陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 数学家高斯拓展资料素材 北师大版必修5

常见的新定义数列问题近年高考中，常常出现新定义数列的考题．题目常常给出一种新数列的定义，通过阅读与理解题意，完成相关的问题．这是一类创新题型，需要对已经学过的数列知识理解彻透，并学会灵活运用这些知识去解决相关问题． 一、等和数列【例1】 （2004·北京）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和． 已知数列{}n a 是等和数列，且12a =，公和为5，那么18a 的值为 ，且这个数列的前21项和21S 的值为 ．【分析】 先对等和数列进行一般性的探讨．设{}n a 是等和数列，公和为m ，则由等和数列的定义知，数列{}n a 的各项依次为1111a m a a m a --，，，，，即 11n a a m a ⎧=⎨-⎩，，1122n n a m S mn ⎧-⎛⎫+ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪⎪⎩，， 【解析】 因为12a =，公和为5m =，所以18523a =-=，2121125522S -=+⨯=． 二、等积数列【例2】 （2005·保定市高考模拟）在一个数列中，若每一项与它的后一项的积都为同一个常数（有限数列的最后一项除外），则称该数列为等积数列，其中的常数称为公积．若数列{}n a 是等积数列，且102a =，公积为6，则1592005a a a a ⋅⋅⋅⋅=（ ）A ．5022B ．5012C ．5023D ．5013【分析】 先对等积数列进行一般性的探讨．设{}n a 是等积数列，公积为m ，则由等积数列的定义知，数列{}n a 的各项依次为 1111m m a a a a ，，，，，即11n a a m a ⎧⎪=⎨⎪⎩，，【解析】 由()2005114n =+-⋅可得：501n =，又因为102a =，公积为6，所以13a =，50215920053a a a a ⋅⋅⋅⋅=，故选C ．三、等方比数列n 为奇数；n 为偶数． n 为奇数； n 为偶数． n 为奇数；n 为偶数．【例3】 （2007·湖北）若数列{}n a 满足212n na p a +=，（p 为正常数，*n ∈N ），则称{}n a 为“等方比数列”．甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，则（ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解析】 由等比数列的定义数列，若乙：{}n a 是等比数列，公比为q ，即22112n n n na a q q a a ++=⇒=，则甲命题成立；反之，若甲：数列{}n a 是等方比数列，即22112n n n na a q q a a ++=⇒=±，即数列{}n a 公比不一定为q ，则命题乙不成立，故选B ．四、绝对差数列【例4】 （2006·北京）在数列{}n a 中，若12a a ，是正整数，且12n n n a a a --=-，345n =，，，，则称{}n a 为“绝对差数列”．⑴举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前10项）；⑵若“绝对差数列”{}n a 中203a =，210a =，数列{}n b 满足12n n n n b a a a ++=++，123n =，，，，分别判断当n →∞时，n a 与n b 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；⑶证明任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项．【分析】 关键是读懂题目中“绝对差数列”的含义．【解析】 ⑴13a =，21a =，32a =，41a =，51a =，60a =，71a =，81a =，90a =，101a =．（答案不唯一）；⑵在“绝对差数列”{}n a 中，因为203a =，210a =，所以自第20项开始，203a =，210a =，223a =，240a =，253a =，…，即每个相邻的项周期地取值3，0，3，所以当n →∞时，n a 的极限不存在，而当20n ≥时，126n n n n b a a a ++=++=，所以lim 6n x b →∞=．⑶证明 根据定义，数列{}n a 必在有限项后出现零项．证明如下：假设{}n a 中没有零项，由于12n n n a a a --=-，所以对任意的n ，都有1n a ≥，从而当12n n a a -->时，()12113n n n n a a a a n ---=--≤≥，当12n n a a --<时，()21213nn n n a a a n ---=--≤≥，即n a 的值要么比1n a -至少小1，要么比2n a -至少小1；令212122212n n n nn n a a a C a a a --->⎧=⎨<⎩，，123n =，，，，则()101234n n C C n -<<-=，，，由于1C 是确定的正整数，这样减少下去，必然存在0k C <，这与()0123n C n >=，，，，矛盾．所以{}n a 必有零项．若第一次出现的零项为第n 项，记()10n a A A -=≠，则自第n 项开始，第三个相邻的项周期地取值0，A ，A ，即30n k a +=，31n k a A ++=，32n k a A ++=，0123k =，，，，．所以“绝对差数列”{}n a 中总含有无穷多个为零的项．五、对称数列【例5】 （2007·上海）若有穷数列1a ，2a ，12n a a a ，，，（n 是正整数），满足1n a a =，21n a a -=，…，1n a a =，即1i n i a a -+=（i 是正整数，且1i n ≤≤），就称该数列为“对称数列”．⑴已知数列{}n b 是项数为7的对称数列，且1234b b b b ，，，成等差数列，14211b b ==，，试写出{}n b 的每一项；⑵已知{}n c 是项数为()211k k -≥的对称数列，且121k k k c c c +-，，，构成首项为50，公差为4-的等差数列，数列{}n c 的前21k -项和为21k S -，则当k 为何值时，21k S -取到最大值？最大值为多少？⑶对于给定的正整数1m >，试写出所有项数不超过2m 的对称数列，使得211222m -，，，，成为数列中的连续项；当1500m >时，试求其中一个数列的前2008项和2008S ．【解析】 ⑴设{}n b 的公差为d ，则4132311b b d d =+=+=，解得3d =，所以数列{}n b 为25811852，，，，，，． ⑵21121121k k k k k S c c c c c c --+-=+++++++()1212k k k k c c c c +-=+++-，()222141341350k S k -=--+⨯-， 所以当13k =时，21k S -取得最大值． 21k S -的最大值为626．⑶所有可能的“对称数列”是：①22122122222221m m m ---，，，，，，，，，，；②2211221222222221m m m m ----，，，，，，，，，，，； ③122221222212222m m m m ----，，，，，，，，，，； ④1222212222112222m m m m ----，，，，，，，，，，，． 对于①，当2008m ≥时，2200720082008122221S =+++++-．当15002007m <≤时，212220092008122222m m m m S ----=+++++++12200912200921222221m m m m m m ----=-+-=+--．对于②，当2008m ≥时，2008200821S =-． 当15002007m <≤时，1220082008221m m S +-=--． 对于③，当2008m ≥时，2008200822m m S -=-． 当15002007m <≤时，20092008223m m S -=+-． 对于④，当2008m ≥时，2008200822m m S -=-． 当15002007m <≤时，20082008222m m S -=+-．六、一阶差分数列【例6】 （2007·青岛质检）对于数列{}n a ，定义{}n a ∆为数列{}n a 的“一阶差分数列”，其中()*1n n n a a a n +∆=-∈N ．⑴若数列{}n a 的通项公式()2*51322n a n n n =-∈N ，求{}n a ∆的通项公式；⑵若数列{}n a 的首项是1，且2n n n a a ∆-=， ①证明数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； ②求{}n a 的前n 项和n S ．【解析】 ⑴依题意1n n n a a a +∆=-，所以()()2251351311542222n a n n n n n ⎡⎤∆=+-++-=-⎢⎥⎣⎦．⑵①因为2n n n a a ∆-=，所以12n n n n a a a +--=，即122n n n a a +=+， 所以111222n n n na a ++=+，又因为1122a =， 所以2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列； ②由①得：()1112222n n a nn =+-=． 所以1222n n n na n -=⋅=⋅．所以1232n n S a a a n =++++⋅．错位相减得：()121n n S n =-⋅+．七、周期数列【例7】 在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得n T m a a +=对任意正整数m 均成立，那么就称{}n a 为“周期数列”，其中T 叫做数列{}n a 的周期．已知数列{}n x 满足()*112n n n x x x n n +-=-∈N ≥，，如果11x =，2x a =()10a a ≠≤，，当数列{}n x 周期为3时，则该数列的前2008项的和为（ ） A ．668B ．669C ．1338D ．1339【解析】 由题知，3211x x x a =-=-，432111x x x a a x =-=--==，所以11a a -=+或11a a -=-，因为1a ≤，0a ≠，所以1a =，即得：123456110110x x x x x x ======，，，，，，，即数列{}n x 自第1项开始，每三个相邻的项周期地取值1，1，0． 而200836691=⨯+，所以2008266911339S =⨯+=，选D ．。

