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第二章 有限差分法初步-1

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有限差分法

有限差分法

两端都要给定边界条件（双程坐标） 。
9
(C) 双曲型方程：适当的边界条件和初始条件，与波动传 播的性质有关 如：一维对流方程
∂u ∂u +c =0 ∂t ∂x u (x ,0) = f (x )
解为 u (x , t ) = f (x − ct ) ，代表一个向右(c > 0 时)或向左 ( c < 0 时)传播的波形。必须在波形传来的一侧提供边界条 件（单程坐标） 。
10
不适定的例子：
utt + u xx = 0 u (x ,0) = u t (x ,0) = 0
拉普拉斯方程＋非闭域边界条件，解为 u (x , t ) ≡ 0 。 然而，若定解条件为 u (x ,0) = 0, ut (x ,0) =
u (x , t ) = 1 sin nx ，解为 n
1 sinh nt sin nx n
(
)
n n um+1 = um −
cτ n n um +1 − um −1 2h
(
)
设计算到第 n 步时的累积误差
n ~n εn = 计算值um − 差分法精确解um m
反之
n ~n um = εn + um m
15
则第 n+1 步的计算值
~n ~ n cτ u n − u n ~ ~ um+1 = um − m +1 m −1 2h cτ n cτ n n n = um − um +1 − um −1 + εn − εm +1 − εn −1 m m 2h 2h n = um+1 + εn +1 m
uin +1 − uin −1 uin+1 − uin +1 − uin −1 − uin−1 −α =0 Lh u = τ h2 ατ 2 ⎛ ∂ 2u ⎞ τ 2 ⎛ ∂ 3u ⎞ Ti = Lh u − Lu (x i , t n ) = 2 ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ − L 截断误差 6 ⎜ ∂t ⎟i h ⎜ ∂t ⎟i ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

第二章 有限差分法

第二章 有限差分法

(x
xi )3
1 4 f 4! x4
(x
xi )4
在式 2.2.1 中，分别取 x xi h, x xi h ,
得
2.2.1
f h2 2 f h3 3 f h4 4 f
fi1, j
fi, j
h( ) x
2
x2
6
x3 24 x4
fi1, j
fi,
j
h( f x
)
h2 2
2 f x2
h3 6
x
f y
fi1, j1
fi1, j1 fi1, j1 4hl
fi1, j1
2.2.14
4 f x 2 y 2
2 x2
2 f
y 2
1 h2l 2
( fi1, j1 2 fi1, j
fi1, j1 2 fi, j1 4 fi, j
2 fi, j1 fi1, j1 2 fi1, j fi1, j1 )
3 f y3
fi2, j 2 fi1, j 2 fi1, j 2l 3
fi2, j
2.2.12
4 f y 4
fi2, j 4 fi1, j 6 fi, j 4 fi1, j l4
fi2, j
另外，利用式样2.2.6 至 2.2.9， 可以导出混合导数的中心差分公 式
2.2.13
2 f xy
位于V内的结点称为内结点，位于V和S以外的结点称为外部结点，如图2-1所示。
除特殊情况外，我们一般只考虑位于V内和S上（简记为V+S）的结点，即内部结
点和边界结点。结点 xi , yi 简记为i, j
，函数f在此点的值简记为fi, j 。
y
外部虚拟结点

有限差分法的原理与计算步骤

有限差分法的原理与计算步骤

一、有限差分法的原理与计算步骤
1.原理
基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点;把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似;把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。

然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。

2. 计算步骤
在采用数值计算方法求解偏微分方程时，若将每一处导数由有限差分近似公式替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差分法。

有限差分法求解偏微分方程的步骤如下：
（1）区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个格点组成的网格；
（2）近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数；
（3）逼近求解。

