2014届高考数学理科,大纲版一轮复习配讲义套课件：29函数的应用共31张

第9讲函数的应用【2014年高考会这样考】1．考查二次函数模型的建立及最值问题．2．考查分段函数模型的建立及最值问题．3．考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题．4．合理选择变量，构造函数模型，求两变量间的函数关系式，从而研究其最值.对应学生34考点梳理1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝ax＋b(a≠0)；(2)反比例函数模型：y＝kx(k≠0)；(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(4)指数函数模型：y＝N(1＋p)x(x>0，p≠0)(增长率问题)；(5)对数函数模型y＝b log a x(x>0，a>0且a≠1)；(6)幂函数模型y＝x n；(7)y＝x＋ax型(x≠0)；(8)分段函数型．2．三种函数模型图象与性质比较一个防范 特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 四个步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质，初步选择模型；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到实际问题，检验结果的实际意义，给出结论．考点自测1．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了获得最大利润，每个售价应定为( )．A ．95元B ．100元C ．105元D ．110元解析 设定价为(90＋x )元，则每件商品利润为90＋x －80＝(10＋x )(元)，利润y ＝(10＋x )(400－20x )＝20(x ＋10)·(20－x )＝－20(x －5)2＋4 500，当x ＝5时，利润最大，故售价定为95元．答案 A2．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟后甲桶中的水只有a 8，则m 的值为( )．A ．7B ．8C ．9D ．10解析 令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.答案 D3．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再慢慢走余下的路程，图中纵坐标表示离学校的距离s，横坐标表示出发后的时间t，则如图所示的四个图形中较符合该学生走法的是()．解析纵轴表示离学校的距离，排除A，C，开始跑步，后慢慢走，说明函数开始下降较快，后来下降较慢．答案 D4．(2011·湖北)里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lg A9－lg 0.001＝9解得A9＝106，同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．答案610 0005．(人教A版教材习题改编)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．解析已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为y＝a＋ar＝a(1＋r)，2期后本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，3期后本利和为y＝a(1＋r)3，…x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N*答案y＝a(1＋r)x，x∈N*对应学生35考向一 一次函数、二次函数模型【例1】►据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．[审题视点] 正确理解s 的意义及函数v ＝f (t )的图象是解答此题的关键，该函数的定义域即风暴发生的时间由函数v ＝f (t )的图象确定，即0≤t ≤35. 解 (1)由图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12，∴s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 32t 2，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈(10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650， t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650.解得t 1＝30，t 2＝40.∵20<t ≤35，∴t ＝30，∴沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．1.在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)．2．当两变量之间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数则可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起，要注意各段变量的范围，特别是端点．【训练1】 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )．前30天价格为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格为g (t )＝45(31≤t ≤50，t∈N )．(1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系；(2)求日销售额S 的最大值．解 (1)根据题意，得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (－2t ＋200)⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N 45(－2t ＋200)，31≤t ≤50，t ∈N＝⎩⎨⎧－t 2＋40t ＋6 000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t ≤50，t ∈N . (2)①当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400，∴当t ＝20时，S 的最大值为6 400；②当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9 000为减函数，∴当t ＝31时，S 的最大值为6 210.∵6 210<6 400，∴当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400. 考向二 指数函数模型【例2】►有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V m 3，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为r m 3.现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合．用g (t )表示某一时刻t 每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为在时刻t 时的湖水污染质量分数．已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g (t )＝p r ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (0)－p r e －r V t (p ≥0)，其中g (0)是湖水污染的初始质量分数．