神奇的数列波那契公元1202年，意大利数学家斐波那契（1170—1250）在所著的《算法之书》中，提出了一下又取得问题：有一对刚诞生的幼兔（雌雄各一只）。

经过一个月长成成年兔。

每对成年兔每个月生下一对新幼兔（雌雄各一只）。

假设兔子永远按着上述规律成长、繁殖，并不会死去，问到第12个月时共有多少对兔子？1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233……这就是著名的斐波那契数列也叫做兔子数列。

该数列有很多奇妙的属性：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887……还有一项性质，从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积少（请自己验证后自己确定）1，每个偶数项的平方都比前后两项之积多（请自己验证后自己确定）1。

如果你看到有这样一个题目：某人把一个8×8的方格切成四块，拼成一个5×13的长方形，故作惊讶地问你：为什么64＝65？其实就是利用了斐波那契数列的这个性质：5、8、13正是数列中相邻的三项，事实上前后两块的面积确实差1，只不过后面那个图中有一条细长的狭缝，一般人不容易注意到。

计算机绘制的斐波那契螺旋自然界中的斐波那契数列最典型的例子就是以斐波那契螺旋方式排列的花序或树叶。

蓟、菊花、向日葵、松果、菠萝……都是按这种方式生长的。

如此的原因很简单：这样的布局能使植物的生长疏密得当、最充分地利用阳光和空气，所以很多植物都在亿万年的进化过程中演变成了如今的模样。

当然受气候或病虫害的影响，真实的植物往往没有完美的斐波那契螺旋。

每层树枝的数目也往往构成斐波那契数列。

曾在网上看到下面这样一组图，说的是花瓣数符合斐波那契数列各元素的各种植物，也许仅仅是巧合？另外，晶体的结构也往往与斐波那契数列有关。

在生活中我们会遇到许多这样的数列。

1、有一段楼梯有10级台阶,规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10级台阶有几种不同的走法?2、开始有三个数为1、1、1，每次操作把其中的一个数换成其他两个数的和。