换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程
二、有限差分法的程序流程图。

有限差分基础白

有限差分基础白

实际问题往往是上述三类边界条件的组合。
7.4 稳态传热问题的有限差分方程
对于多变量函数T=T( x, y)，涉及到求一阶和二阶偏导 数的近似值。 若把y看作常数，则函数T对于x的偏导数就是T对x的普 通导数。 同样，若把x看作常数，则函数T对于y的偏导数就是T 对y的普通导数。 因此，可以直接应用前面介绍的所有导数的概念和公 式。当然，在应用前面的公式对x求偏导时，必须保持 y = y0。
1. 内节点差分方程
首先只考察内部节点。
图7-4所示是直角坐标系下一个三 维导热区域中的网格点P及其六 个相邻点，它们分别记为N，S， E，W，I，O。令网格间距Δx= Δy=Δz =Δ。
稳态基本方程为
2T 2T 2T H 0
x 2 y 2 z 2
图7-4 在均匀网格的 三维直角坐标中典型 点P及其六个相邻点
1. 二维非稳态热传导方程
2T 2T H 1 T
x2 y2 t
(1) 离散化
• 几何区域离散化。假定区域离散化后，距离步长Δx=xi+1-xi, Δy=yj+1-yj，且Δx=Δy。显然，xi=iΔx；yj=jΔy，i,j=0,1,2,…。
• 时间域离散化。用n（n=0,1,2,…）将时间区域t≥0离散化，两 个时刻的间隔（时间步长）Δt=tn+1-tn，tn=nΔt。
0
其中：a 称为导温系数或扩散系数
c
（7-1）
存在初值的一维热传导问题，可以用下式表示
u t
a
2u x2
0
u(x,0) f (x)
x , t 0
x
（7-2）
在给定条件下，上述偏微分方程有唯一确定的解。
(1) 定解区域的离散化 用网格线将定解区域离散化为节点集，是将微分方程 定解问题离散化为差分方程的基础。

有限差分法初步

有限差分法初步
有限差分法初步
• 引言 • 有限差分法的原理 • 有限差分法的应用 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点 • 结论与展望
01
引言
有限差分法的定义
有限差分法是一种数值计算方法，通 过将偏微分方程离散化为差分方程， 从而求解偏微分方程的近似解。
近似表示微 分，从而将微分方程转化为差分方程。
有限差分法。
COMSOL Multiphysics实现
COMSOL Multiphysics是一款基于有限元法的多物理场仿真软件，也支持有限差分法。 COMSOL提供了友好的用户界面和丰富的物理模型库，使得有限差分法的实现更加便
捷。
有限差分法的并行计算实现
MPI实现
MPI（Message Passing Interface）是一种并行计算的标准，支持多个处理 器之间的通信。通过MPI，可以实现有限差分法的并行计算，提高计算效率。
自适应网格技术
根据解的特性自适应地调整离散点间距，以 提高计算精度和效率。
并行化与优化
通过并行计算和算法优化等技术提高有限差 分法的计算效率。
与其他方法的结合
将有限差分法与其他数值方法或物理模型相 结合，以处理更复杂的问题。
06
结论与展望
结论
01
有限差分法是一种数值计算方 法，通过离散化连续问题为差 分方程，进而求解数值近似解 。
有限差分法原理简单，易于理解和实现，不需要复杂的数学工 具。
有限差分法可以方便地进行并行计算，提高计算效率。
有限差分法可以应用于各种不同类型的偏微分方程，具有广泛 的适用性。
有限差分法的缺点
精度问题
由于有限差分法是一种离散化方法，其精度受到离散点间距的限制， 可能导致计算结果不够精确。

