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《数学分析》第六章微分中值定理及其应用

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43 第六章 微分中值定理及其应用（计划课时： 8时 ）

§ 1中值定理 （ 3时 ）

一 思路: 在建立了导数的概念并讨论了其计算后，应考虑导数在研究函数方面的一些作用。基于这一目的，需要建立导数与函数之间的某种联系。还是从导数的定义出发：

00)()(lim0xxxfxfxx=)(0xf.若能去掉导数定义中的极限符号,即00)()(xxxfxf?)(0xf,则目的就可达到.这样从几何上说就是要考虑曲线的割线与切线之间的平行关系. 一方面要考虑给定割线, 找平行于该割线的切线; 另一方面要考虑给定切线, 找平行于该切线的割线. (1)若给定的割线是水平的、斜的或曲线的方程以参数方程的形式给出，则分别可找出相应的切线平行于该割线，再分析所需要的条件，就可建立起Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理. 这三个微分中值定理用一句话概括：对于处处连续、处处有切线曲线的每一条割线都可以找到平行于该割线的切线. (2)若给定切线, 找平行于该切线的割线, 则不一定能实现.

二 微分中值定理:

1. Rolle中值定理: 叙述为Th1. ( 证 ) 定理条件的充分但不必要性.

2. Lagrange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 .

用分析方法引进辅助函数, 证明定理.

Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置.

系1 函数)(xf在区间I上可导且)( ,0)(xfxf为I上的常值函数. (证)

系2 函数)(xf和)(xg在区间I上可导且,)()( ),()(cxgxfxgxf.Ix

系3 设函数)(xf在点0x的某右邻域)(0x上连续,在)(0x内可导.若)0()(lim00xfxfxx存在 , 则右导数)(0xf也存在, 且有).0()(00xfxf(证)

但是, )0(0xf不存在时, 却未必有)(0xf不存在. 例如对函数

.0 ,0,0 ,1sin)(2xxxxxf

虽然)00(f不存在,但)(xf却在点0x可导(可用定义求得0)0(f).

Th3 (导数极限定理) 设函数)(xf在点0x的某邻域 )(0x内连续, 在)(0x内可导. 若极限)(lim0xfxx存在, 则)(0xf也存在, 且).(lim)(00xfxfxx ( 证 )

由该定理可见, 若函数)(xf在区间I上可导,则区间I上的每一点,要么是导函数)(xf的连续点,要么是)(xf的第二类间断点.这就是说,当函数)(xf在区间I上点点可导时, 导函数)(xf在区间I上不可能有第二类间断点.

3. Cauchy中值定理:

Th 4 设函数f和g在闭区间],[ba上连续, 在开区间),(ba内可导, f和g在),(ba内不同时为零, 又).()(bgag 则在),(ba内至少存在一点, 使得 44 )()()()()()(agbgafbfgf.

证 分析引出辅助函数 )()(xfxF)()()()(agbgafbf)(xg. 验证)(xF在],[ba上满足Rolle定理的条件,  ),,( ba

)()(fF)()()()(agbgafbf.0)(g

必有0)(g, 因为否则就有0)(f.这与条件“f和g在),(ba内不同时为零”

矛盾.  

Cauchy中值定理的几何意义.

Ex [1]P163 1—4；

三 中值定理的简单应用: ( 讲1时 )

1. 证明中值点的存在性:

例1 设函数f在区间],[ba上连续, 在),(ba内可导, 则),(ba, 使得

)()(afbf)(lnfab.

证 在Cauchy中值定理中取xxgln)(.

例2 设函数f在区间],[ba上连续, 在),(ba内可导, 且有0)()(bfaf.试证明:

0)()( ),,(ffba.

2. 证明恒等式: 原理.

例3 证明: 对Rx, 有 2arcctgxarctgx.

例4 设函数f和g可导且 ,0)(xf又 .0gfgf 则 )()(xcfxg.(证明

0) (fg. )

例5 设对R , hx,有 2 |)()(|Mhxfhxf,其中M是正常数.则函数)(xf是常值函数. (证明 0f ).

3. 证明不等式: 原理.

