概率习题课第二章

j
( )
j
i
i
二. 二维连续随机变量的边缘分布 x +∞ F X ( x ) = F ( x , +∞ ) = ∫ dx ∫ f ( x , y )dy ∞ ∞ d +∞ f X (x ) = FX (x )= ∫ ∞ f ( x , y )dy dx y +∞ FY ( y ) = F (+ ∞ , y ) = ∫ dy ∫ f ( x , y )dx ∞ ∞ +∞ d fY ( y ) = FY ( y ) = ∫ ∞ f ( x , y )dx dy 一. 离散型随机变量的独立性 p xi , y j = pX ( xi ) pY y j 二. 连续随机变量的独立性
+∞ ∞
∞
f (z y( x , y )dy
2. 平方和的分布
n
FZ ( z ) =
∫∫ f ( x , y )dxdy
x2 + y2 < z
n
3.(独立的随机变量) 3.(独立的随机变量)最大值与最小值的分布
Fmax ( z ) = ∏ Fi ( z ),
i =1
p 1 q[ x ] F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∑ pq m 1 = = 1 q [ x ] = 1 (1 p)[ x ] 1 q m =1 其中,[x]为 x 的整数部分. 其中, 为 的整数部分.
8
(
)
当 x ≥ 1 时,
4 自动生产线在调整以后出现废品的概率为 p (0<p<1), 生产过程中出现废品时立即重新调整, 生产过程中出现废品时立即重新调整 求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布. 求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布 设随机变量X表示自动生产线 解 设随机变量 表示自动生产线 : 在两次调整之间生产的合格品数, 在两次调整之间生产的合格品数, 的所以可能取值:0,1,2,…,n,…. 则X的所以可能取值 的所以可能取值

3 4
2
1
2
exp
z 2
1
(
z
1)
3 4
.
fZ (z)
2
1
2
exp
0,
z 2
1
(
z
1)
3 4
,
z 1,
其他.
解：P(|
X
|
10)
=
Φ
10 - 7.5 10
-
Φ
-10 - 7.5 10
= Φ0.25 - Φ-1.75
= Φ0.25 -[1- Φ1.75]
= 0.5586
设 A 表示进行 n 次独立测量至少有一次误 差的绝对值不超过10米.
P( A) = 1- (1- 0.5586)n > 0.9
n>3 所以至少要进行 4 次独立测量才能满足 要求.
0.5762 0.001 0.064146
0.008983.
(2)此种电子元件损坏时，电源电压在200~240伏 的概率.
设随机变量 X 的分布函数为
8. 且P( X 2) 1 .
2
F(x
(1)试确定常数 a, b.
(2)求 Y = X2 的概率分布.
)
0,
a,
2 3
a
x 1, 1 x 1, a, 1 x 2, b, x 2.
第二章 习题课
1.
设
F1
(
x
),
F2
(
x
)为随
机
变量X
1
,
X
的分
2
布
函数.
为了使F ( x) aF1( x) bF2 ( x)为一分布函数,

第二章 （证明题略）练习2-1练习题1. 2. 3. 见教材P259页解答。

4．解：X: 甲投掷一次后的赌本。

Y ：乙……… 21214020p x 21213010Y p⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=40,14020,2120,0)(F ~x x x x x X ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=30,13010,2110,0)(F ~Y x x x y Y5.解（1）∑∑∑∑=====⇒=⇒=⇒==10011001100110012112121)(i ii i i i ia a a i x p（２）31211112112121)(1111=⇒=--⇒=⇒=⇒=⇒==∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=a a a a ai x p i i i i i i i6.解 21 51 101512 0 25X --p 7．解（１）X:有放回情形下的抽取次数。

P （取到正品）＝107C C 11017=P （取到次品）＝103 107)103( 107)103( 107103,107i 3 2 1X 1-i 2 ⋅p（２）Y:无放回情形下。

778192103 87 92103 97 103 1074 3 2 1 Y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅p8．解54511)5(1)3(1)3P(=-=-=-=-≤-=->X p X p X 542)P(X 0)P(X )2()33()3X P(==+=+-==<<-=<X p X p 107)5()2()3()1()21P(2)1()21X P(=-=+==-<+>=-<++>+=>+X p X p X p X p X X p9．解（１）根据分布函数的性质11)1()(2lim 1lim 1=⇒=⇒=++→→A Ax F x F x x(2))5.0()8.0()8.05.0(F F X P -=≤<225.08.0-=＝0.3910．解：依据分布满足的性质进行判断： （１）+∞<<∞-x单调性：+∞<<<⇒<x x F x F x x 0).()(2121在时不满足。

第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。

故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。