3第二章-有限差分方法基础

3第二章-有限差分方法基础

2.1.1 基本方程和定解问题
u t
2u x2
( 0)
求解域： (x, t) [0,1][0, ]
(2.1.1)
初始条件： u(x, 0) f (x)
边界条件： u(0, t) a(t), u(1, t) b(t)
(2.1.2)
方程(2.1.1)和初边条件(2.1.2)构成了一个适定的定解问题。
根据数学分析中的知识，我们知道
2u (x,t) lim u(x x,t) 2u(x,t) u(x x,t)
x2
x0
x2
所以，二阶导数可以近似为
2u
x
2
n
k
un k 1
2ukn x2
ukn
un k 1
2ukn
un k 1
称为二阶中心差分。
容易证明：
un k 1
2ukn
un k 1
t
)
ut
(
x,
t
)
lim
t 0
u(
x,
t
t
)u 2t
(
x,
t
t
)
其中，lim 后面的项称为差商(difference quotient)。 t 0
当t足够小时，可以用差商来近似导数。
即：
u(x,t t) u(x,t)
ut (x,t)
t
u(x,t) u(x,t t)
ut (x,t)
t
u(x,t t) u(x,t t)
The Elements of Computational Fluid Dynamics
第二章 有限差分方法基础
§2.1 有限差分方法概述 §2.2 导数的数值逼近方法 §2.3 差分格式的性质 §2.4 发展方程的稳定性分析

有限差分法-1

有限差分法-1

H Tyy y
T i, j1 2
H i, j H i, j1 y
T
Hi, j1 Hi, j T
H i, j H i, j1
y
Tyy
H y
i, j1 2
y
i, j1
2
y
y
y
Tyy
H y
T i, j1 2
H i, j1 H i, j y 2
T i, j1 2
H i, j H i, j1 y 2
用差商 Hi1, j Hi, j 代替导数 H 时，O(Δx)
x
x i, j
是被舍去的，所产生的误差是O(Δx)，叫截断 误差。
由于Δx是一次方，所以也叫一阶误差。
由于沿x方向i+1在i的前面，
因此将 H H i1, j H i, j
x i, j
x
叫前向差商。
由于沿x方向i-1在i的后面，
j
,m1 H i y 2
,
j 1,m 1
1
Ti1, j 2
H i1, j,m H i, j,m x 2
T i, j1 2
H i, j,m H i1, j,m x 2
2
T
i, j1 2
H i, j1,m H i, j,m y 2
T i, j1 2
Hi,
j,m
Hi, y 2
数学模型为：
T H
2H W x 2 x0 H0
因此，对于H(x+Δx)可用泰勒级数展开：
H
x
x,
y
H
x,
y
x
H x
i,
j
x2
2!
2H x 2
i,

第二章有限差分法初步-1

第二章有限差分法初步-1

2!
(x)3 T (x) O(x)4 3!
（2.8）
由式（2.7）可得
T (x x) T (x) T (x) x T (x)
x
2!
O(x)
（2.9）
由式（2.8）可得
T (x) T (x x) T(x) x T(x)
x
2!
O(x)
（2.10）
（2.9）+（2.10），得到
第二章：有限差分法初步
§1 有限差分法基本概念 一、差商与微商
（i）、有限差分的数学基础是用差商代替微商。 有如下两种数学形式：
（i）微商（导数）的定义
若T (x) 是连续函数，则它的导数为：
dT lim T (x x) T (x) lim T （2.1）
dx x0
x
x0 x
T 式（2.1）右边 x
T (x x) T (x)
x
T
(x)
T(x x
x)
T (x x) T (x x) 2x
偏差分析：
（2.6）
将Taylor级数写成：
T (x x) T (x) x
x)
2
O(x)4
（2.7）
3!
Taylor级数还可写成：
T (x x) T (x) xT (x) (x)2 T (x)
长表示为x ，y方向的步长表示为y 。
节点编号：为便于计算，需对节点逐个编号。 常用（i，j） 表示节点位置，其中，i、j是 与网线相对应的正整数。
i，j 的排列：可有不同的方式。 习惯上，与x、y 轴相一致，i 由左而右逐个增长， j 由下而上逐个增长。
但也有，考虑到与矩阵的格式相一致， i 表示行数，
是有限的差商。