例6 证明不等式: 0h时, harctghhh21.

例7 证明不等式: 对n，有nnn1) 11 ln(11.

4. 证明方程根的存在性:

例8 证明方程 0cossinxxx在),0(内有实根.

例9 证明方程 cbacxbxax23423在) 1 , 0 (内有实根. 45 四 单调函数 （结合几何直观建立）

1 可导函数单调的充要条件

Th 5设函数)(xf在区间),(ba内可导. 则在),(ba内)(xf↗(或↘) 在),(ba内

0)(xf ( 或0 ).

例10 设13)(3xxxf.试讨论函数)(xf的单调区间.

解:⑴确定定义域. 函数)(xf的定义域为),(.

⑵求导数并分解因式.)1)(1(333)(2xxxxf

⑶确定导数为0的点和不存在的点.令0)(xf,得1,1xx

⑷将导数为0的点和不存在的点作为分点插入函数的定义域,列表讨论各个区间上的单调性.列表

x )1,( 1 (-1,1) 1 ),1(

)(xf  0 － 0 

)(xf

2 可导函数严格单调的充要条件

Th6设函数)(xf在区间),(ba内可导. 则在),(ba内)(xf↗↗( 或↘↘) ⅰ> 对),,(bax 有0)(xf ( 或)0; ⅱ> 在),(ba内任子区间上.0)(xf

3 可导函数严格单调的充分条件

推论 见P124

例11 证明不等式 .0,1xxex

Ex [1]P124—125 1—7.

§2 不定式的极限 ( 2时 )

一. 00 型:

Th 1 (LHospital法则 ) ( 证 ) 应用技巧.

例1 .coscos1lim2xxtgxx

例2 )1ln()21(lim2210xxexx.

例3 xxex1lim0. ( 作代换xt 或利用等价无穷小代换直接计算. )

例4 xxxxsin1sinlim20. ( LHospital法则失效的例 ) 46 二  型:

Th 2 (LHospital法则 ) ( 证略 )

例5 ) 0 ( ,lnlimxxx.

例6 3limxexx.

注: 关于xxexln,,当x时的阶.

例7 xxxxsinlim. ( LHospital法则失效的例 )

三. 其他待定型:  , ,0 ,1 ,000.前四个是幂指型的.

例8.lnlim0xxx

例9)(seclim2tgxxx.

例10xxx0lim.

例11xxx11lim0.

例12210coslimxxx.

例13nnn211lim.

例14设.0 ,0,0 ,)()(xxxxgxf 且 .3)0( ,0)0()0(ggg 求).0(f

解 200)(lim0)(lim)0()(lim)0(xxgxxxgxfxffxxx

23)0(21)0()(lim212)(lim0000gxgxgxxgxx.

Ex [1]P132—133 1—5.

§3 Taylor公式 ( 3时 )

一. 问题和任务:

用多项式逼近函数的可能性; 对已知的函数, 希望找一个多项式逼近到要求的精度.

二. Taylor( 1685—1731 )多项式:

分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式 47 定义 (Taylor 多项式 )(xPn及Maclaurin多项式)

例1 求函数24)(23xxxf在点20x的Taylor 多项式.

三. Taylor公式和误差估计:

称 )()()(xPxfxRnn为余项. 称给出)(xRn的定量或定性描述的式

)()()(xRxPxfnn为函数)(xf的Taylor公式.

1. 误差的定量刻画( 整体性质 ) —— Taylor中值定理:

Th 1 设函数f满足条件:

ⅰ> 在闭区间],[ba上f有直到n阶连续导数;

ⅱ> 在开区间),(ba内f有1n阶导数.

则对),,( ),,(babax 使

nnaxnafaxafaxafafxf)(!)()(!2)())(()()()(2

1)1()()!1()(nnaxnfnkkkaxkaf0)()(!)(1)1()()!1()(nnaxnf.

证 [1]P138—139.

称这种形式的余项)(xRn为Lagrange型余项. 并称带有这种形式余项的Taylor公

式为具Lagrange型余项的Taylor公式. Lagrange型余项还可写为

,)()!1())(()(1)1(nnnaxnaxafxR ) 1 , 0(.

