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解：假设a整除b，而且b整除c，那么存在 正整数k和l，使得b=ak和c=bl；
因此，c=akl，即a整除c； 这个关系是传递的。
四、关系的性质
例：具有n个元素的集合上有多少个自反 的关系？
解：A上的关系是A×A的子集； A×A共有n2个有序对，现在要看这n2个有序
对是否在R中？ 如果R是自反的，对于a∈A，n个有序对(a,a)
四、关系的性质
定义：对于a,b∈A，如果只要(a,b)∈R就 有(b,a)∈R，则集合A上的关系R叫做对 称的；
对于a,b∈A，若(a,b)∈R且(b,a)∈R，则 a=b，集合A上的关系R叫做反对称的。
对称与反对称的概念不是对立的
四、关系的性质
一个关系由(x,y)对构成，
x和y至少学一门公共课程 x比y的平均成绩高
{(0,a),(0,b),(1,a),(2,b)}是从A到B的关系
0Ra 1Rb
表示为图或者表
一、引言
注意:相关性与指定的规则有关。
扑克牌中的方块k与梅花k
同花关系：不相关
同点关系：相关
父子二人
同辈关系：不相关
二、函数作为关系
一个从集合A到集合B的函数，对于A中的每个 元素都指定B中一个唯一的元素
一、引言
用于表示计算机的数据库
有利于查询数据库中所存的信息 哪些学生主修计算机并且成绩大于60？ 哪些航班在下午两点到三点之间降落在首
都机场？
二、n元关系
五、关系的组合
定理：集合A上的关系R是传递的，当且 仅当n=1,2,3,…时，有 Rn R 。
证：其次证明必要条件，即如果R是传递的， 那么对n=1,2,3,…来说， Rn R
应用数学归纳法证明，n=1时，R R 显然成立；
假定 Байду номын сангаасn R ，归纳假设，必须证明该假
设能推出Rn+1也是R的子集；
数理逻辑
Mathematical Logic
第三章 数学推理
Chapter 3 Mathematical Reasoning
复习
递归算法 递归与迭代
递归定义把在正整数处的函数值表达成在更 小的整数处的函数值
迭代是连续地应用递归定义来求出在更大的 整数处的函数值
数理逻辑
Mathematical Logic
五、关系的组合
例：R是从{1,2,3}到{1,2,3,4}的关系且 R={(1,1),(1,4),(2,3),(3,1),(3,4)}，S是从 {1,2,3,4}到{0,1,2}的关系，且 S={(1,0),(2,0),(3,1),(3,2),(4,1)}，R与S的 合成是什么？
SоR={(1,0),(1,1),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1)}
R1由所有有序对(a,b)组成，其中a是选修课程b 的学生；
R2由所有有序对(a,b)构成，其中课程b是a的必 修课。
求什么是关系R1∪R2，R1∩R2，R1⊕R2，R1-R2 和R2-R1？
五、关系的组合
组合关系还有另外一种方式，其类似于 函数的合成
定义：设R是从集合A到集合B的关系，S 是从集合B到集合C的关系。R和S的合成 是由有序对(a,c)构成的关系，其中a∈A、 c∈C，并且对于它们存在一个元素b∈B， 使得(a,b)∈R和(b,c)∈S。用SоR表示R与S 的合成。
五、关系的组合
R 1, 2 , 2, 2 , 3, 4 S 1,3 , 2,5 , 3,1 , 4, 2 , 4,5
五、关系的组合
定义：设R是集合A上的关系。幂Rn， n=1,2,3,…，递归地定义为：
R1=R Rn+1= RnоR。
例：设R={(1,1),(2,1),(3,2),(4,3)}，求幂Rn， n=2,3,4,…
存在2n(n+1)/2个对称的关系 存在2n 3n(n-1)/2个反对称的关系
四、关系的性质
自反性：每个顶点都有自回路； 对称性：任二个顶点间或没有边，或有
二条相对而指的有向边； 反对称性：任二个顶点至多只有一条有
向边； 传递性：若x到y有边，y到z有边，
则x到z必有边。
五、关系的组合
四、关系的性质
例：例5的关系中哪 些是传递的？
R1,R2,R3和R4是传递的
R1 a,b a b R2 a,b a b R3 a,b a b或a b R4 a,b a b R5 a,b a b 1 R6 a,b a b 3
四、关系的性质
例：正整数集合上的整除关系是传递的 吗？
f的图示是使得b＝f(a)的有序对(a,b)的集合， 其是A×B的子集，因此，它也是一个从A到B 的关系
如果R是从A到B的关系，并且使得A中的每个 元素是R中恰好一个有序对的第一个元素，那 么R就可以定义一个函数
一对一，多对一，一对多，多对多
三、集合上的关系
定义：集合A上的关系是从A到A的关系。 换句话说：集合A上的关系是A×A的子 集。
