人教版高一数学必修一基本初等函数解析

1 基本初等函数

一．【要点精讲】

1．指数与对数运算

（1）根式的概念：

①定义：若一个数的n次方等于),1(Nnna且，则这个数称a的n次方根。即若axn，则x称a的n次方根)1Nnn且，

1）当n为奇数时，na的次方根记作na；

2）当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作)0(aan

②性质：1）aann)(；2）当n为奇数时，aann；

3）当n为偶数时，)0()0(||aaaaaan。

（2）．幂的有关概念

①规定：1）naaaan(N*；2）)0(10aa；

n个

3）paapp(1Q，4）maaanmnm,0(、nN* 且)1n

②性质：1）raaaasrsr,0(、sQ）；

2）raaasrsr,0()(、s Q）；

3）rbababarrr,0,0()( Q）。

（注）上述性质对r、sR均适用。

（3）．对数的概念

①定义：如果)1,0(aaa且的b次幂等于N，就是Nab，那么数b称以a为底N的对数，记作,logbNa其中a称对数的底，N称真数

1）以10为底的对数称常用对数，N10log记作Nlg；

2）以无理数)71828.2(ee为底的对数称自然对数，Nelog，记作Nln；

②基本性质：

1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）01loga； 2 3）1logaa；4）对数恒等式：NaNalog。

③运算性质：如果,0,0,0,0NMaa则

1）NMMNaaaloglog)(log；

2）NMNMaaalogloglog；

3）nMnMana(loglogR）

④换底公式：),0,1,0,0,0(logloglogNmmaaaNNmma

1）1loglogabba；2）bmnbanamloglog。

2．指数函数与对数函数

（1）指数函数：

①定义：函数)1,0(aaayx且称指数函数，

1）函数的定义域为R；2）函数的值域为),0(；

3）当10a时函数为减函数，当1a时函数为增函数。

②函数图像：

1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；

2）指数函数都以x轴为渐近线（当10a时，图象向左无限接近x轴，当1a时，图象向右无限接近x轴）；

3）对于相同的)1,0(aaa且，函数xxayay与的图象关于y轴对称

③函数值的变化特征：

10a 1a

①100yx时 ，

②10yx时 ，

③10yx时 ①10yx时 ，

②10yx时 ，

③100yx时 ，

3 （2）对数函数：

①定义：函数)1,0(logaaxya且称对数函数，

1）函数的定义域为),0(；2）函数的值域为R；

3）当10a时函数为减函数，当1a时函数为增函数；

4）对数函数xyalog与指数函数)1,0(aaayx且互为反函数

②函数图像：

1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；

2）对数函数都以y轴为渐近线（当10a时，图象向上无限接近y轴；当1a时，图象向下无限接近y轴）；

4）对于相同的)1,0(aaa且，函数xyxyaa1loglog与的图象关于x轴对称。

③函数值的变化特征：

（3）幂函数

1）掌握5个幂函数的图像特点

2）a>0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数

3）过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）,当幂函数为奇函数时过（-1，-1）

当a>0时过（0，0）

4）幂函数一定不经过第四象限

10a 1a

①01yx时，

②01yx时，

③010yx时. ①01yx时，

②01yx时，

③100yx时.

4 四．【典例解析】

题型1：指数运算

例1．（1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(；

（2）化简：5332332323323134)2(248aaaaabaaabbbaa。

解：（1）原式=41322132)10000625(]102450)81000()949()278[(

922)2917(21]1024251253794[；

（2）原式=51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(aaaaababbaabaa

23231616531313131312)2(aaaaaabaabaa。

点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。

例2．（1）已知11223xx，求22332223xxxx的值

解：∵11223xx，

∴11222()9xx，

∴129xx，

∴17xx，

∴12()49xx，

∴2247xx，

又∵331112222()(1)3(71)18xxxxxx， 5 ∴223322247231833xxxx。

点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。

题型2：对数运算

（2）.(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数()yfx的图象经过点1(2,)8，则满足()fx＝27的x的值是 .

答案 13

例3．计算

（1）2(lg2)lg2lg50lg25；（2）3948(log2log2)(log3log3)；

（3）1.0lg21036.0lg21600lg)2(lg8000lg5lg23

解：（1）原式22(lg2)(1lg5)lg2lg5(lg2lg51)lg22lg5

(11)lg22lg52(lg2lg5)2；

（2）原式lg2lg2lg3lg3lg2lg2lg3lg3()()()()lg3lg9lg4lg8lg32lg32lg23lg2

3lg25lg352lg36lg24；

（3）分子=3)2lg5(lg2lg35lg3)2(lg3)2lg33(5lg2；

分母=41006lg26lg101100036lg)26(lg；

原式=43。

点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧

例4．设a、b、c为正数，且满足222abc

（1）求证：22log(1)log(1)1bcacab；

（2）若4log(1)1bca，82log()3abc，求a、b、c的值。 6 证明：（1）左边222logloglog()abcabcabcabcabab

22222222222()22loglogloglog21abcaabbcabccababab；

解：（2）由4log(1)1bca得14bca，

∴30abc……………①

由82log()3abc得2384abc………… ……………②

由①②得2ba……………………………………③

由①得3cab，代入222abc得2(43)0aab，

∵0a， ∴430ab………………………………④

由③、④解得6a，8b，从而10c。

点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。

题型3：指数、对数方程

例5．(江西师大附中2009届高三数学上学期期中)

已知定义域为R的函数abxfxx122)(是奇函数.

（1）求a,b的值；

（2）若对任意的Rt，不等式0)2()2(22ktfttf恒成立，求k的取值范围.

解 （1） 因为)(xf是R上的奇函数，所以1,021,0)0(babf解得即

从而有.212)(1axfxx 又由aaff1121412)1()1(知，解得2a

（2）解法一：由（1）知,121212212)(1xxxxf

由上式易知)(xf在R上为减函数，又因)(xf是奇函数，从而不等式

0)2()2(22ktfttf等价于).2()2()2(222ktfktfttf

因)(xf是R上的减函数，由上式推得.2222kttt

即对一切,0232kttRt有从而31,0124kk解得

解法二：由（1）知,2212)(1xxxf

又由题设条件得0221222121221222222ktkttttt

即0)12)(22()12)(22(2222212212ktttttkt

整理得12232ktt，因底数2>1，故0232ktt