Matlab功能应用介绍Matlab用法简介绪论Matlab是“Matrix Laboratory”的缩写，意为“矩阵实验室”，是当今美国很流行的科学计算软件．信息技术、计算机技术发展到今天，科学计算在各个领域得到了广泛的应用．在许多诸如控制论、时间序列分析、系统仿真、图像信号处理等方面产生了大量的矩阵及其相应的计算问题．自己去编写大量的繁复的计算程序，不仅会消耗大量的时间和精力，减缓工作进程，而且往往质量不高．美国Mathwork软件公司推出的Matlab软件就是为了给人们提供一个方便的数值计算平台而设计的．Matlab是一个交互式的系统，它的基本运算单元是不需指定维数的矩阵，按照IEEE的数值计算标准（能正确处理无穷数Inf(Infinity)、无定义数NaN(not-a-number)及其运算）进行计算．系统提供了大量的矩阵及其它运算函数，可以方便地进行一些很复杂的计算，而且运算效率极高．Matlab命令和数学中的符号、公式非常接近，可读性强，容易掌握，还可利用它所提供的编程语言进行编程完成特定的工作．除基本部分外，Matlab还根据各专门领域中的特殊需要提供了许多可选的工具箱，如应用于自动控制领域的Control System工具箱和神经网络中Neural Network工具箱等．第一节Matlab的安装及使用§1.1 Matlab的安装Matlab有各种版本，早期有Matlab 1.0 for 386的DOS版本，后来逐步发展．这里介绍的版本是Matlab 6.x for Windows．因为它使用方便，界面美观，我们选择它作为主要讲解版本．Matlab还有许多附加的部分，最常见的部分称为Simulink，是一个用作系统仿真的软件包，它可以让您定义各种部件，定义各自对某种信号的反应方式及与其它部件的连接方式．最后选择输入信号，系统会仿真运行整个模拟系统，并给出统计数据．Simulink有时是作为Matlab的一部分提供的，称为Matlab with Simulink版本．Matlab还有许多工具箱，它们是根据各个特殊领域的需要，用Matlab自身的语言编写的程序集，使用起来非常§1.2 Matlab基本用法从Windows中双击Matlab图标，会出现Matlab命令窗口（Command Window），在一段提示信息后，出现系统提示符“>>”．Matlab是一个交互系统，您可以在提示符后键入各种命令，通过上下箭头可以调出以前打入的命令，用滚动条可以查看以前的命令及其输出信息．如果对一条命令的用法有疑问的话，可以用Help菜单中的相应选项查询有关信息，也可以用help命令在命令行上查询，您可以试一下help、help help和help eig（求特征值的函数）命令．下面我们先从输入简单的矩阵开始掌握Matlab的功能．§1.2.1输入简单的矩阵输入一个小矩阵的最简单方法是用直接排列的形式．矩阵用方括号括起，元素之间用空格或逗号分隔，矩阵行与行之间用分号分开．例如输入：A=[1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 0]系统会回答A =1 2 34 5 67 8 0表示系统已经接收并处理了命令，在当前工作区内建立了矩阵A．大的矩阵可以分行输入，用回车键代替分号，如：A=[ 1 2 34 5 67 8 0 ]结果和上式一样，也是A =1 2 34 5 67 8 0§1.2.2矩阵元素Matlab的矩阵元素可以是任何数值表达式．如：x=[ -1.3 sqrt(3) (1+2+3)*4/5]结果：x =-1.3000 1.7321 4.8000在括号中加注下标，可取出单独的矩阵元素．如：x(5)=abs(x(1))结果x =-1.3000 1.7321 4.8000 0 1.3000注：结果中自动产生了向量的第5个元素，中间未定义的元素自动初始为零．大的矩阵可把小的矩阵作为其元素来完成，如：A=[A; [10 11 12]]结果A =1 2 34 5 67 8 010 11 12小矩阵可用“:”从大矩阵中抽取出来，如：A=A(1:3,:);即从A中取前三行和所有的列，重新组成原来的A. (详细介绍参见第二节的相关内容）§1.2.3语句和变量Matlab的表述语句、变量的类型说明由Matlab系统解释和判断．