2016静电场习题课

静电场习题课1．如图示真空中有两个半径分别为R 1和R 2的同心导体球壳，设内、外导体球壳上分别带有净电荷Q 1和Q 2，外球壳的厚度忽略不计，并以无穷远处为电位参考点，试求： (1）导体球壳内、外电场强度E 的表达式； (2）内导体球壳()r R =1的电位ϕ。

2.真空中有一个半径为3cm 的无限长圆柱形区域内，有体密度ρ=10 mC m 3均匀分布的电荷。

求：r r r ===234cm, cm, cm 处的电场强度E 。

3.内导体半径为2cm 和外导体的内半径为4cm 的球形电容器，其间充满介电常数ε=2rF m的电介质。

设外导体接地，而内导体带电，试求电容器介质内某点电位为内导体电位的一半时，该处的ε值。

4.一同轴线内圆柱导体半径为a ，外圆柱导体半径为b ，其间填充相对介电常数ερr =a的介质，当外加电压为U (外导体接地）时，试求：(1)介质中的电通密度（电位移）D 和电场强度E 的分布； (2)介质中电位ϕ的分布；5. 图示空气中一输电线距地面的高度3h m =，输电线的半径为5a mm =，输电线的轴线与地面平行，旦对地的电压为3000U V =，试求地面上感应电荷分布的规律。

(.)ε01288510=⨯-F m6. 已知半径为R 的无限长中空半圆柱面，均匀带电，电荷面密度为σ0，则在其轴线上产生的电场强度为00y yE e σπε=-。

一个带有均匀分布的电荷体密度为ρ0的半圆柱，半径也为R ，问它在轴线上产生的电场强度是多少？7. 下图所示空气中一根长直细导线(截面可忽略不计），单位长度所带电荷量为τ，平行放置于一块无限大导体平板上方，并与一块半无限大瓷介质()εε204=相邻，且已知长直细导线到导体平板与瓷介质的距离均为d ，画出求解空气中电场时，所需镜像电荷的个数、大小和位置(不要求解出电场）。

8. 长直圆柱形电容器内外导体的半径分别为R 1、R 3，其间充满介电常数分别为ε1、ε2的两种介质,其分界面是半径为R 2的圆柱面，若内导体单位长度带电荷量+Q ，外导体内表面单位长度所带电荷量-Q ，且外导体接地，如图所示，请写出两种介质区域内电位函数所满足的微分方程和边界条件。