如何由递推公式求通项公式高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要求考生进行严格的逻辑推理。

找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为熟悉的目的。

下面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考。

类型一：1()n n a a f n +-= 或 1()n na g n a += 分析：利用迭加或迭乘方法。

即：112211()()+()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+-+…… 或121121n n n n n a a a a a a a a ---=…… 例1.(1) 已知数列{}n a 满足11211,2n n a a a n n+==++，求数列{}n a 的通项公式。

（2）已知数列{}n a 满足1(1)1,2n n n a a s +==，求数列{}n a 的通项公式。

解：（1）由题知：121111(1)1n n a a n n n n n n +-===-+++ 112211()())n n n n n a a a a a +(a -a a ---∴=-+-++…… 1111111()()()121122n n n n =-+-++-+---…… 312n =- （2）2(1)n n s n a =+112(2)n n s na n --∴=≥两式相减得：12(1)(2)n n n a n a na n -=+-≥ 即：1(2)1n n a n n a n -=≥- 121121n n n n n a a a a a a a a ---∴=⋅⋅…… 121121n n n n -=⋅⋅--…… n =类型二：1(,(1)0)n n a pa q p q pq p +=+-≠其中为常数，分析：把原递推公式转为：1(),1n n q a t p a t p+-=--其中t=，再利用换元法转化为等比数列求解。