(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；(2)求证：当g (0)<p r 时，湖泊的污染程度将越来越严重；(3)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时(即污染停时)污染水平的5%?[审题视点] 本题信息量大，解析式较繁，需要考生有较强的阅读理解能力和计算能力，同时，对题目的转化尤为重要，(2)中即证明g (t )递增；(3)中转化为解方程即可．(1)解 设0≤t 1<t 2，∴g (t )为常数，∴g (t 1)＝g (t 2)，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (0)－p r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫e －r V t 1－e －r V t 2＝0.∴g (0)＝p r .(2)证明 设0<t 1<t 2，则g (t 1)－g (t 2)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (0)－p r ·(e －r V t 1－e －r V t 2) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (0)－p r ·e r V t 2－e r V t 1e r V (t 1＋t 2). ∵g (0)－p r <0，t 1<t 2，∴g (t 1)<g (t 2)．故湖泊污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重．(3)解 污染源停止，即p ＝0，此时g (t )＝g (0)·e －r V t .设要经过t 天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.即g (t )＝5%·g (0)，即有5%·g (0)＝g (0)·e －r V t .由实际意义知g (0)≠0，∴120＝e －r V t .∴t ＝V r ln 20，即需要V r ln 20天时间．1.指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示；2．应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．3．y ＝a (1＋x )n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解．【训练2】某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？解 (1)设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ kt ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a ，t >1. 当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a ＝4，得a ＝3.则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.25得⎩⎨⎧ 0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧ t >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25.解得116≤t ≤5，因此服药一次后治疗有效的时间是5－116＝7916小时． 考向三 函数y ＝x ＋a x模型【例3】►上海某玩具厂生产x 万套世博会吉祥物海宝所需成本费用为P 元，且P ＝1 000＋5x ＋110x 2，x ∈(0,200]，而每万套售出价格为Q 元，其中Q ＝a x ＋b (a >5 000，b >5)．(1)该玩具厂生产多少万套吉祥物时，使得每万套成本费用最低？(2)若产出的吉祥物能全部售出，产量多大时，厂家所获利润最大？[审题视点] 用基本不等式求最值，注意等号成立的条件．解 (1)P x ＝1 000＋5x ＋110x 2x ＝1 000x ＋x 10＋5≥25(当且仅当x ＝100时，取等号)，∴生产100万套时，每万套成本费用最低．(2)由题设，利润f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b x －(1 000＋5x ＋110x 2)＝－110x 2＋(b －5)x ＋a －1 000＝－110[x －5(b －5)]2＋a －1 000＋52(b －5)2，x ∈(0,200]．当5(b －5)≤200，即5<b ≤45时，[f (x )]max ＝f [5(b －5)]＝52(b －5)2＋a －1 000，∴当产量为(5b －25)万套时，利润最大．当b >45时，函数f (x )在(0,200]上是增函数，∴当产量为200万套时，[f (x )]max ＝200b ＋a －6 000.对于y ＝x ＋a x (a >0)类型的函数最值问题，特别要注意定义域问题，可考虑用均值不等式求最值，或利用函数的单调性求最值．【训练3】 (2010·湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．解(1)由已知条件C(0)＝8，则k＝40，因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋8003x＋5(0≤x≤10)．(2)f(x)＝6x＋10＋8003x＋5－10≥2 (6x＋10)8003x＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x＋10＝8003x＋5即x＝5时等号成立．所以当隔热层为 5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．对应学生36规范解答2——函数建模及函数应用问题【命题研究】从近三年的高考试题来看，建立函数模型解决实际问题是高考的热点，题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力．预测2014年高考仍将以函数建模为主要考点，同时考查利用导数求最值问题．【真题探究】►(本小题满分12分)(2011·江苏)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[教你审题] 解决本题的关键是根据条件将侧面积和容积表示成x 的函数，然后根据二次函数的最值求法和导数法求解．[规范解答] 设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm.由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x 2＝2(30－x )(0<x <30)．(2分) (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800，(4分)所以当x ＝15时，S 取得最大值．(6分)(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，(8分)V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.(9分)当x ∈(0,20)时，V ′>0；当x ∈(20,30)时，V ′<0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．(11分)此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.