层次分析法及matlab程序

层次分析法及m a t l a b程序Prepared on 21 November 2021层次分析法建模层次分析法（AHP－Analytic Hierachy process）---- 多目标决策方法70 年代由美国运筹学家T·L·Satty提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。

吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，采用此方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。

传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有：机理分析方法：利用经典的数学工具分析观察的因果关系；统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述（自然现象、社会现象）现象的规律。

基本内容：（1）多目标决策问题举例AHP建模方法（2）AHP建模方法基本步骤（3）AHP建模方法基本算法（3）AHP建模方法理论算法应用的若干问题。

参考书： 1、姜启源，数学模型（第二版，第9章；第三版，第8章），高等教育出版社2、程理民等，运筹学模型与方法教程，（第10章），清华大学出版社3、《运筹学》编写组，运筹学（修订版），第11章，第7节，清华大学出版社一、问题举例：A．大学毕业生就业选择问题获得大学毕业学位的毕业生，“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。

就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：①能发挥自己的才干为国家作出较好贡献（即工作岗位适合发挥专长）；②工作收入较好（待遇好）；③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；④单位名声好（声誉-Reputation）；⑤工作环境好（人际关系和谐等）⑥发展晋升（promote, promotion）机会多（如新单位或单位发展有后劲）等。

问题：现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策，问题是他将如何作出决策和选择——或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序工作选Ｂ.假期旅游地点选择暑假有3个旅游胜地可供选择。

例如：1P ：苏州杭州，2P 北戴河，3P 桂林，到底到哪个地方去旅游最好要作出决策和选择。

为此，要把三个旅游地的特点，例如：①景色；②费用；③居住；④环境；⑤旅途条件等作一些比较——建立一个决策的准则，最后综合评判确定出一个可选择的最优方案。

目标层准则层方案层C ．资源开发的综合判断7种金属可供开发，开发后对国家贡献可以通过两两比较得到，决定对哪种资源先开发，效用最用。

二、问题分析：例如旅游地选择问题：一般说来，此决策问题可按如下步骤进行： （S1）将决策解分解为三个层次，即：目标层：（选择旅游地）准则层：（景色、费用、居住、饮食、旅途等5个准则）方案层：（有1P ，2P ，3P 三个选择地点）并用直线连接各层次。

（S2）互相比较各准则对目标的权重，各方案对每一个准则的权重。

这些权限重在人的思维过程中常是定性的。

例如：经济好，身体好的人：会将景色好作为第一选择；中老年人：会将居住、饮食好作为第一选择； 经济不好的人：会把费用低作为第一选择。

而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。

（S3）将方案后对准则层的权重，及准则后对目标层的权重进行综合。

（S4）最终得出方案层对目标层的权重，从而作出决策。

以上步骤和方法即是AHP 的决策分析方法。

三、确定各层次互相比较的方法——成对比较矩阵和权向量在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而Santy 等人提出：一致矩阵法．．．．．即：1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较2. 对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。

因素比较方法 —— 成对比较矩阵法：目的是，要比较某一层n 个因素n C C C , ,,21 对上一层因素O 的影响（例如：旅游决策解中，比较景色等5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性）。

采用的方法是：每次取两个因素i C 和j C 比较其对目标因素O 的影响，并用ija 表示，全部比较的结果用成对比较矩阵表示，即：)1( 1,0 ,)(=⋅=>=ij ij ijji ij nxn ij a a a a a a A 或 （1）由于上述成对比较矩阵有特点： jiij ij ij a a a a A 1 ,0 , )(=>= 故可称A 为正互反矩阵：显然，由 jiij a a 1=，即：1=⋅ji ij a a ，故有：1=ji a 例如：在旅游决策问题中：2112=a =（费用）（景色）21C C 表示：⎩⎨⎧2O 1O 21的重要性为（费用）对目标的重要性为景色）对目标（C C故：），费用重要性为即景色重要性为21(2112=a14413==a = （居住条件）（景色）31C C 表示：⎩⎨⎧1O C 4O (31的重要性为（居住条件）对目标的重要性为景色）对目标C 即：景色为4，居住为1。

17723==a =（居住条件）（费用）32C C 表示：⎩⎨⎧1O C 7O (32的重要性为（居住条件）对目标的重要性为费用）对目标C 即：费用重要性为7，居住重要性为1。

因此有成对比较矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1135131112513131211714155337412121A 问题：稍加分析就发现上述成对比较矩阵的问题： ① 即存在有各元素的不一致性，例如：既然：41114a ;22113313113212112==⇒===⇒==a a C C a C C a 所以应该有：188412131231213223======C C C C a a C C a而不应为矩阵A 中的1723=a②成对比较矩阵比较的次数要求太 ，因：n 个元素比较次数为：!2)1(2-=n n C n 次， 因此，问题是：如何改造成对比较矩阵，使由其能确定诸因素n C C , ,1 对上层因素O 的权重对此Saoty 提出了：在成对比较出现不一致情况下，计算各因素n C C , ,1 对因素（上层因素）O 的权重方法，并确定了这种不一致的容许误差范围。

为此，先看成对比较矩阵的完全一致性——成对比较完全一致性四：一致性矩阵Def ：设有正互反成对比较矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=============== 1 a , , 1 , , 1 1nn 221122222212211121121111n n n n n n j iij n n n n W W W W a W W a W W a W W a W W a W W a W W a W W a W W a A(4) 除满足：（i ）正互反性：即)1 ( 10=⋅=>ji ij jiij ij a a a a a 或 而且还满足：（ii ）一致性：即n 2, 1,j i, ==⋅==ha h a a k a a a a j i kj i j i ij A A A n ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n W W W W W W W W W W WW W W W W W W A212221212111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321W W W W n nW nW nW W W W W W W W W W W W W W W W A n n n nn n n=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212121121110)(=-nI A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n W W W W 21ωn n M M M , , ,21 n W W W , , ,21 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n W W W W 21A()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∑⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛称特征根法，求权向量的方法量权向量，此种用特征向为即对上层因素O的权重，，C ，，C C ，就表示诸因素＝W＝则归一化后的特征向量，＝：重量向量　为特征根的特征向量为以的特征根为n 21 1W W W W ,121 i n W W W n n A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n W W W W 21n M M M , , ,21 A A A A W ij a ij a A i W A λW W W W n A n =max λAA λW A λW λλ=→k kk lim W W k k =∞→lim A A k k =∞→lim A A A *A A A A ≈*A A A A λλW W W e A e e A k T kk =∞→lim ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111e W λA n n ≥λn =λA I C ⋅A A A ()][WW )(－及λλ-W max W A λ＝nW AW =m ax λA W A A A ∑∑∑∑=======nk n k kk n k n n k k n a 11111λλ＝A 1=ii a n ==max λλA n =max λA n≥max λ∑∑==+≠na iik hmaxmax λλλ∑≠-=-maxmax k kn λλ11maxmax --=--=⋅∑≠n n nI C k kλλn =max λ0=⋅I C A I C ⋅A A A10⋅≤⋅I C A I R ⋅A I R ⋅I R ⋅① IR IC R C ⋅⋅=⋅I R ⋅A A I C ⋅I R ⋅n A ')(j i a ij<'91ij a 'ji a 'ji ij a a '='11='ii a 然后再计算A '的一致性指标I C ⋅，因此A '是非常不一致的，此时，I C ⋅值相当大.② 如此构造相当多的A '，再用它们的I C ⋅平均值作为随机一致性指标。

③ Satty 对于不同的1(=n n ～11)，用100～500个样本A '计算出上表所列出的随机一致性指标I R ⋅作为修正值表。

3. 一致性检验指标的定义——一致性比率R C ⋅。

由随机性检验指标R C ⋅可知：当2 ,1=n 时，0=⋅I R ，这是因为1, 2阶正互反阵总是一致阵。

对于3≥n 的成对比较阵A ，将它的一致性指标I C ⋅与同阶（指n 相同）的随机一致性指标I R ⋅之比称为一致性比率——简称一致性指标， 即有： 一致性检验指标的定义——一致性比率定义：I R I C R C ⋅⋅=⋅： IR IC R C ⋅⋅=⋅当：10⋅<⋅⋅=⋅I R IC R C 时，认为主观判断矩阵A 的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量。

否则，对主观判断矩阵A 重新进行成对比较，构重新的主观判断矩阵A 。