Matlab语句通常形式为：变量=表达式或者使用其简单形式为：表达式表达式由操作符或其它特殊字符、函数和变量名组成．表达式的结果为一个矩阵，显示在屏幕上，同时保存在变量中以留用．如果变量名和“=”省略，则具有ans名(意思指回答)的变量将自动建立．例如：键入1900/81结果为：ans =23.4568需注意的问题有以下几点：●语句结束键入回车键，若语句的最后一个字符是分号，即“;”，则表明不输出当前命令的结果．●如果表达式很长，一行放不下，可以键入“…”（三个点，但前面必须有个空格，目的是避免将形如“数2 …”理解为“数2.”与“..”的连接，从而导致错误），然后回车．●变量和函数名由字母加数字组成，但最多不能超过63个字符，否则系统只承认前63个字符．●Matlab变量字母区分大小写，如A和a不是同一个变量，函数名一般使用小写字母，如inv(A)不能写成INV(A)，否则系统认为未定义函数．§1.2.4 who和系统预定义变量输入who命令可检查工作空间中建立的变量，键入：who系统输出为：Your variables are:A ans x这里表明三个变量已由前面的例子产生了．但列表中列出的并不是系统全部的变量，系统还有以下内部变量：eps、pi、Inf、NaN变量eps在决定诸如矩阵的奇异性时，可作为一个容许差，容许差的初值为1.0到1.0以后计算机所能表示的下一个最大浮点数，IEEE 在各种计算机、工作站和个人计算机上使用这个算法．用户可将此值置为任何其它值(包括0值)．Matlab的内部函数pinc和rank以eps 为缺省的容许差．变量pi是，它是用imag(log(-1))建立的.Inf表示无穷大．如果您想计算1/0S=1/0结果会是Warning：Divide by zeroS=Inf具有IEEE规则的机器，被零除后，并不引出出错条件或终止程序的运行，而产生一个警告信息和一个特殊值在计算方程中列出来．变量NaN表示它是个不定值．由Inf/Inf或0/0运算产生．要了解当前变量的信息请键入whos，屏幕将显示：Name Size Bytes ClassA 4x3 96 double arrayS 1x1 8 double arrayans 1x1 8 double arrayx 1x5 40 double arrayGrand total is 19 elements using 152 bytes从size及bytes项目可以看出，每一个矩阵实元素需8个字节的内存．4×3的矩阵使用96个字节，全部变量的使用内存总数为152个字节．自由空间的大小决定了系统变量的多少，如计算机上有虚拟内存的话，其可定义的变量个数会大大增加．§1.2.5数和算术表达式Matlab中数的表示方法和一般的编程语言没有区别．如：3 -99 0.00019.63972 1.6021E-20 6.02252e23在计算中使用IEEE浮点算法其舍入误差是eps．浮点数表示范围是10-308~10308．数学运算符有：+ 加- 减* 乘/ 右除\ 左除^ 幂这里1/4和4\1有相同的值都等于0.25（注意比较：1\4=4）．只有在矩阵的除法时左除和右除才有区别．§1.2.6复数与矩阵在Matlab中输入复数首先应该建立复数单位：i=sqrt(-1)及j=sqrt(-1)之后复数可由下面语句给出：Z=3+4i (注意：在4与i之间不要留有任何空间!)输入复数矩阵有两个方便的方法，如：A=[1 2; 3 4] + i*[5 6; 7 8]和A=[1+5i 2+6i; 3+7i 4+8i]两式具有相等的结果．但当复数作为矩阵的元素输入时，不要留有任何空间，如1+5i，如在“+”号左右留有空格，就会被认为是两个分开的数．不过实际使用复数时并没有这么麻烦，系统有一个名为startup.m 的Matlab命令文件，建立复数单位的语句也放在其中．当Matlab启动时，此文件自动执行，i和j将自动建立．§1.2.7输出格式任何Matlab语句执行结果都可在屏幕上显示，同时赋给指定的变量，没有指定变量时赋给ans．数字显示格式可由format命令来控制（Windows系统下的Matlab系统的数字显示格式可以由Option菜单中的Numerical Format菜单改变）．