(12分)[阅卷老师手记] (1)在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，但应注意结果与实际情况相符合． (2)用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点．解函数应用题的一般程序是：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文学语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学解，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．【试一试】 在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支 2 000元． Z&xx&k(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解 设该店月利润余额为L 元，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，①由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2P ＋50，14≤P ≤20，－32P ＋40，20<P ≤26， 代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (－2P ＋50)(P －14)×100－5 600 (14≤P ≤20)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32P ＋40(P －14)×100－5 600(20<P ≤26)，(1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元；当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元．故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2)设可在n 年内脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20.即最早可望在20年后脱贫．对应学生241A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·成都调研)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为 ( )．解析 由题意可得y ＝(1＋10.4%)x .答案 D2．(2013·青岛月考)某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )．A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元 解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.答案 A3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为( )． A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元解析 依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，总利润S ＝L 1＋L 2，则总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15(x －10.2)2＋0.15×10.22＋30(x ≥0)，∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．答案 B4．(2013·太原模拟)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析 由题图可得营运总利润y ＝－(x －6)2＋11，则营运的年平均利润y x ＝－x－25x ＋12，∵x ∈N *，∴y x ≤－2 x ·25x ＋12＝2，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时取“＝”．∴x ＝5时营运的年平均利润最大．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x －2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．解析 依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x －2，因此，当y ＝14时，由14＝2x －2，解得x ＝4.答案 46．如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2cm 的边，下、左、右方都空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．解析 设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S max ＝486. 答案 30 cm 、20 cm三、解答题(共25分)7．(12分)为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x (分)与通话费y (元)的关系分别如图①、②所示．(1)分别求出通话费y 1，y 2与通话时间x 之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？解 (1)由图象可设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B (30,35)，C (30,15)分别代入y 1，y 2得k 1＝15，k 2＝12.∴y 1＝15x ＋29，y 2＝12x .(2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623.当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x <9623 时，y 1>y 2，即使用“便民卡”便宜；当x >9623时，y 1<y 2，即使用“如意卡”便宜．8．(13分)(2013·济宁模拟)某单位有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈N *)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 500万元(a >0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？解 (1)由题意得：10(1 000－x )(1＋0.2x %)≥10×1 000，即x 2－500x ≤0，又x >0，所以0<x ≤500.即最多调整500名员工从事第三产业．(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 500x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000－x )(1＋0.2x %)万元，则10⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 500x ≤10(1 000－x )(1＋0.2x %)，所以ax －3x 2500≤1 000＋2x －x －1500x 2，所以ax ≤2x 2500＋1 000＋x ，即a ≤2x 500＋1 000x ＋1恒成立，因为2500x ＋1 000x ≥2 2x 500×1 000x ＝4，当且仅当2x 500＝1 000x ，即x ＝500时等号成立．所以a ≤5，又a >0，所以0<a ≤5，即a 的取值范围为(0,5]．