《有限差分法初步》课件

《有限差分法初步》课件

改进方向
高阶有限差分法
通过引入高阶差分方案，可以提高有限 差分法的精度，减少数值误差。
并行算法优化
进一步优化并行算法，提高有限差分 法的计算效率。
自适应网格技术
采用自适应网格技术，根据问题求解 的需要动态地调整网格的密度和分布 ，以提高计算效率和精度。
边界条件处理技术
研究和开发更有效的边界条件处理技 术，减少有限差分法的误差累积。
离散化原理
离散化原理是有限差分法的基础，它通过将连续 的问题离散化，将连续的函数和微分转化为离散 的数值和差分，从而将原问题转化为有限差分方 程组进行求解。
离散化原理的应用范围广泛，可以用于求解微分 方程、积分方程以及偏微分方程等。
离散化原理的关键在于选择合适的离散点，以确 保离散化的结果能够近似反映原问题的真实情况 。
《有限差分法初步》ppt课件
• 引言 • 有限差分法的原理 • 有限差分法的应用 • 有限差分法的实现 • 有限差分法的优缺点01
有限差分法是一种数值计算方法，通过将偏微分方 程离散化，将其转化为差分方程进行求解。
02
它将连续的空间离散为有限个点，并使用离散点的 差分近似表示原方程中的导数。
对学习者在学习过程中可能遇到的问 题进行了详细解答，帮助解决疑惑， 提高学习效果。
展望
深入研究
鼓励学习者在掌握有限差分 法的基础上，进一步探索该 方法的理论和应用，提高自 己的学术水平。
实际应用
提倡将有限差分法应用于实 际问题中，通过实践加深对 该方法的理解和掌握，提高 解决问题的能力。
交流与合作
04
有限差分法的实现
编程语言的选择
Python
Python是一种易于学习且功能强大的 编程语言，适合初学者和科学计算。

《有限差分法初步》课件

《有限差分法初步》课件

4. 三维有限差分法
1
三维有限差分法流程Fra bibliotek解释三维有限差分法的计算流程和步骤。
2
三维热传导方程的有限差分解法
探索如何利用有限差分法解决三维热传导方程。
3
显式法与隐式法
分析三维有限差分法中显式法和隐式法的性能和适用范围。
5. 有限差分法的误差和稳定性分析
1 截断误差
介绍有限差分法中的截断误差及其对计算结 果的影响。
显式法与隐式法
比较一维有限差分法中的显式法和隐式法的优缺点。
一维热传导方程的有限差分解法
探讨如何用有限差分法解决一维热传导方程。
3. 二维有限差分法
二维有限差分法流程
详细介绍二维有限差分法的计算 流程。
二维热传导方程的有限差 分解法
深入研究如何利用有限差分法解 决二维热传导方程。
显式法与隐式法
比较二维有限差分法中的显式法 和隐式法的应用场景。
2 稳定性分析
讨论有限差分法的稳定性问题及其对数值计 算的重要性。
6. 总结
有限差分法应用的优势和不足
总结有限差分法在实际应用中的优点和局限性。
发展前景
展望有限差分法在未来的应用前景和发展方向。
7. 参考文献
1. 引用的相关文献1 2. 引用的相关文献2
有限差分法初步
这是一份关于有限差分法的PPT课件，从引言到有限差分法的具体应用进行 了全面而深入的介绍，希望能够帮助大家更好地理解和应用这一方法。
1. 引言
有限差分法是一种计算数学方法，广泛应用于解决偏微分方程等问题，本节 介绍有限差分法的概述和使用场景。
2. 一维有限差分法
一维有限差分法流程
介绍一维有限差分法的整体流程和步骤。

第二章 有限差分法

第二章 有限差分法

xr
(u x ) r =
ur +1 − u r −1 2h
xr
h % % − 2 u xx x = x = o(h) , (xr < x < xr + h) h % Er = u xx x = x = o(h) , (xr − h < x < xr ) % 2 h2 % − u xxx x = x = o(h 2 ) , (xr −1 < x < xr +1 ) % 6
第二章 有限差分法
不同算子间关系
∆ur = ur +1 − ur = Eur − ur = ( E − 1)ur
∆ = E −1
∇ur = ur − ur −1 = ur − E ur = (1 − E )ur
−1
−1
∇ = 1 − E −1
µ (δ ur ) =
δ ur +1/2 +δ ur −1/2
xr
xr
+L
ux r
ur +1 − ur −1 h2 = - uxxx r +L 2h 3!
第二章 有限差分法
不同形式一阶导数差分公式及其截断误差
ux ux = (u x ) r ≈ = (u x ) r ≈ u ( xr + h) − u ( xr ) u r +1 − ur = h h u ( xr ) − u ( xr − h) ur − ur −1 = h h
xr
h2 + u xx 2!
−L
xr
h3 − u xxx 3!
xr
+L
ux
xr
ux
xr