format仅影响矩阵的显示，不影响矩阵的计算与存贮．(Matlab以双精度执行所有的运算) 首先，如果矩阵元素是整数则矩阵显示就没有小数，如x=[-1 0 1]，结果为：x=-1 0 1x=[4/3 1.2345e-6]在不同的输出格式下的结果为：短格式 1.3333 0.0000短格式e方式 1.3333e+000 1.234e-006长格式 1.333333333333333 0.000001234500000长格式e方式 1.333333333333333e-000 1.23450000000000e-006有理数格式4/3 1/81004516进制格式3ff5555555555555 3eb4b6231abfd271+格式+ +对于短格式，如果矩阵的最大元素比数999999999大，或者比数0.0001小，则在打印时，将加入一个普通的长度因数．如y=1.e20*x，意为x被1020乘，结果为：y=1.0e+020*1.3333 0.0000“+”格式是显示大矩阵的一种紧凑方法，“+”，“-”和空格显示正数、负数和零元素．最后format compact命令压缩显示的矩阵，以允许更多的信息显示在屏幕上．§1.2.8 Help求助命令和联机帮助Help求助命令很有用，它对Matlab大部分命令提供了联机求助信息．您可以从Help 菜单中选择相应的菜单，打开求助信息窗口查询某条命令，也可以直接用help命令．键入help得到help列表文件，键入“help 指定项目”，如：键入help eig则提供特征值函数的使用信息．键入help [显示如何使用方括号等．键入help help显示如何利用help本身的功能．还有，键入lookfor <关键字>：可以从m文件的help中查找有关的关键字．§1.2.9 退出和存入工作空间退出Matlab可键入quit或exit或选择相应的菜单．中止Matlab 运行会引起工作空间中变量的丢失，因此在退出前，应键入save命令，保存工作空间中的变量以便以后使用．键入save则将所有变量作为文件存入磁盘Matlab.mat中，下次Matlab启动时，键入load将变量从Matlab.mat中重新调出．save和load后边可以跟文件名或指定的变量名，如仅有save时，则只能存入Matlab.mat 中．如save temp命令，则将当前系统中的变量存入temp.mat中去，命令格式为：save temp x 仅仅存入x变量．save temp X Y Z 则存入X、Y、Z变量．load temp可重新从temp.mat文件中提出变量，load也可读ASCII数据文件．详细语法见联机帮助．第二节向量与矩阵运算Matlab能处理数、向量和矩阵．但一个数事实上是一个1×1的矩阵，1个n维向量也不过是一个1×n或n×1的矩阵．从这个角度上来讲，Matlab处理的所有的数据都是矩阵．Matlab的矩阵处理能力是非常灵活、强大的．以下我们将从矩阵的产生、基本运算、矩阵函数等几个方面来说明．§2.1向量及矩阵的生成除了我们在上节介绍的直接列出矩阵元素的输入方法，矩阵还可以通过几种不同的方式输入到Matlab中．§2.1.1 通过语句和函数产生1. 向量的产生除了直接列出向量元素（即所谓的“穷举法”）外，最常用的用来产生相同增量的向量的方法是利用“:”算符（即所谓的“描述法”）．在Matlab中，它是一个很重要的字符．如：z=1:5 z =1 2 3 4 5即产生一个1~5的单位增量是1的行向量，此为默认情况.用“:”号也可以产生单位增量不等于1的行向量，语法是把增量放在起始量和结尾量的中间．如：x=0:pi/4:pi即产生一个由0~pi的行向量，单位增量是pi/4=3.1416/4=0.7854．x =0 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416也可以产生单位增量为负数的行向量．如：y=6:-1:1y =6 5 4 3 2 12. 矩阵的产生ones(3)ans =1 1 11 1 11 1 1eye(3)ans =1 0 00 1 00 0 1除了以上产生标准矩阵的函数外，Matlab还提供了产生随机（向量）矩阵的函数rand 和randn，及产生均匀级数的函数linspace、产生对数级数的函数logspace和产生网格的函数meshgrid等等．