定义：设A和B是集合，一个从A到B的二 元关系是A×B的子集
有序对的集合R是一个从A到B的二元关 系，aRb表示(a,b)∈R，aRb表示(a,b)∈R； 当(a,b)∈R时叫做a与b有关系R
一、引言
例：设A是学校的学生的集合，B是课程的集 合。令R是由(a,b)对构成的关系，其中a是选 修课程b的学生。
四、关系的性质
例：考虑{1,2,3,4}上的关系，自反？
R1 1,1,1,2,2,1,2,2,3,4,4,1,4,4 R2 1,1,1,2,2,1 R3 1,1,1,2,1,4,2,1,2,2,3,3,4,1,4,4 √ R4 2,1,3,1,3,2,4,1,4,2,4,3 R5 1,1,1,2,1,3,1,4,2,2,2,3,2,4,3,3,3,4,4,4√ R6 3,4
四、关系的性质
例：正整数集合上的整除关系是对称的 吗？是反对称的吗？
解：这个关系不是对称的，因为1|2，但是 2|1不成立；
它是反对称的，因为若a和b是正整数，并 且a|b和b|a，那么a=b。
四、关系的性质
定义：对于a,b,c∈A，如果(a,b)∈R，并 且(b,c)∈R，则(a,c)∈R，那么集合A上的 关系R称为传递的。
五、关系的组合
定理：集合A上的关系R是传递的，当且 仅当n=1,2,3,…时，有 Rn R 。
证：假设(a,b)∈Rn+1，那么因为Rn+1= RnоR， 存在元素x∈A，使得(a,x)∈R，并且 (x,b)∈Rn。
由归纳假设 Rn R ，推出(x,b)∈R； 又因为R是传递的，所有(a,b)∈R； 这就证明了 Rn R
R2 a,b a b R3 a,b a b或a b R4 a,b a b R5 a,b a b 1 R6 a,b a b 3
三、集合上的关系
例：包含n个元素的集合上有多少个关系？
集合A上的关系是A×A的子集 当A是包含n个元素的集合时，A×A有n2个
元素 m个元素的集合有2m个子集 故A×A的子集有 个
第四章 关系
Chapter 4 Relations
Outline
关系及其性质
二元关系的定义 关系的性质 关系的组合
n元关系及其应用
n元关系的定义 数据库和关系
4.1 关系及其性质 Relations and their properties
一、引言
可以用两个相关元素构成的有序对来表 达两个集合的元素之间的关系
四、关系的性质
例：例5中哪些关系 是自反的？
R1,R3,R4
例：正整数集合上 的整除关系是自反 的吗？
解：因为只要a是正 整数，就有a|a，因 此，整除关系是自 反的。
R1 a,b a b R2 a,b a b R3 a,b a b或a b R4 a,b a b R5 a,b a b 1 R6 a,b a b 3
例：设A是集合{1,2,3,4}，A上的关系 R={(a,b)|a整除b}中有哪些有序对？
三、集合上的关系
例：考虑下面这些整数集合上的关系，哪些
包含了
R1 a,b a b
(1,1) R1,R3,R4,R6 (1,2) R1,R6 (2,1) R2,R5,R6 (1,-1) ?
(2,2) ？
因为从A到B的关系是A×B的子集 可以按照两个集合组合的任何方式来组合两个关系 例：设A={1,2,3}和B={1,2,3,4}，组合关系
R1={(1,1),(2,2),(3,3)}和R2={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)}可以得 到：
五、关系的组合
例：设A和B分别是学校的所有学生和所有课 程的集合，假设：
四、关系的性质
例：例5中哪些关系 是对称的？哪些是反 对称的？
R3，R4和R6是对称的 R1，R2，R4和R5是反
对称的
R1 a,b a b R2 a,b a b R3 a,b a b或a b R4 a,b a b R5 a,b a b 1 R6 a,b a b 3
因此，包含n个元素2n的2 集合有 个关系 2n2
四、关系的性质
自反性 对称性 反对称性 传递性
四、关系的性质
定义：如果对每个元素a∈A有(a,a)∈R， 那么集合A上的关系R叫做自反的。
例：R是所有人集合上的关系，若x和y有 相同的父亲和相同的母亲，那么(x,y)属 于R
对每个人x来说，有xRx
例：例7的关系中哪些是传递的？
解：R4,R5和R6是传递的
R1 1,1,1, 2,2,1,2, 2,3, 4, 4,1, 4, 4 R2 1,1,1, 2,2,1 R3 1,1,1, 2,1, 4,2,1, 2, 2, 3,3, 4,1, 4, 4 R4 2,1,3,1,3, 2,4,1,4, 2, 4,3 R5 1,1,1, 2,1,3,1, 4,2, 2, 2,3, 2, 4, 3,3, 3, 4, 4, 4 R6 3, 4