第1章静电场习题课（3、4节）基础练1．下列4个图中，a、b两点电势相等、电场强度矢量也相等的是( )答案 D解析匀强电场的等势面是一系列的平行平面，A中a、b两点不在同一等势面上，所以，这两点的电势是不相等的，但这两点的场强相等；B中a、b两点在同一个等势面上，电势相等，但这两点的场强矢量大小相等、方向不同；C中a、b两点对称于两电荷的连线，所以电势相等，但在中垂线上场强矢量的方向是平行于中垂线的，而且都指向外侧，故两点的场强矢量的方向不同；在D中，a、b两点的电势相等，场强矢量的方向是沿连线的，而且方向相同，故本题选D.2.如图1所示，一带负电粒子以某速度进入水平向右的匀强电场中，在电场力作用下形成图中所示的运动轨迹．M和N是轨迹上的两点，其中M点在轨迹的最右点．不计重力，下列表述正确的是( )图1A．粒子在M点的速率最大B．粒子所受电场力沿电场方向C．粒子在电场中的加速度不变D．粒子在电场中的电势能始终在增加答案 C解析粒子带负电，所受电场力沿电场反方向，在接近M点的过程中电场力做负功，离开M点的过程中电场力做正功，所以在M点粒子的速率应该最小，A、B错误，粒子在匀强电场中运动，所受电场力不变，加速度不变，C正确，因为动能先减小后增加，所以电势能先增加后减小，D错误．3．关于电势差与电场力做功的说法中，正确的是( )A．电势差的大小由在两点间移动电荷时电场力做的功和电荷的电荷量决定B．电场力在两点间移动电荷做功的多少由两点间的电势差和该电荷的电荷量决定C．电势差是矢量，电场力做的功是标量D．电场中两点间的电势差等于电场力做的功，电荷的电势能减小答案 B解析本题主要考查电势差的概念及电场力做功与电势差的关系．电势差的大小由电场本身的因素决定，与移动电荷的电荷量及移动电荷所做的功无关，A项错．由W AB＝qU AB知，B项对．电势差、电场力做的功都是标量，C项错．电场中两点间的电势差等于将单位正电荷从一点移到另一点电场力所做的功，D项错，因此正确选项为B.4．一电子飞经电场中A、B两点，电子在A点电势能为4.8×10－17J，动能为3.2×10－17J，电子经过B点时电势能为3.2×10－17J，如果电子只受静电力作用，则( )A ．电子在B 点时动能为4.8×10－17J B ．由A 点到B 点静电力做功为100eVC ．电子在B 点时动能为1.6×10－17J D ．A 、B 两点间的电势差为100V 答案 AB5．如图2所示，虚线a 、b 、c 为三个同心圆面，圆心处为一个点电荷．现从c 外面一点P 以相同的速率发射两个电荷量、质量都相等的带电粒子，分别沿PM 、PN 运动到M 、N ，M 、N 两点都位于圆周c 上，以下判断正确的是( )图2A ．两粒子带同种电荷B ．两粒子带异种电荷C ．到达M 、N 时两粒子速率仍相等D ．到达M 、N 时两粒子速率不相等 答案 BD解析 由两个粒子轨迹的弯曲情况可看出，到达M 的粒子受的是库仑斥力，到达N 的粒子受的是库仑引力，所以两个粒子电性一定不同，A 错误，B 正确；因为P 和M 、N 不在同一个等势面上，所以由P 到M 和由P 到N 时电场力都要做功，但因P 到M 的过程中是在斥力作用下靠近，电场力做负功，所以动能减少，故v M <v P ；由P 到N 的过程中是在引力作用下靠近，电场力做正功，所以动能增加，故v N >v P ，因此到达M 、N 两点时速率v M <v N ，C 错误，D 正确．6．如图3所示，在x 轴上关于原点O 对称的两点固定放置等量异种点电荷＋Q 和－Q ，x 轴上的P 点位于－Q 的右侧．下列判断正确的是( )图3A ．在x 轴上还有一点与P 点电场强度相同B ．在x 轴上还有两点与P 点电场强度相同C ．若将一试探电荷＋Q 从P 点移至O 点，电势能增大D ．若将一试探电荷＋Q 从P 点移至O 点，电势能减小 答案 AC解析 在＋Q 、－Q 连线上及延长线上三个区间内场强方向如图所示，由对称关系可知，在Q 左侧与P (－Q )间等距的P ′点应与P 点场强相同，故选项A 正确．(－Q )做正功W 1，由(－Q )→(－Q )做正功W 1，由(－Q )→0电场力做负功W 2，由上面分析知，|W 2|>W 1，故电势能增大．C 正确．7．一个电子在电场中的A 点具有80eV 的电势能，当它由A 点运动到B 点时克服静电力做功30eV ，则( )A ．电子在B 点时的电势能是50eV B ．电子的电势能增加30eVC ．B 点电势比A 点高110VD ．B 点电势比A 点低110V 答案 B解析 电子从A 到B 克服静电力做功30eV ，说明从A 到B 电势能增加了30eV ，因此电子在B 点时的电势能应是110eV ，故A 错，B 对．从A 到B 移动电子克服静电力做功，说明φA >φB ，两点间的电势差U AB ＝φA －φB ＝W ABq＝30V ，故B 点电势比A 点低30V ，所以C 、D 均错．提升练8．某电场的电场线分布如图4所示，以下说法正确的是( )图4A．c点场强大于b点场强B．a点电势高于b点电势C．若将一试探电荷＋q由a点释放，它将沿电场线运动到b点D．