详细使用请查阅随机文档．“: ”冒号可以用来产生简易的表格，为了产生纵向表格形式，首先用冒号“: ”产生行向量，再进行转置，计算函数值的列，然后形成有二列的矩阵．例如命令：x=(0.0:0.2:3.0)';y=exp(-x).*sin(x);[x y]产生结果为：ans =0 00.2000 0.16270.4000 0.26100.6000 0.30990.8000 0.32231.0000 0.30961.2000 0.28071.4000 0.24301.6000 0.20181.8000 0.16102.0000 0.12312.2000 0.08962.4000 0.06132.6000 0.03832.8000 0.02043.0000 0.0070§2.1.2 通过后缀为.m的命令文件产生如有文件data.m，其中包括正文：A=[ 1 2 34 5 67 8 0]则用data命令执行data.m，可以产生名为A的矩阵．§2.2 矩阵操作在Matlab中可以对矩阵进行任意操作，包括改变它的形式，取出子矩阵，扩充矩阵，旋转矩阵等．其中最重要的操作符为“:”，它的作用是取出选定的行与列．例如：A(:,:) 代表A的所有元素；试比较A(:), 将A按列的方向拉成长长的1列（向量）；A(:,J) 代表A的第J列；A(J:K) 代表A(J), A(J+1), …, A(K)，如同A(:)的第J到第K个元素；A(:,J:K) 代表A(:,J), A(:,J+1), …, A(:,K)，如此类推.对矩阵可以进行各种各样的旋转、变形、扩充：Matlab中有内部函数fliplr ( Flip matrix in the left/right direction)，它对矩阵进行左右旋转.例x = 1 2 3 fliplr(x)为 3 2 14 5 6 6 5 4同样有flipud：x = 1 4 flipud(x)为 3 62 5 2 53 6 1 4矩阵的转置用符号“' ”表示：如A=[1 2 3; 4 5 6 ; 7 8 0]那么：计算B=A'B =1 4 72 5 83 6 0符号“' ”为矩阵的转置，如果Z为复矩阵，则Z'为它的复数共轭转置，非共轭转置使用Z.' 或conj(Z')求得．reshape改变矩阵的形状，这是什么意思呢？可举一个例子来说明．A=[A;[10 11 12]]A =1 2 3 4 5 6 7 8 0 10 11 12 则 reshape(A,2,6) ans =1 72 83 04 105 116 12可见，reshape 是将矩阵元素以列为单位进行重组，原来4×3的矩阵变为了2×6的矩阵．那么以下的语句也不难理解了，它将矩阵A 按列打开（size 函数返回矩阵A 的行数与列数）．reshape(A,1,size(A,1)*size(A,2))，它等价于A(:)' . 还有函数rot90，它可以将矩阵进行各种90度的旋转；tril 及triu 取出矩阵的下三角及上三角阵等．详细的用法可以在需要使用时查阅手册．第三节矩阵的基本运算§3.1 加和减如矩阵A 和B 的维数相同，则A+B 与A-B 表示矩阵A 与B 的和与差．如果矩阵A 和B 的维数不匹配，Matlab 会给出相应的错误提示信息．如：A= B=1 2 3 1 4 7 4 5 6 2 5 8 7 8 0 3 6 0 C =A+B 返回：C =2 6 10 6 10 14 10 14 0如果运算对象是个标量（即1×1矩阵），可和其它矩阵进行加减运算．例如： x= -1 y=x-1= -20 -1 2 1§3.2矩阵乘法Matlab 中的矩阵乘法有通常意义上的矩阵乘法，也有Kronecker 乘法，以下分别介绍．§3.2.1 矩阵的普通乘法矩阵乘法用“ * ”符号表示，当A 矩阵列数与B 矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的．计算方法和线性代数中所介绍的完全相同．