0a时, 称上述Taylor公式为Maclaurin公式, 此时余项常写为

,)()!1(1)(1)1(nnnxxfnxR 10.

2. 误差的定性描述( 局部性质 ) —— Peano型余项:

Th 2 若函数f在点a的某邻域)(a内具有1n阶导数, 且)()(afn存在, 则

nnaxnafaxafaxafafxf)(!)()(!2)())(()()()(2nax)(,

)(ax.

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数学分析6.1拉格朗日定理和函数的单调性（练习）

数学分析6.1拉格朗日定理和函数的单调性（练习）

第六章 微分中值定理及其应用

1 拉格朗日定理和函数的单调性练习题

1、试讨论下列函数在指定区间内是否存在一个点

ξ，使f’(

ξ)=0.

(1)f(x)= xsin1

x, 0<𝑥≤1

π

0, x=0 ；(2)f(x)=|x|, -1≤x≤1.

解：(1)∵f(x)在[0, 1

π]上连续，在(0, 1

π)内可导，且f(0)=f(1

π)，

根据罗尔中值定理知，存在一个点

ξ∈(0, 1

π)，使f’(

ξ)=0.

(2)∵f(x)在[-1,1]连续，且f(-1)=f(1)，但f(x)在(-1,1)内x=0点不可导，

根据罗尔中值定理知，不一定存在一个点

ξ∈(-1,1)，使f’(

ξ)=0.

又f’(x)= 1, x>0

−1, x<0，∴不存在一个点

ξ∈(-1,1)，使f’(

ξ)=0.

2、证明：(1)方程x3

-3x+c=0(c为常数)在区间[0,1]内不可能有两个不同

的实根；

(2)方程xn

+px+q=0(n为自然数，p,q为实数)当n为偶数时至多有两个

实根；当n为奇数时至多有三个实根。

证：(1)记f(x)=x3

-3x+c，若f(x)=0在[0,1]有两个不同的实根a,b，

则f(a)=f(b)，又f(x)在[0,1]上连续，且在(0,1)内可导；

根据罗尔中值定理知，存在一个点

ξ∈(0,1)，使f’(

ξ)=0.

但f’(x)=3(x2

-1)只有两个实根x=±1，矛盾，结论得证。

(2)记f(x)=xn

+px+q(n为自然数，p,q为实数).

当n=2k(k=1,2,…)时，若f(x)=0至少有三个实根a,b,c，设a

由罗尔中值定理知，存在点

ξ

1∈(a,b),

ξ

2∈(b,c)，使

f’(

ξ

1)=2k

ξ

12k-1

+p=0, f’(

ξ

2)=2k

ξ

22k-1

+p=0，即f’(

ξ

1)= f’(

ξ

2). 又f’(x)=2kx2k-1

+p在R上严格增，矛盾，可得

结论1：当n为偶数时，xn

+px+q=0至多有两个实根.

安徽师范大学考研数学分析教案chap6微分中值定理及应用

安徽师范大学考研数学分析教案chap6微分中值定理及应用

第六章 微分中值定理及其应用

微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“”，虽然我们对中值“”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用.

1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题.

2．教学重点与难点：

重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性.

难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性.

3．教学内容：

§1 拉格朗日定理和函数的单调性

本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性.

一 罗尔定理与拉格朗日定理

定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足

(ⅰ)在ba,上连续;

(ⅱ)在),(ba内可导;

(ⅲ))()(bfaf 则),(ba使

0)(f (1)

注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可.

如: 1º

1 010

xxxy , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足,结论不成立.

2º xy , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立.

3º xy , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立.

(ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件.

如:1,1 )(22xQR xxQxxxf, f不满足(ⅰ),

(ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(f.

