) 1 ⎡ ⎤ hψ (m − 2k ) ⎢∑ f ( x)2 ( j +1) / 2 ϕ (2 j +1 x − m)⎥ = 1 ∑ = ∑ f ( x)ϕ j ,k ( x) M m ⎣ x ⎦ M x 1 M
∑ f ( x)ϕ
x
( x)
j = 0,1,2,L , J − 1 k = 0,1,2, L ,2 j − 1 x = 0,1,2,L , M − 1, 通常M = 2 J
细节系数：相当于高通滤波
1 ∑ f ( x)ψ j ,k ( x), j ≥ j0 M x 反变换：函数f(x)的估计可根据尺度系数和小波系数分别与尺 度函数与小波函数乘积的积分得到： 1 1 ∞ f ( x) = ∑Wϕ ( j0 , k )ϕ j ,k ( x) + M ∑∑Wψ ( j, k )ψ j ,k ( x) M k j= j k
0 0
上节课回顾
尺度函数 ϕ j ,k ( x) = 2 j / 2 ϕ (2 j x − k ) 尺度向量：hϕ = [hϕ (1), hϕ (2),K hϕ (n)]T
ϕ j ,k ( x) = ∑ hϕ (n)2( j +1) / 2 ϕ (2 j +1 x − n)
n
每一个尺度j下的尺度函数构成 一个子空间Vj。
0
快速小波变换
因此得到小波变换的细节系数表达： Wψ ( j , k ) = ∑ hψ (m − 2k )Wϕ ( j + 1, m)
m
由类似的过程可以得到小波变换的近似系数表达：
Wϕ ( j , k ) = ∑ hϕ (m − 2k )Wϕ ( j + 1, m)
m
以上两式可以看出小波变换的系数在相邻尺度之间的关系：
图像采集与处理
视觉特征的提取与表达 (6) 快速小波变换与多尺度纹理描述 2012-11-13
上节课回顾
离散小波变换 正变换：根据尺度函数与小波函数，来估计函数f(x)的尺度系 数和小波系数：
近似系数：相当于低通滤波
通常 j0 = 0,
j0 , k
1 Wϕ ( j0 , k ) = M
Wψ ( j , k ) =
n=0 n =1 otherwise
n=0
n=0,1,2,3
快速小波正变换相当于一个频带逐级分割过程：
1. 原函数位于尺度空间VJ 2. 第一级滤波器相当于把 尺度空间VJ二分为一个 低通近似组件和一个高 通细节组件。 3. 第二级滤波器相当于把 尺度空间VJ-1二分为一个 低通近似组件和一个高 通细节组件。 尺度向量和小波向量分别相当于低通和高通滤波器。
快速小波正变换：示例
n
hψ = [hψ (1), hψ (2),K hψ (n)]T
每一个尺度j下的小波函数构成 一个子空间Wj。
W j = SPAN ψ j ,k ( x)
k
哈尔(Haar)小波(母)函数:
ψ ( x) = ϕ (2 x) − ϕ (2 x − 1)
连续小波变换
连续函数f(x)的小波变换(continuous wavelet transform) 正变换：
ϕ ( x) = ∑ hϕ (n) 2ϕ (2 x − n)
n
x的尺度扩大2 j 倍，平移k，并设m = 2k + n：
ϕ (2 j x − k ) = ∑ hϕ (n) 2ϕ[2(2 j x − k ) − n]
n
= ∑ hϕ (m − 2k ) 2ϕ (2 j +1 x − m)
m
快速小波变换
小波函数也可以得到类似表达：
ψ (2 j x − k ) = ∑ hψ (m − 2k ) 2ϕ (2 j +1 x − m)
m
将小波函数的定义公式带入离散小波正变换公式中：
ψ j ,k ( x) = 2 j / 2ψ (2 j x − k )
Wψ ( j , k ) = 1 M
∑
x
⎫ 1 ⎪ ⎬ ⇒ Wψ ( j , k ) = f ( x)ψ j ,k ( x) ⎪ M ⎭
Wϕ ( j , k ) = hϕ (−n) ∗ Wϕ ( j + 1, n) n = 2 k ,k ≥0
各种尺度下的小波变换系数可以依次反复滤波、子采样得到
1. 快速小波正变换从 最高尺度J开始。 2. 最高尺度J下的近 似系数由原图像来 初始化。 3. 应该从f(x)采样2J 个点。
快速小波变换的频率特性
V j = SPAN ϕ j ,k ( x)
k
哈尔(Haar)尺度(母)函数:
ϕ ( x) = ⎨
⎧1 0 ≤ x < 1 ⎩0 otherwise
上节课回顾
小波函数
ψ j ,k ( x) = 2 j / 2ψ (2 j x − k )
小波向量：
ψ ( x) = ∑ hψ (n) 2ϕ (2 x − 1的近似系数分别与 时间反转的小波向量和尺度向 量卷积、然后子采样得到的。
卷积公式：h(k ) ∗ f (k ) = ∑ h(k − m) f (m)
m
快速小波变换
因此得到快速小波正变换的数学表达： Wψ ( j , k ) = hψ (− n) ∗ Wϕ ( j + 1, n) n = 2 k ,k ≥0
原函数 : f (0) = 1, f (1) = 4, f (2) = −3, f (3) = 0
一维卷积计算：依次求取以W函数的每一点为中心的邻 域，与h函数对应的每一点的乘积和。边缘以外补零。
⎧1 / 2 hϕ (n) = ⎨ ⎩0
n = 0,1 otherwise
n=0,1
⎧1 / 2 ⎪ ⎪ hψ (n) = ⎨− 1 / 2 ⎪0 ⎪ ⎩
Wψ ( s,τ ) = ∫ f ( x)ψ s ,τ ( x)dx
−∞
∞
ψ s ,τ ( x) =
反变换：
1 f ( x) = Cψ
1 ⎛ x −τ ⎞ ψ⎜ ⎟ s ⎝ s ⎠
ψ s ,τ ( x)
s
2
s : 尺度参数; s =
1 2j
τ : 平移参数
∫ ∫
0
∞
∞
−∞
Wψ ( s,τ )
2
dτds
其中：Cψ = ∫
∞
ψ (u )
u
−∞
du
纹理特征提取与表达
纹理特征的概念 统计纹理描述 旋转不变的纹理描述 小波变换
多分辨率的函数展开 一维小波变换 快速小波变换 二维小波变换 小波包
基于小波变换的多尺度纹理描述
快速小波变换
快速小波变换(Fast Wavelet Transform)的优势： 1. 减少计算量； 2. 清晰的构建相邻尺度之间小波变换的关系。 快速小波变换的推导 从尺度函数的多分辨率公式开始：