如：A=[1 2 ; 3 4]; B=[5 6 ; 7 8]; C=A*B ，结果为C=???? ??4321×???? ??8765=???? ???+??+??+??+?84637453 82617251=50432219 即Matlab 返回： C =19 22 43 50如果A 或B 是标量，则A*B 返回标量A （或B ）乘上矩阵B （或A ）的每一个元素所得的矩阵．§3.2.2 矩阵的Kronecker 乘法对n ×m 阶矩阵A 和p ×q 阶矩阵B ，A 和B 的Kronecher 乘法运算可定义为：=?=B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A C nm n n m m (21) 2222111211由上面的式子可以看出，Kronecker 乘积A ?B 表示矩阵A 的所有元素与B 之间的乘积组合而成的较大的矩阵，B ?A 则完全类似．A ?B和B ?A 均为np ×mq 矩阵，但一般情况下A ?B ≠B ?A ．和普通矩阵的乘法不同，Kronecker 乘法并不要求两个被乘矩阵满足任何维数匹配方面的要求．Kronecker 乘法的Matlab 命令为C=kron(A,B)，例如给定两个矩阵A 和B ：A =1234?? ??? B=132246?? ??则由以下命令可以求出A 和B 的Kronecker 乘积C ：A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; C=kron(A,B) C =1 32 2 6 4 2 4 6 4 8 123 9 64 12 8 6 12 18 8 16 24作为比较，可以计算B 和A 的Kronecker 乘积D ，可以看出C 、D 是不同的： A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; D=kron(B,A) D =1 2 3 6 2 4 3 4 9 12 6 8 2 4 4 8 6 12 6 8 12 16 18 24§3.3 矩阵除法在Matlab 中有两种矩阵除法符号：“＼”即左除和“／”即右除．如果A 矩阵是非奇异方阵，则A\B 是A 的逆矩阵乘B ，即inv(A)*B ；而B/A 是B 乘A 的逆矩阵，即B*inv(A)．具体计算时可不用逆矩阵而直接计算．通常：x=A\B 就是A*x=B 的解； x=B/A 就是x*A=B 的解.当B 与A 矩阵行数相等可进行左除．如果A 是方阵，用高斯消元法分解因数．解方程：A*x(:, j)=B(:, j)，式中的(:, j)表示B 矩阵的第j 列，返回的结果x 具有与B 矩阵相同的阶数，如果A 是奇异矩阵将给出警告信息．如果A 矩阵不是方阵，可由以列为基准的Householder 正交分解法分解，这种分解法可以解决在最小二乘法中的欠定方程或超定方程，结果是m ×n 的x 矩阵．m 是A 矩阵的列数，n 是B 矩阵的列数．每个矩阵的列向量最多有k 个非零元素，k 是A 的有效秩．右除B/A 可由B/A=(A'\B')'左除来实现．§3.4矩阵乘方A^P 意思是A 的P 次方．如果A 是一个方阵，P 是一个大于1的整数，则A^P 表示A的P次幂，即A自乘P次．如果P不是整数，计算涉及到特征值和特征向量的问题，如已经求得：[V,D]=eig(A)，则：A^P=V*D.^P/V（注：这里的.^表示数组乘方，或点乘方，参见后面的有关介绍）如果B是方阵，a是标量，a^B就是一个按特征值与特征向量的升幂排列的B次方程阵．如果a和B都是矩阵，则a^B是错误的．§3.5 矩阵的超越函数在Matlab中解释exp(A)和sqrt(A)时曾涉及到级数运算，此运算定义在A的单个元素上．Matlab可以计算矩阵的超越函数，如矩阵指数、矩阵对数等．一个超越函数可以作为矩阵函数来解释，例如将“m”加在函数名的后边而成expm(A)和sqrtm(A)，当Matlab运行时，有下列三种函数定义：expm 矩阵指数logm 矩阵对数sqrtm 矩阵开方所列各项可以加在多种m文件中或使用funm．请见应用库中sqrtm.m，1ogm.m，funm.m 文件和命令手册．§3.6数组运算数组运算由线性代数的矩阵运算符“*”、“/”、“\”、“^”前加一点来表示，即为“.