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·潍坊联考)一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x ，y剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，记y ＝f (x )，则y ＝f (x )的图象是 ( )．解析 由题意得2xy ＝20，即y ＝10x ，当x ＝2时，y ＝5，当x ＝10时，y ＝1时，排除C ，D ，又2≤x ≤10，排除B.答案 A2．(2011·湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t 30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M (60)＝( )． A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2太贝克D ．150太贝克解析 由题意M ′(t )＝M 02－t 30⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln 2， M ′(30)＝M 02－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln 2＝－10ln 2， ∴M 0＝600，∴M (60)＝600×2－2＝150.答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·阜阳检测)按如图所示放置的一边长为1的正方形P ABC 沿x 轴滚动，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y＝f (x )，则y ＝f (x )在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为________．解析 将P 点移到原点，开始运动，当P 点第一次回到x 轴时经过的曲线是三段首尾相接的圆弧，它与x 轴围成的区域面积为π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋1＋π4＝π＋1. 答案 π＋14．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km. 解析 由已知条件y ＝⎩⎨⎧ 8，0<x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8，由y ＝22.6解得x ＝9.答案 9三、解答题(共25分)5．(12分)(2011·湖南)如图，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向做匀速度移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；②其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量．当移动距离d ＝100，面积S ＝32时，(1)写出y 的表达式；(2)设0<v ≤10,0<c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．解 (1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v －c |＋12，故y ＝100v ⎝ ⎛⎭⎪⎫320|v －c |＋12＝5v(3|v －c |＋10)． (2)由(1)知，当0<v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝5(3c ＋10)v－15； 当c <v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝5(10－3c )v＋15. 故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5(3c ＋10)v －15，0<v ≤c ，5(10－3c )v ＋15，c <v ≤10.①当0<c ≤103时，y 是关于v 的减函数，故当v ＝10时，y min ＝20－3c 2.②当103<c ≤5时，在(0，c ]上，y 是关于v 的减函数；在(c,10]上，y 是关于v的增函数．故当v ＝c 时，y min ＝50c. 6．(13分)(2013·徐州模拟)某学校要建造一个面积为10 000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD 和分别以AD 、BC 为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．(1)设半圆的半径OA ＝r (米)，设建立塑胶跑道面积S 与r 的函数关系S (r )；(2)由于条件限制r ∈[30,40]，问当r 取何值时，运动场造价最低？最低造价为多少？(精确到元)解 (1)塑胶跑道面积S ＝π[r 2－(r －8)2]＋8×10 000－πr 22r ×2 ＝80 000r ＋8πr －64π.∵πr 2＜10 000，∴0＜r ＜100π.(2)设运动场的造价为y 元， y ＝150×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －64π＋30×⎝ ⎛10 000－80 000r)－8πr ＋64π＝300 000＋120×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －7 680π.令f (r )＝80 000r ＋8πr ，∵f ′(r )＝8π－80 000r 2， 当r ∈[30,40]时，f ′(r )＜0， ∴函数y ＝300 000＋120×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －7 680π在[30,40]上为减函数．∴当r ＝40时，y min ≈636 510，即运动场的造价最低为636 510元.。

2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设103iz i=+，则z 的共轭复数为 （ ）A ．13i -+B ．13i --C ．13i +D ．13i -2.设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =I （ ）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)-D ．(1,0]-3.设sin33,cos55,tan35,a b c =︒=︒=︒则 （ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>4.若向量,a b r r 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥r r r r r r r 则b =r（ ）A ．2BC ．1D ．25.有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6.已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F 2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为 （ ）A ．22132x y += B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y +=7.曲线1x y xe -=在点（1,1）处切线的斜率等于（ ）A ．2eB ．eC ．2D ．18．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A ．814πB ．16πC ．9πD ．274π9.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）A ．14B ．13 C．4 D．