叠加、 叠乘、迭代递推、代数转化已知数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的特点归纳猜想出a n 的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将已知递推关系，用代数法、迭代法、换元法，或是转化为基本数列（等差或等比）的方法求通项．第一类方法要求学生有一定的观察能力以及足够的结构经验，才能顺利完成，对学生要求高．第二类方法有一定的规律性，只需遵循其特有规律方可顺利求解．在教学中，我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法．一、叠加相消．类型一：形如a 1+n ＝a n + f (n )， 其中f (n ) 为关于n 的多项式或指数形式（a n）或可裂项成差的分式形式．——可移项后叠加相消．例1：已知数列｛a n ｝,a 1＝0,n ∈N +，a 1+n ＝a n ＋（2n －1），求通项公式a n ． 解：∵a 1+n =a n ＋（2n －1）∴a 1+n =a n ＋（2n －1） ∴a 2－a 1 =1 、a 3－a 2=3 、…… a n －a 1-n =2n －3 ∴a n = a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a 1-n )=0＋1＋3＋5＋…＋(2n －3) =21[1＋(2n －3)]( n －1)=( n －1)2n ∈N + 练习1：⑴.已知数列｛a n ｝,a 1=1, n ∈N +，a 1+n =a n ＋3 n， 求通项公式a n ．⑵.已知数列｛a n ｝满足a 1＝3，)1(21+=-+n n a a n n ，n ∈N +，求a n ．二、叠乘相约．类型二：形如)(1n f a a n n =+.其中f (n ) =p pc mn b mn )()(++ （p ≠0，m ≠0,b –c = km ,k ∈Z）或nn a a 1+=kn （k ≠0）或n n a a 1+= km n( k ≠ 0, 0＜m 且m ≠ 1)．例2：已知数列｛a n ｝, a 1=1，a n ＞0,( n ＋1) a 1+n 2－n a n 2＋a 1+n a n =0，求a n ． 解：∵( n ＋1) a 1+n 2－n a n 2＋a 1+n a n =0 ∴ [(n ＋1) a 1+n －na n ](a 1+n ＋a n )= 0∵ a n ＞0 ∴ a 1+n ＋a n ＞0 ∴ (n ＋1) a 1+n －na n =0 ∴11+=+n n a a n n ∴nn n n n nn a a a a a a a a a a n n n n n n n 11212312111232211=⨯⨯⨯--⨯--⨯-=⨯⨯⨯⨯⨯=-----ΛΛ 练习2：⑴已知数列｛a n ｝满足S n =2na n ( n ∈N *), S n 是{ a n }的前n 项和,a 2=1,求a n ． ⑵.已知数列｛a n ｝满足a 1+n = 3 na n ( n ∈N *)，且a 1=1，求a n ． 三、逐层迭代递推．类型三：形如a 1+n = f (a n )，其中f (a n )是关于a n 的函数.——需逐层迭代、细心寻找其中规律．例3：已知数列｛a n ｝，a 1=1, n ∈N +，a 1+n = 2a n ＋3 n,求通项公式a n ． 解： ∵a 1+n = 2 a n ＋3 n∴ a n =2 a 1-n ＋3 n -1=2(2 a 2-n ＋3 n -2)＋3n -1= 22(2 a 3-n ＋3n -3)＋2·3n -2＋3n -1=……=2 n -2(2 a 1＋3)＋2 n -3·3 2＋2n -4·3 3＋2n-5·3 4＋…＋22·3 n-3＋2·3 n -2＋3n-1=2n -1＋2n -2·3＋2n -3·3 2＋2n-4·3 3＋…＋22·3n -3＋2·3n -2＋3n -1n n n n 2323123121-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=- 练习3:⑴.若数列｛a n ｝中，a 1=3，且a 1+n =a 2n （n ∈N +），求通项a n .⑵.已知数列｛a n ｝的前n 项和S n 满足S n =2a n +()n1-，n ∈N +,求通项a n ． 四、运用代数方法变形，转化为基本数列求解．类型四：形如1+n n a a = 1++n n qa pa ，（pq ≠ 0）．且0≠n a 的数列，——可通过倒数变形为基本数列问题．当p = －q 时，则有：pa a n n 1111=-+ 转化为等差数列； 当p ≠ －q 时，则有：ppa q a n n 111+-=+．同类型五转化为等比数列． 例4：若数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =22+n na a n ∈N +，求通项a n ．解： ∵ 221+=+n n n a a a又,011>=a Θ ∴0>n a ，∴n n a a 12111+=+ ∴21111=-+n n a a ∵111=a∴数列{ a n }是首项为1，公差为21的等差数列． ∴na 1=1＋()121-n ∴a n =12+n n ∈N +练习4：已知f (n ) =x x +32，数列{ a n }满足 a 1=1，a n =23f (a 1-n )，求a n ． 类型五：形如a 1+n ＝pa n + q ,pq ≠0 ，p 、q 为常数． 