*”、“./”、“.\”、“.^”．注意没有“.+”、“.-”运算．§3.6.1数组的加和减对于数组的加和减运算与矩阵运算相同，所以“+”、“-”既可被矩阵接受又可被数组接受．§3.6.2数组的乘和除数组的乘用符号.*表示，如果A与B矩阵具有相同阶数，则A.*B 表示A和B单个元素之间的对应相乘．例如x=[1 2 3]; y=[ 4 5 6];计算z=x.*y结果z=4 10 18数组的左除（.\）与数组的右除（./），由读者自行举例加以体会．§3.6.3 数组乘方数组乘方用符号.^表示．例如：键入：x=[ 1 2 3]y=[ 4 5 6]则z=x.^y=[1^4 2^5 3^6]=[1 32 729](1) 如指数是个标量，例如x.^2，x同上，则：z=x.^2=[1^2 2^2 3^2]=[ 1 4 9](2) 如底是标量，例如2 .^[x y] ，x、y同上，则：z=2 .^[x y]=[2^1 2^2 2^3 2^4 2^5 2^6]=[2 4 8 16 32 64] 从此例可以看出Matlab算法的微妙特性，虽然看上去与其它乘方没什么不同，但在2和“．”之间的空格很重要，如果不这样做，解释程序会把“．”看成是2的小数点．Matlab 看到符号“^”时，就会当做矩阵的幂来运算，这种情况就会出错，因为指数矩阵不是方阵．§3.7 矩阵函数Matlab的数学能力大部分是从它的矩阵函数派生出来的，其中一部分装入Matlab本身处理中，它从外部的Matlab建立的M文件库中得到，还有一些由个别的用户为其自己的特殊的用途加进去的．其它功能函数在求助程序或命令手册中都可找到．手册中备有为Matlab提供数学基础的LINPACK和EISPACK 软件包，提供了下面四种情况的分解函数或变换函数：(1)三角分解；(2)正交变换；(3) 特征值变换；(4)奇异值分解．§3.7.1三角分解最基本的分解为“LU”分解，矩阵分解为两个基本三角矩阵形成的方阵，三角矩阵有上三角矩阵和下三角矩阵．计算算法用高斯变量消去法．从lu函数中可以得到分解出的上三角与下三角矩阵，函数inv得到矩阵的逆矩阵，det 得到矩阵的行列式．解线性方程组的结果由方阵的“\”和“/”矩阵除法来得到．例如：A=[ 1 2 34 5 67 8 0]LU分解，用Matlab的多重赋值语句[L,U]=lu(A)得出注：L结果只需计算L*U即可．求逆由下式给出：x=inv(A)x =从LU的值可由下式给出：d=det(A)d =27直接由三角分解计算行列式：d=det(L)*det(U)d =27.0000为什么两种d的显示格式不一样呢? 当Matlab做det(A)运算时，所有A的元素都是整数，所以结果为整数．但是用LU分解计算d时，L、U的元素是实数，所以Matlab产生的d也是实数．例如：线性联立方程取b=[ 135]解Ax=b方程，用Matlab矩阵除得到x=A\b结果x=0.33330.33330.0000由于A=L*U，所以x也可以有以下两个式子计算：y=L\b，x=U\y．得到相同的x值，中间值y为：y =5.00000.28570.0000Matlab中与此相关的函数还有rcond、chol和rref．其基本算法与LU分解密切相关．chol 函数对正定矩阵进行Cholesky分解，产生一个上三角矩阵，以使R'*R=X．rref用具有部分主元的高斯－约当消去法产生矩阵A的化简梯形形式．虽然计算量很少，但它是很有趣的理论线性代数．为了教学的要求，也包括在Matlab中．§3.7.2正交变换“QR”分解用于矩阵的正交－三角分解．它将矩阵分解为实正交矩阵或复酉矩阵与上三角矩阵的积，对方阵和长方阵都很有用．例如A=[ 1 2 34 5 67 8 910 11 12]是一个降秩矩阵，中间列是其它二列的平均，我们对它进行QR分解：[Q,R]=qr(A)R的下三角都给出0，并且R(3,3)=0.0000，说明矩阵R与原来矩阵A都不是满秩的．下面尝试利用QR分解来求超定和降秩的线性方程组的解．例如：b=[ 1357]讨论线性方程组Ax=b，我们可以知道方程组是超定的，采用最小二乘法的最好结果是计算x=A\b．