有限差分法基础

有限差分法基础

有限差分法求解示例
求微分方程：
u x u 0
u x ex u 0
sin x
2 cos x ,0
x
的数值解。
离散网格点
x0 x1 x2 x3
xn-1 xn
差商代替微商
令
h M , xi ih
得到差分格式
ui1
2ui h2
ui1
ui
fi
u0 uM 0
得到的线性方程组
2.针对某一点，用差商近似代替导数
对流方程在 (xi ,点tn )为
n
n
0
t i x i
t
tn1 tn tn1
o
x xi1 xi xi1
t
x
差分方程的建立过程
时间导数用一阶向前差商近似代替：
n
n1 i
in
t i
t
空间导数用一阶中心差商近似代替：
n
n i 1
n i 1
x i
0
0
1.0 100 0
100 0
0
1.5 100 200 -100 100 0
0.5 0.6 0.7
0
00
00
0
00
0
00
100
0.8 0.9 1.0
00
100
0 100 100
100 0
100
-100 200 100
差分法的基本理论
1.相容性
Ti n1
Tin
t x 2
(Ti
n 1
2Tin
Tin1)
37.5 68.8 100
45.3 68.8 100
热传导方程的求解
如仍取 10 2 , x 0.1, 而为缩短计算时间，时间 步长 取t 1.0 ，则最终的差分方程：

有限差分方法基础

有限差分方法基础

2!
3!
4!
（1-14）
f (x x) f (x) f (x) f (x) x f (x) (x)2 f IV (x) (x)3 O((x)4 )
x
2!
3!
4!
f (x) O(x)
（1-15）
11
第一节 差分原理及逼近误差/逼近误差（2/9）
f (x x) f (x) x f (x) (x)2 f (x) (x)3 f (x) (x)4 f IV (x) O((x)5 ),
t i
t
空间导数用一阶中心差商近似替代，即
n
n i 1
n i 1
x i
2x
则在 (xi ,tn )点旳对流方程就可近似地写作
n1 i
n i
n i 1
n i 1
0
t
2x
（2-2） （2-3） （2-4）
25
第二节 差分方程、截断误差和相容性/截断误差（1/6）
按照前面有关逼近误差旳分析懂得，用时间向前差商替代时间导数时旳误差为 O(t) ,
用空间中心差商替代空间导数时旳误差为 O((x)2 )，因而对流方程与相应旳差分方程之间也存在一种误差，它是
Rin O(t) O((x)2 ) O(t, (x)2 )
（2-5）
这也可由Taylor展开得到。因为
(xi , tn t) (xi , tn ) (xi x, tn ) (xi x, tn )
0
t x
（2-1）
23
第二节 差分方程、截断误差和相容性/差分方程（2/3）
xi x0 ix, i 0,1, 2,
tn nt,
n 0,1, 2,
图2-1 差分网格

有限差分法

有限差分法

第2章 有限差分法2.1 引言所有的守恒方程都具有相似的结构，而且都可以看作是输运方程的特殊形式。

本章以一般输运方程在Cartesian 坐标系下的表达式为例来讲述有限差分法。

()φφφρq xx x u j jjj +⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂Γ∂∂=∂∂ (2.1)在上述方程中，除外都认为是已知函数。