310.等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于 （ ）A ．6B ．5C ．4D ．311.已知二面角l αβ--为60︒，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，135ACD ∠=︒，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ） A ．14 BCD ．1212.函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()y f x =的反函数是（ ）A ．()y g x =B ．()y g x =-C ．()y g x =-D ．()y g x =--第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.8⎛⎫的展开式中22x y 的系数为 .（用数字作答）14.设,x y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为 .15．直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .16.若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ是减函数，则a 的取值范围是 . 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3cos 2cos a C c A =，1tan 3A =，求B .18. （本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤. （I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===.（I ）证明：11AC A B ⊥；（II ）设直线1AA 与平面11BCC B1A AB C --的大小.120. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.（I ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（II ）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望. 21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ =. （I ）求C 的方程；（II ）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程.22. （本小题满分12分） 函数()()()ln 11axf x x a x a=+->+. （I ）讨论()f x 的单调性；（II ）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+.2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科答案1. D ．2. B.3. C ．4. B ．5. C ．6. A ．7. C ．8．A ．9. A ．10.C ． 11. B.12. D. 13. 70. 14.5. 15．43． 16.(],2-∞． 17.解：由题设和正弦定理得13sin cos 2sin cos ,3tan cos 2sin .tan ,cos 2sin ,3A C C A A C C A C C =\==\=Q ()()1tan tan tan ,tan tan 180tan 1,2tan tan 1A C CB AC A C A C +轾\=\=?+=-+==-臌-又0180,135B B?<癨??．18. 解：（I ）由110a =，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数．又4n S S ≤，故450,0,a a ≥≤于是1030,1040d d +≥+≤，解得10532d -＃-，因此3d =-，故数列{}n a 的通项公式为133n a n =-．（II ）()()11111331033103133n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭，于是()12111111111137104710313331031010103n n n T b b b n n n n L L ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．19. 解：解法一：（I ）1A D ^平面ABC ，1A D Ì平面11AAC C ，故平面11AAC C ^平面ABC ．又BC AC ^，BC \^平面11AAC C ．连结1AC ，∵侧面11AAC C 为菱形，故11AC AC ^，由三垂线定理得11AC A B ^；（II ）BC ^平面11,AAC C BC Ì平面11BCC B ，故平面11AAC C ^平面11BCC B ．作11,A E CC E ^为垂足，则1A E ^平面11BCC B ．又直线1AA ∥平面11BCC B ，因而1A E 为直线1AA与平面11BCC B 的距离，1A E =．∵1AC 为1ACC Ð的角平分线，故11A D A E ==．作,DF AB F ^为垂足，连结1A F ，由三垂线定理得1A F AB ^，故1A FD Ð为二面角1A AB C--的平面角．由1AD =得D 为AC 的中点，111tan 2A DAC BC DF A FD ABDF´=??=∴二面角1A AB C --的大小为1解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -．由题设知1A D 与z 轴平行，z 轴在平面11AAC C 内． （I）设()1,0,A a c ，由题设有()()2,2,0,0,0,1,0,a A B £则()()()()()11112,1,0,2,0,0,2,0,,4,0,,,1,.AB AC AA a c AC ACAA a c BA a c =-=-=-=+=-=-u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r由12AA =u u u r 得2，即2240a a c -+=（①）．于是22111140,AC BA a a c AC A B ?-+=\^u u u u r u u u r ．（II ）设平面11BCC B 的法向量(),,,m x y z =u r则1,,m CB m BB ^^u r u u u r u r u u u r即10,0m CBm BB ??u r u u u ru r u u u r ．()0,1,0,CB =u u u rQ()112,0,,BB AA a c ==-u u u r u u u r故0y =，且()20a xcz -+=．令x c =，则()2,,0,2z a m c a =-=-u r，点A到平面11BCC B 的距离为cos ,CA m CA m CAcm×?==u u u r u r u u u r u r u u u r u r ．又依题设，点A 到平面11BCC B 的距离为c \=3a =（舍去）或1a =．于是(11,0,AA =-u u u r．设平面1ABA 的法向量(),,n p q r =r，则1,n AA n AB ^^r u u u rr u u u r ，即10,0,0n AA n ABp ??\-+=r u u u rr u u u r，故且20p q -+=．令p =则1,q r ==)n =r．又()0,0,1p =u r为平面ABC 的法向量，故1cos ,4n p n p n p ⋅==⋅r u rr u r r u r ，∴二面角1A AB C --的大小为1arccos 4．20. 