结果为：Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 1.4594e-014x =0.50000.1667我们得到了缺秩的警告．用QR分解法计算此方程组分二个步骤：y=Q'*bx=R\y求出的y值为xWarning: Rank deficient, rank = 2 tol = 1.4594e-014x =0.50000.1667用A*x来验证计算结果，我们会发现在允许的误差范围内结果等于b．这告诉我们虽然联立方程Ax=b是超定和降秩的，但两种求解方法的结果是一致的．显然x向量的解有无穷多个，而“QR”分解仅仅找出了其中之一．§3.7.3奇异值分解在Matlab中三重赋值语句[U,S,V]=svd(A)在奇异值分解中产生三个因数：A=U*S*V 'U矩阵和V矩阵是正交矩阵，S矩阵是对角矩阵，svd(A)函数恰好返回S的对角元素，而且就是A的奇异值（其定义为：矩阵A'*A的特征值的算术平方根）．注意到A矩阵可以不是方的矩阵．奇异值分解可被其它几种函数使用，包括广义逆矩阵pinv(A)、秩rank(A)、欧几里德矩阵范数norm(A,2)和条件数cond(A)．§3.7.4 特征值分解如果A是n×n矩阵，若λ满足Ax=λx，则称λ为A的特征值，x 为相应的特征向量．函数eig(A)返回特征值列向量，如果A是实对称的，特征值为实数．特征值也可能为复数，例如：A=[ 0 1-1 0]eig(A)产生结果ans =0 + 1.0000i0 - 1.0000i如果还要求求出特征向量，则可以用eig(A)函数的第二个返回值得到：[x,D]=eig(A)D的对角元素是特征值．x的列是相应的特征向量，以使A*x=x*D．计算特征值的中间结果有两种形式：Hessenberg形式为hess(A)，Schur形式为schur(A)．schur形式用来计算矩阵的超越函数，诸如sqrtm(A)和logm(A)．如果A和B是方阵，函数eig(A,B)返回一个包含一般特征值的向量来解方程Ax=λBx双赋值获得特征向量[X,D]=eig(A,B)产生特征值为对角矩阵D．满秩矩阵X的列相应于特征向量，使A*X=B*X*D，中间结果由qz(A,B)提供．§3.7.5秩Matlab计算矩阵A的秩的函数为rank(A)，与秩的计算相关的函数还有：rref(A)、orth(A)、null(A)和广义逆矩阵pinv(A)等．利用rref(A)，A的秩为非0行的个数．rref方法是几个定秩算法中最快的一个，但结果上并不可靠和完善．pinv(A)是基于奇异值的算法．该算法消耗时间多，但比较可靠．其它函数的详细用法可利用Help求助．第四节Matlab中的图形§4.1二维作图绘图命令plot绘制x-y坐标图；loglog命令绘制对数坐标图；semilogx和semilogy命令绘制半对数坐标图；polor命令绘制极坐标图．§4.1.1 基本形式如果y是一个向量，那么plot(y)绘制一个y中元素的线性图．假设我们希望画出y=[0., 0.48, 0.84, 1., 0.91, 6.14 ]则用命令：plot(y)它相当于命令：plot(x, y)，其中x=[1,2,…,n]或x=[1;2;…;n]，即向量y的下标编号, n为向量y的长度Matlab会产生一个图形窗口，显示如下图形，请注意：坐标x和y 是由计算机自动绘出的．图4.1.1.1 plot([0.,0.48,0.84,1.,0.91,6.14])上面的图形没有加上x轴和y轴的标注，也没有标题．用xlabel，ylabel，title命令可以加上．如果x，y是同样长度的向量，plot(x,y)命令可画出相应的x元素与y元素的x-y坐标图．例：x=0:0.05:4*pi; y=sin(x); plot(x,y)grid on, title(' y=sin( x ) 曲线图' )xlabel(' x = 0 : 0.05 : 4Pi ')结果见下图．§4.1.2 多重线在一个单线图上，绘制多重线有三种办法.第一种方法是利用plot的多变量方式绘制：plot(x1,y1,x2,y2,...,xn,yn)x1,y1,x2,y2,...,xn,yn是成对的向量，每一对x, y在图上产生如上方式的单线．多变量方式绘图是允许不同长度的向量显示在同一图形上．