2.2 基本概念FD 方法的第一步是离散几何的求解域，也就是说定义数值网格。

在FD 中，网格是局部结构化的，每个网格节点都可以看作是局部坐标系的原点，网格线则是局部坐标系的坐标线。

同族的网格线两两互不相交。

每一个网格节点都可用一组指标唯一的标定。

差分形式的标量守恒方程(2.1)是FD 法的原始方程。

并被近似为以网格节点上的守恒量为未知数的代数方程系统。

代数方程组的解近似为原微分方程的解。

每一个带有未知数的节点都必须有一个代数方程，在节点以及相邻节点上的未知数之间建立联系。

这个代数方程用在接点处用有限差分近似代替偏导数的形式获得。

对于Dirichlet 边界条件，边界上不需要代数方程，，对于其他边界条件，则必须将边界条件离散以得到所需的代数方程。

有限差分的概念是从导数的定义中得到的：x x x x x i i x x i∆-∆+=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂→∆)()(lim 0φφφ (2.2)几种常用的差分格式：向前差分（forward difference ）ii ii x x x --≈∂∂++11φφφ (2.3)向后差分（backward difference ）11----≈∂∂i i i i x x x φφφ (2.4)中心差分（central difference ）1111-+-+--≈∂∂i i i i x x x φφφ (2.5)2.3 一阶导数的近似（2.1） 式中的对流项()xu ∂∂φρ需要对一阶导数进行离散。

2.3.1 Taylor 级数展开法任意的连续函数(x)可在x i 的领域内展开成Taylor 级数()()()()()H x n x x x x x x x x x x x x x in nni ii i i ii i +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-+=φφφφφφ!...!32)(333222(2.6)H 为高阶项，用x i －1，x i ＋1代替x 这些点处的函数值在x i 附近的展开式。

2有限差分法-1-1

2有限差分法-1-1

⎝ ∂x ⎠i, j
Δx
O(x)
=
Δx 2!
⎜⎜⎝⎛
∂2H ∂x 2
⎟⎟⎠⎞i,
j
−
(Δx)2
3!
⎜⎜⎝⎛
∂3H ∂x3
⎟⎟⎠⎞i,
j
+L
用差商 H i+1, j − H i, j
Δx
代替导数 ⎜⎛ ∂H ⎟⎞ ⎝ ∂x ⎠i, j
时，O(Δx)
是被舍去的，所产生的误差是O(Δx)，叫截断 误差。
2 导数的有限差分近似
任意足够光滑的函数f(x)沿x的正向和负向 分别用Taylor级数展开，有
f (x + Δx) =
f (x)+ Δx df
dx
+ (Δx)2
2!
d2 f dx 2
+ (Δx)3
3!
d3 f dx 3
+L
f (x − Δx) =
f (x)− Δx df
dx
+ (Δx)2
2!
d2 f dx 2
3!
⎜⎜⎝⎛
∂3H ∂x3
⎟⎟⎠⎞i, j
+L
两边除以△x，得：
H i−1, j − H i, j Δx
=
−⎜⎛ ⎝
∂H ∂x
⎟⎞ ⎠i, j
+
Δx 2!
⎜⎜⎝⎛
∂2H ∂x 2
⎟⎟⎠⎞i, j
− (Δx)2
3!
⎜⎜⎝⎛
∂3H ∂x3
⎟⎟⎠⎞i, j
+L
其中：
⎜⎛ ∂H ⎟⎞ ( ) = H i, j − H i−1, j + O Δx
∂2H ∂x 2
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2 2 1 1 T T T i , j i 1 , j 2 2 2 2 i , j 1 (y ) (x) (x) (x)
q T T （2.22） i , j 1 i , j 1 2 2 k (y) (y) 1 1
若x y ， q 0，则式（2.22）又被
O(x)
由式（2.8）可得
（2.9）
T ( x) T ( x x) x T ( x) T ( x) x 2!
O(x)
（2.10）
（2.9）+（2.10），得到
T ( x x) T ( x x) (x) T ( x) T ( x) 2x 3!
而用中心差商代替微商，其截断误差是与 同量级的小量；
(x)
2
中心差商的截断误差小于向右差商或向左差商。
（V）二阶差商
上述一阶差商一般仍是x的函数，对它们还可以 求差商。这种一阶差商的差商称为二阶差商， 它是二阶微商的近似，常用向右差商的向左差 商来近似二阶微商，即：
T ( x x) T ( x) T ( x) T ( x x) 2 d T x x 2 x dx
(x) 2 T ( x x) T ( x) xT ( x) T ( x) 2! 3 (x) 4 T ( x) O(x) （2.8） 3!
由式（2.7）可得
T ( x x) T ( x) x T ( x) T ( x) x 2!
2 2
（2.13）
对区域内各个点都成立的，当然对任意一个内节 点（i，j）也成立。
2T 在（i，j）处存在二阶偏微商 x 2 与 i , j
这些二阶偏微商所对应的差商可表示成：
2T y 2 i , j
Ti 1, j 2Ti, j Ti 1, j 2T 2 x 2 (x) i ,j
在问题的提法已经明白之后，差分格 式的构成：
（i） 区域离散法 （ii） 建立区域内差分方程 （iii） 边界条件的差分形式 （vi） 构成差分格式 下面分别予以说明:
1．区域离散化 所谓离散化，就是把几何上连续的区域用一系列网 格线把它划分开。一般说来，网格形式应视几何区 域的不同而不同，对于矩形区域而言，用矩形的网 格，如图 2.2 ，用五条水平网线与五条垂直网线把 矩形区域离散掉。网线与网线的交点称之为“节 点”，节点与节点的距离称之为步长， x 方向的步 y 。 x ，y方向的步长表示为 长表示为
与二阶偏微商的差别为 (x)
2 2 与 (y) 的数量级。
将式（2.18）与（2.19）代入方程（2.13），得
Ti 1, j 2Ti, j Ti 1, j (x)
2