解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙恰有i 人需使用设备，0,1,2i =；B 表示事件：甲需使用设备；C 表示事件：丁需使用设备；D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．（I ）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅，又()()()()220.6,0.4,0.5,0,1,2.ii P B P C P A C i P D ===⨯=∴=()()()()()()()()()()()()1221221220.31.P A B C A B A B C P A B C P A B P A B C P A P B P C P A P B P A P B P C ⋅⋅+⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅+⋅⋅=++=（II ）X 的可能取值为0，1，2，3，4．()()()()()()()200010.60.510.40.06P X P B A C P B P A P C ==⋅⋅==-⨯⨯-=，()()()()()()()()()()()200100110.60.5P X P B A C B A C B A C P B P A P C P B P A P C P B P A P C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=⨯()()()()()()22210.410.60.50.410.620.510.40.25,4P X P A B C ⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯⨯-===⋅⋅=()()()()()()()(220.50.60.40.06,340.25,210P A P B P C P X P D P X P X P X =⨯⨯===-====-=()()()13410.060.250.250.060.38.P X P X P X -=-=-==----=∴数学期望()()()()()00112233440.2520.3830.2540.062.EX P XP XP XP XP X=?+?+?+?+?=+???21. 解：（I ）设()0,4Q x ，代入22y px =，得00888,,.22p p x PQ QF x p p p=\==+=+．由题设得85824p p p+=?，解得2p =-（舍去）或2p =，∴C 的方程为24y x =；（II ）由题设知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为()10x my m =+?，代入24y x =得2440y my --=．设()()1122,,,,A x y B x y 则124,y y m +=124y y =-．故AB 的中点为()()221221,2,41D m m AB y m +=-=+．又l ¢的斜率为,m l ¢-\的方程为2123x y m m=-++．将上式代入24y x =，并整理得()2244230y y m m +-+=．设()()3344,,,,M x y B x y 则()234344,423y y y y m m+=-=-+．故MN的中点为(223422412223,,m E m MN y m mm +骣÷ç++-=-=÷ç÷ç桫由于MN 垂直平分线AB ，故,,,A M B N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而22211,44AB DE MN +=即()()()2222222244121224122m m m m m m m ++骣骣鼢珑+++++=鼢珑鼢珑桫桫，化简得210m -=，解得1m =或1m =-．所求直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=．22. 解：（I ）()f x 的定义域为()()()()()2221,,1x x a a f x x x a ⎡⎤--⎣⎦'-+∞=++．（i ）当12a <<时，若()21,2x a a ∈--，则()()0,f x f x '>在()21,2a a --上是增函数；若()22,0,x a a ∈-则()()0,f x f x '<在()22,0aa -上是减函数；若()0,,x ∈+∞则()()0,f x f x '>在()0,+∞上是增函数．（ii ）当2a =时,()()0,0f x f x ⅱ?成立当且仅当()0,x f x =在()1,-+?上是增函数．（iii ）当2a >时，若()1,0x ?，则()()0,f x f x '>在是()1,0-上是增函数；若()20,2x a a ∈-，则()()0,f x f x '<在()20,2a a -上是减函数；若()22,x a a ∈-+∞，则()()0,f x f x '>在()22,a a -+∞上是增函数．（II ）由（I ）知，当2a =时，()f x 在()1,-+?是增函数．当()0,x ??时，()()00f x f >=，即()()2ln 102xx x x +>>+．又由（I ）知，当3a =时，()f x 在[)0,3上是减函数；当()0,3x Î时，()()00f x f <=，即()()3ln 1033xx x x +<<<+．下面用数学归纳法证明2322n a n n <?++． （i ）当1n =时，由已知1213a <=，故结论成立；（ii ）假设当n k =时结论成立，即2322k a k k <?++．当1n k =+时，()()112323223322ln 1ln 1,ln 1ln 12323232322k k k k k k a a a a k k k k k k ++创骣骣++鼢珑=+>+>==+?<=鼢珑鼢珑桫桫++++++++，即当1n k =+时有2333k a k k <?++，结论成立．根据（i ）、（ii ）知对任何n N *Î结论都成立．。

2.10函数的综合应用典例精析题型一抽象函数的计算或证明【例1】已知函数f （x)对于任何实数x，y都有f（x＋y)＋f（x－y）＝2f(x）f（y)，且f(0)≠0.求证：f(x）是偶函数。

【证明】因为对于任何实数x、y都有f（x＋y)＋f（x－y)＝2f(x)f(y），令x＝y＝0，则f（0)＋f(0）＝2f(0）f(0），所以2f（0）＝2f(0）f(0），因为f(0)≠0，所以f(0）＝1,令x＝0，y＝x，则f（0＋x)＋f(0－x)＝2f（0）f （x），所以f（x)＋f(－x）＝2f（x），所以f(－x)＝f(x),故f(x）是偶函数。

【点拨】对于判断抽象函数的奇偶性问题常常采用“赋值法”探索求解途径；判断或证明抽象函数的奇偶性单调性时,既要扣紧函数奇偶性单调性的定义，又要灵活多变,以创造条件满足定义的要求.【变式训练1】已知函数f(x）对任意的x,y有f（x＋y）＝f（x）＋f(y），且f（x)的定义域为R，请判定f(x）的奇偶性。

【解析】取x＝y＝0，得f（0）＝0。

取y＝－x,得f(－x）＝－f（x)，所以f（x)为奇函数.题型二函数与导数的综合应用【例2】已知函数f(x）＝x3＋2x2－ax＋1.（1）若函数f（x)在点（1，f（1））处的切线斜率为4,求实数a的值；（2)若函数g(x)＝f′（x)在区间（－1,1)上存在零点，求实数a的取值范围.【解析】由题意得g(x)＝f′(x)＝3x2＋4x －a 。

（1)f′(1）＝3＋4－a ＝4,所以a ＝3.(2）方法一:①当g （－1)＝－a －1＝0,即a ＝－1时,g （x)＝f′(x)的零点x ＝－错误!∈（－1,1）；②当g （1)＝7－a ＝0，即a ＝7时，f′（x ）的零点x ＝－错误!∉(－1，1)，不合题意；③当g （1）g （－1）＜0时，－1＜a ＜7； 当⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-><-<-≥+=∆0)1(,0)1(,1321,0)34(4g g a 时，－错误!≤a＜－1。