若在d点再固定一点电荷－Q，将一试探电荷＋q由a移至b的过程中，电势能减小答案BD解析电场线的疏密表示电场的强弱，A项错误；沿着电场线方向电势逐渐降低，B项正确；＋q在a点所受电场力方向沿电场线的切线方向，由于电场线为曲线，所以＋q不沿电场线运动，C项错误；在d点固定一点电荷－Q后，a点电势仍高于b点，＋q由a移至b 的过程中，电场力做正功，电势能减小，D项正确．9.如图5中，a、b、c、d、e五点在一直线上，b、c两点间的距离等于d、e两点间的距离．在a点固定放置一个点电荷，带电荷量为＋Q，已知在＋Q的电场中b、c两点间的电势差为U.将另一个点电荷＋q从d点移动到e点的过程中( )图5A．电场力做功qUB．克服电场力做功qUC．电场力做功大于qUD．电场力做功小于qU答案 D解析该电场为正点电荷产生的电场，从a→e场强减小，电势变化量不均匀，电场线密集的地方电势降落较快，所以Ubc>Ude，故点电荷＋q从d点移到e点电场力做功小于qU.故D项正确．10.如图6所示，B、C、D三点都在以点电荷＋Q为圆心的某同心圆弧上，将一检验电荷从A点分别移到B、C、D各点时，电场力做功大小比较( )图6A．W AB>W AC B．W AD>W ABC．W AC＝W AD D．W AB＝W AC答案CD解析点电荷的等势面为同心球面，故B、C、D三点位于同一等势面上，故U AB＝U AC＝U AD，将同一检验电荷从A点分别移到B、C、D各点，由电功的计算公式W＝qU可得电场力做功相同．11．如图7所示，O是一固定的点电荷，另一点电荷P从很远以初速度v0射入点电荷O 的电场，在电场力作用下的运动轨迹是曲线MN.a、b、c是以O为中心、R a、R b、R c为半径画出的三个圆，R c－R b＝R b－R a.1、2、3、4为轨迹MN与三个圆的一些交点．以|W12|表示点电荷P由1到2的过程中电场力做功的大小，|W34|表示由3到4的过程中电场力做功的大小，则( )图7A ．|W 12|＝2|W 34|B ．|W 12|＞2|W 34|C ．P 、O 两电荷可能同号，也可能异号D ．P 的初速度方向的延长线与O 之间的距离可能为零 答案 B解析 因为R b －R a ＝R c －R b ，且E c <E b <E a .由电场线密集的地方电势降落较快可知|U 12|>2|U 34|.则|W 12|>2|W 34|，故B 项正确．从电荷P 的弯曲运动轨道可知，P 、O 两电荷一定异号，故C 项错．如果P 的初速度方向的延长线与O 之间的距离为零，则P 电荷的轨迹为一直线，故D 错．12．在电场中把一个电荷量为－6×10－8C 的点电荷从A 点移到B 点，电场力做功为－3×10－5J ，将此电荷从B 点移到C 点，电场力做功为4.5×10－5J ，求：A 与C 两点间的电势差．答案 －250V解析 把电荷从A 移到C 电场力做功W AC ＝W AB ＋W BC ＝－3×10－5J ＋4.5×10－5J ＝1.5×10－5J.则A 、C 间的电势差U AC ＝W AC q ＝1.5×10－5－6×10－8V ＝－250V.13．如果把q ＝1.0×10－8C 的电荷从无穷远移到电场中的A 点，需要克服静电力做功W＝1.2×10－4J ，那么，(1)q 在A 点的电势能和A 点的电势各是什么？ (2)q 未移入电场前A 点的电势是多少？答案 (1)1.2×10－4J 1.2×104V(2)1.2×104V解析 (1)静电力做负功，电势能增加，无穷远处的电势为零，电荷在无穷远处的电势能也为零，即φ∞＝0，E p∞＝0.由W ∞A ＝E p∞－E p A 得E p A ＝E p∞－W ∞A ＝0－(－1.2×10－4J)＝1.2×10－4J再由φA ＝E P A q得φA ＝1.2×104V (2)A 点的电势是由电场本身决定的，跟A 点是否有电荷存在无关，所以q 移入电场前，A 点的电势仍为1.2×104V.14.如图8所示的匀强电场中，有a 、b 、c 三点，ab ＝5cm ，bc ＝12cm ，其中ab 沿电场线方向，bc 和电场线方向成60°角，一个电荷量为q ＝4×10－8C 的正电荷从a 点移到b 点时静电力做功为W 1＝1.2×10－7J ，求：图8(1)匀强电场的场强E ；(2)电荷从b 移到c ，静电力做功W 2； (3)a 、c 两点间的电势差U ac .答案 (1)60V/m (2)1.44×10－7J (3)6.6V解析 (1)设a 、b 间距离为d ，由题设条件有W 1＝qEd .E ＝W 1qd ＝ 1.2×10－74×10－8×5×10－2V/m ＝60V/m. (2)设b 、c 间距离为d ′，b 、c 两点沿场强方向距离为d 1.W 2＝qEd 1＝qEd ′cos60°＝4×10－8×60×12×10－2×0.5J＝1.44×10－7J. (3)正电荷从a 移到c 静电力做功W ＝W 1＋W 2，又W ＝qU ac ，则U ac ＝W 1＋W 2q ＝1.2×10－7＋1.44×10－74×10－8V ＝6.6V.。

第六章静电场习题课Ⅰ教学基本要求1．会求解描述静电场的两个重要物理量：电场强度E 和电势V 。

2．掌握描述静电场的重要定理：高斯定理和安培环路定理（公式内容及物理意义）。

3．掌握电容、电势差的计算。

Ⅱ内容提要一、电场强度1．点电荷场强：r e r q E v v 204πε=2．点电荷系场强：n E E E E v v v v +⋅⋅⋅++=21（矢量和）3．连续带电体场强：r e r dq E d E v v v ∫∫==204πε（五步走积分法）(建立坐标系、取电荷元、写E d v 、分解、积分)4．对称性带电体场强：（用高斯定理求解）0εφ∑∫=⋅=q S d E s e v v 二、电势1．点电荷电势：rqV 04πε=2．点电荷系电势：n V V V V +⋅⋅⋅++=21（代数和）3．连续带电体电势：∫∫==rdq dV V 04πε（四步走积分法）(建立坐标系、取电荷元、写dV 、积分)4．已知场强分布求电势：∫∫⋅=⋅=l v pdr E l d E V 0v v 三、电势差：∫⋅=∆BA AB ld E U v v 四、电场力做功：∫⋅=∆=2100l l l d E q U q A v v 五、基本定理(1)静电场高斯定理：表达式：0εφ∑∫=⋅=q S d E s e v v 物理意义：表明静电场中，通过任意闭合曲面的电通量（电场强度沿任意闭合曲面的面积分），等于该曲面内包围的电荷代数和除以0ε。

(3)静电场安培环路定理：表达式：0=⋅∫l l d E vv 物理意义：表明静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积分为0。

Ⅲ课堂例题例1、已知氢原子中，电子和原子核的距离r0、电子质量m ，氢原子核M 的质量，万有引力常数G ，电子电量和原子核的电量相等，试计算电子和氢原子核的静电作用和万有引力作用，并比较。

解：由库仑定律得静电力N r q q f N e e 821021992001023.8)1053.0()106.1(1094−−−×≈×××==πε万有引力为故N r mM G f m 4721027311120103.64)10(0.53101.67109.11106.67−−−−−×≈×××××==391027.2×≈me f f 在处理原子问题时，万有引力可以忽略不计例2：求均匀带电圆环中心轴上任意点的场强解：已知圆环半径R ，带电量q建立坐标系，取电荷元电荷元在P 点场强r E 304r dq d πε=θπεcos 420rdq dE x =θπεsin 420rdq dE yz =整个带电圆环在P 的场强0=∫yz dE 电荷分布关于x轴对称22202044cos R x x r q dq r dE E x +⋅===∫∫πεπεθll 方向为X 轴方向讨论：x=0E=0;x ＞＞R 204x q E πε≈相当于点电荷例2：求均匀带电圆盘的中心轴线上的场强解：把圆盘分成若干细圆环：取电荷元rdrdq πσ2=利用上例结果可得2322023220)(2)(4x r xrdr x r xdq dE +=+=εσπε整个圆盘在中心轴线上的场强为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=+==∫∫∫21220221220023220)(12)(12)(2R x x R q R x x r x rdr x dE E R επεσεσσ方向为沿x 轴例4：求均匀带电球面的电场分布.已知球面半径为R,所带电量为q以O 为球心，OP 为半径作一球面S球面电荷关于OP 对称，任意对称电荷元dq 在P 点的场强大小相等，合电场方向指向OP 所以S 可以作为高斯面024επq r E dS E dS E S S e ===⋅=Φ∫∫类似分析可求球面内一点的场强42===⋅=Φ∫∫r E dS E dS E SS eπ例5求均匀带电圆环中心轴上点的电势，圆环电量为q ，半径为R解：取电荷元dqld dq λ=电荷元可以看着点电荷，令无穷远处为零电势，则电荷元的在中心轴上的电势为rdq dV 04πε=整个带电圆环在中心轴上的电势由电势叠加得：220202202200484x R q x R R qd r dq dV V R R+=+===∫∫∫πεεππεππl l讨论：x=0Rq U o 04πε=X ＞＞R xqU x 04πε=例6两根平行的“无限长”均匀带电直线，相距为d,导线半径为R (R<<d)，设导线上单位长度上带电为+l 和-l ,求该导体组单位长度上的电容.解：)(2200r d r E −+=πελπελRR d Edr U Rd R −==∫−ln 220πελRRd U C −==ln 0πελ例7真空中均匀带电的球体，半径为R ，体电荷密度为ρ0。