关于微分中值定理的研究

关于微分中值定理的研究

- 1 - 关于微分中值定理的研究

微分中值定理是微积分中一个经典的定理，它是由18世纪法国数学家埃米尔克尔帕特里克所推导出的，指出在一定的条件下，如果一个函数在某一段间隔内变动连续，那么这个函数的极值点（即函数的最大值和最小值）可能位于这段间隔的中点，而不是在段落的两端。这个定理对于理解和分析函数的变化起着重要的作用，在金融学、物理学、天文学等多个领域也有重要研究和应用价值。本文就微分中值定理进行详细的介绍和研究，其中包括定理的证明、示例与推广等内容。

一、定理的证明

微分中值定理可以用积分公式和链式法则来证明。首先，假设函数f(x)在区间[a, b]上具有连续和微分的导数，其中f′(x)为函数f(x)的一阶导数。那么，函数f(x)在区间[a, b]上可以表示为：

f(x) = f(a) + f′(ζ)(x a) (其中ζ为[a，b]之间的某一常数)

此外，f(x)区间[a, b]上的最大值M 与最小值m以用积分公式表示为：

M = (b-a)f′(x)dx , m = (b-a)f′(x)dx

由此，中值定理可以得到：

f(a) + f′(ζ) ( b a ) = M + m

即M + m 与f(a) + f′(ζ) ( b a )相等，因此当f(x)在[a，b]上具有连续的一阶导数时，它的极值一定取得在区间的中间，也就 - 2 - 是f(a) + f′(ζ) ( b a ) = M + m 。该定理的证明完成。

二、定理的示例

通过上述证明，已经得出微分中值定理的结论，下面通过实例来进一步加深对定理的理解。

假设函数f(x)定义在区间[a，b]内，求该函数在区间内的极大值和极小值，首先假定函数f(x)具有连续的一阶导数，那么根据上述微分中值定理，该函数的极值可以通过以下公式求出：

M = f(a) + f′(ζ) ( b a ) , m = f(a) + f′(ζ) ( b a )

微分中值定理的证明及其应用

微分中值定理的证明及其应用

微分中值定理的证明及其应用

[摘要] 微分中值定理是微分学的基本理论,也是微分学的理论基础。数学分析中,介绍了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理三个中值定理。本文主要探讨微分中值定理的几何意义及证明过程中辅助函数的构造,结合教学过程中出现的问题,通过具体实例探讨微分中值定理在函数性态各方面的应用。

[关键词] 中值定理 辅助函数 根的存在性 待定系数法

数学分析中,一般在证明罗尔定理的基础上,通过构造辅助函数,然后验证辅助函数满足罗尔定理的假设条件,最后利用罗尔定理的结论得出拉格朗日定理的证明。其关键是如何构造辅助函数,一旦辅助函数构造出来,余下的问题便容易解决了。

首先介绍微分中值定理的几何意义和辅助函数的构造及定理的证明。

一、微分中值定理证明中辅助函数的探讨

若函数在闭区间上连续,其图形是一段连续的曲线弧。当在区间两个端点的函数值相等(即)时,线段ab平行于轴,其斜率为零。若函数在内每一点都可导,对应曲线弧上每一点都有切线,此时,从图可以看出,在曲线弧上,至少可以找到一点m,弧在此点的切线与线段ab平行,即切线的斜率为零。若记m,则切线mt的斜率为,且。

上述的几何直观进行归纳,得到如下定理:

定理1:(罗尔定理)

若函数满足下列三个条件: (1)在闭区间上连续;(2)在开区间内可导;(3)。

则至少存在一点,使。(如图)

以上只是从几何直观得出罗尔定理,但要注意,图形的直观并不是严格意义的数学证明(数学分析教材中已给出定理的详细证明)。

罗尔定理中的三个假设条件,缺一不可,否则定理结论不一定成立。例如:

(1)在处不连续,缺少第一条假设。

(2)在处不可导,缺少第二条假设。

(3) 因为,缺少第三条假设。

这三个函数都不能在各自的定义域内找到,使得。

若将图形绕a点旋转,将旋转后的图形所对应的函数仍记作,函数的定义域区间仍记作,由于旋转后所得曲线两个端点不相等,即,由于罗尔定理中条件(1)和(2)保持不变,而弦ab的斜率为 .由图形可以看出, 在曲线弧上,至少可以找到一点m,过此点的切线与线段ab平行。若记m,则曲线在点m的切线斜率为,它与弦ab的斜率相等,即 ,因此,从几何直观可以得到定理: