2020年中考一元二次方程专题训练题(附答案)

一元二次方程测试题一．选择题1．用配方法解关于x 的一元二次方程x 2－2x －3＝0，配方后的方程可以是( )A ．(x －1)2＝4B ．(x ＋1)2＝4C ．(x －1)2＝16D ．(x ＋1)2＝162．某学校准备修建一个面积为200m 2的矩形花圃，它的长比宽多10m ，设花圃的宽为x m ，则可列方程为【 】A ．x (x －10)＝200B ．2x ＋2(x －10)＝200C ．x (x ＋10)＝200D ．2x ＋2(x ＋10)＝2003． 若一元二次方程022=++m x x 有实数解，则m 的取值范围是 （ ）A. 1-≤mB. 1≤mC. 4≤mD.21≤m 4． 已知关于x 的一元二次方程(a-1)x 2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a>2B ．a<2C ．a<2且a ≠1D ．a<-241．5. 某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x ，根据题意列方程得（ ）A ． 168（1+x ）2=128B ． 168（1﹣x ）2=128C ． 168（1﹣2x ）=128D ． 168（1﹣x 2）=1286. 若方程2360x x m -+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）7.已知关于x 的方程()0112=--+x k kx ，下列说法正确的是（ ）. A.当0=k 时，方程无解B.当1=k 时，方程有一个实数解C.当1-=k 时，方程有两个相等的实数解D.当0≠k 时，方程总有两个不相等的实数解8.已知b ＜0，关于x 的一元二次方程（x ﹣1）2=b 的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．有两个实数根9.如果三角形的两边长分别是方程x 2﹣8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（ ）A ．B ． 5C ．D ． 4 10.已知一元二次方程062=+-c x x 有一个根为2，则另一根为（ ）11.若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a ﹣b 的值是（ ）A ． 2018B ． 2008C ． 2014D ． 201218．二．填空题12一元二次方程0322=--x x 的解是13. 已知1是关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0的一个根，则m 的值是14. 已知03522=--x x n m 是方程和的两根，则=+nm 11 . 15.已知关于x 的一元二次方程x 2+bx+b ﹣1=0有两个相等的实数根，则b 的值是16.若关于x 的方程22(2)0ax a x a +++=有实数解，那么实数a 的取值范围是_____________三．解答题１．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售2.雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款3.如图所示，在长和宽分别是a 、b 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x 的正方形．（1）用a ，b ，x 表示纸片剩余部分的面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．．4. 已知一元二次方程x 2-(2k+1)x +k 2+k=0 .(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若△ABC 的两边AB 、AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5. 当△ABC 是等腰三角形时，求k 的值.5. 用配方法解关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0．6.已知：关于x 的方程kx 2－(3k －1)x +2(k －1)=0（1）求证：无论k 为何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x 1，x 2,且│x 1－x 2│=2,求k 的值.7.已知关于x 的一元二次方程04222=-++k x x 有两个不相等的实数根（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值。

解一元二次方程专项练习题（带答案）1、用配方法解下列方程：（1） 025122＝＋＋x x （2） 1042＝＋x x（3） 1162＝－x x （4）0422＝－－x x2、用配方法解下列方程：（1） 01762＝＋－x x （2） x x 91852＝－（3） 52342＝－x x （4）x x 2452－＝3、用公式法解下列方程：（1） 08922＝＋－x x （2） 01692＝＋＋x x（3） 38162＝＋x x （4）01422＝－－x x4、运用公式法解下列方程:(1) 01252＝－＋x x (2) 7962＝＋＋x x（3） 2325x x ＝＋ （4） 1)53)(2(＝－－x x5、用分解因式法解下列方程：（1）01692＝＋＋x x （2） x x x 22)1(3－＝－（3）)32(4)32(2＋＝＋x x （4）9)3(222－＝－x x6、用适当方法解下列方程：（1） 22(3)5x x -+= （2） 230x ++=（3） 2)2)(113(=--x x ； （4） 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x7、 解下列关于x 的方程:(1) x 2+2x －2=0 (2) 3x 2+4x －7=(3) (x +3)(x －1)=5 （4) (x －2)2+42x =08、解下列方程（12分）（1）用开平方法解方程：4)1(2=-x （2）用配方法解方程：x 2 —4x +1=0（3）用公式法解方程：3x 2+5(2x+1)=0 （4）用因式分解法解方程：3(x -5)2=2(5-x )9、用适当方法解下列方程：（1）0)14(＝－x x （2）027122＝＋＋x x（3）562＋＝x x （4）45)45(＋＝＋x x x（5）x x 314542＝－ （6）0242232＝－＋－x x（7）12)1)(8(＝－＋＋x x （8）14)3)(23(＋＝＋＋x x x解一元二次方程专项练习题 答案1、【答案】（1）116±－； （2） 142±－； （3） 523±； （4） 51± 2、【答案】（1）11＝x ，612＝x （2）31＝x ，562＝－x（3）41＝x ，4132＝－x （4）5211±－＝x3、【答案】 （1） 4179±＝x （2） 3121＝－＝x x （3） 411＝x ，432＝－x （4）262±＝x4、【答案】 (1) x 1=561,5612--=+-x (2). x 1=－3+7,x 2=－3－7（3）21＝x ，312＝－x （4）61311±＝x 5、【答案】（1）3121＝－＝x x （2）11＝x ，322＝－x（3）231＝－x ，212＝x （4）31＝x ，92＝x6、【答案】（1）11＝x ，22＝x （2）321＝－＝x x （3）4,3521==x x ； （4）3,221-==x x7、【答案】(1)x =－1±3; (2)x 1=1，x 2=－37(3)x 1=2，x 2=－4; (4)25.x 1=x 2=－2 8、【答案】解：（1） 1,321-==x x （2）32,3221-=+=x x（3）3105,310521--=+-=x x （4）313,521==x x 。

完整版)一元二次方程100道计算题练习(附答案)1、(x+4)=5(x+4)^22、(x+1)=4x3、(x+3)=(1-2x)^24、2x^2-10x=35、x^2=646、(x+5)^2=167、2(2x-1)-x(1-2x)=08、5x^2-2/5=09、8(3-x)^2-72=010、3x(x+2)=5(x+2)11、(1-3y)^2+2(3y-1)=012、x^2+2x+3=013、x^2+6x-5=014、x^2-4x+3=015、x^2-2x-1=016、2x^2+3x+1=017、3x^2+2x-1=018、5x^2-3x+2=019、3x-3=020、-2x+12=021、x^2-6x+9=022、3x-2=2x+323、x-2x-4=024、x=3/425、3x^2+8x-3=026、3x^2+11x+14=027、x=-9 or x=-228、2(x-3)^2=x^2-929、-3x^2+22x-24=030、4t^2-4t+1=031、(2x-3)^2-121=032、x^2-4x=033、(x+2)^2=8x34、x=1/3 or x=-235、7x^2+2x-36=036、x=1 or x=-1 or x=3/237、4(x-3)^2+x(x-3)=038、6x^2-31x+35=039、x=1/2 or x=140、2x^2-23x+65=0这是一组一元二次方程的计算题练，需要用不同的方法来解决这些问题。

为了方便，我们可以将这些方程按照不同的方法分类。

一种方法是因式分解法，另一种方法是开平方法，还有一种方法是配方法，最后一种方法是公式法。

根据不同的题目，我们可以选择不同的方法来解决问题。

例如，对于方程(x-2)^2=(2x-3)^2，我们可以使用因式分解法来解决。

将方程化简后，得到x=5/3或x=-1/3.对于方程2x^2-5x+2=0，我们可以使用配方法来解决。

将方程化简后，得到x=1/2或x=2.对于方程-3x^2+22x-24=0，我们可以使用公式法来解决。

22020 中考数学 一元二次方程（含答案）A 组 基础题组一、选择题1.用配方法解一元二次方程 x 2-6x-10=0 时,下列变形正确的是()A.(x+3)2=1B.(x-3)2=1C.(x+3)2=19D.(x-3)2=192.如果 x 2-x-1=(x+1)0,那么 x 的值为()A.2 或-1B.0 或 1C.2D.-13.一元二次方程 x 2-4x=12 的根是( )A.x 1=2,x 2=-6B.x 1=-2,x 2=6C.x 1=-2,x 2=-6D.x 1=2,x 2=64.已知关于 x 的一元二次方程 x 2+2x-(m-2)=0 有实数根,则 m 的取值范围是( )A.m>1B.m<1C.m≥1D.m≤15.若 1-√3是方程 x 2-2x+c=0 的一个根,则 c 的值为()A.-2B.4√3-2C.3-√3D.1+√36.关于 x 的一元二次方程(k+1)x 2-2x+1=0 有两个实数根,则 k 的取值范围是( )A.k≥0B.k≤0C.k<0 且 k≠-1D.k≤0 且 k≠-17.某文具店三月份销售铅笔 100 支,四、五两个月销售量连续增长.若月平均增长率为 x,则该文具店五月份销售铅笔的支数是()A.100(1+x)B.100(1+x)2C.100(1+x 2)D.100(1+2x)二、填空题8.方程 2x 2-3x-1=0 的两个根分别为 x 1,x 2,则x 1 +x 2 =.9.某加工厂九月份加工了 10 吨干果,十一月份加工了 13 吨干果.设该厂加工干果质量的月平均增长率为 x,根据题意可列方程为.10.如果关于 x 的一元二次方程 kx 2-3x-1=0 有两个不相等的实数根,那么 k 的取值范围是.A.x 1+x 2=-52三、解答题11.张晓为学校合唱队购买某种服装时,商店经理给出了如下优惠条件:如果一次性购买不超过 10 件,则单价为 80 元;如果一次性购买多于 10 件,那么每增加 1 件,购买的所有服装的单价降低 2 元,但单价不得低于 50 元.按此优惠条件,张晓一次性购买这种服装付了 1 200 元.请问他购买了多少件这种服装.B 组 提升题组一、选择题1.已知一元二次方程 2x 2-5x+1=0 的两个根分别为 x 1、x 2,下列结论正确的是()2B.x 1x 2=1C.x 1,x 2 都是有理数D.x 1,x 2 都是正数2.已知关于 x 的一元二次方程 mx 2+2x-1=0 有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围是()A.m<-1B.m>1C.m<1 且 m≠0D.m>-1 且 m≠0二、解答题3.已知关于 x 的一元二次方程 x 2+(2x+1)x+k 2=0 有两个不相等的实数根.(1)求 k 的取值范围;(2)设方程的两个实数根分别为 x 1,x 2,当 k=1 时,求x 1 +x 2 的值.-4.随着互联网的迅速发展,某购物网站的年销售额从 2013 年的 200 万元增长到 2015 年的392 万元.求该购物网站平均每年销售额增长的百分率.5.为积极响应新旧动能转换,提高公司经济效益.某科技公司近期研发出一种新型高科技设备,每台设备成本价为 30 万元,经过市场调研发现,每台设备售价为 40 万元时,年销售量为600 台;每台设备售价为 45 万元时,年销售量为 550 台.假定该设备的年销售量 y(单位:台)和销售单价 x(单位:万元)成一次函数关系.(1)求年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式;(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于 70 万元,如果该公司想获得 10 000 万元的年利润,则该设备的销售单价应是多少万元?参考答案A 组 基础题组一、选择题1.D 方程移项得 x 2-6x=10,配方得 x 2-6x+9=19,即(x-3)2=19,故选 D.2.C 原方程等价于 x 2-x-2=0,则 a=1,b=-1,c=-2,Δ=(-1)2-4×1×(-2)=9,所以 x=-b±√b 2 4ac=1±√9=1±3, 2a2 2∴x 1+x 2=- = ,x 1·x 2= =- ,b3c13 113222∴x1 +x2 =(x 1+x 2) -2x 1·x 2=( ) -2×(- )=.2(-3) -4 × k × (-1) >0,所以 x 1=2,x 2=-1(舍去),故选 C.3.B 方程整理得 x 2-4x-12=0,分解因式得(x+2)(x-6)=0,解得 x 1=-2,x 2=6.故选 B.4.C ∵关于 x 的一元二次方程 x 2+2x-(m-2)=0 有实数根,∴Δ=b 2-4ac=22-4×1×[-(m-2)]≥0,解得 m≥1.故选 C.5.A ∵关于 x 的方程 x 2-2x+c=0 的一个根是 1-√3,∴(1-√3)2-2(1-√3)+c=0,解得 c=-2.故选 A.6.D 根据题意得 k+1≠0 且 Δ=(-2)2-4(k+1)≥0,解得 k≤0 且 k≠-1.故选 D.7.B若 月 平 均 增 长 率 为 x, 则 四 月 份 的 销 售 量 为 100(1+x) 支 , 五 月 份 的 销 售 量 为100(1+x)(1+x)支,即 100(1+x)2,故选 B.二、填空题8.答案134解析 ∵方程 2x 2-3x-1=0 的两个根分别为 x 1,x 2,a 2a22 2 2 49.答案 10(1+x)2=13解析 根据题意,可列方程为 10(1+x)2=13.10.答案 k>-9且 k≠04解析 ∵关于 x 的一元二次方程 kx 2-3x-1=0 有两个不相等的实数根,∴k≠0 且 Δ>0,k ≠ 0,即{解得 k>-9且 k≠0.4三、解答题x 1 + x 2 = ,51.D 由题意可得:{x 1x 2 = ,∵x 1x 2= >0,∴x 1、x 2同号,1又∵x 1+x2= >0,∴x 1,x 2 都是正数.5 即{m ≠ 0, x 1+x 2=- ,x 1x 2=,1129 3 911.解析 设他购买了 x 件服装,因为 80×10=800<1 200,所以列方程得:[80-2(x-10)]x=1 200,解得 x 1=20,x 2=30,当 x=20 时,80-2×(20-10)=60>50,符合题意;当 x=30 时,80-2×(30-10)=40<50,不符合题意,舍去.答:他购买了 20 件这种服装.B 组 提升题组一、选择题21222故选 D.Δ > 0,2.D 根据题意得{m ≠ 0,4 + 4m > 0, 解得 m>-1 且 m≠0.故选 D.二、解答题3.解析 (1)原方程可化为 3x 2+x+k 2=0,∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ=12-4×3·k 2>0,解得-√3<k<√3.66(2)当方程 3x 2+x+1=0 的两个实数根分别为 x 1,x 2,k=1 时,33∴x 1 +x 2 =(x 1+x 2)2-2x 1x 2=1-2=-5.4.解析 设该购物网站平均每年销售额增长的百分率为 x,根据题意得 200(1+x)2=392,解得 x 1=0.4=40%,x 2=-2.4(不符合题意,舍去).答:该购物网站平均每年销售额增长的百分率为 40%.40k + b = 600, 45k + b = 550,5. 解 析(1) 设 年 销 售 量 y 与 销 售 单 价 x 的 函 数 关 系 式 为 y=kx+b(k≠0), 将(40,600),(45,550)代入 y=kx+b,得{k = -10,解得{b = 1 000,∴年销售量 y 与销售单价 x 的函数关系式为 y=-10x+1 000.(2)此设备的销售单价为 x 万元,则每台设备的利润为(x-30)万元,销售数量为(-10x+1 000)台,根据题意得(x-30)(-10x+1 000)=10 000,整理得 x 2-130x+4 000=0,解得 x 1=50,x 2=80.∵此设备的销售单价不得高于 70 万元,∴x=50.答:该设备的销售单价应是 50 万元.。

2020年中考数学复习二次函数与一元二次方程专题练习一、单选题1．将二次函数24y x x a =-+的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，若得到的函数图象与直线2y =有两个交点，则a 的取值范围是（ ）A ．3a <B ．3a <C ．5a <D ．5a >2．二次函数y=﹣x 2+mx 的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．t ＞﹣5B ．﹣5＜t ＜3C ．3＜t≤4D ．﹣5＜t≤43．已知抛物线y=x 2+2x+k+1与x 轴有两个不同的交点，则一次函数y=kx ﹣k 与反比例函数y=k x在同一坐标系内的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．4．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( ) A ．a +c ＝0B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2C ．当函数在x ＜110时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜2a 5．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ） A ．13x =-，21x =- B ．11x =，23x = C ．11x =-，23x = D ．13x =-，21x =6．二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表：下列结论错误的是( )A ．0ac <B ．3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根； C ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小； D ．当13x 时，()210.ax b x c +-+> 7．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 坐标为(3，0)，对称轴为直线x ＝1．下列结论正确的是( )A ．abc ＜0B ．b 2＜4acC ．a +b +c ＞0D ．当y ＜0时，﹣1＜x ＜3 8．对于二次函数,下列说法正确的是（ ）A ．当x>0，y 随x 的增大而增大B ．当x=2时，y 有最大值－3C ．图像的顶点坐标为（－2，－7）D ．图像与x 轴有两个交点 9．已知抛物线265y x x =-+与x 轴交于A ，B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC ，BC ，则cos CAB ∠的值为（ ）A ．12BC ．2D 10．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx +c (a ≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A (1，3)，与x 轴的一个交点B (4，0)，直线y 2＝mx +n (m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①2a +b ＝0；②m +n ＝3；③抛物线与x 轴的另一个交点是(﹣1，0)；④方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；⑤当1≤x ≤4时，有y 2＜y 1，其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①②⑤D ．②④⑤二、填空题 11．已知二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为1x 、2x ，一元二次方程22140x b x ++=的两实根为3x 、4x ，且23143x x x x -=-=，则二次函数的顶点坐标为____________． 12．已知二次函数y=x 2﹣4x+k 的图象的顶点在x 轴下方，则实数k 的取值范围是_____．13．抛物线22y ax ax =-与直线22y x a =-在同一平面直角坐标系中，若抛物线始终在直线的同一侧不与直线相交，则a 的取值范围是_____．14．已知：y 关于x 的函数22(21)1y k x k x =--+的图象与坐标轴只有两个不同的交点A 、B ，P 点坐标为(3,2)，则PAB △的面积为_____．15．对于实数a ，b ，定义新运算“⊗”：a ⊗b= ()()22a ab a b b ab a b ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩；若关于x 的方程()()211x x t +⊗-=恰好有两个不相等的实根，则t 的值为_________________．16．已知二次函数24y x x k =-+的图像与x 轴交点的横坐标是1x 和2x ，且128x x -=，则k =________． 17．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()1,A p -，()3,B q 两点，则不等式2ax mx c n -+<的解集是_______．18．若抛物线y=x 2+bx-3的对称轴为直线2x =，则关于x 的方程250x bx +-=的解为_______． 19．已知关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣c ＝0无实数解，则抛物线y ＝﹣x 2﹣bx +c 经过____象限．20．如图，抛物线2815y x x =-+与x 轴交于A B 、两点，对称轴与x 轴交于点C ，点()0,2D -，点()06，-E ，点P 是平面内一动点，且满足=90,∠︒DPE M 是线段PB 的中点，连结CM ．则线段CM 的最大值是________________．三、解答题21．已知点A （1，1）在抛物线y ＝x 2+（2m +1）x ﹣n ﹣1上（1）求m 、n 的关系式；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求出它的解析式．22．己知函数223y ax x =--（a 是常数）（1）当1a =时，该函数图像与直线1y x =-有几个公共点？请说明理由；（2）若函数图像与x 轴只有一公共点，求a 的值.23．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；（3）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．24．已知，如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C （0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积．25．若一次函数y =mx +n 与反比例函数y =k x同时经过点P(x ，y)则称二次函数y =mx 2+nx -k 为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．（1）判断y =2x -1与y =3x是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由； （2）已知：整数m ，n ，t 满足条件t<n<8m ，并且一次函数y=(1+n)x+2m+2与反比例函数y =2020x 存在“共享函数”y=(m+t)x 2+(10m−t)x−2020，求m 的值．（3）若一次函数y =x +m 和反比例函数y =213m x+在自变量x 的值满足m ≤x ≤m +6的情况下，其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．26．在二次函数的学习中，教材有如下内容：例1 函数图象求一元二次方程212202x x --=的近似解（精确到0.1）． 解：设有二次函数2122y x x =--，列表并作出它的图象（图1）．观察抛物线和x 轴交点的位置，估计出交点的横坐标分别约为0.8-和4.8，所以得出方程精确到0.1的近似解为10.8x ≈-，2 4.8x ≈，利用二次函数2y ax bx c =++的图象求出一元二次方程20ax bx c ++=的解的方法称为图象法，这种方法常用来求方程的近似解．小聪和小明通过例题的学习，体会到利用函数图象可以求出方程的近似解．于是他们尝试利用图象法探宄方程32210x x -+=的近似解，做法如下：小聪的做法：令函数3221y x x =-+，列表并画出函数的图象，借助图象得到方程32210x x -+=的近似解． 小明的做法：因为0x ≠，所以先将方程32210x x -+=的两边同时除以x ，变形得到方程212x x x -=-，再令函数212y x x =-和21y x=-，列表并画出这两个函数的图象，借助图象得到方程32210x x -+=的近似解．请你选择小聪或小明的做法，求出方程32210x x -+=的近似解（精确到0.1）．27．阅读材料：若抛物线1L 的顶点A 在抛物线2L 上，抛物线2L 的顶点B 也在抛物线1L 上（点A 与点B 不重合），我们称这样的两条抛物线1L 、2L 互为“友好”抛物线，如图1．解决问题：如图2，已知物线238:24L y x x =-+与y 轴交于点C ．（1）若点D 与点C 关于抛物线3L 的对称轴对称，求点D 的坐标；（2）求出以点D 为顶点的3L 的“友好”抛物线4L 的解析式；（3）直接写出3L 与4L 中y 同时随x 增大而增大的自变量x 的取值范围．28．如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，﹣2），点A 的坐标是（2，0），P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点E ，抛物线的对称轴是直线x ＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 在第二象限内，且PE ＝14OD ，求△PBE 的面积． （3）在（2）的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的上方，是否存在点M ，使△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．C2．D3．D4．C5．C6．C7．D8．B9．D10．B11．325,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 12．k ＜413．1a <或1a >14．1或1215．2.25或016．－1217．13x18．121,5x x =-=19．三、四．20．7221．（1）n ＝2m ；（2）y ＝x 2或y ＝x 2﹣4x +4． 22．（1）函数图像与直线有两个不同的公共点；（2）0a =或13a =-.23．（1）x 1＝1，x 2＝3；（2）1＜x ＜3；（3）k ＜2．24．（1）y=﹣x 2+4x+5；（2）15．25．（1）存在共享函数，共享点的坐标为(1,3)--，3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）2m =；（3）2429y x x =+-或2(9155y x x =---26．选择小明的作法，10.6x ≈-，21.0x ≈，3 1.6x ≈ 27．（1）点D 坐标为(4，4)（2）抛物线4L 的解析式为22(4)4y x =--+（3）24x ≤≤28．（1）y ＝14x 2+12x ﹣2；（2）58；（3）M 坐标为（205+）或（﹣285，45）．。

中考数学一元二次方程专题（附答案）一、单选题（共12题；共24分）1.下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A. x2﹣2x+1=0B. 2x2﹣x+1=0C. 4x2﹣2x﹣3=0D. x2﹣6x=02.方程＝0有两个相等的实数根，且满足＝，则的值是（）A. －2或3B. 3C. －2D. －3或23.若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个相等的实数根，则k的值是（）A. ﹣1B. 0C. 1D. 24.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图象可能是:A. B. C. D.5.下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）A. x2﹣8=0B. 2x2﹣4x+3=0C. 9x2﹣6x+1=0D. 5x+2=3x26.已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于的一元二次方程的两个根，则k的值等于A. 7B. 7或6C. 6或D. 67.方程（x-1）•（x2+17x-3）=0的三根分别为x1，x2，x3 .则x1x2+x2x3+x1x3 =（）A. 14B. 13C. －14D. －208.一元二次方程x2﹣4x+3=0的两个根分别是⊙O1和⊙O2的半径长，圆心距O1O2=4，则⊙O1和⊙O2的位置关系（）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切9.已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是( )A. B. C. 且 D. 且10.设a、b、c和S分别为三角形的三边长和面积，关于x的方程b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0的判别式为Δ.则Δ与S的大小关系为( ).A. Δ=16S2B. Δ=-16S2C. Δ=16SD. Δ=-16S11.下列方程中，有两个不相等实数根的是（）.A. x2-4x+4=0B. x2+3x-1=0C. x2+x+1=0D. x2-2x+3=012.已知二次函数y=ax2+2ax+3a-2（a是常数，且a≠0）的图象过点M（x1，-1），N（x2，-1），若MN的长不小于2，则a的取值范围是（）A. a≥B. 0<a≤C. - ≤a<0D. a≤-二、填空题（共6题；共12分）13.等腰三角形的腰和底边的长是方程x2-20x+91=0的两个根，则此三角形的周长为________.14.已知x=-1是方程x2+ax+4=0的一个根，则方程的另一个根为________ 。

一元二次方程一、选择题1．方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2． x2﹣6x=1，左边配成一个完全平方式得（）A．（x﹣3）2=10 B．（x﹣3）2=9 C．（x﹣6）2=8 D．（x﹣6）2=103．方程（x﹣1）（x+3）=5的根为（）A．x1=﹣1，x2=﹣3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣2，x2=4 D．x1=2，x2=﹣44．若关于x的方程3x2﹣2x+m=0的一个根是﹣1，则m的值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．55．用公式法解﹣x2+3x=1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（）A．﹣1，3，﹣1 B．1，﹣3，﹣1 C．﹣1，﹣3，﹣1 D．1，﹣3，16．方程x2=0与3x2=3x的解为（）A．都是x=0B．有一个相同，且这个相同的解为x=0C．都不相同D．以上答案都不对7．已知x2﹣8xy+15y2=0，那么x是y的（）倍．A．3 B．5 C．3或5 D．2或48．已知x=1是方程x2﹣ax+1=0的根，化简﹣得（）A．1 B．0 C．﹣1 D．29．方程x（x+1）=x+1的根为（）A．﹣1 B．1C．﹣1或1 D．以上答案都不对10．某产品的成本两年降低了75%，平均每年递降（）A．50% B．25%C．37.5% D．以上答案都不对二、填空题11．方程3x2﹣5x=0的二次项系数是．12．5x2+5=26x化成一元二次方程的一般形式为．13．一元二次方程ax2+bx+c=0，若有一个根为﹣1，则a﹣b+c= ；如果a+b+c=0，则有一根为．14．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一根为零的条件是．15．关于x的方程2x﹣3=0是一元二次方程，则m= ．三、解答题16．用适当的方法解方程：（1）2x2﹣4x+1=0；（2）x2﹣5x﹣6=0；（3）（x﹣2）（x﹣3）=12；（4）9（x﹣3）2﹣4（x﹣2）2=0．17．用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．18．已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：x2﹣1=0，x2+x﹣2=0，x2+2x﹣3=0，…x2+（n﹣1）x﹣n=0．（1）请解上述一元二次方程；（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．19．如图，有33米长的竹篱笆，要围成一边（墙长15米）面积为130平方米的长方形鸡场，求鸡场的长和宽各为多少？一元二次方程参考答案与试题解析一、选择题1．方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】一元二次方程的定义．【分析】直接根据一元二次方程的定义可得到在所给的方程中x2﹣2x﹣5=0，x2=0是一元二次方程．【解答】解：方程x2﹣2x﹣5=0，x3=x，y2﹣3x=2，x2=0，其中一元二次方程是x2﹣2x﹣5=0，x2=0．故选B．【点评】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程．2．x2﹣6x=1，左边配成一个完全平方式得（）A．（x﹣3）2=10 B．（x﹣3）2=9 C．（x﹣6）2=8 D．（x﹣6）2=10【考点】解一元二次方程﹣配方法．【专题】计算题．【分析】给方程左右两边都加上9，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，即可得到正确的选项．【解答】解：x2﹣6x=1，方程左右两边都加上9得：x2﹣6x+9=10，即（x﹣3）2=10．故选A【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将方程的二次项系数化为1，同时将常数项移到方程右边，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方转化为两个一元一次方程来求解．3．方程（x﹣1）（x+3）=5的根为（）A．x1=﹣1，x2=﹣3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=﹣2，x2=4 D．x1=2，x2=﹣4【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】首先把方程转化为一般形式，再利用因式分解法即可求解．【解答】解：（x﹣1）（x+3）=5，x2+3x﹣x﹣3﹣5=0，x2+2x﹣8=0，（x﹣2）（x+4）=0，解得x1=2，x2=﹣4．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．4．若关于x的方程3x2﹣2x+m=0的一个根是﹣1，则m的值为（）A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5【考点】一元二次方程的解．【专题】方程思想．【分析】根据一元二次方程解的定义，将x=1代入原方程，然后解关于m的一元一次方程即可．【解答】解：∵关于x的方程3x2﹣2x+m=0的一个根是﹣1，∴当x=﹣1时，由原方程，得3+2+m=0，解得m=﹣5；故选A．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．本题逆用一元二次方程解的定义易得出m的值．5．用公式法解﹣x2+3x=1时，先求出a、b、c的值，则a、b、c依次为（）A．﹣1，3，﹣1 B．1，﹣3，﹣1 C．﹣1，﹣3，﹣1 D．1，﹣3，1【考点】解一元二次方程﹣公式法．【分析】先移项，化成一般形式，再得出答案即可．【解答】解：∵﹣x2+3x=1，∴﹣x2+3x﹣1=0，∴x2﹣3x+1=0，∴a=﹣1，b=3，c=﹣1（或a=1，b=﹣3，c=1），【点评】本题考查了解一元二次方程和一元二次方程的一般形式的应用，解此题的关键是能把方程化成一般形式．6．方程x2=0与3x2=3x的解为（）A．都是x=0B．有一个相同，且这个相同的解为x=0C．都不相同D．以上答案都不对【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】计算题．【分析】解x2=0得x1=x2=0；变形3x2=3x得x2﹣x=0，左边分解得到x（x﹣1）=0，则x1=0，x2=1．【解答】解：∵x2=0∴x1=x2=0；∵x2﹣x=0，∴x（x﹣1）=0，∴x1=0，x2=1．故选B．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．7．已知x2﹣8xy+15y2=0，那么x是y的（）倍．A．3 B．5 C．3或5 D．2或4【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【专题】计算题．【分析】先把等式左边分解因式得到（x﹣3y）（x﹣5y）=0，则x﹣3y=0或x﹣5y=0，即可得到x=3y 或x=5y．【解答】解：∵（x﹣3y）（x﹣5y）=0，∴x﹣3y=0或x﹣5y=0，∴x=3y或x=5y．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．8．已知x=1是方程x2﹣ax+1=0的根，化简﹣得（）A．1 B．0 C．﹣1 D．2【考点】一元二次方程的解；二次根式的性质与化简．【分析】先将x=1代入方程x2﹣ax+1=0，可得关于a的方程，解方程求出a的值，再根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：∵x=1是方程x2﹣ax+1=0的根，∴12﹣a×1+1=0，∴a=2，∴﹣=﹣=a﹣1﹣（3﹣a）=2a﹣4=2×2﹣4=0．故选B．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，二次根式的性质与化简，解题关键是将已知的根代入方程，正确求出a的值．9．方程x（x+1）=x+1的根为（）A．﹣1 B．1C．﹣1或1 D．以上答案都不对【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】首先提取公因式，可得（x+1）（x﹣1）=0，继而可求得答案．【解答】解：∵x（x+1）=x+1，∴x（x+1）﹣（x+1）=0，∴（x+1）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣1，x2=1．故选C．【点评】此题考查了因式分解法解一元二次方程．此题难度不大，注意因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．10．某产品的成本两年降低了75%，平均每年递降（）A．50% B．25%C．37.5% D．以上答案都不对【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】设平均每年降低x，根据经过两年使成本降低75%，可列方程求解．【解答】解：设平均每年降低x，（1﹣x）2=1﹣75%解得x=0.5=50%或x=1.5（舍去）．故平均每年降低50%．故选A．【点评】本题考查理解题意的能力，关键设出降低的百分率，然后根据现在的成本，可列方程求解．二、填空题11．方程3x2﹣5x=0的二次项系数是 3 ．【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】先找出方程的二次项，再找出项的系数即可．【解答】解：方程3x2﹣5x=0的二次项系数是3，故答案为：3．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式的应用，主要考查学生的理解能力．12．5x2+5=26x化成一元二次方程的一般形式为5x2﹣26x+5=0 ．【考点】一元二次方程的一般形式．【专题】计算题．【分析】将方程右边的式子移项，并按照x的降幂排列，即可得到一元二次方程的一般形式．【解答】解：5x2+5=26x，移项得：5x2﹣26x+5=0．故答案为：5x2﹣26x+5=0【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a，b，c 为常数，且a≠0）．13．一元二次方程ax2+bx+c=0，若有一个根为﹣1，则a﹣b+c= 0 ；如果a+b+c=0，则有一根为 1 ．【考点】一元二次方程的解．【分析】由一元二次方程解的意义把方程的根x=﹣1代入方程，得到a﹣b+c=0；由a+b+c=0，可知a×12+b×1+c=0，故方程ax2+bx+c=0有一根为1．【解答】解：把x=﹣1代入一元二次方程ax2+bx+c=0得：a﹣b+c=0；如果a+b+c=0，那么a×12+b×1+c=0，所以方程ax2+bx+c=0有一根为1．故答案是：0；1．【点评】本题考查的是一元二次方程的解的定义，属于基础题型，比较简单．14．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有一根为零的条件是c=0 ．【考点】一元二次方程的解．【专题】计算题．【分析】根据一元二次方程的定义和根与系数的关系解答．【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的二次项系数是a，常数项是c，∴x1•x2=，又∵该方程有一根为零，∴x1•x2==0；∵a≠0，∴c=0．故答案为：0．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，在解答此题时，利用了根与系数的关系．15．关于x的方程2x﹣3=0是一元二次方程，则m= ±．【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的概念，可得出m2﹣1=2，解得m即可．【解答】解：∵关于x的方程2x﹣3=0是一元二次方程，∴m2﹣1=2，解得m=±．故答案为：．【点评】本题考查了一元二次方程的概念，二次项系数不为0，未知数的最高次数为2．三、解答题16．用适当的方法解方程：（1）2x2﹣4x+1=0；（2）x2﹣5x﹣6=0；（3）（x﹣2）（x﹣3）=12；（4）9（x﹣3）2﹣4（x﹣2）2=0．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．【分析】（1）找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解；（2）利用因式分解法求解即可；（3）先将方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解；（4）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1）2x2﹣4x+1=0，这里a=2，b=﹣4，c=1，∵△=16﹣4×2×1=8，∴x==，∴x1=，x2=；（2）x2﹣5x﹣6=0，（x﹣6）（x+1）=0，∴x﹣6=0或x+1=0，解得x1=6，x2=﹣1；（3）（x﹣2）（x﹣3）=12，整理，得x2﹣5x﹣6=0，（x﹣6）（x+1）=0，∴x﹣6=0或x+1=0，解得x1=6，x2=﹣1；（4）9（x﹣3）2﹣4（x﹣2）2=0，[3（x﹣3）+2（x﹣2）][3（x﹣3）﹣2（x﹣2）]=0，（5x﹣13）（x﹣5）=0，解得x1=，x2=5．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．17．用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．【考点】解一元二次方程﹣公式法；配方法的应用．【专题】计算题．【分析】由a不为0，在方程左右两边同时除以a，并将常数项移到方程右边，方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边通分并利用同分母分式的减法法则计算，当b2﹣4ac≥0时，开方即可推导出求根公式．【解答】解：ax2+bx+c=0（a≠0），方程左右两边同时除以a得：x2+x+=0，移项得：x2+x=﹣，配方得：x2+x+=﹣=，即（x+）2=，当b2﹣4ac≥0时，x+=±=±，∴x=．【点评】此题考查了一元二次方程的求根公式，以及配方法的应用，学生在开方时注意b2﹣4ac≥0这个条件的运用．18．已知下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：x2﹣1=0，x2+x﹣2=0，x2+2x﹣3=0，…x2+（n﹣1）x﹣n=0．（1）请解上述一元二次方程；（2）请你指出这n个方程的根具有什么共同特点，写出一条即可．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；一元二次方程的解．【专题】规律型．【分析】（1）分别利用因式分解法解各方程；（2）根据方程根的特征易得这n个方程都有一个根为1，另外一根等于常数项．【解答】解：（1）x2﹣1=0，解得x1=1，x2=﹣1，x2+x﹣2=0，解得x1=1，x2=﹣2，x2+2x﹣3=0，解得x1=1，x2=﹣3，…x2+（n﹣1）x﹣n=0，解得x1=1，x2=﹣n；（2）这n个方程都有一个根为1，另外一根等于常数项．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．19．如图，有33米长的竹篱笆，要围成一边（墙长15米）面积为130平方米的长方形鸡场，求鸡场的长和宽各为多少？【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】首先设鸡场的长为x米，则宽为米，根据题意可得等量关系：鸡场的长×宽=130平方米，列出方程，解出x的值．【解答】解：设鸡场的长为x米，则宽为米，由题意得：x×=130，解得：x1=25，x2=13，∵墙长15米，25＞15，∴25不合题意舍去，∴x=13，则： =10（米）．答：鸡场的长为13米，则宽为10米．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，此题根据鸡场的面积列出方程即可．。

2020苏科版初三数学中考复习《一元一次方程》常考题（含解析）一、一元二次方程的定义1．若方程（a -2)x 2-2018x+2019=0是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．a≠1 B ．a≠-2C ．a≠2D ．a≠3【答案】C2．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．x ＝x 2﹣3 B ．ax 2+bx +c ＝0 C ．111x+= D ．3x 2﹣2xy ﹣5y 2＝0【答案】A3．关于x 的方程（m -1）x 2+（m+1）x+3m -1=0，当m_________时,是一元一次方程;当m_________时,是一元二次方程.【答案】=1 ≠14．方程(31)(23)1x x +-=中，二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是____. 【答案】6 -7 -45．若关于x 的方程||(2)20m m x m --=是一元二次方程，求不等式(1)1m x m +->的解集． 【答案】1x <．6．方程11(2)(4)60m m xm x +--+++=。

（1）m 取何值时，方程是一元二次方程，并求此方程的解； （2）m 取何值时，方程是一元一次方程。

【答案】（1）m =－4，x =±1；（2）m =2或m =0或m =－2或m =1或m =－37．当m 为何值时，方程2(21)3(1)0m x mx m -+--=是关于x 的一元二次方程。

【答案】12m ≠二、解一元二次方程8．解下列方程：（1）x 2﹣2x ﹣99=0； （2）2x 2﹣3x ﹣2=0． （3）(1)(3)12x x -+= （4）235(21)0x x ++=（5）2481x = （6）2214x x ++= （7）2470x x --= （8）()2516x -=；（9）2410x x -+=. （10）()241360x --= （11）22240x x +-=【答案】（1）x=11或x=﹣9；（2）x=2或x=﹣12；(3) 125,3x x =-=;(4) 153x -+=，253x =-（6）9x 2=±（6）1231x x =-= （7）1222x x ==8）1219x x ==，；（9）1222x x ==10）14x =，22x =-；（11）14x =，26x =- 9、解方程32(1)2740x x x +-= 32(2)220x x x -+-=【答案】（1）x 1=0，x 2=-4，x 3=12；（2）x=2 10．利用因式分解法解下列方程（1）（x －2）2=（2x –3）2； （2）3(1)33x x x +=+；（3）x 2+3=0； （4）2(5)8(5)160x x ---+=．【答案】（1x 1=1，x 2=53；（2）x 1=–1，x 2=1；（3）x 1=x 2（4）x 1=x 2=9． 三、根的判别式解题（△=ac b 42-）11．关于x 的一元二次方程2(2)210m x x --+=有实数解，那么m 的取值范围是（ ） A ．3m < B ．．3m …C ．3m …D ．3m …且2m ≠【答案】D12．若关于x 的一元二次方程2240kx kx -+=有两个相等的实数根，则k 的值为（ ） A ．0或4 B ．4或8C ．0D ．4【答案】D13．已知,,a b c 是ABC ∆的三边长，且关于x 的方程222222()()0x a b x a b c +--+-=有两个相等的实数根，则ABC ∆是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．锐角三角形【答案】C14．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx +6＝0有两个相等的实数根，则k 的值为（ ）A ．B ．C ．2或3D 【答案】B15．关于x 的方程2(23)10mx m x m --+-=有两个实数根,则m 的取值范围是（ ） A ．98m £B ．98m <C ．908m m ≤≠且 D ．908m m <≠且 【答案】C16．已知关于x 的一元二次方程()222120x k x k k -+++=有两个实数根1x ，2x .（1）求实数k 的取值范围；（2）若方程的一个根是1，求另一个根及k 的值. 【答案】（1）当14k ≤时，原方程有两个实数根；（2）另一个根为0，k 的值为0.17．关于x 的方程2(6)260a x x --+=有实数根，求整数a 的最大值． 【答案】整数a 的最大值为6．四、配方法的应用18．若一元二次方程250x bx -+-=配方后为2(3)x k -=，则,b k 的值分别是（ ） A ．6，4 B ．6，5C ．6,5-D ．64-，【答案】A19．不论x 取什么实数，225x x ++的值一定是一个正数，你能说明理由吗？ 【答案】见解析20．已知223730216b a a b -+-+=，求a -的值．【答案】12a -=-．五、已知方程的根，求其它（此类题通常把方程的根代入方程计算）21．若一元二次方程26-0x kx +=的一个根是2x =，则原方程的另一个根是（ ） A ．3x = B ．3x =-C ．4x =D ．4x =-【答案】A22．若a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x+n+1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a 、b 、4，则n 的值为（ ） A ．8 B ．7C ．8或7D ．9或8【答案】C23．已知m 是一元二次方程240x x --=的一个根 ， 则代数式22m m +-的值是_____ 【答案】2-.24．若x=a 是方程x 2﹣x ﹣2015=0的根，则代数式2a 2﹣2a ﹣2015值为 ________ 【答案】201525．若关于x 的一元二次方程mx 2＋(m －1)x -10＝0有一个根为2，则m 的值是______． 【答案】226．若x=a 是方程x 2 +x−1=0的一个实数根，则代数式3a 2+3a−5的值是______. 【答案】−2.27．在等腰ABC ∆中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，已知3,a b =和c 是关于x 的方程21202x mx m ++-=的两个实数根，则ABC ∆的周长是__________．【答案】375或728．已知1x =是方程210x mx -+=【答案】0六、根与系数的关系（acx x a b x x =⋅-=+2121,）29．已知α、β是一元二次方程x 2﹣2019x+1＝0的两实根，则代数式（α﹣2019）（β﹣2019）＝_____． 【答案】130．一元二次方程x 2﹣3x ﹣2＝0的两根为x 1，x 2，则x 12+3x 2+x 1x 2﹣2的值为_____． 【答案】731．已知m ，n 是方程x 2﹣x ﹣2018＝0的两个实数根，则m 2+n 的值为_____． 【答案】2019；32．(1)利用求根公式计算，结合①①①你能得出什么猜想?①方程x 2+2x+1＝0的根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________． ①方程x 2-3x -1＝0的根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________． ①方程3x 2+4x -7＝0的根为x 1＝_______，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．(2) 利用求根公式计算：一元二次方程ax 2+bx+c ＝0(a≠0，且b 2-4ac≥0)的两根为x 1＝________，x 2＝________，x 1+x 2＝________，x 1·x 2＝________．(3)利用上面的结论解决下面的问题：设x 1、x 2是方程2x 2+3x -1＝0的两个根，根据上面的结论，求下列各式的值：①1211+x x ； ①2212+x x ． 【答案】(1)两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数，两根之积等于常数项除以二次项系数；① -1；-1；-2；1；① ；3；-1；① 73-；1；43-；73-；(2) 2b a -+；2b a-；b a -；c a ；(3)1232x x +=-，1212x x ⋅=-．①3；①134． 33．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+k ＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若①ABC 的两边AB ，AC 的长是这个方程的两个实数根．第三边BC 的长为5， ①若①ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，求k 的值． ①若①ABC 是等腰三角形，求k 的值．【答案】（1）见解析；（2）①3k =,①k 的值为5或4．七、灵活创新题34．已知a 、b 、c 21(3)0b c +++=，则方程 2a 0x bx c ++= 的根为（ ） A ．-1，0.5 B ．1，1.5C ．-1，1.5D ．1, -0.5【答案】C35．定义：如果一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 满足0a b c -+=，那么我们称这个方程为“美丽”方程．已知20(a 0)++=≠ax bx c 是“美丽”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A ．a b c ==B ．a b =C ．b c =D ．a c =【答案】D36．已知2P m m =-，2Q m =-，其中m 为任意实数，则P 与Q 的大小关系为（ ） A ．P Q > B ．P Q = C ．P Q <D ．无法确定【答案】A37．如果关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请问一元二次方程x 2﹣6x +8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由． （2）若一元二次方程x 2+bx +c ＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b 、c 的值． 【答案】（1）该方程是倍根方程，理由见解析；（2）当方程根为1，2时， b ＝﹣3，c ＝2；当方程根为2，4时b ＝﹣6，c ＝8．八、方程解应用题38．如图所示，某小区规划在一个长AD=40 m、宽AB=26 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行（如图），其余部分种草。

一元二次方程(2020年全国中考原题) 分项汇编(全国通用)专题5 一元二次方程 (共50道)一．选择题 (共24小题)1.(2020·临沂) 解一元二次方程 x^2-4x-8=0 的解是()A。

x1=-2+2√3，x2=-2-2√3B。

x1=2+2√3，x2=2-2√3C。

x1=2+2√2，x2=2-2√2D。

x1=2√3，x2=-2√32.(2020·菏泽) 等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于 x 的方程 x^2-4x+k=0 的两个根，则 k 的值为()A。

3B。

4C。

3 或 4D。

73.(2020·凉山州) 一元二次方程 x^2=2x 的根为()A。

x=0B。

x=2C。

x=0 或 x=2D。

x=±24.(2020·泰安) 将一元二次方程 x^2-8x-5=0 化成 (x+a)^2=b (a，b 为常数) 的形式，则 a，b 的值分别是()A。

-4，21B。

-4，11C。

4，21D。

-8，65.(2020·黑龙江) 已知2+√3 是关于 x 的一元二次方程 x^2-4x+m=0 的一个实数根，则实数 m 的值是()A。

B。

1C。

-3D。

-16.(2020·河南) 定义运算：m☆n=mn^2-mn-1.例如：4☆2=4×2^2-4×2-1=7.则方程 1☆x=0 的根的情况为() A。

有两个不相等的实数根B。

有两个相等的实数根C。

无实数根D。

只有一个实数根7.(2020·南京) 关于 x 的方程 (x-1)(x+2)=p^2 (p 为常数) 的根的情况，下列结论中正确的是()A。

两个正根B。

两个负根C。

一个正根，一个负根D。

无实数根8.(2020·黑龙江) 已知关于 x 的一元二次方程 x^2-(2k+1)x+k^2+2k=0 有两个实数根 x1，x2，则实数 k 的取值范围是()A。

2020-2021中考数学《一元二次方程组的综合》专项训练及详细答案一、一元二次方程1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：10（1+x）2=14.4，解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，答：年平均增长率为20%；（2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得：2009年底汽车数量为14.4×90%+y，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．考点：一元二次方程—增长率的问题2．已知：关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.(1)不解方程，判断方程的根的情况；(2)若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2【答案】(1) 有两个不相等的实数根（2）周长为13或17【解析】试题分析：（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：无论m 为何值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．试题解析：解：（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．将x=5代入原方程，得：25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：m1=2，m2=3．当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．综上所述：此三角形的周长为13或17．点睛：本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）代入x=5求出m值．3．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%．①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【答案】（1）28（2）①76%②75，84%【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg）；（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；②设润滑用油量是x千克，则x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，整理得：x2﹣65x﹣750=0，（x﹣75）（x+10）=0，解得：x1=75，x2=﹣10（舍去），60%+1.6%（90﹣x）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．考点：一元二次方程的应用4．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：【答案】【解析】由韦达定理，有，．于是，对正整数，有原式=5．关于x的方程(k－1)x2+2kx+2=0（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．（2）设x1，x2是方程(k－1)x2+2kx+2=0的两个根，记S=++ x1+x2，S的值能为2吗？若能，求出此时k的值．若不能，请说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）S的值能为2，此时k的值为2．【解析】试题分析：（1）本题二次项系数为(k－1)，可能为0，可能不为0，故要分情况讨论；要保证一元二次方程总有实数根，就必须使△＞0恒成立；（2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．试题解析：（1）①当k-1=0即k=1时，方程为一元一次方程2x=1,x=有一个解；②当k-1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，△=（2k）²-4×2（k-1）=4k²-8k＋8="4(k-1)" ²＋4＞0方程有两不等根综合①②得不论k为何值，方程总有实根（2）∵x ₁＋x ₂＝,x ₁ x ₂=∴S=++ x1+x2= == ==2k-2=2，解得k=2， ∴当k=2时，S 的值为2∴S 的值能为2，此时k 的值为2．考点：一元二次方程根的判别式；根与系数的关系．6．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m =时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．7．解方程：(x＋1)(x－1)＝x.【答案】x1，x2【解析】试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可.试题解析：(x＋1)(x－1)＝x2-2x-1=0∵a=1，b=-c=-1∴△=b2-4ac=8+4=12＞0∴∴xx2.18．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？【答案】（1）两次下降的百分率为10%；（2）要使每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.5元．【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为 x，（1﹣x）2 为两次降价后的百分率，40元降至 32.4元就是方程的等量条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可【详解】解：（1）设每次降价的百分率为 x．40×（1﹣x）2＝32.4x＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由题意，得()4030y (448)5100.5y --⨯+= 解得：1y ＝1.5，2y ＝2.5，∵有利于减少库存，∴y ＝2.5．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．9．阅读下面的材料，回答问题：解方程x 4﹣5x 2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x 2＝y ，那么x 4＝y 2，于是原方程可变为y 2﹣5y +4＝0 ①，解得y 1＝1，y 2＝4． 当y ＝1时，x 2＝1，∴x ＝±1；当y ＝4时，x 2＝4，∴x ＝±2；∴原方程有四个根：x 1＝1，x 2＝﹣1，x 3＝2，x 4＝﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到 的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x 2+x ）2﹣4（x 2+x ）﹣12＝0．【答案】（1）换元，降次；（2）x 1=﹣3，x 2=2．【解析】【详解】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;（2）设x 2+x =y ，原方程可化为y 2﹣4y ﹣12=0，解得y 1=6，y 2=﹣2．由x 2+x =6，得x 1=﹣3，x 2=2．由x 2+x =﹣2，得方程x 2+x +2=0，b 2﹣4ac =1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x 1=﹣3，x 2=2．10．自2018年1月10日零时起，高铁开通，某旅行社为吸引广大市民组团去仙都旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为200元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150元． ()1如果某单位组织12人参加仙都旅游，那么需支付旅行社旅游费用________元； () 2现某单位组织员工去仙都旅游，共支付给该旅行社旅游费用2625元，那么该单位有多少名员工参加旅游？【答案】（1）2280；（2）15【解析】【分析】对于（1）根据人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求解；对于（2）设这次旅游可以安排x 人参加，而由10×200＝2000＜2625，可以得出人数大于10人，则根据x 列出方程：（10＋x ）（200－5x ）＝2625，求出x ，然后根据人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于150来求出x 的范围，最后得出x 的值.【详解】（1）2280()2因为1020020002625⨯=<．因此参加人比10人多，设在10人基础上再增加x 人，由题意得：()()1020052625x x +-=．解得 15x = 225x =，∵2005150x -≥，∴010x <≤，经检验 15x =是方程的解且符合题意，225x =（舍去）．1010515x +=+=答：该单位共有15名员工参加旅游．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，根据题意作出判断，列出一元二次方程，求解方程，舍去不符合题意的解，从而得出结果.11．我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克 240 元，按每千克 400 元出售，平均每周可售出 200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低 10 元，则平均每周的销售量可增加 40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利 41600 元，请回答： （1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的 几折出售？【答案】（1）每千克茶叶应降价30元或80元；（2）该店应按原售价的8折出售．【解析】【分析】（1）设每千克茶叶应降价x 元，利用销售量×每件利润=41600元列出方程求解即可； （2）为了让利于顾客因此应下降价80元，求出此时的销售单价即可确定几折．【详解】（1）设每千克茶叶应降价x 元．根据题意，得：（400﹣x ﹣240）（200+10x ×40）=41600． 化简，得：x 2﹣10x +240=0．解得：x 1=30，x 2=80．答：每千克茶叶应降价30元或80元．（2）由（1）可知每千克茶叶可降价30元或80元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克茶叶某应降价80元．此时，售价为：400﹣80=320（元），320100%80%400⨯=． 答：该店应按原售价的8折出售．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．12．阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值.解: 22228160m mn n n -+-+=Q ，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+=22()(4)0m n n ∴-+-=，0,40m n n ∴-=-=，4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）己知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值.（3） 若己知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值.【答案】（1）2（2）6（3）7【解析】【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x 与y 的值，即可求出x ﹣y 的值；（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a 与b 的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c 的长；（3）由a ﹣b =4，得到a =b +4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b 与c 的值，进而求出a 的值，即可求出a ﹣b +c 的值．【详解】（1）∵x 2+2xy +2y 2+2y +1=0∴（x 2+2xy +y 2）+（y 2+2y +1）=0∴（x +y ）2+（y +1）2=0∴x +y =0 y +1=0解得：x =1，y =﹣1∴x ﹣y =2；（2）∵a 2+b 2﹣6a ﹣8b +25=0∴（a 2﹣6a +9）+（b 2﹣8b +16）=0∴（a ﹣3）2+（b ﹣4）2=0∴a ﹣3=0，b ﹣4=0解得：a =3，b =4∵三角形两边之和＞第三边∴c ＜a +b ，c ＜3+4，∴c ＜7．又∵c 是正整数，∴△ABC 的最大边c 的值为4，5，6，∴c 的最大值为6；（3）∵a ﹣b =4，即a =b +4，代入得：（b +4）b +c 2﹣6c +13=0，整理得：（b 2+4b +4）+（c 2﹣6c +9）=（b +2）2+（c ﹣3）2=0，∴b +2=0，且c ﹣3=0，即b =﹣2，c =3，a =2，则a ﹣b +c =2﹣（﹣2）+3=7．故答案为7．【点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．13．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t （单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：这20天中，该产品每天的价格y （单位：元/件）与时间t 的函数关系式为：1254y t =+（t 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）直接写出m 关于t 的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<.【解析】【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围【详解】（1）设该函数的解析式为:m=kx+b由题意得:98=k b 94=3k b +⎧⎨+⎩解得:k=-2,b=100∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+.（2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，()1210025204W t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭ 21151002t t =-++ ()2115612.52t =--+ ∵102<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元.（3）由题意得：()1210025204W t t a ⎛⎫=-++-- ⎪⎝⎭ ()211525001002t a t a =-+++-， ∴对称轴为：152t a =+，∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤，∴15220a +≥，∴ 2.5a ≥，∴2.54a ≤<.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.14．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，若点P 从点A 沿AB 边向B 点以1 cm/s 的速度移动，点Q 从B 点沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动，两点同时出发．(1)问几秒后，△PBQ 的面积为8cm²？(2)出发几秒后，线段PQ 的长为cm ?(3)△PBQ 的面积能否为10 cm 2？若能，求出时间；若不能，请说明理由．【答案】(1) 2或4秒2 cm ；(3)见解析.【解析】【分析】（1）由题意，可设P 、Q 经过t 秒，使△PBQ 的面积为8cm 2，则PB=6-t ，BQ=2t ，根据三角形面积的计算公式，S △PBQ=12BP×BQ ，列出表达式，解答出即可； （2）设经过x 秒后线段PQ 的长为2cm ，依题意得AP=x ，BP=6-x ，BQ=2x ，利用勾股定理列方程求解；（3）将△PBQ 的面积表示出来，根据△=b 2-4ac 来判断．【详解】(1)设P ，Q 经过t 秒时，△PBQ 的面积为8 cm 2，则PB ＝6－t ，BQ ＝2t ，∵∠B ＝90°， ∴12(6－t)× 2t ＝8， 解得t 1＝2，t 2＝4， ∴当P ，Q 经过2或4秒时，△PBQ 的面积为8 cm 2；(2)设x 秒后，PQ ＝2 cm ，由题意，得(6－x)2＋4x 2＝32，解得x 1＝25，x 2＝2， 故经过25秒或2秒后，线段PQ 的长为2 cm ； (3)设经过y 秒，△PBQ 的面积等于10 cm 2，S △PBQ ＝12×(6－y)× 2y ＝10， 即y 2－6y ＋10＝0， ∵Δ＝b 2－4ac ＝36－4× 10＝－4＜ 0，∴△PBQ 的面积不会等于10 cm 2.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练的掌握一元二次方程的应用是本题解题的关键.15．已知关于x 的方程()()212310k x k x k -+-++=有两个不相等的实数根1x ，2x ． ()1求k 的取值范围．()2是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？【答案】(1)1312k <且1k ≠；(2) k 不存在,理由见解析 【解析】【分析】（1）因为方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2．得出其判别式△＞0，可解得k 的取值范围；（2）假设存在两根的值互为相反数，根据根与系数的关系，列出对应的不等式即可求出k 的值．【详解】（1）方程（k ﹣1）x 2+（2k ﹣3）x +k +1=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，可得：k ﹣1≠0且△=﹣12k +13＞0，解得：k ＜1312且k ≠1； （2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x 1，x 2．∵x 1+x 2=0，∴﹣231k k --=0，∴k =32． 又∵k ＜1312且k ≠1，∴k 不存在． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握x 1，x 2是方程x 2+px +q =0的两根时，x 1+x 2=﹣p ，x 1x 2=q ．。

一元二次方程一、选择题1．（2020湖州）已知关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．实数根的个数与实数b 的取值有关【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断． 【解答】解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．2．（2020·铜仁）已知m 、n 、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m 、n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +k +2＝0的两个根，则k 的值等于（ ） A ．7 B ．7或6 C ．6或﹣7 D ．6{答案}B {解析}有两种情况：①m 、n 中有一个的值为4，即4是方程的一个解，所以16－24＋k ＋2=0，解得k=6；②m=n ≠4，即方程有两个相等的实数根，所以36－4（k+2）=0，解得k=7。

因此本题选B ． 3．（2020·黔西南州）已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜2 B ．m ≤2 C ．m ＜2且m ≠1 D ．m ≤2且m ≠1 {答案}D{解析}本题考查了根的判别式的性质:当b2－4ac ≥0时，方程有实数根．因为关于x 的一元二次方程x2－2x ＋m ＝0有实数根，所以b2－4ac ＝22－4(m －1)×1≥0，解得m ≤2．又因为(m －1)x2＋2x ＋1＝0是一元二次方程，所以m －1≠0．综上所述，m 的取值范围是m ≤2且m ≠1，因此本题选D ． 4．（2020·新疆）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）A ．2104x x -+= B ．2240x x ++= C ．220x x -+= D ．220x x -={答案}D{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项中方程的根的判别式b2－4ac 的值，若b2－4ac ＞0，则一元二次方程有两个不相等的实数根．在方程x2－2x ＝0中，因为a ＝1，b ＝－2，c ＝0，所以b2－4ac ＝(－2)2－4×1×0＝4＞0，所以有两个不相等的实数根，因此本题选D ．5．（2020·遵义）已知x 1，x 2是方程x 2－3x －2＝0的两根，则x 21＋x 22的值为（ ）A ．5B ．10C ．11D ．13{答案}D{解析}本题考查一元二次方程根与系数的关系．∵x1，x2是方程x2－3x －2＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝3，x1·x2＝－2，∴x 21＋x 22＝（x1＋x2）2－2 x1·x2＝9＋4＝13． 故选D.6．（2020·黔东南州）已知关于x 的一元二次方程x 2+5x ﹣m ＝0的一个根是2，则另一个根是（ ）A ．﹣7B ．7C ．3D ．﹣3 {答案}A{解析}根据一元二次方程根与系数的关系“12bx x a+=”求解． 设x1＝2，另一个根为x2，则2+ x2＝﹣5，解得X2＝﹣7． 7．（2020·安徽）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）A ．x 2+1＝2xB ．x 2+1＝0C ．x 2﹣2x ＝3 D ．x 2﹣2x ＝0{答案}A{解析}逐项分析如下：8．（2020·聊城）用配方法解一元二次方程2－3－1＝0，配方正确的是（ ） A ．(x －43)2＝1617 B ．(x －43)2＝21C ．(x －23)2＝413 D ．(x －23)2＝411{答案}A{解析}由2x2－3x －1＝0，得2x2－3x ＝1，∴x2－23x ＝21，x2－23x ＋(43)2＝21＋(43)2，∴(x －43)2＝1617．本题中“23x ”即完全平方式“a2－2ab ＋b2”中的“2ab ”，确定b 值是完成配方的关键． 9．（2020·河南）国家统计局统计数据显示，我国快递业务逐年增加，2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元.设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，则可列方程为( ) A. 5000(12)7500x B. 5 000×2(1+x )=7 500C. 25000(1)7500x D. 250005000(1)5000(1)7500x x{答案}C{解析}2017年的快递业务收入为5000亿元，设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，则2018年的快递业务收入为5000（1+x ）亿元， 2019年的快递业务收入是在2018年的基础上增加的，∴2019年的快递业务收入为5000(1+x)＝5000(1+x) (1+x)，即用 5000(1+x)2表示，∴可列方程是25000(1)7500x ．10．（2020·黑龙江龙东）已知2+√3是关于x 的一元二次方程x 2﹣4x +m ＝0的一个实数根，则实数m 的值是（ ）A ．0B ．1C ．﹣3D ．﹣1 {答案} B{解析}本题考查了一元二次方程解的概念，将实数根代入原方程，解：根据题意，得（2+√3）2﹣4×（2+√3）+m ＝0，解得m ＝1；故选：B ．11．(2020自贡)关于x 的一元二次方程ax 2﹣2x +2＝0有两个相等实数根，则a 的值为（ ） A ．12B ．−12C ．1D ．﹣1{答案} A ．{解析}本题考查了一元二次方程根与系数的关系，同时要考虑二次项系数不为零，解：∵关于x 的一元二次方程ax2﹣2x+2＝0有两个相等实数根，∴{a ≠0△=(−2)2−4×a ×2=0，∴a =12． 因此本题选A ． 12．（2020·南京）关于x 的方程(x －1)(x ＋2)＝p 2(p 为常数)的根的情况，下列结论正确的是( )A ．两个正根B ．两个负根C ．一个正根，一个负根D ．无实数根 {答案}C{解析}【解析】化简方程，得：x 2＋x －2－p 2＝0，根据的判别式△＝12－4×1×(－2－p 2)＝1＋8＋4p 2＝9＋4p 2＞0，故该方程有两个不相等实数根.13．（2020·菏泽）等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x 的方程x 2－4x ＋k ＝0的两个根，则k 的值为（ ）A ．3B ．4C ．3或4D ．7 {答案}C{解析}结合一元二次方程的解及判别式，根据边长3是底边长还是腰长分类讨论求解，注意所得解需符合三角形的三边关系．①当3为等腰三角形的底边长时，两腰长为一元二次方程的两相等实根，则△＝(－4)2－4k ＝0，解得k ＝4，此时，两腰的和=x 1+x 2=4＞3，满足三角形三边的关系，∴k ＝4；②当3为等腰三角形的腰长时，则x ＝3为一元二次方程的一个解，把x ＝3代入方程，得9－12＋k ＝0，解得k ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x 1=1，x 2=3，因为1+3＞3，符合三角形的三边关系，所以k ＝3．综上可知，k 的值为3或4．14．（2020·湖北荆州）定义新运算“a b ”：对于任意实数a ，b ，都有1a b a b a b ，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4343431716.若x k x （k 为实数）是关于x 的方程，则它的根的情况为（ ）A. 有一个实数根B.有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D.没有实数根 {答案}C{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的情况的判别方法．由定义新运算可得2210x xk ，∴2221411540k k ，所以方程有两个不相等的实数根，因此本题选C ．15．（2020·怀化）已知一元二次方程x 2﹣kx +4＝0有两个相等的实数根，则k 的值为（ ） A ．k ＝4 B ．k ＝﹣4C ．k ＝±4D ．k ＝±2{答案}C{解析}根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于k 的方程，解之即可得出k 值． 解：∵一元二次方程x 2﹣kx +4＝0有两个相等的实数根， ∴△＝（﹣k ）2﹣4×1×4＝0， 解得：k ＝±4． 故选：C ．16.(2020·潍坊)关于x 的一元二次方程2(3)10x k x k +-+-=根的情况，下列说法正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根 D. 无法确定 {答案}A{解析}本题考查了一元二次方程的根的判别式..一元二次方程20(0)ax bx c a b c a ++=≠、、是常数，中，若240b ac ->，则方程有两个不相等的实数根；若240b ac -=，则方程有两个相等的实数根；240b ac -<，则方程没有实数根.显然△=2(3)4(1)k k ---=2225(1)40k k k -+=-+>.故选A.17.(2020·潍坊)若221m m +=，则2483m m +-的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2D. 1{答案}D{解析}本题考查了整体数学思想.2483m m +-=24(2)34131m m +-=⨯-=.故选D. 18．（2020·营口）一元二次方程x 2－5x +6＝0的解为（ ）A ．x 1=2，x 2=－3B ．x 1=－2，x 2=3C ．x 1=－2，x 2=－3D ．x 1=2，x 2=3 {答案}D{解析}对于x2－5x+6＝0，△=（－5）2－4×1×6=1，由求根公式可得x=(5)21=512，∴x1=2，x2=3是原方程的解．19．（2020·滨州）对于任意实数k ，关于x 的方程221(5)22502x k x k k -++++=的根的情况为（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．无法判定 {答案}B{解析}本题考查了根的判别式，221(5)22502x k x k k -++++=，△=[-（k+5）]2 -4×12×（k2+2k+25）=-k2+6k-25=-（k-3）2-16，不论k 为何值，-（k-3）2≤0，即△=-（k-3）2-16＜0，所以方程没有实数根，因此本题选B ．20．（2020·临沂）一元二次方程2480x x --=的解是（ ）A.12x =-+22x =--B.12x =+22x =-C.12x =+22x =-D.1x =，2x =-{答案}B{解析}考虑到此一元二次方程是一般形式，直接套用公式比较简洁：2x ===±12x =+22x =-B 正确．21. （2020·广州）直线y x a =+不经过第二象限，则关于x 的方程2210ax x ++=实数解的个数是（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．1个或2个 {答案}D{解析}本题考查了一次函数的性质、一元二次方程的根的判别式，由“y x a =+不经过第二象限”可得0a ≤.当0a =时，原方程即为210x +=，此时实数解只有1个；当0a <时，此一元二次方程的根的判别式24440b ac a ∆=-=->，此时方程有2个不相等的实数根．因此关于x 的方程2210ax x ++=实数解的个数为1个或2个．因此本题选D ．本题容易漏掉0a =的情况．22．（2020·通辽）关于x 的方程kx 2﹣6x +9＝0有实数根，k 的取值范围是（ ）A ．k ＜1且k ≠0B ．k ＜1C ．k ≤1且k ≠0D ．k ≤1{答案}D{解析}若k =0，则方程为﹣6x +9＝0，得x =32，有解；若k ≠0，则kx 2﹣6x +9＝0是一元二次方程，令△=（－6）2－4×9k ≥0，则方程有解，此时可得k ≤1；综上可得k ≤1．4．（2020·邵阳）设方程x 2－4x －5＝0的两根分别是x 1，x 2，则x 1+x 2的值为（ ） A .3 B.- C. D .-2 {答案}A{解析}本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由2320x x -+=可知，其二次项系数1a =，一次项系数3b =-，由韦达定理：12x x +(3)31b a -=-=-=，因此本题选A ． 23. （2020·攀枝花） 若关于x 的方程20x x m --=没有实数根，则m 的值可以为（ ）A. 1-B. 14- C. 0 D. 1 {答案}A{解析}由方程无实数根可知140m +<，得14m <-，则A 符合题意. 24．（2020·广西北部湾经济区）一元二次方程x 2﹣2x +1＝0的根的情况是（ ） A ．有两个不等的实数根B ．有两个相等的实数根2323C ．无实数根D ．无法确定{答案} B{解析}∵a ＝1，b ＝﹣2，c ＝1， ∴△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝4﹣4＝0， ∴有两个相等的实数根，因此本题选B ．25．（2020·天门仙桃潜江）关于x 的方程0)1(222=-+-+m m x m x 有两个实数根α，β，且α 2＋β 2=12，那么m 的值为A ．－1B ．－4C ．－4或1D ．－1或4{答案}A ，解析：本题考查了根与系数的关系, 根的判别式,x 的方程0)1(222=-+-+m m x m x 有两个实数根α，β，∴α+β=2(m −1),αβ=2m −m ，∵α 2＋β 2=12， ∴()αββα22－+ =12，∴4(m −1)2−2(2m −m)=12，解得：m=4或m=−1，∵△=4(m −1)2−4(2m −m)△0，解得：m△1.故m=4舍去，∴m=−1.26．（2020·武威）已知x ＝1是一元二次方程（m ﹣2）x 2+4x ﹣m 2＝0的一个根，则m 的值为（ ） A ．﹣1或2B ．﹣1C ．2D ．0【解析】把x ＝1代入（m ﹣2）x 2+4x ﹣m 2＝0得： m ﹣2+4﹣m 2＝0， ﹣m 2+m +2＝0，解得：m 1＝2，m 2＝﹣1，∵（m ﹣2）x 2+4x ﹣m 2＝0是一元二次方程， ∴m ﹣2≠0， ∴m ≠2， ∴m ＝﹣1， 故选：B ．二、填空题 27．（2020·黔西南州）有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了________个人． {答案}10{解析}本题考查了一元二次方程的实际应用．设每轮传染中平均每人传染了x 人，根据题意得1＋x ＋x(1＋x)＝121，即(1＋x)2＝121，解得x1＝10，x2＝－12（舍去），因此本题答案为10． 28．（2019·上海）如果关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0没有实数根，那么实数m 的取值范围是 ．{答案}D{解析}△方程x2－x ＋m ＝0没有实数根，△△＝1－4m ＜0，∴m ＞14．29．（2020·枣庄）已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋a 2－1＝0有一个根为x ＝0，则a ＝_______． {答案}－1{解析}利用方程根的定义与一元二次方程的定义解题．把x ＝0代入方程，得a2－1＝0，解得a ＝±1．因为(a －1)x2－2x ＋a2－1＝0是关于x 的一元二次方程，故有a －1≠0，即a≠1，∴a ＝－1． 30．（2020·乐山）已知y ≠0，且x 2－3xy －4y 2＝0，则xy 的值是________．{答案}4或－1{解析}将已知等式两边同除以y 2进行变形，再利用因式分解法解关于x y 的一元二次方程即可．∵y ≠0，∴两边同除以y 2得：(x y )2－3(x y )－4＝0，因式分解得：(x y －4)(x y ＋1)＝0，解得x y ＝4或x y＝－1．31.（2020·北京）已知关于x 的方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值是 ．{答案}1{解析}本题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程有相等实数根的条件是△＝0，即△＝4–4k ＝0，解得k ＝1．（2020·江西）8.若关于x 的一元二次方程220x kx --=的一个根为1x =，则这个一元二次方程的另一个根为 ．【解析】设一元二次方程的两根为21,x x ，并设11=x ，根据acx x =21，可得212-=⋅x ，∴另外一根为-2，故答案为-232.（2020·扬州）方程（x +1）2=9的根是 . {答案} x 1=2，x 2=-4{解析}本题考查了直接开平方法解一元二次方程，本题直接开方求解即可．（x +1）2=9，x +1=±3，x 1=2，x 2=-4．故答案为x 1=2，x 2=-4．33．(2020·荆门)已知关于x 的一元二次方程x 2－4mx ＋3m 2＝0(m ＞0)的一个根比另一个根大2，则m 的值为______． {答案}1{解析}设原方程的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝4m ，x 1x 2＝3m 2．依题意，得｜x 1－x 2｜＝2．∵(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，∴16m 2－12m 2＝4．解得m 1＝－1(不合题意，舍去)，m 2＝1．34．（2020·南通）x 1，x 2为方程x 2－4x －2020＝0的两根，则x 12－2x 1＋2x 2的值为 ▲ ． {答案}2028{解析}根据方程根的定义和根与系数的关系求解． ∵x 1为方程x 2－4x －2020＝0的根，∴211420200x x --=，∴21142020x x -=，∵x 1，x 2为方程x 2－4x －2020＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝4，∴x 12－2x 1＋2x 2＝ x 12－4x 1＋2（x 1＋x 2）＝2020＋2×4＝2028．35．（2020·泰州）方程2230x x +-=的两根为1x 、2x 则12x x ⋅的值为______． {答案}－3{解析}本题考查了根与系数关系，根据公式12x x ⋅＝ca，可得本题结果为－3． 36．（2020·镇江）一元二次方程 x 2−2x =0 的两根分别为 ．{答案}x 1＝2，x 2＝0{解析}本题考查了一元二次方程的解法，本题用因式分解法比较简便，方程可化为x (x －2)＝0，∴x ＝0或x －2＝0． 37．（2020·常州）若关于x 的方程x 2＋ax －2＝0有一个根是1，则a ＝________． {答案}a ＝2{解析}本题考查了一元二次方程的根的意义，把x ＝1代入方程得：1＋a －2＝1，∴a ＝2（2020·本溪）13．（3分）若关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣k ＝0无实数根，则k 的取值范围是 ． {答案} k ＜﹣1{解析}由“关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣k ＝0无实数根”可知：△＝4+4k ＜0，∴k ＜﹣138．(2020·青海)在解一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0时，小明看错了一次项系数b ，得到的解为x 1＝2，x 2＝3；小刚看错了常数项c ，得到的解为x 1＝1，x 2＝4．请你写出正确的一元二次方程______． {答案}x 2－5x ＋6＝0{解析}由小明的结果可知c ＝2×3＝6，由小刚的结果可知b ＝－(1＋4)＝－5．所以原一元二次方程是x 2－5x ＋6＝0．39．(2020·成都)关于x 的一元二次方程2x 2﹣4x +m −32=0有实数根，则实数m 的取值范围是 ． {答案}m ≤72．{解析}根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可． 解：△关于x 的一元二次方程2x2﹣4x+m −32=0有实数根，△△＝（﹣4）2﹣4×2×（m −32）＝16﹣8m+12≥0，解得：m ≤72，故答案为：m ≤72．40．（2020·黄冈）已知是x 1，x 2一元二次方程x 2－2x －1=0的两根，则121x x = ． {答案}﹣1{解析}本题考查了一元二次方程根与系数的关系．由题意得121x x =-，所以1211x x =-，因此本题答案为﹣1．41．（2020·抚顺本溪辽阳）若关于x 的一元二次方程x 2＋2x －k ＝0无实根．则k 的取值范围是 ． {答案} k ＜－1{解析}根据一元二次方程根的判别式可知，当△＝b2－4ac ＜0时方程无实根，即可列式求值．∵关于x 的一元二次方程x2＋2x －k ＝0无实根，∴△＝22－4×1×(－k)＝4＋4k ＜0，解得k ＜－1．故答案为k ＜－1． 42．（2020·内江）已知关于x 的一元二次方程()221330m x mx -++=有一实数根为1-，则该方程的另一个实数根为_____________{答案}13-{解析}本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的解的定义把x=-1代入原方程得到关于m 的一元二次方程，解得m 的值，然后根据一元二次方程的定义确定m 的值． 把x=-1代入()221330m x mx -++=得m2-5m+4=0，解得m1=1,m2=4，△(m-1)2≠0，△m ≠1．△m=4.△方程为9x2+12x+3=0.设另一个根为a,则-a=39. △a=-13.因此本题答案为－13． 43．（2020·宜宾）已知一元二次方程x 2+2x ﹣8＝0的两根为x 1、x 2，则21x x +2x 1x 2+12xx ＝ ． {答案}－372{解析}根据一元二次方程根与系数的关系得出两根之和与两根之积，再将21x x +2x1x2+12x x 用两根之和与两根之积表示，从而得到式子的值．∵一元二次方程x2+2x ﹣8＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣8，∴21x x +2x1x2+12x x ＝2x1x2+221212x x x x +＝2×（﹣8）+2121212()2x x x x x x +- ＝﹣16+2(2)2(8)8--⨯--＝－372．44．（2020·咸宁）若关于x 的一元二次方程2(2)x n +=有实数根，则n 的取值范围是__________．{答案} n≥0{解析}本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，∵关于x 的一元二次方程2(2)x n +=有实数根，而2(2)0x +≥，∴n≥0，，因此本题填n≥0．45.（2020·娄底）一元二次方程220x x c -+=有两个相等的实数根，则c = ． {答案}1{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，方程220x x c -+=有两个相等的实数根，240,b ac ∴=-=()22410,c ∴--⨯•= 44,c ∴= 1c ∴=，因此本题填1．46．（2020·东营）如果关于x 的一元二次方程260xx m 有实数根，那么m 的取值范围是 ．{答案}m ≤9{解析}本题考查了根的判别式的性质:当b 2－4ac ≥0时，方程有实数根．因为关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0有实数根，所以b 2－4ac ＝62－4m ×1≥0，解得m ≤9．47．（2020·毕节）关于x 的一元二次方程（k ＋2）x 2＋6 x ＋k 2＋k －2＝0有一个根是0，则k 的值是_________． {答案}1，{解析}本题考查一元二次方程的根．解： ∵x ＝0，∴关于x 的一元二次方程为k 2＋k －2＝0．∴（k ＋2）（k －1）＝0． ∴k 1＝－2，k 2＝1．∵k ＋2≠0，∴k 1＝－2（舍去）． 故答案为148.（2020·郴州）已知关于x 的一元二次方程0522=+-c x x 有两个相等的实数根，则=c ． {答案}{解析}根据题意得△＝（－5）2－4×2×c ＝0，解得c ＝．故答案为：．49．（2020·威海）一元二次方程4x （x ﹣2）＝x ﹣2的解为 x 1＝2，x 2=14． 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可． 【解析】：4x （x ﹣2）＝x ﹣2 4x （x ﹣2）﹣（x ﹣2）＝0 （x ﹣2）（4x ﹣1）＝0 x ﹣2＝0或4x ﹣1＝0 解得x 1＝2，x 2=14． 故答案为：x 1＝2，x 2=14．50．（2020·烟台）关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+2x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 m ＞0且m ≠1 ．【解析】根据题意得m ﹣1≠0且△＝22﹣4（m ﹣1）×（﹣1）＞0，解得m ＞0且m ≠1．故答案为：m ＞0且m ≠1．时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 51．（2020·淄博）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x +2m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 m ＜18．【解析】∵方程有两个不相等的实数根，a ＝1，b ＝﹣1，c ＝2m∴△＝b 2﹣4ac ＝（﹣1）2﹣4×1×2m ＞0，解得m ＜18，故答案为m ＜18． 52.（2020·吉林）一元二次方程2310x x +-=根的判别式的值为______． 【答案】13【解析】∵a=1，b=3，c=-1，∴△=b 2-4ac=9+4=13．∴一元二次方程x 2+3x-1=0根的判别式的值为13． 故答案为：13．53.（2020·永州）若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x ﹣m=0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】m ＞﹣4．【解析】由已知得：△=b 2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m ）=16+4m ＞0，解得：m ＞﹣4．54．（2020·云南）若关于x 的一元二次方程x 2+2x +c ＝0有两个相等的实数根，则实数c 的值为 ． {答案}1{解析}若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b 2﹣4ac ＝0，建立关于c 的等式，求出c 的值即可．三、解答题 55．（2020·贵阳）（12分）2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y （人）与时间x （分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9～15表示9＜x ≤15） 时间x （分钟） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9～15 人数y （人）170320450560650720770800810810（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y 与x 之间的函数关系式；（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？ {答案}解：（1）由表格中数据的变化趋势可知，△当0≤x≤9时，y 是x 的二次函数，△当x ＝0时，y ＝0，△二次函数的关系式可设为：y ＝ax2+bx ，由题意可得：{170=a +b 450=9a +3b，解得：{a =−10b =180，△二次函数关系式为：y ＝﹣10x2+180x ，△当9＜x≤15时，y ＝180，△y 与x 之间的函数关系式为：y ={−10x 2+180x(0≤x ≤9)180(9＜x ≤15)；（2）设第x 分钟时的排队人数为w 人，由题意可得：w ＝y ﹣40x ={−10x 2+140x(0≤x ≤9)810−40x(9＜x ≤15)，△当0≤x≤9时，w ＝﹣10x2+140x ＝﹣10（x ﹣7）2+490，△当x ＝7时，w 的最大值＝490，△当9＜x≤15时，w ＝810﹣40x ，w 随x 的增大而减小，△210≤w ＜450，△排队人数最多时是490人，要全部考生都完成体温检测，根据题意得：810﹣40x ＝0，解得：x ＝20.25，答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟； （3）设从一开始就应该增加m 个检测点，由题意得：12×20（m+2）≥810， 解得m ≥118，△m 是整数，△m ≥118的最小整数是2，△一开始就应该至少增加2个检测点．56.（2020·江苏徐州）（1）解方程：2x 2-5x +3=0；{解析} （1）利用因式分解法来解这个方程；{答案}解：（1）∵2x2-5x+3=0，∴（2x-3）（x-1）=0，∴x1=32，x2=1.57．（2020·南京）解方程：x 2－2x －3＝0.{解析}观察方程的系数特征，适合运用配方法解方程. {答案}解：移项，得：x 2－2x ＝3，配方，得：x 2－2x ＋1＝3＋1，即(x －1)2＝4. 两边同时开方，得：x －1＝±2， △x 1＝3，x 2＝－1.58．（2020·无锡）解方程：（1）x 2＋x －1＝0解：（1）x 2＋x －1＝0，△＝5，∴x ＝－1±5259.(2020·南充）已知1x ，2x 是一元二次方程0222=++-k x x 的两个实数根.（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得等式21121-=+k x x 成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由. {解析}（1）根据一元二次方程0222=++-k x x 的两个实数根得到△=（﹣2）2﹣4（k+2）≥0，解关于k 的不等式即可；（2）根据根与系数的关系得出含有k 的式子，将等式变形后代入，解答关于k 的方程，注意舍去不符合题意的值．{答案}解：（1）∵一元二次方程x 2﹣2x +k +2＝0有两个实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k +2）≥0，解得：k ≤﹣1．（2）∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣2x +k +2＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝2，x 1x 2＝k +2．∵11x +21x ＝k ﹣2， ∴1212x x x x +＝22k +＝k ﹣2， ∴k 2﹣6＝0，解得：k 1，k 2．又∵k ≤﹣1，∴k ．∴存在这样的k 值，使得等式11x +21x ＝k ﹣2，成立，k ． 60．（2020·齐齐哈尔）解方程：x 2﹣5x +6＝0解：∵x 2﹣5x +6＝0，∴（x ﹣2）（x ﹣3）＝0，则x ﹣2＝0或x ﹣3＝0，解得x 1＝2，x 2＝3．61.（2020·湖北孝感）已知关于x 的一元二次方程2x -(2k+1)x 21+2k -2=0. (1)求证:无论k 为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根1x ，2x 满足1x -2x =3，求k 的值.{解析}考查根的判别式和根与系数的关系式定理.（1）直接将方程中的各项系数代入根的判别式2=4b ac ∆-得到一个大于0的式子即可证明.（2）利用根与系数的关式得到：1221x x k +=+，212122x x k =-，然后再代入到由已知转化得来的式子21212)49x x x x +-=（，代入可求k 的值.{答案}解：（1）∵∆=221(21)4(2)2k k +--＝2244128k k k ++-+＝2249k k ++ ＝221)7k ++（ ∵无论k 取任何实数，221)0k +≥（，∴221)7k ++（>0. ∴无论k 取任何实数,方程总有两个不相等的实数根.（2）由一元二次方程的根与系数的关系定理，得： 1221x x k +=+，212122x x k =-. ∵123x x -=，∴212)9x x -=（，即21212)49x x x x +-=（ ∴22121)4(2)92k k +-⨯-=（，化简得：220k k +=.∴解得k 的值是0，－2.62.（2020·随州）已知关于x 的一元二次方程2x +(2m+1)x+m-2-0.(1)求证：无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有两个实数根1x ，2x ，且1x +2x +31x 2x =1，求m 的值.(1)证明：依题意可得△=2)-4(m -1)+(2m 2…………1分=9+4m 2＞0， 故无论m 取何值，此方程总有两个不相等的实数根.………3分(2)解：由根与系数的关系可得：⎩⎨⎧-=+-=+2)12(2121m x x m x x ，………………5分 由1x +2x +31x 2x =1，得-(2m+1)+3(m-2)=1，解得m=8.……7分63．（2020·鄂州）已知关于x 的方程2410x x k -++=有两实数根．（1）求k 的取值范围；（2）设方程两实数根分别为1x 、2x ，且1212334x x x x +=-，求实数k 的值． {解析}本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根．（1）根据方程有两个实数根得出△＝()()24411k --⨯⨯+≥0，解之可得．（2）利用根与系数的关系可用k 表示出x 1＋x 2和x 1x 2的值，根据条件可得到关于k 的方程，可求得k 的值，注意利用根的判别式进行取舍．{答案}解：（1）∵关于x 的一元二次方程2410x x k -++=有两个实数根，∴△≥0，即()()24411k --⨯⨯+≥0，解得：k ≤3，故k 的取值范围为：k ≤3．（2）由根与系数的关系可得124x x +=，121x x k =+ 由1212334x x x x +=-可得()12121234x x x x x x +=-， 代入x 1＋x 2和x 1x 2的值，可得：12141k k =+-+ 解得：13k =-，25k =（舍去），经检验，3k =-是原方程的根，故3k =-．64．（2020·湖北荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x 的值. 【问题】解方程：2224250x x xx【提示】可以用“换元法”解方程. t （t ≥0），则有222x x t ， 原方程可化为：2450tt 【续解】229t{解析}在解无理方程时最常用的方法是换元法，一般方法是通过观察确定用来换元的式子．本题用来换元的式子t ，其两边分别平方后有222x x t ，这样原方程可变形为关于t 的一元二次方程，即可求得t 的值，再根据所设条件对t 的值进行讨论后作出取舍，即可求出x 的值． {答案}解：【续解】229t ∴23t ，即11t ，25t ∵220tx x ， ∴221tx x ， 则有221x x ，配方，得：212x 解得：112x ，212x 经检验：112x ，212x 是原方程的根.65．（2020·宜昌）资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内地方面积.材料：某地有A ，B 两家商贸公司（以下简称A ，B 公司）.去年下半年A ，B 公司营销区域面积分别为m 平方千米，n 平方千米，其中m =3n ，公共营销区域面积与A 公司营销区域面积的比为29；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，A 公司营销区域面积比去年下半年增长了x %，B 公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A 公司的4倍，公共营销区域面积与A 公司营销区域面积的比为37，同时公共营销区域面积与A ，B 两公司总营销区域面积．．．．．．．的比比去年下半年增加了x 个百分点. 问题：（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积与B 公司营销区域面积的比），并解答；（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A 公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B 公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比.{解析}（1）通过设未知数找等量关系：公共营销区域面积与A 公司营销区域面积的比为29等列出方程，最后求解即可．（答案不唯一）（2）设B 公司每半年每平方千来产生的经济收益为a.则A 公司为1.5a ．去年下半年A ，B 公司产生的总经济收益为1.5a ×3n +a ×n =5.5na今年上半年A ，B 公司产生的总经济收益比去年下半年增加了x 个百分点为1.5a ×3n ×(1 +x%)+ an × (1 +4×x% )．设增加的百分点为x%，找等量关系：公共营销区域面积与A ，B 两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x 个百分点，列出方程求解即可．{答案}解：（1）问题1:求去年下半年公共营销区域面积与B 公司营销区域面积的比 解答：3n ×29=23n 23n ：n =23问题2:A 公司营销区城面积比B 公司营销区域的面积多多少?解答: 3n −n =2n问题3:求去年下半年公共营销区域面积与两个公司总营销区域面积的解答：3n ×29=23n 23n ÷(3n +n −23n)=15（2）[37×3n(1+x%)]÷[3n(1+x%)+n(1+4x%)−37×3n(1+x%)]=3n×29÷(3n+n−23n)+x%100(x%)2+45x%−13=0解得x%=20%，x%= 65%(舍去)设B公司每半年每平方千来产生的经济收益为a.则A公司每半年每平方千米产生的经济收益为1.5a今年上半年A，B公司产生的总经济收益为1.5a×3n×(1 + 20%)+ an×(1 +4×20% )=7.2na去年下半年A，B公司产生的总经济收益为1.5a×3n+a×n=5.5na去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为(5.5na):(7.2na)=55:7266．（2020·滨州）某水果商店销售一种进价为40元/千克的优质水果，若售价为50元/千克，则一个月可售出500千克；若售价在50元/千克的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克．（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果多少千克？（2）当月利润为8750元时，每下克水果售价为多少元?（3）当每千克水果售价为多少元时，获得的月利润最大？{解析}本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，（1）根据月销售量=500-（销售单价-50）×10来求解，（2）设每千克水果售价为x元，由利润=每千克的利润×销售的数量得方程再求解，（3）设每千克水果售价为m 元，获得的月利润为y元，由利润=每千克的利润×销售的数量，可得y与x的关系式，有二次函数的性质求解．{答案}解：（1）当售价为55元/千克时，每月销售水果=500-10×（55-50）=450千克；（2）设每千克水果售价为x元，由题意可得：8750=（x-40）[500-10（x-50）]，解得：x1=65，x2=75，答：每千克水果售价为65元或75元；（3）设每千克水果售价为m元，获得的月利润为y元，由题意可得：y=（m-40）[500-10（m-50）]=-10（m-70）2+9000，∴当m=70时，y有最大值为9000元，答：当每千克水果售价为70元时，获得的月利润最大值为9000元．67．（2020·玉林）已知关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个不相等的实数根.（1）求k的取值范围；（2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求111aa b-++的值.{解析}（1）直接根据一元二次方程根的判别式求出k的范围；（2）首先把代数式化简转化为两根积和两根的和的形式，然后再根据根与系数的关系求出代数式的值．{答案}解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即4－4×1×（－k）＞0，∴k＞－1；（2）111aa b-++＝()()()()(1)1(1)1111a b aa b a b+⨯+-++++＝1111ab a a abab a b ab a b+---=++++++，∵a＋b＝－2，ab＝k，∴原式＝11abab a b-+++＝1121kk-=-++.68．（2020·黄石）已知：关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两根为x1、x2，且满足（x1﹣x2）2﹣17＝0，求m的值．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有两个实数根，∴△＝[m]2﹣4×1×（﹣2）＝m+8≥0，且m≥0，解得：m≥0．（2）∵关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0有两个实数根x1、x2，∴x1+x2＝﹣m，x1•x2＝﹣2，∴（x1﹣x2）2﹣17＝（x1+x2）2﹣4x1•x2﹣17＝0，即m+8﹣17＝0，。

《一元二次方程》专项练习1．已知关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，则a 的值为（ ）A ．0B ．±1C ．1D ．1-【答案】D【分析】根据一元二次方程的定义，再将0x =代入原式，即可得到答案.【解析】解：∵关于x 的一元二次方程22(1)210a x x a --+-=有一个根为0x =，∴210a -=，10a -≠，则a 的值为：1a =-．故选D ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义. 2．用换元法解方程21x x ++21x x +=2时，若设21x x +=y ，则原方程可化为关于y 的方程是( ) A ．y 2﹣2y +1=0B ．y 2+2y +1=0C ．y 2+y +2=0D ．y 2+y ﹣2=0 【答案】A 【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设21x x+=y ，则原方程化为y+1y =2，再转化为整式方程y 2-2y+1=0即可求解． 【解析】把21x x+=y 代入原方程得：y +1y =2，转化为整式方程为y 2﹣2y +1=0．故选：A ． 【点睛】考查了换元法解分式方程，换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．3．如果关于x 的一元二次方程2310kx x -+=有两个实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．94k …B ．94k -…且0k ≠C ．94k …且0k ≠D ．94k -… 【答案】C【分析】根据关于x 的一元二次方程kx 2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．【解析】解：∵关于x 的一元二次方程kx 2-3x+1=0有两个实数根，∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解得k≤94且k≠0，故选：C ． 【点睛】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．4．将关于x 的一元二次方程20x px q -+=变形为2x px q =-，就可以将2x 表示为关于x 的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如32()x x x x px q =⋅=-=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：210x x --=，且0x >，则4323x x x -+的值为（ ）A ．1B ．3C ．1+D ．3【答案】C【分析】先求得2=+1x x ，代入4323x x x -+即可得出答案．【解析】∵210x x --=，∴2=+1x x ，x == ∴4323x x x -+=()()21213x+-x x++x =2221223x +x+-x -x+x =231-x +x+=()131-x++x+=2x ，∵x =，且0x >，∴x =，∴原式=2，故选：C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是会将四次先降为二次，再将二次降为一次．5．某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D【分析】根据球赛问题模型列出方程即可求解．【解析】解：设参加此次比赛的球队数为x 队，根据题意得：12x （x ﹣1）＝36， 化简，得x 2﹣x ﹣72＝0，解得x 1＝9，x 2＝﹣8（舍去），答：参加此次比赛的球队数是9队．故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握一元二次方程应用问题中的球赛问题． 6．国家统计局统计数据 显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ．则可列方程为( )A ．()5000127500x +=B ．()5000217500x ⨯+=C ．()2500017500x +=D ．()()2500050001500017500x x ++++=【答案】C【分析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，根据增长率的定义即可列出一元二次方程．【解析】设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x ，∵2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元即2019年我国快递业务收入为7500亿元，∴可列方程：()2 500017500x +=，故选C ．【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系得到方程．7．如图是一张长12cm ，宽10cm 的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积224cm 是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______cm ．【答案】2【分析】根据题意设出未知数,列出三组等【解析】设底面长为a,宽为b,正方形边长为解得a =10－2x ,b =6－x ,代入ab =24中得:整理得:2x 2－11x +18=0．解得x =2或x 【点睛】本题考查一元二次方程的应用8．已知a ，b 是方程230x x +-=的两个A ．2023B ．2021 【答案】A【分析】根据题意可知b=3-b 2，a+b=-1解.【解析】a ，b 是方程230x x +-=的两∴222201932019a b a b -+=-++【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数9．一个三角形的两边长分别为2和5，【答案】13【分析】先利用因式分解法解方程x 2-8周长可求．【解析】解：∵x 2-8x +12=0，∴()x -∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长∴三角形的第三边长是6，∴该三角形的周【点睛】本题考查了解一元二次方程的因式10．若关于x 的一元二次方程22x x ﹣A ．1m ＜ B ．1m £三组等式解出即可．边长为x,由题意得:2()1221024x b a x ab +=⎧⎪+=⎨⎪=⎩,(10－2x )(6－x )=24,=9(舍去)．故答案为2．,关键在于不怕设多个未知数,利用代数表示列出方程的两个实数根，则22019a b -+的值是( )C ．2020D ．2019，ab =-3，所求式子化为a 2-b+2019=a 2-3+b 2+2019=的两个实数根，∴23b b =-，1a b +=-，ab9()2220161620162023a b ab =+-+=++=；与系数的关系；根据根与系数的关系将所求式子进行，第三边长是方程28120x x -+=的根，则该三角形x +12=0，然后根据三角形的三边关系得出第三边的()260x -=，∴x 1=2，x 2=6，三边长是方程x 2-8x +12=0的根，当x =2时，2+2＜5形的周长为：2+5+6=13．故答案为：13．的因式分解法及三角形的三边关系，熟练掌握相关性0m +＝有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）C ．1m ＞D ．m 1≥出方程．019=（a+b ）2-2ab+2016即可求-3b =， 3；故选A ． 子进行化简代入是解题的关键．三角形的周长为_______． 三边的长，则该三角形的 ，不符合题意，相关性质及定理是解题的关键．【答案】B【分析】根据方程的系数结合根的判别式0≥V ，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．【解析】Q 关于x 的一元二次方程220x x m +﹣＝有实数根，2240m ∴=≥-V （-），解得： 1m ≤．故选B ． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当0≥V 时，方程有实数根”是解题的关键．11．已知关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．实数根的个数与实数b 的取值有关【答案】A【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．【解析】解：∵△＝b 2﹣4×（﹣1）＝b 2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．12．关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为（ ） A ．1-B ．4-C ．4-或1D ．1-或4 【答案】A【分析】通过根与系数之间的关系得到22m αβ+=-+，2m m αβ=-，由()2222αβαβαβ+=+-可求出m 的值，通过方程有实数根可得到[]()222(1)40m m m --≥-，从而得到m 的取值范围，确定m 的值． 【解析】解：∵方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，∴()21221m m αβ-+=-=-+，221m m m m αβ-==-， ∵()2222αβαβαβ+=+-，2212αβ+=∴()()2222212m m m -+-=-， 整理得，2340m m --=，解得，11m =-，24m =，若使222(1)0x m x m m +-+-=有实数根，则[]()222(1)40m m m --≥-， 解得，1m £，所以1m =-，故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系和跟的判别式，注意使一元二次方程有实数根的条件是解题的关键．13．关于x 的一元二次方程22(2)620k x x k k ++++-=有一个根是0，则k 的值是_______．【答案】1【分析】把方程的根代入原方程得到220k k +-=，解得k 的值，再根据一元二次方程成立满足的条件进行取舍即可．【解析】∵方程22(2)620k x x k k ++++-=是一元二次方程，∴k+2≠0，即k ≠-2；又0是该方程的一个根，∴220k k +-=，解得，11k =，22k =-，由于k ≠-2，所以，k=1．答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解．解此类题时，要擅于观察已知的是哪些条件，从而有针对性的选择解题方法．同时要注意一元二次方程成立必须满足的条件，这是容易忽略的地方．14．已知1x ，2x 是一元二次方程240x x --=的两实根，则12(4)(4)x x ++的值是_____．【答案】16【分析】由根与系数的关系可得121x x =+， 124x x =-，然后把所求式子利用多项式乘法法则展开后代入进行计算即可.【解析】1x Q ，2x 是一元二次方程240x x --=的两实根，121x x ∴+=， 124x x =-，12(4)(4)x x ∴++12124416x x x x =+++12124()16x x x x =+++44116=-+⨯+4416=-++16=， 故答案为：16．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键. 15．设a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，则()()11a b --的值为_____．【答案】-2017【分析】根据根与系数的关系可得出1a b +=-，2019ab =-，将其代入()()()111a b ab a b --=-++中即可得出结论．【解析】∵a 、b 是方程220190x x +-=的两个实数根，∴1a b +=-，2019ab =-，∴()()()111a b ab a b --=-++2019112017=-++=-．故答案为：-2017．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于b a -，两根之积等于c a”是解题的关键． 16．已知12,x x 是一元二次方程2470x x --=的两个实数根，则2211224x x x x ++的值是_________．【答案】2【分析】由已知结合根与系数的关系可得：12x x +=4，12x x ⋅= -7，2211224x x x x ++=()212122x x x x ++，代入可得答案.【解析】解：∵12,x x 是一元二次方程2470x x --=的两个实数根，∴12x x +=4，12x x ⋅= -7，∴2211224x x x x ++=()212122x x x x ++=()2427+⨯-=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系，难度不大，属于基础题17．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x 支，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A．12x（x+1）＝110 B．12x（x﹣1【答案】D【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足【解析】解：设有x个队参赛，则x（x 【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用18．阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为___【答案】x＝2或x＝﹣或x＝﹣1【分析】将原方程左边变形为x3﹣4x﹣于x的方程求解可得．【解析】解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用19．若菱形ABCD的一条对角线长为8，A．16 B．24【答案】B【分析】解方程得出x＝4或x＝6，分两种6时，6+6＞8，即可得出菱形ABCD的周长【解析】解：如图所示：∵四边形ABCD∵x2﹣10x+24＝0，因式分解得：（x﹣4分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4②当AB＝AD＝6时，6+6＞8，∴菱形ABC【点睛】本题考查菱形的性质、解一元二次键．）＝110 C．x（x+1）＝110 D．x（x﹣1）＝一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比﹣1）＝110．故选：D．的应用，找准等量关系列一元二次方程是解题的关键这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．_____．．x+2＝0，再进一步因式分解得（x﹣2）[x（x+2）﹣﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣或x＝﹣1，故答案为：x＝2或x＝﹣的应用，解题的关键是根据题意找到解方程的方法边CD的长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，则该菱形C．16或24 D．48分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成的周长．BCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，）（x﹣6）＝0，解得：x＝4或x＝6，+4＝8，不能构成三角形；ABCD的周长＝4AB＝24．故选：B．元二次方程-因式分解法、三角形的三边关系，熟练掌110共要比赛110场，可列出方程．的关键．：）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．x2+nx﹣1＝0，1]＝0，据此得到两个关1）＝0，或x＝﹣1．方法．该菱形ABCD的周长为（ ）能构成三角形；②当AB＝AD＝熟练掌握并灵活运用是解题的关21．已知关于x 的一元二次方程2220ax x c ++-=有两个相等的实数根，则1c a+的值等于_______． 【答案】2. 【分析】根据“关于x 的一元二次方程ax 2+2x+2﹣c ＝0有两个相等的实数根”，结合根的判别式公式，得到关于a 和c 的等式，整理后即可得到的答案．【解析】解：根据题意得：△＝4﹣4a （2﹣c ）＝0，整理得：4ac ﹣8a ＝﹣4，4a （c ﹣2）＝﹣4，∵方程ax 2+2x+2﹣c ＝0是一元二次方程，∴a≠0，等式两边同时除以4a 得：12c a -=-，则12c a+=，故答案为2． 【点睛】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．22．中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x 步，则依题意列方程为____________．【答案】x(x+12)=864【分析】本题理清题意后，可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可．【解析】因为宽为x ，且宽比长少12，所以长为x+12，故根据矩形面积公式列方程：x(x+12)=864，故答案：x(x+12)=864．【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，此类型题目去除复杂题目背景后，按照常规公式，假设未知数，列方程求解即可．23． 1x =是关于x 的一元一次方程220x ax b ++=的解，则24a+b =（ ）A ．2-B ．3-C ．4D ．6-【答案】A【分析】先把x=1代入方程220x ax b ++=得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b 的值【解析】将x ＝1代入方程x 2+ax +2b ＝0，得a +2b ＝－1，2a +4b ＝2（a +2b ）＝2×（－1）＝－2.故选A. 【点睛】此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键24．已知1x ，2x 是方程2320x x --=的两根，则2212x x +的值为（ ）A ．5B ．10C ．11D ．13【答案】D 【分析】先利用完全平方公式，得到2212x x +21212)2x x x x =+-（，再利用一元二次方程根与系数关系：12b x x a+=-，12c x x a=即可求解．【解析】解：2212x x +()221212)232213x x x x =+-=-⨯-=（故选：D ． 【点睛】此题主要考查完全平方公式的应用和一元二次方程根与系数关系，灵活运用完全平方公式和一元二次方程根与系数关系是解题关键．25．若x 1，x 2是方程x 2﹣4x ﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x 12﹣2x 1+2x 2的值等于_____．【答案】2028【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x 12-4x 1=2020，x 1+x 2=4，代入原式=x 12-4x 1+2x 1+2x 2=x 12-4x 1+2（x 1+x 2）计算可得．【解析】解：∵x 1，x 2是方程x 2﹣4x ﹣2020＝0的两个实数根，∴x 1+x 2＝4，x 12﹣4x 1﹣2020＝0，即x 12﹣4x 1＝2020，则原式＝x 12﹣4x 1+2x 1+2x 2＝x 12﹣4x 1+2（x 1+x 2）＝2020+2×4＝2020+8＝2028，故答案为：2028．【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a． 26．解方程：x 2﹣5x +6＝0【答案】x 1＝2，x 2＝3【分析】利用因式分解的方法解出方程即可.【解析】利用因式分解法求解可得．解：∵x 2﹣5x +6＝0，∴（x ﹣2）（x ﹣3）＝0，则x ﹣2＝0或x ﹣3＝0，解得x 1＝2，x 2＝3．【点睛】本题考查解一元二次方程因式分解法,关键在于熟练掌握因式分解的方法步骤.27．已知1x ，2x 是一元二次方程2220x x k -++=的两个实数根．（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得等式12112k x x +=-成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）1k ≤-；（2）k =【分析】（1）根据方程的系数结合 ≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围； （2）根据根与系数的关系可得出x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝k ＋2，结合12112k x x +=-，即可得出关于k 的方程，解之即可得出k 值，再结合（1）即可得出结论．【解析】解：（1）∵一元二次方程有两个实数根，∴2(2)4(2)0k ∆=--+…解得1k ≤-；（2）由一元二次方程根与系数关系，12122,2x x x x k +==+ ∵12112k x x +=-，∴1212222x x k x x k +==-+即(2)(2)2k k +-=，解得k =．又由（1）知：1k ≤-，∴k =【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合12112k x x +=-，找出关于k 的方程． 28．已知关于x 的一元二次方程26(41)0x x m -++=有实数根.（1）求m 的取值范围.（2）若该方程的两个实数根为1x 、2x ，且124x x -=，求m 的值.【答案】（1）2m ≤.（2）1m =.【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）由根与系数的关系可得出x 1+x 2=6，x 1x 2=4m+1，结合|x 1-x 2|=4可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出m 的值．【解析】（1）∵关于x 的一元二次方程x 2-6x+（4m+1）=0有实数根，∴△=（-6）2-4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2；（2）∵方程x 2-6x+（4m+1）=0的两个实数根为x 1、x 2，∴x 1+x 2=6，x 1x 2=4m+1，∴（x 1-x 2）2=（x 1+x 2）2-4x 1x 2=42，即32-16m=16，解得：m=1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x 1-x 2|=4，找出关于m 的一元一次方程．29．已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m +-+-=有实数根.（1）求实数m 的取值范围；（2）当m=2时，方程的根为12,x x ，求代数式221122(2)(42)x x x x +++的值.【答案】（1）134m ≤；（2）1. 【分析】（1）根据△≥0，解不等式即可；（2）将m=2代入原方程可得：x 2+3x+1=0，计算两根和与两根积，化简所求式子，可得结论．【解析】（1）△=2222(21)41(3)441412413m m m m m m --⨯⨯-=-+-+=-+∵原方程有实根，∴△=4130m -+≥解得134m ≤ （2）当m=2时，方程为x 2+3x+1=0，∴x 1+x 2=-3，x 1x 2=1，∵方程的根为x 1，x 2，∴x 12+3x 1+1=0，x 22+3x 2+1=0，∴（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2）=（x 12+2x 1+x 1-x 1）（x 22+3x 2+x 2+2）=（-1-x 1）（-1+x 2+2）=（-1-x 1）（x 2+1）=-x 2-x 1x 2-1-x 1=-x 2-x 1-2=3-2=1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于b a -，两根之积等于c a”是解题的关键． 30． 2019年在法国举办的女足世界杯，为人们奉献了一场足球盛宴．某商场销售一批足球文化衫，已知该文化衫的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每个月可售出100件．根据市场行情，现决定涨价销售，调查表明，每件商品的售价每上涨1元，每个月会少售出2件，设每件商品的售价为x 元，每个月的销量为y 件．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好为2250元；（3）当每件商品的售价定为多少元时，每个月获得利润最大？最大月利润为多少？【答案】（1）y ＝220﹣2x ；（2）当每件商品的售价定为65元或85元时，每个月的利润恰好为2250元；（3）当x ＝75，即售价为75元时，月利润最大，且最大月利润为2450元．【分析】（1）根据月销量等于涨价前的月销量，减去涨价（x-60）与涨价1元每月少售出的件数2的乘积，化简可得；（2）月销售量乘以每件的利润等于利润2250，解方程即可；（3）根据题意列出二次函数解析式，由顶点式，可知何时取得最大值及最大值是多少．【解析】（1）由题意得，月销售量y ＝100﹣2（x ﹣60）＝220﹣2x （60≤x ≤110，且x 为正整数）答：y 与x 之间的函数关系式为y ＝220﹣2x ．（2）由题意得：（220﹣2x ）（x ﹣40）＝2250化简得：x 2﹣150x +5525＝0解得x 1＝65，x 2＝85答：当每件商品的售价定为65元或85元时，每个月的利润恰好为2250元．（3）设每个月获得利润w 元，由（2）知w ＝（220﹣2x ）（x ﹣40）＝﹣2x 2+300x ﹣8800∴w ＝﹣2（x ﹣75）2+2450 ∴当x ＝75，即售价为75元时，月利润最大，且最大月利润为2450元．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题关键在于理解题意得到等量关系列出方程. 31．小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为6元，当销售单价定为8元时，每天可以销售200件．市场调查反映：销售单价每提高1元，日销量将会减少10件，物价部门规定：销售单价不能超过12元，设该纪念品的销售单价为x （元），日销量为y （件），日销售利润为w （元）．（1）求y 与x 的函数关系式．（2）要使日销售利润为720元，销售单价应定为多少元？（3）求日销售利润w （元）与销售单价x （元）的函数关系式，当x 为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润．【答案】（1）10280y x =-+；（2）10元；（3）x 为12时，日销售利润最大，最大利润960元【分析】（1）根据题意得到函数解析式；（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；（3）根据题意得到()()()26128010171210w x x x =--+=--+，根据二次函数的性质即可得到结论．【解析】解：（1）根据题意得，()20010810280y x x =--=-+，故y 与x 的函数关系式为10280y x =-+；（2）根据题意得，()()610280720x x --+=，解得：110x =，224x =（不合题意舍去），答：要使日销售利润为720元，销售单价应定为10元；（3）根据题意得，()()()261028010171210w x x x =--+=--+， 100-<Q ，∴当17x <时，w 随x 的增大而增大，当12x =时，960w =最大，答：当x 为12时，日销售利润最大，最大利润960元．【点睛】此题考查了一元二次方程和二次函数的运用，利用总利润=单个利润×销售数量建立函数关系式，进一步利用性质的解决问题，解答时求出二次函数的解析式是关键．32．为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？【答案】销售单价为180元时，公司每天可获利32000元【分析】根据题意设降价后的销售单价为x 元，由题意得到1003005200[32000]x x -+-（）（）＝，则可得到答案. 【解析】解：设降价后的销售单价为x 元，则降价后每天可售出3005200[]x +-（）个， 依题意，得：1003005200[32000]x x -+-（）（）＝， 整理，得：2360324000x x +﹣＝，解得：12180x x ＝＝．180200＜，符合题意． 答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的实际应用.《一元二次方程》中考真题1．已知2是关于x 的一元二次方程240x x m -+=的一个实数根，则实数m 的值是（ ） A ．0 B ．1C ．−3D ．−1【答案】B【分析】把x ＝2+代入方程就得到一个关于m 的方程，就可以求出m 的值．【解析】解：根据题意得2(24(20m -⨯++=，解得1m =；故选：B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．2．定义运算：21m n mn mn =--☆．例如2:42424217=⨯-⨯-=☆．则方程10x =☆的根的情况为（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．只有一个实数根 【答案】A【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【解析】解：根据定义得：2110,x x x =--=☆1,1,1,a b c ==-=-Q ()()22414115b ac ∴∆=-=--⨯⨯-=＞0, ∴ 原方程有两个不相等的实数根，故选.A【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键．3．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】C【分析】设这种植物每个支干长出x 个小分支，根据主干、支干和小分支的总数是43，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论【解析】设这种植物每个支干长出x 个小分支，依题意，得：2143x x ++=， 解得： 17x =-（舍去），26x =．故选C ．【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于列出方程4．关于x 的一元二次方程2(3)10x k x k +-+-=根的情况，下列说法正确的是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定 【答案】A【分析】先计算判别式，再进行配方得到△=（k-1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根．【解析】△=(k-3)2-4(1-k)=k 2-6k+9-4+4k=k 2-2k+5=(k-1)2+4，∴（k-1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根．故选：A ．【点睛】本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．5．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋2x ＋1＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜2 B ．m≤2 C ．m ＜2且m≠1 D ．m≤2且m≠1【答案】D【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围．【解析】解：因为关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0有实数根，所以b 2－4ac ＝22－4(m －1)×1≥0，解得m≤2．又因为(m －1)x 2＋2x ＋1＝0是一元二次方程，所以m －1≠0．综合知，m 的取值范围是m≤2且m≠1，因此本题选D ．【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于m 的一元一次不等式组是解题的关键．6．某厂家2020年1～5月份的口罩产量统计如图所示．设从2月份到4月份，该厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方程（ ）A ．180（1﹣x ）2=461B ．180（1+x 【答案】B【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的180万只，4月份的利润将达到461万只【解析】解：从2月份到4月份，该厂家口故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应7．关于x 的一元二次方程22x mx +A ．2m =- B ．3m = 【答案】A【分析】设1x ，2x 是2220x mx m ++再由()2221212122x x x x x x +=+-⋅代入即可【解析】设1x ，2x 是222x mx m ++∴40m ∆=-≥，∴0m ≤，∴1x +∴()2221212122x x x x x x +=+-⋅4=∴3m =或2m =-，∴2m =-，故选【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的8．已知关于x 的一元二次方程x 2+5x ﹣A ．﹣7 B ．7【答案】A【分析】根据根与系数的关系即可求出答案【解析】解：设另一个根为x ，则x +2【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系9．设1x ，2x 是方程2234x x +-=的两）2=461 C ．368（1﹣x ）2=442 D ．368（1+x 增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设这个增万只”，即可得出方程．厂家口罩产量的平均月增长率为x ，根据题意可得方实际应用，理解题意是解题关键．20m m ++=的两个实数根的平方和为12，则m 的值C ．3m =或2m =- D ．3m =-或m =m +=的两个实数根，由根与系数的关系得12x x +=入即可. 0m +=的两个实数根，22x m =-，212x x m m ⋅=+，222222212m m m m m --=-=，A ．系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式m ＝0的一个根是2，则另一个根是（ ） C ．3D ．﹣3出答案．＝﹣5，解得x ＝﹣7．故选：A ．根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的0的两个实数根，则1211+x x 的值为______． ）2=442 设这个增长率为x ，根据“2月份可得方程：180（1+x ）2=461，的值为（ ） 22m -，212x x m m ⋅=+，方公式是解题的关键． 系数的关系是解题关键．【答案】34【分析】由韦达定理可分别求出1x +【解析】解：由方程2234x x +-=12121231132·24x x x x x x -++===-．故答案为【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的10．如图，在一块长15m 、宽10m 的矩形空面积为126m 2，则修建的路宽应为_____【答案】1【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形式列方程求解即可．【解析】解：设道路的宽为x m ，根据题意解得：x 1＝1，x 2＝24（不合题意，舍去【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应本题的关键．11．已知关于x 的一元二次方程2x 【答案】1【分析】利用因式分解法求出x 1,x 2，再根【解析】解22430(0)x mx m m -+=解得x 1=3m,x 2=m ，∴3m-m=2解得m=1【点睛】此题主要考查解一元二次方程，12．一元二次方程()()32x x --=的根【答案】123,2==x x【分析】利用因式分解法把方程化为x-【解析】解：30x -=或20x -=，所以2x 与12x x g 的值，再化简要求的式子，代入即可得解0可知1232x x +=-，124·22x x -==- 案为：34 系数的关系，利用韦达定理可简便运算．矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，___米． 到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方据题意得：（10﹣x ）（15﹣x ）＝126， ），则道路的宽应为1米；故答案为：1．程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地2430(0)mx m m -+=>的一个根比另一个根大2，再根据根的关系即可求解．> （x-3m ）（x-m ）=0 ∴x-3m=0或x-m=0 =1故答案为：1． ，解题的关键是熟知因式分解法的运用． 0的根是_____． -3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可． 所以123,2==x x ．故答案为123,2==x x ．可得解． ，剩余分栽种花草，要使绿化个长方形，根据长方形的面积公矩形地面的最上边和最左边是做，则m 的值为_____．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．13．三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程28120x x -+=的解，则这个三角形的周长是________． 【答案】17【分析】先利用因式分解法求解得出x 的值，再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，从而得出答案． 【解析】解：解方程28120x x -+=得x 1=2，x 2=6，当x=2时，2+4=6<7，不能构成三角形，舍去； 当x=6时，2+6＞7，能构成三角形，此时三角形的周长为4+7+6=17.故答案为：17．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．14．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x 步，则可列方程为_____． 【答案】x （x ﹣12）＝864．【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【解析】解：∵长为x 步，宽比长少12步，∴宽为（x ﹣12）步．依题意，得：x （x ﹣12）＝864．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15．用配方法求一元二次方程()()23616x x +-＝的实数根．【答案】1x 2x ． 【分析】首先把方程化为一般形式为2x 2-9x-34=0，然后变形为29x x 172﹣＝，然后利用配方法解方程． 【解析】原方程化为一般形式为22x 9x 340﹣﹣＝，29x x 172﹣＝，298181x x 1721616-++，29353x 416-（＝，9x 4-±＝，所以12x ，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．16．已知关于x 的一元二次方程24280x x k --+=有两个实数根12,x x ． （1）求k 的取值范围；（2）若33121224x x x x +=，求k 的值．。

一元二次方程100道计算题练习(附答案)(1)x^2+17x+72=0答案：x1=-8x2=-9(2)x^2+6x-27=0答案：x1=3x2=-9(3)x^2-2x-80=0答案：x1=-8x2=10(4)x^2+10x-200=0答案：x1=-20x2=10(5)x^2-20x+96=0答案：x1=12x2=8(6)x^2+23x+76=0答案：x1=-19x2=-4(7)x^2-25x+154=0答案：x1=14x2=11(8)x^2-12x-108=0答案：x1=-6x2=18(9)x^2+4x-252=0答案：x1=14x2=-18(10)x^2-11x-102=0答案：x1=17x2=-6(11)x^2+15x-54=0答案：x1=-18x2=3(12)x^2+11x+18=0答案：x1=-2x2=-9(13)x^2-9x+20=0答案：x1=4x2=5(14)x^2+19x+90=0答案：x1=-10x2=-9(15)x^2-25x+156=0答案：x1=13x2=12(16)x^2-22x+57=0答案：x1=3x2=19(17)x^2-5x-176=0答案：x1=16x2=-11(18)x^2-26x+133=0答案：x1=7x2=19(19)x^2+10x-11=0答案：x1=-11x2=1(20)x^2-3x-304=0答案：x1=-16x2=19(21)x^2+13x-140=0答案：x1=7x2=-20(23)x^2+5x-176=0答案：x1=-16x2=11(24)x^2+28x+171=0答案：x1=-9x2=-19(25)x^2+14x+45=0答案：x1=-9x2=-5(26)x^2-9x-136=0答案：x1=-8x2=17(27)x^2-15x-76=0答案：x1=19x2=-4(28)x^2+23x+126=0答案：x1=-9x2=-14(29)x^2+9x-70=0答案：x1=-14x2=5(30)x^2-1x-56=0答案：x1=8x2=-7(31)x^2+7x-60=0答案：x1=5x2=-12(32)x^2+10x-39=0答案：x1=-13x2=3(33)x^2+19x+34=0答案：x1=-17x2=-2(34)x^2-6x-160=0答案：x1=16x2=-10(35)x^2-6x-55=0答案：x1=11x2=-5(36)x^2-7x-144=0答案：x1=-9x2=16(37)x^2+20x+51=0答案：x1=-3x2=-17(38)x^2-9x+14=0答案：x1=2x2=7(39)x^2-29x+208=0答案：x1=16x2=13(40)x^2+19x-20=0答案：x1=-20x2=1(41)x^2-13x-48=0答案：x1=16x2=-3(42)x^2+10x+24=0答案：x1=-6x2=-4(43)x^2+28x+180=0答案：x1=-10x2=-18(45)x^2+23x+90=0答案：x1=-18x2=-5(46)x^2+7x+6=0答案：x1=-6x2=-1(47)x^2+16x+28=0答案：x1=-14x2=-2(48)x^2+5x-50=0答案：x1=-10x2=5(49)x^2+13x-14=0答案：x1=1x2=-14(50)x^2-23x+102=0答案：x1=17x2=6(51)x^2+5x-176=0答案：x1=-16x2=11(52)x^2-8x-20=0答案：x1=-2x2=10(53)x^2-16x+39=0答案：x1=3x2=13(54)x^2+32x+240=0答案：x1=-20x2=-12(55)x^2+34x+288=0答案：x1=-18x2=-16(56)x^2+22x+105=0答案：x1=-7x2=-15(57)x^2+19x-20=0答案：x1=-20x2=1(58)x^2-7x+6=0答案：x1=6x2=1(59)x^2+4x-221=0答案：x1=13x2=-17(60)x^2+6x-91=0答案：x1=-13x2=7(61)x^2+8x+12=0答案：x1=-2x2=-6(62)x^2+7x-120=0答案：x1=-15x2=8(63)x^2-18x+17=0答案：x1=17x2=1(64)x^2+7x-170=0答案：x1=-17x2=10(65)x^2+6x+8=0答案：x1=-4x2=-2(67)x^2+24x+119=0答案：x1=-7x2=-17(68)x^2+11x-42=0答案：x1=3x2=-14(69)x^20x-289=0答案：x1=17x2=-17(70)x^2+13x+30=0答案：x1=-3x2=-10(71)x^2-24x+140=0答案：x1=14x2=10(72)x^2+4x-60=0答案：x1=-10x2=6(73)x^2+27x+170=0答案：x1=-10x2=-17(74)x^2+27x+152=0答案：x1=-19x2=-8(75)x^2-2x-99=0答案：x1=11x2=-9(76)x^2+12x+11=0答案：x1=-11x2=-1(77)x^2+17x+70=0答案：x1=-10x2=-7(78)x^2+20x+19=0答案：x1=-19x2=-1(79)x^2-2x-168=0答案：x1=-12x2=14(80)x^2-13x+30=0答案：x1=3x2=10(81)x^2-10x-119=0答案：x1=17x2=-7(82)x^2+16x-17=0答案：x1=1x2=-17(83)x^2-1x-20=0答案：x1=5x2=-4(84)x^2-2x-288=0答案：x1=18x2=-16(85)x^2-20x+64=0答案：x1=16x2=4(86)x^2+22x+105=0答案：x1=-7x2=-15(87)x^2+13x+12=0答案：x1=-1x2=-12(89)x^2+26x+133=0答案：x1=-19x2=-7(90)x^2-17x+16=0答案：x1=1x2=16(91)x^2+3x-4=0答案：x1=1x2=-4(92)x^2-14x+48=0答案：x1=6x2=8(93)x^2-12x-133=0答案：x1=19x2=-7(94)x^2+5x+4=0答案：x1=-1x2=-4(95)x^2+6x-91=0答案：x1=7x2=-13(96)x^2+3x-4=0答案：x1=-4x2=1(97)x^2-13x+12=0答案：x1=12x2=1(98)x^2+7x-44=0答案：x1=-11x2=4(99)x^2-6x-7=0答案：x1=-1x2=7 (100)x^2-9x-90=0答案：x1=15x2=-6。

中考数学⼀元⼆次⽅程专题（附答案）中考数学⼀元⼆次⽅程专题（附答案）⼀、单选题（共12题；共24分）1.下列⼀元⼆次⽅程有两个相等实数根的是（）A. x2﹣2x+1=0B. 2x2﹣x+1=0C. 4x2﹣2x﹣3=0D. x2﹣6x=02.⽅程＝0有两个相等的实数根，且满⾜＝，则的值是（）A. －2或3B. 3C. －2D. －3或23.若关于x的⼀元⼆次⽅程x2﹣2x﹣k+1=0有两个相等的实数根，则k的值是（）A. ﹣1B. 0C. 1D. 24.若关于的⼀元⼆次⽅程有两个不相等的实数根，则⼀次函数的图象可能是:A. B. C. D.5.下列⼀元⼆次⽅程中，有两个相等实数根的是（）A. x2﹣8=0B. 2x2﹣4x+3=0C. 9x2﹣6x+1=0D. 5x+2=3x26.已知m、n、4分别是等腰三⾓形（⾮等边三⾓形）三边的长，且m、n是关于的⼀元⼆次⽅程的两个根，则k的值等于A. 7B. 7或6C. 6或D. 67.⽅程（x-1）?（x2+17x-3）=0的三根分别为x1，x2，x3 .则x1x2+x2x3+x1x3 =（）A. 14B. 13C. －14D. －208.⼀元⼆次⽅程x2﹣4x+3=0的两个根分别是⊙O1和⊙O2的半径长，圆⼼距O1O2=4，则⊙O1和⊙O2的位置关系（）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切9.已知关于的⽅程有两个实数根，则的取值范围是( )A. B. C. 且 D. 且10.设a、b、c和S分别为三⾓形的三边长和⾯积，关于x的⽅程b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0的判别式为Δ.则Δ与S的⼤⼩关系为( ).A. Δ=16S2B. Δ=-16S2C. Δ=16SD. Δ=-16S11.下列⽅程中，有两个不相等实数根的是（）.A. x2-4x+4=0B. x2+3x-1=0C. x2+x+1=0D. x2-2x+3=012.已知⼆次函数y=ax2+2ax+3a-2（a是常数，且a≠0）的图象过点M（x1，-1），N（x2，-1），若MN的长不⼩于2，则a的取值范围是（）A. a≥B. 0C. - ≤a<0D. a≤-⼆、填空题（共6题；共12分）13.等腰三⾓形的腰和底边的长是⽅程x2-20x+91=0的两个根，则此三⾓形的周长为________.14.已知x=-1是⽅程x2+ax+4=0的⼀个根，则⽅程的另⼀个根为________ 。

一元二次方程100道计算题练习1、)4(5)4(2+=+x x2、x x 4)1(2=+3、22)21()3(x x -=+4、31022=-x x5、（x+5）2=16 6、2(2x －1)－x （1－2x)=07、x 2 =64 8、5x 2—52=0 9、8（3 —x ）2–72=010、3x （x+2）=5(x+2） 11、（1－3y)2+2（3y －1）=0 12、x 2+ 2x + 3=013、x 2+ 6x －5=0 14、x 2－4x+ 3=0 15、x 2－2x －1 =016、2x 2+3x+1=0 17、3x 2+2x －1 =0 18、5x 2－3x+2 =019、7x 2－4x －3 =0 20、 -x 2—x+12 =0 21、x 2－6x+9 =022、22(32)(23)x x -=- 23、x 2-2x —4=0 24、x 2—3=4x25、3x 2＋8 x －3＝0（配方法） 26、(3x ＋2)(x ＋3)＝x ＋14 27、(x+1）(x+8）=—1228、2（x －3） 2＝x 2－9 29、－3x 2＋22x －24＝0 30、（2x-1)2+3(2x —1）+2=031、2x 2－9x ＋8＝0 32、3（x-5）2=x （5—x) 33、（x ＋2） 2＝8x34、(x －2) 2＝（2x ＋3）235、2720x x += 36、24410t t -+=37、()()24330x x x -+-= 38、2631350x x -+= 39、()2231210x --=40、2223650x x -+=一、用因式分解法解下列方程（x －2） 2＝（2x —3)2042=-x x 3(1)33x x x +=+x 2—23x+3=0 ()()0165852=+---x x二、利用开平方法解下列方程51)12(212=-y 4（x —3)2=25 24)23(2=+x三、利用配方法解下列方程25220x x -+= 012632=--x x01072=+-x x四、利用公式法解下列方程－3x 2＋22x －24＝0 2x(x －3)=x －3． 3x 2+5（2x+1）=0五、选用适当的方法解下列方程（x ＋1) 2－3 (x ＋1）＋2＝0 22(21)9(3)x x +=- 2230x x --=21302x x ++= 4)2)(1(13)1(+-=-+x x x x--xx x（x＋1)－5x＝0。

2020年中考数学试题《一元二次方程》试题精编含答案1．（2020•西藏）列方程（组）解应用题某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．2．（2020•黔南州）在2020年新冠肺炎疫情期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全班同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点A1、A2、A3…A48分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：（1）填写上图中第四个图中y的值为，第五个图中y的值为．（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为，当x＝48时，对应的y＝．（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？3．（2020•呼和浩特）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如：解方程x﹣＝0，就可以利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为：y2﹣y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．已知实数x，y满足，求x2+y2的值．4．（2020•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．5．（2020•玉林）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程的两个不相等的实数根是a，b，求﹣的值．6．（2020•黄石）已知：关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两根为x1、x2，且满足（x1﹣x2）2﹣17＝0，求m的值．7．（2020•宜昌）资料：公司营销区域面积是指公司营销活动范围内的地方面积，公共营销区域面积是指两家及以上公司营销活动重叠范围内的地方面积．材料：某地有A，B两家商贸公司（以下简称A，B公司）．去年下半年A，B公司营销区域面积分别为m平方千米，n平方千米，其中m＝3n，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为；今年上半年，受政策鼓励，各公司决策调整，A公司营销区域面积比去年下半年增长了x%，B公司营销区域面积比去年下半年增长的百分数是A公司的4倍，公共营销区域面积与A公司营销区域面积的比为，同时公共营销区域面积与A，B 两公司总营销区域面积的比比去年下半年增加了x个百分点．问题：（1）根据上述材料，针对去年下半年，提出一个你喜欢的数学问题（如求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比），并解答；（2）若同一个公司去年下半年和今年上半年每平方千米产生的经济收益持平，且A公司每半年每平方千米产生的经济收益均为B公司的1.5倍，求去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比．8．（2020•荆州）阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．【问题】解方程：x2+2x+4﹣5＝0．【提示】可以用“换元法”解方程．解：设＝t（t≥0），则有x2+2x＝t2原方程可化为：t2+4t﹣5＝0【续解】9．（2020•湘西州）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？10．（2020•随州）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m﹣2＝0．（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有两个实数根x1，x2，且x1+x2+3x1x2＝1，求m的值．11．（2020•河北）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上a2，同时B区就会自动减去3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16，如图．如，第一次按键后，A，B两区分别显示：（1）从初始状态按2次后，分别求A，B两区显示的结果；（2）从初始状态按4次后，计算A，B两区代数式的和，请判断这个和能为负数吗？说明理由．12．（2020•徐州）（1）解方程：2x2﹣5x+3＝0；（2）解不等式组：．13．（2020•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0．（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．14．（2020•广东）已知关于x，y的方程组与的解相同．（1）求a，b的值；（2）若一个三角形的一条边的长为2，另外两条边的长是关于x的方程x2+ax+b＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．15．（2020•鄂州）已知关于x的方程x2﹣4x+k+1＝0有两实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1、x2，且+＝x1x2﹣4，求实数k的值．16．（2020•齐齐哈尔）解方程：x2﹣5x+6＝017．（2020•重庆）为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A、B两个品种各种植了10亩．收获后A、B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B品种的平均亩产量比A品种高100千克，A、B两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）求A、B两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A、B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%．由于B品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价保持不变，A、B两个品种全部售出后总收入将增加a%．求a的值．18．（2020•无锡）解方程：（1）x2+x﹣1＝0；（2）．19．（2020•南充）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．（1）求k的取值范围．（2）是否存在实数k，使得等式+＝k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．20．（2020•上海）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．21．（2020•嘉兴）比较x2+1与2x的大小．（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：①当x＝1时，x2+12x；②当x＝0时，x2+12x；③当x＝﹣2时，x2+12x．（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．22．（2020•南京）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．23．（2019•阿坝州）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣（k+1）＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．24．（2019•无锡）（1）解方程：2x2﹣x﹣5＝0；（2）解不等式组：．25．（2019•大连）某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年该村的人均收入是多少元？26．（2019•徐州）如图，有一块矩形硬纸板，长30cm，宽20cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2？27．（2019•玉林）某养殖场为了响应党中央的扶贫政策，今年起采用“场内+农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg与3.6万kg，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．（1）求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；（2）假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg．如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？28．（2019•绥化）已知关于x的方程kx2﹣3x+1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当x1+x2+x1x2＝4时，求k的值．29．（2019•齐齐哈尔）解方程：x2+6x＝﹣7．30．（2019•贺州）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？31．（2019•安顺）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y （千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？32．（2019•邵阳）2019年1月14日，国新办举行新闻发布会，海关总署新闻发言人李魁文在会上指出：在2018年，我国进出口规模创历史新高，全年外贸进出口总值为30万亿元人民币．有望继续保持全球货物贸易第一大国地位．预计2020年我国外贸进出口总值将达36.3万亿元人民币．求这两年我国外贸进出口总值的年平均增长率．33．（2019•贵港）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2016年底到2018年底两年内由5万册增加到7.2万册．（1）求这两年藏书的年均增长率；（2）经统计知：中外古典名著的册数在2016年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？34．（2019•襄阳）改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长（AD）16m，宽（AB）9m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m2，则小路的宽应为多少？35．（2019•北京）关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．36．（2019•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若a为正整数，求a的值；（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．37．（2019•黄石）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为x1、x2，且|x1﹣x2|＝4，求m的值．38．（2019•东营）为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？39．（2019•广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．40．（2019•十堰）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）若x12+x22﹣x1x2≤30，且a为整数，求a的值．参考答案1．【解答】解：设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600，整理，得x2﹣35x+300＝0，解得x1＝15，x2＝20，当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m．2．【解答】解：（1）观察图形，可知：第四个图中y的值为10，第五个图中y的值为15．故答案为：10；15．（2）∵1＝，3＝，6＝，10＝，15＝，∴y＝，当x＝48时，y＝＝1128．故答案为：y＝；1128．（3）依题意，得：＝190，化简，得：x2﹣x﹣380＝0，解得：x1＝20，x2＝﹣19（不合题意，舍去）．答：该班共有20名女生．3．【解答】解：令xy＝a，x+y＝b，则原方程组可化为：，整理得：，②﹣①得：11a2＝275，解得：a2＝25，代入②可得：b＝4，∴方程组的解为：或，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝b2﹣2a，当a＝5时，x+y＝4，xy＝5，∴x＝4﹣y，代入xy＝5，可得y2﹣4y+5＝0，此时△＝16﹣20＜0，方程无解，故不符合题意，当a＝﹣5时，x2+y2＝26，因此x2+y2的值为26．4．【解答】解：（1）由题意可知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，整理得：16+8k﹣32≥0，解得：k≥2，∴k的取值范围是：k≥2．故答案为：k≥2．（2）由题意得：，由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，整理得：k2﹣4k+3＝0，解得：k1＝3，k2＝1，又由（1）中可知k≥2，∴k的值为k＝3．故答案为：k＝3．5．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，解得k＞﹣1．∴k的取值范围为k＞﹣1；（2）由根与系数关系得a+b＝﹣2，a•b＝﹣k，﹣＝＝＝1．6．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0有两个实数根，∴△＝（）2﹣4×1×（﹣2）＝m+8≥0，且m≥0，解得：m≥0．（2）∵关于x的一元二次方程x2+x﹣2＝0有两个实数根x1、x2，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝﹣2，∴（x1﹣x2）2﹣17＝（x1+x2）2﹣4x1•x2﹣17＝0，即m+8﹣17＝0，解得：m＝9．7．【解答】解：（1）问题：求去年下半年公共营销区域面积与B公司营销区域面积的比？3n×＝n，n：n＝；（2）依题意有×3n（1+x%）＝[3n（1+x%）+n（1+4x%）﹣×3n（1+x%）][3n×÷（3n+n﹣n）+x%]，100（x%）2+45x%﹣13＝0，解得x%＝20%，x%＝﹣65%（舍去），设B公司每半年每平方千米产生的经济收益为a，则A公司每半年每平方千米产生的经济收益为1.5a，今年上半年两公司总经济收益为1.5a×3n×（1+20%）+an×（1+4×20%）＝7.2na，去年下半年两公司总经济收益为1.5a×3n+an＝5.5na，故去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为（5.5na）：（7.2na）＝55：72．故去年下半年与今年上半年两公司总经济收益之比为55：72．8．【解答】解：（t+5）（t﹣1）＝0，t+5＝0或t﹣1＝0，∴t1＝﹣5，t2＝1，当t＝﹣5时，＝﹣5，此方程无解；当t＝1时，＝1，则x2+2x＝1，配方得（x+1）2＝2，解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；经检验，原方程的解为x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣．9．【解答】解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得20000（1+x）2＝24200解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%，答：口罩日产量的月平均增长率为10%．（2）24200（1+0.1）＝26620（个）．答：预计4月份平均日产量为26620个．10．【解答】（1）证明：∵△＝（2m+1）2﹣4×1×（m﹣2）＝4m2+4m+1﹣4m+8＝4m2+9＞0，∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由根与系数的关系得出，由x1+x2+3x1x2＝1得﹣（2m+1）+3（m﹣2）＝1，解得m＝8．11．【解答】解：（1）A区显示的结果为：25+2a2，B区显示的结果为：﹣16﹣6a；（2）这个和不能为负数，理由：根据题意得，25+4a2+（﹣16﹣12a）＝25+4a2﹣16﹣12a＝4a2﹣12a+9；∵（2a﹣3）2≥0，∴这个和不能为负数．12．【解答】解：（1）2x2﹣5x+3＝0，（2x﹣3）（x﹣1）＝0，∴2x﹣3＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝，x2＝1；（2）解不等式①，得x＜3．解不等式②，得x＞﹣4．则原不等式的解集为：﹣4＜x＜3．13．【解答】解：（1）∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）＝4k2+4k+1﹣2k2+8＝2k2+4k+9＝2（k+1）2+7＞0，∵无论k为何实数，2（k+1）2≥0，∴2（k+1）2+7＞0，∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2﹣2，∵x1﹣x2＝3，∴（x1﹣x2）2＝9，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，∴（2k+1）2﹣4×（k2﹣2）＝9，化简得k2+2k＝0，解得k＝0或k＝﹣2．14．【解答】解：（1）由题意得，关于x，y的方程组的相同解，就是方程组的解，解得，，代入原方程组得，a＝﹣4，b＝12；（2）当a＝﹣4，b＝12时，关于x的方程x2+ax+b＝0就变为x2﹣4x+12＝0，解得，x1＝x2＝2，又∵（2）2+（2）2＝（2）2，∴以2、2、2为边的三角形是等腰直角三角形．15．【解答】解：（1）△＝16﹣4（k+1）＝16﹣4k﹣4＝12﹣4k≥0，∴k≤3．（2）由题意可知：x1+x2＝4，x1x2＝k+1，∵＝x1x2﹣4，∴＝x1x2﹣4，∴，∴k＝5或k＝﹣3，由（1）可知：k＝5舍去，∴k＝﹣3．16．【解答】解：∵x2﹣5x+6＝0，∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，则x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3．17．【解答】解：（1）设A、B两个品种去年平均亩产量分别是x千克和y千克；根据题意得，，解得：，答：A、B两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；（2）2.4×400×10（1+a%）+2.4（1+a%）×500×10（1+2a%）＝21600（1+a%），解得：a1＝0（不合题意舍去），a2＝10，答：a的值为10．18．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝1，c＝﹣1，∴△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝；（2），解①得，x≥0，解②得，x＜1，所以不等式组的解集为0≤x＜1．19．【解答】解：（1）∵一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（k+2）≥0，解得：k≤﹣1．（2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根，∴x1+x2＝2，x1x2＝k+2．∵+＝k﹣2，∴＝＝k﹣2，∴k2﹣6＝0，解得：k1＝﹣，k2＝．又∵k≤﹣1，∴k＝﹣．∴存在这样的k值，使得等式+＝k﹣2成立，k值为﹣．20．【解答】解：（1）450+450×12%＝504（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．21．【解答】解：（1）①当x＝1时，x2+1＝2x；②当x＝0时，x2+1＞2x；③当x＝﹣2时，x2+1＞2x．（2）x2+1≥2x．证明：∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，∴x2+1≥2x．故答案为：＝；＞；＞．22．【解答】解：原方程可以变形为（x﹣3）（x+1）＝0x﹣3＝0，x+1＝0∴x1＝3，x2＝﹣1．23．【解答】解：根据题意得△＝（﹣2）2+4（k+1）＞0，解得k＞﹣2．24．【解答】解：（1）∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣5，∴△＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣5）＝41＞0，则x＝；（2）解不等式3（x+1）＞x﹣1，得：x＞﹣2，解不等式≥2x，得：x≤2，则不等式组的解集为﹣2＜x≤2．25．【解答】解：（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，根据题意得：20000（1+x）2＝24200，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%．（2）24200×（1+10%）＝26620（元）．答：预测2019年该村的人均收入是26620元．26．【解答】解：设剪去正方形的边长为xcm，则做成无盖长方体盒子的底面长为（30﹣2x）cm，宽为（20﹣2x）cm，高为xcm，依题意，得：2×[（30﹣2x）+（20﹣2x）]x＝200，整理，得：2x2﹣25x+50＝0，解得：x1＝，x2＝10．当x＝10时，20﹣2x＝0，不合题意，舍去．答：当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为200cm2．27．【解答】解：（1）设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x，根据题意得，2.5（1+x）2＝3.6，解得：x＝0.2，x＝﹣2.2（不合题意舍去），答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%；（2）解法一：3.6×（1+20%）＝4.32万（kg），4.32÷0.32＝13.5（个），3.6÷0.32＝11.25（个），∴13.5﹣11.25＝2.25（个），故至少再增加3个销售点．解法二：设至少再增加y个销售点，根据题意得，3.6+0.32y≥3.6×（1+20%），解得：y≥，答：至少再增加3个销售点．28．【解答】解：（1）当k＝0时，原方程为﹣3x+1＝0，解得：x＝，∴k＝0符合题意；当k≠0时，原方程为一元二次方程，∵该一元二次方程有实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0，解得：k≤．综上所述，k的取值范围为k≤．（2）∵x1和x2是方程kx2﹣3x+1＝0的两个根，∴x1+x2＝，x1x2＝．∵x1+x2+x1x2＝4，∴+＝4，解得：k＝1，经检验，k＝1是分式方程的解，且符合题意．∴k的值为1．29．【解答】解：∵x2+6x＝﹣7，∴x2+6x+9＝﹣7+9，即（x+3）2＝2，则x+3＝±，∴x＝﹣3±，即x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．30．【解答】解：（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，依题意，得：2500（1+x）2＝3600，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%．（2）3600×（1+20%）＝4320（元），4320＞4200．答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元．31．【解答】解：（1）设一次函数解析式为：y＝kx+b当x＝2，y＝120；当x＝4，y＝140；∴，解得：，∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100；（2）由题意得：（60﹣40﹣x）（10 x+100）＝2090，整理得：x2﹣10x+9＝0，解得：x1＝1．x2＝9，∵让顾客得到更大的实惠，∴x＝9，答：商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．32．【解答】解：设平均增长率为x，根据题意列方程得30（1+x）2＝36.3解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（舍）答：我国外贸进出口总值的年平均增长率为10%．33．【解答】解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x，5（1+x）2＝7.2，解得，x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），答：这两年藏书的年均增长率是20%；（2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（7.2﹣5）×20%＝0.44（万册），到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：×100%＝10%，答：到2018年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%．34．【解答】解：设小路的宽应为xm，根据题意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，解得：x1＝1，x2＝16．∵16＞9，∴x＝16不符合题意，舍去，∴x＝1．答：小路的宽应为1m．35．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m＝1，∴原方程可化为x2﹣2x+1＝0，则（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．36．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，解得：a＜3，∵a为正整数，∴a＝1，2；（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，∵x12+x22﹣x1x2＝16，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，∴[2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解得：a1＝﹣1，a2＝6，∵a＜3，∴a＝﹣1．37．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+（4m+1）＝0有实数根，∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2．（2）∵方程x2﹣6x+（4m+1）＝0的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2＝6，x1x2＝4m+1，∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝42，即32﹣16m＝16，解得：m＝1．38．【解答】解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5（200﹣x）]个，依题意，得：（x﹣100）[300+5（200﹣x）]＝32000，整理，得：x2﹣360x+32400＝0，解得：x1＝x2＝180．180＜200，符合题意．答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．39．【解答】解：（1）1.5×4＝6（万座）．答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，依题意，得：6（1+x）2＝17.34，解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（舍去）．答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．40．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2a+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2，∴△＞0，即（﹣6）2﹣4（2a+5）＞0，解得a＜2；（2）由根与系数的关系知：x1+x2＝6，x1x2＝2a+5，∵x1，x2满足x12+x22﹣x1x2≤30，∴（x1+x2）2﹣3x1x2≤30，∴36﹣3（2a+5）≤30，∴a≥﹣，∵a为整数。

一元二次方程1. 下列方程中一定是一元二次方程的是( )2-1=0 B. 5x2-6y-3=0 C. ax2-x+2=0 D. 3x2-3x-1=0A. 3x2+x2. 方程x2－2(x＋3)(x－4)＝10化成一般形式为( )A．x2－2x－14＝0 B．x2＋2x＋14＝0 C．x2＋2x－14＝0 D．x2－2x＋14＝0 3．下列方程采用配方法求解较简便的是( )A．3x2＋x－1＝0 B．4x2－4x－5＝0 C．x2－7x＝0 D．(x－3)2＝4x24．如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20 m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是( )A．7m B．8m C．9m D．10m5．下面是李刚同学在一次测验中解答的题目，其中答对的是( )A．若x2＝4，则x＝2B．方程x(2x－1)＝2x－1的解为x＝1C．若方程－0.5x2＋x＋k＝0一根等于1，则k＝－0.5D ．若分式x 2－3x ＋2x －1的值为零，则x ＝1或26．若α，β为方程2x 2－5x －1＝0的两个实数根，则2α2＋3αβ＋5β的值为( )A ．－13B ．12C ．14D ．157．关于x 的一元二次方程(m －2)x 2＋(2m ＋1)x ＋m －2＝0有两个不相等的正实数根，则m 的取值范围是( )A ．m ＞34B ．m ＞34且m≠2C ．－12＜m ＜2 D.34＜m ＜210. 等腰三角形的边长分别是a,b,2,且a,b 是关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋n －1＝0的两根，则n 的值为( ) A. 9 B. 10 C. 9或10 D. 8或1011. 已知实数x 1，x 2满足x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝12，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是 .12．已知b ，c 为实数，且满足(b －c －1)2＝－b ＋1，则一元二次方程x 2＋bx ＋c ＝0的根为 .13．已知实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0，且m≠n，则m 2＋n 2 ＝ .14．关于x 的一元二次方程(m －3)xm 2－5m ＋8＋(m －2)x ＋5＝0的解15．三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2－13x＋40＝0的根，则该三角形的周长为____．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm.现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AB向终点B移动，点Q以2cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．连接PQ，若经过x s后P，Q两点之间的距离为42，那么x的值为 .17. 若关于x的方程（x+1）2＝k﹣1没有实数根，则k的取值范围是 .18. 已知关于x的一元二次方程x2+mx+4＝0有两个正整数根，则m可能取的值为 .19. 古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x尺，则可列方程为．20. 若关于x的方程x2﹣mx+m＝0有两个相等实数根，则代数式2m2﹣8m+1的21. 用适当的方法解下列方程：(1)4x2＋8x＋1＝0；(2)(3t＋2)2＝6t＋4.22. 已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，求m的值．23. 若关于x的一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是m＋1与2m－4，求ba的值．24. 已知m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m﹣1）的值．25. 一元二次方程x 2－2x －54＝0的某个根，也是一元二次方程x 2－(k ＋2)x ＋94＝0的根，求k 的值．26. 已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2＝0有两个不相等的实数根 x 1，x 2．(1) 求m 的取值范围； (2) 若x 2＜0，且＞﹣1，求整数m 的值．27. 已知关于x 的方程k 2x 2－2(k ＋1)x ＋1＝0有两个实数根． (1)求k 的取值范围；(2)当k ＝1时，设所给方程的两个根分别为x 1和x 2，求x 2x 1＋x 1x 2的值．28. 已知关于x 的一元二次方程x 2＋2x ＋m ＝0. (1)当m ＝3时，判断方程的根的情况； (2)当m ＝－3时，求方程的根．28. 解：(1)∵当m ＝3时，Δ＝b 2－4ac ＝22－4× 3＝－8＜ 0， ∴原方程无实数根．(2)当m ＝－3时，原方程变为x 2＋2x －3＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－3.29. 随着人们节能意识的增强，节能产品的销售量逐年增加．某地区高效节能 灯的年销售量2019年为10万只，预计2021年将达到14.4万只．求该地区 2019年到2021年高效节能灯年销售量的平均增长率．30. 随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200 元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98 元/瓶．现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每次降价的百分率． 答案：1---10 DABAC BDACB 11. x 2－7x ＋12＝0. 12. x 1＝－1，x 2＝2 13. 22314. x ＝± 5. 15. 12 16. 2或2517. k ＜1 18. ﹣4，﹣519. （x ﹣2）2+（x ﹣4）2＝x 220. 121. (1) 解：原方程可化为x 2＋2x ＋14＝0，配方，得(x ＋1)2＝34，开平方，得x ＋1＝± 32，∴x 1＝－1＋32，x 2＝－1－32.(2) 解：去括号，得9t 2＋12t ＋4＝6t ＋4，整理，得9t 2＋6t ＝0， ∴3t(3t＋2)＝0，∴t 1＝－23，t 2＝0.22. 解：把x ＝n 代入方程得：mn 2﹣4n ﹣5＝0，即mn 2﹣4n ＝5， 代入已知等式得：5+m ＝6，解得：m ＝1．23. 解：方程ax 2＝b 可变形为x 2＝ba(ab ＞ 0)，∴x＝±b a， ∴方程的两个根互为相反数，∴m＋1＋2m －4＝0，解得m ＝1， ∴一元二次方程ax 2＝b(ab ＞ 0)的两个根分别是2与－2， ∴b a ＝2，∴ba＝4. 24. 解：把x ＝m 代入方程得：m 2+m ﹣1＝0，即m 2+m ＝1， 则原式＝m 2+2m+1+m 2﹣1＝2（m 2+m ）＝2．25. 解：由x 2－2x －54＝0得(x －1)2＝94.解得x 1＝52，x 2＝－12.当x ＝52时，⎝ ⎛⎭⎪⎫522－52(k ＋2)＋94＝0，∴k＝75.当x ＝－12时，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12(k ＋2)＋94＝0，∴k＝－7.又由Δ＝[－(k ＋2)]2－4× 94≥0，得k≥1或k≤－5，∴k 的取值符合． ∴k 的值为75或－7.26. 解：（1）由已知得：m ≠0且△＝（m+2）2﹣8m ＝（m ﹣2）2＞0， 则m 的范围为m ≠0且m ≠2； （2）方程解得：x ＝，即x ＝1或x ＝，∵x 2＜0，∴x 2＝＜0，即m ＜0， ∵＞﹣1，∴＞﹣1，即m ＞﹣2，∵m ≠0且m ≠2，∴﹣2＜m ＜0， ∵m 为整数，∴m ＝﹣1．27. 解：(1)∵Δ＝4(k ＋1)2－4k 2＝4(2k ＋1)≥0，∴k≥－12且k≠0，故k 的取值范围是k≥－12且k≠0.(2)当k ＝1时方程为x 2－4x ＋1＝0，∵x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1.∴x 2x 1＋x 1x 2＝x 22＋x 21x 1x 2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2＝16－2＝14. 28. 解：(1)∵当m ＝3时，Δ＝b 2－4ac ＝22－4× 3＝－8＜ 0， ∴原方程无实数根．(2)当m ＝－3时，原方程变为x 2＋2x －3＝0， 解得x 1＝1，x 2＝－3.29. 解：设该地区2019年到2021年高效节能灯年销售量的平均增长率为x ， 依据题意，列出方程10（1+x ）2＝14.4， 化简整理，得：（1+x ）2＝1.44， 解这个方程，得1+x ＝±1.2， ∴x 1＝0.2，x 2＝﹣2.2，∵该地区2019年到2021年高效节能灯年销售量的平均增长率不能为负数．∴x＝﹣2.2舍去．∴x＝0.2＝20%．答：该地区2019年到2021年高效节能灯年销售量的平均增长率为20%．30. 解：设该种药品平均每次降价的百分率是x，由题意得200(1－x)2＝98.解得x1＝1.7(不合题意，舍去)，x2＝0.3＝30%.答：该种药品平均每次降价的百分率是30%.。