当p ＝1时，为等差数列；当p ≠1时，可在两边同时加上同一个数x ，即a 1+n + x = pa n + q + x⇒a 1+n + x = p (a n +p x q +)， 令x =px q + ∴x =1-p q时，有a 1+n + x = p (a n + x )，从而转化为等比数列 {a n +1-p q} 求解． 例5：已知数列{a n }中，a 1=1，a n =21a 1-n + 1，n = 1、2、3、…，求通项a n ． 解：∵ a n = 21a 1-n + 1 ⇒ a n －2 =21(a 1-n －2)又∵a 1－2 = -1≠0 ∴数列{ a n －2}首项为-1，公比为21的等比数列．∴ a n －2 = -11)21(-⨯n 即 a n = 2 －2n-1 n ∈N +练习5：⑴.已知 a 1=1，a n = 2 a 1-n + 3 (n = 2、3、4…) ，求数列{a n }的通项．⑵. 已知数列｛a n ｝满足a 1=21，a 1+n =12+n n a a ，求a n ．类型六：形如a 1+n ＝pa n + f (n )，p ≠0且 p 为常数，f (n )为关于n 的函数． 当p ＝1时，则 a 1+n ＝a n + f (n ) 即类型一．当p ≠1时，f (n )为关于n 的多项式或指数形式（a n）或指数和多项式的混合形式． ⑴若f (n )为关于n 的多项式（f (n ) = kn + b 或kn 2+ bn + c ，k 、b 、c 为常数），——可用待定系数法转化为等比数列．例6：已知数列{ a n }满足a 1=1，a 1+n = 2a n ＋n 2，n ∈N +求a n ． 解：令a 1+n + x [a (n +1)2+ b (n +1) + c ] = 2(a n + an 2+ bn + c )即 a 1+n = 2 a n + (2a –ax )n 2+ (2b -2ax – bx )n +2c –ax –bx – cx 比较系数得：⎪⎩⎪⎨⎧=---=--=-0202212cx bx ax c bx ax b ax a ⇒ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-=-=x bx ax c x ax b x a 22221 ⇒ 令x = 1，得：⎪⎩⎪⎨⎧===321c b a ∴ a 1+n + (n +1)2+2(n +1) + 3 = 2(a n + n 2+2n + 3) ∵ a 1+1+2×1+3 = 7令b n = a n + n 2+2n + 3 则 b 1+n = 2b n b 1= 7 ∴数列{ b n }为首项为7，公比为2德等比数列 ∴ b n = 7× 21-n 即 a n + n 2+2n + 3 = 7× 21-n ∴ a n = 7× 21-n －( n 2+2n + 3 ) n ∈N +⑵若f (n )为关于n 的指数形式（a n ）． ①当p 不等于底数a 时，可转化为等比数列； ②当p 等于底数a 时，可转化为等差数列． 例7：（同例3）若a 1=1，a n = 2 a 1-n + 31-n ，(n = 2、3、4…) ，求数列{a n }的通项a n ．解: ∵ a n = 2 a 1-n + 31-n ∴ 令a n + x ×3n = 2(a 1-n +x ×31-n ) 得 a n = 2 a 1-n －x ×31-n令-x ×3n = 3n ⇒x = -1 ∴ a n －3n = 2(a 1-n －31-n ) 又 ∵ a 1－3 = - 2∴数列{nn a 3-}是首项为-2,公比为2的等比数列． ∴n n a 3-=-2·21-n 即a n = 3n -2nn ∈N +例8：数列{ a n }中,a 1=5且a n =3a 1-n + 3n-1 (n = 2、3、4…) 试求通项a n ．解： a n =3a 1-n + 3n -1 ⇒ a n +-=--)21(3211n a 3n⇒132132111+-=---n n n n a a ⇒{n n a 321-}是公差为1的等差数列． ⇒n n a 321-=3211-a +(1-n ) = 3215-+(1-n ) = n +21 ⇒a n = (213)21+⨯+n n n ∈N +⑶若f (n )为关于n 的多项式和指数形式（a n ）的混合式，则先转换多项式形式在转换指数形式．例如上面的例8．练习6:⑴.已知数列{a n }中a 1= 1,a 1+n = 3 a n + n ,+∈N n ; 求{a n }的通项．⑵设a 0为常数，且a n = 31-n －2 a 1-n (n ∈N +且n ≥ 2 )．证明：对任意n ≥ 1，a n =51[3n + (-1)1-n 2n ] +(-1)n 2na 0． 类型七：形如a 2+n = p a 1+n + q a n ( pq ≠ 0， p 、q 为常数且p 2+ 4q > 0 )，——可用待定系数法转化为等比数列．例9: 已知数列{a n }中a 1= 1, a 2= 2且n n n a a a 212+=++ ,+∈N n ; 求{a n }的通项． 解:令a 2+n +x a 1+n = (1+x ) a 1+n + 2 a n ⇒ a 2+n +x a 1+n = (1+x )( a 1+n + x+12a n )令x =x+12 ⇒x 2+ x – 2 = 0 ⇒x = 1或 -2当x = 1时,a 2+n + a 1+n =2(a 1+n + a n ) 从而a 2+ a 1= 1 + 2 = 3 ∴数列{ a 1+n + a n }是首项为3且公比为2的等比数列. ∴ a 1+n + a n = 312-⨯n …… …… ①当x = - 2时, a 2+n - 2a 1+n = - (a 1+n -2a n ) , 而 a 2- 2a 1= 0 ∴ a 1+n - 2a n = 0 …… …… ② 由①、②得:a n = 21-n , +∈N n练习7：⑴已知: a 1= 2, a 2= 35, n n n a a a 323512-=++ ,(n = 1、2、3、……),求数列{ a n }的通项．⑵已知数列：1、1、2、3、5、8、13、……，根据规律求出该数列的通项． 五、数列的简单应用.例10:设棋子在正四面体ABCD 的表面从一个顶点移向另外三个顶点时等可能的.现抛掷骰子,根据其点数决定棋子是否移动,若投出的点数是奇数,则棋子不动；若投出的点数是偶数,棋子移动到另外一个顶点.若棋子初始位置在顶点A ，则⑴投了三次骰子,棋子恰巧在顶点B 的概率是多少⑵投了四次骰子,棋子都不在顶点B 的概率是多少⑶投了四次骰子,棋子才到达顶点B 的概率是多少？分析：考虑最后一次投骰子分为两种情况①最后一次棋子动；②最后一次棋子不动． 解：∵ 事件投一次骰子棋子不动的概率为21；事件投一次骰子棋子动且到达顶点B 的概率为3121⨯ =61． ⑴．投了三次骰子,棋子恰巧在顶点B 分为两种情况①.最后一次棋子不动，即前一次棋子恰在顶点B ；②.最后一次棋子动，且棋子移动到B 点．设投了i 次骰子，棋子恰好在顶点B 的概率为p i ，则棋子不在顶点B 的概率为(1- p i )．所以，投了i +1次骰子，棋子恰好在顶点B 的概率：p 1+i = p i ×21+ (1- p i )×61i = 1、2、3、4、……∴ p 1+i =61 + 31×p i ∵ p 1= 3121⨯=61∴ p 2=92 ∴ p 3=5413⑵．投了四次骰子,棋子都不在顶点B ，说明前几次棋子都不在B 点，应分为两种情况①最后一次棋子不动；②最后一次棋子动，且不到B 点．设投了i 次骰子，棋子都不在顶点B 的概率为i p ',则投了i +1次骰子，棋子都不在顶点B的概率为：1+'i p = i p '×21+ i p '×21×(1﹣31) i = 1、2、3、4、…… 即：1+'i p = 65i p '又∵1p '= 21+21×(1﹣31) = 65 ∴ 4p ' = (65)4 ⑶．投了四次骰子,棋子才到达顶点B ；说明前三次棋子都不在B 点，最后一次棋子动且 到达顶点B ．设其概率为P 则：P =3121⨯×3p ' = 61×(65)3= 1296125 答：（略）．例11：用砖砌墙，第一层（底层）用去了全部砖块的一半多一块；第二层用去了剩下的一半多一块，…，依次类推，每层都用去了上层剩下的一半多一块.如果第九层恰好砖块用完，那么一共用了多少块砖？分析：本题围绕两个量即每层的砖块数a i 和剩下的砖块数b i ，关键是找出a i 和b i 的关系式，通过方程(组)求解．解：设第i 层所用的砖块数为a i ，剩下的砖块数为b i (i = 1、2、3、4、…… )则b 9= 0，且设b 0为全部的砖块数，依题意，得a 1=21b 0+ 1，a 2=21b 1+ 1，…… a i =21b 1-i + 1 … … … … ① 又 b 1-i = a i + b i … … … … … ②联立①②得 b 1-i -b i =21b 1-i + 1 即b i =21b 1-i - 1 ∴ b i + 2 =21(b 1-i + 2) ∴ b 9+2 = (21)9(b 0+ 2 ) ∴ b 0+2 = 2×29∴ b 0= 1022练习8：⑴十级台阶，可以一步上一级，也可以一步上两级；问上完十级台阶有多少种不同走法？⑵. 三角形内有n 个点，由这n 个点和三角形的三个顶点，这n + 3个点可以组成多少个不重叠(任意两个三角形无重叠部分)的三角形？⑶．甲、乙、丙、丁四人传球，球从一人手中传向另外三个人是等可能的.若开始时球在甲的手中．若传了n 次球，球在甲手中的概率为a n ；球在乙手中的概率为b n .(n = 1、2、3、4、…… ).①问传了五次球，球恰巧传到甲手中的概率a 5和乙手中的概率b 5分别是多少？ ②若传了n 次球，试比较球在甲手中的概率a n 与球在乙手中的概率b n 的大小. ③传球次数无限多时，球在谁手中的概率大？参考答案练习1：⑴.an =21(3n-1) ⑵.an=nn2+练习2：⑴.an= n-1 ⑵.an= 32)1(-n n练习3：⑴. an = 321-n (提示：可两边取对数) ⑵. a n=32[22-n+ (-1)1-n]练习4：an =23+n练习5：⑴ an= 21+n-3 ⑵ an=12211+--nn练习6：⑴可得a1+n +21(n+1)+41= 3(an+21n +41) 从而an=47×31-n-(21n +41) ⑵(略)练习7：⑴an = 3 -132-nn，⑵由已知得a2+n= a1+n+ an⇒a n =55[(251+)n-(251-)n]练习8：⑴∵a2+n =a1+n+an，a1= 1，a2= 2，∴a10= 89 ⑵∵a1+n=an+ 2 ，a1= 3 ∴an=2n+1⑶①∵a1+n =31(1 - an) b1+n=31(1 -bn) a1= 0 b1=31∴a5=8120；b5=24361.②可解得an =41-41×1)31(--n bn=41+121×1)31(--n∴当n为奇数时，an <41<bn；当n为偶数时，an>41>bn③当n → ∞时，an →41，bn→41故球在各人手中的概率一样大．。

数列定义在解题中的潜在功能高考作为一种选拔性考试，在重视基础知识考查的同时，更加重视对应用能力的考查作为中学数学的重点内容之一，等差（比）数列一直是高考考查时重点，特别是近几年，有关数列的高考综合题，几乎都与等差（比）数列有关•这里我们感兴趣的是等差（比）数列的定义在解题中的潜在功能，即遇到数列问题，特别是证明通项为a n a1（n 1）d（a n a i q n1）或前n项和S n an2 bn（S n a（1 q n））,首先要证明它是等差（比）数列,必要时再进行适当转化，即将一般数列转化为等差（比）数列例1.设等差数列a n的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）.(A) 130(B) 170(C) 210(D) 260解若等差数列a n 前m项、次m项、又次m项和分别为S，9，S3,贝U S1，S2，S3也成等差数列.事实上，m(a1 a m)m(a2m 1 a3m)m[a1 a2m 1 ) (a n2 a3m)] S1 S3222m(2a m 1 2a2m)2 m(a m 1 a2m)2S2.22所以S，Sa，S3成等差数列因为30，70，S3m- 100成等差数列，所以30+S3m- 100=140,即£^210.故应选（C）.1 21 1例2.设｛a n｝是等差数列，b n（）3n，已知b| b2b3,b1 b2b3，求等差2 8 8数列的通项公式.解•/ ｛a n｝成等差数列，•••｛b n｝成等比数列，••• b；=bb.由bb2b3」,得b2 = -.8 217 1从而有b计b3= , b1b3=.8 417 1•- b1, b3是方程x —x + —8 40两根.解得b2,b3 £ 或b1 8，b3 2.8 8••• a i =— 1, d =2 或 a =3, d =— 2.故 a n =a i +( n — 1) d =2n — 3 或 a n =5— 2n .例3. 一个数列｛ n .a n ｝,当n 为奇数时，a n =5n +1;当n 为偶数时，a n =22,求这个数列的前 2m 项的和.解：••• a1, as ,a5,…，a 2m — 1成等差数列，a 2 ,a 4,比， ,a 2m 成等比数列,•-(a 1 a 3a 2m 1 )(a 2 a 4a2m )m(a 1a 2m 1) 亠m 12ma 2 25m m 2 .2例4.设数列a 1,a 2, , a n ,,前n 项和S 与a n 的关系是S n ka n 1 (其中k 是与n无关的常数，且 k 工1).(1) 试写出由n,k 表示的a n 的表达式；(2)若ii m S 1，求k 的取值范围.nn1解：(1)当 n=1 时，由 a 1 S 1 ka 1 1,得 a 1(k 1);1 k当 n >2 时，由 a n S n S n 1 (ka .1) (ka n 11) ka n ka n 1，得a n ka n 1 k 1若 k =0,则 a n =1( n =1)或 a n =0( n \ 2).1k若kT 则｛列是首项为讥，公比为厂的等比数列，所以an例5.已知数列｛ a n ｝的前n 项和的公式是S n12(2n 2 n).(1)求证: ｛an ｝是等差数列，并求出它的首项和公(2)记b n sin a n sin a n 1 sin a n 2 ,求证：对任意自然数n,都有b n证明：(1)当n =1时，a 1 S i;当n 》2时,4(2)：T im S n1, lim a n nn n nv 1，解得 k v1)n% '盼乜n)悝［2(n仔(n1)］二(4n 1).…a n(4n 1). a n a n 1 12存4n 1)訝 *1) 1］3(2) 只要证明｛ b n ｝是首项为2,公比为一1的等比数列.8•••｛ a n ｝是首项为—，公差为4 的等差数列.3bi sina i sina 2 sina 3.7 . 11 sin sin sin 4 12 12二(丄)(cos 兰cos 土 ) ，和2 2 12 12 8b nsin a n 2 sin(a n 1 ) sin a n 1 b n 1 sin a n 1 sin a n 1 sin a n 1 • ｛b n ｝是首项为丄2，公比为—1的等比数列，• 8b n£1)n1例6.设｛a n ｝是正数组成的数列，其前 n 项和为S, 并且对于所有自然数 n , a n 与2的等差中项等于 S 与2的等比中项 (1)写出数列｛a n ｝的前3项; (2)求数列｛a n ｝的通项公式(写出推证过程)；b n n).解(1 )•2蔦 2 - 2S n , S n (a n 82)-2 8a S 11 2 佝 2),得 a 12(a 1 >0) ； a ?8S 2S1£ ® a)2 2,8解得: a 21b(a 2 > 0) ； a 3S 3 S 2— @382)2 8, 解得：a 310( a 3 > 0)(2)1 2当 n >2时，an & Sn1-(a n 2)28(a n12),1aa(3)令 bn—(_^—)(n N)，求 lim bb ?2a n a n 1n2即 8a n (a n 2)(a . 12)2，即(a n 2)2 (am 2)2 0.(a n a n 1)(a n a n 1 4) 0.a na n 1 > 0, a na n 1 4.{ a n }是首项为 2,公差为4的等差数列,例7.已知数列｛a n ｝满足条件：a 1 1,a 2 r(r >o ),比数列.设 b na 2n 1 a 2n (a 1,2,a i(n 1) d 4n 2.(3)b nbi b 21/4 n 2 4n 21 ( )1 2(—2 4 n 2 4n 2 4n 2 1 1 b n n 2(), lim(b 12 4n 2 nb 2b n ) 1.(1) 求出使不等式 a n a n 1 a n1a n 2 > a n 2a * 3(n N)成立的q 的取值范围;(2) 求b n 和li m n1——，其中SS nb 1 b 2b n(3)219.21,q 1，求数列2log 2 b n 1 的最大项和最小项的值解:(1) n rq1rq> rq n(2)a n 1 a n 2 a n 2a n a n 1a n又b 1 a 1 a 21log 2 b n1,r >0, q >0, b n 1 b nb n 1｛b n ｝是首项为a 2n 2 a 2n 1 a 2nlimn1 S n1 q严(° 1 r0,(q 1)q 1),(3)log 2[(1 r)q n] log 2 b n log 2[(1 r)q n 1]gb n 1 记C nlog 2 b n 1 q 1 < 0「0< q <15a 2n 1q a 2n q a 2n 1a 2n1 + r ，公比为q 的等比数列， b n ，则有 C 20 W C n W C 21.log 2 b n故｛c n ｝的最大项为C 21=2.25，最小项为C 20 = — 4.(1 r)q n 13例8.设A 为数列｛a n ｝前n 项的和， 代(a n 1)(n N).数列｛b n ｝的通项公式为 2b n 4n 3( n N).且｛Sha n —1｝是公比为q (q >0)的等1).(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)若d a i，a2，a3，a n bibb， ,b n，，则称d 为数列｛a n｝与｛b n｝的公共项•将数列｛a n｝与｛b n｝的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列｛d n｝，证明数列｛d n｝的通项是d n 32n1(n N);(3)设数列｛dn｝中的第n项是数列｛b n｝中的第r项，B为数列｛b n｝前r项的和，D n为数列｛d n｝前n 项的和，T n=B —D,求ii m Tn4 .n(a n)3解：(1)当n=l 时，由a1(a11),得a i=3；23 a当n A 2 时，由a n A n A n 1 -(a n a n 1),得亠3(n > 2)2 a n 1••• ｛a n｝是首项为3,公比为3的等比数列，故a n3n(n N).(2)证｛d n｝是等比数列显然d1=a3=27,设a i=3k是数列｛b n｝中的第m项，贝U 3k 4m 3(k, m N).a k 13k 1 3 3k3(4m 3) 4(3m 2) 1;a k 2是数列｛b n｝中的第m+1项.d n2T9n c2n 3 /3 (n N).(3) 由题意,32n14r3, r32n1 33(32n 1).44又B r r(b1b r)3(32n1)(732n1) D27(32n 1) 28D n8T n B r D934n2n15 36 ndm 1 d m 9, • ｛d n｝是首项为27,公比为9的等比数列a k 1不是数列｛b n｝中的项.而a k 2 k 2 k3 9 3 9(4m 3) 4(9m 6) 33k 23kT n故limn。

数列的函数特性学习目标：理解数列的概念和几种简要的表示方法，了解数列是一种特殊函数，并能以函数角度给数列分类。

学习过程：一、课前准备自主学习：数列概念及相关知识，通项公式阅读P6-7通过用图像形象直观地刻画数列，结合图象认真思考、分析数列的特性。

二、新课导入①递增数列：②递减数列：③常数数列：自主测评1、下列结论中正确的是（）①在直角坐标系中表示数列的图像都是一群孤立的点②任何一个数列都有无数次③数的通项公式存在且唯一A、①②B、②③C、①②③D、①2、已知数列1112,,,6323的一个通项公式为（）A、1nB、6nC、3nD、4n3、判断下列数列的增减性（）①11111,,,,2481632K K②-3，-1，1，3，5，7……③-3，2，-4，-5，1，6，-2……④-2，-2，-2，-2……⑤0，1，0，1，0，1……探究：是不是所有的数列都有增减性三、巩固应用例3：判断下列无穷数列的增减性（1）2，1，0，-1，…，3-n,… (2)123,2341n n +K K K K ，，，， 例4：作出数列11111,,,,,()248162n ---K K ，…的图像，并分析数列的增减性。

试一试：1、P 8 T 22、已知数列{}n a 中；123,6,a a ==且21n n n a a a ++=-，则数列的第100项为3、已知数列{}n a 中，223n a n n =-+，则数列n a 是增还是减数列4、已知数列{}n a 中，276n a n n =-+，求数列{}n a 的最小项四、总结提升1、探究结论2、数列与函数有什么关系？五、能力拓展1、已知数列{}n a满足1120090,);n a a n N a 则等于++==?（ ） A 、0 B、- CD 、2 2、数列{}n a 满足13n n a a ++=，若320082,a a =则等于 。

3、已知函数()22x x f x -=-，数列{}n a 满足2(log )2n f a n ?（1）求数列{}n a 的通项公式（2）证明：数列{}n a是递减数列自我评价：这节课你学到了什么，你认为做自己的好的地方在哪里？作业：P9 AT5、6。

数学天才──高斯高斯（C.F.Gauss,1777.4.30-1855.2.23）是德国数学家、物理学家和天文学家，出生于德国布伦兹维克的一个贫苦家庭。

父亲格尔恰尔德·迪德里赫先后当过护堤工、泥瓦匠和园丁，第一个妻子和他生活了10多年后因病去世，没有为他留下孩子。

迪德里赫后来娶了罗捷雅，第二年他们的孩子高斯出生了，这是他们唯一的孩子。

父亲对高斯要求极为严厉，甚至有些过份，常常喜欢凭自己的经验为年幼的高斯规划人生。

高斯尊重他的父亲，并且秉承了其父诚实、谨慎的性格。

1806年迪德里赫逝世，此时高斯已经做出了许多划时代的成就。

在成长过程中，幼年的高斯主要是力于母亲和舅舅。

高斯的外祖父是一位石匠，30岁那年死于肺结核，留下了两个孩子：高斯的在成长过程中，幼年的高斯主要是力于母亲和舅舅。

高斯的外祖父是一位石匠，30岁那年死于肺结核，留下了两个孩子：高斯的母亲罗捷雅、舅舅弗利德里希（Friederich）。

弗利德里希富有智慧，为人热情而又聪明能干投身于纺织贸易颇有成就。

他发现姐姐的儿子聪明伶利，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开发高斯的智力。

若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成才之重要，他想到舅舅多产的思想，不无伤感地说，舅舅去世使"我们失去了一位天才"。

正是由于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠。

在数学史上，很少有人象高斯一样很幸运地有一位鼎力支持他成才的母亲。

罗捷雅直到34岁才出嫁，生下高斯时已有35岁了。

他性格坚强、聪明贤慧、富有幽默感。

高斯一生下来，就对一切现象和事物十分好奇，而且决心弄个水落石出，这已经超出了一个孩子能被许可的范围。

当丈夫为此训斥孩子时，他总是支持高斯，坚决反对顽固的丈夫想把儿子变得跟他一样无知。

罗捷雅真诚地希望儿子能干出一番伟大的事业，对高斯的才华极为珍视。

概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结数列一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

如 （1）已知*2()156n na n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__ （答：125）； （2）数列}{n a 的通项为1+=bn ana n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围 （答：3λ>-）；（4）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（ ）（答：A ）A B C D二．等差数列的有关概念：1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。

如设{}n a 是等差数列，求证：以b n =na a a n+++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。

2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。

如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ （答：833d <≤） 3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1)2n n n S na d -=+。

如 （1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152n S =-，则1a ＝＿，n ＝＿（答：13a =-，10n =）；（2）已知数列 {}n a 的前n 项和212n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T（答：2*2*12(6,)1272(6,)n n n n n N T n n n n N ⎧-≤∈⎪=⎨-+>∈⎪⎩）. 4．等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2a bA +=。