Ti, j 1 2Ti, j Ti, j 1 (y)
2
（2.20）
q 2 2 O(( x) (y ) ) 0 k
节点（i，j）处的温度表示成 Ti , j 。
2．差分方程代替微分方程 在上节我们已对有限差分法的数学基础作了简要 的介绍，说明了如何用差商代替微商，以及由此 带来的误差。这里介绍用差商代替微商的办法来 处理导热方程（2.13），得到相应的差分方程。 方程（2.13）
T T q 2 0 2 k x y
y0
0 y L2
0 x L1
T k h(T T ) x T k q y
（2.14） （2.15） （2.16） （2.17）
x L1 0 y L2
y L2 0 x L1
T 0 x
T Tw
式（2.13）~（2.17）构成定解问题。
成为如下差分形式 ：
k
或
Ti 1, j Ti, j x
h(Ti, j T )
（2.24）
hx hx 1Ti, j Ti 1, j T k k
（i=1；j=2，3，4）
热流边界条件：
T k q y
y20）中去掉 O((x)2 (y)2 ) 项，得到
Ti 1, j 2Ti, j Ti 1, j (x)
2

Ti, j 1 2Ti, j Ti, j 1 (y)
2
（2.21）
q 0 k
（i=2，3，4；j=2，3，4）
式（2.21）被称为对应于方程（2.13）的 差分方程。方程（2.21）被改写成：

在区域内的节点称“内节点”，在边界上的节点称 “边界节点”。图 2.2 所示边界是规则的 ,则节点或 在区域内，或正好落在边界上。
步长: 步长x 或 y 可以是不变的常量，即等步长，也可以 在区域内的不同处是不同的，即变步长。如果区域 内各处的温度梯度变化很大，则在温度变化剧烈处， 网格布得密些；在温度变化不剧烈处，网格布得疏 些。至于网格布置多少，步长取多大为宜，要根据 具体问题，兼顾到计算的精确度与计算的工作量等 因素而定。
n n
（2.2）
稍加整理后可写成：
T T ( x x) T ( x) dT x d T 2 x x dx 2! dx
2
(x) n! T 可见 与 x
偏差为： (x)
n 1
d T n dx
dT dx
n
（2.3）
只能是近似相等。
（iii）微商与差商的几何意义 图2-1 差商与微商的比较
区域离散化物理理解:

从物理方面对区域离散化可作这样的理解，即 认为区域内离散的每个节点，都集中着它周围 区域（尺度为步长）的热容，或者说，区域内 连续分布的热容都被分别地集中到离散的节点 上去了。这样，节点的温度代表着它周围区域 的某种平均温度。一系列离散的节点温度值代 表着连续区域内的温度分布。
第二章：有限差分法初步
§1 有限差分法基本概念 一、差商与微商 （i）、有限差分的数学基础是用差商代替微商。 有如下两种数学形式： （i）微商（导数）的定义 若T ( x ) 是连续函数，则它的导数为：
dT T ( x x) T ( x) T lim lim x 0 x dx x 0 x
节点编号：为便于计算，需对节点逐个编号。 常用（i，j） 表示节点位置，其中，i、j是 与网线相对应的正整数。
i，j 的排列：可有不同的方式。 习惯上，与x、y 轴相一致，i 由左而右逐个增长， j 由下而上逐个增长。 但也有，考虑到与矩阵的格式相一致， i 表示行数， 由上而下逐个增长，j 表示列数，由左而右逐个增长。 这种从上到下，从左到右的编排与一般书写 习惯也是一致的，因此，在计算机上算题也常被采用。 在本课程中，大都采用与坐标相一致的编排方法。
T ( x x) T ( x x) 2x
偏差分析：
（2.6）
(x) T ( x x) T ( x) xT ( x) T ( x) 2 3
2
将Taylor级数写成：
(x) T ( x) O(x) 4 3!
（2.7）
Taylor级数还可写成：
O(x )
（i=2，3，4；j=2，3，4）
2
（2.18）
Ti , j 1 2Ti, j Ti , j 1 2T 2 y 2 (y) i ,j
O(y )
（i=2，3，4；j=2，3，4）
2
（2.19）
2 O ( x ) 与 O(y 2 ) 表示相应的二阶差商 其中，
2
O(x)
2
（2.11）
比较式（ 2.9 ）、（ 2.10 ）、（ 2.11 ）可看到，用不同 的差商形式去代替微商，所带来的偏差是不同的。这 些偏差都是截去了 Taylor级数展开式中的高阶项而引 起的，常称“截断误差”。
讨论：
用向右差商与向左差商代替微商，其截断误差为与
x
同量级的小量 O(x) ；
T 是有限的差商。 式（2.1）右边 x
（2.1）
当
x 趋于零时极限情形下的差商，称之微商。 在 x 没有到达零之前， T 只是 dT 的近似。
x dx
T dT x 与 T 都不为零， 而式（2.1）左边 是 x dx
T dT 趋于 的过程认为是近似向精确过渡， x dx
. . . . .
(i, j+1) (i-1, j) (i, j) (i, j-1) q’’
(i+1, j)
L1
x
图2.2 矩形区域离散化
问题是求图2.2所示的边值问题的解，其数学表达 如下，方程：
T T q 2 0 2 k x y
2 2
（2.13）

边界条件：
x0
3．边界条件的差分形式
这里介绍用差商代替微商的办法把定解问题中 的各种边界条件表示成差分的形式.
对流换热边界条件：
T k h(T T ) x
x 0, 0 y L2
（2.14）
---用T 对 x 的向前差商代替式（2.14）中的 T 对 x 的一阶偏微商，使式（2.14）变
（2.15）
用T 对 y 的向前差商代替式（2.15）中T 对 y 的一阶偏微商，使式（2.15）变成为如下差分 形式:
T(x+x) T(x) T(x-x)
dT(x) dx T(x+x) -T(x) x T(x+x) -T(x-x) 2x T(x) -T(x-x) x x-x x x+x
（iV）差商的几种表示 图2.1表示了差商与微商之间的关系。应当指出， 用不同方法得到的差商去代替微商，它们带来 的偏差是不同的。 向右（前）差商：

结论： 由于用差商代替微商必然带来截断误差， 相应地用差分方程代替微分方程也必然带 来截断误差。这是有限差分法固有的。因 此，在应用有限差分法进行数值解时，必 须对差分的构成及其对方程造成的误差引 起注意。