第二种方法也是利用plot绘制，但加上hold on/off命令的配合：plot(x1,y1)hold onplot(x2,y2)hold off第三种方法还是利用plot绘制，但代入矩阵：如果plot用于两个变量plot(x,y)，并且x，y是矩阵，则有以下情况：（1）如果y是矩阵，x是向量，plot(x,y)用不同的画线形式绘出y的行或列及相应的x 向量，y的行或列的方向与x向量元素的值选择是相同的．（2）如果x是矩阵，y是向量，则除了x向量的线族及相应的y 向量外，以上的规则也适用．（3）如果x，y是同样大小的矩阵，plot(x,y)绘制x的列及y相应的列．还有其它一些情况，请参见Matlab的帮助系统．§4.1.3 线型和颜色的控制如果不指定划线方式和颜色，Matlab会自动为您选择点的表示方式及颜色．您也可以用不同的符号指定不同的曲线绘制方式．例如：plot(x,y,'*') 用'*'作为点绘制的图形．plot(x1,y1,':',x2,y2,'+') 用':'画第一条线，用'+'画第二条线．如果你的计算机系统不支持彩色显示，Matlab将把颜色符号解释为线型符号，用不同的线型表示不同的颜色．颜色与线型也可以一起给出，即同时指定曲线的颜色和线型．例如：t=-3.14:0.2:3.14;x=sin(t); y=cos(t);§4.1.4对数图、极坐标图及条形图loglog、semilogx、semilogy和polar的用法和plot相似．这些命令允许数据在不同的graph paper上绘制，例如不同的坐标系统．先介绍的fplot是扩展来的可用于符号作图的函数．●fplot(fname,lims) 绘制fname指定的函数的图形．●polar( theta, rho) 使用相角theta 为极坐标形式绘图，相应半径为rho，其次可使用grid命令画出极坐标网格．●loglog 用log10-log10标度绘图．●semilogx 用半对数坐标绘图，x轴是log10，y是线性的．●semilogy 用半对数坐标绘图，y轴是log10，x是线性的．●bar(x) 显示x向量元素的条形图，bar不接受多变量．●hist 绘制统计频率直方图．●histfit(data,nbins) 绘制统计直方图与其正态分布拟合曲线．fplot函数的绘制区域为lims=[xmin,xmax]，也可以用lims=[xmin,xmax,ymin,ymax]指定y 轴的区域．函数表达式可以是一个函数名，如sin，tan等；也可以是带上参数x的函数表达式，如sin(x)，diric(x,10)；也可以是一个用方括号括起的函数组，如[sin, cos]．例1：fplot('sin',[0 4*pi])例2：fplot('sin(1 ./ x)', [0.01 0.1])例3：fplot('abs(exp(-j*x*(0:9))*ones(10,1))',[0 2*pi],'-o')例4：fplot('[sin(x), cos(x) , tan(x)]',[-2*pi 2*pi -2*pi 2*pi]) %%(图4.1.4.1)下面介绍的是其它几个作图函数的应用．例5：半对数坐标绘图t=0.001:0.002:20;y=5 + log(t) + t;semilogx(t,y, 'b')hold onsemilogx(t,t+5, 'r') %% (图4.1.4.2)例6：极坐标绘图t=0:0.01:2*pi;polar(t,sin(6*t)) %% (图4.1.4.3)图4.1.4.3 极坐标绘图图4.1.4.4正态分布的统计直方图与其正态分布拟合曲线例7：正态分布图我们可以用命令normrnd生成符合正态分布的随机数．normrnd(u,v,m,n)其中，u表示生成随机数的期望，v代表随机数的方差．运行：a=normrnd(10,2,10000,1);histfit(a) %% (图4.1.4.4)我们可以得到正态分布的统计直方图与其正态分布拟合曲线．例8：比较正态分布（图4.1.4.5（1））与平均分布（图4.1.4.5（2））的分布图：yn=randn(30000,1); %% 正态分布x=min(yn) : 0.2 : max(yn);。
